Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2015-2016 - Trường THPT Con Cuông

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GD & ĐT NGHỆ AN<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10<br /> <br /> TRƯỜNG THPT CON CUÔNG<br /> <br /> NĂM HỌC 2015 – 2016<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> MÔN: TOÁN<br /> Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> Câu 1. (5,0 điểm) Cho phương trình:<br /> <br />  m  2  x 2   2m  1 x  3m  3  0<br /> <br /> (1)<br /> <br /> a) Giải phương trình (1) khi m  3<br /> b) Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m sao cho<br /> <br />  2m  1 x1   m  2  x22  m  2<br /> Câu 2. (3,0 điểm) Giải phương trình:<br /> <br /> x x 1 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x  1 . 2 x 2  3x  2<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Câu 3. (2,0 điểm) Cho a, b là các số thực thỏa mãn: a , b   ;2  và a  b  4 ab . Tìm giá trị<br /> 4<br /> lớn nhất của biểu thức:<br /> 2<br /> <br /> P   a  b  2 a  b<br /> Câu 4. (3,0 điểm) Cho sin   cos  <br /> <br /> 6<br />  <br /> ,    0;  . Tính giá trị biểu thức sau:<br /> 2<br />  4<br /> <br /> <br /> <br /> P  cos      2 1  sin cos   sin   cos  <br /> 4<br /> <br /> Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC . Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC  3MB , I là<br /> điểm thuộc đoạn AM sao cho AI  3IM . Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho ba<br /> điểm B , I , K thẳng hàng.<br /> Câu 6. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  2;6  ,<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D  2;-  . Viết phương trình cạnh BC .<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Biết đường tròn ngoài tiếp tam giác ABC có phương trình: x  y  x  2 y  30  0 .<br /> ---- Hết ---Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:...................................<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> Câu<br /> Nội dung<br /> 1.<br /> a) Giải phương trình (1) khi m  3<br /> Khi m  3 PT (1) có dạng: x 2  7 x  6  0<br /> Ta có: a  b  c  0<br /> PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1  1 và x2  6<br /> b) Tìm giá trị m thỏa mãn<br /> <br /> Điểm<br /> 5,0<br /> 1,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 3,5<br /> <br /> m  2  0<br /> a  0<br /> <br /> <br /> 2<br />    0  2m  1  4  m  2  3m  3   0<br /> <br /> <br /> Để PT(1) có 2 nghiệm  <br /> <br /> m  2<br /> m  2<br /> <br /> <br />   10  3 6<br /> (*)<br /> 10  3 6<br /> 2<br /> m<br />   8 m  40 m  23  0<br /> <br /> <br /> 4<br /> 4<br /> 2m  1<br /> 3m  3<br /> Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2 <br /> và x1 x2 <br /> m2<br /> m2<br /> 2<br /> 2<br /> Theo bài ra:  2m  1 x1   m  2  x2  m  2   x1  x2  x1  x2  1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 9<br />  2 m  1  3m  3<br /> <br />  1  17 m  9  m <br /> (Không thỏa mãn)<br />  <br /> m2<br /> 17<br />  m2 <br /> Vậy không có giá trị m thỏa mãn bài toán.<br /> 2. Giải phương trình:<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 3,0<br /> <br /> ĐK: x  0<br /> <br /> x 1<br /> <br /> Trên ĐK đó PT  <br /> <br /> 0,5<br /> 2<br /> <br />  x  x  1  2 x  3 x  2 1<br /> <br /> <br /> Giải PT(1). Ta nhận thấy x  0 không là nghiệm của PT (1) nên<br /> PT (1) <br /> Đặt t <br /> <br /> x<br /> <br /> x<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br />  1  2 x    3<br /> x<br /> x<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> ; ĐK: t  2<br /> x<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> t  4<br />  t  2<br /> <br /> Ta được PT: t  1  2t 2  7  t 2  2t  8  0  <br /> <br /> (Loại)<br /> <br /> 1<br />  4  x  4 x 1 0  x  2  3  x  7  4 3<br /> x<br /> Vậy PT đã cho có ba nghiệm: x  1 và x  7  4 3<br /> Khi t  4 ta có<br /> <br /> x<br /> <br /> 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1,0<br /> 2,0<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Ta có: P   a  b   2  a  b    a  b   3 a  b <br /> Đặt: t  a  b <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> . Khi đó: P  f (t )  t 2  3t<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Theo bài ra: a  b  4ab   a  b   a  b  1  t  1 (do a  b <br /> <br /> 1<br /> )<br /> 2<br /> <br /> a , b   0; 2   a  2  b  2   ab  2  a  b   4  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ab<br /> 16<br /> 16<br />  2a  b  4  0  a  b   t <br /> 4<br /> 7<br /> 7<br />  16 <br /> Xét hàm số: f (t )  t 2  3t trên đoạn 1; <br />  7<br /> <br /> <br /> Ta có bảng biến thiên:<br /> <br /> t<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 80<br /> <br /> 49<br /> <br /> 2<br /> f (t )<br /> <br /> <br /> <br /> Vậy maxP  <br /> <br /> 16<br /> 7<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 9<br /> 4<br /> <br /> 80<br /> 2<br /> 2<br /> khi a  2; b  hoặc a  ; b  2<br /> 49<br /> 7<br /> 7<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 4. Tính giá trị của biểu thức<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ta có: cos   <br /> <br /> 3,0<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br />  sin   cos <br /> <br /> 4<br /> 2<br /> <br /> 2 1  sin cos  sin   cos   <br /> <br /> P<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 1  sin   cos <br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br />  sin   cos   sin   cos  1<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> 2<br /> <br /> Theo bài ra:  sin   cos     sin   cos    2   sin   cos  <br /> <br /> 1<br />  <br /> Do    0;   sin   cos   0  sin   cos   <br /> 2<br />  4<br /> 3 2<br /> Vậy: P <br /> 2<br /> 5. Xác định điểm K<br /> <br />    <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Đặt: AB  a ; AC  b và AK  t. AC<br /> <br /> <br /> <br /> Khi đó: BK   a  t.b<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 0,5<br /> 4,0<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Ta có:<br /> <br />  3  3    1 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> AI  AM  AB  BM ; BM  BC<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> <br />  9  3 <br /> 1  <br />  AC  AB  AI  a  b<br /> 4<br /> 16<br /> 16<br />    9  3  <br /> <br /> 7  3<br /> Mà BI  AI  AB  a  b  a   a  b<br /> 16<br /> 16<br /> 16<br /> 16<br /> Để ba điểm B , I , K thẳng hàng thì<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  7  3 <br />  m : BK  mBI   a  t.b  m   a  b <br /> 16 <br />  16<br /> 7m<br /> 16<br /> <br /> <br /> 1  <br /> m<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 16<br /> 7<br /> <br /> <br /> t  3m<br /> t  3<br />  16<br />  7<br /> <br /> <br />  3 <br /> <br /> 3<br /> Suy ra AK  . AC  AK  . AC<br /> 7<br /> 7<br /> 3<br /> Vậy điểm K thuộc cạnh AC sao cho AK  . AC<br /> 7<br /> 6. Viết phương trình cạnh BC<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> A<br /> <br /> <br /> <br /> 1,0<br /> <br /> K<br /> I<br /> B<br /> <br /> M<br /> <br /> C<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 3,0<br /> <br />  1 <br />  2 <br /> <br /> Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I   ;1 <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Phương trình đường thẳng AD : x  2  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Giao điểm E khác A của AD với đường tròn (C) là nghiệm của hệ:<br /> <br /> A<br /> <br /> x  2  0<br />  x  2; y  4<br /> <br /> <br />  E  2; 4 <br />  2<br /> 2<br /> x  2; y  6<br />  4 x  4 y  4 x  8 y  120  0 <br /> <br /> Mặt khác: BAE  CAE (do AD là phân giác)<br /> <br /> B<br /> <br /> 1,0<br /> I<br /> D<br /> <br />  EB  EC  IE  BC<br /> <br /> C<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> E<br /> <br />   5<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Mà IE   ; 5   cạnh BC có vtpt n  1; 2 <br /> <br /> 3<br /> <br /> Phương trình cạnh BC: 1 x  2   2  y    0  x  2 y  5  0<br /> 2<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Một số điểm lưu ý:<br /> Học sinh có thể giải cách khác đáp án nếu đúng cho điểm tương ứng như trong đáp án đã nêu.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> Cách giải khác Câu 3: (Dồn biến theo tích a.b)<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Ta có: P   a  b   2  a  b   16  ab   12ab<br /> Đặt: t  ab <br /> <br /> 1<br /> . Khi đó: P  f (t )  16t 2  12t<br /> 16<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Theo bài ra: 4 ab   a  b   16  ab   ab <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  t  (do ab  )<br /> 16<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> a , b   0; 2   a  2  b  2   ab  2  a  b   4  0<br />  ab  8ab  4  0  ab <br /> <br /> 4<br /> 4<br /> t<br /> 7<br /> 7<br /> 1 4<br /> <br /> Xét hàm số: f (t )  16t 2  12t trên đoạn  ; <br /> 4 7<br /> Ta có bảng biến thiên:<br /> <br /> t<br /> <br /> 3<br /> 8<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> 4<br /> 7<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> f (t )<br /> <br /> <br /> Vậy maxP  <br /> <br /> 80<br /> 49<br /> <br /> 9<br /> 4<br /> <br /> 80<br /> 4<br /> 2<br /> 2<br /> khi t   a  2; b  hoặc a  ; b  2<br /> 49<br /> 7<br /> 7<br /> 7<br /> <br /> Cách giải khác Câu 5: (Bằng cách sử dụng định lí Menelaus)<br /> Định lí (Menelaus): Là định lí không quen thuộc trong chương trình giáo khoa THCS.<br /> Vì vậy yêu cầu học sinh cần nêu rõ tên và nội dung của định lí như dưới đây (không cần chứng<br /> minh).<br /> Định lí (Menelaus): Cho tam giác ABC, ba điểm M,N,P lần lượt nằm trên các đường thẳng<br /> AB, BC, CA. Nếu M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi<br /> <br /> MA NB PC<br /> .<br /> .<br /> 1<br /> MB NC PA<br /> A<br /> <br /> K<br /> I<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> B<br /> <br /> M<br /> <br /> TrangC 5<br /> |<br /> <br />