intTypePromotion=3

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Sở GD&ĐT Phú Thọ

Chia sẻ: Hương Nắng Mai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

0
370
lượt xem
38
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Sở GD&ĐT Phú Thọ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Sở GD&ĐT Phú Thọ". Đề thi kèm đáp án giúp các bạn có thể tự đánh giá kết quả của mình sau khi hoàn thành bài test. Hy vọng, tài liệu này sẽ giúp các bạn rèn luyện kỹ năng giải Toán và củng cố kiến thức để đạt kết quả cao trong kì thi!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Sở GD&ĐT Phú Thọ

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> NĂM HỌC 2015 - 2016<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> MÔN THI: TOÁN – LỚP 12<br /> Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề<br /> <br /> x3<br /> có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình<br /> x  2<br /> y  x  m  1 . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông<br /> tại O, (O là gốc tọa độ).<br /> <br /> Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số y <br /> <br /> Câu 2 (2,5 điểm). Giải phương trình<br /> <br /> 3 cos 2 x(2sin x  1)  2cos x(2sin 2 x  1)  3sin 2 x.<br /> Câu 3 (2,5 điểm). Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần<br /> áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để có ít nhất<br /> một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.<br /> <br /> Câu 4 (2,5 điểm). Tính tích phân<br /> <br /> <br /> I<br /> <br /> 4<br /> <br />  cos 2 x.ln(sin x  cos x)dx.<br /> 0<br /> <br /> Câu 5 (2,5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC  a . Tam<br /> giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ<br /> điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy bằng 60o .<br /> <br /> Câu 6 (2,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(5; 2) .<br /> <br /> M (1; 2) là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho MDC  MBC và MB  MC . Tìm<br /> 1<br /> tọa độ điểm D biết tan DAM  .<br /> 2<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Câu 7 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình<br /> ( x  y ) 2  3( x  y )  2( x  y  1)  4<br /> <br />  2<br /> 3<br /> ( x  y  2) 2 x  1  x  2 y  5.<br /> <br /> <br /> Câu 8 (2,5 điểm). Cho các số x, y , z thỏa mãn 0  x  y  z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> P  xy  yz  zx<br /> <br /> 2<br /> <br /> x<br />  xyz <br /> <br /> 2<br /> <br />  y2  z 2 <br /> 6<br /> <br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br /> ---------Hết---------<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM<br /> Nội dung<br /> x3<br /> có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình:<br /> x  2<br /> y  x  m  1 . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác<br /> OAB vuông tại O.<br /> Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):<br /> x3<br />  x  m 1<br /> x  2<br />  x 2  (m  2) x  2m  5  0 (1) ( x  2)<br /> Điều kiện:<br />   (m  2)2  4(2m  5)  m 2  4m  16  0<br />  2<br /> (*)<br /> 2  2( m  2)  2m  5  0<br /> 02  (m  2).0  2m  5  0<br /> <br /> Với điều kiện (*) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và khác 2<br /> và khác 0, hay (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A( x1 ; x1  m  1); B ( x2 ; x2  m  1) ,<br /> không trùng điểm O.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ta có OA  ( x1 ; x1  m  1); OB  ( x2 ; x2  m  1) . Vì tam giác OAB vuông tại O nên<br />  <br />  <br /> OA.OB  0  x1 x2  ( x1  m  1)( x1  m  1)  0<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Câu 1. Cho hàm số y <br /> <br /> 2,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  2 x1 x2  (m  1)( x1  x2 )  (m  1) 2  0 (**)<br /> x  x  m  2<br /> Theo định lí Viet ta có:  1 2<br /> , thay vào (**) được:<br />  x1 x2  2m  5<br /> 2(2m  5)  (m  1)( m  2)  (m  1) 2  0  m  3.<br /> Thử lại vào (*) thấy thỏa mãn. Vậy m  3 thỏa mãn bài toán.<br /> Câu 2. Giải phương trình sau<br /> 3 cos 2 x(2sin x  1)  2cos x (2sin 2 x  1)  3sin 2 x .<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 2,5<br /> <br /> Ta có: (1)  3 cos 2 x(2sin x  1)  2cos x (2sin 2 x  1)  3sin 2 x<br /> <br />  2 3 sin x cos 2 x  3 cos 2 x  4cos x sin 2 x  2cos x  3sin 2 x  0<br />  2 3 sin x cos 2 x  2sin x sin 2 x  4sin x cos x  3 cos 2 x  sin 2 x  2cos x  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  2sin x ( 3 cos 2 x  sin 2 x  2cos x )  ( 3 cos 2 x  sin 2 x  2cos x)  0<br />  (2sin x  1)( 3 cos 2 x  sin 2 x  2cos x )  0<br />  2sin x  1  0 (2)<br /> <br />  3 cos 2 x  sin 2 x  2cos x  0(3)<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> <br /> <br /> x   2 k<br /> <br /> 1<br /> 6<br /> (2)  sin x   <br /> 2<br />  x  5  2k .<br /> <br /> 6<br /> <br /> 3<br /> 1<br /> <br /> (3) <br /> cos 2 x  sin 2 x  cos x  cos(2 x  )  cos x<br /> 2<br /> 2<br /> 6<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  2 x  6  x  2k<br />  x  6  2k<br /> <br /> <br />  2 x     x  2k<br />  x    2k .<br /> <br /> <br /> 6<br /> 18<br /> 3<br /> <br /> <br /> Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm:<br /> <br /> 5<br />  2k<br /> x   2k ; x <br />  2 k ; x  <br /> ( k  ).<br /> 6<br /> 6<br /> 18<br /> 3<br /> Câu 3. Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần<br /> áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để<br /> có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.<br /> Người khách thứ nhất có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.<br /> Người khách thứ hai có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.<br /> Người khách thứ ba có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.<br /> Người khách thứ tư có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.<br /> Người khách thứ năm có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.<br /> Theo quy tắc nhân có 5.5.5.5.5 = 3125 khả năng khác nhau xảy ra cho 5 người<br /> vào 5 cửa hàng. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là:   3125 .<br /> Để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 khách vào thì có các trường hợp (TH)<br /> sau:<br /> TH1: Một cửa hàng có 3 khách, một cửa hàng có 2 khách, ba cửa hàng còn lại<br /> 1<br /> 3<br /> 1<br /> 2<br /> không có khách nào. TH này có C5 .C5 .C4 .C2  200 khả năng xảy ra.<br /> TH2: Một cửa hàng có 3 khách, hai cửa hàng có 1 khách, hai cửa hàng còn lại<br /> 1<br /> 3<br /> 2<br /> không có khách nào. TH này có C5 .C5 .C4 .P2  600 khả năng xảy ra.<br /> TH3: Một cửa hàng có 4 khách, một cửa hàng có 1 khách, ba cửa hàng còn lại<br /> 1<br /> 1<br /> không có khách nào. TH này có C5 .C54 .C4  100 khả năng xảy ra.<br /> TH4: Một cửa hàng có 5 khách, các cửa hàng khác không có khách nào. TH này<br /> 1<br /> có C5  5 khả năng xảy ra.<br /> Suy ra có tất cả 200  600  100  5  905 khả năng thuận lợi cho biến cố “có ít<br /> nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào”.<br /> 905 181<br /> <br /> Vậy xác suất cần tính là: P <br /> 3125 625<br /> Câu 4. Tính tích phân<br /> <br /> <br /> I<br /> <br /> 4<br /> <br />  cos 2 x.ln(sin x  cos x)dx<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 2,5<br /> <br /> 0<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> <br /> I<br /> <br /> 4<br /> <br />  cos 2 x.ln(sin x  cos x)dx<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> 4<br /> 2<br /> <br />  ln(sin x  cos x) .cos 2 x.dx<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  ln(1  sin 2 x) cos 2 xdx.<br /> 0<br /> <br /> 2cos 2 x<br /> <br /> du <br /> dx<br /> u  ln 1  sin 2 x  <br /> <br /> <br /> 1  sin 2 x<br /> Đặt <br /> <br /> dv  cos 2 xdx<br /> <br /> v  1 1  sin 2 x  .<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 4<br /> 4<br /> 1 1<br /> I   1  sin 2 x  ln 1  sin 2 x    cos 2 xdx <br /> 2 2<br /> <br /> 0<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 4<br /> 1<br /> 1<br /> 2 ln 2  1<br />  ln 2  sin 2 x  <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> 4<br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC  a . Tam<br /> giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng<br /> cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy<br /> bằng 60o.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2,5<br /> <br /> S<br /> <br /> A<br /> <br /> D<br /> <br /> K<br /> H<br /> <br /> B<br /> <br /> I<br /> <br /> C<br /> <br /> Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân nên SH  AB . Vì tam giác SAB<br /> nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH  ( ABCD) . Suy ra góc giữa SD<br /> và mp(ABCD) là SDH  60o  SH  HD tan 60o  HD 3.<br /> Dễ thấy tam giác ABC đều cạnh a nên ABC  60o  HAD  120o .<br /> Theo định lí Cô sin:<br /> a2<br /> a  1  7a 2<br /> HD 2  AH 2  AD 2  2 AH . AD.cos1200 <br />  a 2  2. .a.   <br /> 4<br /> 2  2<br /> 4<br /> Suy ra HD <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> a 7<br /> a 21<br /> hay SH  HD 3 <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản