Đ s 13ề ố
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Ầ Ấ Ả ể
Câu I: (2 đi m) Cho hàm s ể ố
( )
3 1
2 4
+ −
=+ +
x m
ym x m
có đ th là (Cồ ị m) (m là tham s )ố
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s khi m = 0.ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2) Xác đ nh m sao cho đ ng th ng (d): y = ị ườ ẳ − x + m c t đ th (C) t i hai đi m A, B sao choắ ồ ị ạ ể
đ dài đo n AB là ng n nh t. ộ ạ ắ ấ
Câu II: (2 đi m) ể
1) Gi i ph ng trình:ả ươ
sin cos 4sin 2 1− + =x x x
.
2) Tìm m đ h ph ng trình: ể ệ ươ
( )
2 2
2 2
2
4
− + =
+ − =
x y x y
m x y x y
có ba nghi m phân bi t.ệ ệ
Câu III: (1 đi m) Tính các tích phân ể
1
3 2
0
1= −
I x x dx
; J =
1
1
( ln )
+
+
ex
x
xe dx
x e x
Câu IV: (1đi m) Cho hình l p ph ng ABCD.A'B'C'D' c nh b ng a và đi m M trên c nh ABể ậ ươ ạ ằ ể ạ
sao cho AM = x, (0 < x < a). M t ph ng (MA'C') c t BC t i N. Tính x theo a đ th tíchặ ẳ ắ ạ ể ể
kh i đa di n MBNC'A'B' b ng ố ệ ằ
1
3
th tích kh i l p ph ng ABCD.A'B'C'D'.ể ố ậ ươ
Câu V: (1 đi m) ể Cho x, y là hai s d ng thay đ i tho đi u ki n 4(x + y) – 5 = 0. Tìm giá trố ươ ổ ả ề ệ ị
nh nh t c a bi u th c S = ỏ ấ ủ ể ứ
4 1
4
+
x y
.
II. PH N RIÊNG (3 đi m) Ầ ể
A. Theo ch ng trình Chu n :ươ ẩ
Câu VI.a (2 đi m)ể
1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hai đ ng th ng ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ườ ẳ ∆1:
3 4 5 0x y+ + =
; ∆2:
. Vi t ph ng trình đ ng tròn có tâm n m trên đ ng th ng d: x – 6y – 10ế ươ ườ ằ ườ ẳ
= 0 và ti p xúc v i ế ớ ∆1, ∆2.
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), Bớ ệ ọ ộ
thu c tr c Ox và có hoành đ d ng, C thu c Oy và có tung đ d ng. M t ph ng (ABC)ộ ụ ộ ươ ộ ộ ươ ặ ẳ
vuông góc v i m t ph ng (OBC), ớ ặ ẳ
ﾷ
tan 2=OBC
. Vi t ph ng trình tham s c a đ ngế ươ ố ủ ườ
th ng BC.ẳ
Câu VII.a (1 đi m) ểGi i ph ng trình: ả ươ
2
2(2 ) 7 4 0− + + + =z i z i
trên t p s ph c.ậ ố ứ
B. Theo ch ng trình Nâng cao :ươ
Câu VI.b (2 đi m)ể
1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho các đi m Mặ ẳ ớ ệ ọ ộ ể 1(155; 48), M2(159; 50), M3(163;
54), M4(167; 58), M5(171; 60). L p ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m M(163; 50)ậ ươ ườ ẳ ể
sao cho đ ng th ng đó g n các đi m đã cho nh t. ườ ẳ ầ ể ấ
2) Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho ba đi m A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm t aớ ệ ạ ộ ể ọ
đ đi m B trong mp(Oxy) sao cho t giác OABC là hình ch nh t. Vi t ph ng trình m tộ ể ứ ữ ậ ế ươ ặ
c u đi qua b n đi m O, B, C, S.ầ ố ể
Câu VII.b (1 đi m) ểCh ng minh r ng : ứ ằ
4 2
8 8 1 1− + a a
, v i m i ớ ọ a thu c đo n [–1; 1].ộ ạ
H ng d n Đ s 13ướ ẫ ề ố
Câu I: 2) AB =
( )
2
2 1 4 2
2
−+
m
. D u "=" x y ra ấ ả ⇔
1
2
=m
⇒ AB ng n nh t ắ ấ ⇔
1
2
=m
.
Câu II: 1) Đ t ặ
sin cos , 0= − t x x t
. PT ⇔
2
4 3 0t t− − =
⇔
x k 2
π
=
.
2) H PT ệ⇔
4 2
2
2
( 1) 2( 3) 2 4 0 (1)
2
1
− + − + − =
+
=
+
m x m x m
x
yx
.
• Khi m = 1: H PT ệ⇔
2
2
2
2 1 0
( )
2
1
+ =
+
=
+
x
VN
x
yx
• Khi m ≠ 1. Đ t t = xặ2 ,
0t
. Xét
2
( ) ( 1) 2( 3) 2 4 0 (2)= − + − + − =f t m t m t m
H PT có 3 nghi m phân bi t ệ ệ ệ ⇔ (1) có ba nghi m ệx phân bi t ệ
⇔ (2) có m t nghi m t = 0 và 1 nghi m t > 0 ộ ệ ệ ⇔
( )
(0) 0
... 2
2 3 0
1
=
=� �
−
= >
−
f
m
m
Sm
.
Câu III: •
1
3 2
0
1= −
I x x dx
Đ t: ặ
2
1= −t x
⇒
( )
1
2 4
0
2
15
= − =
I t t dt
.
• J =
( )
1
1
ln
+
+
ex
x
xe dx
x e x
=
( )
1
1
ln 1
ln ln ln
ln
++
= + =
+
x
ee
e
x
x
d e x e
e x ee x
Câu IV: Ta có A'M, B'B, C'N đ ng quy t i S. Đ t Vồ ạ ặ 1 = VSBMN, V2 = VSB'A'C' , V = VMBNC'A'B'.
Ta có
( )
'
−
−
= =�a a x
SB a x SB
SB a x
, (0< x < a)
Xét phép v t tâm S t s k = ị ự ỉ ố
1−x
a
ta có:
3
1
2
−
� �
=� �
� �
Va x
V a
. Mà
4
2 ' ' '
1. '
3 6
∆
= =
A B C
a
V S SB x
.
⇒
3
4
1
1
6
� �
= −
� �
� �
a x
Vx a
; Do đó:
3 2
4 3
2 1
1 1 1 1 1
6 6
� � � �
� � � � � �
= − = − − = + − + −
� � � �
� � � � � �
� �
� � � � � �
� �
� � � �
a x a x x
V V V x a a a
Theo đ bài V = ề
2 2
3
3 3
1 1
1 1 1 1 1 1 0
3 6 3
� �
� � � � � � � �
+ − + − = − + − − =� �
� �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� �
� �
a x x x x
a a
a a a a
(*)
Đ t ặ
1 , 0
� �
= − >
� �
� �
x
t t
a
(vì 0 < x < a), PT (*) ⇔ t2 + t – 1 = 0 ⇒ t =
1( 5 1)
2−
⇒
3 5
2
−
=x a
Câu V: Ta có: 4(x + y) = 5 ⇒ 4y = 5 – 4x ⇒ S =
4 1
4
+
x y
=
20 15
(5 4 )
−
−
x
x x
, v i 0 < x < ớ
5
4
D a vào BBT ự⇒ MinS = 5 đ t đ c khi x = 1, y = ạ ượ
1
4
Câu VI.a: 1) Tâm I là giao đi m c a d v i đ ng phân giác c a góc t o b i ể ủ ớ ườ ủ ạ ở ∆1 và ∆2.
2)
Câu VII.a:
2 ; 2 3= − = +z i z i
z
Câu VI.b: 1) Đ ng th ng d: ườ ẳ y = ax + b g n các đi m đã cho Mầ ể i(xi; yi), i = 1,..., 5 nh t thì m t đi u ki nấ ộ ề ệ
c n là ầ
( )
52
1
1
( )
=
= −
i
i
f a y y
bé nh t, trong đó ấ
= +
ii
y ax b
.
Đ ng th ng d đi qua đi m M(163; 50) ườ ẳ ể ⇒ 50 = 163a + b ⇒ d: y = ax – 163a + 50.
T đó: ừ
2 2 2
( ) (48 155 163 50) (50 159 163 50) (54 163 163 50)= − + − + − + − + − + −f a a a a a a a
+
2 2
(58 167 163 50) (60 171 163 50)+ − + − + − + −a a a a
=
2 2 2 2 2
(8 2) (4 ) 4 (8 4 ) (10 8 )− + + + − + −a a a a
( )
2
2 80 129 92= − +a a
.(P)
⇒ f(a) bé nh t khi a = ấ
129
160
⇒ b =
13027
160
−
. Đáp s : d:ố
129 13027
160 160
= −y x
2) OABC là hình ch nh t ữ ậ ⇒ B(2; 4; 0) ⇒ T a đ trung đi m H c a OB là H(1; 2; 0), H chính làọ ộ ể ủ
tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác vuông OCB.ườ ạ ế
+ Đ ng th ng vuông góc v i mp(OCB) t i H c t m t ph ng trung tr c c a đo n OS (mp cóườ ẳ ớ ạ ắ ặ ẳ ự ủ ạ
ph ng trình z = 2 ) t i I ươ ạ ⇒ I là tâm m t c u đi qua 4 đi m O, B, C, S.ặ ầ ể
+ Tâm I(1; 2; 2) và bán kính R = OI =
2 2
1 2 2 3+ + =
⇒ (S):
2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 9− + − + − =x y z
Câu VII.b: Ch ng minh r ng : ứ ằ
4 2
8 8 1 1− + a a
, v i m i a ớ ọ ∈ [–1; 1].
Đ t: a = sinx, khi đó: ặ
4 2
8 8 1 1− + a a
2 2 2 2
8sin (sin 1) 1 1 1 8sin cos 1− + −� � � �x x x x
.
⇔
2 2 2
1 8sin cos 1 1 2sin 2 1 cos 4 1− − �� �x x x x
( đúng v i m i ớ ọ x).