KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 04 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
------------------------------ ---------------------------------------------------
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
-
=
-
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
– 4.
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình: 2 2
2 4
log log (4 ) 5 0
x x
2) Tính tích phân: 3
0
sin cos
cos
x x
I dx
x
p
+
=ò
3) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây đạt cực tiểu tại điểm 0
2
x
=
3 2 2
3 ( 1) 2
y x mx m x
= - + - +
Câu III (1,0 điểm):
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,
·
BAC
= 300 ,SA = AC = a
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính VS.ABC và khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (SBC).
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ
( , , , )
O i j k
r
r r
, cho
3 2
OM i k
= +
uuur
r
r
,
mặt cầu
( )
S
có phương trình: 2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 9
x y z
- + + + - =
1) Xác định toạ độ tâm I và bán kính của mặt cầu
( )
S
. Chứng minh rằng điểm M
nằm trên mặt cầu, từ đó viết phương trình mặt phẳng
( )
a
tiếp xúc với mặt cầu
tại M.
2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu, song song với mặt
phẳng
( )
a
, đồng thời vuông góc với đường thẳng
1 6 2
:
3 1 1
x y z
+ - -
D = =
-
.
Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức:
2
2 5 0
z z
- + - =
2. Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ độ
các đỉnh là
A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1)
1) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD.
2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
ln
y x
=, trục hoành và x = e
---------- Hết ---------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh:
...............................................
Chữ ký của giám thị 1: .................................. Chữ ký của giám thị 2:
.................................
x
y
1
2
2,5
3
3
2
-1 O1
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu I:
2 1
1
x
y
x
-
=
-
Tập xác định:
\ {1}
D= ¡
Đạo hàm: 2
10,
( 1)
y x D
x
-
¢
= < " Î
-
Hàm số đã cho NB trên các khoảng xác định và không đạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận: ;
lim 2 lim 2 2
x x
y y y
® - ¥ ® + ¥
= = Þ =
là tiệm cận
ngang. ;
1 1
lim lim 1
x x
y y x
- +
® ®
= - ¥ = + ¥ Þ =
là tiệm cận
đứng.
Bảng biến thiên
x – 1 +
y
¢
– –
y 2
–
+
2
Giao điểm với trục hoành:
1
0 2 1 0
2
y x x
= Û - = Û =
Giao điểm với trục tung: cho
0 1
x y
= Þ =
Bảng giá trị: x –1 0 1 2 3
y 3/2 1 || 3 5/2
Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây:
2 1
( ) :
1
x
C y
x
-
=
-
Tiếp tuyến có hệ số góc bằng –4 nên 0
( ) 4
f x
¢
= -
0 0
2
0
2
00 0
1 3
1
1 1
2 2
4 ( 1)
1 1
4
( 1) 1
2 2
x x
x
xx x
é é
ê ê
- = =
-ê ê
Û = - Û - = Û Û
ê ê
ê ê
-
- = - =
ê ê
ë ë
Với 3
2
0 0 3
2
2. 1
3
4
2 1
x y -
= Þ = =
-.pttt là:
3
4 4 4 10
2
y x y x
æ ö
÷
ç÷
- = - - Û = - +
ç÷
ç
è ø
Với 1
2
0 0 1
2
2. 1
1
0
2 1
x y -
= Þ = =
-. pttt là: 1
0 4 4 2
2
y x y x
æ ö
÷
ç÷
- = - - Û = - +
ç÷
ç
è ø
Vậy, có 2 tiếp tuyến thoả mãn ycbt là :
4 2
y x
= - +
và
4 10
y x
= - +
Câu II:
Điều kiện: x > 0. Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
a
a
A
B
C
S
2 2 2
2 4 4 2 2
log (log 4 log ) 5 0 log log 6 0
x x x x
- + - = Û - - =
(*)
Đặt
2
log
t x
=
, phương trình (*) trở thành
3
22
2
2
3 log 3 2
6 0 2 log 2
2
t x x
t t t x x-
é
é é
= = =
ê
ê ê
- - = Û Û Û ê
ê ê
= - = - =
ê
ê ê
ë ë ë
(nhận cả hai nghiệm)
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm :
8
x
=
và
1
4
x
=
3 3 3 3
0 0 0 0
sin cos sin cos sin
1.
cos cos cos cos
x x x x x
I dx dx dx dx
x x x x
p p p p
æ ö
+÷
ç÷
= = + = +
ç÷
ç
è ø
ò ò ò ò
Với 3
10
sin .
cos
x dx
I
x
p
=ò, ta đặt cos sin . sin .
t x dt x dx x dx dt
= Þ = - Þ = -
Đổi cận: x 0
3
p
t 1
1
2
Thay vào:
1
2
111
21
112
1
ln ln 1 ln ln 2
2
dt dt
I t
t t
æ ö
-÷
ç÷
= = = = - =
ç÷
ç
è ø
ò ò
Với 3
30
201.
3
I dx x p
p
p
= = =
ò
Vậy, 1 2 ln 2
3
I I I
p
= + = +
3 2 2
3 ( 1) 2
y x mx m x
= - + - +
có TXĐ
D
=
¡
2 2
3 6 1
y x mx m
¢
= - + -
6 6
y x m
¢¢= -
Hàm số đạt cực tiểu tại 2 2
0
(2) 0
3.2 6 .2 1 0
2(2) 0 6.2 6 0
fm m
xfm
ì
ìï
¢
ï=
- + - =
ï
ïï
= Û Û
í í
¢¢
ï ï
>- >
ï ï
îï
î
hoac
21 11
12 11 0
1
2
12 6 0
m m
m m m
m
m
ìì
ïï= =
- + =
ïï
ï
Û Û Û =
í í
ï ï <
- >
ï ï
î
ï
î
Vậy, với m = 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại 0
2
x
=
Câu III Theo giả thiết, , ,
SA AB BC AB BC SA
^ ^ ^
Suy ra,
( )
BC SAB
^ và như vậy
BC SB
^
Ta có, 0
3
.cos30
2
a
AB AC= = và 0
.sin 30
2
a
BC A C
= =
2
2 2 2
3 7
4 2
a a
SB SA A B a= + = + =
2 3
.
1 1 3 3 1 3
.
2 2 2 2 8 3 24
A BC S A BC A BC
a a a a
S AB BC V SA S
D D
= = × × = Þ = × =
2
1 1 7 7
.
2 2 2 2 8
SBC
a a a
S SB BC
D= = × × =
3
.
.2
3
1 3 8 21
( ,( )). ( ,( )) 3
3 24 7
7
S A BC
S ABC SBC
SBC
Va a
V d A SBC S d A SBC
Sa
DD
= Þ = = × × =
THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu IVa:
3 2 (3;0;2)
OM i k M= + Þ
uuur
r
r
và 2 2 2
( ) : ( 1) ( 2) ( 3) 9
S x y z
- + + + - =
Mặt cầu có tâm
(1; 2;3)
I- và bán kính
3
R
=
Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt cầu:
2 2 2
(3 1) (0 2) (2 3) 9
- + + + - =
là đúng
Do đó,
( )
M S
Î
( )
a
đi qua điểm M, có vtpt
(2;2; 1)
n IM
= = -
uuur
r
Vậy, PTTQ của
( )
a
là:
2( 3) 2( 0) 1( 2) 0 2 2 4 0
x y z x y z
- + - - - = Û + - - =
Điểm trên d:
(1; 2;3)
I-
( )
a
có vtpt
(2;2; 1)
n
= -
r
và
D
có vtcp
(3; 1;1)
uD= -
r
nên d có vtcp
2 1 1 2 2 2
[ , ] ; ; (1; 5; 8)
1 1 1 3 3 1
u n uD
æ ö
- - ÷
ç÷
ç
= = = - -
÷
ç÷
ç- - ÷
÷
ç
è ø
r r r
Vậy, PTTS của d là:
1
2 5 ( )
3 8
x t
y t t
z t
ì
ï= +
ï
ï
ï= - - Î
í
ï
ï= -
ï
ï
î
¡
Câu Va: 2
2 5 0
z z
- + - =
(*)
Ta có,
2 2
2 4.( 1).( 5) 16 (4 )
i
D = - - - = - =
Vậy, pt (*) có 2 nghiệm phức phân biệt
1
2 4
1 2
2
i
z i
- -
= = +
-
và 2
2 4
1 2
2
i
z i
- +
= = -
-
THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:
Ta có,
(0;1;0)
AB =
uuur
và
(1;1; 1)
CD
= -
uuur
Gọi M,N lần lượt là điểm nằm trên AB và CD thì toạ độ của M,N có dạng
(1;1 ;1), (1 ;1 ;2 )
( ; ; 1)
M t N t t t
MN t t t t
¢¢¢
+ + + -
¢ ¢ ¢
Þ = - - -
uuuur