Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Sở GD&ĐT Phú Thọ

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> NĂM HỌC 2015 - 2016<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> MÔN THI: TOÁN – LỚP 12<br /> Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề<br /> <br /> x3<br /> có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình<br /> x  2<br /> y  x  m  1 . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông<br /> tại O, (O là gốc tọa độ).<br /> <br /> Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số y <br /> <br /> Câu 2 (2,5 điểm). Giải phương trình<br /> <br /> 3 cos 2 x(2sin x  1)  2cos x(2sin 2 x  1)  3sin 2 x.<br /> Câu 3 (2,5 điểm). Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần<br /> áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để có ít nhất<br /> một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.<br /> <br /> Câu 4 (2,5 điểm). Tính tích phân<br /> <br /> <br /> I<br /> <br /> 4<br /> <br />  cos 2 x.ln(sin x  cos x)dx.<br /> 0<br /> <br /> Câu 5 (2,5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC  a . Tam<br /> giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ<br /> điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy bằng 60o .<br /> <br /> Câu 6 (2,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(5; 2) .<br /> <br /> M (1; 2) là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho MDC  MBC và MB  MC . Tìm<br /> 1<br /> tọa độ điểm D biết tan DAM  .<br /> 2<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Câu 7 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình<br /> ( x  y ) 2  3( x  y )  2( x  y  1)  4<br /> <br />  2<br /> 3<br /> ( x  y  2) 2 x  1  x  2 y  5.<br /> <br /> <br /> Câu 8 (2,5 điểm). Cho các số x, y , z thỏa mãn 0  x  y  z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> P  xy  yz  zx<br /> <br /> 2<br /> <br /> x<br />  xyz <br /> <br /> 2<br /> <br />  y2  z 2 <br /> 6<br /> <br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br /> ---------Hết---------<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM<br /> Nội dung<br /> x3<br /> có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình:<br /> x  2<br /> y  x  m  1 . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác<br /> OAB vuông tại O.<br /> Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):<br /> x3<br />  x  m 1<br /> x  2<br />  x 2  (m  2) x  2m  5  0 (1) ( x  2)<br /> Điều kiện:<br />   (m  2)2  4(2m  5)  m 2  4m  16  0<br />  2<br /> (*)<br /> 2  2( m  2)  2m  5  0<br /> 02  (m  2).0  2m  5  0<br /> <br /> Với điều kiện (*) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và khác 2<br /> và khác 0, hay (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A( x1 ; x1  m  1); B ( x2 ; x2  m  1) ,<br /> không trùng điểm O.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ta có OA  ( x1 ; x1  m  1); OB  ( x2 ; x2  m  1) . Vì tam giác OAB vuông tại O nên<br />  <br />  <br /> OA.OB  0  x1 x2  ( x1  m  1)( x1  m  1)  0<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Câu 1. Cho hàm số y <br /> <br /> 2,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  2 x1 x2  (m  1)( x1  x2 )  (m  1) 2  0 (**)<br /> x  x  m  2<br /> Theo định lí Viet ta có:  1 2<br /> , thay vào (**) được:<br />  x1 x2  2m  5<br /> 2(2m  5)  (m  1)( m  2)  (m  1) 2  0  m  3.<br /> Thử lại vào (*) thấy thỏa mãn. Vậy m  3 thỏa mãn bài toán.<br /> Câu 2. Giải phương trình sau<br /> 3 cos 2 x(2sin x  1)  2cos x (2sin 2 x  1)  3sin 2 x .<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 2,5<br /> <br /> Ta có: (1)  3 cos 2 x(2sin x  1)  2cos x (2sin 2 x  1)  3sin 2 x<br /> <br />  2 3 sin x cos 2 x  3 cos 2 x  4cos x sin 2 x  2cos x  3sin 2 x  0<br />  2 3 sin x cos 2 x  2sin x sin 2 x  4sin x cos x  3 cos 2 x  sin 2 x  2cos x  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  2sin x ( 3 cos 2 x  sin 2 x  2cos x )  ( 3 cos 2 x  sin 2 x  2cos x)  0<br />  (2sin x  1)( 3 cos 2 x  sin 2 x  2cos x )  0<br />  2sin x  1  0 (2)<br /> <br />  3 cos 2 x  sin 2 x  2cos x  0(3)<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> <br /> <br /> x   2 k<br /> <br /> 1<br /> 6<br /> (2)  sin x   <br /> 2<br />  x  5  2k .<br /> <br /> 6<br /> <br /> 3<br /> 1<br /> <br /> (3) <br /> cos 2 x  sin 2 x  cos x  cos(2 x  )  cos x<br /> 2<br /> 2<br /> 6<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  2 x  6  x  2k<br />  x  6  2k<br /> <br /> <br />  2 x     x  2k<br />  x    2k .<br /> <br /> <br /> 6<br /> 18<br /> 3<br /> <br /> <br /> Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm:<br /> <br /> 5<br />  2k<br /> x   2k ; x <br />  2 k ; x  <br /> ( k  ).<br /> 6<br /> 6<br /> 18<br /> 3<br /> Câu 3. Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần<br /> áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để<br /> có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.<br /> Người khách thứ nhất có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.<br /> Người khách thứ hai có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.<br /> Người khách thứ ba có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.<br /> Người khách thứ tư có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.<br /> Người khách thứ năm có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.<br /> Theo quy tắc nhân có 5.5.5.5.5 = 3125 khả năng khác nhau xảy ra cho 5 người<br /> vào 5 cửa hàng. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là:   3125 .<br /> Để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 khách vào thì có các trường hợp (TH)<br /> sau:<br /> TH1: Một cửa hàng có 3 khách, một cửa hàng có 2 khách, ba cửa hàng còn lại<br /> 1<br /> 3<br /> 1<br /> 2<br /> không có khách nào. TH này có C5 .C5 .C4 .C2  200 khả năng xảy ra.<br /> TH2: Một cửa hàng có 3 khách, hai cửa hàng có 1 khách, hai cửa hàng còn lại<br /> 1<br /> 3<br /> 2<br /> không có khách nào. TH này có C5 .C5 .C4 .P2  600 khả năng xảy ra.<br /> TH3: Một cửa hàng có 4 khách, một cửa hàng có 1 khách, ba cửa hàng còn lại<br /> 1<br /> 1<br /> không có khách nào. TH này có C5 .C54 .C4  100 khả năng xảy ra.<br /> TH4: Một cửa hàng có 5 khách, các cửa hàng khác không có khách nào. TH này<br /> 1<br /> có C5  5 khả năng xảy ra.<br /> Suy ra có tất cả 200  600  100  5  905 khả năng thuận lợi cho biến cố “có ít<br /> nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào”.<br /> 905 181<br /> <br /> Vậy xác suất cần tính là: P <br /> 3125 625<br /> Câu 4. Tính tích phân<br /> <br /> <br /> I<br /> <br /> 4<br /> <br />  cos 2 x.ln(sin x  cos x)dx<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 2,5<br /> <br /> 0<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> <br /> I<br /> <br /> 4<br /> <br />  cos 2 x.ln(sin x  cos x)dx<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> 4<br /> 2<br /> <br />  ln(sin x  cos x) .cos 2 x.dx<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  ln(1  sin 2 x) cos 2 xdx.<br /> 0<br /> <br /> 2cos 2 x<br /> <br /> du <br /> dx<br /> u  ln 1  sin 2 x  <br /> <br /> <br /> 1  sin 2 x<br /> Đặt <br /> <br /> dv  cos 2 xdx<br /> <br /> v  1 1  sin 2 x  .<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 4<br /> 4<br /> 1 1<br /> I   1  sin 2 x  ln 1  sin 2 x    cos 2 xdx <br /> 2 2<br /> <br /> 0<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 4<br /> 1<br /> 1<br /> 2 ln 2  1<br />  ln 2  sin 2 x  <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> 4<br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC  a . Tam<br /> giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng<br /> cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy<br /> bằng 60o.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2,5<br /> <br /> S<br /> <br /> A<br /> <br /> D<br /> <br /> K<br /> H<br /> <br /> B<br /> <br /> I<br /> <br /> C<br /> <br /> Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân nên SH  AB . Vì tam giác SAB<br /> nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH  ( ABCD) . Suy ra góc giữa SD<br /> và mp(ABCD) là SDH  60o  SH  HD tan 60o  HD 3.<br /> Dễ thấy tam giác ABC đều cạnh a nên ABC  60o  HAD  120o .<br /> Theo định lí Cô sin:<br /> a2<br /> a  1  7a 2<br /> HD 2  AH 2  AD 2  2 AH . AD.cos1200 <br />  a 2  2. .a.   <br /> 4<br /> 2  2<br /> 4<br /> Suy ra HD <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> a 7<br /> a 21<br /> hay SH  HD 3 <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />