Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Trường THPT Lý Thái Tổ

Chia sẻ: Lê Ngọc Mai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

102
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh làm quen với cách thức ra đề cũng như các dạng bài tập hay ra trong đề thi học sinh giỏi môn Toán. Xin gửi đến các em "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Trường THPT Lý Thái Tổ", tham khảo để các em ôn tập lại kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải đề nhé!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Trường THPT Lý Thái Tổ

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 SỞ GD & ĐT BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 (3.0 điểm) Cho hàm số: y  mx 3  3mx 2  3  m  1 , với m là tham số. Chứng minh rằng với mọi m  0 , hàm số luôn có hai điểm cực trị A,B . Khi đó tìm các giá trị của tham số m để   2AB2  OA 2  OB2  20 (trong đó O là gốc toạ độ).     Câu 2 (3.0 điểm) Giải phương trình: cosx  cos3x  1  2 sin  2x   . 4 Câu 3 (3.0 điểm) Giải hệ phương trình:  2027  3x  4  x   6y  2024 3  2y  0 (1)  (x,y  )  2 2 7 x  8y  3 14x-18y  x  6x  13 ( 2)  Câu 4 (4.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có E,F lần lượt thuộc các đoạn AB,AD sao cho EB  2EA; FA  3FD , F(2;1) và tam giác CEF vuông tại F. Biết đường thằng x  3y  9  0 qua hai điểm C, E. Tìm toạ độ điểm C biết C có hoành độ dương. Câu 5 (3.0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AD  a,AB  b,AC  c và BAC  CAD  DAB  600 . 1. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo a,b,c . 2. Cho a  b  c  2015  Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi của tam giác BCD. 1 3 1 5 Câu 6 (2.0 điểm) Tính: S  C0  C2  C4    2015 2015 2015 1 2014 C2015 2015 Câu 7 (2.0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 P  1 6 xy  8 xz  7z 9 x  y  z -------------------------- Hết -------------------------www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 1 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu 1 (3.0 điểm) Điể m Đáp án Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị….. Ta có: y '  m(3x 2  6x)  x  0  y  3m  3 Với mọi m  0 , ta có: y '  0   1.0 x  2  y  m  3  Hàm số luôn có hai điểm cực trị. Vai trò A, B như nhau nên giả sử A(0; 3m  3), B(2;  m 3) . Ta có: 2 2  2 2   2 2AB  (OA  OB )  20  2 4  16m  9(m  1)  4  (m  3) m  1 (thỏa mãn đk)  11m  6m  17  0    m  17   11 2   20 1.0 2 Vậy giá trị m cần tìm là: m  1 và m  2 (3.0 điểm) 1.0 17 . 11 Giải phương trình: PT  cosx  cos3 x  1  sin 2 x  cos2 x  2 cos2x cosx  2 cos2 x  2 sinx cosx 1.0  2 cosx  cos2x  cosx  sin x   0    2 cosx  cos2 x  sin2 x   cosx  sinx    0   1.0  2 cosx  cosx  sin x   cosx  sinx  1  0   www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 2 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017      x   k  x  2  k 2   cosx  0     3    cosx  sinx  0   2 cos x    0   x   k  4 4    cosx  sin x  1      x     k 2   2 cos x    1  4  4    3 (2.0 điểm) (k  ) 1.0 Giải hệ phương trình… 3 2 ĐKXĐ: x  4,y  , 7x  8y  0,14x  18y  0 (Thiếu điều kiện trừ 0.5) 0.5 PT (1) 3(4  x)  2015 4  x  3(3  2y)  2015 3  2y (3)     Xét hàm số: f (t)   3t  2015 t liên tục trên  0;     Có f '(t)  3 t  3t  2015  0, t  0 2 t 1.0 Suy ra hàm số đồng biến trên  0;    Nên pt (3) f  4  x   f  3  2y   4  x  3  2y  y  Thay y  x 1 2 x 1 vào pt (2) ta được pt: 2 2 7 x  4(x  1)  3 14x  9(x  1)  x 2  6x  13  2 3x  4  3 5x+9  x 2  6x  13  2 3x  4  2(x  2)  3 5x+9  3(x  3)  x 2  x  2x(x  1) 3x  4  (x  2) 3x(x  1)  1.0  x(x  1) 5x  9  (x  3)   2 3  x(x  1)    1  0 5x  9  (x  3)   3x  4  (x  2)   www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 3 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 x  0 .( Vì  x(x  1)  0    x  1  2 3x  4  (x  2) 3   1  0 với 5x  9  (x  3) 4 x 4) 3 0.5  1 2 Vậy hệ pt có hai nghiệm:  0;   ;  1; 1 .  4 (3.0 điểm) AEF góc và DFC F1  C1 (vì 0 F2 ), A  D  90   AEF B AE AF EF    DF DC FC H DF  x-3y-9=0 có: AD E 4 ,AF  A  DFC AB mà AE  C , 1.0 3 1 3AD AB 3 .   4 AD 4 1 cùng phụ với Do đó: 2 D F(2;1) Gọi H là hình chiếu củaF trên EC. Khi đó: CF  2FH  2d(F,CE)  2 5 1.0 Gọi C(3t  9; t) với t  3 (vì x C  0 ). Ta có: CF  2 5  CF2  20 1.0  t  1  (3t  7)2  (t  1) 2  20  t 2  4t  3  0    t  3 (L) 1.0 Với t  1  C(6; 1) . Vậy C(6; 1) 0.5) www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 (không loại nghiệm trừ Trang | 4 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 5 Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm B',C' sao cho: (3.0 đ) AB'  AC'  AD  a . Khi đó tứ diện AB'C'D là tứ A diện đều cạnh a có thể tích:  VAB'C'D  a b a3 2 12 c Ta có: B' D B C' VAB'C'D AB' AC' a a a2    VABCD AB AC b c bc 1.5 C  VABCD  bc a3 2 abc 2 bc VAB'C'D  2  12 a2 a 12 Chu vi tam giác BCD: p  DC  BC  BD  a2  ac  c2  b2  bc  c2  a2  ab  b2  3 1 3 1 3 1 (a  c)2  (a  c)2  (b  c)2  (b  c)2  (a  b)2  (a  b)2 4 4 4 4 4 4 1.5 a c b  c a b     a  b  c  2015 2 2 2 Vậy pmin  2015 khi a  b  c  6 Chứng minh: (2.0 đ) Khi đó: S  2015 . 3 Ck Ck 1 n  n1 k  1 n 1 1 C1  C3  C5  ...  C2015 2016 2016 2016 2016 2016 Ta lại có: 1  1  2016 0.5   C0  C1  C2  C3  ....  C2015  C2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 0.5 1  1 2016  C0  C1  C2  C3  ....  C2015  C2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 5