Đề không chuyên toán THPT năng khiếu 2009

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

197
lượt xem 44
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu mang tính chất tham khảo cho các bạn học sinh thi vào trường không chuyên toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề không chuyên toán THPT năng khiếu 2009

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2009 - 2010 TRƯỜNG PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN NĂNG KHIẾU Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề _________________________________________________________________________________________ Bài 1. (2 điểm) ⎛5 x⎞ a) Giải phương trình bằng cách đặt ẩn số t = ⎜ − ⎟ : ⎝ x 4⎠ 400 ⎛5 x⎞ x 2 + 2 = 35 + 24 ⎜ − ⎟ x ⎝ x 4⎠ b) Cho phương trình mx + 3 ( m + 1) x − 2m + 3 = 0 . 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 + x2 2 = 34 x +2 x + 3 3x + 4 x − 5 Bài 2. (2.5 điểm) Xét biểu thức: R = − − x +1 5 − x x − 4 x − 5 a) Rút gọn R . b) Tìm số thực x để R > −2 . Tìm số tự nhiên x là số chính phương sao cho R là số nguyên. Bài 3. (2 điểm) ⎧ x + xy + y = 0 a) Giải hệ phương trình: ⎨ 2 ⎩x + y = 8 2 b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC . Giả sử phương trình ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = 0 có nghiệm kép. Tính số đo các góc của tam giác ABC . Bài 4. (1.5 điểm) Cho tam giác ABC , có ABC = 600 , ACB = 450 . Dựng AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) , và dựng HK ⊥ AB ( K ∈ AB ) . Gọi M là trung điểm của AC . Biết AH = 3 , tính BC . Chứng minh BKMC là tứ giác nội tiếp. Bài 5. (1 điểm) Trong kỳ kiểm tra môn Toán một lớp gồm 3 tổ A, B, C, điềm trung bình của học sinh ở các tổ được thống kê ở bảng sau: Tổ A B C A và B B và C Điểm trung bình 9.0 8.8 7.8 8.9 8.2 Biết tổ A gồm 10 học sinh, hãy xác định số học sinh và điểm trung bình của toàn lớp. Bài 6. (1 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) , có đỉnh A cố định và các đỉnh B, C , D di chuyển trên ( O ) sao cho BAD > 900 . Kẻ tia Ax vuông góc với AD cắt BC tại E , kẻ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F . Gọi K là điểm đối xứng của A qua EF . Chứng minh tứ giác EFCK nội tiếp được và đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu www.trungtamquangminh.tk 1
Hướng dẫn giải Bài 1. ⎛5 x⎞ 5 25 x 2 400 ⎛ 5⎞ a) Đặt t = ⎜ − ⎟ , suy ra t 2 + = 2 + ⇒ x 2 + 2 = 16 ⎜ t 2 + ⎟ ⎝ x 4⎠ 2 x 16 x ⎝ 2⎠ ⎡ 5 2 ⎢t = 4 Phương trình trở thành 16t − 24t + 5 = 0 ⇔ ⎢ ⎢t = 1 ⎢ 4 ⎣ 5 5 x 5 −5 ± 105 Với t = , ta có − = ⇔ x1,2 = 4 x 4 4 2 1 5 x 1 ⎡ x3 = −5 Với t = , ta có − = ⇔ ⎢ 4 x 4 4 ⎣ x4 = 4 ⎧ ⎪ −5 + 105 −5 − 105 ⎫ ⎪ Vậy S = ⎨−5;4; ; ⎬ ⎪ ⎩ 2 2 ⎪ ⎭ ⎧m ≠ 0 ⎪ b) Điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt ⎨ ⇔m≠0 ⎪ Δ = 9 ( m + 1) − 4m ( −2m + 3) > 0 2 ⎩ Với điều kiện trên, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và theo định lý Viet ta có ⎧ −3 ( m + 1) ⎪ S = x1 + x2 = ⎪ m ⎨ ⎪ P = x x = −2m + 3 ⎪ ⎩ 1 2 m ⎡ m = 1( n ) 13m 2 + 12m + 9 Khi đó x1 + x2 = 34 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 34 ⇔ = 34 ⇔ ⎢ 2 2 2 m 2 ⎢m = − 3 ( n ) ⎢ ⎣ 7 3 Đáp số: m = 1, m = − 7 Bài 2 a) Đặt t = x ta có R= − − = ( ) t + 2 t + 3 3t 2 + 4t − 5 ( t + 2 )( t − 5 ) + ( t + 3)( t + 1) − 3t + 4t − 5 2 t + 1 5 − t t 2 − 4t − 5 ( t + 1)( t − 5 ) = −t 2 − 3t − 2 =− ( t + 1)( t + 2 ) = − t + 2 = − x + 2 ( t + 1)( t − 5 ) ( t + 1)( t − 5) t − 5 x −5 b)* Điều kiện x ≥ 0 t+2 t+2 t − 12 ⎡t < 5 Ta có R > −2 ⇔ − > −2 ⇔ 2 − >0⇔ >0⇔⎢ t −5 t −5 t −5 ⎣t > 12 Với t < 5 ⇔ x < 5 ⇔ 0 ≤ x < 25 Với t > 12 ⇔ x > 12 ⇔ x > 144 Vậy giá trị x cần tìm là 0 ≤ x < 25 và x > 144 • Ta có x là số chính phương nên t = x ∈ Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu www.trungtamquangminh.tk 2
t+2 7 Khi đó R = − = −1 + ∈ ⇒ t – 5 là ước của 7, mặt khác t − 5 ≥ −5 do đó t −5 t −5 t − 5 = −1,1,7 Từ đó những giá trị x cần tìm là x = 16,36,144 Bài 3. ⎧ x + xy + y = 0 a) ⎨ 2 ⎩x + y = 8 2 ⎡ ⎧ S = −4 ⎢⎨ ⎧S + P = 0 ⎧P = −S ⎩P = 4 Đặt S = x + y, P = xy , khi đó ta có hệ ⎨ 2 ⇔⎨ 2 ⇔⎢ ⎢⎧S = 2 ⎩S − 2P = 8 ⎩ S + 2S − 8 = 0 ⎢⎨ ⎢ ⎩ P = −2 ⎣ ⎧ S = −4 ⎧ x + y = −4 ⎧ x = −2 Với ⎨ ta có ⎨ ⇔⎨ ⎩P = 4 ⎩ xy = 4 ⎩ y = −2 ⎧S = 2 ⎧x + y = 2 ⎧x = 1− 3 ⎪ ⎧x = 1− 3 ⎪ Với ⎨ ta có ⎨ giải hệ ta được ⎨ hoặc ⎨ ⎩ P = −2 ⎩ xy = −2 ⎪y = 1+ 3 ⎩ ⎪ y = 1+ 3 ⎩ ( )( Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm ( x; y ) là ( −2; −2 ) , 1 + 3;1 − 3 , 1 − 3,1 + 3 ) b) ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = 0 ⇔ 3x 2 − 2 ( a + b + c ) x + ( ab + bc + ac ) = 0 Ta có Δ′ = ( a + b + c ) − 3 ( ab + ac + bc ) = a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc 2 Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi 1⎡ ( a − b) + (b − c) + (c − a ) ⎤ = 0 2 2 2 Δ′ = 0 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac = 0 ⇔ 2⎣ ⎦ ⇔ a−b = b−c = c−a = 0 ⇔ a = b = c Khi đó tam giác ABC đều, suy ra A = B = C = 600 Bài 4. A a) Trong tam giác vuông ABH ta có AH AH 3 tan ABH = ⇒ BH = = 0 =1 BH tan ABH tan 60 Trong tam giác vuông AHC có ACH = 450 ⇒ HAC = 450 nên AHC là tam giác vuông M cân, suy ra HC = HA = 3 K Do đó BC = BH + CH = 1 + 3 (đvđd) 60 0 45 0 b) Tam giác AHC vuông cân, có AM là trung tuyến nên B H C cũng là đường cao, suy ra AM ⊥ HC C1: Tứ giác AKHM có AKH + AMH = 900 + 900 = 1800 nên là tứ giác nội tiếp, suy ra AKM = AHM = 900 − HAM = 450 Tứ giác BKMC có AKM = BCM = 450 nên là tứ giáv nội tiếp. C2: Ta có AK. AB = AH2, AM. AC = AH2, suy ra AK. AB = AM. AC Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu www.trungtamquangminh.tk 3
Suy ra tam giác AKM và ABC đồng dạng (c.g.c), suy ra AKM = BCM = 450 nên là tứ BKMC giác nội tiếp. Bài 5. Gọi x, y lần lượt là số học sinh tổ B và C. 9 × 10 + 8,8 × x Ta có = 8,9 ⇒ x = 10 10 + x 8,8 × x + 7,8 × y Tương tự = 8, 2 , với x = 10 thì y = 15 x+ y 9 × 10 + 8,8 × 10 + 7,8 × 15 Vậy điểm trung bình của cả lớp là = 8, 43 10 + x + y Bài 6. * Tứ giác ABCD nội tiếp nên BAD + BCD = 1800 A Và BAD + EAF = BAE + EAF + FAD + EAF B = BAF + DAE = 900 + 900 = 1800 E Suy ra BCD = EAF (1) x Mặt khác, do A và K đối xứng nhau qua EF nên O EKF = EAF (2) Từ (1) và (2) suy ra EKF = ECF , do đó tứ giác D F C EFKC nội tiếp. * Vì tứ giác EFKC nội tiếp nên ta có FCK = FEK mà FEK = FEA (do tính chất đối xứng) y K Và FEA = KAD (cùng phụ với KAE ) Do đó KAD = FCK Suy ra tứ giác ADKC nội tiếp, suy ra K thuộc (O), suy ra OA = OK, suy ra O thuộc đường trung trực của AK mà EF là đường trung trực của AK nên O thuộc EF. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định. Nhận xét: Đề năm nay cho khá dài so với thời gian 120 phút. Vì là đề chung cho tất cả các lớp chuyên nên kiến thức dàn trải và có vài câu khó. Tuy nhiên để được 4 thì cũng không khó nếu các em làm bài cẩn thận. Có thể nhận xét từng câu như sau: Câu 1: a) (0,75) Câu này nhiều em không làm được, vì không thể tính tất cả theo t. b) (1,25) Câu này thuộc dạng cơ bản và dễ, các em sót điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt. (0,25) và nhiều em không hiểu sao lại bỏ trường hợp m = -3/7 (!) Câu 2. a) (1) Câu này dễ và quen, và quan trọng vì nếu làm được thì câu b mới làm được. Tuy vậy có nhiều không rút gọn triệt để hoặc sai dấu (!) b) *(1) Câu này nhiều bạn sai nhất, vì không chuyển vế xét trường mà quy đồng bỏ mẫu một cách rất tự nhiên và tất nhiên là sai. (*) (0,5) Câu này không khó và nhiều em làm đúng. Câu 3. a) Bài hệ thì quá cơ bản, tuy vậy có nhiều em giải ra tích và tổng đúng nhưng khi áp dụng định lý đảo Viet lại sai (X2 – SX + P = 0 mà cứ lộn X2 + SX – P = 0) Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu www.trungtamquangminh.tk 4
b) Bài này nhìn có vẻ rắc rối nhưng nếu đưa về phương trình bậc hai thì coi như xong. (lại một câu về phương trình bậc 2) Câu 4. Câu này có lẻ là dễ nhất trong đề, và hầu lết làm được và đúng. Câu 5. Câu này không khó, nếu “chịu” làm thì sẽ làm đúng kết quả. Và cũng nhiều em làm đúng. Câu 6. Câu này là câu khó nhất, và nhiều em bỏ nhất. Ý đầu tiên có lẽ không khó nhưng ý sau thì khó. Câu này là câu phân loại và dành cho học sinh chuyên toán. Trên đây là một vài nhận xét chủ quan của người viết. Hy vọng rút kinh nghiệm trong các kỳ thi sau và có kết quả tốt hơn. Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu www.trungtamquangminh.tk 5