Đề thi học sinh giỏi cấp 2 1962-1986

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

401
lượt xem 153
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi học sinh giỏi cấp 2 1962-1986 là tài liệu tham khảo cho các bạn thi học sinh giỏi, luyện thi học sinh giỏi, tài liệu hay để các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp 2 1962-1986

♥ Đ THI CH N H C SINH GI I TOÁN Trung H c Cơ S (T Năm h c 1961–1962 đ n Năm h c 1985–1986) 2005 1
1 Năm h c 1961–1962 Bài 1: Tìm s b chia và thương s trong phép chia sau đây: * * * * * * * * * * * * * 0 8 0 * * 0 * * * * * * * * * * 0 Bài 2: Trong m t trư ng c p II–III 1 có b n h c sinh l p V, VI, VII và VIII. Bi t r ng: a) H ng không h c đ i s . b) Cúc và Nguy n cu i năm nay không thi h t c p. c) Mai h c trên an m t l p. d) H ng và Lê là ngư i cùng t nh. đ) Ph m năm ngoái h c c p I và năm nay vào h c cùng trư ng v i Tr n. e) H ng năm nay dùng sách giáo khoa năm ngoái c a Cúc đ l i. Hãy tìm tên h cùng ngư i và l p h h c. (H ng, Cúc, Mai, Lan là tên; Nguy n, Lê, Tr n, Ph m là h ). (Chú ý: L p V chưa h c đ i s , thi h t c p l p VII) Bài 3: Phân tích thành th a s : A = (b − c)3 + (c − a)3 + (a − b)3 Bài 4: Các c nh đ i c a t giác l i ABCD c t nhau t i M và N. Ch ng minh r ng các đư ng tròn ngo i ti p b n tam giác t o thành c t nhau t i m t đi m. (Đi m Miquel). Bài 5: D ng m t đư ng tròn ti p xúc v i ba đư ng th ng cho trư c. 1 Trư c đây, c p I g m các l p I–IV; c p II: l p V–VII; c p III: l p VIII–X. 2
2 Năm h c 1962–1963 (a) Bài 1: Th c hi n phép tính: 1 1, 5 1 1 + 1 · 0,25 2 1 A = 6 : − 0, 8 : 3 50 + + 46 3 2 · 0, 4 · 1: 1 4 6 − 1+2,2·10 2 Bài 2: Song song v i m i c nh c a tam giác ABC ta k 35 đư ng th ng cách đ u nhau. Nh ng đư ng th ng này chia tam giác ABC thành nhi u tam giác nh b ng nhau. Em hãy tính xem có t t c bao nhiêu tam giác nh y. Bài 3: Ch ng minh đ ng th c: a2 +3ab 2a2 −5ab−3b2 a2 +an+ab+bn a 2 −9b2 + 6ab−a2 −9b2 = 3bn−a2 −an+3ab Bài 4: Th c hi n phép tính: 1 1 1 a(a−b)(a−c) + b(b−a)(b−c) + c(c−b)(c−a) Bài 5: T ngo i khóa Sinh v t c a l p em đã cưa m t s ván m ng thành nh ng t m hình ch nh t đ chu n b làm khay đ ng đ m . N u không dùng êke, thư c vuông, thư c đo góc, compa v.v.. mà ch v i s i dây có s n trong tay, em có th ki m tra xem nh ng t m y có ph i là hình ch nh t đư c không ? N u đư c em hãy trình bày cách làm c a em. D a vào đâu mà em có th tin r ng cách làm y là đúng ? Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB.T C ta h CE vuông góc v i AB. N i E v i đi m gi a 2 M c a AD. T M h MF vuông góc v i CE, c t BC t i N. 1. T giác MNCD là hình gì ? 2. N i M và C. Tam giác EMC là tam giác gì ? 3. Ch ng minh r ng BAD g p đôi AEM . 2 đi m gi a = trung đi m (t dùng cũ) 3
3 Năm h c 1962–1963 (b) Bài 1:Th c hi n phép tính: 0,8:( 4 ·1,25) (1,08− 25 ): 4 2 4 A= 5 0,84− 25 1 + 7 5 −3 1 )·2 2 +(1,2.0,5): 5 (6 9 4 17 Bài 2: M t đám ru ng hình ch nh t có di n tích là 976,91 m2 trư c đây tr ng lúa, nhưng vì h n không có nư c đ c y lúa chiêm nên đã đư c chuy n sang làm hoa màu. Nó đư c chia làm hai ph n, m i ph n cũng là m t hình ch nh t n m d c theo c nh dài c a đám rư ng. Ph n trên tr ng ngô, ph n dư i tr ng khoai. Chi u r ng c a ph n đ t tr ng ngô là 10,5 m, di n tích ph n đ t tr ng khoai là 482,57 m2 . Em hãy tính chu vi đám ru ng y. (Chú ý gi i b ng phương pháp s h c). 3 Bài 3: Rút g n và tìm s tr c a bi u th c sau v i x = −1, 76 và y = 25 : x−y x2 + y 2 + y − 2 4x4 + 4x2 y + y 2 − 4 x+1 A= ( − 2 2 ): 2 + y + xy + x : 2 2y − x x − xy − 2y x 2x + y + 2 Bài 4: Trên m t t m ván hình ch nh t các em h c sinh trong t m c đã n y ba đư ng m c th ng d1 , d2 , d3 song song v i c nh dài, và b n đư ng m c th ng khác t1 , t2 , t3 , t4 song song v i c nh c a chi u r ng t m ván y; r i theo nh ng đư ng m c y cưa thành nh ng mi ng ván nh đóng h p đ ng ph n. Bi t r ng d1 cách c nh dài th nh t m t kho ng là a, d2 cách d1 m t kho ng là b, d3 cách d2 m t kho ng là c và cách c nh dài th hai m t kho ng là a. t1 cách c nh th nh t c a chi u r ng m t kho ng là a, t2 cách t1 m t kho ng là b, t3 cách t2 m t kho ng là a, t4 cách t3 m t kho ng là c đ ng th i cách c nh th hai c a chi u r ng m t kho ng là b. N u không d a vào hình v ho c không đ m s miêng ván đã cưa đư c thì làm th nào đ bi t đư c t m c y đã cưa t m ván nói trên ra thành m y mi ng hình vuông b ng nhau, và m y mi ng hình ch nh t b ng nhau ? Bài 5: Cho m t hình vuông và m t hình ch nh t cùng n i ti p trong m t đư ng tròn tâm O. Em hãy so sánh xem di n tích c a hình nào l n hơn và ch ng minh đi u đó. Bài 6: Cho m t n a đư ng tròn đư ng kính MON. T m t đi m A b t kỳ trên MN ta v đư ng vuông góc v i MN. Đư ng vuông góc y g p n a đư ng tròn t i B. Trên OB ta l y OC = AB. Tìm qu tích c a đi m C khi A chuy n đ ng trên MN. 4
4 Năm h c 1963–1964 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: C n may m t cái màn dài 2m, r ng 1,6m, cao 2m v i kh r ng 0,8m và giá 0,65đ m i mét. Hai mép c a màn ch ng lên nhau 0,8m. Đ nh màn cũng may b ng v i màn. H i ph i mua bao nhiêu mét v i màn, và t n bao nhiêu ti n ? (không tính mép vi n và mép khâu). Bài 2: Gi i phương trình: (x − 4 1 ) : 0, 003 2 (0, 3 − 20 ) : 1 1 3 2 1 1 1 − 3 1 : 62 + 17, 81 : 0, 0137 − 1301 = 0 [(3 20 − 2, 65)4] : 5 (1, 88 + 2 25 ) : 8 20 Bài 3: Có 472 lít nư c m m đ ng trong hai cái thùng ch a l n. N u l y b t thùng th nh t ra 50 lít và đ vào thùng th hai, thì lúc y thùng th hai ch a nhi u hơn thùng th nh t là 24 lít. H i lúc đ u m i thùng đ ng bao nhiêu lít nư c m m? (Gi i b ng phương pháp đ i s hay s h c tùy ý). Bài 4: Cho tam giác ABC mà đ dài c a m t c nh đáy b ng 3p + 2t + u và chi u cao tương ng b ng 2p - 2t. Ta chia tam giác ABC thành các tam giác nh b ng cách như sau: n i các trung đi m M, N, P c các c nh AB, BC, CA, ta có tam giác MNP; l n th hai ta l i n i trung đi m c a các c nh cu tam giác MNP ta có tam giác STR; l n th ba, n i trung đi m c a các c nh c tam giác STR, ta có tam giác GHE; l n th tư, n i trung đ m c a các c nh c a tam giác GHE, ta có tam giác IKL . . . a) Như v y đ n l n n i th tư, tam giác đã đư c chia ra làm bao nhiêu tam giác nh ? (ch tính các tam giác riêng bi t không ch ng lên nhau). b) Tính di n tích tam giác IKL. c) N u ta ti p t c n i trung đi m c a các c nh c a tam giác m i t o thành đ n l n th 20 thì tam giác lúc b y gi đư c chia ra làm bao nhiêu tam giác nh ? L p lu n như th nào đ đăt phép tính? Bài 5: M t khu công nghi p có 4 nhà máy A, B, C, D. Nhà máy A cách nhà máy B là 3,7 km; cách C 6,8 km. Nhà máy B cách C 4,5 km; cách D 6 km; nhà máy C cách D 3 km. Ngơ i ta đã tính r ng 4 nhà máy trên có th chung m t cái còi bào gi làm vi c mà ti ng còi ch nghe đơ c xa không quá 4 km. 1. D ng hoành đ v trí các nhà máy v i t xích 1:100000. 2. Ch rõ trên hoành đ ph m vi có th đ t cái còi dùng chung cho c 4 nhà máy nói trên. 3. Trong ph m vi y, nên d t còi v trí K nào thì c 4 nhà máy có th cùng lúc nghe đư c tương đ i rõ hơn là khi đ t còi m t nơi khác. D a vào hoành đ , xem K cách các nhà máy bao nhiêu km ? Bài 6: a) Cho tam giác ABC v i ba trung tuy n AM, BN, CI. Ch ng minh r ng sáu tam giác do các trung tuy n t o thành trong tam giác ABC đ u có di n tích b ng nhau. b) D ng tam giác PQR vuông góc P bi t c nh huy n QR = 5,5 cm và đư ng cao PH = 2 cm. (Hai ph n c a bài 6 đ c l p v i nhau ) 5
5 Năm h c 1964–1965 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: M t cán b k toán c a h p tác xã đã làm xong m t phép nhân trên gi y nhưng vì không c n th n anh ta đ t gi y y th m nư c làm cho nhi u ch s b nhòe đi, trông không rõ n a. Phép tính đó đư c chép l i sau đây, v i nh ng d u h i đ t ch nh ng ch s b nhòe. B n hãy tìm giúp nh ng ch s b nhòe trông không rõ trên, ch c n nói rõ cách tìm ch s hàng đơn v và hàng ch c c a s b nhân (đ i v i các ch s khác không yêu c u nói rõ cách tìm ). 7 8 ? ? ? 8 5 3 ? ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 8 ? ? ? 6 9 ? Bài 2: Th c hi n phép tính sau đây: 4 0, 8 : ( 5 · 1, 25) (100 − 2 ) : 4 5 7 3 1 + 5 1 2 + (1, 2.0, 5) : 0, 64 − 25 (6 9 − 3 4 ) · 2 17 5 Bài 3: Các cán b lâm nghi p đã dùng công th c 0, 08C 2 (C là chu vi c a hình tròn) đ tính di n tích các hình tròn. B n hãy ch ng minh công th c y là công th c tính g n đúng di n tích hình tròn. Bài 4: Phân tích đa th c sau thành th a s : x8 + x4 + 1 Bài 5: D ng m t tam giác vuông bi t m t c nh góc vuông và hi u gi a c nh huy n và c nh kia c a góc vuông. 6
6 Năm h c 1965–1966 *3 * Bài 1: M t toán quân đ ch g m 20 tên xâm lư c M , 20 tên lính ng y, 20 tên lính P c Chung Hi và 10 tên lính Úc. Trong toán này có 44 tên b di t. Hãy ch ng t r ng, trong s đó ch c ch n s b di t c a ít nh t m t trong ba lo i: xâm lư c M , lính ng y, lính P c Chung Hi ph i l n hơn ho c b ng 12. Bài 2: 1. Hãy phân tích bi u th c: (x2 − yz)(y − xyz) − (y 2 − xz)(x − xyz) thành th a s . 2. Ch ng minh r ng: x2 −yz y 2 −xz n u x(1−yz) = y(1−xz) v i x = y; yz = 1; x = 0; z = 0 1 1 1 thì x+y+z= x + y + z Bài 3: Cho hai vòng tròn (O) và (O’) c t nhau A và B sao cho O, O’ hai phía đ i v i AB. Xét cát tuy n PQ đi qua A và c t hai vòng tròn (O) và (O’) P và Q. 1. Khi nào thì P và Q hai phía đ i v i A ? 2. Xác đ nh v trí c a cát tuy n PQ sao cho cát tuy n đó có đ dài l n nh t. 3. Xác đ nh v trí c a cát tuy n PQ sao cho PA = QA. 4. Xác đ nh v trí c a PQ sao cho PQ = l, l là đ dài cho bi t. (Trong các câu 2, 3, 4 ch xét trư ng h p P và Q hai phía đ i v i A) Bài 4: Gi i phương trình: 6b + 7a 3ax ax − 2 =1− 2 6b 2b b − ab 4 V i nh ng đi u ki n nào thì phương trình có m t nghi m s ? 3 Đ thi trên đây d n theo [3], Theo [1] thì năm này B không t ch c thi (chung kh o toàn mi n B c). 4 D n theo [4]. [3] không th y chép bài này 7
7 Năm h c 1966–1967 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: V đông xuân năm nay m t h p tác xã nông nghi p đã dành ra m t khu đ t đ tr ng ngô, khoai và đ . Trong khu đ t y đã tr ng đư c 215 ha khoai, 175 ha ngô và 92 ha đ ; trong s đó co 12 ha đ tr ng xen v i ngô, 35 ha đ tr ng xen v i khoai, 5 ha ngô tr ng xen v i khoai và 2 ha tr ng xen c ba th . Tính xem di n tích c a khu đ t mà h p tác đã dành tr ng ngô, khoai, đ nói trên. Bài 2: Phân tích đa th c sau ra th a s : a16 + a8 b8 + b16 Bài 3: Cho m t đi m M b t kì trên đo n th ng AB. L y AM làm c nh ta v hình vuông AMCD và l y MB làm c nh ta v hình vuông th hai MBEG (ba đi m M, C, G th ng hàng). Hai hình vuông này đ u cùng v m t phía c a AB. Các đư ng tròn (O) và (O’) ngo i ti p hai hình vuông y c t nhau t i m t đi m th hai N. a) Ch ng minh r ng các đư ng th ng AG và BC đi qua N. b) Tìm qu tích trung đi m c a đo n n i tâm OO’ khi M chuy n đ ng trên AB. 5 5 D n theo [1] . [3] bài 1 và 3 chép khác: Bài 1: M t trư ng c p II nh n đư c 5 đám ru ng A, B, C, D, E đ tr ng lúa thí nghi m . Di n tích các đám ru ng y không b ng nhau. Trong gi th c hành toán, cô giáo b o: “M i em ư c lư ng di n tích b t kì hai trong năm đám ru ng trên.” Năm em tr l i trư c: Ái: “Di n tích c a B là 250m2 , c a C là 400m2 .” Bích: “Di n tích c a D là 450m2 , c a B là 300m2 .” Chi: “Di n tích c a A là 450m2 , c a E là 350m2 ” Đ t: “Di n tích c a D là 350m2 , c a C là 300m2 .” Hoa: “Di n tích c a B là 200m2 , c a E là 250m2 .” Cô giáo nh n xét: “M i em đã ư c lư ng đúng di n tích m t đám ru ng.” Tính xem m i đám ru ng nói trên có di n tích là bao nhiêu ? Bài 3: Trên hai c nh c a m t góc vuông xOy ta l y hai đi m A và B sao cho OA = OB. M t đư ng th ng đi qua A c t OB t i M (M trong đo n OB). T B h đư ng vuông góc v i AM t i H, c t AO kéo dài t i I. a. Có nh n xét gì v hai đo n OI và OM, v t giác OMHI ? Ch ng minh nh ng nh n xét đó. b. T O k đư ng vuông góc v i BI t i K. Ch ng minh OK = KH. Tìm qu tích đi m K khi M chuy n đ ng trên OB. 8
8 Năm h c 1967–1968 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: S gi c M b tiêu di t trong m t cu c t n công c a quân và dân thành ph Hu là m t s có ba ch s , trong đó ch s hàng trăm b ng 2 ch s hàng đơn v , ch s hàng ch c b ng 7 1 3 t ng hai ch s hàng đơn v và hàng trăm. Tìm s gi c M b tiêu di t. Bài 2: Cho các phương trình: a) |x| = 2x − 1 b) |x| = −x − 5 1. Gi i phương trình th nh t. 2. Ch ng minh r ng phương trình th hai vô nghi m 3. Dùng đ th đ tìm l i k t qu câu h i s 1 và câu h i s 2 trên đây. Bài 3: Cho tam giác vuông t i A và đư ng cao AH. V hai đư ng th ng b t kỳ vuông góc v i nhau t i H. Đư ng th ng th nh t c t AC kéo dài tr i F’ và c t AB t i E. Đư ng th ng th hai c t AC t i F và c t AB kéo dài t i E’. N i E và F. 1. Tìm trong hình v nh ng nhóm tam giác có hai góc b ng nhau (t ng đôi m t ) 2. V trí EH và HF ph i như th nào đ cho đ dài c a EF là nh nh t. 9 Năm h c 1968–1969 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: M t t gi y hình ch nh t dài 1,6m r ng 0,96m đư c c t ra thành nh ng mi ng nh hình ch nh t dài 5cm, r ng 3cm. Hãy tìm cách c t t gi y l n y sao cho v a l i gi y v a l i công c t gi y. Bài 2: B n A h i b n B: “Năm nay b m c a anh bao nhiêu tu i.” B tr l i: “B tôi hơn m tôi 4 tu i, trư c đây khi t ng s tu i c a b và m chúng tôi là 104 tu i, thì tu i c a ba anh em chúng tôi là 14, 10 và 6. Hi n nay t ng s tu i c a b m tôi g p hai l n t ng s tu i c a ba anh em chúng tôi.” Tính xem tu i c a b và c a m b n B là bao nhiêu ? Bài 3: Phân tích đa th c sau thành th a s : A = bc(a + d)(b − c) − ac(b + d)(a − c) + ab(c + d)(a − b). Bài 4: Tìm m t hình ch nh t n i ti p trong đư ng tròn có chu vi l n nh t. Ch ng minh r ng hình ch nh t y có di n tích l n nh t. 9
10 Năm h c 1969–1970 (Th i gian: 270 phút) I. Đ I S và S H C (Thòi gian 150 phút) Bài 1: Ch ng minh r ng l p phương c a m t s nguyên b t kì (a>1) tr đi 13 l n s nguyên đó thì luôn luôn chia h t cho 6. Bài 2: Cho n là m t s t nhiên b t kì. Hãy ch ng minh phân th c 21n+4 không th gi n ư c 14n+3 đư c. Bài 3: Rút g n phân th c: a3 +b3 +c3 −3abc a 2 +b2 +c2 −ab−bc−ca a c a4 +b4 Bài 4: Ch ng minh: n u b = d thì ( a−b )4 = c−d c4 +d4 II. HÌNH H C (Th i gian: 120 phút) Bài 5: Cho tam giác ABC (AB = AC) n i ti p trong đư ng tròn tâm O và m t đi m M chuy n đ ng trên đư ng tròn đó. G i D là hình chie u c a B trên AM và P là giao đi m c a BD và CM. a) Ch ng minh tam giác BPM cân. b) Xác đ nh v trí c đi m M trên đư ng tròn tâm O đ cho đi m P cũng n m trên đư ng tròn đó. c) Tìm qu tích c a đi m D khi M chuy n đ ng trên đư ng tròn. 6 6 Đ trên đây d n theo [1]. [3] đ thi năm 1969–1970 chép hoàn toàn khác: Bài 1: Phân tích đa th c ra th a s : x3 + 4x2 − 29x + 24 1 Bài 2: Ch ng minh r ng n u: a +1+ b 1 c = 2 và a + b + c = abc thì 1 1 1 a2 + b2 + c2 = 2 Bài 3: Xem v trí b n kho ch a d u như b n đ nh c a m t tam giác l i ABCD, xác đ nh v trí c a kho chính ch a d u M sao cho t ng đ dài các ng d n d u t M t i các kho ph là bé nh t, t c là xác đ nh đi m M sao cho t ng MA + MB + MC + MD là bé nh t. Bài 4: Cho tam giác ABC. T trung đi m D c a BC ta k m t đơ ng vuông góc v i phân giác góc A. Đư ng vuông góc đó c t c nh AB t i M và AC t i N. a. Ch ng minh r ng BM = CN. b. G i AB = c; AC = b. Tính AM và BM theo b và c. 10
11 Năm h c 1970–1971 (Th i gian: 270 phút) I. S và Đ I S (Th i gian 150 phút) Bài 1: Cho bi u th c M = (8x6 − 27) : (4x4 + 6x2 + 9) và N = (y 4 − 1) : (y 3 + y 2 + y + 1). Tính t s M:N khi x = 8 và y = 251. 219 .273 +15.49 .94 Bài 2: Rút g n: 69 .210 +1210 Bài 3: Ch ng minh r ng m t s có d ng n4 − 4n3 − 4n2 + 16n (n là s t nhiên ch n l n hơn 4) thì chia h t cho 384. Bài 4: M t chi c mô tô và m t chi c ô tô đi t M t i K, v n t c môtô là 62km/h, v n t c ôtô là 55km/h. Đ hai xe cùng t i đích m t lúc ngư i ta đã tính toán cho ôtô ch y trư c m t th i gian. Nhưng vì lí do đ c bi t, khi ch y đư c 2/3 đo n đư ng MK, xe ôtô bu c ph i ch y v i v n t c 27,5km/h. Nh th khi còn cách K 124km thì môtô đã đu i k p ôtô. Tìm kho ng cách t M đ n K. II. HÌNH H C (Th i gian: 120 phút) Bài 5: Trong hình vuông ABCD v n a đư ng tròn đư ng kính AD và v cung AC mà tâm là D. N i D v i đi m P b t kì trên cung AC, DP c t n a đư ng tròn đư ng kính AD K. Ch ng minh r ng PK b ng kho ng cách t P đ n c nh AB. Bài 6: Cho m t đo n th ng AB và m t đi m M b t kì trên đo n th ng y. T M v n a đư ng th ng vuông góc v i AB. Trên n a đư ng th ng y l y hai đi m C và D sao cho MC = MA và MD = MB. Đư ng tròn tâm O1 đi qua ba đi m A, M, C và đư ng tròn tâm O2 đi qua ba đi m B, M, D c t nhau t i m t đi m th hai N (khác đi m M). 1. Ch ng minh r ng ba đi m A, N, D th ng hàng và ba đi m B, C, N th ng hàng. 2. Có nh n xét gì v m t trong b n đi m A, B, C, D đ i v i ba đi m còn l i ? 3. Ch ng minh r ng đư ng th ng MN luôn đi qua m t đi m c đ nh khi M ch y trên đo n th ng AB. 11
12 Năm h c 1971–1972 I. S VÀ Đ I S (Th i gian 150 phút) Bài 1: Tìm các s t nhiên đ khi nhân m i s y v i s 12345679 thì đư c m t tích g m toàn ch s 9 (trư c h t tìm s t nhiên nh nh t, sau đó tìm d ng t ng quát). x2 −yz 2 z 2 −xy Bài 2: Ch ng t n u ta có a = y −zx b = c a2 −bc b2 −ca 2 thì suy ra đư c x = y = c −ab . z Bài 3: Nhân ngày 1–6, m t phân đ i thi u niên đư c t ng m t s k o. S k o này đư c chia h t và chia đ u cho m i đ i viên trong phân đ i. Đ b o đ m nguyên t c chia y phân đ i trư ng đ xu t ra cách chia như sau: 1 – B n th nh t nh n m t cái k o và đư c l y thêm 11 s k o còn l i. Sau khi b n th nh t đã 1 l y ph n mình, b n th hai nh n 2 cái k o và đư c l y thêm 11 s k o còn l i. C ti p t c như 1 th đ n b n cu i cùng, th n, nh n n cái k o và đư c l y thêm 11 s k o còn l i. H i phân đ i y có bao nhiêu đ i viên và m i đ i viên nh n bao nhiêu cái k o ? II. HÌNH H C (Th i gian: 120 phút) Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB=AC) và đư ng tròn đi qua ba đ nh c a tam giác. V đư ng kính PQ song song v i BC. T P và Q v dây PN và QM n m cùng phía đ i v i đư ng kính PQ và theo th t song song v i các c nh b ng nhau c a tam giác ABC. a) T giác có đ nh là M, N, P, Q là hình gì ? T i sao ? b) Ch ng minh r ng kho ng cách gi a MN và PQ b ng m t n a c nh đáy BC c a tam giác ABC. Bài 5: Tìm qu tích nh ng đi m M mà t ng nh ng kho ng cách t đi m đó t i hai đư ng th ng c t nhau b ng đ dài m t đo n th ng cho trư c. N u trong gi thi t thay t ng nh ng kho ng cách b ng hi u nh ng kho ng cách thì qu tích ph i tìm s là gì ? 12
13 Năm h c 1972–1973 *7 * Bài 1: V đ th hàm s y = |x − |x||. Bài 2: Hi u bình phươg c a hai s t nhiên b ng 169. Tìm hai s đó. Bài 3: Đư ng tròn n i ti p tam giác ABC có tâm là O, bán kính b ng đơn v và ti p xúc v i c nh AB D, v i c nh AC E. 1. Tính kho ng cách t O đ n tâm đư ng tròn n i ti p tam giác ADE. 2. Các phân giác trong c a góc B và C c t đư ng th ng DE theo th t t i M và N. Ch ng minh 4 đi m B, C, M, N n m trên đư ng tròn. 7 D n theo [3]. Theo [1] năm này B Giáo d c không t ch c thi. 13
14 Năm h c 1973–1974 (Th i gian: 360 phút) I. S H C Bài 1: Cho s n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 99 100 (các d u ch m ch t t c các s t 12 đ n 98 vi t ti p sau s 11 và trư c s 99 theo th t t nh đ n l n). Ph i xóa b 100 các s nào đ các ch s còn l i, (v n gi nguyên th t như trư c) t o thành m t s l n nh t. Bài 2: Hãy ch ng t r ng k t qu c a dãy tính: 0, 3 · (19831983 − 19171917 ) là m t s nguyên. II. Đ I S Bài 3: Cho hình vuông ABCD có c nh dài a mét, a là m t s dương cho trơ c. Hãy tìm trên c nh BC m tđi m M sao cho t s c a di n tích tam giác ABM và di n tích hình thang AMCD là m t s dương cho trư c m. Tìm đi u ki n c a m đ cho bài toán có l i gi i. V đi m M trong các trư ng h p sau đây: m = 7 , m = 3 1 5 Bài 4: Phân tích đa th c ra th a s : A = x4 + 6x3 + 7x2 − 6x + 1. III. HÌNH H C Bài 5: D ng hai đư ng tròn ti p xúc ngoài v i nhau, có tâm là hai đi m c đ nh cho trư c sao cho m t trong hai ti p tuy n chung ngoài c a chúng đi qua m t đi m c đ nh cho trư c. Bài 6: Cho tam giác ABC vuôn A, c nh huy n BC dài g p hai l n c nh AB; D là m t đi m trên c nh AC sao cho ABD = 1 ABC, E là m t đi m trên c nh AB sao cho ACE = 3 ACB. G i 3 1 F là giao đi m c a BD và CE; G và H là các đi m đ i x ng c a F theo th t qua các c nh BC và CA. Ch ng minh r ng H, D, G th ng hàng. 14
15 Năm h c 1974–1975 I. S H C và Đ I S (Th i gian 180 phút) Bài 1: Ch ng minh r ng n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia h t cho 24 v i m i s t nhiên n. 2 2 Bài 2: Gi i phương trình: x − a2 x - b2 −x2 + a = x2x 2 b −b Bài 3: Tìm s có hai ch s mà bình phương c a s y b ng l p phương c a t ng các ch s c a nó. II. HÌNH H C (Th i gian: 180 phút) Bài 4: M t t ph lão đ nh tr ng 10 cây chu i theo 5 hàng, m i hàng 4 cây. Sau khi bàn các c th y r ng ít nh t có 6 cách tr ng theo đúng yêu c u đ ra. Em hãy nêu 6 cách đó b ng sơ đ (không c n gi i thích, ch ng minh) theo quy ư c sau đây: – M i hàng cây bi u th b ng m t đo n th ng. – M i g c cây bi u th b ng m t d u ch m tròn Bài 5: D ng hình bình hành ABCD theo c nh AB = a, t ng c a hai đư ng chéo AC + BD = m và góc α t o b i hai đư ng chéo y. Bài 6: Tam giác DNM n i ti p trong tam giác nh n 8 ABC cho trư c. Trong s t t c nh ng tam giác n i ti p DNM y, hãy tìm m t tam giác sao cho có chu vi nh nh t. 8 D n theo [3]. [1] vi t tam giác ABC - không có t nh n, nhưng có l do in sót. Vì n i dung bài 6 này th c ra là đ nh lí Fagnano 15
16 Năm h c 1975–1976 VÒNG I (Th i gian: 180 phút) Bài 1: Tìm nh ng s t nhiên có ba ch s mà khi chia cho 11 ta đư c thương là m t t ng các bình phương c a các ch s c a s đó. Bài 2: V i nh ng giá tr nào c a a và b thì đa th c x3 + ax2 + 2x + b chia h t cho đa th c x2 + x + 1? Hãy gi i bài toán b ng hai cách khác nhau. Bài 3: M t tam giác cân, m t hình thang cùng n i ti p trong m t đư ng tròn, trong đó các c nh bên c a tam giác cân song song v i các c nh bên c a hình thang và m t trong nh ng c nh đáy c a hình thang là đư ng kính c a hình tròn đã cho. Tính chi u cao hình thang, bi t r ng đư ng trung bình c a hình thang b ng 1 và di n tích c a tam giác đã cho b ng S. VÒNG II (Th i gian: 180 phút) Bài 4: N u đem s A g m b n ch s nhân v i s B cũng g m b n ch s y nhưng đư c vi t theo th t ngư c l i (so v i s A) thì tích thu đư c là m t s g m tám ch s , trong đó ba ch s cu i cùng đ u là ch s 0. Tìm t t c các c p s A, B. Bài 5: Hai v t th I và II cùng chuy n đ ng trên m t đư ng tròn. N u c hai chuy n đ ng cùng chi u thì sau m i kho ng th i gian 56 phút chúng l i g p nhau m t l n. N u c hai chuy n đ ng v i t c đ cũ nhưng ngư c chi u nhau thì sau m i kho ng th i gian 8 phút chúng l i g p nhau m t l n. Ngơ i ta còn th y r ng khi kho ng cách gi a chúng là 40m thì sau đó 24 giây chúng ch còn cách nhau 26m. Tìm t c đ (theo mét/phút) c a m i v t th bi t r ng trong kho ng th i gian 24 giây nói trên chúng không g p nhau. Bài 6: Trong m t m t ph ng ngư i ta k m t tri u đư ng th ng t ng đôi m t không song song v i nhau. Qua giao đi m c a hai đư ng tă ng b t kì (trong s đư ng th ng đã k ) ít ra còn có m t đư ng th ng n a (trong s đư ng th ng đã k ) đi qua. Ch ng minh r ng t t c nh ng đư ng th ng đã k đ u đi qua m t đi m. Bài 7: Cho ba đư ng tròn cùng n m trên m t m t ph ng cùng có bán kính r. Tâm c a đư ng tròn này là giao đi m c a hai đư ng tròn kia. B n Toàn cho r ng di n tích ph n chung C c a c 1 ba hình tròn đã cho l n hơn 4 di n tích m t hình tròn đã cho; b n Th ng cho r ng di n tích ph n 1 chung C nh hơn 4 di n tích m t hình tròn đã cho. Còn b n Nam cho r ng di n tích ph n chung C b ng 1 di n tích m t hình tròn đã cho. 4 H i b n nào nói đúng, gi i thích t i sao ? 16
17 Năm h c 1976–1977 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Tìm t t c nghi m nguyên dương c a phương trình sau: xy 2 + 2xy − 243y + x = 0 Bài 2: Tìm s có hai ch s mà s y là b i c a tích hai ch s c a chính s đó. Bài 3: Cho tam giác trong đó có m t góc tù. B n Thành cho r ng trung tuy n k t đ nh góc nh n c a tam giác đ ng th i có th là đư ng phân giác c a góc nh n đó. B n Công cho r ng đi u đó không th có đư c. H i b n nào nói đúng, vì sao ? Bài 4: Cho m t tam giác có đ dài các c nh là a, b, c; đ ng th i th a mãn đ ng th c a−b = b−c. G i M là giao đi m các trung tuy n, P là giao đi m các đư ng phân giác trong c a tam giác đã cho. Ch ng minh r ng MP song song v i c nh có đ dài là b. 18 Năm h c 1977–1978 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Tìm nh ng b g m ba s t nhiên có tính ch t: tích c a hai s b t kì thêm 1 chia h t cho s còn l i Bài 2 G i n là s t nhên, tính tích sau đây theo n: 1 1 1 1 (1 − )(1 − )(1 − ) . . . (1 − ) 2 3 4 n+1 Bài 3: Cho tam giác ABC v i AB = AC và ABC = 800 . L y m t đi m I trong tam giác y sao cho IAC = 100 và ICA = 300 . Hãy tính góc AIB. Bài 4: Cho m t đư ng tròn, m t đi m A b t kì n m trên đư ng tròn y và m t đi m M trong hình tròn. Tìm hai đi m B và C trên đư ng tròn y sao cho: a) M là giao đi m c a các trung tuy n c a tam giác ABC; b) M là tr c tâm c a tam giác ABC. 17
19 Năm h c 1978–1979 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Gi i phương trình: |x + 1| + 3|x − 1| = x + 2 + |x| + 2|x − 2| Bài 2: Ch ng minh r ng s đư c thành l p b i 3n ch s gi ng nhau thì chia h t cho 3n , trong đó n là s t nhiên. Bài 3: B n Th ng sau khi v m t hình tròn n i ti p tam giác ABC, l i v thêm hình vuông DEFG ngo i ti p v i hình tròn O đó thì rút ra nh n xét: ph n chu vi c a hình vuông DEFG n m trong tam giác ABC bao gi cũng l n hơn m t n a chu vi hình vuông đó. Nh n xét c a b n Th ng đúng hay sai, vì sao? Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên đư ng phân giác c a góc A l y m t đi m D. Kéo dài BD c t AC t i B1 . Kéo dài CD c t AB t i C1 . Ch g minh n u CC1 = BB1 thì tam giác ABC là tam giác cân. 20 Năm h c 1979–1980 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Cho A = m + n và B = m2 + n2 , trong đó m, n là các s t nhiên nguyên t cùng nhau. Tìm oc s chung l n nh t c a A và B Bài 2: G i O là tâm đư ng tròn n i ti p tam giác ABC. T O h các đư ng vuông góc v i các c nh BC, CA, AB l n lư t t i D, E, F. K BB’ vuông góc v i AO, AA’ vuông góc v i BO. Ch ng minh A’, B’, D, E th ng hàng. Bài 3: B t đ ng th c sau đúng hay sai, vì sao? 106 106 + 1
21 Năm h c 1980–1981 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Tìm s có 4 ch s abcd bi t r ng abca = (5c + 1)2 . Bài 2: Ch ng minh ch s t n cùng cua các s t nhiên N và N 5 là như nhau. Bài 3: R và r là đ dài bán kính các hình tròn ngo i ti p và n i ti p tam giác ABC. d1 , d2 , d3 l n lư t là các kho ng cách t tâm hình tròn ngo i ti p t i các c nh BC, CA, AB. Tính t ng R + r theo d1 , d2 , d3 bi t r ng trong m t t giác n i ti p đư c, t ng các tích c a hai c nh đ i di n b ng tích hai đư ng chéo. Bài 4: Cho 4 đư ng tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ), (O4 ). Hãy d ng hình vuông mà m i c nh (hay c nh kéo dài) c a nó ti p xúc v i m t trong 4 đơ ng tròn đã cho. 22 Năm h c 1981–1982 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Cho t giác l i ABCD ngo i ti p hình tròn tâm O. Ch ng minh đư ng tròn n i ti p tam giác ABC ti p xúc v i đư ng tròn n i ti p tam giác ACD Bài 2: Cho A là s chính phương có 4 ch s . N u ta thêm vào m i ch s c a A m t đơn v thì đư c m t s B cũng là m t s chính phương. Tìm các s A và B Bài 3: Cho tam giác đ u ABC n i ti p trong đư ng tròn bán kính R. M t đi m M ch y trên cung bé AB. Ch ng minh t ng các kho ng cách t M đ n A và B không l n hơn đư ng kính c a đư ng tròn đó. Bài 4: Tìm các nghi m nguyên c a phương trình: (x − z)(x2 + xz + z 2 ) = xy 3 + 3z 3 19
23 Năm h c 1982–1983 (Th i gian: 240 phút) Bài 1: Trên các c nh c a AOB l y các đo n OA và OB, v i OA > OB. Trên OA l y đi m M, trên đo n OB l y đi m N sao cho AM = BN = x. Tìm tr s c a x đ MN = y đ t giá tr nh nh t. Bài 2: Cho ba đi m A, B, C cùg n m trên đư ng th ng a (B n m gi a a và C). L y AB làm c nh, d ng tam giác đ u ABE; l y BC làm c nh, d ng ram giác đ u BCF. (E và F cùng v m t phía đ i v i a). G i M là trung đi m cu AF và N là trung đi m c a CE. Ch ng minh tam giác BMN là tam giác đ u. Bài 3: Ch ng minh r ng trong các s t nhiên th nào cũng có s k sao cho s 1983k − 1 chia h t cho 105 Bài 4: Trong m t tr n thi đ u c qu c t c a trư ng ph thông cơ s Quang Trung có hai b n h c sinh l p B y và m t s h c sinh l p Tám tham d . Theo đi u l cu c thi hai đ u th b t kì đ u ph i đ u v i nhau m t tr n; ngư i th ng đư c 1 đi m, ngư i thua đư c 0 đi m; n u hòa thì 1 m i ngư i đư c 2 đi m. H i có bao nhiêu b n l p Tám tham d ? Bi t r ng t ng s đi m nh n đư c c a c hai b n h c sinh l p B y là 8, còn t t c các b n l p Tám đ u nh n đư c s đi m b ng nhau. 24 Năm h c 1983–1984 (Th i gian: 180 phút) Bài 1: Ba đư ng tròn cùng có bán kính b ng r, cùng đi qua m t đi m O và đôi m t c t nhau t i ba đi m A, B, C. Ch ng minh đư ng tròn đi qua ba đi m A, B, C cũng có bán kính r. Bài 2: Trên m t ph ng cho trư c hai đi m A và B. Hãy d ng hình vuông sao cho m i đi m A, B n m trên m t c nh nào đó c a nó và t ng các kho ng cách t A đ n các đ nh c a hình vuông là bé nh t. Bài 3: Có bao nhiêu s g m b n ch s mà t ng hai ch s đ u b ng t ng hai ch s cu i ? Bài 4: Cho 2n = 10a + b. Ch ng minh n u n > 3 thì tích ab chia h t cho 6. đây a, b, n là các s nguyên dương và b < 10. 20