Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2015-2016 - Trường THPT Tam Quan

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

SỞ GD & ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM 2015- 2016

TRƯỜNG THPT TAM QUAN MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC

3 2 và 2 3

2

Câu I: (1,5 điểm). So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng).

A







x 2

1 

x

2

  x   x 7

2 10

x

x  4 2  5 x

Câu II: (3,0 điểm). Cho

a) Rút gọn A.

b) Tìm x nguyên để A nguyên.

Câu III: (5,0 điểm).

1) Mỗi học sinh lớp 10A1 đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 25 bạn chơi bóng đá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu học sinh.

b b [ ;

a a

2).

1]

B

A







(

;

,

  Với điều kiện

C A B . nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó .

2) Cho các nữa khoảng Đặt

1

5

3) Tìm một tính chất đặc trưng cho các phần tử của mỗi tập hợp sau:

A

,

,

B

,

,

1 1 1 1 , , 2 6 12 20 30

2 3 4 6 , , 3 8 15 24 35

   

  

   

  

a) b)

2

2

Câu IV: (3,0 điểm).

x

  1

4  m m

 có bốn nghiệm phân biệt.

1

y

x

1) Tìm m để phương trình

4 3 4   4 3 4  

x

y

    

Trang | 1

2) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên

Câu V: (4,0 điểm).

AK



AC

1 3

2) Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và

cạnh AC sao cho . Chứng minh ba điểm B, I ,K thẳng hàng.

DA. Chứng minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Câu VI: (3,5 điểm). Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:

a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn. b) Tứ giác CMPO là hình bình hành. c) CM.CN = 2R2

---HẾT---

Trang | 2

Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: ...................................

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

2

2



3 2



2 3

CÂU NỘI DUNG ĐÁP ÁN

Giả sử 3 2 > 2 3 I.









2

2



3 2



2 3



3 2



2 3

 

18 12

(1,5đ) (BĐT đúng)









a) (1,5 đ) x2-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là

2

2

A















x 2

1 

x

2

  x   7 x

2 10

x

 4 x 2  5 x

1 

x

2

x  x

(

  x 2  5)( x 2)

 4 x 2  5 x

2

x

  5

x

4)(

x



2)



x ≠5và x ≠2

   2 (2 x   ( x 5)( x

 x 2)

2

II







x   ( x

 8 5)(

x x

 

15 2)

x   (  x (

x  3) 5)(  2) x 5)(

x   3  2 x

(3,0 đ)

A



   1

 2) 1   ( x  x 2

1 

x

2

b) (1,5 đ) , với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi

1 2x 

nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.

1)(2 đ) Gọi A là tập hợp các học sinh lớp 10A1 chơi bóng đá

C b b [



  2)

(



1]

;

a a ;

b a b

2

1

a

B là tập hợp các học sinh lớp 10A1 chơi bóng chuyền. Vì mỗi bạn của lớp 10A1 đều chơi bong đá hoặc bóng chuyền nên A B là tập các học sinh của lớp. Để đếm số phần tử của A B . Số phần tử của A là 25 Hs và của B là 20 hs. Nhưng khi đó các phần tử thuộc A B được đếm hai lần( 10 lần). III Vậy số phần tử của A B là 25+20 -10 = 35. Lớp 10A1 có 35 hs.

    

a b

2.

1

b

     (*)



  2)

(

  1]



1]

C b b [ ;

a a ;

b a [ ;

2) (2 đ) là một đoạn  (5,0đ)

a b  1

A



/

 n N

,1

  n

5

Khi đó, là đoạn có độ dài

1  n n (

1)

  

  

Trang | 3

3) (1 đ) a)

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

A



/

 n N

, 2

  n

6

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

2

n 

n

1)

  

  

4 m m

b)

2 1 0  

2

2

x



4  m m



2

(1)

1) (1,5 đ) Ta có:

2

4

2

2

x



2  m m



m

(1



m

)

(2)

   

2

4 m m

PT

  2 0

m  

( 1; 1) {0}\

(1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m vì

0m  và

1

2 0m

 

2

4

m  

( 1;1) {0}\

4  m m

  2

2  m m

(2) có 2 nghiệm phân biệt 

PT có 4 nghiệm phân biệt  và

m  

( 1;1) {0}\

m  

( 1;1) {0}\

4 m m

2 1 0

  

IV  và , kết luận

3

4

(3,0đ)

3

  x   y

4

4

4

x

 

3 4

y

x

y

a ( )



2) (1,5 đ) . §iÒu kiÖn ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ: (*)

4

4

  3 4 4

y

 

3 4

x

x



y



4(

x



y

b ) 0 ( )



  

  

2

2

x

y

x

y

b ( )

y

x



y

x



y



4



0

     0

   x





   

 

2

2

3

x



y

x



y

x y  ,

0

Víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã:

  ). 4 0

 nªn 

(v×





4

4

4

4

x

    y

3 4

x

4

x

    

3 0

1 4

x

x



   0 1

2

3

2

2

x



x

  x

3

  

0

x

x



2

x



3

0

   1 x

   x



 1



  1



x

2 2 

x

  3

x



Thay vµo (a):

  . 2 0



2 1

x

y  

31

v×

4

1

So víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: .

1

x    y

    u BA v BC ;





VËy hÖ ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt :





1) (2,0 đ) Đặt .Ta có V

  BK BA AK u   



  AC u  

  BC BA  )

(



 u



 v

(1)

1 3

1 3

1 3

2 3

Trang | 4

(4,0đ)

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

 BI



  BA BM 

(

)



 u



 v

(2)

1 2

1 4

1 2

  u v  

 BK

3

  u v  

 BI

4

, 2

 BK

 BI



4

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

vậy 3 hay

 BI



4 3

Từ (1) và (2) suy ra 2  BK

   GA GN GP





 0



Do đó ba điểm B, I, K thẳng hàng













 

 

2) (2,0 đ) Gọi G là trọng tâm tam giác ANP .Khi đó

    GA GN GP AC 

    NM PQ 

    AC CA 













(

)

   GC GM GQ





 0



Ta có    GC GM GQ GA AC GN NM GP PQ  0

C

M

O

A

B

Vậy Suy ra G là trọng tâm tam giác CMQ

VI

F

N

E

P

D

(3,5đ)

Trang | 5

a) (1,5 đ) * Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

* Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP.

* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP.

(cid:0)

(cid:0)  NMP NCD

b) (1,0 đ) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)

(cid:0)

(hai góc đồng vị)

(cid:0)

 NMP NOP

(cid:0)  ONC OCN (hai góc đáy của tam giác cân ONC)

(cid:0)

 MNO NOP

(cid:0) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)

Suy ra (cid:0) ; do đó, OP//MC.



CND

(cid:0)

COM g g ( . )

Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.

c) (1,0 đ)

OC CM  CD CN

Trang | 6

Nên hay CM.CN = OC.CD = 2R2

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU

- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.

- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt

giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.

- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh

kiến thức và tối ưu kết quả học tập. -

CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ

- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học. - Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):

+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.

+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.

HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM

-

Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.

- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động thời gian học tập của mình.

- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất.

- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề nhanh hơn - hiệu quả hơn.

- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc.

Trang | 7

- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807