Đáp ứng tần số của dầm Timoshenko áp điện có vết nứt chịu tải trọng di động

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Đáp ứng tần số của dầm Timoshenko áp điện có vết nứt chịu tải trọng di động" phân tích quang phổ của chùm tia Timoshenko áp điện bị nứt chịu tác dụng của một lực điều hòa chuyển động. Sử dụng mô hình chùm tia kép, các phương trình điều chỉnh dao động của chùm Timoshenko bị nứt với lớp áp điện đã được suy ra trong miền tần số kết hợp cả thành phần rung dọc và rung uốn. Giải pháp phân tích của các phương trình đã thiết lập thu được cho độ võng giữa nhịp trong miền tần số được coi là đáp ứng tần số cơ học của dầm đối với tải trọng chuyển động. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đáp ứng tần số của dầm Timoshenko áp điện có vết nứt chịu tải trọng di động

241 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA DẦM TIMOSHENKO ÁP ĐIỆN CÓ VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG FREQUENCY RESPONSE OF CRACKED PIEZOELECTRIC TIMOSHENKO BEAM SUBJECTED TO MOVING LOAD Lê Khánh Toàn, Nguyễn Thị Lan, Nguyễn Tiến Khiêm Phòng Chẩn đoán kỹ thuật, Viện Cơ học 264 Đội Cấn, Ba Đình, Hà Nội Email: lktoan@imech.vast.vn ABSTRACT. The present report is devoted to spectral analysis of a cracked piezoelectric Timoshenko beam subjected to a moving harmonic force. Using the double beam model, governing equations for vibration of cracked Timoshenko beam with a piezoelectric layer have been derived in the frequency domain that couple both the longitudinal and bending vibration components. Analytical solution of the established equations is obtained for midspan deflection in the frequency domain acknowledged as mechanical frequency response of the beam to the moving load. Numerical analysis of the response carried out in dependence upon crack and load parameters demonstrates that crack-induced changes in the frequency response spectrum provide an efficient indicator for crack detection in beams by using moving load and distributed piezoelectric sensor. Keywords: Piezoelectric material; Timoshenko beams; Cracked beams, Moving load 1. Mở đầu Bài toán tải trọng di động là một bài toán đặc trưng của động lực học công trình được quan tâm nghiên cứu từ rất sớm và cho đến tận ngày hôm nay. Những bài toán cơ bản về tải trọng di động của dầm đàn hồi được nghiên cứu trong rất nhiều công trình, ví dụ như [1-6]. Các bài toán về tải trọng di động cho dầm đàn hồi thường chia thành ba dạng cơ bản, phụ thuộc vào mô hình tải: lực tập trung di động; khối lượng di động và chấn tử di động. Gần đây, do nhu cầu thực tế, bài toán tải trọng di động được nghiên cứu cho các kết cấu phức tạp hơn, đặc biệt là kết cấu dầm có vết nứt [7-13]. Nội dung nghiên cứu chính của bài toán tải trọng di động của kết cấu có vết nứt bao gồm hai vấn đề: một là nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt xuất hiện trong kết cấu đến trạng thái làm việc và khả năng chịu lực của kết cấu (bài toán thuận) và hai là phát triển các công cụ để chẩn đoán, phát hiện vị trí, mức độ vết nứt bằng các đo đạc đáp ứng của kết cấu (bài toán ngược). Do sự phát triển mạnh của các công cụ mô phỏng, tính toán kết cấu, bài toán thuận, về nguyên tắc, không gặp nhiều khó khăn như bài toán ngược. Nội dung chính của bài toán ngược là đo đạc đáp ứng của kết cấu chịu tải trọng di động và từ đó xử lý phân tích số liệu đo để xác định vị trí và mức độ vết nứt. Vì vậy, rất quan trọng việc đo đạc, thu thập số liệu về đáp ứng chứa nhiều thông tin về vết nứt nhất có thể, hay nói khác, là thu thập các tín hiệu nhạy cảm nhất với vết nứt. Để tìm ra các đặc trưng nhạy cảm với vết nứt ta cũng phải giải bài toán thuận: phân tích độ nhạy cảm của đáp ứng đối với vết nứt. Một trong những cách thu thập thông tin về ứng xử của kết cấu khi làm việc là sử dụng vật liệu thông minh, ví dụ như vật liệu áp điện [14] với ưu điểm nổi trội là có thể làm việc đồng thời với kết cấu đàn hồi và truyền đạt các thông tin về ứng xử cơ học (ứng suất biến dạng) ra bên ngoài thông qua tín hiệu điện gọi là đáp ứng điện. Lúc này, phần tử áp điện của kết cấu được sử dụng như một cảm biến phân bố để thu thập trạng thái làm việc của kết cấu. Vấn đề dao động của kết cấu dầm có miếng/lớp áp điện và chẩn đoán vết nứt trong kết cấu dầm sử dụng vật liệu áp điện đã được nghiên cứu trong [15-16]. Báo cáo này tập trung nghiên cứu độ võng động giữa nhịp (được gọi là đáp ứng cơ học) của một dầm Timoshenko gối tựa hai đầu chứa vết nứt và có một lớp áp điện được sử dụng như một cảm biến để thu
242 Lê Khánh Toàn, Nguyễn Thị Lan, Nguyễn Tiến Khiêm thập tín hiệu phục vụ chẩn đoán vết nứt. Phương pháp nghiên cứu là phương pháp tiếp cận phổ đã được áp dụng trong [8,9,12, 17]. Mục tiêu là nghiên cứu độ nhạy cảm của đáp ứng cơ học nêu trên đối với vết nứt trong sự phụ thuộc vào vận tốc và tần số của tải di động. 2. Bài toán dao động cưỡng bức của dầm bị nứt có lớp áp điện P0 v Wb 𝑧𝑧̅ z Ub (hb+hp)/2 Wp x Up Xét một dầm đàn hồi phẳng có chiều dài L, diện tích tiết diện ngang 𝐴𝐴 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 × ℎ 𝑏𝑏 , mô đun đàn hồi Hình 1. Mô hình dầm đàn hồi có lớp áp điện và khối lượng riêng E, ρ có một lớp vật liệu áp điện phía dưới có chiều dầy h p và có cùng chiều rộng và chiều dài như của dầm (Hình 1). Ngoài ra dầm chịu một tải trọng ngang P(t) di động trên dầm với vận tốc không đổi v. Xét hệ tọa độ cho dầm và lớp áp điện như trong Hình 1 và dựa trên lý thuyết dầm bậc nhất hay còn gọi là lý thuyết dầm Timoshenko, chúng ta có các mối liên hệ giữa trường chuyển vị, biến 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = 𝑢𝑢0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝑧𝑧𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) ; 𝑤𝑤(𝑥𝑥, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) = 𝑤𝑤0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡); dạng và ứng suất của dầm chủ như sau = Eε x ;τ xz κ Gγ xz ; 𝜀𝜀 𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝑢𝑢0 /𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧/𝜕𝜕𝜕𝜕; 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝑤𝑤0 /𝜕𝜕𝜕𝜕 − , σx = trong đó 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡), 𝑤𝑤(𝑥𝑥, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡) là chuyển vị dọc trục và chuyển vị ngang (độ võng) của dầm tại điểm bất (1) 𝜃𝜃 kỳ trong dầm, 𝑢𝑢0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡), 𝑤𝑤0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) là chuyển vị của dầm trên trục giữa, θ là góc xoay của mặt cắt ngang; 𝜀𝜀 𝑥𝑥 , 𝜎𝜎 𝑥𝑥 là biến dạng và ứng suất. Xét lớp áp điện như một kết cấu dầm thỏa mãn điều kiện của lý thuyết dầm Timoshenko, khi đó ta 𝑢𝑢 𝑝𝑝 ( 𝑥𝑥, 𝑧𝑧̅, 𝑡𝑡) = 𝑢𝑢 𝑝𝑝0 ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝑧𝑧̅ 𝑝𝑝 ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡), 𝑤𝑤 𝑝𝑝 ( 𝑥𝑥, 𝑧𝑧̅, 𝑡𝑡) = 𝑤𝑤 𝑝𝑝0 ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡); có 𝜀𝜀 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑢𝑢′𝑝𝑝0 − 𝑧𝑧̅ 𝑝𝑝 , 𝛾𝛾𝑝𝑝 ′ = 𝑤𝑤 ′ − 𝑝𝑝0 𝑝𝑝 . 𝜃𝜃 (2) 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝜎𝜎 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝐶𝐶11 𝜀𝜀 𝑝𝑝𝑝𝑝 − ℎ13 𝐷𝐷; ∈= −ℎ13 𝜀𝜀 𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝛽𝛽33 𝐷𝐷, Mối quan hệ giữa ứng suất biến dạng của dầm áp điện có dạng [14-16] 𝑝𝑝 𝑝𝑝 trong đó 𝐶𝐶11 , ℎ13 , 𝛽𝛽33 lần lượt là mô đun đàn hồi, hằng số áp điện và điện môi; ∈ và 𝐷𝐷 lần lượt là điện 𝑝𝑝 𝑝𝑝 (3) trường và mật độ thông lượng của lớp áp điện. 𝑢𝑢 �𝑥𝑥, − , 𝑡𝑡� = 𝑢𝑢 𝑝𝑝 �𝑥𝑥, , 𝑡𝑡� , 𝑤𝑤 ( 𝑥𝑥, −ℎ 𝑏𝑏 /2, 𝑡𝑡) = 𝑤𝑤 𝑝𝑝 �𝑥𝑥, ℎ 𝑝𝑝 /2, 𝑡𝑡�, Giả thiết lớp áp điện được gắn chặt so với dầm chủ, khi đó điều kiện liên tục của chuyển vị có dạng ℎ 𝑏𝑏 ℎ 𝑝𝑝 2 2 (4) 𝑢𝑢 𝑝𝑝0 = 𝑢𝑢0 + ℎ, ℎ = (ℎ 𝑏𝑏 + ℎ 𝑝𝑝 )/2, 𝑤𝑤 𝑝𝑝0 = 𝑤𝑤0 , từ đó ta có 𝜀𝜀 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑢𝑢0 − (𝑧𝑧̅ − ℎ)𝜃𝜃 ′ , 𝛾𝛾𝑝𝑝 = 𝑤𝑤0 − . ′ ′ (5) 𝜃𝜃 𝜃𝜃
243 Đáp ứng tần số của dầm Timoshenko áp điện có vết nứt chịu tải trọng di động 𝐴𝐴11 𝑢𝑢0 + 2𝐴𝐴12 𝑢𝑢′ 0 ′ + 𝐴𝐴∗ ′2 + 𝐴𝐴∗ ( 𝑤𝑤0 − )2 Sử dụng các mối liên hệ (2)-(5) ta tính được thế năng và động năng của dầm áp điện bằng ∗ ′2 ∗ ′ Π = Π 𝑏𝑏 + Π 𝑝𝑝 = (1/2) ∫ � � 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝐿𝐿 22 33 −2ℎ13 𝐴𝐴 𝑝𝑝 𝐷𝐷(𝑢𝑢0 + ℎ𝜃𝜃 ′ ) + 𝛽𝛽33 𝐴𝐴 𝑝𝑝 𝐷𝐷2 0 ′ 𝑝𝑝 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝜃𝜃 (6) 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑏𝑏 + 𝑇𝑇𝑝𝑝 = (1/2) ∫ �𝐼𝐼11 𝑢𝑢̇0 + 2𝐼𝐼12 𝑢𝑢̇0 ̇ + 𝐼𝐼22 ̇ 2 + 𝐼𝐼11 𝑤𝑤0 �𝑑𝑑𝑑𝑑, ̇2 𝐿𝐿 ∗ 2 ∗ ∗ ∗ 0 (7) 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝐴𝐴11 = 𝐸𝐸𝐴𝐴 𝑏𝑏 + 𝐶𝐶11 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ; 𝐴𝐴12 = 𝐶𝐶11 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ; 𝐴𝐴∗ = 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑏𝑏 + 𝐶𝐶11 (𝐼𝐼 𝑝𝑝 + 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ2 ); trong đó đưa vào các ký hiệu ∗ 𝑝𝑝 ∗ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 22 𝐴𝐴∗ = 𝜅𝜅𝐺𝐺𝐴𝐴 𝑏𝑏 + 𝐶𝐶55 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ; 𝐼𝐼11 = 𝜌𝜌𝐴𝐴 𝑏𝑏 +𝜌𝜌 𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ; 𝐼𝐼12 = 𝜌𝜌 𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ; 𝐼𝐼22 = 𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑏𝑏 +𝜌𝜌 𝑝𝑝 𝐼𝐼 𝑝𝑝 +𝜌𝜌 𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ2 . 𝑝𝑝 ∗ ∗ ∗ 33 𝐴𝐴 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏ℎ 𝑏𝑏 ; 𝐼𝐼 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏ℎ3 /12; 𝐴𝐴 𝑝𝑝 = 𝑏𝑏ℎ 𝑝𝑝 ; 𝐼𝐼 𝑝𝑝 = 𝑏𝑏ℎ3 /12. (8) 𝑏𝑏 𝑝𝑝 𝑊𝑊 = ∫ 𝑃𝑃( 𝑡𝑡) 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑣𝑣𝑣𝑣) 𝑤𝑤0 ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑, Công của lực ngoài, tức tải trọng di động, bằng 𝐿𝐿 0 trong đó 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 ) là hàm Đi-rắc có các tính chất (9) ∞: 𝑥𝑥 = 0 +∞ ( ) ( 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 ) = � ;∫ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝛿𝛿 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ). 0 ∶ 𝑥𝑥 ≠ 0 −∞ Thay các biểu thức (6) và (7) vào nguyên lý Hamilton: ∫𝑡𝑡 2 𝛿𝛿 ( 𝑇𝑇 − Π + W) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0, sau đó sử dụng quy (10) 𝑡𝑡 1 tắc biến phân và tích phân từng phần ta nhận được phương trình chuyển động của hệ dầm kép nêu trên ( 𝐼𝐼11 𝑢𝑢̈0 − 𝐴𝐴11 𝑢𝑢0 ) + �𝐼𝐼12 ̈ − 𝐴𝐴12 � + ℎ13 𝐴𝐴 𝑝𝑝 𝐷𝐷′ = 0; ở dạng ∗ ∗ ′′ ∗ ∗ ′′ ( 𝐼𝐼12 𝑢𝑢̈0 − 𝐴𝐴12 𝑢𝑢0 ) + �𝐼𝐼22 ̈ − 𝐴𝐴∗ ∗ ∗ ′′ ∗ 22 ′′ � − 𝐴𝐴∗ ( 𝑤𝑤0 − ) + ℎ13 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ𝐷𝐷′ = 0; 33 ′ 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝐼𝐼11 𝑤𝑤0 − 𝐴𝐴∗ ( 𝑤𝑤0 − ̈ ′) = 𝑃𝑃( 𝑡𝑡) 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑣𝑣𝑣𝑣); ℎ13 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ( 𝑢𝑢0 + ℎ𝜃𝜃 ′ ) − 𝛽𝛽33 𝐴𝐴 𝑝𝑝 𝐷𝐷 = 0. ∗ ′′ ′ 𝑝𝑝 (11) 33 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝐷𝐷 = ℎ13 ( 𝑢𝑢0 + ℎ𝑤𝑤0 )/𝛽𝛽33 , Từ phương trình cuối trong (11) ta tìm được ′ ′′ 𝑝𝑝 (12) ( 𝐼𝐼11 𝑢𝑢̈0 − 𝐵𝐵11 𝑢𝑢0 ) + �𝐼𝐼12 ̈ − 𝐵𝐵12 � = 0; do đó, thế biểu thức (12) vào các phương trình còn lại trong (11) ta được ∗ ∗ ′′ ∗ ∗ ′′ ( 𝐼𝐼12 𝑢𝑢̈0 − 𝐵𝐵12 𝑢𝑢0 ) + �𝐼𝐼22 ̈ − 𝐵𝐵22 ∗ ∗ ′′ ∗ ∗ ′′ � − 𝐴𝐴∗ ( 𝑤𝑤0 − ) = 0; 33 ′ 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝐼𝐼11 𝑤𝑤0 − 𝐴𝐴∗ ( 𝑤𝑤0 − ∗ ̈ ′′ ′) = 𝑃𝑃( 𝑡𝑡) 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑣𝑣𝑣𝑣), (13) 33 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝐵𝐵11 = 𝐴𝐴11 − 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ13 /𝛽𝛽33 = 𝐸𝐸𝐴𝐴 𝑏𝑏 + 𝐸𝐸 𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑝𝑝 , 𝐵𝐵12 = 𝐴𝐴12 − 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎℎ13 /𝛽𝛽33 = 𝐸𝐸 𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ, trong đó ∗ ∗ 2 𝑝𝑝 ∗ ∗ 2 𝑝𝑝 𝐵𝐵22 = 𝐴𝐴∗ − 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ2 ℎ13 𝛽𝛽33 = 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑏𝑏 + 𝐶𝐶11 𝐼𝐼 𝑝𝑝 + 𝐸𝐸 𝑝𝑝 𝐴𝐴 𝑝𝑝 ℎ2 ; 𝐸𝐸 𝑝𝑝 = 𝐶𝐶11 − ℎ13 /𝛽𝛽33 . ∗ 2 𝑝𝑝 𝑝𝑝 2 𝑝𝑝 𝑝𝑝 (14) 22 [ 𝐀𝐀]� 𝒁𝒁′′ ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)� + [ 𝚷𝚷]� 𝒁𝒁′ ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)� + [ 𝛀𝛀]{ 𝒁𝒁( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)} = −{ 𝑷𝑷( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)}, Thực hiện phép biến đổi Fourier phương trình (13) trở thành { 𝒁𝒁( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)} = ∫ {𝑢𝑢0 ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡), ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡), 𝑤𝑤0 ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡)}𝑒𝑒 −𝑖𝑖 𝜔𝜔 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝒁𝒁′ = 𝑑𝑑𝒁𝒁/𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝒁𝒁′′ = 𝑑𝑑 2 𝒁𝒁/𝑑𝑑𝑥𝑥 2 ; ∞ (15) −∞ � � 𝑷𝑷( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) = �0,0, 𝑃𝑃( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)� , 𝑃𝑃( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) = (1/𝑣𝑣)𝑃𝑃(𝑥𝑥/𝑣𝑣)exp {−𝑖𝑖 𝜔𝜔 𝑥𝑥/𝑣𝑣} 𝑇𝑇 𝜃𝜃 (16) với các ma trận
244 Lê Khánh Toàn, Nguyễn Thị Lan, Nguyễn Tiến Khiêm 𝐵𝐵11 ∗ 𝐵𝐵12 ∗ 0 0 0 0 𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 ∗ 𝜔𝜔2 𝐼𝐼12 ∗ 0 [ 𝐀𝐀] = � 𝐵𝐵12 ∗ 𝐵𝐵22 ∗ 0 � ; [ 𝚷𝚷] = �0 0 𝐴𝐴∗ � ; [ 𝛀𝛀] = � 𝜔𝜔2 𝐼𝐼12 33 ∗ 𝜔𝜔2 𝐼𝐼22 − 𝐴𝐴∗ ∗ 33 0 �. 0 0 𝐴𝐴∗ 33 0 − 𝐴𝐴∗ 33 0 0 0 𝜔𝜔 𝐼𝐼11 2 ∗ (17) Bây giờ ta xét dầm chủ chứa một vết nứt có độ sâu 𝑎𝑎 tại các vị trí 𝑒𝑒, trong đó vết nứt được mô hình công thức 𝑇𝑇 = 𝐸𝐸𝐴𝐴 𝑏𝑏 /𝛾𝛾𝑎𝑎 ; 𝑅𝑅 = 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑏𝑏 /𝛾𝛾 𝑏𝑏 , trong đó 𝛾𝛾𝑎𝑎 , 𝛾𝛾 𝑏𝑏 gọi là độ lớn vết nứt trong dao động dọc trục và hóa bởi hai lò xo dọc trục và xoắn (Hình 2) có độ cứng lần lượt là T và R , được tính từ độ sâu bằng các 𝛾𝛾𝑎𝑎 = 2𝜋𝜋(1 − 𝜈𝜈0 )ℎ 𝑏𝑏 𝑓𝑓𝑎𝑎 (𝑎𝑎/ℎ 𝑏𝑏 ); 𝛾𝛾 𝑏𝑏 = 6𝜋𝜋(1 − 𝜈𝜈0 )ℎ 𝑏𝑏 𝑓𝑓𝑏𝑏 ( 𝑎𝑎/ℎ 𝑏𝑏 ); dao động uốn tính bằng [18-19]: 2 2 𝑓𝑓𝑎𝑎 (𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 2 (0.6272 − 0.17248𝑧𝑧 + 5.92134𝑧𝑧 2 − 10.7054𝑧𝑧 3 + 31.5685𝑧𝑧 4 − 67.47𝑧𝑧 5 + (19) + 139.123𝑧𝑧 6 − 146.682𝑧𝑧 7 + 92.3552𝑧𝑧 8 ); 𝑓𝑓𝑏𝑏 (𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 2 (0.6272 − 1.04533𝑧𝑧 + 4.5948𝑧𝑧 2 − 9.9736𝑧𝑧 3 + 20.2948𝑧𝑧 4 − 33.0351𝑧𝑧 5 + (20) +47.1063𝑧𝑧 6 − 40.7556𝑧𝑧 7 + 19.6𝑧𝑧 8 ). a R h a) b) T Hình 2: Mô hình vết nứt trong dầm 𝑈𝑈( 𝑒𝑒 + 0) = 𝑈𝑈( 𝑒𝑒 − 0) + 𝛾𝛾𝑎𝑎 𝑈𝑈 ′𝑥𝑥 ( 𝑒𝑒) ; 𝛩𝛩( 𝑒𝑒 + 0) = 𝛩𝛩( 𝑒𝑒 − 0) + 𝛾𝛾 𝑏𝑏 𝛩𝛩𝑥𝑥 ( 𝑒𝑒) ; Khi đó, điều kiện tương thích tại vết nứt đối với các chuyển vị có dạng 𝛩𝛩𝑥𝑥 ( 𝑒𝑒 + 0) = 𝛩𝛩𝑥𝑥 ( 𝑒𝑒 − 0) ; 𝑊𝑊𝑥𝑥′ ( 𝑒𝑒 + 0) = 𝑊𝑊𝑥𝑥′ ( 𝑒𝑒 − 0) + 𝛾𝛾 𝑏𝑏 𝛩𝛩𝑥𝑥 ( 𝑒𝑒). ′ ′ ′ ′ (21) Như vậy, giải phương trình (15) thỏa mãn điều kiên (21) cùng với điều kiện biên cụ thể, ta được đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng di động. Bây giờ ta xét trường hợp dao động cưỡng bức với tải trọng điều hòa có biên độ 𝑃𝑃0 và tần số Ω 𝑚𝑚 , 3. Đáp ứng phổ của dầm áp điện bị nứt chịu tải trọng di động tức 𝑃𝑃 ( 𝑡𝑡) = 𝑃𝑃0 exp {𝑖𝑖Ω 𝑚𝑚 𝑡𝑡}, khi đó vế phải phương trình (15) có thể tính được bằng � 𝑃𝑃( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) = (𝑃𝑃0 /𝑣𝑣) exp{−𝑖𝑖Ω 𝑥𝑥 } ; Ω = (𝜔𝜔 − Ω 𝑚𝑚 )/𝑣𝑣 𝒁𝒁 𝑞𝑞 ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) = �𝑈𝑈 0 ( 𝜔𝜔), 𝛩𝛩𝑞𝑞 ( 𝜔𝜔), 𝑊𝑊𝑞𝑞0 ( 𝜔𝜔)� exp{−𝑖𝑖Ω 𝑥𝑥 }, và do đó ta có thể tìm được một nghiệm riêng của phương trình (15) ở dạng 0 𝑇𝑇 𝑞𝑞 (22) 𝑈𝑈 0 ( 𝜔𝜔) = (𝑖𝑖Ω)𝑃𝑃0 𝐴𝐴∗ (Ω2 𝐵𝐵12 − 𝜔𝜔2 𝐼𝐼12 )/𝑣𝑣Δ; 𝛩𝛩𝑞𝑞 ( 𝜔𝜔) = (𝑖𝑖Ω)𝑃𝑃0 𝐴𝐴∗ (𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 − Ω2 𝐵𝐵11 )/𝑣𝑣Δ; trong đó ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 𝑞𝑞 33 33 𝑊𝑊𝑞𝑞0 ( 𝜔𝜔) = 𝑃𝑃0 𝐷𝐷/Δ; Δ = ( 𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 − Ω2 𝐴𝐴∗ ) 𝐷𝐷 + 𝑖𝑖Ω 𝐴𝐴∗2 (𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 − Ω2 𝐵𝐵11 ); ∗ 33 33 ∗ ∗ 𝐷𝐷 = 𝜔𝜔4 ( 𝐼𝐼11 𝐼𝐼22 − 𝐼𝐼12 ) + Ω4 ( 𝐵𝐵11 𝐵𝐵22 − 𝐵𝐵12 ) + 𝐴𝐴∗ (Ω2 𝐵𝐵11 − 𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 ) + ∗ ∗ ∗2 ∗ ∗ ∗2 ∗ ∗ (23) 33 +𝜔𝜔2 Ω2 (2𝐼𝐼12 𝐵𝐵12 − 𝐼𝐼11 𝐵𝐵22 − 𝐼𝐼22 𝐵𝐵11 ). ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ { 𝒁𝒁(𝑥𝑥, 𝜔𝜔)} = { 𝑈𝑈( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔), Θ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔), 𝑊𝑊 ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)} 𝑇𝑇 = [ 𝚽𝚽( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)]{ 𝑪𝑪} + 𝒁𝒁 𝑞𝑞 ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) Sau khi có một nghiệm riêng, nghiệm tổng quát của phương trình (15) sẽ bằng (24)
245 Đáp ứng tần số của dầm Timoshenko áp điện có vết nứt chịu tải trọng di động với { 𝑪𝑪} = {𝐶𝐶1 , . . . , 𝐶𝐶6 } 𝑇𝑇 là véc tơ hằng số tùy ý và ma trận [ 𝚽𝚽( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] có dạng [𝚽𝚽( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] = �𝐆𝐆0 ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) + 𝐊𝐊( 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒) 𝐆𝐆0 ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)�; [𝐆𝐆 𝑐𝑐 (𝑥𝑥)] : 𝑥𝑥 > 0; [𝐆𝐆′ (𝑥𝑥)] : 𝑥𝑥 > 0; ′ (25) [𝐊𝐊(𝑥𝑥)] = � [𝐊𝐊 ′ (𝑥𝑥)] = � 𝑐𝑐 [ 𝟎𝟎]: 𝑥𝑥 ≤ 0; [ 𝟎𝟎]: 𝑥𝑥 ≤ 0; 𝛼𝛼1 𝑒𝑒 𝑘𝑘1 𝑥𝑥 𝛼𝛼2 𝑒𝑒 𝑘𝑘2 𝑥𝑥 𝛼𝛼3 𝑒𝑒 𝑘𝑘3 𝑥𝑥 𝛼𝛼1 𝑒𝑒 −𝑘𝑘1 𝑥𝑥 𝛼𝛼2 𝑒𝑒 −𝑘𝑘2 𝑥𝑥 𝛼𝛼3 𝑒𝑒 −𝑘𝑘3 𝑥𝑥 [ 𝐺𝐺0 (𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] = � 𝑒𝑒 𝑘𝑘1 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑘𝑘2 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑘𝑘3 𝑥𝑥 𝑒𝑒 −𝑘𝑘1 𝑥𝑥 𝑒𝑒 −𝑘𝑘2 𝑥𝑥 𝑒𝑒 −𝑘𝑘3 𝑥𝑥 �; 𝛽𝛽1 𝑒𝑒 𝑘𝑘1 𝑥𝑥 𝛽𝛽2 𝑒𝑒 𝑘𝑘2 𝑥𝑥 𝛽𝛽3 𝑒𝑒 𝑘𝑘3 𝑥𝑥 −𝛽𝛽1 𝑒𝑒 −𝑘𝑘1 𝑥𝑥 −𝛽𝛽2 𝑒𝑒 −𝑘𝑘2 𝑥𝑥 −𝛽𝛽3 𝑒𝑒 −𝑘𝑘3 𝑥𝑥 𝛼𝛼𝑗𝑗 = (𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 + 𝜂𝜂 𝑗𝑗 𝐵𝐵11 )/(𝜔𝜔2 𝐼𝐼12 + 𝜂𝜂 𝑗𝑗 𝐵𝐵12 ); 𝛽𝛽𝑗𝑗 = 𝜆𝜆𝑗𝑗 𝐴𝐴∗ /�𝜔𝜔2 𝐼𝐼11 + 𝜂𝜂 𝑗𝑗 𝐴𝐴∗ �; 𝑗𝑗 = 1,2,3 . ∗ ∗ ∗ ∗ 33 ∗ 33 𝛾𝛾𝑎𝑎 ∑3 𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝛿𝛿 𝑖𝑖1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑖𝑖=1 𝛾𝛾 𝑏𝑏 ∑3 𝛼𝛼 𝑖𝑖 (𝛿𝛿 𝑖𝑖2 + 𝛿𝛿 𝑖𝑖3 ) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑖𝑖=1 0 [𝐆𝐆 𝑐𝑐 (𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] = � 𝛾𝛾𝑎𝑎 ∑3 𝛿𝛿 𝑖𝑖1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑖𝑖=1 𝛾𝛾 𝑏𝑏 ∑3 (𝛿𝛿 𝑖𝑖2 + 𝛿𝛿 𝑖𝑖3 ) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑖𝑖=1 0�; 𝛾𝛾𝑎𝑎 ∑3 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝛿𝛿 𝑖𝑖1 𝑠𝑠ℎ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝛾𝛾 𝑏𝑏 ∑3 𝛽𝛽𝑖𝑖 (𝛿𝛿 𝑖𝑖2 + 𝛿𝛿 𝑖𝑖3 ) 𝑠𝑠ℎ 𝑘𝑘2 𝑥𝑥 0 (26) 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖=1 𝛿𝛿11 = ( 𝑘𝑘3 𝛽𝛽3 − 𝑘𝑘2 𝛽𝛽2 )/∆; 𝛿𝛿12 = ( 𝛼𝛼3 𝑘𝑘2 𝛽𝛽2 − 𝛼𝛼2 𝑘𝑘3 𝛽𝛽3 )/∆; 𝛿𝛿13 = ( 𝛼𝛼2 − 𝛼𝛼3 )/∆; 𝛿𝛿21 = ( 𝑘𝑘1 𝛽𝛽1 − 𝑘𝑘3 𝛽𝛽3 )/∆; 𝛿𝛿22 = ( 𝛼𝛼1 𝑘𝑘3 𝛽𝛽3 − 𝛼𝛼3 𝑘𝑘1 𝛽𝛽1 )/∆; 𝛿𝛿23 = ( 𝛼𝛼3 − 𝛼𝛼1 )/∆; 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛿𝛿31 = ( 𝑘𝑘2 𝛽𝛽2 − 𝑘𝑘1 𝛽𝛽1 )/∆; 𝛿𝛿32 = ( 𝛼𝛼2 𝑘𝑘1 𝛽𝛽1 − 𝛼𝛼1 𝑘𝑘2 𝛽𝛽2 )/∆; 𝛿𝛿33 = ( 𝛼𝛼1 − 𝛼𝛼2 )/∆; ∆= 𝑘𝑘1 𝛽𝛽1 (𝛼𝛼2 − 𝛼𝛼3 ) + 𝑘𝑘2 𝛽𝛽2 (𝛼𝛼3 − 𝛼𝛼1 ) + 𝑘𝑘3 𝛽𝛽3 (𝛼𝛼1 − 𝛼𝛼2 ). 𝑈𝑈(0) = 𝑊𝑊 (0) = 𝑀𝑀(0) = 𝑁𝑁( 𝐿𝐿) = 𝑊𝑊 ( 𝐿𝐿) = 𝑀𝑀( 𝐿𝐿) = 0 Xét dầm với điều kiện biên tựa đơn hai đầu, được mô tả bằng các phương trình trong đó 𝑁𝑁( 𝑥𝑥 ) = 𝐵𝐵11 𝜕𝜕 𝑥𝑥 𝑈𝑈( 𝑥𝑥 ) − 𝐵𝐵12 𝜕𝜕 𝑥𝑥 Θ(x) và 𝑀𝑀( 𝑥𝑥 ) = 𝐵𝐵12 𝜕𝜕 𝑥𝑥 𝑈𝑈( 𝑥𝑥 ) − 𝐵𝐵22 𝜕𝜕 𝑥𝑥 Θ(x). Thay biểu thức (24) ∗ ∗ ∗ ∗ (27) � { 𝑪𝑪} = −[ 𝐁𝐁( 𝜔𝜔)]−1 �𝑷𝑷( 𝜔𝜔)�, vào (15) ta xác định được véc tơ hằng số C bằng (28) 𝛼𝛼1 𝛼𝛼2 𝛼𝛼3 𝛼𝛼1 𝛼𝛼2 𝛼𝛼3 ⎡ 𝛽𝛽1 𝛽𝛽2 𝛽𝛽3 −𝛽𝛽1 −𝛽𝛽2 −𝛽𝛽3 ⎤ với ⎢ 𝑚𝑚1 𝑚𝑚2 𝑚𝑚3 −𝑚𝑚1 −𝑚𝑚2 −𝑚𝑚3 ⎥ [ 𝐁𝐁( 𝜔𝜔)] = [𝐁𝐁 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝜔𝜔)] = ⎢ 𝑁𝑁 (𝐿𝐿) 𝑁𝑁2 (𝐿𝐿) 𝑁𝑁3 (𝐿𝐿) 𝑁𝑁4 (𝐿𝐿) 𝑁𝑁5 (𝐿𝐿) ⎥ 𝑁𝑁6 (𝐿𝐿) ⎥ ; ⎢ 1 ⎢ 𝜙𝜙31 (𝐿𝐿) 𝜙𝜙32 (𝐿𝐿) 𝜙𝜙33 (𝐿𝐿) 𝜙𝜙34 (𝐿𝐿) 𝜙𝜙35 (𝐿𝐿) 𝜙𝜙36 (𝐿𝐿)⎥ (29) ⎣ 𝑀𝑀1 (𝐿𝐿) 𝑀𝑀2 (𝐿𝐿) 𝑀𝑀3 (𝐿𝐿) 𝑀𝑀4 (𝐿𝐿) 𝑀𝑀5 (𝐿𝐿) 𝑀𝑀6 (𝐿𝐿) ⎦ 𝑚𝑚𝑗𝑗 = (𝐵𝐵12 𝛼𝛼𝑗𝑗 − 𝐵𝐵22 )𝑘𝑘𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 1,2,3; ∗ ∗ 𝑁𝑁𝑗𝑗 (𝐿𝐿) = 𝐵𝐵11 𝜙𝜙1𝑗𝑗 (𝐿𝐿) − 𝐵𝐵12 𝜙𝜙2𝑗𝑗 (𝐿𝐿), 𝑀𝑀𝑗𝑗 (𝐿𝐿) = 𝐵𝐵12 𝜙𝜙1𝑗𝑗 (𝐿𝐿) − 𝐵𝐵22 𝜙𝜙2𝑗𝑗 (𝐿𝐿), 𝑗𝑗 = 1,2, … ,6; ∗ ′ ∗ ′ ∗ ′ ∗ ′ � � � 𝑃𝑃1 ( 𝜔𝜔) = 𝑈𝑈 0 ( 𝜔𝜔) ; 𝑃𝑃2 ( 𝜔𝜔) = 𝛩𝛩𝑞𝑞 ( 𝜔𝜔); 𝑃𝑃3 ( 𝜔𝜔) = 𝑊𝑊𝑞𝑞0 ( 𝜔𝜔); 𝑞𝑞 0 � � � 𝑃𝑃4 ( 𝜔𝜔) = 𝑈𝑈 𝑞𝑞 𝜔𝜔 exp{−𝑖𝑖Ω 𝐿𝐿} ; 𝑃𝑃5 ( 𝜔𝜔) = 𝛩𝛩𝑞𝑞 𝜔𝜔 exp{−𝑖𝑖Ω 𝐿𝐿} ; 𝑃𝑃6 ( 𝜔𝜔) = 𝑊𝑊𝑞𝑞0 ( 𝜔𝜔) exp{−𝑖𝑖Ω 𝐿𝐿}. 0( ) 0( ) (30) 𝜙𝜙 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 ), 𝜙𝜙 ′ ( 𝑥𝑥 ), 𝑖𝑖 = 1,2,3; 𝑗𝑗 = 1,2, … . ,6 là các phần tử của ma trận [𝚽𝚽( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] và [𝚽𝚽′ ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)] được xác 𝑖𝑖 � { 𝒁𝒁( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)} = 𝒁𝒁 𝑞𝑞 ( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔) − [ 𝚽𝚽( 𝑥𝑥, 𝜔𝜔)][ 𝐁𝐁( 𝜔𝜔)]−1 �𝑷𝑷( 𝜔𝜔)�. 𝑖𝑖 𝑖𝑖 định trong (25) và cuối cùng ta được (31) 4. Khảo sát số 𝐿𝐿 = 1; 𝑏𝑏 = 0.1; ℎ 𝑏𝑏 = 0.1; 𝐸𝐸 𝑏𝑏 = 70MPa, 𝜌𝜌 𝑏𝑏 = 2700kg/m3 , 𝜇𝜇 𝑏𝑏 = 0.3. Xét dầm chủ có các tham số hình học và vật liệu sau: ℎ 𝑝𝑝 = 0.01 − 0.1. Các tham số vật liệu áp điện bằng Lớp áp điện gắn chặt vào đáy dầm có cùng chiều dài và chiều rộng như dầm chủ, chiều dầy thay đổi
246 Lê Khánh Toàn, Nguyễn Thị Lan, Nguyễn Tiến Khiêm 𝐶𝐶11 = 69.0084GPa, 𝛽𝛽33 = 7.3885. 107 m/F, 𝜌𝜌 𝑝𝑝 = 7750kg/m3 , ℎ13 = −7.70394. 108 𝑉𝑉/𝑚𝑚. 𝑝𝑝 𝑝𝑝 Trước tiên, chúng ta sẽ khảo sát hàm phổ đáp ứng độ võng giữa nhịp 𝑆𝑆 𝑤𝑤 ( 𝜔𝜔) = |𝑊𝑊(𝐿𝐿/2, 𝜔𝜔)| được xác định từ công thức (31), phụ thuộc vào tần số và tốc độ di chuyển của lực điều hòa v, Ω và các tham số vết nứt. Kết quả tính toán được trình bày trong các hình 3 – 4. (a) Tải hằng số di động (Ω 𝑚𝑚 = 0) (b) Tải điều hòa không cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = 0.4𝜔𝜔01 ) Hình 3. Phổ tần số của độ võng giữa dầm (nguyên vẹn – trái và bị nứt – phải) phụ thuộc vào tốc độ và tần số của tải trọng di động Hình 3 trình bày phổ đáp ứng điện của dầm nguyên vẹn (bên trái) và dầm bị nứt (bên phải) trong hai trường hợp khác nhau của tần số tải trọng: (a) tải hằng số (tần số tải bằng 0); (b) tải điều hòa không cộng hưởng (tần số tải trọng bằng 0.4 tần số riêng). Trên mỗi hình vẽ trình bày đồ thị của hàm phổ đáp ứng điện tương ứng với các vận tốc khác nhau của tải trọng. Khảo sát các đồ thị trên các hình ta thấy các thành phần dao động nổi trội là thành phần dao động với tần số tải trọng, gọi là dao động cưỡng bức và thành phần dao động với tần số riêng, gọi là dao động riêng. Biên độ của thành phần dao động riêng có thể bị triệt tiêu nếu tốc độ tải trọng đạt một giá trị nào đó xác định. Hình 4 trình bày biên độ dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc tải trọng trong ba trường hợp của tần số tải trọng và ứng với các độ sâu vết nứt khác nhau, trong đó có trường hợp của dầm nguyên vẹn khi độ sâu vết nứt bằng 0. Đồ thị trên Hình 4 cho thấy, biên độ dao động riêng đơn điệu giảm khi độ sâu vết hưởng nó chỉ đạt cực đại ở vận tốc khoảng 0.05-0.06 lần vận tốc tới hạn (𝑉𝑉𝑐𝑐 = 𝜔𝜔01 𝐿𝐿/𝜋𝜋). Tại các vận tốc nứt tăng và biên độ này có thể đạt cực đại ở các vận tốc tải trọng khác nhau ngoại trừ trường hợp cộng
247 Đáp ứng tần số của dầm Timoshenko áp điện có vết nứt chịu tải trọng di động mà biên độ dao động riêng đạt cực tiểu (chỉ tồn tại trong trường hợp không cộng hưởng) thì nó không (a)Tải trọng hằng số (Ω 𝑚𝑚 = 0) (b) Tải không cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = 0.4𝜔𝜔01 ) phụ thuộc vào độ sâu vết nứt. (c)Tải trọng cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = 𝜔𝜔01 ) Hình 4. Biên độ đáp ứng cơ (độ võng tại giữa dầm) tại tần số riêng không nứt phụ thuộc vào vận tốc tải trọng và độ sâu vết nứt. 𝑆𝑆0 (𝜔𝜔) và dầm bị nứt 𝑆𝑆 𝑐𝑐 (𝜔𝜔), được tính bằng công thức Hình 5 và 6 trình bày hệ số tương quan giữa phổ đáp ứng của dầm nguyên vẹn, ký hiệu là 1/2 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = � � . ∑ 𝑘𝑘=1 𝑆𝑆0 (𝜔𝜔 𝑘𝑘 )𝑆𝑆 𝑐𝑐 (𝜔𝜔 𝑘𝑘 )∙∑ 𝑘𝑘=1 𝑆𝑆0 (𝜔𝜔 𝑘𝑘 )𝑆𝑆 𝑐𝑐 (𝜔𝜔 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁𝑁𝑁 ∑ 𝑘𝑘=1 𝑆𝑆0 (𝜔𝜔 𝑘𝑘 ) ∑ 𝑘𝑘=1 𝑆𝑆 2 (𝜔𝜔 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁𝑁𝑁 2 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑐𝑐 (32)
248 Lê Khánh Toàn, Nguyễn Thị Lan, Nguyễn Tiến Khiêm (a) (b) trí và độ sâu vết nứt với các tần số tải trọng khác nhau. (a)Tải trọng hằng số (Ω 𝑚𝑚 = 0); (b) Tải trọng (c) Hình 5. Hệ số tương quan giữa phổ đáp ứng cơ của dầm bị nứt và dầm nguyên vẹn, phụ thuộc vào vị không cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = 0.4𝜔𝜔01 ); (c)Tải trọng cộng hưởng (Ω 𝑚𝑚 = 𝜔𝜔01 ). Hệ số tuương quan phổ, ký hiệu là SAC (spectral asurance criterion) là hàm số của vị trí vết nứt tính được cho các độ sâu vết nứt (Hình 5) khác nhau trong các trường hợp tần số tải trọng hằng số, điều hòa không cộng hưởng và tải trọng cộng hưởng. Hình 6 trình bày hệ số tương quan của đáp ứng cộng hưởng ứng với các giá trị khác nhau của vận tốc tải trọng. Dễ dàng nhận thấy sự thay đổi của hệ số tương quan phổ phụ thuộc vào vết nứt (gọi tắt là độ nhạy cảm với vết nứt) tương tự như tần số riêng và tần số tải trọng không cộng hưởng ảnh hưởng ít đến độ nhạy cảm của của hệ số này với vết nứt. Tuy nhiên, độ nhạy cảm của hệ số tương quan phổ nêu trên đối với vết nứt trong trường hợp tải trọng không cộng hưởng lớn hơn nhiều độ nhạy cảm này trong trường hợp cộng hưởng. Mặt khác, các đồ thị Hình 6 cho thấy độ nhạy cảm của hệ số tương quan phổ tăng lên khi vận tốc tải trọng tăng.
249 Đáp ứng tần số của dầm Timoshenko áp điện có vết nứt chịu tải trọng di động Hình 6. Hệ số tương quan giữa phổ đáp ứng điện của dầm bị nứt và dầm nguyên vẹn, phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tốc độ của tải trọng cộng hưởng 5. Kết luận Dựa trên các kết quả nghiên cứu đã nhận được các tác giả có thể đưa ra các kết luận chính sau đây: 1. Đã xây dựng được mô hình dầm Timoshenko bị nứt có lớp áp điện chịu tải điều hòa di động và nhận được lời giải giải tích trong miền tần số của độ võng giữa nhịp, gọi là đáp ứng cơ học của dầm áp điện dưới tác động của tải trọng di điều hòa động. 2. Đã nghiên cứu phổ đáp ứng cơ học phụ thuộc vào vận tốc và tần số tải trọng và phát hiện ra rằng trong phổ đáp ứng cơ học nổi trội hai thành phần dao động chính là dao động cưỡng bức với tần số của tải trọng và dao động riêng với tần số dao động riêng. Biên độ dao động của các thành phần dao động này phụ thuộc nhiều vào vận tốc và tần số tải trọng. 3. Thành phần dao động duy nhất tồn tại trong phổ đáp ứng khi tần số tải trọng bằng tần số riêng, được gọi là dao động cộng hưởng; biên độ dao động cộng hưởng giảm mạnh khi tăng vận tốc tải trọng di động. 4. Khảo sát hệ số tương quan giữa phổ đáp ứng của dầm bị nứt và dầm nguyên vẹn phụ thuộc vào vị trí, độ sâu vết nứt cũng như tần số và vận tốc tải trọng cho thấy: (a) hệ số tương quan phổ này phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt tương tự như tần số riêng, do đó hệ số tương quan phổ này là một chỉ số quan trọng có thể sử dụng để chẩn đoán vết nứt cùng với tần số riêng; (b) tần số của tải trọng ảnh hưởng ít đến độ nhạy của hệ số tương quan phổ đối với vết nứt, nhưng vận tốc của tải trọng làm tăng độ nhạy cảm của hệ số tương quan phổ với vết nứt. Lời cảm ơn. Công trình này được hoàn thành trong khuôn khổ đề tài cấp cơ sở Viện Cơ học, 2022. Tài liệu tham khảo [1] M. Olsson. On the fundamental moving load problem. Journal of Sound and Vibration 145(2) (1991) 299–307.
250 Lê Khánh Toàn, Nguyễn Thị Lan, Nguyễn Tiến Khiêm [2] J.W.Z. Zu and R.P.S. Han, Dynamic response of a spinning Timoshenko beam with general boundary conditions and subjected to a moving load, Journal of Applied Mechanics 61 (1994) 152– 160. [3] Y. B. Yang, C.L. Lin, J. Yau et al. Mechanism of resonance and cancellation for strain-induced vibration on bridges with elastic bearings. Journal of Sound and Vibration 269(1) (2005) 345–360. [4] H. P. Lee, “The dynamic response of a Timoshenko beam subjected to a moving mass,” Journal of Sound and Vibration, 198(2) (1996) 249–256. [5] A. Yavari, M. Nouri, M. Mofid. Discrete element analysis of a dynamic response of Timoshenko beams under moving mass. Adv Eng Software 33 (2002) 143-53. [6] N. Azizi, M.M. Saadatpour, M. Mahzoon. Using spectral element method for analyzing continuous beams and bridges subjected to a moving load. Appl Math Model 36 (2012) 3580-92. [7] M. Shafiei and M. Khaji. Analytical solutions for free and forced vibrations of multiple cracked Timoshenko beam subject to a concentrated moving load. Acta Mechanica 221(1) (2011) 79–97. [8] N.T. Khiem, T.T. Hai, N.V. Quang, An approach to the moving load problem for multiple cracked beams. In: Allemang R, et al. (eds) Topics in Modal Analysis. Volume 7, New York: Springer, 2014, pp. 451–459. [9] N.T. Khiem, P.T. Hang, Frequency response of a beam-like structure to moving harmonic forces. Vietnam Journal of Mechanics 38 (4) (2016) 223-238. [10] V. Sarvestan, H.R. Mirdamadi, M. Ghayour. Vibration analysis of cracked Timoshenko beam under moving load with constant velocity and acceleration by spectral finite element method. International Journal of Mechanical Sciences, 122 (2017) 318-330. [11] H. Chouiyakh, L. Azrar, K. Alnafaie, O. Akourri. Vibration and Multi-crack Identification of Timoshenko Beams under Moving Mass. Intern. J. Mech. Sciences 120 (2017) 1-11. [12] N.T. Khiem and P.T. Hang. Analysis and identification of multiple-cracked beam subjected to moving harmonic load. Journal of Vibration and Control 24(13) (2018) 2782–2801. [13] A. Ghannadiasl and S.K. Ajirlou. Dynamic analysis of multiple cracked Timoshenko beam under moving load – analytical method. Journal of Vibration and Control 28 (3-40) (2020) 379-395. [14] Ali Nikkhoo, Investigating the behavior of smart thin beams with piezoelectric actuators under dynamic loads. Mechanical Systems and Signal Processing 45 (2014) 513-530. [15] Nguyen Tien Khiem, Tran Thanh Hai & Luu Quynh Huong. Modal Analysis of Cracked FGM Beam with Piezoelectric Layer. Mechanics Based Design of Structures and Machines. Published Online First 28 Oct 2021. DOI: 15397734.2021.1992775. [16] Nguyen Tien Khiem, Tran Thanh Hai, Luu Quynh Huong. Crack Identification for Functionally Graded Beam Using Distibuted Piezoelectric Sensor. Journal of Vibration and Control, First Online May 20, 2022. DOI: 10.1177/10775463221095649. [17] Dao động của dầm Euler-Bernoulli có lớp áp điện chịu tải trọng di động. Báo cáo tổng kết đề tài cấp cơ sở Viện Cơ học năm 2020. [18] T.G. Chondros, A.D. Dimarogonas, J. Yao, Longitudinal vibration of a continuous cracked rod. Engineering Fracture Mechanics 61 (1998) 593–606. [19] T.G. Chondros, A.D. Dimarogonas, J. Yao, A continuous cracked beam vibration theory. Journal of Sound and Vibration 215(1) (1998)17–34.