C¸c §Ò thi m«n Gi¶i tÝch 2 khãa 52
§Ò sè 1
C©u 1 Hµm Èn z=z(x, y)x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc x2+2y2+3z2+xy −z−9=0. TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng
∂2z
∂x2(M)vµ ∂2z
∂y2(M)t¹i M(1,−2,1).
C©u 2 T×m cùc trÞ hµm f(x, y)=2x3−4y3−6xy2−21y2+9x2−18xy −24y.
C©u 3 Gäi Llµ giao cña mÆt trô x2+y2=2xvµ mÆt parab«l«it x2+y2=2z,Mlµ miÒn kh«ng gian
h÷u h¹n giíi h¹n bëi hai mÆt ®ã vµ mÆt ph¼ng xOy.
a) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai I
L
yz dx +zx dy +xy dz trªn L, h-íng cñaLng-îc chiÒu kim ®ång hå
nÕu ta ®øng däc theo trôc Oz nh×n xuèng.
b) TÝnh thÓ tÝch cña M.
c) TÝnh tÝch ph©n mÆt ZZ
S
dydz +dxdz +2dxdy, víi Slµ phÇn mÆt parab«l«it x2+y2=2zn»m trong
h×nh trô x2+y2≤2x, mÆt S®-îc ®Þnh h-íng xuèng phÝa d-íi.
C©u 4 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau
a) eydx −(xey−2y)dy =0.
b) y00 +4y= sin 3x, víi ®iÒu kiÖn ®Çu y
x=0
=0,y
0
x=0
=0.
§Ò sè 2
C©u 1 Hµm Èn z=z(x, y)x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc 2x2+y2+2z2+xy −3z−13 = 0. TÝnh c¸c ®¹o hµm
riªng ∂z
∂y(M)vµ ∂2z
∂x∂y(M)t¹i M(1,2,−1).
C©u 2 T×m cùc trÞ hµm f(x, y)=4x3−2y3+6x2y+21x2−9y2+18xy +24x.
C©u 3 Gäi Llµ giao cña mÆt nãn z=px2+y2vµ mÆt parab«l«it x2+y2=3z,Mlµ miÒn kh«ng gian
h÷u h¹n giíi h¹n bëi hai mÆt ®ã.
a) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai I
L
yz dx +zx dy +xy dz trªn L, h-íng cñaLng-îc chiÒu kim ®ång hå
nÕu ta ®øng däc theo trôc Oz nh×n xuèng.
b) TÝnh thÓ tÝch cña M.
c) TÝnh tÝch ph©n mÆt ZZ
S
dydz +2dxdz −2dxdy, víi Slµ phÇn mÆt parab«l«it x2+y2=3zn»m trªn
mÆt nãn z=px2+y2, mÆt S®-îc ®Þnh h-íng xuèng phÝa d-íi.
C©u 4 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau
a) (x−y2)dx +2xy dy =0.
b) y00 +y= 4 sin x, víi ®iÒu kiÖn ®Çu y
x=0=1,y
0
x=0=0.
§Ò sè 3
C©u 1 Cho hµm sè f(x, y)=
1−cos x2
y2px2+y2nÕu y6=0
0nÕu y=0
a) Hµm fcã liªn tôc t¹i O(0,0) kh«ng? T¹i sao?
b) TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng ∂f
∂x(0,0) vµ ∂f
∂y(0,0).
c) Hµm fcã kh¶ vi t¹i O(0,0) kh«ng? T¹i sao?
C©u 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm f=x2+x3
3−xy2+y2trªn h×nh trßn x2+y2≤1.
C©u 3 TÝnh tÝch ph©n IC
xdy−ydx
x2+y2víi Clµ ®-êng trßn x2+(y−2)2=9theo h-íng ng-îc chiÒu kim
®ång hå.
C©u 4 Gäi Vlµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n giíi h¹n bëi mÆt cong z=e3−x2−y2vµ mÆt ph¼ng z=1.
a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V.
b) TÝnh tÝch ph©n mÆt ZZ
S
(y2−yez)dydz +y+ cos z2dxdz +2dxdy, víi Slµ phÇn mÆt cong
z=e3−x2−y2n»m trªn mÆt ph¼ng z=1, mÆt S®-îc ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn.
C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau
a) (1 + x2)y0−y−1=0.
b) y00 +2y0−3y=ex.
§Ò sè 4
C©u 1 Cho hµm sè f(x, y)=
px2+y2·sin x2
y2nÕu y6=0
0nÕu y=0
a) Hµm fcã liªn tôc t¹i O(0,0) kh«ng? T¹i sao?
b) TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng ∂f
∂x(0,0) vµ ∂f
∂y(0,0).
c) Hµm fcã kh¶ vi t¹i O(0,0) kh«ng? T¹i sao?
C©u 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm u=x2+y2+y3
3−yx2−1trªn h×nh trßn x2+y2≤1.
C©u 3 TÝnh tÝch ph©n IC
xdy−ydx
x2+y2víi Clµ ®-êng trßn (x−1)2+y2=4theo h-íng ng-îc chiÒu kim
®ång hå.
C©u 4 Gäi Vlµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n giíi h¹n bëi mÆt cong z=e2−x2−y2vµ mÆt ph¼ng z=1.
a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V.
b) TÝnh tÝch ph©n mÆt ZZ
S
sin(y2+yez)dydz +y−ln(1 + z2)dxdz +dxdy, víi Slµ phÇn mÆt cong
z=e2−x2−y2n»m trªn mÆt ph¼ng z=1, mÆt S®-îc ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn.
C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau
a) (x2+1)y0+2y=1.
b) y00 −y0−2y=e−x.
§Ò sè 5
C©u 1 Cho hµm vÐc t¬ u(x, y)=(2x−y, xy)vµ ®iÓm M(1,2).
a) B»ng ®Þnh nghÜa hµm kh¶ vi, chøng minh hµm u(x, y)kh¶ vi t¹i M(1,2).
b) ¸p dông c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp ®Ó tÝnh f0(M), biÕt f=u◦u.
C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u=x2+y2+z2víi ®iÒu kiÖn x−y+2z=6.
C©u 3 Gäi Vlµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt (x≥0,y ≥0,z ≥0) giíi h¹n bëi
c¸c mÆt z=0,x=y, x =√z, y =1. KÝ hiÖu Llµ cung thuéc giao cña mÆt trô x=√zvµ mÆt ph¼ng
x=ynèi ®iÓm O(0,0,0) víi ®iÓm A(1,1,1).
a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V.
b) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai Z
L
xy dx +2zdy+ydz.
C©u 4 TÝnh tÝch ph©n mÆt ZZ
S
dydz +dxdz +2dxdy, víi Slµ phÇn mÆt ph¼ng x+y+z=3n»m trong
h×nh cÇu x2+y2+z2≤4, mÆt S®-îc ®Þnh h-íng theo vÐc t¬ ph¸p n(1,1,1) cña mÆt ph¼ng.
C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau
a) (y2+3x2)dx +2xy dy =0.
b) y00 +2y0+y=1+x.
§Ò sè 6
C©u 1 Cho hµm vÐc t¬ u(x, y)=(2xy, x +y)vµ ®iÓm M(1,1).
a) B»ng ®Þnh nghÜa hµm kh¶ vi, chøng minh hµm u(x, y)kh¶ vi t¹i M(1,1).
b) ¸p dông c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp ®Ó tÝnh f0(M), biÕt f=u◦u.
C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u=x2+y2+z2víi ®iÒu kiÖn x−2y+z−6=0.
C©u 3 Gäi Vlµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt (x≥0,y ≥0,z ≥0) giíi h¹n bëi
c¸c mÆt z=0,x=y, x =√z, y =2. KÝ hiÖu Llµ cung thuéc giao cña mÆt trô x=√zvµ mÆt ph¼ng
x=ynèi ®iÓm O(0,0,0) víi ®iÓm A(2,2,4).
a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V.
b) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai Z
L
xy dx +zdy+ydz.
C©u 4 TÝnh tÝch ph©n mÆt ZZ
S
dydz −dxdz +2dxdy, víi Slµ phÇn mÆt ph¼ng x+y+z=3n»m trong
h×nh cÇu x2+y2+z2≤7, mÆt S®-îc ®Þnh h-íng theo vÐc t¬ ph¸p n(1,1,1) cña mÆt ph¼ng.
C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau
a) (2y−x)dx +xdy =0.
b) y00 −2y0+2y=2x.
§Ò sè 7
C©u 1 Cho hµm sè f(x, y)= 3
p(x−1)3+(y−1)3
a) Chøng minh hµm fliªn tôc t¹i ®iÓm (1,1) vµ tÝnh c¸c ®¹o hµm riªng ∂f
∂x(1,1),∂f
∂y(1,1).
b) Hµm fcã kh¶ vi t¹i (1,1) kh«ng? T¹i sao?
C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u=x3+3xy2−15x−12y.
C©u 3 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ giíi h¹n bëi c¸c mÆt z=x2y2,z=0,xy=1,xy=2,y
2=x, y2=2x.
C©u 4 TÝnh tÝch ph©n ZL
(x2+y2)dx +(x2−y2)dy víi Llµ cung y=1−|x−1|,x∈[0,2] ®Þnh h-íng
theo chiÒu t¨ng cña x.
C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt ZZ
S
y dydz +z dxdz +2x dxdy, víi Slµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC
®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt A(0,1,1),B(3,2,2),C(2,1,−1).
C©u 6
a) T×m hµm kh¶ vi ϕ(x)®Ó (2x−ye−x)dx +ϕ(x)dy =0lµ ph-¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn. Gi¶i ph-¬ng
tr×nh víi ϕ(x)t×m ®-îc.
b) Gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n y00 +4y= cos 2xvíi ®iÒu kiÖn ®Çu y
x=0=0,y
0
x=0=2.
§Ò sè8
C©u 1 Cho hµm sè f(x, y)= 3
p(x+1)
3+y3
a) Chøng minh hµm fliªn tôc t¹i ®iÓm (−1,0) vµ tÝnh c¸c ®¹o hµm riªng ∂f
∂x(−1,0),∂f
∂y(−1,0).
b) Hµm fcã kh¶ vi t¹i (−1,0) kh«ng? T¹i sao?
C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u=3x2y+4y3−6x−15y.
C©u 3 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ giíi h¹n bëi c¸c mÆt z=x2+y2,z=0,xy=1,xy=2,y=x, y =2xvµ
trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt (x>0,y>0).
C©u 4 TÝnh tÝch ph©n ZL
(x2+y2)dx +(x2−y2)dy víi Llµ cung y=1−|x+1|,x∈[−2,0] ®Þnh h-íng
theo chiÒu t¨ng cña x.
C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt ZZ
S
x dydz −y dxdz +z dxdy, víi Slµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC
®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt A(1,1,−1),B(2,2,1),C(2,4,3).
C©u 6
a) T×m hµm kh¶ vi ϕ(x)®Ó ϕ(x) cos2ydx+(2y−x2sin 2y)dy =0lµ ph-¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn.
Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi ϕ(x)t×m ®-îc.
b) Gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n y00 +y=4xcos xvíi ®iÒu kiÖn ®Çu y
x=0=1,y
0
x=0=0.
§Ò sè 9
C©u 1 Cho hµm sè u(x, y)= 4
p(x+1)
4+y4. TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng ∂u
∂x(x, y),∂u
∂y(x, y)∀(x, y)∈R2.
Hµm ucã kh¶ vi t¹i (−1,0) kh«ng? T¹i sao?
C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u=2x+y−2zvíi ®iÒu kiÖn x2+y2+z2=6
2.
C©u 3 TÝnh tÝch ph©n kÐp ZZ
D
dxdy
xy víi Dlµ miÒn ph¼ng h÷u h¹n giíi h¹n bëi c¸c ®-êng y=2x, y =3x
x2+2y2=1,x
2+2y2=4 (x>0).
C©u 4 TÝnh tÝch ph©n ZL
(3x2y2−2y)dx +(2x3y−2x)dy víi Llµ cung tr¬n bÊt k× nèi ®iÓm A(−1,4) víi
®iÓm B(2,3).
C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt ZZ
S
3x dydz −y dxdz −z dxdy, víi Slµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC
®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt A(a, 0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)víi (a>0).
C©u 6 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau
a) y0=y
x+y3.
b) (x2−1)y00 +4xy0+2y=6x, biÕt y1=xvµ y2=x2+x+1
x+1 lµ 2 nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh.
§Ò sè 10
C©u 1 Cho hµm sè u(x, y)= 4
px4+(y−1)4. TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng ∂u
∂x(x, y),∂u
∂y(x, y)∀(x, y)∈R2.
Hµm ucã kh¶ vi t¹i (0,1) kh«ng? T¹i sao?
C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u=x+2y−2zvíi ®iÒu kiÖn x2+y2+z2=6
2.
C©u 3 TÝnh tÝch ph©n kÐp ZZ
D
dxdy
xy víi Dlµ miÒn ph¼ng h÷u h¹n giíi h¹n bëi c¸c ®-êng y=x
2,y=x
3
2x2+y2=1,2x2+y2=4 (x>0).
C©u 4 TÝnh tÝch ph©n ZL
(6x2y2−3y3)dx +(4x3y−9xy2)dy víi Llµ cung tr¬n bÊt k× nèi ®iÓm A(−2,3)
víi ®iÓm B(1,2).
C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt ZZ
S
x dydz +2y dxdz −z dxdy, víi Slµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC
®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt A(a, 0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)víi (a>0).
C©u 6 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau
a) (x+2y3)y0=y.
b) xy00 +2y0−xy =ex, biÕt y1=1
2exvµ y2=x+2
2xexlµ 2 nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh.