Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2009-2010 - Trường THPT Cao Bá Quát

Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Tr­êng THPT Cao b¸ qu¸t §Ò thi häc sinh giái MÔN: TOÁN LỚP 10 N¨m häc 2009-2010 ----------------------****----------------------Bµi 1: Cho bÊt ph­¬ng tr×nh: (9m  4)x 7mx  2 2  x  9 x2  x  9 x (1) ( m lµ tham sè) a. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh víi m = 28. b. T×m m ®Ó bÊt ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm. Bµi 2: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau:  2010  1  2x 1  1  2x 2  ...  1  2x 2009  2009 2009   2008   1  2x 1  1  2x 2  ...  1  2x 2009  2009 2009  Bµi 3: Cho ®­êng trßn cã b¸n kÝnh cè ®Þnh b»ng R0, tam gi¸c ABC néi tiÕp ®­êng trßn ®ã. Gäi ma, mb, mc lÇn l­ît lµ ®é dµi ®­êng trung tuyÕn kÎ tõ ®Ønh A, B, C cña tam gi¸c ABC. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P sin A sin B sin C   ma m mc b Bµi 4:Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®­êng trßn b¸n kÝnh R. a. Chøng minh r»ng: c¸c ®­êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm mçi c¹nh vµ vu«ng gãc víi c¹nh ®èi diÖn c¾t nhau ë mét ®iÓm ( ®iÓm ®ã gäi lµ M). b. Chøng minh: MA2 +MB2 + MC2 + MD2 = 4R2 Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc Trang | 1 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai §¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái M«n: To¸n- líp 10 N¨m 2009-2010 --------------------***---------------------Bµi 1: (5 ®iÓm) a. (3 ®iÓm) TXD: R +) x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña pt. (1)  (9m  4) 7m  2 9 9 x   1 x  1 x x §Æt t = x  9 , t 6 x +) Víi m = 28: (1) trë thµnh: t2 – 30t + 225  0  t = 15 +) Bpt cã hai nghiÖm: x  15  189 vµ x  15  189 (1 ®iÓm) (1 ®iÓm) (1 ®iÓm) b. ( 2 ®iÓm) (1) trë thµnh: f(t) = t2 – ( m + 2)t + 8m + 1  0 (2) +) §Ó ( 1) cã nghiÖm x  R th× (2) ph¶i cã nghiÖm t   ,  6  6,  . (0,5 ®iÓm) 49  ,28  14  49   +) KL: Bpt cã nghiÖm  m    ,   28,  14    +) T×m m ®Ó (2) v« nghiÖm  m    (1 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) Bµi 2 ( 5®iÓm)  1  2x 1  1  2x 2  ...  1  2x 2009  2009.2010  +) HÖ pt ®· cho    1  2x 1  1  2x 2  ...  1  2x 2009  2008.2009  Trong hÖ trôc to¹ ®é, xÐt c¸c vect¬ a i   1  2x ; 1  2x  víi i  1,2,...,2009   i i  cã a  2 ( 1 ®iÓm ) i vµ 2009  a i  2009 2 i 1 (1 ®iÓm) (1) +) MÆt kh¸c: 2009    a i   1  2x1  1  2x 2  ...  1  2x 2009 ; 1  2x1  1  2x 2  ...  1  2x 2009    i 1 vµ 2009  a i  2009 i 1 2 (2) ( 1 ®iÓm) +) Tõ (1) vµ (2) suy ra: c¸c vect¬ a i cïng h­íng, i  1,2,...,2009 Mµ a  2 , i  1,2,...,2009 i Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc Trang | 2 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai  a  a  ...  a 2009 1 2 (1 ®iÓm)   1  2x 1  1  2x 2  ...  1  2x 2009      1  2x 1  1  2x 2  ...  1  2x 2009   1 KL: NghiÖm cña hÖ pt lµ x 1  x 2  ...  x 2009  4018 2010 2009 2008 2009 ( 1 ®iÓm ) Bµi 3: (5®iÓm)   1  a b c  +) ¸p dông ®Þnh lÝ Sin ta cã : P  ( 1 ®iÓm)   (1)   R 0  2m 2m 2m  a c b  2 2 2 2  b  c  a  4m 2  3a 2  2(a 2  b 2  c 2 ) +) MÆt kh¸c: m a a 2 4 Theo B§T C« si: 4m 2  3a 2  4 3 a m ( 1 ®iÓm) a a a 3a 2 +) Suy ra ,  a 2  b2  c2 2m a c 3c 2 b 3b 2 T­¬ng tù: , (1 ®iÓm)   a 2  b2  c2 a 2  b2  c2 2m 2m c b 3 +) Thay vµo (1): P  ( 1 ®iÓm) R0 +) KL: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P  3 khi Δ ABC ®Òu. R0 ( 1 ®iÓm) Bµi 4: ( 5 ®iÓm) a. ( 2 ®iÓm) Gäi I, J, K, L lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD, DA. +) Chøng minh tø gi¸c OJML lµ h×nh b×nh hµnh Suy ra 2 ®­êng chÐo OM vµ JLc¾t nhau t¹i trung ®iÓm G cña mçi ®­êng. Chøng minh tø gi¸c IJKL lµ h×nh b×nh hµnh Suy ra 2 ®­êng chÐo IK vµ JL c¾t nhau t¹i trung ®iÓm G ( 1®iÓm) +) Suy ra tø gi¸c OIMK lµ h×nh b×nh hµnh, mµ OI  AB  KM  AB . T­¬ng tù: OK  CD  IM  CD (®pcm) ( 1®iÓm) b. (3 ®iÓm) +) ¸p dông hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c MAB vµ MCD ta cã: CD 2 2 AB2 CD 2  Suy ra MA 2  MB2  MC2  MD 2  2(MI2  MK 2 )  (1) 2 2 MA 2  MB2  2MI 2  AB2 , 2 MC 2  MD 2  2MK 2  ( 1®iÓm) Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc Trang | 3 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai +) Do MI = OK, MK =OI, ¸p dông hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c OAB vµ OCD: 2 2 2  OA 2  OB2  2OI 2  AB  2OI 2  2R 2  AB 2R 2 2 CD 2 CD 2 2R 2  OC 2  OD2  2OK 2   2OK 2  2R 2  2 2 +) Thay vµo (1) ta ®­îc MA2 +MB2 + MC2 + MD2 = 4R2. ( 1®iÓm) ( 1®iÓm) Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc Trang | 4