Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2015-2016 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG CỤM LẠNG GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM MÔN THI: TOÁN 10 Năm học: 2015 - 2016 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số y  x 2  2  m  1 x  m  1 (m là tham số thực) có đồ thị là  P  . a) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng    : y  mx  m2  1 cắt đồ thị hàm số  P  tại hai điểm nằm về hai phía đối với trục tung Oy. b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số luôn nằm trên trục hoành Ox. Câu 2 (6 điểm) a) Giải phương trình sau: x 2  2 x3  1  3 x  1  3 x 2  x  1  4  0 b) Giải hệ phương trình sau: 2 x 2  4 xy  5 y 2  5   2 2  x  1  2 y  y  0  Câu 3 (6 điểm) a) Cho tam giác ABC. M là trung điểm của AC, điểm N thuộc đoạn thẳng BM thỏa mãn BN=3MN , điểm P nằm trên cạnh BC thỏa mãn 2PB+3PC=0 . Chứng minh rằng ba điểm A, N, P thẳng hàng. b) Cho tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AC, E là trung điểm của MH. Chứng minh rằng AE vuông góc với BH. Câu 4 (2 điểm ) Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b thỏa mãn điều kiện: a  c  1  a  b b  c sin A  2sin B.cosC  Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều. Câu 5 (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng: a b  c  3  b c  a 3  c  a  b 3  27 8 --------------- Hết ------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh …………………………………… Số báo danh:…………………….