Đáp ứng điện của dầm Timoshenko bị nứt có lớp áp điện chịu tải trọng điều hòa di động

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Báo cáo "Đáp ứng điện của dầm Timoshenko bị nứt có lớp áp điện chịu tải trọng điều hòa di động" đặt vấn đề nghiên cứu đáp ứng điện của dầm Timoshenko bị nứt được gắn một lớp áp điện chịu tải trong điều hòa di động. Sử dụng mô hình dầm kép, phương trình chuyển động của dầm Timoshenko gắn với một lớp áp điện được thiết lập ở dạng giải tích trong miền tần số, trong đó chứa sự tương tác giữa dao động uốn và dao động dọc trục. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đáp ứng điện của dầm Timoshenko bị nứt có lớp áp điện chịu tải trọng điều hòa di động

54 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 ĐÁP ỨNG ĐIỆN CỦA DẦM TIMOSHENKO BỊ NỨT CÓ LỚP ÁP ĐIỆN CHỊU TẢI TRỌNG ĐIỀU HÒA DI ĐỘNG Phí Thị Hằng Trường Đại học Điện lực, Hoàng Quốc Việt, Cầu Giấy, Hà Nội Email: hangpt@epu.edu.vn Tóm tắt. Báo cáo này đặt vấn đề nghiên cứu đáp ứng điện của dầm Timoshenko bị nứt được gắn một lớp áp điện chịu tải trong điều hòa di động. Sử dụng mô hình dầm kép, phương trình chuyển động của dầm Timoshenko gắn với một lớp áp điện được thiết lập ở dạng giải tích trong miền tần số, trong đó chứa sự tương tác giữa dao động uốn và dao động dọc trục. Do đó, vết nứt được mô tả bằng hai lò xo tương đương có độ cứng được tính từ độ sâu vết nứt. Bằng phương pháp giải tích, đã nhận được biểu thức của điện tích sinh ra trong lớp áp điện dưới tác dụng của tải trọng điều hòa di động, gọi là đáp ứng điện của dầm. Sử dụng lời giải giải tích nhận được, đã nghiên cứu ảnh hưởng vận tốc và tần số tải trọng, vết nứt đến đáp ứng điện trong miền tần số. Kết quả phân tích số này minh chứng rằng đáp ứng điện trong miền tần số của dầm chgiuj tải trọng di động là một dấu hiệu quan trọng để chẩn doán vết nứt trong dầm Từ khóa: Vật liệu áp điện; Dầm Timoshenko; Vết nứt; Tải trọng di động ELECTRICAL RESPONSE OF CRACKED BEAM WITH PIEZOELECTRIC LAYER SUBJECTED TO MOVING HARMONIC FORCE Phi Thi Hang Electric Power University, Hoang Quoc Viet, Cau Giay, Hanoi, Vietnam ABSTRACT. The present report is devoted to study the electrical response of a cracked piezoelectric Timoshenko beam subjected to a moving harmonic force. Using the double beam model, governing equations for vibration of cracked Timoshenko beam with a piezoelectric layer have been derived in the frequency domain that couple both the longitudinal and bending vibration components. Analytical solution of the established equations is obtained for output charge produced in the piezoelectric layer that is acknowledged as electrical response of the beam to the moving load. Numerical analysis of the response carried out in dependence upon crack and load parameters demonstrates that crack-induced changes in the frequency response spectrum provide an efficient indicator for crack detection in beams by using moving load and distributed piezoelectric sensor. Keywords: Piezoelectric material; Timoshenko beams; Cracked beams, Moving load 1. Mở đầu Bài toán tải trọng di động được quan tân từ rất sớm do nhu cầu thiết kế và kiểm tra các cầu giao thông. Những bài toán cơ bản về tải trọng di động được nghiên cứu trong rất nhiều công trình, ví dụ như các công trình [1-5]. Phương pháp cơ bản đầu tiên được sử dụng là phương pháp chồng mốt và sau đó mở rộng ra xấp xỉ khác trong miền thời gian như phương pháp Galerkin, Ritz, FEM, … Sau đó, phương phần tử phổ đã được sử dụng để nghiên cứu bài toán dầm liên tục nhiều nhịp chịu tải trọng di động [6] và Nguyễn Tiến Khiêm và cộng sự [7] đã đề xuất cách tiệm cận phổ tổng quát để nghiên cứu bài toán tải trọng di động với vận tốc không đổi. Cách tiếp cận này cho phép biến bài toán tải trọng di động của dầm đàn hồi thành bài toán tải trọng phân bố theo hàm số mũ và hàm đáp ứng phổ được tìm bằng cách giải các phương trình vi phân thường [8]. Gần đây, do nhu cầu đánh giá trạng thái kỹ thuật (Structural Health Monitoring) của cầu giao thông ngày càng trở nên cấp bách, bài toán tải trọng di động của dầm bị nứt chịu tải trọng được nghiên
55 Phí Thị Hằng cứu nhiều, ví dụ các công trình [9-12]. Trong đó, cách tiếp cận phổ nêu trên được áp dụng một cách bài bản vfa đã chứng minh được tính hiệu quả trong việc giải cả bài toán phân tích cũng như bài toán chẩn đoán vết nứt trong công trình [13]. Đặc biệt, khi vật liệu thông minh được chế tạo và đưa vào sử dụng trong các ngành công nghệ cao, vấn đề dao động của kết cấu dầm có miếng/lớp áp điện chịu tải trọng di động được quan tâm nghiên cứu [14-16]. Vật liệu áp điện được sử dụng nhằm các mục tiêu sau: (1) điều khiển kết cấu, ví dụ như dập tắt dao động trong dầm; (2) khai thác nguồn năng lượng dư thừa của các phương tiện giao thông di động trên đường và (3) làm cảm biến để thu thập trạng thái làm việc của kết cấu phục vụ việc đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình. Báo cáo này thuộc hướng thứ ba, cụ thể là sử dụng một lớp áp điện như một cảm biến liên tục để thu thập tín hiệu về trạng thái làm việc của một dầm Timoshenko bị nứt phục vụ việc chẩn đoán vết nứt từ tín hiệu điện đo đạc được trong lớp áp điện. Phương pháp nghiên cứu là phương pháp tiếp cận phổ đã được áp dụng trong các công bố của tác giả [13, 17-18]. Mục tiêu là nghiên cứu độ nhạy cảm của đáp ứng điện đối với vết nứt trong sự phụ thuộc vào vận tốc và tần số của tải di động. 2. Dao động cưỡng bức của dầm có lớp áp điện P0 v Wb 𝑧𝑧̅ z Ub (hb+hp)/2 Wp x Up Xét một dầm đàn hồi phẳng có chiều dài L, diện tích tiết diện ngang 𝐴𝐴 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 × ℎ 𝑏𝑏 , mô đun đàn hồi Hình 1. Mô hình dầm đàn hồi có lớp áp điện và khối lượng riêng E, ρ có một lớp vật liệu áp điện phía dưới có chiều dầy h p và có cùng chiều rộng và chiều dài như của dầm (Hình 1). Ngoài ra dầm chịu một tải trọng ngang P(t) di động trên dầm với vận tốc không đổi v. Xét hệ tọa độ cho dầm và lớp áp điện như tring hình 1 và dựa trên lý thuyết dầm bậc nhất hay còn gọi là lý thuyết dầm Timoshenko, chúng ta có các mối liên hệ giữa trường chuyển vị, 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = 𝑢𝑢0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝑧𝑧𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) ; 𝑤𝑤(𝑥𝑥, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = 𝑤𝑤0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡); biến dạng và ứng xuất của dầm chủ như sau = Eε x ;τ xz κ Gγ xz ; 𝜀𝜀 𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝑢𝑢0 /𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧/𝜕𝜕𝜕𝜕; 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝑤𝑤0 /𝜕𝜕𝜕𝜕 − , trong đó 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡), 𝑤𝑤(𝑥𝑥, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) là chuyển vị dọc trục và chuyển vị ngang (độ võng) của dầm tại điểm bất σx = (1) kỳ trong dầm, 𝑢𝑢0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡), 𝑤𝑤0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) là chuyển vị của dầm trên trục giữa, θ là góc xoay của mặt cắt ngang; 𝜃𝜃 𝜀𝜀 𝑥𝑥 , 𝜎𝜎 𝑥𝑥 là biến dạng và ứng suất. Xét lớp áp điện như một kết cấu dầm thỏa mãn điều kiện của lý thuyết dầm Timoshenko, khi đó ta 𝑢𝑢 𝑝𝑝 (𝑥𝑥, 𝑧𝑧̅, 𝑡𝑡) = 𝑢𝑢 𝑝𝑝0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝑧𝑧̅ 𝑝𝑝 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡), 𝑤𝑤 𝑝𝑝 (𝑥𝑥, 𝑧𝑧̅, 𝑡𝑡) = 𝑤𝑤 𝑝𝑝0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡); có 𝜀𝜀 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑢𝑢′𝑝𝑝0 − 𝑧𝑧̅ ′ , 𝛾𝛾𝑝𝑝 = 𝑤𝑤 ′ − 𝑝𝑝 . 𝑝𝑝 𝑝𝑝0 𝜃𝜃 (2) 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝜎𝜎 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝐶𝐶11 𝜀𝜀 𝑝𝑝𝑝𝑝 − ℎ13 𝐷𝐷; ∈= −ℎ13 𝜀𝜀 𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝛽𝛽33 𝐷𝐷, Mối quan hệ giữa ứng suất biến dạng của dầm áp điện có dạng [14-16] 𝑝𝑝 𝑝𝑝 (3)
56 Đáp ứng điện của dầm Timoshenko có lớp áp điện chịu tải trọng di động trong đó 𝐶𝐶11 , ℎ13 , 𝛽𝛽33 lần lượt là mô đun đàn hồi, hằng số áp điện và điện môi; ∈ và 𝐷𝐷 lần lượt là 𝑝𝑝 𝑝𝑝 điện trường và mật độ thông lượng của lớp áp điện. Giả thiết lớp áp điện được gắn chặt (không bị trượt) so với dầm chủ khi đó điều kiện liên tục của 𝑢𝑢 �𝑥𝑥, − 𝑏𝑏 , 𝑡𝑡� = 𝑢𝑢 𝑝𝑝 �𝑥𝑥, , 𝑡𝑡� , 𝑤𝑤 ( 𝑥𝑥, −ℎ 𝑏𝑏 /2, 𝑡𝑡) = 𝑤𝑤 𝑝𝑝 �𝑥𝑥, ℎ 𝑝𝑝 /2, 𝑡𝑡�, ℎ ℎ 𝑝𝑝 chuyển vị có dạng 2 2 (4) 𝑢𝑢 𝑝𝑝0 = 𝑢𝑢0 + ℎ, ℎ = (ℎ 𝑏𝑏 + ℎ 𝑝𝑝 )/2, 𝑤𝑤 𝑝𝑝0 = 𝑤𝑤0 , từ đó ta có 𝜀𝜀 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑢𝑢0 − (𝑧𝑧̅ − ℎ)𝜃𝜃 ′ , 𝛾𝛾𝑝𝑝 = 𝑤𝑤0 − . ′ ′ (5) 𝜃𝜃 𝐿𝐿 𝐴𝐴11 𝑢𝑢0 + 2𝐴𝐴12 𝑢𝑢 0 + 𝐴𝐴∗ ′2 + 𝐴𝐴∗ ( 𝑤𝑤0 − )2 𝜃𝜃 ∗ ′2 ∗ ′ ′ ′ Π = Π 𝑏𝑏 + Π 𝑝𝑝 = (1/2) ∫ � � 𝑑𝑑𝑑𝑑, Sử dụng các mối liên hệ (2)-(5) ta tính được thế năng và động năng của dầm áp điện bằng 22 33 −2ℎ13 𝐴𝐴 𝑝𝑝 𝐷𝐷(𝑢𝑢0 + ℎ𝜃𝜃 ′ ) + 𝛽𝛽33 𝐴𝐴 𝑝𝑝 𝐷𝐷2 0 ′ 𝑝𝑝 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑝𝑝 + 𝑇𝑇𝑝𝑝 = (1/2) ∫ �𝐼𝐼11 𝑢𝑢̇0 + 2𝐼𝐼12 𝑢𝑢̇0 ̇ + 𝐼𝐼22 ̇ 2 + 𝐼𝐼11 𝑤𝑤0 �𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝜃𝜃 ̇2 (6) 𝐿𝐿 ∗ 2 ∗ ∗ ∗ 0 (7) 𝐴𝐴11 = 𝐸𝐸𝐴𝐴 𝑏𝑏 + 𝐶𝐶11 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ; 𝐴𝐴12 = 𝐶𝐶11 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ; 𝐴𝐴∗ = 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑏𝑏 + 𝐶𝐶11 (𝐼𝐼 𝑝𝑝 + 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ2 ); 𝜃𝜃 𝜃𝜃 ∗ 𝑝𝑝 ∗ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 trong đó đưa vào các ký hiệu 22 𝐴𝐴∗ = 𝜅𝜅𝐺𝐺𝐴𝐴 𝑏𝑏 + 𝐶𝐶55 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ; 𝐼𝐼11 = 𝜌𝜌𝐴𝐴 𝑏𝑏 +𝜌𝜌 𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ; 𝐼𝐼12 = 𝜌𝜌 𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ; 𝐼𝐼22 = 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑏𝑏 +𝜌𝜌 𝑝𝑝 𝐼𝐼 𝑝𝑝 +𝜌𝜌 𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ2 . 𝑝𝑝 ∗ ∗ ∗ 33 𝐴𝐴 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏ℎ 𝑏𝑏 ; 𝐼𝐼 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏ℎ3 /12; 𝐴𝐴 𝑝𝑝 = 𝑏𝑏ℎ 𝑝𝑝 ; 𝐼𝐼 𝑝𝑝 = 𝑏𝑏ℎ3 /12. 𝑝𝑝 (8) 𝑏𝑏 𝑊𝑊 = ∫ 𝑃𝑃( 𝑡𝑡) 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑣𝑣𝑣𝑣) 𝑤𝑤0 ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑, Công của lực ngoài, tức tải trọng di động, bằng 𝐿𝐿 0 trong đó 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 ) là hàm Đi-rắc có các tính chất (9) ∞: 𝑥𝑥 = 0 +∞ ( ) ( 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 ) = � ;∫ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝛿𝛿 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ). 0 ∶ 𝑥𝑥 ≠ 0 −∞ Thay các biểu thức (6) và (7) vào nguyên lý Hamilton: ∫𝑡𝑡 2 𝛿𝛿 ( 𝑇𝑇 − Π + W) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0, sau đó sử dụng quy (10) 𝑡𝑡 1 tắc biến phân và tích phân từng phần ta nhận được phương trình chuyển động của hệ dầm kép nêu trên ( 𝐼𝐼11 𝑢𝑢̈0 − 𝐴𝐴11 𝑢𝑢0 ) + �𝐼𝐼12 ̈ − 𝐴𝐴12 ′′ � + ℎ13 𝐴𝐴 𝑝𝑝 𝐷𝐷′ = 0; ở dạng ∗ ∗ ′′ ∗ ∗ ∗ ̈ ( 𝐼𝐼12 𝑢𝑢̈0 − ∗ 𝐴𝐴12 𝑢𝑢0 + �𝐼𝐼22 − 𝐴𝐴22 � − 𝐴𝐴33 𝑤𝑤0 − ) + ℎ13 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ𝐷𝐷′ = 0; ∗ ′′ ) ∗ ′′ ∗ ( ′ 𝐼𝐼11 𝑤𝑤0 ̈ − 𝐴𝐴∗ ( 𝑤𝑤0 − ′ ) = 𝑃𝑃( 𝑡𝑡) 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑣𝑣𝑣𝑣); ℎ13 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ( 𝑢𝑢0 + ℎ𝜃𝜃 ′ ) − 𝛽𝛽33 𝐴𝐴 𝑝𝑝 𝐷𝐷 = 0. 𝑝𝑝 𝜃𝜃 𝜃𝜃 ∗ ′′ ′ (11) 33 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝐷𝐷 = ℎ13 ( 𝑢𝑢0 + ℎ𝑤𝑤0 )/𝛽𝛽33 , 𝜃𝜃 ′ ′′ 𝑝𝑝 Từ phương trình cuối trong (11) ta tìm được (12) ( 𝐼𝐼11 𝑢𝑢̈0 − 𝐵𝐵11 𝑢𝑢0 ) + �𝐼𝐼12 ̈ − 𝐵𝐵12 ′′ � = 0; do đó thế biểu thức cuối vào các phương trình còn lại trong (11) ta được ∗ ∗ ′′ ∗ ∗ ( 𝐼𝐼12 𝑢𝑢̈0 − 𝐵𝐵12 𝑢𝑢0 ) + �𝐼𝐼22 ̈ − 𝐵𝐵22 ′′ � − 𝐴𝐴∗ ( 𝑤𝑤0 − ) = 0; ∗ ∗ ′′ ∗ ∗ 33 ′ 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝐼𝐼11 ∗ 𝑤𝑤0 − ̈ 𝐴𝐴∗ ( 𝑤𝑤0 ′′ − ′) = 𝑃𝑃( 𝑡𝑡) 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑣𝑣𝑣𝑣), (13) 33 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝐵𝐵11 = 𝐴𝐴11 − 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ13 /𝛽𝛽33 = 𝐸𝐸𝐴𝐴 𝑏𝑏 + 𝐸𝐸 𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑝𝑝 , 𝐵𝐵12 = 𝐴𝐴12 − 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎℎ13 /𝛽𝛽33 = 𝐸𝐸 𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ, 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝜃𝜃 ∗ ∗ 2 ∗ ∗ 2 trong đó 𝐵𝐵22 = 𝐴𝐴∗ − 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ2 ℎ13 𝛽𝛽33 = 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑏𝑏 + 𝐶𝐶11 𝐼𝐼 𝑝𝑝 + 𝐸𝐸 𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ2 ; 𝐸𝐸 𝑝𝑝 = 𝐶𝐶11 − ℎ13 /𝛽𝛽33 . ∗ 2 𝑝𝑝 𝑝𝑝 2 𝑝𝑝 𝑝𝑝 (14) 22 [ 𝐀𝐀]� 𝒁𝒁′′ ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)� + [ 𝚷𝚷]� 𝒁𝒁′ ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)� + [ 𝛀𝛀]{ 𝒁𝒁( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)} = −{ 𝑷𝑷( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)}, Thực hiện phép biến đổi Fourier phương trình (13) trở thành { 𝒁𝒁( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)} = ∫ {𝑢𝑢0 ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡), ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡), 𝑤𝑤0 ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡)}𝑒𝑒 −𝑖𝑖 𝜔𝜔 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝒁𝒁′ = 𝑑𝑑𝒁𝒁/𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝒁𝒁′′ = 𝑑𝑑 2 𝒁𝒁/𝑑𝑑𝑥𝑥 2 ; ∞ (15) −∞ � � 𝑷𝑷( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) = �0,0, 𝑃𝑃( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)� , 𝑃𝑃( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) = (1/𝑣𝑣)𝑃𝑃(𝑥𝑥/𝑣𝑣)exp {−𝑖𝑖 𝜔𝜔 𝑥𝑥/𝑣𝑣} 𝑇𝑇 𝜃𝜃 (16)
57 Phí Thị Hằng 𝐵𝐵11 ∗ 𝐵𝐵12 ∗ 0 0 0 0 𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 ∗ 𝜔𝜔2 𝐼𝐼12 ∗ 0 với các ma trận [ 𝐀𝐀] = � 𝐵𝐵12 ∗ 𝐵𝐵22 ∗ 0 � ; [ 𝚷𝚷] = �0 0 𝐴𝐴∗ � ; [ 𝛀𝛀] = � 𝜔𝜔2 𝐼𝐼12 33 𝜔𝜔 𝐼𝐼22 − 𝐴𝐴33 ∗ 2 ∗ ∗ 0 �. (17) 0 0 𝐴𝐴∗ 33 0 − 𝐴𝐴∗ 33 0 0 0 𝜔𝜔 𝐼𝐼11 2 ∗ Bây giờ ta xét dầm chủ chứa một vết nứt có độ sâu 𝑎𝑎 tại các vị trí 𝑒𝑒, trong đó vết nứt được độ sâu bằng các công thức 𝑇𝑇 = 𝐸𝐸𝐴𝐴 𝑏𝑏 /𝛾𝛾𝑎𝑎 ; 𝑅𝑅 = 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑏𝑏 /𝛾𝛾 𝑏𝑏 , trong đó 𝛾𝛾𝑎𝑎 , 𝛾𝛾 𝑏𝑏 gọi là độ lớn vết nứt trong mô hình hóa bởi hai lò xo dọc trục và xoắn (Hình 2) có độ cứng lần lượt là T và R , được tính từ 𝛾𝛾𝑎𝑎 = 2𝜋𝜋(1 − 𝜈𝜈0 )ℎ 𝑏𝑏 𝑓𝑓𝑎𝑎 (𝑎𝑎/ℎ 𝑏𝑏 ); 𝛾𝛾 𝑏𝑏 = 6𝜋𝜋(1 − 𝜈𝜈0 )ℎ 𝑏𝑏 𝑓𝑓𝑏𝑏 ( 𝑎𝑎/ℎ 𝑏𝑏 ); 2 2 dao động dọc trục và dao động uốn tính bằng [19-20]: 𝑓𝑓𝑎𝑎 (𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 (0.6272 − 0.17248𝑧𝑧 + 5.92134𝑧𝑧 − 10.7054𝑧𝑧 + 31.5685𝑧𝑧 4 − 67.47𝑧𝑧 5 + 2 2 3 + 139.123𝑧𝑧 6 − 146.682𝑧𝑧 7 + 92.3552𝑧𝑧 8 ); 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎/ℎ 𝑏𝑏 ; (19) 𝑓𝑓𝑏𝑏 (𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 (0.6272 − 1.04533𝑧𝑧 + 4.5948𝑧𝑧 2 − 9.9736𝑧𝑧 3 + 20.2948𝑧𝑧 4 − 33.0351𝑧𝑧 5 + 2 +47.1063𝑧𝑧 6 − 40.7556𝑧𝑧 7 + 19.6𝑧𝑧 8 ); 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎/ℎ 𝑏𝑏 . (20) a R h a) b) T Hình 2: Mô hình vết nứt trong dầm chủ 𝑈𝑈 ′𝑥𝑥 (𝑒𝑒 + 0) = 𝑈𝑈 ′𝑥𝑥 (𝑒𝑒 − 0) ; 𝛩𝛩𝑥𝑥 (𝑒𝑒 + 0) = 𝛩𝛩𝑥𝑥 (𝑒𝑒 − 0) ; 𝑊𝑊(𝑒𝑒 + 0) = 𝑊𝑊(𝑒𝑒 − 0); Khi đó, điều kiện tương thích tại vết nứt đối với các chuyển vị có dạng 𝑈𝑈(𝑒𝑒 + 0) = 𝑈𝑈(𝑒𝑒 − 0) + 𝑁𝑁(𝑒𝑒)/𝑇𝑇𝑗𝑗 ; ′ ′ 𝛩𝛩(𝑒𝑒 + 0) = 𝛩𝛩(𝑒𝑒 − 0) + 𝑀𝑀(𝑒𝑒)/𝑅𝑅; 𝑊𝑊𝑥𝑥′ (𝑒𝑒 + 0) = 𝑊𝑊𝑥𝑥′ (𝑒𝑒 − 0) + 𝑀𝑀(𝑒𝑒)/𝑅𝑅, 𝑁𝑁(𝑥𝑥) = 𝐸𝐸𝐴𝐴 𝑏𝑏 𝑈𝑈 ′𝑥𝑥 (𝑥𝑥); 𝑀𝑀(𝑥𝑥) = 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑏𝑏 𝛩𝛩𝑥𝑥 (𝑥𝑥) (21) với ′ 𝑈𝑈( 𝑒𝑒 + 0) = 𝑈𝑈( 𝑒𝑒 − 0) + 𝛾𝛾𝑎𝑎 𝑈𝑈 ′𝑥𝑥 ( 𝑒𝑒) ; 𝛩𝛩( 𝑒𝑒 + 0) = 𝛩𝛩( 𝑒𝑒 − 0) + 𝛾𝛾 𝑏𝑏 𝛩𝛩𝑥𝑥 ( 𝑒𝑒) ; (22) 𝛩𝛩𝑥𝑥 𝑒𝑒 + 0) = 𝛩𝛩𝑥𝑥 𝑒𝑒 − 0) ; 𝑊𝑊𝑥𝑥 𝑒𝑒 + 0) = 𝑊𝑊𝑥𝑥 𝑒𝑒 − 0) + 𝛾𝛾 𝑏𝑏 𝛩𝛩𝑥𝑥 𝑒𝑒 . ′( ′( ′( ′( ′( ) hay ′ (23) Như vậy, sau khi giải phương trình (15) thỏa mãn điều kiên (23) cùng với điều kiện biên cụ thể, ta có thể tính được điện tích đầu ra của lớp áp điện, gọi là đáp ứng điện của dầm trong miền tần số, bằng 𝑄𝑄(𝜔𝜔) = 𝑏𝑏 ∫ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = (𝑏𝑏ℎ13 /𝛽𝛽33 )[ 𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝜔𝜔) + ℎ𝑊𝑊 ′ (𝑥𝑥. 𝜔𝜔)]0 . 𝐿𝐿 𝑝𝑝 𝐿𝐿 công thức 0 (24) Bây giờ ta xét trường hợp dao động cưỡng bức với tải trọng 𝑃𝑃( 𝑡𝑡) = 𝑃𝑃0 exp {𝑖𝑖Ω 𝑚𝑚 𝑡𝑡}, khi đó vế 3. Đáp ứng phổ của dầm có lớp áp điện chịu tải trọng di động � phải phương trình (15) có thể tính được bằng 𝑃𝑃( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) = (𝑃𝑃0 /𝑣𝑣) exp{−𝑖𝑖Ω 𝑥𝑥 } ; Ω = (𝜔𝜔 − Ω 𝑚𝑚 )/𝑣𝑣 và do 𝒁𝒁 𝑞𝑞 ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) = �𝑈𝑈 0 ( 𝜔𝜔), 𝛩𝛩𝑞𝑞 ( 𝜔𝜔), 𝑊𝑊𝑞𝑞0 ( 𝜔𝜔)� exp{−𝑖𝑖Ω 𝑥𝑥 }, đó ta có thể tìm được một nghiệm riêng của phương trình (15) ở dạng 0 𝑇𝑇 𝑞𝑞 (25) 𝑈𝑈 0 ( 𝜔𝜔) = (𝑖𝑖Ω)𝑃𝑃0 𝐴𝐴∗ (Ω2 𝐵𝐵12 − 𝜔𝜔2 𝐼𝐼12 )/𝑣𝑣Δ; 𝛩𝛩𝑞𝑞 ( 𝜔𝜔) = (𝑖𝑖Ω)𝑃𝑃0 𝐴𝐴∗ (𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 − Ω2 𝐵𝐵11 )/𝑣𝑣Δ; trong đó ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 𝑞𝑞 33 33 𝑊𝑊𝑞𝑞0 ( 𝜔𝜔) = 𝑃𝑃0 𝐷𝐷/Δ; Δ = ( 𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 − Ω2 𝐴𝐴∗ ) 𝐷𝐷 + 𝑖𝑖Ω 𝐴𝐴∗2 (𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 − Ω2 𝐵𝐵11 ); ∗ 33 33 ∗ ∗ 𝐷𝐷 = 𝜔𝜔4 ( 𝐼𝐼11 𝐼𝐼22 ∗ ∗ − 𝐼𝐼12 ) ∗2 + Ω4 ( 𝐵𝐵11 𝐵𝐵22 ∗ ∗ − 𝐵𝐵12 ) ∗2 + 𝐴𝐴∗ (Ω2 𝐵𝐵11 ∗ − 𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 ) ∗ + (26) 33
58 Đáp ứng điện của dầm Timoshenko có lớp áp điện chịu tải trọng di động +𝜔𝜔2 Ω2 (2𝐼𝐼12 𝐵𝐵12 − 𝐼𝐼11 𝐵𝐵22 − 𝐼𝐼22 𝐵𝐵11 ). ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ { 𝒁𝒁(𝑥𝑥, 𝜔𝜔)} = { 𝑈𝑈( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔), Θ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔), 𝑊𝑊 ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)} 𝑇𝑇 = [ 𝚽𝚽( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)]{ 𝑪𝑪} + 𝒁𝒁 𝑞𝑞 ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) Sau khi có một nghiệm riêng, nghiệm tổng quát của phương trình (15) sẽ bằng với { 𝑪𝑪} = {𝐶𝐶1 , . . . , 𝐶𝐶6 } 𝑇𝑇 là véc tơ hằng số tùy ý và ma trận [ 𝚽𝚽( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] có dạng (27) [𝚽𝚽( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] = �𝐆𝐆0 ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) + 𝐊𝐊( 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒) 𝐆𝐆0 ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)�; [𝐆𝐆 𝑐𝑐 (𝑥𝑥)] : 𝑥𝑥 > 0; [𝐆𝐆′𝑐𝑐 (𝑥𝑥)] : 𝑥𝑥 > 0; ′ [𝐊𝐊(𝑥𝑥)] = � [𝐊𝐊 ′ (𝑥𝑥)] = � (28) [ 𝟎𝟎]: 𝑥𝑥 ≤ 0; [ 𝟎𝟎]: 𝑥𝑥 ≤ 0; 𝛼𝛼1 𝑒𝑒 𝑘𝑘1 𝑥𝑥 𝛼𝛼2 𝑒𝑒 𝑘𝑘2 𝑥𝑥 𝛼𝛼3 𝑒𝑒 𝑘𝑘3 𝑥𝑥 𝛼𝛼1 𝑒𝑒 −𝑘𝑘1 𝑥𝑥 𝛼𝛼2 𝑒𝑒 −𝑘𝑘2 𝑥𝑥 𝛼𝛼3 𝑒𝑒 −𝑘𝑘3 𝑥𝑥 [ 𝐺𝐺0 (𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] = � 𝑒𝑒 𝑘𝑘1 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑘𝑘2 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑘𝑘3 𝑥𝑥 𝑒𝑒 −𝑘𝑘1 𝑥𝑥 𝑒𝑒 −𝑘𝑘2 𝑥𝑥 𝑒𝑒 −𝑘𝑘3 𝑥𝑥 �; 𝛽𝛽1 𝑒𝑒 𝑘𝑘1 𝑥𝑥 𝛽𝛽2 𝑒𝑒 𝑘𝑘2 𝑥𝑥 𝛽𝛽3 𝑒𝑒 𝑘𝑘3 𝑥𝑥 −𝛽𝛽1 𝑒𝑒 −𝑘𝑘1 𝑥𝑥 −𝛽𝛽2 𝑒𝑒 −𝑘𝑘2 𝑥𝑥 −𝛽𝛽3 𝑒𝑒 −𝑘𝑘3 𝑥𝑥 𝛼𝛼𝑗𝑗 = (𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 + 𝜂𝜂 𝑗𝑗 𝐵𝐵11 )/(𝜔𝜔2 𝐼𝐼12 + 𝜂𝜂 𝑗𝑗 𝐵𝐵12 ); 𝛽𝛽𝑗𝑗 = 𝜆𝜆𝑗𝑗 𝐴𝐴∗ /�𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 + 𝜂𝜂 𝑗𝑗 𝐴𝐴∗ �; 𝑗𝑗 = 1,2,3 . ∗ ∗ ∗ ∗ 33 ∗ 33 𝛾𝛾𝑎𝑎 ∑3 𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝛿𝛿 𝑖𝑖1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝛾𝛾 𝑏𝑏 ∑3 𝛼𝛼 𝑖𝑖 (𝛿𝛿 𝑖𝑖2 + 𝛿𝛿 𝑖𝑖3 ) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝑥𝑥 0 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖=1 [𝐆𝐆 𝑐𝑐 (𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] = � 𝛾𝛾𝑎𝑎 ∑3 𝛿𝛿 𝑖𝑖1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑖𝑖=1 𝛾𝛾 𝑏𝑏 ∑3 (𝛿𝛿 𝑖𝑖2 + 𝛿𝛿 𝑖𝑖3 ) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑖𝑖=1 0�; 𝛾𝛾𝑎𝑎 ∑ 𝑖𝑖=1 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝛿𝛿 𝑖𝑖1 𝑠𝑠ℎ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝛾𝛾 𝑏𝑏 ∑ 𝑖𝑖=1 𝛽𝛽𝑖𝑖 (𝛿𝛿 𝑖𝑖2 + 𝛿𝛿 𝑖𝑖3 ) 𝑠𝑠ℎ 𝑘𝑘2 𝑥𝑥 0 3 3 (29) 𝛿𝛿11 = ( 𝑘𝑘3 𝛽𝛽3 − 𝑘𝑘2 𝛽𝛽2 )/∆; 𝛿𝛿12 = ( 𝛼𝛼3 𝑘𝑘2 𝛽𝛽2 − 𝛼𝛼2 𝑘𝑘3 𝛽𝛽3 )/∆; 𝛿𝛿13 = ( 𝛼𝛼2 − 𝛼𝛼3 )/∆; 𝛿𝛿21 = ( 𝑘𝑘1 𝛽𝛽1 − 𝑘𝑘3 𝛽𝛽3 )/∆; 𝛿𝛿22 = ( 𝛼𝛼1 𝑘𝑘3 𝛽𝛽3 − 𝛼𝛼3 𝑘𝑘1 𝛽𝛽1 )/∆; 𝛿𝛿23 = ( 𝛼𝛼3 − 𝛼𝛼1 )/∆; 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛿𝛿31 = ( 𝑘𝑘2 𝛽𝛽2 − 𝑘𝑘1 𝛽𝛽1 )/∆; 𝛿𝛿32 = ( 𝛼𝛼2 𝑘𝑘1 𝛽𝛽1 − 𝛼𝛼1 𝑘𝑘2 𝛽𝛽2 )/∆; 𝛿𝛿33 = ( 𝛼𝛼1 − 𝛼𝛼2 )/∆; ∆= 𝑘𝑘1 𝛽𝛽1 (𝛼𝛼2 − 𝛼𝛼3 ) + 𝑘𝑘2 𝛽𝛽2 (𝛼𝛼3 − 𝛼𝛼1 ) + 𝑘𝑘3 𝛽𝛽3 (𝛼𝛼1 − 𝛼𝛼2 ). 𝑈𝑈(0) = 𝑊𝑊 (0) = 𝑀𝑀(0) = 𝑁𝑁( 𝐿𝐿) = 𝑊𝑊 ( 𝐿𝐿) = 𝑀𝑀( 𝐿𝐿) = 0 Xét dầm với điều kiện biên tựa đơn hai đầu, được mô tả bằng các phương trình trong đó 𝑁𝑁( 𝑥𝑥 ) = 𝐵𝐵11 𝜕𝜕 𝑥𝑥 𝑈𝑈( 𝑥𝑥 ) − 𝐵𝐵12 𝜕𝜕 𝑥𝑥 Θ(x) và 𝑀𝑀( 𝑥𝑥 ) = 𝐵𝐵12 𝜕𝜕 𝑥𝑥 𝑈𝑈( 𝑥𝑥 ) − 𝐵𝐵22 𝜕𝜕 𝑥𝑥 Θ(x). Thay biểu thức (27) ∗ ∗ ∗ ∗ (30) � { 𝑪𝑪} = −[ 𝐁𝐁( 𝜔𝜔)]−1 �𝑷𝑷( 𝜔𝜔)�, vào (3) ta xác định được véc tơ hằng số C bằng 𝛼𝛼1 𝛼𝛼2 𝛼𝛼3 𝛼𝛼1 𝛼𝛼2 𝛼𝛼3 (31) ⎡ 𝛽𝛽1 𝛽𝛽2 𝛽𝛽3 −𝛽𝛽1 −𝛽𝛽2 −𝛽𝛽3 ⎤ với ⎢ 𝑚𝑚1 𝑚𝑚2 𝑚𝑚3 −𝑚𝑚1 −𝑚𝑚2 −𝑚𝑚3 ⎥ [ 𝐁𝐁( 𝜔𝜔)] = [𝐁𝐁 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝜔𝜔)] = ⎢ 𝑁𝑁 (𝐿𝐿) 𝑁𝑁2 (𝐿𝐿) 𝑁𝑁3 (𝐿𝐿) 𝑁𝑁4 (𝐿𝐿) 𝑁𝑁5 (𝐿𝐿) ⎥ 𝑁𝑁6 (𝐿𝐿) ⎥ ; ⎢ 1 ⎢ 𝜙𝜙31 (𝐿𝐿) 𝜙𝜙32 (𝐿𝐿) 𝜙𝜙33 (𝐿𝐿) 𝜙𝜙34 (𝐿𝐿) 𝜙𝜙35 (𝐿𝐿) 𝜙𝜙36 (𝐿𝐿)⎥ (33) ⎣ 𝑀𝑀1 (𝐿𝐿) 𝑀𝑀2 (𝐿𝐿) 𝑀𝑀3 (𝐿𝐿) 𝑀𝑀4 (𝐿𝐿) 𝑀𝑀5 (𝐿𝐿) 𝑀𝑀6 (𝐿𝐿) ⎦ 𝑚𝑚𝑗𝑗 = (𝐵𝐵12 𝛼𝛼𝑗𝑗 − 𝐵𝐵22 )𝑘𝑘𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 1,2,3; ∗ ∗ 𝑁𝑁𝑗𝑗 (𝐿𝐿) = 𝐵𝐵11 𝜙𝜙1𝑗𝑗 (𝐿𝐿) − 𝐵𝐵12 𝜙𝜙2𝑗𝑗 (𝐿𝐿), 𝑀𝑀𝑗𝑗 (𝐿𝐿) = 𝐵𝐵12 𝜙𝜙1𝑗𝑗 (𝐿𝐿) − 𝐵𝐵22 𝜙𝜙2𝑗𝑗 (𝐿𝐿), 𝑗𝑗 = 1,2, … ,6; ∗ ′ ∗ ′ ∗ ′ ∗ ′ � � � 𝑃𝑃1 ( 𝜔𝜔) = 𝑈𝑈 0 ( 𝜔𝜔) ; 𝑃𝑃2 ( 𝜔𝜔) = 𝛩𝛩𝑞𝑞 ( 𝜔𝜔); 𝑃𝑃3 ( 𝜔𝜔) = 𝑊𝑊𝑞𝑞0 ( 𝜔𝜔); 𝑞𝑞 0 � � � 𝑃𝑃4 ( 𝜔𝜔) = 𝑈𝑈 𝑞𝑞 𝜔𝜔 exp{−𝑖𝑖Ω 𝐿𝐿} ; 𝑃𝑃5 ( 𝜔𝜔) = 𝛩𝛩𝑞𝑞 𝜔𝜔 exp{−𝑖𝑖Ω 𝐿𝐿} ; 𝑃𝑃6 ( 𝜔𝜔) = 𝑊𝑊𝑞𝑞 𝜔𝜔 exp{−𝑖𝑖Ω 𝐿𝐿}. 0( ) 0( ) 0( ) (34) 𝜙𝜙 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 ), 𝜙𝜙 𝑖𝑖 𝑥𝑥 , 𝑖𝑖 = 1,2,3; 𝑗𝑗 = 1,2, … . ,6 là các phần tử của ma trận [𝚽𝚽( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] và [𝚽𝚽′ ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] được xác ′ ( ) � { 𝒁𝒁( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)} = 𝒁𝒁 𝑞𝑞 ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) − [ 𝚽𝚽( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)][ 𝐁𝐁( 𝜔𝜔)]−1 �𝑷𝑷( 𝜔𝜔)�. 𝑖𝑖 𝑖𝑖 định trong (28) và cuối cùng ta được Sau khi tìm được đáp ứng cơ { 𝒁𝒁(𝑥𝑥, 𝜔𝜔)}, đáp ứng điện, là điện tích đầu ra của lớp áp điện, có thể tính (35) 𝑄𝑄 ( 𝜔𝜔) = (𝑏𝑏ℎ13 /𝛽𝛽33 ) ∫ [ 𝑈𝑈 ′ ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) + ℎΘ′ ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑝𝑝 𝐿𝐿 được như sau 0
59 Phí Thị Hằng [ 𝑈𝑈( 𝐿𝐿, 𝜔𝜔) − 𝑈𝑈(0, 𝜔𝜔) − 𝛾𝛾𝑎𝑎 𝑈𝑈 ′ ( 𝑒𝑒, 𝜔𝜔)] + = � � 𝑏𝑏ℎ13 +ℎ[Θ( 𝐿𝐿, 𝜔𝜔) − Θ(0, 𝜔𝜔) − 𝛾𝛾 𝑏𝑏 Θ′ ( 𝑒𝑒, 𝜔𝜔)] 𝛽𝛽33 𝑝𝑝 trong đó các tham số độ lớn vết nứt 𝛾𝛾𝑎𝑎 , 𝛾𝛾 𝑏𝑏 được xác định trong các phương trình (19) - (20). (36) Xét dầm chủ có các tham số hình học và vật liệu sau: 𝐿𝐿 = 1; 𝑏𝑏 = 0.1; ℎ 𝑏𝑏 = 0.1; 𝐸𝐸 𝑏𝑏 = 4. Khảo sát số 70MPa, 𝜌𝜌 𝑏𝑏 = 2700kg/m3 , 𝜇𝜇 𝑏𝑏 = 0.3. Lớp áp điện gắn chặt vào đáy dầm có cùng chiều dài và chiều rộng như dầm chủ, chiều dầy ℎ 𝑝𝑝 thay đổi từ 0.01 đến 0.1. Các tham số vật liệu áp điện bằng [15] 𝐶𝐶11 = 69.0084GPa, 𝛽𝛽33 = 7.3885. 107 m/F, 𝜌𝜌 𝑝𝑝 = 7750kg/m3 , ℎ13 = −7.70394. 108 𝑉𝑉/𝑚𝑚. 𝑝𝑝 𝑝𝑝 Chúng ta sẽ khảo sát bằng số đáp ứng phổ của điện tích đầu ra lớp áp điện theo công thức (36), gọi tắt là phổ đáp ứng điện, phụ thuộc vào tần số và tốc độ di chuyển của lực điều hòa v, Ω và các tham số vết vận tốc tới hạn 𝛾𝛾 = ν/𝑉𝑉𝑐𝑐 , trong đó 𝑉𝑉𝑐𝑐 = 𝐿𝐿𝜔𝜔01 /𝜋𝜋 với 𝜔𝜔01 là tần số riêng của dầm không nứt. Kết quả nứt. Trong tính toán số, thay vì vận tốc của tải trọng, tác giả sử dụng tham số vận tốc bằng vận tốc trên tính toán được trình bày trong các hình 3 – 4. (a) Tải hằng số di động (Ω 𝑚𝑚 = 0) (b) Tải điều hòa không cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = 0.4𝜔𝜔01 ) (c) Tải điều hòa cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = 𝜔𝜔01 ) Hình 3. Phổ tần số của đáp ứng điện của dầm bị nứt và không bị nứt phụ thuộc vào tốc độ và tần số của tải trọng di động
60 Đáp ứng điện của dầm Timoshenko có lớp áp điện chịu tải trọng di động Hình 3 trình bày phổ đáp ứng điện của dầm nguyên vẹn (bên trái) và dầm bị nứt (bên phải) trong ba trường hợp khác nhau của tần số tải trọng: (a) tải hằng số (tần số tải bằng 0); (b) tải điều hòa không cộng hưởng (tần số tải trọng bằng 0.4 tần số riêng) và (c) tải cộng hưởng (tần số tải trọng bằng tần số riêng). Trên mỗi hình vẽ trình bày đồ thị của hàm phổ đáp ứng điện tương ứng với các vận tốc khác nhau của tải trọng. Khảo sát các đồ thị trên các hình ta thấy các thành phần dao động nổi trội là thành phần dao động với tần số tải trọng, gọi là dao động cưỡng bức và thành phần dao động với tần số riêng, gọi là dao động riêng. Biên độ của thành phần dao động riêng có thể bị triệt tiêu đối với dầm không bị nứt khi tần số tải trọng bằng 1/5 vận tốc tới hạn, biên độ dao động riêng của dầm bị nứt không thể triệt tiêu bằng cách chọn vận tốc tải trọng. Biên độ dao động cưỡng bức và dao động cộng hưởng (khi tần số tải trọng bằng tần số riêng) đơn điệu giảm khi vận tốc tải trọng tằng. (a)Tải trọng hằng số (Ω 𝑚𝑚 = 0) (b) Tải không cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = 0.4𝜔𝜔01 ) (c)Tải trọng cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = 𝜔𝜔01 ) Hình 4. Biên độ đáp ứng điện tại tần số riêng không nứt phụ thuộc vào vận tốc tải trọng và độ sâu vết nứt: (a) Tải hằng số; (b) Tải điều hòa không cộng hưởng; (c) Tải cộng hưởng Hình 4 trình bày biên độ dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc tải trọng trong ba trường hợp của tần số tải trọng và ứng với các độ sâu vết nứt khác nhau, trong đó có trường hợp của dầm nguyên vẹn khi độ sâu vết nứt bằng 0. Đồ thị trên Hình 4 cho thấy, biên độ dao động riêng đơn điệu giảm khi độ sâu vết nứt tăng và biên độ này có thể đạt cực đại ở các vận tốc tải trọng khác
61 Phí Thị Hằng nhau ngoại trừ trường hợp cộng hưởng nó chỉ đạt cực đại ở vận tốc khoảng 0.05-0.06 lần vận tốc tới hạn. Tại các vận tốc mà biên độ dao động riêng đạt cực tiểu (chỉ tồn tại trong trường hợp tương quan giữa phổ đáp ứng điện của dầm nguyên vẹn, ký hiệu là 𝑆𝑆0 (𝜔𝜔) và dầm bị nứt 𝑆𝑆 𝑐𝑐 (𝜔𝜔), không cộng hưởng) thì nó không phụ thuộc vào độ sâu vết nứt. Hình 5 và 6 trình bày hệ số ∑ 𝑘𝑘=1 𝑆𝑆0 (𝜔𝜔 𝑘𝑘 )𝑆𝑆 𝑐𝑐 (𝜔𝜔 𝑘𝑘 ) ∙ ∑ 𝑘𝑘=1 𝑆𝑆0 (𝜔𝜔 𝑘𝑘 )𝑆𝑆 𝑐𝑐 (𝜔𝜔 𝑘𝑘 ) được tính bằng công thức 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁𝑁𝑁 1/2 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = � � . ∑ 𝑘𝑘=1 𝑆𝑆0 (𝜔𝜔 𝑘𝑘 ) ∑ 𝑘𝑘=1 𝑆𝑆 𝑐𝑐 (𝜔𝜔 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁𝑁𝑁 2 𝑁𝑁𝑁𝑁 2 Hệ số tuương quan phổ, ký hiệu là SAC (spectral asurance criterion) là hàm số của vị trí vết nứt tính được cho các độ sâu vết nứt (Hình 5) và vận tốc tải trọng (Hình 6) khác nhau trong các trường hợp tần số tải trọng hằng số, điều hòa không cộng hưởng và tải trọng cộng hưởng. Dễ dàng nhận thấy sự thay đổi của hệ số tương quan phổ phụ thuộc vào vết nứt (gọi tắt là độ nhạy cảm với vết nứt) tương tự như tần số riêng và tần số tải trọng không cộng hưởng ảnh hưởng ít đến độ nhạy cảm của của hệ số này với vết nứt. Tuy nhiên, độ nhạy cảm của hệ số tương quan phổ nêu trên đối với vết nứt trong trường hợp tải trọng không cộng hưởng lớn hơn nhiều độ nhạy cảm này trong trường hợp cộng hưởng. Mặt khác, các đồ thị Hình 6 cho thấy độ nhạy cảm của hệ số tương quan phổ tăng lên khi vận tốc tải trọng tăng. (a)Tải trọng hằng số (Ω 𝑚𝑚 = 0) (b) Tải trọng không cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = 0.4𝜔𝜔01 ) (c)Tải trọng cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = 𝜔𝜔01 ) Hình 5. Hệ số tương quan giữa phổ đáp ứng điện của dầm bị nứt và dầm nguyên vẹn, phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt với các tần số tải trọng khác nhau
62 Đáp ứng điện của dầm Timoshenko có lớp áp điện chịu tải trọng di động Hình 6. Hệ số tương quan giữa phổ đáp ứng điện của dầm bị nứt và dầm nguyên vẹn, phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tốc độ của tải trọng cộng hưởng 5. Kết luận Kết quả chính nhận được trong nghiên cứu này bao gồm: 1. Đã xây dựng được mô hình dầm Timoshenko bị nứt có lớp áp điện chịu tải điều hòa di động và nhận được lời giải giải tích trong miền tần số của đáp ứng điện xuất hiện trong lớp áp điện (gọi là phổ đáp ứng điện) do tải trọng di động. 2. Đã nghiên cứu phổ đáp ứng điện phụ thuộc vào vận tốc và tần số tải trọng và phát hiện ra rằng trong phổ đáp ứng điện nổi trội hai thành phần dao động chính là dao động cưỡng bức với tần số của tải trọng và dao động riêng với tần số dao động riêng. Biên độ dao động của các thành phần dao động này phụ thuộc nhiều vào vận tốc và tần số tải trọng. Thành phần dao động duy nhất tồn tại trong phổ đáp ứng khi tần số tải trọng bằng tần số riêng, được gọi là dao động cộng hưởng; biên độ dao động cộng hưởng giảm mạnh khi tăng vận tốc tải trọng di động. Điều đáng chú ý là có thể chọn một tốc độ di chuyển của tải trọng để biện độ dao động riêng triệt tiêu (gọi là vận tốc phản cộng hưởng), nhưng không thể dập tắt được dao động cưỡng bức và dao động cộng hưởng. 3. Đã khảo sát hệ số tương quan giữa phổ đáp ứng điện của dầm bị nứt và dầm nguyên vẹn phụ thuộc vào vị trí, độ sâu vết nứt cũng như tần số và vận tốc tải trọng. Kết quả cho thấy: (a) hệ số tương quan phổ này phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt tương tự như tần số riêng, do đó hệ số tương quan phổ này là một chỉ số quan trọng có thể sử dụng để chẩn đoán vết nứt cùng với tần số riêng; (b) tần số của tải trọng ảnh hưởng ít đến độ nhạy của hệ số tương quan phổ đối với vết nứt, nhưng vận tốc của tải trọng làm tăng độ nhạy cảm của hệ số tương quan phổ với vết nứt. 4. So với phổ đáp ứng cơ (độ võng của dầm tại giữa dầm), phổ đáp ứng điện dễ dàng đo được chính xác hơn, vì vậy phổ đáp ứng điện là một tín hiệu chẩn đoán có hiệu quả hơn tín hiệu cơ học. Lời cảm ơn. Tác giả cảm ơn Trường ĐH Điện lực đã tạo điều kiện cho tác giả thực hiện nghiên cứu này và GS. TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm đã hướng dẫn tác giả hoàn thành bài báo này.
63 Phí Thị Hằng Tài liệu tham khảo [1] M. Olsson. On the fundamental moving load problem. Journal of Sound and Vibration 145(2) (1991) 299– 307. [2] J.W.Z. Zu and R.P.S. Han, Dynamic response of a spinning Timoshenko beam with general boundary conditions and subjected to a moving load, Journal of Applied Mechanics 61 (1994) 152–160. [3] Y. B. Yang, C.L. Lin, J. Yau et al. Mechanism of resonance and cancellation for strain-induced vibration on bridges with elastic bearings. Journal of Sound and Vibration 269(1) (2005) 345–360. [4] H. P. Lee, “The dynamic response of a Timoshenko beam subjected to a moving mass,” Journal of Sound and Vibration, 198(2) (1996) 249–256. [5] A. Yavari, M. Nouri, M. Mofid. Discrete element analysis of a dynamic response of Timoshenko beams under moving mass. Adv Eng Software 33 (2002) 143-53. [6] N. Azizi, M.M. Saadatpour, M. Mahzoon. Using spectral element method for analyzing continuous beams and bridges subjected to a moving load. Appl Math Model 36 (2012) 3580-92. [7] N.T. Khiem, T.T. Hai, N.V. Quang, An approach to the moving load problem for multiple cracked beams. In: Allemang R, et al. (eds) Topics in Modal Analysis. Volume 7, New York: Springer, 2014, pp. 451–459. [8] N.T. Khiem, P.T. Hang, Frequency response of a beam-like structure to moving harmonic forces. Vietnam Journal of Mechanics 38 (4) (2016) 223-238. [9] M. Shafiei and M. Khaji. Analytical solutions for free and forced vibrations of multiple cracked Timoshenko beam subject to a concentrated moving load. Acta Mechanica 221(1) (2011) 79–97. [10] V. Sarvestan, H.R. Mirdamadi, M. Ghayour. Vibration analysis of cracked Timoshenko beam under moving load with constant velocity and acceleration by spectral finite element method. International Journal of Mechanical Sciences, 122 (2017) 318-330. [11] H. Chouiyakh, L. Azrar, K. Alnafaie, O. Akourri. Vibration and Multi-crack Identification of Timoshenko Beams under Moving Mass. Intern. J. Mech. Sciences 120 (2017) 1-11. [12] A. Ghannadiasl and S.K. Ajirlou. Dynamic analysis of multiple cracked Timoshenko beam under moving load – analytical method. Journal of Vibration and Control 28 (3-40) (2020) 379-395. [13] N.T. Khiem and P.T. Hang. Analysis and identification of multiple-cracked beam subjected to moving harmonic load. Journal of Vibration and Control 24(13) (2018) 2782–2801. [14] A. Ariaei, S. Ziaei-Rad, M. Ghayour. Repair of a cracked Timoshenko beam subjected to a moving mass using piezoelectric patches. Int J Mech Sci 52 (2010) 1074-91. [15] Nguyen Tien Khiem, Tran Thanh Hai & Luu Quynh Huong. Modal Analysis of Cracked FGM Beam with Piezoelectric Layer. Mechanics Based Design of Structures and Machines. Published Online First 28 Oct 2021. DOI: 15397734.2021.1992775. [16] Ali Nikkhoo, Investigating the behavior of smart thin beams with piezoelectric actuators under dynamic loads. Mechanical Systems and Signal Processing 45 (2014) 513-530. [17] Phí Thị Hằng. Khai thác năng lượng áp điện từ rung động của dầm cầu chiụ tải trọng điều hòa di động. Tạp chí Cơ khí Việt Nam, số 8 (2021) 87-94. [18] Phí Thị Hằng. Sử dụng vật liệu áp điện để tái tạo năng lượng từ các phương tiện giao thông lưu hành trên cầu. Tạp chí Cơ khí Việt Nam, số 4 (2020) 161-171. [19] T.G. Chondros, A.D. Dimarogonas, J. Yao, Longitudinal vibration of a continuous cracked rod. Engineering Fracture Mechanics 61 (1998) 593–606. [20] T.G. Chondros, A.D. Dimarogonas, J. Yao, A continuous cracked beam vibration theory. Journal of Sound and Vibration 215(1) (1998)17–34.