Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 10 năm 2015-2016 trường THPT Con Cuông

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10

TRƯỜNG THPT CON CUÔNG NĂM HỌC 2015 – 2016

MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC





 x m 3

  (1)

3 0

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

 22 x



 1

Câu 1. (5,0 điểm) Cho phương trình: 

3m 

;x x là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m sao cho

a) Giải phương trình (1) khi





  2

b) Giả sử 1

 1



x 1

 2 x m 2



x x

  1



 2

Câu 2. (3,0 điểm) Giải phương trình:



 1 . 2

,a b là các số thực thỏa mãn:

a b ,

a b

 

1 4

   

  

Câu 3. (2,0 điểm) Cho và . Tìm giá trị



 a b



 a b









lớn nhất của biểu thức:

sin





cos







6 2

 4

  

  



cos



   

sin



cos

 2 1 sin cos

 

 4

   

  

 MC MB

Câu 4. (3,0 điểm) Cho . Tính giá trị biểu thức sau:

, I là . Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho ba

Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC . Điểm M thuộc cạnh BC sao cho điểm thuộc đoạn AM sao cho IM 3 ,B I K thẳng hàng. điểm



2;6

2;-

, Câu 6. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có

  

  x



30 0

 .

3   2  Biết đường tròn ngoài tiếp tam giác ABC có phương trình: 2  x

đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại . Viết phương trình cạnh BC .

---- Hết ----

Trang | 1

Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:...................................

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Nội dung

3m  2 x 7 x

  6 0

a b c

x  và

3m  PT (1) có dạng:    0 Ta có: PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: 1 1

x  6 2

Câu 1. a) Giải phương trình (1) khi Khi

 

Điểm 5,0 1,5 0,5 0,5 0,5 3,5











 2 3



2 0  1

 a    

m      m





Để PT(1) có 2 nghiệm 0,5 b) Tìm giá trị m thỏa mãn











  

 3 6 4

 3 6 4

1,0 (*)







x x và 1 2

x Theo hệ thức Viet ta có: 1

x 2

0,5



 1









     m  3 3 m  2 1  2 m  m 2  2     x x x m 2 2 2 1

x 1

2 x 2

x 1

2 2

0,5

  

  1





 9 17

  

  

 1  3 m 3  2 m Vậy không có giá trị m thỏa mãn bài toán.

0,5 (Không thỏa mãn) Theo bài ra:   m 1 2  2 m

2. Giải phương trình: 0,5 3,0

x 

 x

ĐK:



  1





  2 1

  

0,5 Trên ĐK đó PT

0x  không là nghiệm của PT (1) nên

Giải PT(1). Ta nhận thấy

 

  1





1 x

  

  

0,5 PT (1)





t  2

1 x

Đặt ; ĐK: 0,5

  1

t 2

  

t 2

(Loại)

4  t       8 0 t



Ta được PT: 0,5



  

        2

1 0

7 4 3

t  ta có

1 x

x  

7 4 3

1x  và

Khi 1,0

Trang | 2

Vậy PT đã cho có ba nghiệm: 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2,0

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

 a b





 a b















t ( )





t 3

a b

 a b 1    . Khi đó: 2

Ta có: CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017  0,5 Đặt:



a b

 

a b

      (do

a b

a b  )

1 2

0; 2

a b ,









 a b

 

4 0

    a

2 



Theo bài ra:

0,5







 a b

       a b

4 0





  a b 4

16 7

 16 7

t ( )





t 3

16 7

 1;  

  

3 2

16 7

Xét hàm số: trên đoạn



2

80 49

t ( )

9  4

0,5

Ta có bảng biến thiên:

maxP

 

b 2;

 hoặc



;

 2

2 7

80 49

Vậy khi 0,5

 

cos



sin





cos



 

 4

  

3,0



   

sin



cos







cos

1,0

 

  1 sin

2 

   P

sin





cos



sin





cos



 1

4. Tính giá trị của biểu thức 1   Ta có:  2   2 1 sin cos

 



1 2

sin





cos



sin





cos

  2

sin





cos

0,5

 



 



 

1  2

Theo bài ra: 

1,0







sin





cos



  0

sin





cos



 

 4

1 2

  

  



 2

0,5 Vậy:



  . AK t AC 

4,0 0,5 Đặt:

  BK

Trang | 3

0,5 Khi đó: 5. Xác định điểm K     AB a AC b ; và   a t b    .

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807



 AM

   AB BM BM



;



 BC

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

A



1 4

1,0

K



Ta có:  3 AI 4   AC AB 

  a

 AI  

 b



9 16

I

B

M

C

3 4 1   4    BI AI AB







 a



3 16   b a   

 a



 b

9 16

3 16

7 16

3 16

Mà

  







 a



 b

7 16

3 16

,B I K thẳng hàng thì ,     .  m BK mBI a t b m  

  



   1

16 7

m 7 16



Để ba điểm  0,5



3 7

      

     t  

0,5

m 3 16  AK



 . AC

  AK

3 7

Suy ra



1,0

3 7

Vậy điểm K thuộc cạnh AC sao cho

3,0

1 2

  

  

6. Viết phương trình cạnh BC Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm 0,5

AD x   2 0

Phương trình đường thẳng 0,5

A

2 0

 

 

 2; 4













120 0







x     x 

I

B

(cid:0)

(do AD là phân giác)

D

C

 BAE CAE IE BC

1,0 0,5 Giao điểm E khác A của AD với đường tròn (C) là nghiệm của hệ:      Mặt khác: (cid:0) (cid:0) (cid:0)     EB EC

E

 IE



 n 

  1; 2



5 2

  

   ; 5  

Mà cạnh BC có vtpt





  

 

5 0

0,5



3 2

  

  

Phương trình cạnh BC:  1

Một số điểm lưu ý:

Trang | 4

Học sinh có thể giải cách khác đáp án nếu đúng cho điểm tương ứng như trong đáp án đã nêu.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

Cách giải khác Câu 3: (Dồn biến theo tích a.b)



 a b



 a b

















Ta có:

ab



 P f

 ( ) 16 t t



1 16

Đặt: . Khi đó:

ab 



 a b



    (do









1 4

1 16

a b ,



0; 2







 a b

 

4 0

   a



1 4 

Theo bài ra: )





  ab

      ab

4 0

 4 7

 4 7

 ( ) 16 t



t 12

1 4 ; 4 7

  

  

Xét hàm số: trên đoạn

1 4

4 7

3 8



2

80 49

t ( )

9  4

Ta có bảng biến thiên:

maxP

 

b 2;

 hoặc



;

 2

2 7

80 49

4 t   7

Vậy khi

Cách giải khác Câu 5: (Bằng cách sử dụng định lí Menelaus)

Định lí (Menelaus): Là định lí không quen thuộc trong chương trình giáo khoa THCS.

Vì vậy yêu cầu học sinh cần nêu rõ tên và nội dung của định lí như dưới đây (không cần chứng

minh).

Định lí (Menelaus): Cho tam giác ABC, ba điểm M,N,P lần lượt nằm trên các đường thẳng

 1

MA NB PC MB NC PA

AB, BC, CA. Nếu M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi

A

K

I

B

Trang | 5

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

M

C

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

Áp dụng định lí (Menelaus) cho tam giác AMC ta có ba điểm I,B,K lần lượt nằm trên ba

đường thẳng AM, MC, CK.

 1

IA BM KC IM BC KA

Khi đó I, B, K thẳng hàng khi và chỉ khi

 MC MB





  ;

IA IM

BM BC

1  4

Mà

  

KC .

1 4

KC KA

3 4

Từ đó ta có:



3 4

Vậy điểm K thuộc cạnh AC sao cho

Cách khác câu 5: (giải theo CT lớp 9)

Kẻ MN // BK , N thuộc AC

A

 3

Theo định lí Talet trong tam giác CBK ta có:

K

CM CN  MB NK

N

I

B

M

C

 3

AI AK  IM KN

Theo định lí Talet trong tam giác AMN ta có:

  

AK CN



AK CN  KN NK

Từ đây suy ra:

CK CN NK





Mà

 ------------ Hết ----------

AK CK

3 4

Trang | 6

Suy ra:

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU

- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.

- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt

giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.

- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh

kiến thức và tối ưu kết quả học tập. -

CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ

- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học. - Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):

+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.

+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.

HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM

Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.

- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động thời gian học tập của mình.

- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất.

- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề nhanh hơn - hiệu quả hơn.

- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc.

Trang | 7

- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học.