TR NG ĐHSPKT H NG YÊNƯỜ Ư Đ THI K T THÚC H C PH NỀ Ế Ọ Ầ
Khoa Khoa h c c b n ọ ơ ả
Đ s :03ề ố
H c ph n: Toán cao c p 3ọ ầ ấ
Ngày thi:
Th i gian làm bài: 90 phút.ờ
Câu 1: Cho hàm s ố
2 3 2
5
6 2 2
z x x xy y y
= − − + +
1. Tìm c c tr c a hàm s .ự ị ủ ố
2. T i M(2;1) hàm s s tăng hay gi m n u d ch chuy n raạ ố ẽ ả ế ị ể
kh i đi m M theo h ng l p v i tr c Ox m t góc ỏ ể ướ ậ ớ ụ ộ
0
30
.
3. T i M, hãy tìm h ng đ hàm z tăng nhah nh t.ạ ướ ể ấ
Bi u di n trên hình v .ể ễ ẽ
Câu 2: Trong không gian v i h to đ tr c Oxyz, dung tích phân m tớ ệ ạ ộ ụ ặ
tính tr ng tâm c a tam giác ph ng ABC v i ọ ủ ẳ ớ A (-2,3,0),
B ( 4,0,0) và C (-2,0,
3
2
) v i hàm m t đ ớ ậ ộ ρ (x,y,z) = y.
Câu 3: Tính
2 2
C
xy dy x ydx
−
∫
Ñ
trong đó C là đ ng tròn ườ
2 2 2
x y a+ =
l y theo chi u ng c chi uấ ề ượ ề
kim đ ng h .ồ ồ
Ki m ch ng k t qu thông qua s d ng công th c Green.ể ứ ế ả ử ụ ứ
Câu 4: Gi i h ph ng trình vi phân:ả ệ ươ
, ,
,
4 sin 3
cos
x
y z x y
y x z xe
− = −
= − +
tho mãn đi u ki n khi x=0 thì y=0 và z=0ả ề ệ
Gi ng viên ra đ 1: Khoa / B mônả ề ộ
Gi ng viên ra đ 2:ả ề
y
z
x
C
B
O
Câu 1(2đ):
,
2 2 6 0 3
x
z y x x y
= − + − = ⇒ = +
, 2
3 5 2 0
y
z y y x
= + − =
(0.25đ)
Thay vào ta có :
2 2
3 5 2 6 3 3 6 0y y y y y
+ − − = + − =
2
1 2 1 2
2 0 1, 2 4, 1y y y y x x
⇒ + − = ⇒ = = − ⇒ = =
Hàm s có 2 đi m t i h n ố ể ớ ạ
1 2
(4,1), (1, 2)M M= = −
(0.25đ)
1
(4,1)M=
2
(1, 2)M= −
,,
2
xx
z=
=r 2 2
,,
2
xy
z= −
=s -2 -2
,,
6 5
yy
z y= +
=t 11 -7
2
s rt−
4-22<0 4+14>0
r=2 hs đ t c c ti u không c c trố ạ ự ể ự ị
(0.5)
2. Ta có:
( ) 2 4 6 4
x
z N = − + − = −
,
( ) 3 5 4 4
y
z N
= + − =
0 0
3 1
4cos30 4cos60 4( ) 0
2 2
z
l
∂= − + = − >
∂
(0.5đ)
V y hàm s s tăng n u d ch chuy n ra kh i đi m M theo h ng l p v iậ ố ẽ ế ị ể ỏ ể ướ ậ ớ
tr c Ox m t góc ụ ộ
0
30
.
3. H ng thay đ i nhanh nh t -4i+4j ướ ổ ấ (0.5đ)
Câu 2(3đ): +v hình ẽ(0.5đ)
+) B c 1: L p ph ng trình m t ph ng ABC.ướ ậ ươ ặ ẳ
2 3 9
6 3 0 0 ( 2) 9( 3) 18 0
2
3
32
0
x y
x y z
z
÷
+ −
÷
− = ⇔ − + − − − =
÷
÷
−
÷
1 1
4 2 4 2
x y x y
z z⇔ + + = ⇔ = − −
(0.5đ)
+) B c 2: Đ a tích phân m t v tích phân b i 2 b ng cách chi u xu ng m tướ ư ặ ề ộ ằ ế ố ặ
ph ng Oxy. Khi đó ta có:ẳ
6
4
2
y
-5
x
M
, 2 , 2
1 ( ) ( )
x y
S D
m yds y z z dxdy
= = + +
∫∫ ∫∫
2 2
1 1 21
1 ( ) ( )
4 2 4
D D
m y dxdy ydxdy
− −
= + + =
∫∫ ∫∫
(0.25đ)
Tính tích phân này có 2 cách: (0.25đ)
Cách 1:
2
42
2 0
21 21
9.
4 4
x
y
y
dx ydy
−
= +
− =
=
∫ ∫
Cách 2:
2 4
3
0 2
21 21
9.
4 4
x y
x
dy ydx
=− +
=−
=
∫ ∫
+) B c 3: Tính to đ tr ng tâm:ướ ạ ộ ọ
, 2 , 2
1 1 1 21
1 ( ) ( ) . 4
G x y
S D D
x xyds xy z z dxdy ydxdy
m m m
= = + + =
∫∫ ∫∫ ∫∫
2
42
2 0
43 4
2 3 2
2
1 21
.
2 4
4
1 21 1 21 2 1
. ( 2 4 ) . ( 2 ) 2
2 4 4 2 4 16 3 2
x
y
y
dx xydy
m
x x
x x dx x x
m m
−
= +
− =
−
=
−
= − + = − + =
−
∫ ∫
∫
(0.5đ)
2 2 , 2 , 2
1 1 1 ( ) ( )
G x y
S D
y y ds y z z dxdy
m m
= = + +
∫∫ ∫∫
2
42
2 2
2 0
43 4
2 2 3
2
1 21 1 21
. .
4 3 4
4
1 21 3 1 21 1
. (8 6 ) . (8 6 ) 2
3 4 2 8 3 4 2 32
18 21 21 27
.
7 4 2
x
y
D y
y dxdy dx y dy
m m
x x
x x dx x x x
m m
−
= +
− =
−
= =
= − + − = − + − −
= =
∫∫ ∫ ∫
∫
(0.5đ)
, 2 , 2
1 1 1 ( ) ( )
G x y
S D
z zyds yz z z dxdy
m m
= = + +
∫∫ ∫∫
4
2
-2
y
5
x
C
B
A
2
42
2 0
42 2
2
2
43 2
2
1 21
. (1 )
4 4 2
1 21
. (1 )
4 4 2
2
1 21 1
. ( ) 2
4 2 8 4 0
1 21 2 37
. ( )
4 96 8 2 3 72
D
x
y
y
x y
y dxdy
m
x y
dx y dy
m
x
y
xy y
y dx
my
x x x dx
m
−
= +
− =
−
−
= − −
= − −
−
= +
= − −
=
− −
= + − − =
∫∫
∫ ∫
∫
∫
(0.5đ)
V y tr ng tâm G(ậ ọ
1 27 37
, ,
2 2 72
− −
).
Câu 3(2đ):
Tham s hoá đ ng tròn C: ố ườ
cos
sin
x a t
y a t
=
=
v i ớ
0 2t
π
≤ ≤
(0.25đ)
2
2 2 3 2 2 2
0
( cos sin . cos cos . sin . sin )
C
xy dy x ydx a t t a t a t a t a t dt
π
− = +
∫ ∫
Ñ
(0.25đ)
2 2
4
4 2 2 2
0 0
2
4
0
4 4 4
2 cos sin sin 2
2
1 cos 4
2 2
2
sin 4 2
( ) 0
4 2 4 4 2
a
a t tdt tdt
a t dt
a t t a a
π π
π
ππ π
= =
−
=
= − = =
∫ ∫
∫
(0.5đ)
Áp d ng công th c Green ta có:ụ ứ
Đ t ặ
2
P x y= −
,
2
Q xy=
. Khi đó:
2 2 2
2 2 2 2
( )
Cx y a
I xy dy x ydx x y dxdy
+ ≤
= − = +
∫ ∫∫
Ñ
(0.5 đ)
chuy n sang h to đ c c ể ệ ạ ộ ự
cos , sin ,0 2x r y r
ϕ ϕ ϕ π
= = ≤ ≤
(0.25 đ)
Ta có:
24
3
0 0
2
a
a
I d r dr
π
π
ϕ
= =
∫ ∫
(0.25 đ)
Câu 4(3đ):
, ,
,
4 sin 3
cos
x
y z x y
y x z xe
− = −
= − +
(1)
(2)
,, ,
(2) sin ( 1)
x
y x z x e⇒ = − − + +
. Th vào (1) ta đ c :ế ượ
,, , ,, ,
sin (4 sin 3 ) ( 1) 4 3 ( 1)
x x
y x y x y x e y y y x e
= − − − + + + ⇔ + + = +
(3) (0.5đ)
+ Ph ng trình thu n nh t: ươ ầ ấ
,, ,
4 3 0y y y+ + =
Ph ng trình đ c tr ng ươ ặ ư
2
1 2
4 3 0 1, 3
λ λ λ λ
+ + = ⇔ = − =
.
Nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t là : ệ ổ ủ ươ ầ ấ
3
1 2
x x
C e C e
−
+
. (0.5
đ)
+ Tìm nghi m c a ph ng trình (3) b ng ph ng pháp bi n thiên h ng s :ệ ủ ươ ằ ươ ế ằ ố
' 2
' ' 3 1
1 2
' ' 3 ' 2
1 2 2
1( 1)
04
1
3 ( 1) ( 1)
4
x
x x
x x x x
C x e
C e C e
C e C e x e C x e
−
−−
= − +
+ =
⇔
− + = +
= +
2 * 2 2 *
2 2 2
1 1 3
( 1)
4 8 16
x x x
C x e dx C xe e C
− − −
−
⇒ = + + = + +
∫
(0.5 đ)
2 * 2 2 *
1 1 1 1
1 1 1
( 1)
4 8 16
x x x
C x e dx C C xe e C⇒ = − + + ⇒ = − + +
∫
(0.5 đ)
2 2 * 2 2 * 3
1 2
* * 3
1 2
1 1 1 3
( ) ( )
8 16 8 16
1 1
4 4
x x x x x x
x x x x
y xe e C e xe e C e
y xe e C e C e
− − −
−
−
⇒ = − + + + + +
⇒ = − + + +
(0.25 đ)
* * 3
1 2
53 cos
4
x x x
z xe C e C e x
−
⇒ = + − +
(0.25 đ)
T đi u ki n ta có:ừ ề ệ
*
* * 1
1 2
*
* *
2
1 2
7
1016
43
1 3 0 16
C
C C
C
C C
−
=
+ + =
⇔
=
+ − =
(0.25 đ)
3
1 1 7 3
4 4 16 16
x x x x
y xe e e e
−
⇒ = − + − +
3
5 9
7cos
16
4 16
x x x
z xe e e x
−
⇒ = − − +
(0.25)