§5. DAÕY SOÁ HOÄI TUÏ VAØ DAÕY SOÁ PHAÂN KYØ
1) Ñònh nghóa daõy soá:
Moät haøm soá x xaùc ñònh treân taäp hôïp caùc soá töï nhieân ñöôïc
goïi laø daõy soá. Ñoái vôùi daõy soá, ngöôøi ta thöôøng vieát
n
x
thay cho kieåu
vieát thoâng thöôøng cuûa haøm soá laø
()xn
, vôùi moãi
.n
Daõy soá naøy
ñöôïc kyù hieäu laø
nn
x
hoaëc vieát goïn laø
n
x
.
Taäp hôïp
n
xn
ñöôïc goïi laø mieàn giaù trò cuûa daõy soá. Daõy
soá ñöôïc goïi laø bò chaën treân hoaëc bò chaën döôùi hoaëc laø bò chaën nghóa laø
mieàn giaù trò cuûa daõy coù tính chaát bò chaën treân, bò chaën döôùi hoaëc laø
bò chaën.
Cho soá vaø hai daõy
,
nn
xy
thì ta coù theå laäp ra nhieàu daõy
soá môùi nhö
vaø
n
n
x
y
(neáu
0,
n
yn
).
2) Daõy soá hoäi tuï vaø daõy soá phaân kyø:
Daõy soá
n
x
ñöôïc goïi laø coù giôùi haïn hoaëc laø hoäi tuï nghóa laø
toàn taïi moät soá thöïc x sao cho
0, , , n
p n p x x
Soá x ñöôïc goïi laø giôùi haïn cuûa daõy (xn) vaø ñöôïc kyù hieäu laø
lim n
n
xx
hay vieát goïn laø
lim n
xx
, hoaëc laø
n
xx
khi
n
.
Daõy soá khoâng coù giôùi haïn hay khoâng hoäi tuï ñöôïc goïi laø daõy soá
phaân kyø.
Heä quaû. (i)
lim lim( ) 0.
nn
x x x x
(ii)
lim 0 lim 0.
nn
xx
3) Daõy soá Cauchy:
Daõy soá (xn) ñöôïc goïi laø daõy Coâ-si nghóa laø
0, , , nm
p n m p x x
4) Söï phaân kyø ra voâ cöïc:
Daõy soá
()
n
x
ñöôïc goïi laø phaân kyø ra döông voâ cöïc hoaëc tieán ra
döông voâ cöïc (
n
x
) nghóa laø:
0, , , .
n
M p n p x M
Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung
2
Daõy soá
()
n
x
ñöôïc goïi laø phaân kyø ra aâm voâ cöïc hoaëc tieán ra aâm
voâ cöïc (
n
x
) nghóa laø:
0, , , .
n
M p n p x M
Baøi taäp
1. Duøng ñònh nghóa, haõy chöùng minh daõy soá (xn) ñònh bôûi
a)
,,
23
n
n
xn
n
hoäi tuï veà
1
2
.
b)
2
2
1,
21
n
n
xn
nn
, hoäi tuï veà ½.
2. a) C/m raèng neáu daõy soá (xn) hoäi tuï (veà x) thì daõy soá ñoù bò chaën.
b) C/m raèng neáu daõy soá (xn) laø daõy Cauchy thì noù bò chaën.
3. C/m raèng neáu (xn) coù giôùi haïn thì giôùi haïn laø duy nhaát.
4. C/m raèng neáu (xn) hoäi tuï (veà x) thì daõy soá ñoù laø daõy Coâ-si. (Chieàu
ngöôïc laïi seõ ñöôïc xeùt ôû baøi hoïc sau).
5. C/m raèng daõy soá (sn) ñònh bôûi
2 2 2
1 1 1
123
n
sn
laø daõy
Coâ-si. Hdaãn: khi xeùt
nm
ss
, söû duïng
2( 1), .k k k k
6. C/m raèng daõy soá (sn) ñònh bôûi
11
12
n
sn
khoâng phaûi laø
daõy Coâ-si.
7. Cho soá thöïc vaø
lim .
n
xx
C/m
lim( ) .
n
xx
8. Cho
lim vaø lim
nn
x x y y
. C/m
lim( ) .
nn
x y x y
9. Cho
lim vaø lim
nn
x x y y
. C/m
lim( ) .
nn
x y xy
10. a) Cho (xn) hoäi tuï vaø
0
0,
n
x n n
(n0 laø soá töï nhieân naøo ñoù).
C/m
lim 0.
n
x
b) Cho hai daõy hoäi tuï (xn) vaø (yn) vaø
0
,
nn
x y n n
. C/m
lim lim .
nn
xy
c) Cho hai daõy soá (xn) vaø (yn) hoäi tuï veà cuøng giôùi haïn laø a. Giaû söû
(zn) laø daõy soá thoûa
0
,.
n n n
x z y n n
Khi ñoù
lim .
n
za
§6. CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA DAÕY SOÁ HOÄI TUÏ
Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán
3
1) Giôùi haïn baûo toaøn caùc pheùp tính cuûa daõy:
Cho hai daõy soá hoäi tuï (xn) vaø (yn) vaø cho soá thöïc . Khi ñoù
(i)
lim( ) lim lim
n n n n
x y x y
(ii)
lim( ) lim vaø lim( ) lim . lim .
n n n n n n
x x x y x y
(iii) Neáu
0
lim 0 vaø 0,
nn
y y n n
(n0 laø soá töï nhieân naøo ñoù) thì
lim
lim .
lim
nn
nn
xx
yy
2) Giôùi haïn baûo toaøn thöù töï caùc daõy:
Cho hai daõy soá hoäi tuï (xn) vaø (yn)
(i) Neáu
0
,
nn
x y n n
(vôùi n0 naøo ñoù) thì
lim lim .
nn
xy
(ii) [tieâu chuaån “giôùi haïn keïp”] Neáu
lim lim
nn
x y a
vaø coù theâm
daõy soá (an) thoûa
0
,
n n n
x a y n n
thì
lim .
n
aa
3) Tính chaát bò chaën cuûa daõy hoäi tuï: daõy soá naøo hoäi tuï thì daõy soá
ñoù bò chaën.
Nhö vaäy, daõy soá naøo khoâng bò chaën thì daõy soá ñoù phaân kyø.
4) Caùc giôùi haïn cô baûn:
(i) Vôùi r > 0, ta coù
1
lim 0,
r
nn
(ii) Vôùi r > 0, ta coù
lim 1,
n
nr
(iii)
lim 1,
n
nn
(iv) Vôùi r > 0 vaø , ta coù
lim 0,
(1 )n
n
n
r
(v) Vôùi
1x
, ta coù
lim 0.
n
nx
Chöùng minh.
Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung
4
(i) Vôùi
0
tuøy yù, choïn
1/
11.
r
p
Khi ñoù
11
,0
rr
np
np
Nhö vaäy giôùi haïn ñöôïc chöùng minh theo
ñònh nghóa.
(ii) Xeùt tröôøng hôïp r > 1 vaø xeùt daõy (xn) ñònh bôûi
1, .
n
n
x r n
Theo khai trieån cuûa nhò thöùc Newton thì
(1 )n
nn
r x nx
(do
0
n
x
) neân
,0 .
n
r
nx
n
Duøng tieâu chuaån giôùi haïn keïp thì
lim 0,
n
x
suy ra
lim 1.
nr
Tröôøng hôïp r = 1 thì hieån nhieân. Khi 0 < r < 1 thì
11sr
,
aùp duïng tröôøng hôïp tröôùc, ta coù
11
lim 1 lim .
lim
n
nn
s
rr
Vaäy
lim 1.
nr
(iii) Vì
, 1 0
n
n
n x n
neân
2 2 2
( 1)
2, (1 ) 2
n
n n n n
nn
n n x C x x
(khai trieån nhò thöùc
Newton). Töø ñoù ta suy ra
1/ 2
2
2, 0 .
( 1)
n
nx
n
Duøng tieâu chuaån
giôùi haïn keïp vaø keát quaû (i) ta suy ra
0.
n
x
Vaäy
lim 1.
nn
(iv) Ñeå deã hình dung, ta xeùt thì
33
(1 ) , 3.
n
n
r C r n
(Tröôøng hôïp toång quaùt, choïn soá töï nhieân
[ ] 1k
thì ta coù
(1 ) ,
n k k
n
r C r n k
). Ta suy ra, vôùi moïi
3n
thì
2,7 2,7 2,7 3
3 3 3 3 3 0,3
3! 6 1
0.
( 1)( 2)
(1 ) ( 2)
n
n
n n n n
n n n
r C r r r n n
Duøng tieâu chuaån giôùi haïn keïp vaø keát quaû caâu (i), ta coù ñpcm.
Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán
5
(v) Khi x = 0 thì hieån nhieân. Neáu
01x
, choïn
10
x
rx
thì
ta coù
1
1
xp
vaø
1
00
(1 )
n
n
n
xx r
khi
.n
Baøi taäp
1. Vôùi taäp con A cuûa khaùc roãng bò chaën treân, haõy chöùng minh
raèng coù daõy soá
()
n
xA
sao cho
sup
n
xA
khi
.n
Phaùt
bieåu keát quaû töông töï khi A bò chaën döôùi.
2. Cho daõy soá (xn) bò chaën treân vaø coù tính chaát
1
,.
nn
n x x
Chöùng minh raèng (xn) laø daõy hoäi tuï.
3. Cho daõy soá (xn) bò chaën döôùi vaø coù tính chaát
1
,.
nn
n x x
Chöùng minh raèng (xn) laø daõy hoäi tuï.
4. Cho daõy soá (xn) hoäi tuï veà 0 vaø daõy soá (yn) bò chaën. C/m raèng daõy
soá (xnyn) hoäi tuï veà 0 (tích cuûa moät daõy hoäi tuï veà 0 vôùi moät daõy bò
chaën laø moät daõy hoäi tuï veà 0).
5. Cho (xn) laø daõy soá döông hoäi tuï veà x > 0. Chöùng minh raèng
lim 1.
nn
nx
Neáu x = 0 thì keát quaû coøn ñuùng khoâng?
6. Tính a)
2
lim 2
n
nnn
b)
3
lim 3 7 2
n
nnn
.
7. Vôùi soá thöïc x tuøy yù, chöùng minh raèng coù moät daõy (qn) goàm caùc soá
höõu tæ vaø moät daõy (rn) goàm caùc soá voâ tæ sao cho
n
qx
vaø
n
rx
khi
n
.
8. Cho daõy soá (en) ñònh bôûi
1
1.
n
n
en
Chöùng minh raèng
a)
1
,.
nn
n e e
Hdaãn:
1
2
21
1
1( 1)
n
n
n
en
en n
, duøng baát
ñaúng thöùc Bernouli.
b) (en) bò chaën treân. Hdaãn: khai trieån nhò thöùc Newton seõ cho
thaáy
21
1 1 1 1 1 1 1
11
1! 2! ! 1 2 22
nn
xn
.