CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN THI: TOÁN - LỚP 12
Thời gian làm bài: 180 phút
3
2
mx
2
3
y
x
mx 2
2
y
Câu I (2,0 điểm)
(với m là tham số). 1) Cho hàm số x (1) và đường thẳng ( ) : Tìm m để đường thẳng ( ) và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao
y
y
2
mx
cho diện tích tam giác OBC bằng 17 (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ).
x 2 3 x 2
,1k
2k lần lượt là hệ số góc của tiếp
2013
2) Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng d: . Chứng minh rằng d cắt
2013
k
1
2
đạt giá trị nhỏ nhất. (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để P = k
4sin
x
cos
4
x
sin24
x
1
Câu II (2,0 điểm)
4
1
2
xy
1
9
y
1
1) Giải phương trình:
x
1
x
3
2
2
x
9(
y
(4)1
x
)1
x
10
3
2) Giải hệ phương trình:
S
...
Câu III (2,0 điểm)
1 2013 !.0.1 !
1 2012 !.1.2 !
1 2011 !.2.3 !
1 2010 !.3.4 !
1 2013 .
!0!.
2014
1
n
5 2
(
Nn
*)
lim
1) Rút gọn biểu thức:
k
1 ku1
u
u
2
n
1
2 n
n
u u
1 2
Trang | 1
. Tìm . 2) Cho dãy số (un) thỏa mãn:
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
0
.S ABC có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, (cid:0) AS
(cid:0) B SAC
0 90 ,
(cid:0) BSC
120
Câu IV (3,0 điểm)
SAB theo a.
)
. Gọi 1) Cho khối chóp M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a. Chứng minh tam giác AMN vuông. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (
2) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên các đoạn AB và CD sao
cho BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN.
xyz
22
8
8
8
8
8
8
Câu V (1,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn:
8
4
4
2
4
2
4
4
2
x
y
y
x
2 yx
y
y
z
z 4
2 zy
z
z
x
x
2 xz
Chứng minh rằng:
Trang | 2
……………..Hết………………..
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
HƯỚNG DẪN CHẤM
3
2
Nội dung Điểm Câu
y
x
2
mx
3
x (1) và đường thẳng ( ) :
y
mx 2
2
I1 1) Cho hàm số (với m là
tham số). Tìm m để đường thẳng ( ) và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm 1,0đ
phân biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 17 (với A là điểm có
hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ).
3
2
3
2
x
2
mx
3
x
2
mx
2
x
2
mx
(2
m
3)
x
2
0
1
2
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và ( ) là nghiệm phương trình:
x (
1)
(2
m
1)
x
2
x
x 2
x
(2
m
1)
x
2 0(2)
0
0,25 .
2
m
(2
1)
8 0
Vậy ( ) và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt phương trình (2)
x
1
m
0
m
1 2
0
1 2
có hai nghiệm phân biệt .
B(
2), C(
2)
x mx ;2 1 1
x mx ;2 2 2
Khi đó, ba giao điểm là A(1;2m-2), , trong đó
x ; x là nghiệm phương trình (2) nên
x
x
2m 1, x x
2
1
2
2
1
1
2
2
S
d BC.
0,25
d = d(O; ) =
2
1 2
1+4m
2
2
2
2
2
BC
(
)
(2
2
)
(
)
4
4
m
x 2
x 1
mx 2
mx 1
x 1
x 2
x x 1 2
Tam giác OBC có diện tích . Trong đó
1
2
2
S
2
m
8
BC
2
m
m
2 1
1
1
0,25
8 4
m
1
4 2 m
m 4
9
17
m
2
0,25 (TM) Vậy S = 17
y
x 2 3 x 2
I2 2) Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = - 2x + m. Chứng
1, kk
2
1,0đ minh rằng d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi lần
Trang | 3
lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để P =
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
2013
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
k
k
2013
1
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
x
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:
2
mx
2
2 3 x x 2
2
x
6(
xm )
23
m
(*)0
Rm
,0
0,25
Xét phương trình (*), ta có: và x = -2 không là nghiệm của (*) nên
d luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. 0,25
,
k
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là
k 1
2
2x là 2 nghiệm của phương trình (*), ta
2
2
1
(
)1
1
(
x
)1
x 1
2
, trong đó 1x ,
1
4
kk . 1
2
2
2
2
x
2
2
2
x
4
1 2
x 1
2
xx 21
x 1
2
2013
2013
2013
2014
.2
2
0,25 thấy (k1>0, k2>0)
k
1
2
kk 21
2
2
)2
(
x
)2
k 1
k 2
x ( 1
2
2
2
(
)2
(
x
)2
1
1
x 1
2
, do dó MinP = 22014 đạt được khi Có P = k
2x phân biệt nên ta có x1 +2 = - x2 - 2
x1 + x2 = - 4 m = - 2. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.
0,25 do 1x ,
4sin
x
cos
4
x
sin24
x
1
4
II1 1) Giải phương trình: (1)
1,0đ
(cos
x
sin
x
)(sin
2
x
cos
2)2
x
0,25 PT(1) 2sin2x.cos2x + 2cos22x =4(sinx – cosx)
0
(cosx – sinx).
cos
x
sin
x
0
x
k
4
0,25 *)
cos
x
3sin;1
x
,1 x
0,25 *) (cosx + sinx)(sin2x + cos2x) + 2 = 0 cosx + sin3x + 2 = 0 (2)
hệ vô nghiệm.
x 1 cos 3sin x 1
Trang | 4
*) Vì nên (2)
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
x
k
(
k Z )
4
1
0,25 Vậy PT có nghiệm là:
2
1
xy
9
y
1
)1(
II2
x
1
x
3
2
2
x
9(
y
(4)1
x
).1
x
)2(10
3
2) Giải hệ phương trình: 1,0đ
0x
ĐK:
NX: x = 0 không TM hệ PT
x
x
2
3
y
3
y
9
y
1
Xét x > 0
1 x
2
1
1
1
2
3
y
3
y
y )3(
1
1
PT (1) 0,25
x
x
x
12 t
(3)
2
t
2
Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm số f(t)= t + t. , t > 0.
t
1
2
t
1
1
1
Ta có: f’(t) = 1 + >0. Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞)
x
x
3
2
x
x
(4 2 x
).1
x
10
PT(3) f(3y)= f 3y = 0,25
3
2
Thế vào pt(2) ta được PT:
x
x
(4 2 x
).1
x
10
g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞)
0,25 Đặt g(x)= , x > 0. Ta có g’(x) > 0 với x > 0
Ta có g(1) = 0
Vậy pt g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1
1 3
Với x =1 y =
1 3
Trang | 5
0,25 KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1; ).
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
1) Rút gọn biểu thức:
III1
S
...
...
1 2013 !
1 2012 !.1.2 !
1 2011 !.2.3 !
1 2010 !.3.4 !
!.0.1
(
k
k ).1
k
)!
2014 .
1 2013 !.(
1 2013
2013
2013
S
S
.
2013 !
1,0đ
1 2013 !.(
(
k
k ).1
k
)!
C k
k 2013 1
k
0
k
0
+) Ta có:
0,25
C k
k 2013 1
2013 ! 2013
(
k
)!.(1
k
)!
2014
.(
k
(
k
k 1 C 2014 2014
2014 ! 2014 )!1
!)1
+) Ta có:
2013
2014 .
C
0,25 (k =0;1;…;2013)
k 2014
k 1 C 2014 2014
1 2014
k
0
k
1
+) Do đó: S.2013!=
S
0,25
2
1 2014
1 2014
2 2014 1 2014 !
+) S.2013! =
0,25
1
n
5 2
(
Nn
*)
lim
III2
k
1 ku1
u
u
2
n
1
2 n
n
u u
1 2
u
u
( u
4 u
)4
,0 n
. Tìm . 2) Cho dãy số (un) thỏa mãn: 1,0đ
Dãy không giảm.
1
n
n
2 n
n
1 2
+) Ta có:
0,25 Nếu có số M: un M với mọi n, thì tồn tại limun = L. Vì un u1 L u1
1 2
limun =
u
u 2
4
u 2
)2
u (2
)2
0,25 +) Khi đó ta có: L = L2 – L + 2 L = 2. (Vô lý)
2 n
n
1
uu ( n
n
1
n
)2
u (2
)2
1 uu ( n
n
n
n 1 1
+) Ta có:
1
1
*Nn
1
2
1 u
u
u
2
1
2
u
u
2
n
n
n
1
1 u n
n
n
1
Trang | 6
0,25 ( )
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
n
n
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
lim
2
1 u
1
2
1
2
u
2
k
1
k
1 u 1
k
u 1
n
1
1 ku1
0,25 +) Do đó: =
SA
2 ,
a SB
3 ,
a SC
a 4 ,
.S ABC
(cid:0) AS
(cid:0) B SAC
0 90 ,
0
IV1 1) Cho khối chóp
(cid:0) BSC
120
. Gọi M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a. 1,5đ
(
)
SAB theo a .
S
S
Chứng minh tam giác AMN vuông. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
N
2a
3
Dùng ĐL Cosin tính 0,25
A
A
C
N
M
H
M
B
được: MN =
2a
2
0,25 , AN=2a (Tam giác vuông SAC có SC=2SA nên góc ASC = 600)
AM= tam giác AMN vuông tại A.
SH
( AMN
)
Gọi H là trung điểm của MN, vì SA = SM = SN và tam giác AMN vuông tại A. 0,25
3
; tính được SH = a.
a
V AMN
S
.
22 3
0,25 Tính được
3
.
AMN
22
a
V ABC S .
V S V
SM SN . . SCSB
1 3
S
.
ABC
3
0,25
2
6
S ABC
.
d C SAB ;(
(
))
2
a
2
2
V 3 S
a a 3
SAB
0,25 Vậy
2) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên đoạn AB IV2
và đoạn CD sao cho BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN. 1,5đ
x
x
0
x
1
, với
BM
.
BAx
BM BA
DN DC
Trang | 7
0,25 +) Đặt . Khi đó ta có: và
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
DN
.
DCx
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
DN
. DCx
BN
BD
( BCx
BD
)
BN
. BCx
1(
). BDx
MN
BN
BM
. BCx
1(
). BDx
. BAx
0,25 +) Ta có:
2
2
2
Do đó:
2
2
2
2 ax
1(
2 ax )
2 ax
x 1(2
x
)
2 x .2
x 1(2
x
)
a 2
a 2
a 2
2
2
2
2
1(
x
)
x
x
1(
x
)
x
x
1(
x
0,25 +) MN2 =
) = (2x2 – 2x + 1)a2
= a2 x
1;0 ta có:
max
xf )(
f
)0(
f
,1)1(
min
xf )(
f
(
)
1 2
1 2
0,25 +) Xét hàm số f(x) = 2x2 – 2x + 1 trên đoạn
2a 2
0,25 +) MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi M, N lần lượt là trung điểm của AB,
CD.
+) MN đạt giá trị lớn nhất bằng a khi M B, N D hoặc M A, N C. 0,25
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: x.y.z = 2 2
8
8
8
8
8
8
8
4
4
2
4
2
4
4
2
x
y
y
x
2 yx
y
y
z
z 4
2 zy
z
z
x
x
2 xz
V Chứng minh rằng:
1,0đ
2
2
2
2
a
b
(3
a
b
)
2
2
ab
a
b
ab
+) Đặt a = x2, b = y2, c = z2 , từ giả thiết ta có: a>0, b>0, c>0 và a.b.c = 8 0,25
2
2
4
4
4
4
4
4
Do nên Dấu“=”có a=b
b
b
2
2
(
a
b
)
2
2
2
2
1 3
a
2 b
b
a
ab
b
b
2
a a
a a
3 2
3 2
0,25 +) Ta có: . Ta sẽ chứng minh:
Trang | 8
(1).
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
4 a
b
)4
(
2 a
b
22 )
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
4
4
2
2
(
a
b
)
Thật vậy: (1) 2( (a2 – b2)2 0 (luôn đúng).
2
1 3
a
2 b
b
a
ab
4
4
Do đó ta được: Dấu“=”có a2=b2 a=b
2
2
b (
c
)
2
1 3
b
2 c
c
b
bc
4
4
2
2
(
c
a
)
0,25 +) Áp dụng BĐT trên ta có: Dấu“=”có b=c
2
1 3
c
2 a
a
c
ca
Dấu“=”có c=a
4
4
4
4
4
4
2
2
2
(
a
b
c
)
Cộng các vế các BĐT trên ta được:
2
2
2
2 3
a
2 b
b
a
ab
b
b
2 c
c
bc
c
c
2 a
a
ca
(2) Dấu“=”có
a=b=c
2
2
2
2
2
(
a
b
c
)
3 .2
2 cba
8
2 3
x
y
z
2
0,25 +) Theo BĐT Cô-si ta có: .Dấu“=”có a=b=c
Trang | 9
Do đó ta có ĐPCM. Dấu đẳng thức xảy ra
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU
- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.
- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt
giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.
- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh
kiến thức và tối ưu kết quả học tập. -
CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ
- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học. - Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):
+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.
+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.
HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM
-
Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.
- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động thời gian học tập của mình.
- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất.
- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề nhanh hơn - hiệu quả hơn.
- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc.
Trang | 10
- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học.
![Bài tập diện tích tam giác Toán 5: Tổng hợp và giải chi tiết [kèm bài giải]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250716/thanhha01/135x160/636_bai-tap-dien-tich-tam-giac-toan-5-tong-hop-giai-chi-tiet.jpg)
![Đề thi Tiếng Anh có đáp án [kèm lời giải chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250810/duykpmg/135x160/64731754886819.jpg)
![Đề thi học kì 2 Vật lý lớp 11: Đề minh họa [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250709/linhnhil/135x160/711752026408.jpg)
