Đề thi Hướng tới Olympic Toán năm 2013.

Chia sẻ: Nguyễn Văn A A | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho dãy số nguyên dương $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện $m+n$ chia hết cho $a_m+a_n$ với mọi $m, n$ nguyên dương. Hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của $a_{2012}$.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi Hướng tới Olympic Toán năm 2013.

Đề thi Hướng tới Olympic Toán năm 2013
Khối 10 Bài 1. Cho dãy số nguyên dương $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện $m+n$ chia hết cho $a_m+a_n$ với mọi $m, n$ nguyên dương. Hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của $a_{2012}$. Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $UV$ là một dây cung của $(O)$. Giả sử $UV$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $Q$ và $P$. Gọi $M, N, J, R$ theo thứ tự là trung điểm $BP, CQ, PQ$ và $UV$. Chứng minh rằng $R$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNJ$. Bài 3. Chứng minh rằng với mọi $x,y,z>0$ ta có: $$\dfrac{3x}{y}+\dfrac{4y}{z}+16\sqrt{\dfrac{z}{3x+y}} \ge 15$$ Bài 4. Hỏi có thể phủ bàn cờ $8 \times 8$ bằng $9$ hình vuông $2 \times 2$ và $7$ hình chữ $Z$ được hay không? Giải thích rõ câu trả lời. Khối 11 Bài 1. Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + \frac{1}{{{{(a + b + c)}^2}}} \ge \frac{7}{{25}}{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{{a + b + c}}} \right)^2}\]
Bài 2. Cho tứ giác lồi $ABCD$ thỏa mãn $\widehat{ABC}+\widehat{BCD}
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $$\begin{cases}2x=y^3-y^2+2\\2y=z^3- z^2+2\\2z=x^3-x^2+2\end{cases}$$ Bài 2. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ có bán kính khác nhau và cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$. Gọi $PQ$ là tiếp tuyến chung gần $A$ hơn của hai đường tròn với $P$ thuộc $(O)$ và $Q$ thuộc $(O')$. Gọi $C$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $PQ$. Chứng minh rằng: 1) Tiếp tuyến kẻ từ $C$ đến hai đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPQ$ đi qua tâm vị tự ngoài của hai đường tròn $(O)$, $(O')$. 2) Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $BQ$, đ ường thẳng qua $B$ vuông góc với $PB$ và đường thẳng $OO'$ đồng quy. Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ chẵn sao cho nếu đặt $$a_n=\dfrac{1}{1!.(n-1)!}+\dfrac{1}{3!.(n-3)!}+...+\dfrac{1}{(n-1)!.1!}$$ thì phương trình $2^{x_n}=a_n(2y_n+1)$ có nghiệm nguyên dương $(x_n,y_n)$. Bài 4. Trong một đất nước có $54$ thành phố, mỗi thành phố có một sân bay. Giữa hai thành phố bất kì có đúng một đường bay nối trực tiếp giữa chúng và mỗi đường bay thuộc sỡ hữu của một hãng hàng không duy nhất. Biết rằng có $4$ hãng hàng không đang hoạt động trên nước này. Chứng minh rằng tồn tại một hành trình bay vòng quanh một số thành phố (lớn hơn $2$) sao cho tất cả các đường bay trên hành trình đó đều thuộc sở hữu của một hãng hàng không.