ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC PHẦN: ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI
Dùng cho các lớp cao học từ Khóa 26 – Ngành: Toán
PHẦN NHÓM
Câu 1. Cho G là một nhóm tùy ý. Ký hiệu S(G) là tập tất cả các song ánh từ G
đến G. Chứng minh rằng:
1) S(G) với phép hợp thành ánh xạ là một nhóm;
2) Nhóm G đẳng cấu với một nhóm con của S(G);
3) Nếu G là nhóm hữu hạn cấp n thì G đẳng cấu với một nhóm con của nhóm
Sn các phép thế bậc n.
Câu 2. Cho p là một số nguyên tố. Định nghĩa khái niệm p-nhóm và khái niệm
p-nhóm con Sylow của một nhóm G.
1). Tìm các p-nhóm con Sylow của nhóm các phép thế S3 với p=2 và p=3.
2). Giả sử G là một nhóm hữu hạn cấp n (n>1) và p là một ước nguyên tố của
n. Phát biểu định lý về sự tồn tại p-nhóm con Sylow của G.
3). Sử dụng định lý về sự tồn tại p-nhóm con Sylow hãy chứng tỏ rằng:
a) Trong G có ít nhất một phần tử cấp p;
b) G là một p-nhóm khi và chỉ khi mỗi phần tử của G đều có cấp là một lũy
thừa của p.
4) Sử dụng kết quả ở ý 3a, hãy chứng minh rằng mọi nhóm abel cấp 6 đều là
nhóm xyclic.
Câu 3. Cho S là một tập hợp khác rỗng.
1). Định nghĩa khái niệm nhóm tự do trên S.
2). Chứng minh rằng nhóm cộng các số nguyên là một nhóm tự do trên tập
S = {1}.
3). Chứng minh rằng tồn tại duy nhất (sai khác đẳng cấu) một nhóm tự do
trên S.
Câu 4. Cho S là một tập hợp khác rỗng.
1). Định nghĩa khái niệm nhóm abel tự do với cơ sở S.
2). Chứng minh rằng nhóm cộng các số nguyên là một nhóm abel tự do với
cơ sở S = {1}.
3). Chứng minh rằng tồn tại duy nhất (sai khác đẳng cấu) một nhóm abel tự
do với cơ sở S.
Câu 5. Cho G là một nhóm xyclic. Chứng minh rằng:
1). Nếu G là nhóm vô hạn thì G đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên ,
nếu G là nhóm hữu hạn cấp m thì G đẳng cấu với nhóm cộng m;
2). G không phân tích được khi và chỉ khi hoặc G là một nhóm vô hạn hoặc
G là nhóm hữu hạn có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố nào đó.
Câu 6. Cho G là một nhóm abel cấp n (n>1) và p là một ước nguyên tố của n.
Ký hiệu
Gp = { x G | cấp của x là một lũy thừa của p}.
1). Chứng minh rằng G chỉ có duy nhất một p-nhóm con Sylow và đó là Gp;
2). Giả sử
1
1.... k
k
n p p

là một phân tích tiêu chuẩn của n thành tích các thừa
số nguyên tố. Chứng minh rằng G phân tích được thành tổng trực
tiếp
1... ,
k
pp
G G G
trong đó
i
p
G
có cấp
i
i
p
với mọi i = 1, ..., k.
3). Hãy phân tích nhóm abel cấp 300 thành tổng trực tiếp của những nhóm
con Sylow.
Câu 7. 1). Định nghĩa và cho ví dụ về nhóm abel hữu hạn sinh.
2). Phát biểu Định lý cơ bản về nhóm abel hữu hạn sinh.
3). Chứng minh rằng nhóm cộng các số hữu tỷ không hữu hạn sinh và
không phân tích được.
4). Cho m, n là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau. Chứng minh
rằng:
.
m n mn

5). Các nhóm
38
và
56
có đẳng cấu với nhau không? Vì sao?
Câu 8. Cho G là một nhóm tùy ý và N là một nhóm con của G.
1) Chứng minh rằng N là chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn tại một đồng cấu nhóm
f: G → H sao cho N = Ker f.
2) Giả sử [G:N]=2. Chứng minh rằng N là một nhóm con chuẩn tắc. Hãy xác
định nhóm thương G/N trong trường hợp này.
3) Giả sử G = Sn là nhóm các phép thế bậc n và N = An là nhóm thay phiên
trên n phần tử. Hãy chứng tỏ An là một nhóm con chuẩn tắc của Sn và mô tả
nhóm thương Sn / An.
PHẦN VÀNH
Câu 1. 1). Cho I là một iđêan hai phía của vành R. Chứng minh rằng K là một
iđêan hai phía của vành thương R/ I khi và chỉ khi tồn tại một iđêan hai phía J
của R chứa I sao cho
|.
J
K a I a J
I
2). Mô tả các iđêan của vành thương
Câu 2. 1). Cho I là một iđêan trái và J là một iđêan phải của vành R. Chứng
minh rằng tập hợp IJ = {x1y1+ ... + xnyn | n , xi I, yi J} là một iđêan hai
phía của vành R.
2). Trong vành , cho iđêan I = 4 và J = 6. Hãy mô tả iđêan IJ.
Câu 3. 1). Cho I và J là các iđêan trái (tương ứng phải hoặc hai phía) của vành
R. Chứng minh rằng tập hợp I+J = {a + b | aI, bJ} là một iđêan trái (tương
ứng phải hoặc hai phía) của vành R.
2). Trong vành , cho iđêan I = 4 và J = 6. Hãy mô tả iđêan I+J.
Câu 4. 1). Định nghĩa khái niệm iđêan nguyên tố và khái niệm iđêan nguyên tố
hoàn toàn trong một vành.
2). Chứng minh rằng mọi iđêan nguyên tố hoàn toàn đều là iđêan nguyên tố
3). Chứng minh rằng nếu R là một vành giao hoán thì P là một iđêan nguyên
tố hoàn toàn của R khi và chỉ khi P là một iđêan nguyên tố.
4). Mô tả các iđêan nguyên tố trong vành .
5). Cho R là một vành và P là một iđêan hai phía của R. Khi đó P là iđêan
nguyên tố hoàn toàn nếu và chỉ nếu vành thương R/P không chứa ước của
không.
Câu 5. 1). Định nghĩa khái niệm iđêan trái (tương ứng phải hoặc hai phía) cực
đại của một vành.
2). Mô tả các iđêan cực đại của vành các số nguyên .
3). Chứng minh rằng trong một vành có đơn vị luôn tồn tại iđêan trái (tương
ứng phải hoặc hai phía) cực đại.
4). Cho R là một vành giao hoán và I là một iđêan thực sự của R. Chứng minh
rằng I là iđêan cực đại khi và chỉ khi vành thương R/I là một trường.
Câu 6 Trình bày các hiểu biết của anh (chị) về vành các số nguyên .
Câu 7 1). Định nghĩa khái niệm phần tử bất khả quy trong một vành.
2). Cho R là một miền nguyên. Chứng minh rằng một phần tử khác không
a R là bất khả quy khi iđêan aR là một iđêan nguyên tố.
3). Trong vành các số nguyên , hãy mô tả các phần tử bất khả quy và các
iđêan nguyên tố.
4). Cho vành đa thức một biến A = k[x] với k là một trường.
a). Mô tả đa thức bất khả quy trong vành A.
b). Chứng minh rằng một đa thức f A là bất khả quy khi và chỉ khi
iđêan fA là cực đại.
Câu 8
1). Trình bày khái niệm đa thức một biến và vành đa thức một biến.
2). Trình bày hiểu biết của anh (chị) về vành đa thức k[x] với k là một trường.
Câu 9 Cho F là một miền nguyên hữu hạn. Chứng minh rằng:
1) F là một trường;
2) Số phần tử của F là lũy thừa của một số nguyên tố.
PHẦN MÔĐUN
Câu 1. (2 điểm) Cho R là một vành giao hoán.
1). Định nghĩa các khái niệm: R-môđun, đồng cấu R-môđun. Cho ví dụ.
2). Cho f: M → N là một đồng cấu R-môđun. Chứng minh rằng, nếu A là
một môđun con của M thì f(A) là môđun con của N.
3). Cho f: M → N là một đồng cấu R-môđun. Chứng minh rằng, nếu B là
một môđun con của N thì f -1 (B) là một môđun con của M.
4). Cho f: M → N là một đồng cấu R-môđun. Chứng minh rằng Im f là một
môđun con của N.
5). Cho f: M → N là một đồng cấu R-môđun. Chứng minh rằng Ker f là một
môđun con của M.
Câu 2. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, M, N là các R-môđun. Ký hiệu
HomR(M, N) = {f: M → N | f là một đồng cấu R-môđun}.
Chứng minh rằng HomR(M, N) là một R-môđun với phép cộng và phép nhân với
vô hướng xác định như sau: với f, g HomR(M, N) và a R thì f + g: M → N,
xác định bởi (f+g)(x) = f(x) + g(x) và a f: M → N, xác định bởi (af)(x) = a f(x)
với mọi x M.
Nếu vành R không giao hoán thì với cách xây dựng như trên, HomR(M, N) có
là một R-môđun không? Vì sao?
Câu 3. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị.
1). Định nghĩa các khái niệm: phức, dãy khớp, dãy khớp ngắn các R-môđun.
2). Cho ví dụ về một dãy khớp ngắn.
3). Chứng minh rằng dãy các R-môđun và các R-đồng cấu: