Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 6

Chia sẻ: Nguyen Duc Hoa | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

220
lượt xem 110
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo việc xây dựng Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 6: " Tính tóan trạng thái ứng suất- Biến dạng đập vật liệu địa phương"

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 6

6 TÍNH TOÁN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT– BIẾN DẠNG ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG __________________________________ 1 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
MỤC LỤC Trang CHƯƠNG I VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN TRẠNG THÁI ỨNG SUÂT - BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT ĐÁ 1.1. Giới thiệu ............................................................................................4 1.2 Phương pháp sai phân hữu hạn .............................................................6 CHƯƠNG II SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP 2.1 Cơ sở lý luận của phương pháp PTHH ...............................................9 2.1.1 Cơ sở lý luận ......................................................................................9 2.1.2 Nội dung cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn .........................9 2.2 Các phương trình cơ bản của PP PTHH để giải bài toán tuyến tính về ứng suất – biến dạng .................................................................................10 2.2.1 Sô đồ tính toán - phần tử hữu hạn hình tam giác ..................................10 2.2.2 Xác định ma trận độ cứng của phần tử ................................................11 2.3 Các phương trình cơ bản của PP PTHH để giải bài toán phi tuyến về ứng suất – biến dạng .................................................................................15 2.3.1 Các phương trình cơ bản ......................................................................15 2.3.2 Đường lối chung để giải dúng dần phuong trình ma trận độ cứng của hệ...18 2.3.3 Phương pháp nghiệm đàn hồi ...............................................................18 2.3.4.Phương pháp chất tải từng bước .........................................................19 2.4. Phương pháp giải các bài toán đàn hồi phi tuyến .................................21 2.5. Phương pháp giải các bài toán vật liệu đàn dẻo ..................................22 2.6. Giải bài toán đàn hồi theo phương pháp chất tải từng bước ...............25 2.7. Giải bài toán phi tuyến do chuyển vị lớn .............................................26 2.7.1 Phương pháp đúng dần trực tiếp ..........................................................27 2.7.1 Phương pháp số gia từng bước ............................................................27 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN CỤC BỘ 3.1. Giới thiệu chung ..................................................................................30 3.1.1 Ðặc diểm của phép tính biến phân.......................................................30 3.1.2 Cơ sở lý luận.......................................................................................31 3.2 Ứng dụng phương pháp biến phân cục bộ để tính toán cho đập đất-đá ........................................................................................................................32 CHƯƠNG IV __________________________________ 2 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
CÁC MÔ HÌNH TOÁN 4.1 Các mô hình toán về quan hệ giữa ứng suất và biến dạng ................39 4.1.1 Đặt vấn đề .........................................................................................39 4.1.2 Mô hình đàn hồi phi tuyến của Iu.K. Zaretsky ...................................40 4.1.3 Mô hình trong phạm vi LT biến dạng dẻo của Iu.K. Krưjanovsky ...41 4.1.4 Mô hình đàn hồi phi tuyến của A. K. Bugrov ....................................41 4.1.5 Mô hình trong phạm vi lý thuyết làm bền dẻo ..................................42 4.1.6 Mô hình chảy dẻo ...............................................................................42 4.1.7 Mô hình năng lượng ...........................................................................43 4.2. Các điều kiện bền (tiêu chuẩn phá hoại) ...........................................45 4.2.1. Điều kiện Mo-Culong ........................................................................45 4.2.2. Điều kiện bền Mize – Slaykher - Botkin ...........................................46 4.2.3. Điều kiện bền của GuBe ...................................................................46 4.2.4. Điều kiện bền năng lượng ................................................................47 CHƯƠNG V ỨNG DỤNG QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM ĐỂ LỰA CHỌN HỢP LÝ KẾT CẤU ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG 5.1 Phương pháp quy hoạch thực nghiệm ................................................48 5.1.1 Vài nét giới thiệu ................................................................................48 5.1.2. Ứng dụng quy hoạch thực nghiệm để lựa chọn kết cấu hợp lý của đập đất đá ..........................................................................................48 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................53 __________________________________ 3 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
CHƯƠNG I VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT- BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT- ĐÁ -oOo- 1.1 GIỚI THIỆU Tính toán trạng thái ứng suất- biến dạng của đập đất đá đã được thực hiện từ những năm 40 của thế kỷ 20 ở CHLB Nga và các nước phương Tây. Tuy nhiên do hạn chế về công cụ tính toán mà người ta buộc phải đưa vào quá nhiều giả thiết nhằm đơn giản hoá các công thức tính toán. Các công thức này là những biểu thức giải tích theo bài toán một chiều. Cho tới nay, các công thức đó chỉ có ý nghĩa về mặt lịch sử. Tính toán trạng thái ứng suất- biến dạng của đập đất đá theo bài toán phẳng hai chiều cũng đã được tiến hành vào những năm 60 của thế kỷ trước (gắn liền với sự ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn ), và bài toán không gian 3 chiều cũng chỉ mới được bắt đầu tính toán vào những năm 70 của thế kỷ 20.. Tất cả các bài toán đó đều được giải theo mô hình tuyến tính. Do thực tế xây dựng các dự án thủy điện lớn ở CHLB Nga và các nước phương tây ngày càng phát triển, nên các đập đất đá cao cũng được ứng dụng nhiếu hơn.Theo đó các nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm về đập cao cũng phát triển và đã chứng minh rằng các kết quả tính toán theo bài toán phẳng 1 chiều và hai chiều theo mô hình tuyến tính đã không phản ánh đúng thực tế làm việc của công trình. Để phản ánh đúng sự làm việc của các đập cao cần phải đi tìm kiếm một phương hướng khác. Đó là việc giải bài toán không gian 3 chiều của đập với mô hình phi tuyến về mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng. Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển về cơ học phi tuyến của môi trường rời và về trạng thái ứng suất không gian đã đi đến kết luận rằng: – Đất, đá là những vật liệu thể hiện phi tuyến rất mạnh, ngay cả khi tải trọng nhỏ. – Khi chịu tải trọng lớn, nhất thiết phải kể đến ảnh hưởng của ứng suất nén trung gian σ2 tức là phải tính đến trạng thái ứng suất không gian của phần tử đất đá đang xét. Mặt khác, việc giải các bài toán không gian (ba chiều) khi so sánh với bài toán phẳng đã đưa đến kết luận rằng chỉ có bài toán không gian mới phản ánh đúng sự làm việc tự nhiên của đập. Những kết luận như vậy cũng đã được các cơ quan thiết kế thừa nhận. Chính việc xây dựng các đập có tuyến cong như Kugar (Mỹ), __________________________________ 4 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
Ragun ( CHLB Nga) , Hòa Bình (Việt Nam),… là đã sử dụng các kết quả của bài toán không gian. Năm 1971, X.IA. Gun là người đầu tiên giải bài toán không gian về trạng thái ứng suất - biến dạng của đập đất – đá theo mô hình tính toán là đàn hồi phi tuyến. Kết quả lời giải của X.IA. Gun đã cho thấy rằng việc sử dụng bài toán phẳng để tính ứng suất - biến dạng trong đập đã đưa đến sự khoâng chính xác khá lớn. Sau đó, đến năm 1978, X.IA. Gun đã giải bài toán không gian của đập Ragun trong phạm vi lý thuyết biến dạng dẻo. Lời giải được thực hiện bằng phương pháp sai phân – biến phân với việc sử dụng lưới động. Kết quả tính toán cho thấy chuyển vị lớn nhất theo phương nằm ngang và thẳng đứng trong đập, giữa bài toán không gian và bài toán phẳng khác nhau đến 50%. Trong khoảng thời gian trên A.L. Kruranovsky cũng đã giải bài toán không gian về trạng thái ứng suất - biến dạng của đập đất đá cao 300 m, trong phạm vi lý thuyết biến dạng dẻo. Bài toán được giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn kết hợp với việc thay đổi các thông số. Kết quả lời giải của A.L. Kruranovsky đã được trình bày trong dạng biểu đồ các đường đồng giá trị môđuyn trượt G, môđuyn biến dạng khối E để chỉ ra sự thay đổi của G, E trong đập. Kết quả tính toán cũng cho thấy ảnh hưởng tính không đồng nhất của vật liệu thân đập đến tính biến dạng của nó, đồng thời cũng cho thấy tính phi tuyến mạnh mẽ trong quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong đập. Lời giải của A.L. Kruranovsky so với lời giải của IA.X. Gun về bài toán không gian được coi như một tiến bộ đáng kể, bởi vì nó phản ánh được trong tính toán ảnh hưởng của thông số Lode – Nadai (một trong những thông số của đường chất tải). Tuy vậy, lời giải của A.L. Kruranovsky trong lý thuyết biến dạng dẻo vẫn còn một vài nhược điểm là quá cồng kềnh phức tạp khi miêu tả đặc trưng hình học của đập cũng như đưa các thông tin vào chương trình. Ngoài một vài phương pháp tính như đã trình bày, hiện nay để xem xét sự làm việc không gian của đập, người ta còn sử dụng mô hình trên máy ly tâm. Teitelbaun A.I và Xabina B.A (CHLB Nga) đã nghiên cứu trạng thái ứng suất và biến dạng của đập đất – đá trên mô hình khối đặt trên máy li tâm. Phương pháp mô hình không gian trên máy ly tâm có một số ưu điểm không thể phủ nhận được. Tuy nhiên các đập đất – đá cao như Hòa Bình, Axuăng, Nurek với kết cấu phức tạp thì không thể mô hình hóa trên máy li tâm được vì còn hàng loạt vấn đề mà mô hình này chưa giải quyết được như khả năng mô hình hóa các vật liệu hạt to, do ứng suất biến dạng trong các khối đá, và điều quan trọng là các giai đoạn xây dựng đập thì không thể mô hình hết được. Tất cả những khó khăn đó buộc người ta phải thừa nhận rằng cách tốt nhất để xác định trạng thái ứng suất – biến dạng trong các đập cao là phải giải bài toán không gian bằng các phương pháp số và các mô hình toán. __________________________________ 5 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
Từ những kết luận như vậy, năm 1982 giáo sư L.N. Rasskadov và A.A. Beliakov đã giải bài toán không gian về trạng thái ứng suất – biến dạng và ổn định của đập đất – đá cao 334 m bằng phương pháp biến phân cục bộ kết hợp với mô hình năng lượng (là mô hình đàn – dẻo biểu hiện quan hệ phi tuyến giữa ứng suất và biến dạng). Lời giải về bài toán không gian của L.N. Rasskadov đã khắc phục được các nhược điểm của các lời giải trong phạm vi lý thuyết đàn hồi và lý thuyết biến dạng dẻo, vì nó đã tính được các biến dạng dẻo và quá trình xây dựng đập cũng như đã tính được quá trình chất tải và dỡ tải trong công trình. Kết quả lời giải của bài toán không gian theo phương pháp biến phân cục bộ và mô hình năng lượng đã cho phép các tác giả của nó đánh giá không chỉ độ bền, tính biến dạng của các loại vật liệu, tính ổn định của công trình mà còn đánh giá được khả năng tạo thành vết nứt trong lõi đập. Từ sau năm 1982, L.N. Rasskadov đã cùng với các học trò của mình tiếp tục giải các bài toán không gian của đập đất – đá như: đập trên nền bị nén ép, bài toán không gian có kể đến từ biến của đất đá, gần đây là bài toán có tính đến độ tin cậy của công trình. Kết quả giải hàng loạt các bài toán không gian của các tác giả khác nhau cũng như việc thí nghiệm mô hình không gian trên máy li tâm, tuy còn những điểm khác nhau, nhưng đều đi đến những nhận định chung có tính quy luật về sự làm việc không gian của đập vật liệu địa phương. * * * Trong những năm gần dây do có những thành tựu mới về khoa học - công nghệ (phát triển các phương pháp tính, sự ra đời của các máy vi tính có tốc độ xử lý cao) nên việc giải các bài toán không gian của đập đất - đá đã phần nào giảm bớt khó khăn. Tuy nhiên cũng do khoa học công nghệ phát triển nên yêu cầu về mức độ chính xác càng cao. Nếu như trước đây tổng số các phần tử không gian chỉ khoảng 1000 – 2000 phần tử, thì nay chúng ta có thể giải các bài toán với 10 000 - 20 000 phần tử. Về mặt phương pháp tính, để giải bài toán không gian về trạng thái ứng suất - biến dạng và ổn định đập vật liệu địa phương, nói chung chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau : + Phương pháp sai phân hữu hạn + Phương pháp phần tử hữu hạn + Phương pháp biến phân cục bộ Dưới đây sẽ trình bày các phưung pháp số ứng dụng trong tính toán trạng thái suất - biến dạng và ổn định đập vật liệu địa phương (đất – đá). 1.2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN __________________________________ 6 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
Phương pháp sai phân hữu hạn là một phương pháp số (nó cũng làm rời rạc một miền liên tục thành các ô lưới riêng biệt) có thể sử dụng để giải các bài toán đàn hồi với đập vật liệu địa phương. Nó có một số ưu điểm như: – Cho phép giải các bài toán có Mơduyn biến dạng E và hệ số Poatxông thay đổi – Miền giải có thể có hình dáng bất kỳ, kể cả những điểm góc. – Có thể giải các bài toán với điều kiện biên bất kỳ. – Khi xây dựng thuật toán và chương trình theo phương pháp sai phân hữu hạn ta có thể thực hiện dễ dàng trên máy tính. Bản chất của phương pháp sai phân hữu hạn là ở chỗ ta thay các đạo hàm riêng bằng các sai phân riêng có giá trị hữu hạn. Điều đó dẫn đến việc thay hệ phương trình vi phân bằng một hệ phương trình đại số tuyến tính của các sai phân riêng. Như ta đã biết trong lý thuyết đàn hồi, các bài toán kết cấu công trình có thể được giải bằng ứng suất hoặc bằng chuyển vị. Trong dạng chung (bài toán không gian 3 chiều), các phương trình vi phân cơ bản của phương pháp sai phân hữu hạn, giải trong chuyển vị (ẩn số là các chuyển vị U và V) sẽ là các phương trình Lame. Nghĩa là các chuyển vị này phải thỏa mãn các điều kiện biên và các phương trình Lame: ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U (λ + G ) + G 2 + G 2 + (λ + G ) − =0 ∂x 2 ∂y ∂z ∂x∂y∂z ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V (λ + G ) + G 2 + G 2 + (λ + G ) − =0 (1.1) ∂x 2 ∂y ∂z ∂x∂y∂z ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W (λ + G ) +G + G 2 + (λ + G ) − =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z ∂x∂y∂z Ở đây: λ, G – Là các hằng số Lame E E.µ G= ; λ= 2(1 + µ) (1 + µ)(1 − 2µ) Từ đó các giá trị ứng suất sẽ xác định theo : __________________________________ 7 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
∂U ∂U ∂U σ x = (λ + 2G ) +λ +λ ∂x ∂y ∂z ∂V ∂V ∂V σ y = (λ + 2G ) +λ +λ ∂x ∂y ∂z ∂W ∂W ∂W σ z = (λ + 2G ) +λ +λ ∂x ∂y ∂z  ∂U ∂V  (1.2) σ xy = G  ∂y + ∂x      ∂U ∂W  σ xz = G +   ∂z ∂x   ∂V ∂W  σ yz = G  ∂z + ∂y     Để giải bài toán theo chuyển vị (ở các biên ta phải biết trước các chuyển vị, ví dụ ở hai bờ và nền đá chuyển vị bằng 0), ta chuyển phương trình Lame (phương trình đạo hàm riêng bậc 2) thành phương trình sai phân bằng cách thay đổi các vi phân ∂V/∂x bằng các sai phân ∆V/∆x.. Để đảm bảo tính chính xác như nhau của việc sai phân hóa các số hạng của phương trình lame, ở đây cần phải sử dụng lưới trượt (vì vậy còn gọi phương pháp này là phương pháp lưới trượt). Theo lưới trượt các điểm v sẽ dịch chuyển tương đối so với các điểm u, w một nửa khoảng cách ∆x, ∆y và ∆z Để cho ngắn gọn ta sẽ trình bày các biểu thức của chuyển vị trong phạm vi bài toán phẳng. Phương trình Lame sau khi đã sai phân hóa và qua các biến đổi, cuối cùng sẽ có dạng: Đối với Us : 1− µ α 2α 2 ( U 6 − 2 U 5 + U 4 ) + U1 − 2 U 5 + U10 + (V3 − V8 − V2 + V7 ) = 0 (2.1.3) 1 − 2µ 1 − 2µ Đối với Vs : 1− µ α ψ∆2 y 2 (V3 − 2 U 8 + V12 ) + α (V9 − 2V8 + V7 ) + 2 ( U 6 − U 11 − U 5 + U10 ) = 1 − 2µ 1 − 2µ G ở đây : α = ∆y/∆x Phương pháp sai phân hữu hạn đã được dùng khá phổ biến trong những thập niên 60 – 70 củ thế kỷ 20 để giải các bài toán đàn hồi tuyến tính của đập vật liệu địa phương. Khi gặp bài toán đàn hồi phi tuyến phương pháp này trở nên hết sức cồng kềnh, vì vậy hiện nay ít được sử dụng để tính đập. __________________________________ 8 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
CHƯƠNG II SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA PHƯƠNG PHÁP PTHH 2.1.1 Cơ sở lý luận Trước khi xem xét các phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH ) được sử dụng trong bài toán ứng suất và biến dạng, chúng ta thử tìm hiểu mô hình nghiên cứu lý thuyết của một kết cấu dạng khối liên tục (như đê đập) để làm sáng rõ các phương trình cơ bản mà ta sẽ sử dụng vào bài toán. Kết cấu nói chung (khung hoặc vòm, dầm hoặc khối liên tục như đập đất- đá, đập bê tông…) là một thể thống nhất và được xem như một môi trường liên tục để lập các mô hình toán học (các phương trình toán học – cơ học) . Nói chung các phương trình này đều là những phương trình phi tuyến (các phương trình vi phân, tích phân hoặc đạo hàm riêng v.v… ) rất khó tìm được lời giải chính xác. Vì vậy người ta nghĩ cách chuyển các phương trình ấy về một dạng khác, sao cho vừa đảm bảo được bản chất toán cơ của nó vừa đơn giản trong việc tìm lời giải. mà một trong những hướng ấy là chuyển các phương trình vi phân thành các phương trình sai phân và hình thành phương pháp sai phân như trước đây. Tuy nhiên phương pháp sai phân vẫn còn phiền phức và kết quả vẫn không chính xác lắm. Vì vậy người ta đã tìm cách chia môi trường liên tục thành các phần tử nhỏ mà ở đó các phương trình vi, tích phân phức tạp đều được biểu diễn __________________________________ 9 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
dưới dạng bậc nhất. Vấn đề mấu chốt là ở chỗ sao cho khi hợp nhất tất cả các phần tử đó lại với nhau chúng ta vẫn được một nôi trường liên tục và phi tuyến như ban đầu . Đó chính là bản chất của PP PTHH Cách làm như trên được gọi là mô hình hóa hay tuyến tính hóa phương trình phi tuyến của kết cấu công trình. Tất cả các phương trình toán học được lập và giải dưới đây cho bài toán về trạng thái ứng suất và biến dạng của môi trường liên tục đều dựa trên cơ sở mô hình này. 2.1.2. Nội dung cơ bản của phương pháp PTHH Nhằm đơn giản hóa tính toán mà vẫn đảm bảo đủ mức tính toán yêu cầu, người ta xây dựng phương pháp PTHH là một phương pháp gần đúng để tính kết cấu với nội dung sau: Thay thế kết cấu thực tế bằng một mô hình, dùng để tính toán bao gồm một số hữu hạn phần tử riêng lẻ liên kết với nhau chỉ ở một số hữu hạn điểm nút, tại các đểm nút tồn tại các lực tương tác biểu thị tác động qua lại của các phần tử kề nhau. Quan niệm như vậy có nghĩa là thay bài toán tính hệ liên tục (hệ thực tế) có bậc tự do vô hạn bằng bài toán tính hệ có bậc tự do hữu hạn. Chỗ phân cách giữa các phần tử hữu hạn gọi là biên của phần tử hữu hạn. Tùy từng trường hợp cụ thể, biên của các phần tử hữu hạn có thể là các điểm, các đường hoặc các mặt. Trong thực tế kết cấu là một môi trường liên tục cho nên ở tại mọi điểm trên biên của mỗi phần tử đều có các lực tương tác giữa các phần tử. Tại các điểm trên biên, ứng lực cũng như chuyển vị đều phải thỏa mãn điều kiện liên tục khi ta chuyển từ phần tử này sang phần tử kế cận ( điều này sẽ nói kỹ về sau ). Trái lại, ở trong mô hình thay thế, kết cấu được quan niệm là chỉ gồm một số phần tử riêng lẻ liên kết với nhau ở một số điểm nút, cho nên giữa các phần tử lân cận chỉ có các lực tương tác đặt tại các điểm nút. Dĩ nhiên quan niệm như vậy chỉ là gần đúng. Trong khi thay thế kết cấu thực tế (hệ liên tục) bằng một tập hợp phần tử rời rạc chỉ liên kết lại với nhau ở các điểm nút. Người ta thừa nhận rằng, năng lượng bên trong mô hình thay thế phải bằng năng lượng trong kết cấu thực. Nếu ta xác định được chính xác các lực tương tác giữa các phần tử lân cận, và nếu ở trên các biên của các phần tử, điều kiện liên tục về lực và về chuyển vị đảm bảo được thỏa mãn khi ta chuyển từ phần tử này sang phần tử lân cận thì mô hình thay thế hoàn toàn giống với kết cấu thực tế.. Đối với bài toán về trạng thái ứng suất và biến dạng của môi trường liên tục, khi sử dụng PP PTHH ta cần phải lần lượt giải quyết các bước như sau: a. ) Phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng của mỗi phần tử hữu hạn. __________________________________ 10 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
b. ) Phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng của toàn hệ gồm nhiều phần tử liên kết với nhau ở một số hữu hạn nút với mối liên hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng. c. ) Phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng của toàn hệ gồm nhiều phần tử với mối liên hệ phi tính giữa ứng suất và biến dạng. Trước khi tiến hành giải quyết từng bước tính đó, dưới đây sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản để làm công cụ giải quyết vấn đề: Đó là khái niệm tọa độ, các nguyên lý năng lượng và khái niệm ma trận cứng, ma trận mềm được sử dụng để giải bài toán trạng thái ứng suất và biến dạng. Đồng thời để hiểu cách giải các bài toán phi tuyến, trước tiên chúng ta hãy tìm hiểu cách giải các bài toán tuyến tính về ứng suất-biến dạng theo phương pháp phần tử hữu hạn 2.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA PP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TUYẾN TÍNH VỀ ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG 2.2.1 Sô đồ tính toán - phần tử hữu hạn hình tam giác. Giả sử hàm ứng suất và biến dạng xác định trong miền S. Theo PP PTHH ta tưởng tượng phân chia miền S ra thành nhiều phần tử hình tam giác phẳng và chỉ liên kết với nhau ở các điểm nút. 22 23 24 Y 18 19 20 21 13 14 15 16 17 8 12 a.) 9 10 11 4 5 6 7 1 2 3 3 b.) 1 2 O X SÔ ÑOÀTÍNH TOAÙ THEO PP PTHH N a.) Chia mieà S thaøh nhieà phaà töû n n u n b.) Phaà töûhình tam giaù 3 ñieå nuù n c m t Hình 2.1 __________________________________ 11 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
Xét PTHH hình tam giác bất kì có các đỉnh là 1, 2.3, (hình 3.1) trong đó ta lưu ý kí hiệu thứ tự các nút theo ngược chiều kim đồng hồ.và chịu tác dụng của các ngoại lực đặt tại các điểm nút là : [ R ] = [ R1x, R1y, R2x, R2y, R3x, R3y, ] Tại các nút phát sinh các vector chuyển vị là [ q ] : [ q ] = [ u1, v1, u2, v2, u3, v3, ] Trong đó u1,v1 là các thành phần chuyển vị của nút thứ i theo phương các trục x và y. 2.2. 2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử Để giải bài toán ứng suất– biến dạng trước hết ta phải xác định được quan hệ giữa ứng lực nút [ R ] và [ q ] trong dạng : [R]=[K][q] (2. 1) Trong đó [ K ] là ma trận độ cứng phần tử hữu hạn. Nếu ta biết trước 6 thành phần chuyển vị nút ở 3 đỉnh thì ta cũng có thể xác định được chuyển vị của một điểm bất kì trong tam giác, bởi vì ta có thể giả thiết một cách gần đúng quy luật biến đổi các thành phần chuyển vị của một điểm bất kỳ của phần tử dưới dạng biểu thức phụ thuộc tọa độ x, y như sau : u = α1 + α2 x + α3 y v = α4 + α5 x + α6 y (2.2) Hoặc : [U ] = [A ] [α ] (2.3) Ở đây : [U ] = [ u, v ]T [ 1 0 x 0 y 0 ] [A] = [ 0 1 0 x 0 y ] [α] = [ α1, α2, α3, …. αn ] Trong đó αI là các hằng số bất kì Có thể biểu thị [α] qua [q]. Muốn thế bằng cách sử dụng (2. 2) ta viết giá trị của các thành phần chuyển vị tại các điểm nút : u1 = α1 + α3x1 + α5y1 v1 = α2 + α4x1 + α6y1 u2 = α1 + α3x2 + α5y2 (2.4) v2 = α2 + α4x2 + α6y2 u3 = α1 + α3x3 + α5y3 v3 = α2 + α4x3 + α6y3 __________________________________ 12 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
Hoặc viết dưới dạng ma trận : [q] = [B] [α ] Trong đó : 1 0 x1 0 y1 0 0 1 0 x1 0 y1 B = 1 0 x2 0 y2 0 0 1 0 x2 0 y2 1 0 x3 0 y3 0 0 1 0 x3 0 y3 Từ đó suy ra: α  =  B  -1  q  (2.5) Thay (2. 4) vào biểu thức (2. 2) ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa [u] và [q] :  U  =  A   B  -1  q  Đặt:  C  =  A   B  -1 ta có : U  = C  q  (2.6) Nếu biểu diễn (2. 6) dưới dạng vô hướng ta có : 1 U= {[y23 (x–x3)– x23.(y – y3)].U1+ [y31.(x – x1) - x31.(y-y1).U2 + [ -y21 (x-x2) + 2∆ x21 (y-y2)].U3} 1 V= {[y23.(x- x3)– x23(y – y3)]V1+ [y31.(x– x1) – x31.(y–y1)]V2 + [-y21.(x–x2)+x21.(y- 2∆ y2)]V3} (2.7) Trong đó : ∆ = x23y31 – x31y23 là diện tích tam giác và xi j = xi - xj yi j = yi - yj Để xác định các tenxơ biến dạng ta có thể sử dụng các biểu thức của chuyển vị (2. 7) vừa tìm được : ∂u 1 εx = = (y23U1 + y31U2 – y21U3) ∂x 2∆ ∂v 1 εy = ∂y = 2∆ (- x23V1 – x31v2 + x21V3) ∂u ∂v 1 γ xy = ∂y + ∂x = 2∆ (- x23U1 – x31U2 + x21U3 + y23V1 + y31V2 – y21V3) (2.8) Hay viết dưới dạng ma trận : ε  =  D   q  (2.9) Trong đó : ε  =  ε x ε y γ xy  T y23 0 y31 0 y21 0 __________________________________ 13 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
1 [D] = 0 y23 0 y31 0 y21 2∆ –x23 y23 – x31 y31 –x21 y21 Để xác định ứng suất ta có thể viết định luật Huk trong dạng ma trận như sau: σ = Eε   ε (2.10) Trong đó : σ = σx σ y σ xy C1 µ 2C1 0 [Eε ] = µ 1C2 C2 0 o 0 G E1 E2 C1 = ; C2 = 1 − µ1 µ 2 1 − µ1 µ 2 Ở đây : E1 ,E2 – Là Moduyn biến dạng đàn hồi µ 1, µ 2 – Là hệ số poatxon G – Là moduyn biến dạng trượt Thay biểu thức (2.9) vào vế phải của (2.10) để khử [ε ] ta sẽ được biểu thức xác định các ứng suất trong phần tử theo những giá trị đã biết của chuyển vị nút:  σ =  E  q (2. 11) Trong đó :  E  =  Eε   D  Trong phương pháp PTHH ma trận  E được gọi là ma trận ứng suất.Matrận  E được viết như sau : u1 v1 u2 v2 u3 v3 [E] = C1 y23 –µ 2x23 y31 –µ 2x31 –y21 µ 2x21 2∆ µ 2y23 –ηx23 – x31 ηx31 – µ 2y21 ηx21 a1x23 a1y23 –a1x31 a1y31 a1x21 –a1y21 (2.12) G µ1 Ở đây : a1 = (1 − µ 1 µ 2 ) ; η= E1 µ2 Để thiết lập ma trận độ cứng của phần tử hình tam giác phẳng, ta sử dụng công thức : T K =∫ D E dv (2.13) V Trong trường hợp phần tử hình tam giác, các phần tử của ma trận [D] và [E] không chứa các tọa độ biến đổi x,y. Vì vậy biểu thức (2.13) có thể được đơn giản như sau: __________________________________ 14 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
T K = h∆ D E (2.14) Trong đó : h là bề dày của phần tử hữu hạn . Töø (2.14) ta có thể trực tiếp suy ra biểu thức cuối cùng của ma trận độ cứng đối với phần tử hình tam giác phẳng trong dạng khai triển : R1x a11 0 0 0 0 0 U1 R1y a21 a22 0 0 0 0 V1 R2x = Co a31 a32 a33 0 0 0 U2 R2y a41 a42 a43 a44 0 0 V2 R3x a51 a52 a53 a54 a55 0 U3 R3y a61 a62 a63 a64 a65 a66 V3 (2.15) Trong đó : E1 − h Co = 4∆(1 − µ µ ) 1µ 2 a11 = y223 + a1x223 a21 = (a1 + µ 1)x32 y23 a22 = ηx 23 + a1y 23 2 2 a31 = y13y31 + a1x32y31 a32 = a1x13y23 + µ 2x32y31 a33 = y231 + a1x231 a41 = a1x32y31 + µ 2x13y23 a42 = ηx23x31 + a1y23y31 a43 = (a1 + µ 2)x13 y31 a21 = y232 + a1x232 a51 = a1x12x23 + y12y23; a52 = a1x21y23 + µ 2x32y12 a53 = a1x12x31 + y12y31 a54 = a1x21y31 + µ 2x13y12 a55 = y 12 2 + a1x 122 a61 = ηx23x31 + µ 2x21y23 a62 = ηx12x23 + a1y12y13 a63 = a1x32y12 µ 2x21y31 a64 = ηx12x13 + a1y12y31 a65 = (a1 + µ 1)x21 y12 a66 = ηx 12 + a1y 12 2 2 Trong trường hợp vật liệu đồng nhất và đẳng hướng thì E1 = E2 = E và µ 1 = µ 2 = µ; và ta có: η = 1 a1 = Khi đó trong phạm vi của phần tử hình tam giác phẳng các thành phần ứng suất là hằng số. Sau khi xác định được ma trận độ cứng của phần tử hình tam giác chúng ta sẽ tiến hành lập ma trận độ cứng của toàn hệ theo nguyên tắc cộng các số hạng của các ma trận tam giác tương ứng cùng tên điểm nút. Phương trình cuối cùng sẽ có dạng : [A][q]= [R] (2.16) __________________________________ 15 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
Trong đó : [ A,] [ q], [ R ] – Lần lượt là các ma trận độ cứng, chuyển vị và ma trận ngọai lực của toàn bộ hệ (công trình). Từ đó ta có thể xác định dược toàn bộ các thành phần chuyển vị của hệ theo phương trình ma trận sau : [ q ] = [ A ]-1 [ R ] (2.17) Nói chung ma trận A có thể là một ma trận suy biến ( không có ma trận nghịch đảo. Tuy nhiên sau khi đưa các điều kiện biên vào thì [A] sẽ là một ma trận không suy biến và (2. 17) là một hệ phương trình có các nghiệm thực xác định. Khi sử dụng phương pháp PTHH hình tam giác phẳng để giải bài toán phẳng về trạng thái ứng suất – biến dạng của đập đất–đá theo lý thuyết đàn hồi, cần lưu ý rằng mức độ chính xác của kết quả tính toán phụ thuộc vào giả thiết ban đầu về quy luật biến đổi của các thành phần chuyển vị theo các tọa độ x, y. U = α1 + α2x + α3y Trong biểu thức trên ta đã giả thiết là mối liên hệ giữa chuyển vị U và tọa độ x, y có quan hệ bậc nhất. Nếu sử dụng giả thiết quy luật biến đổi giữa chuyển vị và toạ độ x, y tại một điểm bất kỳ, không phải là bậc nhất, mà theo một quy luật cao hơn, chẳng hạn quy luật đa thức bậc 2 dạng : U = α1 + α2x + α3y + α4xy + α5x2 + α6y2 thì ta sẽ có được kết qủa chính xác hơn. Đương nhiên nếu giả thiết như vậy thì số lượng toạ độ khái quát cần phải xác định sẽ nhiều lên, khối lượng tính toán sẽ lớn. Muốn tìm các toạ độ khái quát ấy thì ta phải hoặc cho biết thêm thông tin về các giá trị đạo hàm của các thành phần chuyển vị tại các điểm nút của phần tử hình tam giác phẳng, hoặc cho biết thêm giá trị của các thành phần chuyển vị tại một số nút bổ sung. 2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA PP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHI TUYẾN VỀ ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG 2.3. 1. Các phương trình cơ bản. Trong thực tế tính toán kết cấu đôi khi ta có thể gặp loại bài toán phi tuyến sau đây: Những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý và những bài toán phi tuyến về phương diện hình học. Ta gặp những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý khi vật liệu có tính đàn dẻo hoặc khi vật liệu có tính chất cơ học thay đổi theo thời gian, lúc này quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là quan hệ phi tuyến : {σ} = f (ε ) Ta còn gặp những bài toán phi tuyến về phương diện hình học khi kết cấu có chuyển vị lớn làm thay đổi một cách đáng kể hình dạng hình học ban đầu của hệ, __________________________________ 16 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
cho nên khi thiết lập các phương trình cân bằng tĩnh học của hệ trong trạng thái hệ bị biến dạng ta sẽ được các phương trình có dạng phi tuyến. Những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý cũng như hình học đều đưa về giải các phương trình chứa những số hạng phi tuyến đối với ẩn số của bài toán. Nói chung không thể giải một cách chính xác dưới dạng đóng những phương trình phi tuyến như đối với những phương trình tuyến tính, mà phải dùng các thuật toán đúng dần. Nhờ các phương pháp đúng dần ta có thể mở rộng áp dụng những thuật toán đã trình bày ở các chương trên để giải những bài toán phi tuyến thường gặp. Về mặt lý luận, hiện nay người ta mới chỉ khảo sát được sự hội tụ của các quá trình tính toán đúng dần khi giải bài toán phi tuyến trong một số trường hợp riêng biệt, nhưng trong thực tế tính toán, người ta nhận thấy quá trình tính toán đúng dần thường hội tụ đến kết quả chính xác mong muốn. Dưới đây sẽ trình bày cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải những bài toán phi tuyến thường gặp. Trong những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý, quan hệ giữa vectơ ứng suất [σ] và vectơ biến dạng [ε ] có thể viết dưới dạng: [σ] = [E*(ε )].[ε ] Trong đó ma trận [E*(ε )] là hàm của trạng thái biến dạng [ε ].. Nếu chú ý rằng trạng thái biến dạng [ε ] lại là hàm phụ thuộc vào các chuyển vị nút [q], thì ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng dưới dạng mối quan hệ giữa trạng thái ứng suất [σ] và chuyển vị nút [q] như sau: {σ} = [E*(q)]{q} (2.18) Mỗi phần tử của ma trận [E*(q)] nói chung đều có thể biểu diễn dưới dạng một đa thức lũy thừa của các thành phần của vectơ [q]. Trong những bài toán phi tuyến về phương diện hình học, quan hệ giữa vectơ biến dạng [ε ] và vectơ chuyển vị nút [q] là quan hệ phi tuyến: {ε } = [D*(q)]{q} (2.19) Trong đó các thành phần của ma trận [D*(q)] đều là hàm lũy thừa của các thành phần của vectơ [q] tương ứng. Như ta đã biết, việc xác định ma trận độ cứng của mỗi phần tử và cho cả hệ là nội dung cơ bản của việc tính toán kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, cho nên ở đây ta hãy trình bày cách tìm ma trận độ cứng của hệ trong các bài toán phi tuyến. Cũng theo đường lối tổng quát xác định ma trận độ cứng của mỗi phần tử, ở đây ta cũng áp dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ. Theo nguyên lý chuyển vị khả dĩ, khi phần tử cân bằng dưới tác dụng của các lực đặt tại nút [R] và có chuyển vị __________________________________ 17 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
tương ứng đặt tại nút là {q}, nếu ta cho phần tử chịu một chuyển vị khả dĩ bất kỳ [δ q] (biến dạng tương ứng bên trong phần tử là [δε ] ) thì ta có hệ thức: { δq} T {R} = ∫ {δ ε}T {σ}dV V Cần chú ý rằng trước đây trong các bài toán tuyến tính quan hệ {ε } = [D]{q} có dạng bậc nhất, còn ở đây, quan hệ giữa vec tơ biến dạng khả dĩ [ δε ] và vec tơ chuyển vị nút khả dĩ [δ q] là quan hệ phi tuyến có thể viết dưới dạng như sau: {δε } = [D*(q)]{ δ q} Trong đó ma trận [D*(q)] có các phần tử xác định theo công thức sau: r ∂d d ij = d ij + ∑ is q s * s =1 ∂q j Với dij là các phần tử tương ứng của ma trận [D] trong bài toán tuyến tính. Bằng cách lý luận tương tự như khi thiết lập công thức tính ma trận độ cứng của phần tử trong trường hợp bài toán tuyến tính, ta cũng đi đến công thức xác định ma trận độ cứng [K*] của một phần tử hữu hạn bất kỳ trong trường hợp bài toán phi tuyến như sau: [K*] = ∫ [D * (q)][E] dV (2.20) V Như vậy, trong các bài toán phi tuyến về phương diện vật lý cũng như về phương diện hình học, mối quan hệ giữa các ứng lực nút {R}i và các chuyển vị nút {q}i của một phần tử hữu hạn thứ i nào đó có dạng: {R}i = [K*]i {q}i (2. 21) Trong đó ma trận độ cứng [K*] là hàm phụ thuộc các chuyển vị nút. Sau khi tìm được ma trận độ cứng [K*]I cho từng phần tử của hệ, ta có thể xác định được ma trận độ cứng [K *] cho toàn kết cấu theo công thức quen biết : [K *] = [H ]T [K * ][H] g Lúc này hệ phương trình cân bằng dùng để xác định các ẩn số chuyển vị nút của kết cấu có dạng: [K *]{q} = {P} (2. 22) Phương trình (2. 22) được gọi là phương trình ma trận độ cứng của hệ. Trong phương trình (2. 22) các phần tử của ma trận [K*] không những phụ thuộc vào các thông số hình học của kết cấu, mà còn phụ thuộc vào trạng thái ứng suất – biến dạng của hệ. Cho nên việc giải phương trình hết sức phức tạp. Nói chung ta không thể giải một cách chính xác dưới dạng đóng mà phải dùng các thuật toán đúng dần. Dưới đây ta hãy xét những phương pháp đúng dần thường dùng hơn cả. __________________________________ 18 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
2.3. 2. Đường lối chung để giải dúng dần phuong trình ma trận độ cứng của hệ Nội dung phương pháp như sau: chia quá trình tính thành nhiều giai đoạn. Trong mỗi giai đoạn ta đều xác định ma trận độ cứng [K *] cho toàn hệ theo những giá trị của các chuyển vị nút tính được từ giai đoạn trước. Nếu gọi {q(s)} là vectơ chuyển vị nút ở giai đoạn thứ s, {q(s-1)} là vectơ chuyển vị nút ở giai đoạn thứ s – 1, thì trong giai đoạn tính thứ s phương trình (2. 22) có dạng: [K * (q (s −1) )]{q (s ) } = {P} (2. 23) Ở đây ma trận độ cứng [K * (q (s−1) )] là hàm phụ thuộc vào các chuyển vị nút tính được trong giai đoạn tính s-1. Trong giai đoạn tính thứ nhất (s = 1) ta giả thiết các chuyển vị nút bằng không, nghĩa là {q(1)} = {0}. Tương ứng với giả thiết này, tất cả các số hạng kể đến ảnh hưởng phi tuyến về phương diện hình học và về phương diện vật lý đều bằng không cho nên trong giai đoạn tính đầu tiên [K*] = [K]. Tiếp tục thực hiện các quá trình giải đúng dần phương trình (2. 22) bằng cách tính nhiều giai đoạn liên tiếp, trong mỗi giai đoạn các giá trị của ma trận độ cứng [K *] lại được chính xác hóa thêm. Cứ thế ta tính cho đến khi nào hiệu giữa các kết quả của hai giai đoạn tính kề nhau nhỏ hơn một trị số cho trước nào đó tùy ý ( thông thường đó là độ chính xác cho trước do chúng ta tự định ra ). Phương pháp vừa trình bày có ưu điểm đơn giản nhưng lại có nhược điểm là quá trình tính toán hội tụ đến kết quả chính xác mong muốn là rất chậm, thậm chí có khi lại phân kỳ. 2.3. 3. Phương pháp nghiệm đàn hồi Phuong pháp này dựa trên cơ sở là viết ma trận độ cứng [K*] trong trường hợp bài toán phi tuyến dưới dạng tổng của hai ma trận thành phần: [K *] = [K ] + [K ]pt (2. 24) Trong đó: [K ] là thành phần biểu thị ma trận độ cứng trong trường hợp bài toán tuyến tính ta đã biết các xác định. [K ]pt là thành phần ma trận biểu thị ảnh hưởng phi tuyến của bài toán. Lúc này ta có thể viết phương trình (2. 22) dưới dạng: [K ] + [K ]pt {q} = {p} Hoặc: [K ]{q} = [P] − [K ]pt {q} (2. 25) __________________________________ 19 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
Phương trình này là phương trình phi tuyến, vế phải của nó là một đại lượng phụ thuộc phi tuyến vào vectơ chuyển vị {q} . Quá trình giải phương trình này tức là xác định vectơ chuyển vị {q} sao cho thỏa mãn phương trình có thể thực hiện một cách đúng dần qua nhiều giai đoạn tính gần đúng. Trong giai đoạn tính gần (1) đúng thứ nhất ta sẽ xác định được giá trị gần đúng {q } của vectơ chuyển vị, (2) trong giai đoạn tính thứ hai, ta sẽ xác định được giá trị gần đúng {q } của vectơ ( 3) chuyển vị, trong giai đoạn tính ba, ta sẽ xác định được giá trị dần đúng {q } của vectơ chuyển vị,…Viết phương trình (2. 25) cho một giai đoạn tính toán bất kỳ, chẳng hạn giai đoạn tính thứ s, ta được: (s ) ( s −1) [K ]{q } = {p } (2. 26) Trong đó: ( s −1) ( s −1) ( s −1) {p } = {P} − [ K (q ) pt {q } (2. 27) Như vậy, trong giai đoạn tính gần đúng thứ s, phương trình (2.26) có dạng ( s −1) một hệ phương trình đại số tuyến tính dễ giải, vế phải {p } của nó là một hằng số. Giá trị của vế phải này chỉ là một giá trị gần đúng, nhưng nó sẽ được chính xác hóa dần sau mỗi giai đoạn tính toán. Khi tính giai đoạn đầu tiên (s = 1) ta giả sử gần đúng : ( s −1) {q } = {q ( 0) } = {0} , ( 0) thay vào hệ thức (2. 27) ta sẽ có {P } = {P} . Đem giá trị này thay vào phương (1) trình (2.26) và giải ta sẽ tìm được {q } . Chuyển sang giai đoạn thứ 2 (s = 2) ta (1) thay giá trị {q } và hệ thức (2. 27) sẽ tính được : (1) (1) (1) . {p } = {P} − [K (q ) pt {q } Đưa giá trị này vào giải hệ phương trình(2. 26) ta sẽ tìm được giá trị gần đúng (2) {q } của vectơ chuyển vị,… Cứ thế thục hiện các giai đoạn tính tiếp tục cho đến khi nào kết quả tính toán trong hai giai đoạn liên tiếp sai khác nhau không đáng kể, nghĩa là quá trình tính toán đã hội tụ đến kết quả chính xác mong muốn {q} . Nói chung phương pháp nghiệm đàn hồi giảm bớt được khối lượng tính toán so với phương pháp đã trình bày ở mục 2.3.2. 2.3. 4. Phưong pháp chất tải từng bước Theo phương pháp này, ta viết phương trình (2. 22) dưới dạng: __________________________________ 20 Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng