Phân tích đáp ứng cơ – điện của dầm FGM có vết nứt gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Phân tích đáp ứng cơ – điện của dầm FGM có vết nứt gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động" phân tích đáp ứng tần số của dầm Timoshenko có vết nứt, làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên và được gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động dạng điều hòa. Cơ tính vật liệu dầm thay đổi theo phương chiều dày theo quy luật của hàm lũy thừa. Lớp áp điện được coi như một phần tử dầm đồng nhất liên kết với đáy dầm như một cảm biến phân bố đều và vết nứt được mô hình hóa bởi một cặp lò xo tịnh tiến và xoay. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích đáp ứng cơ – điện của dầm FGM có vết nứt gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động

182 218 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Phân tích đáp ứng cơ – điện của dầm FGM có vết nứt gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động Dương Thành Huân1*, Lê Vũ Quân1 và Nguyễn Tiến Khiêm2 1 Học viện Nông nghiệp Việt Nam, Trâu Quỳ, Gia Lâm, Hà Nội, Việt Nam 2 Viện Cơ học, VAST, 264 Đội Cấn, Ba Đình, Hà Nội, Việt Nam Email: dthuan@vnua.edu.vn Tóm tắt: Bài báo phân tích đáp ứng tần số của dầm Timoshenko có vết nứt, làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên và được gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động dạng điều hoà. Cơ tính vật liệu dầm thay đổi theo phương chiều dày theo quy luật của hàm luỹ thừa. Lớp áp điện được coi như một phần tử dầm đồng nhất liên kết với đáy dầm như một cảm biến phân bố đều và vết nứt được mô hình hóa bởi một cặp lò xo tịnh tiến và xoay. Sử dụng mô hình dầm kép, các phương trình chủ đạo của kết cấu tích hợp được suy ra từ nguyên lý Hamilton và được giải bằng phương pháp giải tích trong miền tần số. Độ võng giữa nhịp dầm dưới tải trọng di động và điện tích đầu ra của cảm biến được tạo ra trong lớp áp điện, lần lượt được gọi là phản ứng cơ và điện, được tính toán phụ thuộc vào tần số và tốc độ của tải di đông; chỉ số tỉ lệ thể tích vật liệu và các thông số vết nứt. Các ví dụ khảo sát số cho thấy rằng đáp ứng cơ học và đáp ứng điện trong miền tần số đều có cấu trúc phổ giống nhau và rất nhạy cảm với vết nứt. Vì vậy, đáp ứng điện, có thể dễ dàng đo được như là điện tích đầu ra của cảm biến, cung cấp một dấu hiệu mới để xác định vết nứt trong kết cấu dầm bằng cách sử dụng cảm biến thông minh phân bố đều và tải trọng di động điều hoà. Từ khoá: Đáp ứng tần số; Dầm có vết nứt; Tải trọng di động; Vật liệu có cơ tính biến thiên; Lớp áp điện. 1. Mở đầu Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là một vật liệu tiên tiến trong số các vật liệu composite do các đặc tính đáng chú ý của nó có lợi trong ứng dụng cho các ngành công nghệ cao như hàng không vũ trụ, robot, công nghệ hạt nhân, v.v. Các thành tựu quan trọng được công bố trong hàng trăm bài báo đã được đề cập trong các nghiên cứu tổng quan [1-7]. Đáp ứng động của dầm có cơ tính biến thiên chịu tải trọng di động được trình bày trong [8-11]. Điểm đáng lưu ý nhất có thể được tóm tắt như sau. Các kết quả nêu trên khẳng định rằng vị trí thực tế của mặt phẳng trung hoà trong dầm có cơ tính biến thiên cần được xem xét [12] khi phân tích động lực học dầm chịu tải trọng di động và vận tốc tải trọng di động là một tham số hữu ích cho việc kiểm soát dao động của dầm FGM. Các vấn đề về dao động của dầm có cơ tính biến thiên chịu tải trọng di động điều hòa đã được nghiên cứu trong [13-15], trong đó hiện tượng cộng hưởng được xác định khi tần số tải trọng di động gần với tần số riêng. Các tác giả [14,15] thậm chí đã tính toán độ võng giữa nhịp của dầm có cơ tính biến thiên như hàm của tần số kích động với các giá trị khác nhau của chỉ số tỉ lệ thể tích vật liệu [14] và hệ số nhiệt [15]. Rõ ràng, các dao động cưỡng bức và dao động riêng và hiện tượng dao cộng hưởng sẽ được đặc trưng dễ dàng hơn nếu sử dụng phương pháp tiếp cận phổ được đề xuất trong [16] để phân tích đáp ứng trong miền tần số. Do ứng dụng rộng rãi của FGM trong thực tế nên vấn đề dao động trong các kết cấu FGM có vết nứt đã thu hút được sự quan tâm của các nhà nghiên cứu và kỹ sư. Cụ thể, các tác giả [17] đã khảo sát dao động của dầm Euler- Bernoulli có cơ tính biến thiên bị nứt chịu tác dụng của lực nén dọc trục và lực ngang di động dọc theo dầm với tốc độ không đổi. Mặt khác, như đã được Birman và Byrd đề cập trong [1], việc sử dụng khái niệm FGM trong các kết cấu thông minh là một lĩnh vực ứng dụng tiềm năng và hấp dẫn của vật liệu. Các lớp/miếng dán áp điện thường được sử dụng làm cảm biến/kích động (sensor/actuator) để điều khiển các kết cấu FGM. Ảnh hưởng của vị trí, độ dày và chiều dài của miếng áp điện đến tần số dao động riêng của dầm FGM đã được nghiên cứu kỹ lưỡng trong [18]. Ứng xử của dầm FGM gắn lớp áp điện chỉ
183 Phân tích đáp ứng cơ – điện của dầm FGM có vết nứt gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động 219 tải di động đã được nghiên cứu bởi Lal và cộng sự [19], trong đó các tác giả đã chứng minh rằng độ võng giữa nhịp tăng lên theo chỉ số phân bố thể tích và vận tốc tải, và nó nhạy cảm nhất khi lớp áp điện gắn lên mặt trên dầm. Có thể thấy rằng, các nghiên cứu được tóm tắt ở trên đều liên quan đến các dầm nguyên vẹn, dầm FGM gắn lớp áp điện bị hư hỏng chỉ được khảo sát trong một số rất ít công trình, ví dụ [20-21]. Tuy nhiên, theo hiểu biết của các tác giả, vấn đề dao động cưỡng bức trong các dầm FGM bị nứt có gắn miếng/lớp áp điện chịu tải trọng di động vẫn chưa được đề cập đến trong các công bố hiện tại. Do đó, việc phân tích dao động dầm FGM bị nứt có gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động điều hòa sẽ được đề cập trong nghiên cứu này. Cụ thể, đáp ứng tần số của độ võng giữa nhịp đối với tải di động và điện tích được tạo ra trong lớp áp điện được tính toán phụ thuộc vào tần số và tốc độ tải; chỉ số phân bố vật liệu; vị trí và độ sâu vết nứt. 2. Hệ phương trình cân bằng bài toán dao động dầm FGM có vết nứt Hình 1. Mô hình dầm FGM gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động Xét dầm có chiều dài L b = L, chiều rộng b và chiều dày h b (Hình 1) làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM), phân bố theo quy luật của hàm luỹ thừa. V ( z ) = Vb + (Vt − Vb )( z / hb + 0.5) n ; -hb / 2 ≤ z ≤ hb / 2 (1) với V là các tham số vật liệu thông thường như mô đun đàn hồi E, mô đun trượt G, khối lượng riêng ρ; n là chỉ số phân vố vạt liệu; z là trục toạ độ tính từ mặt trung bình; chỉ số t và b biểu thị cho các vật liệu lớp trên và lớp dưới. Theo lý thuyết dầm Timoshenko, các biểu thức chuyện vị, biến dạng và ứng suất được biểu diễn như sau: u( x,z,t ) u0 ( x,t ) − ( z − h0 )θ ( x,t ); w( x,z,t ) w0 ( x,t ) = = = E( z )ε x ; τ xz =κ G(z)γ xz ; ε x =∂u0 / ∂x − ( z − h0 )∂θ / ∂x; γ xz =∂w0 / ∂x − θ σx (2) Trong đó, u( x,z,t ); w( x,z,t ) là chuyển vị dọc trục và chuyển vị ngang của một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang dầm tại x và u0 ( x,t ); w0 ( x,t ) là các chuyển vị trên mặt trung hoà dầm; θ là góc xoay của mặt cắt ngang; ε x , γ xz , σ x , τ xz là các thành phần biến dạng và ứng suất; κ là hệ số hiệu chỉnh cắt; h0 là vị trí thực tế của mặt phẳng trung hoà. Xét lớp áp điện như một dầm Timoshenko đồng nhất với các phương trình cơ bản như sau: u p ( x,z ,t ) = θ p ( x,t ); w p ( x,z ,t ) =px =u ′p0 − z θ ′ ; γ p =w′p0 − θ p ; u p0 ( x,t ) − z w p0 ( x,t ) ; ε p trong đó c11 ; c55 là mô đun đàn hồi và mô đun trượt; h13 , β 33 là hằng số áp điện và điện môi; ∈ và σ px =c11ε px − h13 D; τ p =c55γ p ; ∈=-h13ε px + β 33 D , p p p (3) 𝐷𝐷 là điện trường và chuyển vị điên (điện thông) của vật liệu áp điện. p p p Giả thiết liên kết giữa dầm chính và lớp áp điện là hoàn hảo và chúng có cùng góc xoay của mặt
184 220 Dương Thành Huân và Nguyễn Tiến Khiêm cắt ngang, khi đó thỏa mãn các điều kiện: u( = u p ( x,hb / 2,t ); w( x, − hb / 2 ) w p ( x,hb / 2,t ); θ =θ p x, − hb / 2,t ) = (4) hay u p0 = u0 + θ h; h = ( hb + h p ) / 2 + h0 ; w p0 = w0 ; ε px = u0 − ( z − h )θ ′; γ p = w0 − θ . ′ ′ (5) Do đó, thế năng biến dạng và động năng của dầm tích hợp có thể được tính như sau: L  * ′2 2  A11u0 + 2 A12 u0 θ ′ + A22θ ′ + A33 ( w0 − θ )  ; ′ ′ * * 2 * Π = Π b + Π p =( 1 / 2 )∫  dx (6) 0  −2h13 Ap D( u0 + hθ ) + β 33 Ap D  ′ ′ p 2   L T =Tb + T p =( 1 / 2 ) ∫ {I11u0 + 2I12u0θ + I 22θ    } + I11 w0 dx , * 2 * * 2 * 2 (7) 0 trong đó, dấu phẩy và dấu chấm lần lượt biểu thị đạo hàm đối với x và t A11 A11 + C11 Ap ; A12 = C11 Ap h ; A* C11 ( I p + Ap h 2 ) ; = * p * p = 22 p = κ A33 + C55 Ap ; I= I11 + ρ p Ap h ; I * = + ρ p I p + ρ p Ap h 2 * A33 p * 11 22 I 22 (8) = bhb Ebϕ1 ( re ,n ); A22 = bhbκ Gbϕ1 ( rρ ,n ); I 22 bhb ρbϕ3 ( rρ ,n ) A11 = bhb Ebϕ3 ( re ,n ) ; A33 = 3 3 = bhb ρbϕ1 ( rρ ,n ); I12 bhb ρbϕ2 ( rρ ,n ) I11 = 3 (9) với ϕ1 ( x,n ) = n ) / ( 1 + n ); ϕ2 ( x,n ) = + n ) / 2( 2 + n ) − α ( x + n ) / ( 1 + n ); (x+ ( 2x ϕ3 ( x,n ) = ( 3x + n ) / 3( 3 + n ) − α ( 2x + n ) / ( 2 + n ) + α 2 ( x + n ) / ( 1 + n ); (10) = ρt /= Et /= Gt / Gb ; α =1/2+h0 / = bh p ; I p bh3 / 12; rρ ρb ; re Eb ; rg hb ; Ap = p Công do lực ngang P(t) chuyển động dọc theo thanh dầm với vận tốc v không đổi là L =W ∫0 P( t )δ ( x − vt )w0 ( x,t )dx (11) trong đó δ ( x ) là hàm Dirac. Thay thế các biểu thức (6), (7) và (11) vào nguyên lý Hamilton: t2 ∫t1 δ ( T − Π + W )dt = 0 (12) ta được (I *  11u0 * ) ( *  * ) − A11u0 + I12θ − A12θ ′′ + h13 Ap D′ = ′′ 0; (I *  12 u0 * ) ( 22  22 ) − A12 u0 + I * θ − A* θ ′′ − A33 ( w0 − θ ) + h13 Ap D′ = ′′ * ′ 0; (13) (I *  11 w0 − A33 * θ ′) ( w′ −= P( t )δ ( x − vt ); h 0 ′ 13 Ap ( u0 + hθ ′ ) − β 33 Ap D 0; p = Như vậy, từ phương trình cuối cùng trong (13), ta có: = h13 ( u0 + hθ ′ ) / β 33 . D ′ p (14) Thay biểu thức (14) vào các phương trình còn lại ta thu được hệ phương trình (I *  11u0 * ) ( *  * 0; I12  * * ) 22 (  22 * ) ( − B11u0 + I12θ − B12θ ′′ = u0 − B12 u ′′ + I * θ − B* θ ′′ − A33 ( w0 − θ ′ ) =(15) ′′ ′′ 0; ) I11 w0 − A33 ( w′′ −= P( t )δ ( x − vt ), *  * θ′) trong đó, B11 = Ap h13 / β 33 = E p Ap B12 = Ap hh13 / β 33 = h; * A33 − * 2 p A11 + * A12 − * 2 p E p Ap (16) B* =* − Ap h 2 h13 β 33 =22 + C11 I p + E p Ap h 2 ; E p =11 − h13 / β 33 ; 22 A22 2 p A p Cp 2 p
185 Phân tích đáp ứng cơ – điện của dầm FGM có vết nứt gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động 221 Sau khi thực hiện phép biến đổi Fourier, hệ phương trình (15) có thể viết thành: [ A ]{Z′′( x,ω )} + [B]{Z′(x,ω )} + [Ω]{Z( x,ω )} = − {P( x,ω )} (17) ∞ {Z( x,ω )} ∫−∞ {u0 ( x,t ),θ ( x,t ),w0 ( x,t )= } e ; Z′ −iωt = Z / dx, Z′′ d= d 2 Z / dx 2 ; =P( x,ω ) {0,0,Q( x,ω )}T ; Q( x,ω ) = ( 1 / v )P( x / v )exp {−iω x / v} ; (18) Như vậy, sau khi đáp ứng cơ học được xác định bằng phương trình (17), sử dụng biểu thức (14) ta có thể tính được điện tích sinh ra trong lớp áp điện như sau: ∫= b ∫0 D( x,ω )dx ( bh13 / β33 )[U( x,ω ) + hΘ ( x,ω )]0 . L L p(ω ) Q= = p DdA (19) Giả sử thêm rằng có một vết nứt với độ sâu a tại vị trí e trong dầm chính. Trong nhiều nghiên cứu, mô hình lò xo xoay đơn của vết nứt đã được sử dụng để phân tích các dầm FGM bị nứt. Tuy nhiên, vì dao động dọc trục và dao động ngang trong dầm FGM có sự tương tác với nhau, nên không chỉ các đặc tính uốn mà còn cả các đặc tính dao động dọc trục có thể bị thay đổi do vết nứt. Do đó, vết nứt cần được biểu diễn bằng một cặp lò xo tương đương, một là lò xo tịnh tiến có độ cứng T và một là lò xo xoay có độ cứng R. Như vậy, các điều kiện cần được thỏa mãn tại vị trí vết nứt là: U (e + 0 )= U (e − 0 ) + γ 1U x (e); Θ(e+0)=Θ(e-0)+γ 2 Θ′x (e); W(e+0)=W (e − 0) ; ′ (20) U x (e + 0= U x (e − 0 ); Θ′x (e+0)=Θ′x (e-0); Wx′(e+0)=Wx′ (e − 0) + γ 2 Θ′x (e) ; γ 1 = A11 / T ; γ 2 = A22 / R , ′ ) ′ xác định cho dầm đồng nhất 𝐸𝐸𝑡𝑡 = 𝐸𝐸 𝑏𝑏 = 𝐸𝐸0 . Cụ thể, bằng cách sử dụng biểu thức (8), độ lớn vết nứt trong đó γ 1 , γ 2 , được gọi là độ lớn vết nứt. Các độ lớn vết nứt trên phải trùng với độ lớn vết nứt đã được viết lại thành: = A11 / T γ aϕ1 (re ,n); γ 2 = A22 / R γ bϕ3 (re ,n) γ1 = = (21) với γ a = Eb A / T ; γ b = Eb I b / R và hàm ϕ1 , ϕ3 được định nghĩa trong (10). Trong trường hợp dầm đồng = γ= γ 20 , đã được tính nhất khi re = 1 độ lớn của vết nứt, γ 1 aϕ1 ( 1, 0 )=γ a =γ 10 ; γ 2 =γ bϕ3 ( 1, 0 )=γ b / 12 toán từ độ sâu vết nứt a, với dao động dọc trục và dao động uốn như sau: γ 10 = π (1 − ν 0 )hb f1 ( z ); γ 20 =6 π (1 − ν 0 )hb f 2 ( z ); z=a/hb , E0 A / T = 2 2 E0 I0 / R = 2 (22) trong đó các hàm f1 ( z ) , f 2 ( z ) được xác định trong các tài liệu [22, 23]. Do đó, để phân tích dao động của dầm FGM bị nứt, độ lớn vết nứt có thể được tính bằng γ 1 = γ 10ϕ1 (re ,n); γ 2 = 12γ 20ϕ2 (r3 ,n) (23) Như vậy, độ lớn của vết nứt γ 1 , γ 2 được xác định cho mọi giá trị của chỉ số tỉ lệ thể tích vật liệu n và hệ số đàn hồi re = Et / Eb , bao gồm cả trường hợp dầm đồng nhất khi Et Eb E0 hoặc re = 1 . = = 3. Đáp ứng động của dầm FGM có vết nứt gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động Như được chỉ ra trong [21], các nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (17) thỏa mãn điều kiện (23) có dạng {Z0 ( x, ω )} = [Φ( x, ω )]{C} (24) với {C} = {C1 ,..., C6 } là một véc tơ hằng số và ma trận [ Φ ( x, ω ) ] là T [ Φ ( x, ω ) ] = G0 ( x, ω ) + Κ ( x − e)G0 (e, ω )  ;  '  (25) α1e k1x α 2 e k2 x α 3 e k3 x α1e− k1x α 2 e− k2 x α 3 e− k3 x    [Gc ( x) ] ; x>0  [G0 ( x, ω )] =  ek1x e k2 x e k3 x e − k1x e − k2 x e − k3 x  ; [ Κ ( x) ] =   kx  [0 ]  ; x≤0  β 1e 1 β 2 e 2 β 3 e 3 k x k x − β1e − k1x − β 2 e − k2 x − β 3 e − k3 x   
186 222 Dương Thành Huân và Nguyễn Tiến Khiêm  Gc ( x)  ; x>0 '  g11 g12 0  Κ ( x)  = '  ; [Gc ( x,ω )] =  g 21 0 ;    g 22  (26)  [0 ]  ; x≤0  g 31 0  g 32  3 3 3 g11 = γ a ∑α δ i =1 = i i1 cosh ki x ; g12 γ b ∑ α i ( δ i2 + δ i3 )cosh ki x ; g 21 = γ a ∑ δ i1 cosh ki x ; i =1 i =1 3 3 3 = γb g 22 ∑β (δ i =1 i i2 + δ i3 )cosh ki x ; g 31 = γ a ∑β δ i =1 i i1 sinh ki x ; g 32 γ b = ∑β (δ i =1 i i2 + δ i3 )sinh k2 x α i =+ k 2 B11 / (ω 2 I12 + k 2 B12 ) ; β j k j A33 / (ω 2 I11 + k 2 A33 ) ; k j = η ; j = 1, 2, 3 (ω 2 I11 * j * * = j * * * j * với η1 , η2 , η3 là các nghiệm của phương trình đặc trưng det λ 2 Α + λΒ + Ω  =0 .   Hơn nữa, ta biết rằng nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (17) được cấu thành từ nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: [ Φ ( x, ω ) ] {Z m ( x, ω )} = {C} + Z q ( x, ω ) (27) {U q ( x,ω ), Θq ( x,ω ),Wq ( x,ω )} và véc tơ {C} = {C1 ,..., C6 } được xác định T T Z q ( x, ω ) với nghiệm riêng= từ điều kiện biên đã cho. Trong trường hợp tải trọng điều hoà P (t ) P0 exp {iΩ m t} , vế phải của phương trình (17) được tính = bằng Q= Q0 exp {−iΩx} ; Q0 = P0 / ν ; Ω (ω − Ω m ) / ν và do đó nghiệm riêng sẽ có dạng: ( x, ω ) = {U } T q ( x, ω ) Z= q (ω ), 0 Θ0 (ω ), Wq0 (ω ) q exp {−iΩx} (28) U q (ω ) = )Q0 A33 (Ω 2 B12 − ω 2 I12 ) / ∆ ; Θ0 (ω ) = (iΩ)Q0 A33 (ω 2 I11 − Ω 2 B11 ) / ∆ ; Wq0 (ω ) Q0 D / ∆ ; 0 (iΩ * * * q * * * = = (ω 2 I11 − Ω 2 A33 ) D + iΩA33 (ω 2 I11 − Ω 2 B11 ) ; ∆ * * *2 * * (29) = ω D 4 * * ( I11 I 22 − I12 ) + Ω4 ( B11 B22 * * * − B12 ) + *2 A33 (Ω 2 B11 * * − ω 2 I11 ) + ω 2 Ω 2 (2I12 B12 * * * − I11 B22 * * − I 22 B11 ) . * * Trong trường hợp này, đáp ứng tần số (27) của dầm với điều kiện biên gối tựa đơn giản có thể được xác định như sau, {Z m ( x, ω )} Z q ( x, ω ) − [Φ( x, ω )][ (ω )]−1 P(ω ) , = 0 ˆ (30) { } trong đó,  α1 α2 α3 α1 α2 α3   m m2 m3 −m 1 −m 2 −m 3   1   β1 β2 β3 −β 1 −β 2 −β 3  (ω ) =  ; (31)  φ11 ( L) φ12 ( L) φ13 ( L) φ14 ( L) φ15 ( L) φ16 ( L)   M1 ( L) M 2 ( L) M 3 ( L) M 4 ( L) M 5 ( L) M 6 ( L)    φ31 ( L) φ32 ( L) φ33 ( L) φ34 ( L) φ35 ( L) φ35 ( L)    = ( B12α j − B22 )k j ; j=1, 2, 3 = B12φ1 j ( L) − B22φ2 j ( L) ; j=1, 2, ..., 6 . mj * * ; M j ( L) * ' * ' φij ( x), φij ( x); i=1, 2, 3; j=1, 2, ... , 6 là các phần tử của ma trận [ Φ ( x, ω ) ] được định nghĩa trong (25) ' và các đạo hàm của chúng và P (ω ) =ω ) =ω ) = ˆ 1 U q (ω ); P2 ( 0 ˆ Θ0 (ω ); P3 ( q ˆ Wq0 (ω ) ; (32) P4 (ω ) = U q (ω ) exp {−iΩL} ; P5 (ω ) = Θ0 (ω ) exp {−iΩL} ; P (ω ) = Wq0 (ω ) exp {−iΩL}. ˆ 0 ˆ q ˆ 6 Cuối cùng, sử dụng đáp ứng tần số {Z m ( x, ω )} = {U m ( x, ω ), Θm ( x, ω ),Wm ( x, ω )}T tìm được trong
187 Phân tích đáp ứng cơ – điện của dầm FGM có vết nứt gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động 223 (20, điện tích áp điện được tính toán bằng L = (bh13 / β 33 ) Q pm (ω ) ∫0 U m ( x,ω ) + hΘm ( x,ω )dx p ' '   (33) = (bh13 /  p { '   } U m ( L, ω ) − U m (0, ω ) − γ 1U m (e, ω )  + h Θ m ( L, ω ) − Θ m (0, ω ) − γ 2 Θ'm (e, ω )  β 33 )  với độ lớn vết nứt γ 1 , γ 2 được định nghĩa trong công thức (23) ở trên. Đáp ứng tần số (27) và điện tích đầu ra của cảm biến (33) sẽ được khảo sát số ở phần sau để minh hoạ. 4. Kết quả số Xét dầm FGM gắn lớp áp điện, điều kiện biên tựa khớp, có kích thước hình học: L b = L p = L = 1 (m); b = 0.1 (m); h b = L/10 và có các tham số vật liệu: E t = 390 (MPa); ρ t = 3960 (kg/m3); μ t = 0.25; E b = 210 (MPa); ρ b = 7800 (kg/m3); μ t = 0.31; β33 = 7.3885 x107 (m/F); c11 = 69.0084 (GPa); p p c55 = 21.0526 (GPa); ρ p = 7750 (kg/m3); h 13 = -7.70394x108 (V/m); p Để phân tích phổ, ta dung các ký hiệu sau: ω0k , ωk , k=1,2,3, ... là các tần số dao động tự do của dầm không có vết nứt và dầm có vết nứt; ωv = π v= ωv / ω01 v / Vc – là tham số vận tốc, với /L; γ = Vc = ω01L / π được gọi là vận tốc giới hạn của tải trọng di động; ω / ω0 k – là tham số tần số hoặc tần số không thứ nguyên. Các hàm phụ thuộc vào tần số: S w (ω ) = Wm ( L / 2, ω ) và SQ (ω ) = Q pm (ω ) sau đây lần lượt được gọi là phổ của các ứng xử cơ học (độ võng giữa dầm) và ứng xử điện (điện tích áp điện). Do đó, các tính toán số được thực hiện để phân tích các ứng xử cơ và điện dưới tải trọng di động điều hòa với các tần số tải khác nhau Ω m bao gồm cả trường hợp tải trọng di động không đổi ( Ω m = 0 ). Việc phân tích cũng được thực hiện để khảo sát sự phụ thuộc vào tốc độ tải chuyển động, chỉ số tỉ lệ thể tích vật liệu và độ dày của lớp cảm biến áp điện. Cả ứng xử cơ và điện sẽ được gọi là đáp ứng cộng hưởng thực nếu tần số của tải trọng bằng tần số riêng của dầm thực. Đặc biệt, các đáp ứng tần số của dầm bị nứt được xác định tại tần số tải bằng tần số riêng của dầm nguyên vẹn (không có vết nứt) được gọi là các đáp ứng cộng hưởng gốc hoặc ngắn gọn là đáp ứng cộng hưởng. Hơn nữa, đáp ứng tần số của dầm bị nứt được tính toán tại tần số riêng của dầm không bị nứt được gọi là biên độ dao động riêng. Vì vậy, đáp ứng dao động riêng cộng hưởng của dầm bị nứt, được xem xét dưới đây, sẽ cung cấp một chỉ số quan trọng để mô tả đặc tính của dầm FGM bị nứt. Trước tiên, kết quả tính toán phổ đáp ứng cơ học và đáp ứng điện của dầm không nứt phụ thuộc vào tốc độ và tần số tải di động, chỉ số phân bố vật liệu và độ dày của lớp áp điện được trình bày trên các Hình 2-3-4. Hình 2 trình bày phổ đáp ứng cho các tốc độ tải khác nhau trong ba trường hợp tần số tải: (a) Tải trọng không đổi ( Ω m =); (b) Cộng hưởng khi tần số tải trọng bằng 1/3 tần số riêng ( 0 ω ω Ω m =01 / 3 ) và (c) Cộng hưởng khi tần số tải trọng bằng tần số riêng ( Ω m =01 ). Hình 3, 4 biểu diễn phổ đáp ứng cộng hưởng ứng với chỉ số phân bố vật liệu n và độ dày lớp áp điện h p . Khảo sát các đồ thị trên các Hình cho thấy đáp ứng cơ học được trình bày ở bên trái và đáp ứng điện ở bên phải gần như giống hệt nhau, tức đáp ứng cơ và điện có cùng cấu trúc phổ. Điều này có thể được giải thích là do độ võng giữa nhịp của dầm tựa đơn tỷ lệ với góc xoay ở các đầu dầm và, như trong phương trình (20), điện tích tạo ra trong lớp áp điện cũng được xác định bằng các góc xoay đầu dầm. Hơn nữa, có thể thấy trong Hình 2 rằng dưới lực di động không đổi (Hình 2a) các điểm nổi trội (cực đại) trong phổ đáp ứng đạt được ở tần số nhỏ khi tốc độ di động của tải nhỏ, v = 0.03Vc và biên độ dao động riêng là nổi trội khi động có tần số bằng tần số tải Ω 𝑚𝑚 (dao động cưỡng bức) với mọi tốc độ tải, trong khi thành phần dao v = 0.17Vc . Tuy nhiên, dưới tải trọng di động điều hoà, thành phần dao động nổi trội là thành phần dao ω động riêng chỉ nổi trội khi v = 0.17Vc (Hình 2b). Hơn nữa, khi cộng hưởng, tức Ω m =01 , thành phần dao động nổi trội duy nhất là dao động cộng hưởng (dao động riêng trùng với dao động cưỡng bức) và biên độ dao động cộng hưởng đạt cực đại với tốc độ tải v = 0.17Vc (Hình 2c). Đồ thị được mô tả trong
188 224 Dương Thành Huân và Nguyễn Tiến Khiêm Hình 3 cho thấy rằng biên độ dao động cộng hưởng của cả ứng xử cơ và điện đều tăng theo chỉ số phân bố vật liệu (Hình 3), trong khi biên độ đó lại giảm khi độ dày của lớp áp điện tăng lên. (a) Tải trọng không đổi ( Ω m =) 0 ω (b) Tải trọng điều hòa không cộng hưởng khi Ω m =01 / 3 ω (c) Tải cộng hưởng khi tần số tải trọng bằng tần số riêng ( Ω m =01 ) Hình 2. Phổ đáp ứng cơ học (trái) và đáp ứng điện (phải) của dầm không nứt với tốc độ tải trọng (v) và tần số (Ω 𝑚𝑚 ) khác nhau.
189 Phân tích đáp ứng cơ – điện của dầm FGM có vết nứt gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động 225 Hình 3. Phổ đáp ứng cơ học (trái) và đáp ứng điện (phải) khi cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = ω 01 ), v = 0.06V c của dầm không nứt với chỉ số phân bố vật liệu khác nhau (n). Hình 4. Phổ đáp ứng cơ học (trái) và đáp ứng điện (phải) khi cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = ω 01 ), v = 0.06V c của dầm không nứt với chiều dày lớp áp điện khác nhau (h p ). Hình 5.Tỷ số biên độ dao động riêng (nứt/không nứt) của độ võng giữa nhịp (trái) và điện tích áp điện (phải) phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt dưới tải trọng di động không đổi và tải trọng cộng hưởng. Tiếp theo, sự thay đổi độ võng giữa nhịp (bên trái) và điện tích áp điện (bên phải) do vết nứt được xác định bằng tỷ số biên độ dao động cộng hưởng của dầm bị nứt trên dầm nguyên vẹn được trình bày trên các Hình 5 -7. Các đồ thị biểu diễn sự thay đổi nêu trên là hàm của vị trí vết nứt tương ứng với các giá trị khác nhau của độ sâu vết nứt (Hình 5), chỉ số phân bố vật liệu (Hình 6) và độ dày lớp áp điện (Hình 7).Trong các Hình 5-7 cũng trình bày các tỷ số biên độ dao động riêng của dầm bị nứt trên dầm nguyên vẹn trong trường hợp tải trọng hằng số di động (đường nét liền) để so sánh với tỷ số biên dộ dao động cộng hưởng (đường rời rạc). Quan sát tổng thể của các đồ thị được đưa ra trong các Hình cho thấy rằng sự thay đổi của sự thay đổi của đáp ứng cơ và điện đối với vết nứt là giống nhau và tương tự như
190 226 Dương Thành Huân và Nguyễn Tiến Khiêm sự thay đổi của tần số riêng thứ nhất của dầm [31]. Ngoài ra, tỷ số biên dộ dao động cộng hưởng không khác nhiều so với tỷ số biên độ dao động riêng chịu tải trọng hằng số di động, do đó có thể kết luận rằng các thông số tải trọng di động không ảnh hưởng đến sự thay đổi biên độ dao động riêng của dầm do vết nứt. Hơn nữa, sự biến đổi do vết nứt gây ra của biên độ dao động riêng tăng lên khi chỉ số tỉ lệ thể tích giảm và độ dày lớp áp điện tăng. Hình 6. Ảnh hưởng của chỉ số phân bố vật liệu (n) đến sự thay đổi biên độ dao động riêng do vết nứt của độ võng giữa nhịp (trái) và điện tích áp điện (phải) của dầm chịu tải trọng cộng hưởng. Hình 7. Ảnh hưởng của chiều dày lớp áp điện (h p ) đến sự thay đổi biên độ dao động riêng do vết nứt của độ võng giữa nhịp (trái) và điện tích đầu ra (phải) của dầm chịu tải trọng cộng hưởng. 5. Kết luận Như vậy, phân tích phổ của dầm FGM bị nứt có gắn lớp áp điện dạng cảm biến phân bố đều chịu tải trọng di động điều hòa đã được thực hiện trong nghiên cứu này. Biểu thức thu được của độ võng giữa nhịp (đáp ứng cơ học) và điện tích áp điện (đáp ứng điện) trong miền tần số cho phép phân tích chi tiết ảnh hưởng của các thông số vết nứt, tải trọng di động, tính chất vật liệu và độ dày lớp áp điện đến cả đáp ứng cơ và điện của dầm FGM có biên gối tựa đơn giản. Việc xem xét ảnh hưởng của tốc độ và tần số của tải trọng di động lên phổ của các đáp ứng cho thấy rằng trường hợp dao động chủ đạo trong dầm chịu tải trọng di động bao gồm hai thành phần là thành phần dao động với tần số tải gọi là dao động cưỡng bức và thành phần dao động với tần số riêng gọi là dao động riêng. Dạng dao động đáng kể duy nhất được gọi là dao động cộng hưởng, xảy ra khi tần số của tải trọng gần với tần số riêng. Biên độ của các thành phần dao động đạt cực đại đối với một tốc độ nhất định của tải di động. Kết quả khảo sát cũng đã cho thấy rằng các biên độ dao động riêng cộng rấy nhạy cảm với vết nứt và không phụ thuộc nhiều vào các tham số tải trọng. Vì lý do này, biên độ dao động riêng của cả đáp ứng cơ và điện đều là dấu hiệu rất hữu ích để phát hiện vết nứt trên dầm.
191 Phân tích đáp ứng cơ – điện của dầm FGM có vết nứt gắn lớp áp điện chịu tải trọng di động 227 Tài liệu tham khảo [1] V. Birman, L.W. Byrd. Modeling and analysis of functionally graded materials and structures. Appl. Mech. Rev. 60(5) (2007) 195-216. [2] P. Zahedinejad, C. Zhang, H. Zhang, S. Ju. A Comprehensive Review on Vibration Analysis of functionally Graded Beams. Intern. J. of Struct. Stability and Dynamics 20(4) (2020) 2030002. [3] A. Gupta, M. Talha. Recent development in modelling and analysis of functionally graded material and structures. Progress in Aerospace Sciences 79 (2015) 1-14. [4] S. Chakraverty, K.K. Pradhan. Vibration of functionally graded beams and plates. Academic Press, London, 2016. [5] R. Singh, P. Sharma. A Review on Modal Characteristics of FGM Structures. 1-st International Conference on Advances in Mechanical Engineering and Nanotechnology (ICAMEN 2019). AIP Conference Proceedings 2148 (2019) 030037. DOI: 10.1063/1.5123959. [6] D. Gayen, R. Tiwari, D. Chakraborty. Static and Dynamic Analysis of Cracked Functionally Graded Structural Components: A Review. Composites Part B: Engineering 173 (2019) 106982. [7] G.P. Sinha,B. Kumar. Review on Vibration Analysis of Functionally Graded Material Structural Components with Cracks. Journal of Vibration Engineering & Technologies 9 (2021) 23-49. [8] M. Şimşek. Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving mass by using different beam theories. Composite Structures 92(4) (2010) 904–917. [9] S.M. Khalili, A.A. Jafari, S.A. Eftekhari. A mixed Ritz-DQ method for forced vibration of functionally graded beams carrying moving loads. Composite Structures 92(10) (2010) 2497-511. [10] I. M. Abu-Alshaikh, A.A. Almbaidin. Analytical responses of functionally graded beam under moving mass using Caputo-Fabrizio fractional derivative models. Journal of Vibration and Control 26(3) (2020) 1077546320908103. [11] I. Esen. Dynamic response of a functionally graded Timoshenko beam on two-parameter foundation due to a variable velocity of moving mass. International Journal of Mechanical Sciences 153-154 (2019) 21-35. [12] X. Wang, X. Liang, C. Jin. Accurate dynamic analysis of functionally graded beams under a moving point load. Mechanics Based Design of Structures and Machines 45 (1) (2017) 76–91. [13] M. Şimşek, T. Kocatürk. Free and forced vibration of a functionally graded beam subjected to a concentrated moving harmonic load. Composite Structures 90(4) (2009) 465-73. [14] M. Şimşek, T. Kocatürk, S.D. Akbaş. Dynamic behavior of an axially functionally graded beam under action of a moving harmonic load. Composite Structures 94(8) (2012) 2358–2364. [15] Y. Wang, D. Wu. Thermal effect on the dynamic response of axially functionally graded beam subjected to a moving harmonic load. Acta Astronautica 127 (2016) 171-181. [16] N.T. Khiem, T.T. Hai, N.V. Quang. An approach to the moving load problem for multiple cracked beams. In: Allemang R, et al. (eds) Topics in Modal Analysis. Volume 7, New York: Springer, 2016, pp. 451–459. [17] J. Yang, Y. Chen, Y. Xiang, X.L. Jia. Free and forced vibration of cracked inhomogeneous beams under an axial force and a moving load. Journal of Sound Vibration 312 (2008) 166–181 [18] Nguyen Tien Khiem, Tran Thanh Hai, Luu Quynh Huong. Effect of Piezoelectric Patches on Natural Frequencies of Timoshenko Beam Made of Functionally Graded Material. Mater. Res. Express 7 (2010) 055704. DOI. 10.1088/2053-1591/ab8df5. [19] A. Lal, N.L. Shegokar, B.N. Singh. Finite element based nonlinear dynamic response of elastically supported piezoelectric functionally graded beam subjected to moving load in thermal environment with random system properties. Applied Mathematical Modelling 44 (2017) 274-295. [20] R. Zhang. Free Vibration of cracked functionally graded beams with piezoelectric patches. Journal of Theoretical and Applied Mechanics 41(3) (2011) 3-18. [21] Nguyen Tien Khiem, Tran Thanh Hai & Luu Quynh Huong. Modal Analysis of Cracked FGM Beam with Piezoelectric Layer. Mechanics Based Design of Structures and Machines. Published Online First 28 Oct 2021. DOI: 15397734.2021.1992775. [22] T.G. Chondros, A.D. Dimarogonas, J. Yao. Longitudinal vibration of a continuous cracked rod. Engineering Fracture Mechanics 61 (1998) 593–606. [23] T.G. Chondros, A.D. Dimarogonas, J. Yao. A continuous cracked beam vibration theory. Journal of Sound and Vibration 215(1) (1998) 17–34.