Dẫn nhiệt ổn định_chương 9

Chia sẻ: Nguyễn Thị Giỏi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

251
lượt xem 96
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dựa vào thuyết động học phân tử, Fouier đã chứng minh định luật cơ bản của dẫn nhiệt như sau: + Vector dòng nhiệt tỷ lệ thuận với vector gradient nhiệt độ. Biểu thức của định luật có dạng vector là:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dẫn nhiệt ổn định_chương 9

.Ch−¬ng 9. dÉn nhiÖt æn ®Þnh 9.1. ®Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt 9.1.1 §Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt Dùa vµo thuyÕt ®éng häc ph©n tö, Fourier ®· chøng minh ®Þnh luËt c¬ b¶n cña dÉn nhiÖt nh− sau: Vec t¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi vect¬ gradient nhiÖt ®é. BiÓu thøc cña ®Þnh luËt cã d¹ng vect¬ lµ: q = −λgr adt , d¹ng v« h−íng lµ: dt q = −λgradt = −λ . tn Theo ®Þnh luËt nµy, nhiÖt l−¬ng Q ®−îc dÉn qua diÖn tÝch F cña mÆt ®¼ng nhiÖt trong 1 gi©y ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: ∂t Q = −∫ λ .dF F ∂n Khi gradt kh«ng ®æi trªn bÒ mÆt F, c«ng thøc cã d¹ng: ∂t Q = −λ .dF ∂n §Þnh luËt Fourier lµ ®Þnh luËtc¬ b¶n ®Ó tÝnh l−îng nhiÖt trao ®æi b»ng ph−¬ng thøc dÉn nhiÖt. 9.1.2 HÖ sè dÉn nhiÖt λ q HÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier λ = , W/mK ®−îc gäi lµ hÖ sè dÉn nhiÖt. gradt HÖ sè dÉn nhiÖt λ ®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng dÉn nhiÖt cña vËt. Gi¸ trÞ cña λ phô thuéc vµo b¶n chÊt vµ kÕt cÊu cña vËt liÖu, vµo ®é Èm vµ nhiÖt ®é, ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm víi tõng vËt liÖu vµ cho s½n theo quan hÖ víi nhiÖt ®é t¹i b¶ng c¸c th«ng sè vËt lý cña vËt liÖu. 9.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt 9.2.1. Néi dung cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét ph©n tè bÊt kú n»m hoµn toµn bªn trong vËt dÉn nhiÖt. 9.2.2. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh XÐt c©n b»ng nhiÖt cho ph©n tè dV bªn trong vËt dÉn, cã khèi l−îng riªng ρ, nhiÖt dung riªng Cv, hÖ sè dÉn nhiÖt λ, dßng nhiÖt ph©n tè lµ q , c«ng suÊt ph¸t nhiÖt qv. 95
Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng, ta cã: [§é biÕn thiªn néi n¨ng cña dV] = [HiÖu sè nhiÖt l−îng (vµo-ra) dV] + [l−îng nhiÖt sinh ra trong dV], tøc lµ: ∂t ρ.dV.C v = −divq.dV.dτ + q v .dV.dτ , ∂τ hay: ∂t 1 q = divq + v ∂τ ρ.C v ρ.C v Theo ®Þnh luËt fourier q = −λgr adt, khi λ = const ta cã: divq = div(−λgr adt ) = −λdiv(gr adt ) Trong ®ã: ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟=∇ t, 2 Div(gr a dt) = ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜ ∂y ⎟ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ⎠ Víi: ⎧ ∂2t ∂2t ∂2t ⎪ 2 + 2 + 2 , (trong to¹ dé vu«ng gãc víi x, y, z) ⎪ ∂x ∂y ∂z ∇ t=⎨ 2 2 ⎪ ∂ t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t + . + + , (trong to¹ dé trô r, ϕ, z) ⎪ ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2 ⎩ Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh kÕt hîp hai ®Þnh luËt nãi trªn, cã d¹ng: ∂t λ q ⎛ q ⎞ = ∇ 2 t + v = a⎜ ∇ 2 t + v ⎟ ∂τ ρ.C v ρ.C v ⎝ λ ⎠ λ víi a = , m2/s., ®−îc gäi lµ hÖ sè khuyÕch t¸n nhiÖt, ®Æc tr−ng cho møc ®é ρ.C v tiªu t¸n nhiÖt trong vËt. 9.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt víi qv = 0 ∂t Khi vËt æn ®Þnh nhiÖt, = 0 , ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ∇ 2 t = 0 . Trong v¸ch ∂τ ph¼ng réng v« h¹n vµ æn ®Þnh nhiÖt cã λ = const, tr−êng nhiÖt ®é t(x) ®−îc x¸c d2t ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh = 0 . Trong ®iÒu kiÖn λ = const vµ æn ®Þnh nhiÖt, dx 2 tr−êng nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô trßn dµI v« h¹n ®−îc x¸c ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt trong to¹ ®é trô: d 2 t 1 dt + = 0. dx 2 r dr 9.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ 96
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt nãi chung lµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp 2, chøa Èn lµ hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ). NghiÖm tæng quat cña nã chøa nhiÒu h»ng sè tuú ý chän. ®Ó x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt, cÇn ph¶i cho tr−íc mét sè ®iÒu kiÖn, gäi lµ c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ. 9.3.1. Ph©n lo¹i c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ Tuú theo néi dung, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ bao gåm 4 lo¹i sau: - §iÒu kiÖn h×nh häc cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh kÝch th−íc, h×nh d¹ng, vÞ trÝ cña hÖ vËt V. - §iÒu kiÖn vËt lý cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M ∈ V, tøc cho biÕt (ρ, Cv, λ, a . . . ) = f(t, M ∈ V). - §iÒu kiÖn ban ®Çu cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i thêi ®iÓm τ = 0 t¹i mäi ®iÓm M∈ V, tøc cho biÕt t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z). - §iÒu kiÖn biªn cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c©n b»ng nhiÖt t¹i mäi ®iÓm M trªn biªn W cña hÖ V t¹i mäi thêi ®iÓm τ. NÕu ký hiÖu dßng nhiÖt qλ dÉn ∂t trong vËt V ®Õn M ∈ W lµ q λ = −λ = −λ.t n , th× ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ cho ë ∂n d¹ng: t w = t (M, τ) hoÆc ⎫ ⎬∀M ∈¦ W, ∀τ ∈ (0, ∞) . q λ = −λt n (M, τ) = q (M, τ)⎭ §iÒu kiÖn h×nh häc, vËt lý vµ ®iÒu kiÖn biªn cÇn ph¶i cho tr−íc trong mäi bµi to¸n. Riªng ®iÒu kiÖn ban ®Çu chØ cÇn cho trong bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh. 9.3.2. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn T¹i mçi mÆt biªn Wi ∈ W = ∑Wi cña vËt V, tuú theo c¸ch ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt víi m«i tr−êng kh¸c nhau, ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ ®−îc cho theo c¸c lo¹i sau ®©y: - §KB lo¹i 1: cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M1 ∈ W1 ë d¹ng: tw1 = t(M1, τ). - §KB lo¹i 2: cho biÕt dßng nhiÖt qua ®iÓm M2 ∈ W2 lµ: q(M2, τ) = -λ.tn.(M2, τ). §Æc biÖt khi W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ mÆt ®èi xøng cña bµi to¸n, th× tn(M2, τ) = 0 vµ hµm t sÏ ®¹t cùc trÞ t¹i M2 ∈ W2. - §KB lo¹i 3: cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã nhiÖt ®é tf víi hÖ sè to¶ nhiÖt α vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W3 ∈ W3 cã d¹ng: qλ = qα hay -λ.tn.(M3, τ) = α[t(M3, τ) – tf ]. - §KB lo¹i 4: cho biÕt biªn W4 tiÕp xóc víi m«i tr−êng r¾n cã ph©n bè nhiÖt ®é t4 vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W4 ∈ W4 lµ qλ = qλ4 hay -λ.tn.(M4, τ) = -λ4.tn.(M4, τ). 97
- §KB lo¹i 5: cho biÕt trªn biªn W5 cã sù trao ®æi chÊt do sù khuyÕch t¸n hay chuyÓn pha (ch¼ng h¹n do ho¸ láng, ho¸ r¾n hoÆc th¨ng hoa, kÕt tinh). Khi ®ã chÝnh biªn W5 sÏ di chuyÓn vµ khèi l−îng vËt V sÏ thay ®æi vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i ®iÓm M5 trªn biªn W5 di ®éng sÏ cã d¹ng: dx 5 qλ = qλ’ + qr hay -λtn(M5, τ) = -λ’t’n(M5, τ) + r ρ. . dτ trong ®ã: dx 5 lµ tèc ®é di chuyÓn cña ®iÓm M5 ∈ W5, dτ r lµ nhiÖt chuyÓn pha j/kg. - §KB lo¹i 6: cho biÕt biªn W6 tiÕp gi¸p víi m«i tr−êng ch©n kh«ng, ë ®ã chØ xÈy ra sù trao ®æi nhiÖt b»ng bøc x¹ vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W6 ∈ W6 cã d¹ng: qλ = qε hay -λtn(M6, τ) =εσ0T4(M6, τ). - §KB lo¹i 7: cho biÕt biªn W7 tiÕp xóc víi chÊt khÝ cã nhiÖt ®é Tk, ë ®ã cã sù trao ®æi nhiÖt b»ng c¶ ®èi l−u vµ bøc x¹. Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W7 ∈ W7 cã d¹ng: qλ = qλ + qr hay -λtn(M7, τ) = α[T(M7, τ) - Tk] + εσ0[T4(M7, τ) – T4k]. §KB lo¹i 7 cã thÓ qui vÒ lo¹i 3 nÕu viªt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng: qλ = α(Tw − Tk ) víi α = α + εσ 0 (Tw − Tk4 ) /(Tw − Tk ) , ®−îc gäi lµ hÖ 4 sè to¶ nhiÖ phøc hîp. §KB lo¹i 6 vµ lo¹i 7 lµ nh÷ng §KB kh«ng tuyÕn tÝnh. 9.3.3. M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt Bµi to¸n dÉn nhiÖt cã thÓ ®−îc m« t¶ b»ng mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t) gåm ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c ®IÒu kiÖn ®¬n trÞ nh− ®· nªu ë môc (9.3): ⎧ ∂t ⎪ = a∇ 2 t ( t )⎨ ∂τ ⎪C¸c ph−ong trinh m« t¶ c¸c dkdt ⎩ Gi¶i bµi to¸n dÉn nhiÖt lµ t×m hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) tho¶ m·n mäi ph−¬ng tr×nh cña hÖ (t) nãi trªn. 9.4. DÉn nhiÖt æn ®Þnh trong v¸ch ph¼ng 9.4.1. V¸ch 1 líp, biªn lo¹i 1 9.4.1.1. Bµi to¸n Cho 1 v¸ch ph¼ng réng v« h¹n, dµy δ, (0 ≤ x ≤ δ), lµm b»ng vËt liÖu ®ång chÊt cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ = const, nhiÖt ®é t¹i hai mÆt v¸ch ph©n bè ®Òu b»ng t1, t2 vµ kh«ng ®æi. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) bªn trong v¸ch. Bµi to¸n dÉn nhiÖt æn ®Þnh nµy ®−îc m« t¶ bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (t) cã d¹ng: 98
⎧ d2t ⎪ 2 =0 (1) ⎪ dx ( t ) ⎨ t ( 0) = t 1 (2) ⎪ t ( δ) = t (3) ⎪ 2 ⎩ 9.4.1.2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt (1) cã d¹ng t(x) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §KB (2) vµ (3): ⎧ t (0) = C 2 = t 1 ⎪ ( t )⎨ 1 ⎪ t ( δ) = C 1 δ + C 2 = t 2 → C 1 = ( t 2 − t 1 ) ⎩ δ 1 VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch lµ t(x) = t 1 − ( t 1 − t 2 ) x , cã d¹ng ®−êng δ th¼ng qua 2 ®iÓm (0. t1) vµ (δ, t2). 9.4.1.3. TÝnh dßng nhiÖt dÉn qua v¸ch Theo ®Þnh luËt Fourier ta cã: dt t 1 − t 2 ∆t q = −λ = = , (W/m2), dx ρ R λ δ víi R = , (m2K/W) gäi lµ nhiÖt trë cña v¸ch ph¼ng. λ 9.4.2. V¸ch n líp, biªn lo¹i 1 9.4.2.1. Bµi to¸n 99
Cho v¸ch ph¼ng n líp, mçi líp thø i dµy δ, cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ, 2 mÆt biªn cã nhiÖt ®é kh«ng ®æi, ph©n bè ®Òu vµ b»ng t0, tn cho tr−íc. TÝnh dßng nhiÖt q qua v¸ch vµ nhiÖt ®é c¸c mÆt tiÕp xóc ti, ∀i = 1 ÷ (n-1). 9.4.2.2. Lêi gi¶i Khi æn ®Þnh, dßnh nhiÖt q qua mäi líp lµ kh«ng ®æi: t 0 − t 1 t i − t i +1 t n −1 − t n q= = = δ1 δi δn λ1 λi λn §©y lµ hÖ n ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh cña Èn sè ti vµ q. b»ng c¸ch khö c¸c Èn sè ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1), sÏ t×m ®−îc: t0 − tn ∆t q= = , (W/m2). ∑λ n δi ∑ Ri i =1 i Thay q vµo lÇn l−ît mçi ph−¬ng tr×nh ta t×m ®−îc nhiÖt ®é c¸c mÆt tiÕp xóc: 1 ti = ti-1 - ( t i −1 − t i ) x , ∀ i = 1 ÷ n. δi Ph©n bè nhiÖt ®é trong mçi líp thø I lµ ®o¹n th¼ng cã d¹ng: 1 ti(x) = ti-1 - ( t i −1 − t i ) x , ∀ i = 1 ÷ n. δi 9.4.3. V¸ch mét líp, biªn lo¹i 3 9.4.3.1. Bµi to¸n Cho v¸ch ph¼ng réng v« h¹n, dµy δ, hÖ sè dÉn nhiÖt λ = const, mÆt x = 0 tiÕp xóc víi chÊt láng 1 cã nhiÖt ®é tf1 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α1, mÆt x = δ tiÕp xóc víi chÊt láng 2 cã nhiÖt ®é tf2 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α2, t×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) trong v¸ch. M« h×nh bµi to¸n cã d¹ng: 100
⎧ d2t ⎪ 2 =0 (1) ⎪ dx ⎪ ( t )⎨α 1 [t f 1 − t (0)] = −λ dt (0) (2) ⎪ dx ⎪α [t (δ) − t ] = −λ dt (δ) (3) ⎪ 2 ⎩ f2 dx 9.4.3.2. T×m ph©n bè t(x) NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(x) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo (2) vµ (3): ⎧ α 1 ( t f 1 − C 2 ) = − λC 1 ⎨ ⎩α 2 (C1δ + C 2 − t f 2 ) = −λC1 Gi¶i hÖ nµy ta ®−îc: ⎧ t f1 − t f 2 ⎪C1 = λ λ ⎪ +δ+ ⎨ α1 α2 ⎪ λ ⎪ C 2 = t f1 + C1 ⎩ α2 Do ®ã ph©n bè t(x) cã d¹ng: ⎛ t f1 − t f 2 λ ⎞ t (x ) = t f 1 − ⎜x + ⎜ ⎟ λ λ ⎝ α1 ⎟ ⎠ +δ+ α1 α2 §å thÞ t(x) lµ ®o¹n th¼ng ®i qua 2 ®iÓm ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞ R1⎜ − ⎜ α , t f 1 ⎟ vµ R 2 ⎜ δ + α , t f 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ®−îc gäi lµ c¸c ®iÓm ®Þnh h−íng cña §KB lo¹i 3. 9.4.3.3. TÝnh doang nhiÖt q Theo ®Þnh luËt Fourier ta cã: dt t f1 − t f 2 q = −λ = −λ C1 = , (W/m2), dx 1 δ 1 + + α1 λ α 2 Theo biÓu thøc t(x) cã thÓ tÝnh nhiÖt ®é t¹i 2 mÆt v¸ch theo: ⎧ t f1 − t f 2 ⎪ t w1 = t (0) = t f 1 − αδ α ⎪ 1+ 1 + 1 ⎪ λ α2 ⎨ ⎪ t w 2 = t (δ) = t f 1 − t f 1 − t f 2 ⎛ δ + λ ⎞ ⎜ ⎟ ⎪ λ λ ⎜⎝ α1 ⎟ ⎠ ⎪ +δ+ ⎩ α1 α2 101
9.5. DÉn nhiÖt trong v¸ch trô 9.5.1. Trô mét líp, biªn lo¹i 1 Bµi to¸n: Cho v¸ch trô 1 líp ®ång chÊt, b¸n kÝnh trong r1, ngoµi r2, λ = const, hai mÆt biªn cã nhiÖt ®é t1, t2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(r) trong trô vµ nhiÖt l−îng Q ql = , (W/m), truyÒn qua 1m dµi mÆt trô. Trong to¹ ®é trô, m« h×nh bµi to¸n trªn l cã d¹ng: ⎧ d 2 t 1 dt ⎪ 2 + =0 (1) ⎪ dr r dr ( t )⎨ t (r1 ) = t 1 (2) ⎪ t (r ) = t (3) ⎪ 2 2 ⎩ 9.5.1.2. T×m ph©n bè t(r) dt §æi biÕn u = th× ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt (1) cã d¹ng: dr du u du dr + = 0 hay =− . dr r u r LÊy tÝch ph©n lÇn 1 ta cã: ln C1 dt C dt Lnu = - ln r + ln C1 = hay = u = 1 → dt = C1 . ln r dr r r LÊy tÝch ph©n lÇn 2 ta cã nghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(r) = C1ln r + C2, C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc tÝnh theo §KB (2) vµ (3): ⎧ t − t2 C =− 1 t (r1 ) = t 1 = C1 ln r1 + C 2 ⎫ ⎪ 1 ⎪ r ⎬→⎨ ln 2 t (r2 ) = t 2 = C1 ln r2 + C 2 ⎭ ⎪ r1 ⎪C 2 = t 1 − C1 ln r1 ⎩ VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch trô cã d¹ng: t1 − t 2 r t (r ) = t 1 − ln r r1 ln 2 r1 §−êng cong t(r) cã d¹ng logarit ®i qua 2 ®iÓm (r1, t1) vµ (r2, t2). 9.5.1.3. TÝnh nhiÖt l−îng Dßng nhiÖt qua 1m2 mÆt trô b¸n kÝnh r bÊt kú lµ: dt C λ( t 1 − t 2 ) , w/m2, q = −λ = −λ 1 = dr r r r ln 2 r1 102
lu«n gi¶m khi r t¨ng. L−îng nhiÖt qua 1m dµi mÆt trô b¸n kÝnh r bÊt kú lµ: Q q.2πrl (t − t ) ∆t , (w/m), ql = = = −2πλC1 = 1 2 = l l 1 r Rl ln 2 2πλ r1 Víi R l = 1 ln r2 , (mK/W) lµ nhiÖt trë cña 1m trô. V× ql = const víi mäi 2πλ r1 mÆt trô, kh«ng phô thuéc vµo b¸n kÝnh r nªn ql ®−îc coi lµ 1 ®¹i l−îng ®Æc tr−ng cho dÉn nhiÖt qua v¸ch trô. 9.5.2. Trô n líp biªn lo¹i 1 9.5.2.1. Bµi to¸n Cho v¸ch trô n líp, b¸n kÝnh trong r0, r1, . . . ri, . . . rn, cã hÖ sè dÉn nhiÖt λi, cã nhiÖt ®é 2 mÆt biªn kh«ng ®æi t0, tn. T×m l−îng nhiÖt ql , qua 1m dµi mÆt trô, nhiÖt ®é ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) c¸c mÆt tiÕp xóc vµ ph©n bè nhiÖt ®é ti(r) trong mçi líp. 9.5.2.2. Lêi gi¶i V× ql = const víi mäi líp nªn cã hÖ ph−¬ng tr×nh: ( t i −1 − t i ) ql = n , ∀i = 1 ÷ n, 1 ri ∑ 2πλ ln r i =1 i i −1 B»ng c¸ch khö (n-1) Èn ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) se thu ®−îc: (t 0 − t n ) ql = n , , (W/m) 1 ri ∑ 2πλ ln r i =1 i i −1 n trong ®ã: R l = ∑ 1 ln ri , , (mK/W) lµ tæng nhiÖt trë cña 1m v¸ch trô n líp. i =1 2 πλ i ri −1 TÝnh ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) lÇn l−ît theo ql ta ®−îc: 1 r t l = t l −1 − ln i , ∀i = 1 ÷ (n − 1), 2πλ i ri −1 Ph©n bè nhiÖt ®é trong mçi líp thø i cã d¹ng: t i − t i −1 r t l (r ) = t l − ln , ∀i = 1 ÷ (n − 1), ri ri −1 ln ri −1 103
lµ ®−êng cong logarit ®I qua 2 ®iÓm (ri-1, ti-1) vµ (ri, ti). 9.5.3. V¸ch trô mét líp biªn lo¹i 3 9.5.3.1. Bµi to¸n T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô ®ång chÊt cã r1, r2, λ cho tr−íc, mÆt trong tiÕp xóc víi chÊt láng nãng cã tf1, α1, mÆt ngoµi tiÕp xóc víi chÊt láng l¹nh cã tf2, α2. Trong to¹ ®é trô, m« h×nh bµi to¸n cã d¹ng: ⎧ d 2 t 1 dt ⎪ + =0 (1) ⎪ dr r dr ( t )⎨ α 1 [t f 1 − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2) ⎪α [t (r ) − t ] = −λt (r ) (3) ⎪ 2 2 f2 r 2 ⎩ 9.5.3.2. T×m ph©n bè t(r) NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(r) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §KB (2) vµ (3): ⎧ C1 ⎪ α 1 ( t f 1 − C1 ln r1 − C 2 ) = −λ r ⎪ ⎨ 1 C1 ⎪α 2 (C1 ln r2 + C 2 − t f 2 ) = −λ ⎪ ⎩ r2 Gi¶i ra ta ®−îc: t f 2 − t f1 C1 = ; vµ C2 = tf2 + C1; λ λ r2 + + ln α 1 r1 α 2 r2 r1 VËy: t f1 − t f 2 ⎛ r λ ⎞ t (r ) = t f 1 − ⎜ ln + ⎜ r α r ⎟. ⎟ λ λ r ⎝ 1 1 1 ⎠ + + ln 2 α 1 r1 α 2 r2 r1 ⎛ λ ⎞ §å thÞ t(r) cã d¹ng loarit tiÕp tuyÕn t¹i r1 qua ®iÓm R 1 ⎜ r1 − , t f 1 ⎟ vµ tiÕp ⎜ ⎟ α ⎝ 1 ⎠ ⎛ λ ⎞ tuyÕn t¹i r1 qua ®iÓm R 2 ⎜ r2 + ⎜ ,tf2 ⎟ . ⎟ ⎝ α2 ⎠ 9.5.3.3. TÝnh nhiÖt l−îng q1 L−îng nhiÖt qua 1m dµi mÆt trô kh«ng ®æi vµ b»ng: 104
Q l λt r 2πrl (t f 1 − t f 2 ) ql = = = , (w/m), l l 1 1 1 r2 + + ln 2πr1 α 1 2πr2 α 2 2πλ r1 NhiÖt ®é c¸c mÆt biªn lµ: λ (t f 1 − t f 2 ) r1 α 1 t w1 = t (r1 ) = t f 1 − λ λ r + + ln 2 r1 α 1 r2 α 2 r1 r λ ( t f 1 − t f 2 )(ln 2 + ) r1 r1α 1 . t w2 = t (r2 ) = t f 1 − λ λ r + + ln 2 r1 α 1 r2 α 2 r1 9.6. DÉn nhiÖt qua c¸nh Khi muèn t¨ng c−êng truyÒn nhiÖt, ng−êi ta th−êng g¾n c¸c c¸nh trªn mÆt to¶ nhiÖt, ch¼ng h¹n trªn xilanh hoÆc stato cña c¸c ®éng c¬. Theo kÕt c©u, ng−êi ta cã thÓ g¾n c¸nh th¼ng, c¸nh trßn tiÕt diÖn kh«ng ®æi, h×nh thang hoÆc tam gi¸c. §Æc ®IÓm cña c¸nh lµ chiÒu dµy δ cña c¸nh rÊt bÐ so víi c¸c kÝch th−íc kh¸c, do ®ã nhiÖt ®é t¹i mçi tiÕt diÖn f ®−îc coi lµ ph©n bè ®Òu vµ chØ thay ®æi theo chiÒu cao x cña c¸nh. 9.6.1. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua c¸nh ph¼ng cã tiÕt diÖn kh«ng ®æi T×m ph©n bè nhiÖt ®é vµ l−îng nhiÖt truyÒn qua 1 c¸nh th¼ng cã diÖn tÝch f = δL vµ chu vi tiÕt diÖn u = 2(L + δ) kh«ng ®æi, khi nã tiÕp xóc chÊt láng nãng cã nhiÖt ®é tf1 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α1 vµ t¹i ®Ønh c¸nh lµ αl, biÕt chiÒu cao l vµ nhiÖt ®é t¹i gèc lµ t0. ⎧ d 2 t 1 dt ⎪ + =0 (1) ⎪ dr r dr ( t )⎨ α 1 [t f 1 − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2) ⎪α [t (r ) − t ] = −λt (r ) (3) ⎪ 2 2 f2 r 2 ⎩ 9.6.2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é T¹i ®é cao x xÐt ph©n tè dV = f.dx cña c¸nh. Ph©n tè nµy cã biªn lo¹i 3 t¹i mÆt udx nªn nã kh«ng ph¶i ph©n tè trong, kh«ng tu©n theo ph−¬ng tr×nh ∂t = a∇ 2 t , Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho dV lµ: ∂τ δQα = Qx - Qx+dx . 105
NÕu gäi θ(x) = t(x) – tf th× ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng: dθ d ⎛ dθ ⎞ d 2θ αθudx = −λ f + λ ⎜ θ + dx ⎟f = λf 2 dx , hay dx dx ⎝ dx ⎠ dx αu θ"− θ = θ"− − m 2 θ = 0 λf αu víi m = , (m-1). λf NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng: θ(x) = C1eml + C2e-ml. C¸c h»ng sè C1 vµ C2 t×m theo §KB lo¹i 1 t¹i x = 0 vµ lo¹i 3 t¹i x = l: θ(0) = t 0 − t f = θ 0 ⎫ ⎧ θ 0 = C1 + C 2 ⎪ ⎬ → ⎨mC e ml − mC e − ml = − α 1 (C e ml − C e − ml ) − λθ' (l) = α 2 θ(i) ⎭ ⎪ 1 ⎩ λ 2 1 2 Gi¶i ra ta ®−îc: α1 ch[m(l − x )] + sh[m(l − x )] θ( x ) = θ 0 mλ α ch (ml) + 1 sh (ml) mλ Trong tÝnh to¸n kü thuËt, cã thÓ coi α1 = 0 (do f