SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
LONG AN CẤP TỈNH VÒNG 2
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI : TOÁN
NGÀY THI : 10/11/2011
THỜI GIAN : 180 phút (không kể phát đề )
Bài 1 (4điểm)
a) Giải phương trình: 2
3
1
1
x
x
x
b) Cho ba số thực dương cba ,, .Chứng minh: cba
b
a
ac
a
c
cb
c
b
ba
22
33
22
33
22
33
Bài 2 (5 điểm)
Cho dãy số thực
n
với
1
1
1
3 4
1
n
n
n
x
x
xx
*
( )
n N
Xét các dãy số thực
n
u
với
*
2 1n n
u x n N
và
n
v
với
*
2n n
v x n N
a) Chứng minh các dãy số
n
u
,
n
v
có giới hạn hữu hạn khi
n

b) Chứng minh các dãy số
n
có giới hạn hữu hạn khi
n

và tìm giới hạn đó.
Bài 3 (5 điểm)
a) Cho tam giác
ABC
có
, ,
GHO
lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp.
Gọi
K
là điểm sao cho 3
HK HG
.
Gọi
1 2 3
, ,
G G G
lần lượt là trọng tâm các tam giác , ,
KBC KCA KAB
.
Chứng minh:
1 2 3
, ,
G A G B G C
đồng quy và
1 2 3
G A G B G C
.
b) Trong mặt phẳng cho ngũ giác đều
ABCDE
nội tiếp đường tròn tâm
O
bán kính
R
và điểm
M
tùy ý.Tìm vị trí của
M
để
MA MB MC MD ME
ngắn nhất.
Bài 4 (3điểm)
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên
, ,
x y z
sao cho:
2012 2012 2010
2009 2011 2012
x y z
Bài 5 (3 điểm)
Trên mặt phẳng cho 2011 điểm sao cho với ba điểm bất kỳ trong số các điểm đó ta luôn tìm
được hai điểm để đoạn thẳng được tạo thành có độ dài bé hơn 1.Chứng minh luôn tồn tại một
hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 1006 điểm đã cho.
HẾT
(Thí sinh không được sử dụng tàiliệu-Giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh………………………………..Số báo danh…………………
Giám thị 1 (ký,ghi rõ họ và tên) Giám thị 2 (ký,ghi rõ họ và tên)
Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh
Trường Phổ Thông Năng Khiếu
Đề thi chọn HSG đội tuyển Toán
Bài 1.
a) Chứng minh rằng tồn tại số n chẵn, n > 2008 sao cho 2009.n – 49 là số chính
phương.
b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên m sao cho 2009. m – 147 là số chính
phương.
Bài 2. Cho số nguyên dương n. Có bao nhiêu số chia hết cho 3, có n chữ số và các chữ số
đều thuộc {3, 4, 5, 6} ?
Bài 3. Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và B, C thay đổi trên đường thẳng d cố định
sao cho nếu gọi A’ là hính chiếu của A lên d thì .
A B A C
âm và không đổi. Gọi M là hình
chiếu của A’ lên AB.
a) Chứng minh rằng tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC thuộc một đường
thẳng cố định.
b) Gọi N là hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường
tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K thuộc một đường
thẳng cố định.
Bài 4. Cho
2
f x x ax b
. Biết phương trình
0
f f x
có 4 nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , ,
x x x x
và 1 2
1
x x
. Chứng minh rằng
4
b
Bài 5. Cho . Biết . Chứng
minh rằng là số chính phương.
Bài 6.
a) Cho . Chứng minh bất đẳng thức:
b) Chứng minh rằng tồn tại để:
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG
Thời gian làm bài :180 phút
Câu 1 (4 điểm )
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện
Câu 2 (4 điểm)
Cho dãy số thỏa mãn :
Tìm giới hạn của dãy (nếu có ) tùy theo
Câu 3 (3 điểm)
Cho tứ giác lồi .Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của
một điểm
trong tứ giác xuống các cạnh ; mặt khác cùng
nằm trên một đường tròn
tâm bán kính .
Kẻ lần lượt vuông góc với các đường thẳng
.Chứng minh rằng
đồng qui tại một điểm.
Câu 4 (3 điểm)
Cho là số nguyên tố không nhỏ hơn .Chứng minh rằng tồn tại hai số
nguyên tố
sao cho đồng thời không chia hết cho
Câu 5 ( 3 điểm)
Tìm sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi :
Câu 6 (3 điểm)
SƠ
GIA
O DUC VA
ĐA
O TAO K THI CHN ĐI TUYN HC SINH GII
THNH PH H CH MINH LP 12 THPT NĂM HOC 2012-2013
MÔN THI: TON
Ngy thi: 18 - 10 - 2012
Đ CHNH THC Thơi gian lam bai: 180 pht.
Bài 1. (4 điểm)
Giải hệ phương trình
3 2 3
1
4 12 9 6 7
xy x y
x x x y y
Bài 2. (4 điểm)
Cho dãy số
()
n
u
xác định bởi
1
*
1
1
2
34
,
21
n
n
n
u
u
u n N
u
Chứng minh dãy số
()
n
u
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3. (4 điểm)
Cho
,,x y z
là các số dương thỏa mãn
1 1 1 1
x y z
. Chứng minh:
x yz y zx z xy xyz x y z
Bài 4. (4 điểm)
Cho tam giác nhọn
ABC
với các đường cao
,AH BK
nội tiếp đường tròn (O). Gọi
M
là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) sao cho các đường
thẳng
AM
và
BK
cắt nhau tại
E
; các đường thẳng
BM
và
AH
cắt nhau tại
F
.
Chứng minh rằng khi
M
di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) thì trung điểm
của đoạn
EF
luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Bài 5. (4 điểm)
Tìm tất cả các đa thức
()Px
hệ số thực thỏa mãn :
2
( ). ( 3) ( ), P x P x P x x
HẾT
www.VNMATH.com
ĐP N Đ VÒNG 1
Bài 1. (4 điểm)
Giải hệ phương trình
3 2 3
1
4 12 9 6 7
xy x y
x x x y y
Giải
Đặt
1zx
Hệ phương trình tương đương
33
2
3 ( 2) 4 0
yz z
y y z z

3 2 3
2
3 4 0
yz z
y y z z

2
2
yz z
y z y z

1 17 1 17
44
1 17 1 17
22
zz
yy











5 17 5 17
44
1 17 1 17
22
xx
yy











Bài 2. (4 điểm)
Cho dãy số
()
n
u
xác định bởi
1
*
1
1
2
34
,
21
n
n
n
u
u
u n N
u
Chứng minh dãy số
()
n
u
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Giải
Từ giả thiết ta suy ra
*
0,
n
u n N
Xét
3 4 3 5
() 2 1 2 2(2 1)
x
fx xx

, với
0x
,
2
5
'( ) 0, 0
(2 1)
f x x
x
Ta có
1
1
1
2
( ), *
nn
u
u f u n N
3
() 2
fx
,
0x
và
5
( ) 4 0, 0
21
x
f x x
x
34, 2
2n
un
dãy
()
n
u
bị chặn
Đặt
21
2
nn
nn
xu
yu
Do f(x) nghịch biến trên
(0; )
nên g(x) = f(f(x)) đồng biến trên
(0; )
2 1 2
( ) ( )
n n n n
f x f u u y
;
2 2 1 1
( ) ( )
n n n n
f y f u u x

1
( ) ( ( )) ( )
n n n n
g x f f x f y x
1 2 3
1 11 49
;;
2 4 26
u u u
….. Ta thấy
1 3 1 2
u u x x
Giả sử rằng
11
( ) ( )
k k k k
x x g x g x

12kk
xx


. Vậy
*
1,
nn
x x n N
Suy ra
()
n
x
tăng và bị chặn trên
()
n
x
có giới hạn hữu hạn a .
Do
1 1 1
( ) ( )
n n n n n n
x x f x f x y y
dãy
()
n
y
giảm và bị chặn dưới
www.VNMATH.com