Tài liệu tham khảo dành cho các bạn đang ôn thi tuyển sinh Cao đẳng, Đại học với đề thi tuyển sinh Cao đẳng môn Toán năm 2013 các khối A, A1, B, D. Mời các bạn cùng tham khảo và luyện tập để đạt kết quả cao nhất.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh Cao đẳng môn Toán năm 2013
- BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO ÑEÀ THI TUYEÅN SINH CAO ÑAÚNG NAÊM 2013
−−−−−
− − − −− Moân: TOAÙN; Khoái A, Khoái A1, Khoái B vaø Khoái D
ÑEÀ CHÍNH THÖÙC Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−
I. PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ THÍ SINH (7,0 ñieåm)
2x + 1
Caâu 1 (2,0 ñieåm). Cho haøm soá y = .
x−1
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá ñaõ cho.
b) Goïi M laø ñieåm thuoäc (C) coù tung ñoä baèng 5. Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M caét caùc truïc toïa ñoä
Ox vaø Oy laàn löôït taïi A vaø B. Tính dieän tích tam giaùc OAB.
π
Caâu 2 (1,0 ñieåm). Giaûi phöông trình cos − x + sin 2x = 0.
2
xy − 3y + 1 = 0
Caâu 3 (1,0 ñieåm). Giaûi heä phöông trình (x, y ∈ R).
4x − 10y + xy 2 = 0
5
dx
Caâu 4 (1,0 ñieåm). Tính tích phaân I= √ .
1 + 2x − 1
1
Caâu 5 (1,0 ñieåm). Cho laêng truï ñeàu ABC.A B C coù AB = a vaø ñöôøng thaúng A B taïo vôùi ñaùy
moät goùc baèng 60◦ . Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AC vaø B C . Tính theo a
theå tích cuûa khoái laêng truï ABC.A B C vaø ñoä daøi ñoaïn thaúng MN.
√
Caâu 6 (1,0 ñieåm). Tìm m ñeå baát phöông trình (x − 2 − m) x − 1 ≤ m − 4 coù nghieäm.
II. PHAÀN RIEÂNG (3,0 ñieåm): Thí sinh chæ ñöôïc laøm moät trong hai phaàn (phaàn A hoaëc phaàn B)
A. Theo chöông trình Chuaån
Caâu 7.a (1,0 ñieåm). Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho caùc ñöôøng thaúng d : x + y − 3 = 0,
∆ : x − y + 2 = 0 vaø ñieåm M(−1; 3). Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua M, coù taâm thuoäc d,
√
caét ∆ taïi hai ñieåm A vaø B sao cho AB = 3 2.
Caâu 8.a (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(4; −1; 3) vaø ñöôøng thaúng
x−1 y+1 z−3
d: = = . Tìm toïa ñoä ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua d.
2 −1 1
Caâu 9.a (1,0 ñieåm). Cho soá phöùc z thoûa maõn ñieàu kieän (3 + 2i)z + (2 − i)2 = 4 + i. Tìm phaàn
thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc w = (1 + z) z.
B. Theo chöông trình Naâng cao
Caâu 7.b (1,0 ñieåm). Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A(−3; 2)
1 1
vaø coù troïng taâm laø G ; . Ñöôøng cao keû töø ñænh A cuûa tam giaùc ABC ñi qua ñieåm P (−2; 0).
3 3
Tìm toïa ñoä caùc ñieåm B vaø C.
Caâu 8.b (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(−1; 3; 2) vaø maët phaúng
(P ) : 2x − 5y + 4z − 36 = 0. Goïi I laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân maët phaúng (P ). Vieát
phöông trình maët caàu taâm I vaø ñi qua ñieåm A.
Caâu 9.b (1,0 ñieåm). Giaûi phöông trình z 2 + (2 − 3i)z − 1 − 3i = 0 treân taäp hôïp C caùc soá phöùc.
− −−Heát− − −
−−− − −−
Thí sinh khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. Caùn boä coi thi khoâng giaûi thích gì theâm.
Hoï vaø teân thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Soá baùo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B và Khối D
(Đáp án - thang điểm gồm 03 trang)
Câu Đáp án Điểm
1 a. (1,0 điểm)
(2,0 điểm)
• Tập xác định: D = \{1}.
• Sự biến thiên:
3 0,25
- Chiều biến thiên: y ' = − ; y ' < 0, ∀x ∈ D.
( x −1)2
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ( −∞;1) và (1; + ∞).
- Giới hạn và tiệm cận: lim y = lim y = 2 ; tiệm cận ngang: y = 2.
x→−∞ x→+∞
0,25
lim y = −∞, lim y = +∞ ; tiệm cận đứng: x = 1.
x→1− x→1+
- Bảng biến thiên:
x −∞ 1 +∞
y' − −
2 +∞ 0,25
y
−∞ 2
• Đồ thị:
y
2 0,25
O 1 x
b. (1,0 điểm)
2m + 1
M (m;5) ∈ (C ) ⇔ 5 = ⇔ m = 2. Do đó M (2;5). 0,25
m −1
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là: y = y '(2)( x − 2) + 5, hay d : y = −3 x + 11. 0,25
d cắt Ox tại A (11; 0), cắt Oy tại B(0; 11).
3
0,25
1 1 11 121
Diện tích tam giác OAB là S = .OA.OB = . .11 = . 0,25
2 2 3 6
Trang 1/3
- Câu Đáp án Điểm
2 Phương trình đã cho tương đương với sin 2 x = − sin x 0,25
(1,0 điểm)
⇔ sin 2 x = sin(− x ) 0,25
2 x = − x + k 2π
⇔⎡ (k ∈ ) 0,25
⎢2 x = π + x + k 2π
⎣
⎡x = k 2π
⇔⎢ 3 (k ∈ ).
⎢x = π + k 2π
⎣ 0,25
2π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = k , x = π + k 2π ( k ∈ ).
3
3
(1,0 điểm) {xy − 3 y +1 = 0 (1)
4 x −10 y + xy = 0 (2)
2
0,25
3 y −1
Nhận xét: y = 0 không thỏa mãn (1). Từ (1) ta được x = (3).
y
Thay vào (2) ta được 3 y3 −11 y 2 + 12 y − 4 = 0 0,25
2
⇔ y = 1 hoặc y = 2 hoặc y = . 0,25
3
Thay vào (3) ta được nghiệm (x; y) của hệ là (2;1), (5 ; 2) và (3 ; 2).
2 2 3
0,25
4
Đặt t = 2 x −1. Suy ra dx = tdt ; khi x = 1 thì t =1, khi x = 5 thì t = 3. 0,25
(1,0 điểm)
( )
3 3
t 1
Khi đó I = ∫ dt = ∫ 1 − dt 0,25
1 t +1 1 t +1
3
= (t − ln | t +1|) 0,25
1
= 2 − ln 2. 0,25
5
(1,0 điểm) A′ C′ AA ' ⊥ ( ABC ) ⇒ A ' BA là góc giữa A' B với đáy ⇒ A ' BA = 60o. 0,25
N
B′ ⇒ AA ' = AB.tan A ' BA = a 3.
3a3 0,25
Do đó VABC . A' B 'C ' = AA '.SΔABC = .
4
A M C
Gọi K là trung điểm của cạnh BC.
K AB a 0,25
Suy ra ΔMNK vuông tại K, có MK = = , NK = AA ' = a 3.
B 2 2
a 13
Do đó MN = MK 2 + NK 2 = . 0,25
2
6 Điều kiện: x ≥ 1. Đặt t = x −1, suy ra t ≥ 0.
(1,0 điểm) 0,25
t3 − t + 4
Bất phương trình đã cho trở thành m ≥ .
t +1
t3 − t + 4 (t −1)(2t 2 + 5t + 5)
Xét f (t ) = , với t ≥ 0. Ta có f '(t ) = ; f '(t ) = 0 ⇔ t = 1. 0,25
t +1 (t +1)2
Bảng biến thiên: t 0 1 +∞
f '(t ) − 0 +
f (t ) 4
+∞ 0,25
2
Dựa vào bảng biến thiên ta được bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 2. 0,25
Trang 2/3
- Câu Đáp án Điểm
7.a Gọi (C) là đường tròn cần viết phương trình và I là tâm của (C).
(1,0 điểm) Do I ∈ d , suy ra I (t ;3 − t ). 0,25
M AB 3 2
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra AH = = và
2 2
0,25
I | 2t −1|
IH = d ( I ; Δ) = . Do đó IA = IH 2 + AH 2 = 2t 2 − 2t + 5.
2
A H B Từ IM = IA ta được 2t 2 + 2t +1 = 2t 2 − 2t + 5, suy ra t = 1.
0,25
Do đó I (1;2).
Bán kính của (C) là R = IM = 5.
0,25
Phương trình của (C) là ( x −1)2 + ( y − 2)2 = 5.
8.a Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d. Phương trình của (P) là 2 x − y + z −12 = 0. 0,25
(1,0 điểm) Gọi H là giao điểm của d và (P). Suy ra H (1 + 2t ; −1− t ; 3 + t ). 0,25
Do H ∈ ( P) nên 2(1 + 2t ) − (−1 − t ) + (3 + t ) −12 = 0. Suy ra t = 1. Do đó H (3; −2;4). 0,25
Gọi A ' là điểm đối xứng của A qua d, suy ra H là trung điểm của đoạn AA '. Do đó A '(2; −3;5). 0,25
9.a (3 + 2i ) z + (2 − i )2 = 4 + i ⇔ (3 + 2i ) z = 1 + 5i 0,25
(1,0 điểm) ⇔ z = 1 + i. 0,25
Suy ra w = (2 + i )(1 − i ) = 3 − i. 0,25
Vậy w có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −1. 0,25
7.b Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
(1,0 điểm)
A
3
Suy ra AM = AG. Do đó M 2; − .
2 ( )
1
2
0,25
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AP, nên có phương
trình x − 2 y − 3 = 0. 0,25
G Tam giác ABC vuông tại A nên B và C thuộc đường tròn tâm M,
P
5 5
B M C bán kính MA = 2 . Tọa độ các điểm B và C là nghiệm của hệ
0,25
⎧x − 2 y − 3 = 0
⎪
( )
2
⎨ 1 125
⎪( x − 2)2 + y + =
⎩ 2 4
x = 7, y = 2
⇔⎡
⎢
⎣x = −3, y = −3. 0,25
Vậy B(7;2), C (−3; −3) hoặc B(−3; −3), C (7;2).
8.b Do IA ⊥ ( P ) nên I (−1+ 2t ;3 − 5t ;2 + 4t ). 0,25
(1,0 điểm) Do I ∈ ( P ) nên 2(−1 + 2t ) − 5(3 − 5t ) + 4(2 + 4t ) − 36 = 0, suy ra t = 1. Do đó I (1; −2;6). 0,25
Ta có IA = 3 5. 0,25
Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A là ( x −1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 6)2 = 45. 0,25
9.b Phương trình z + (2 − 3i ) z −1 − 3i = 0 có biệt thức Δ = −1.
2
0,25
(1,0 điểm)
Suy ra Δ = i . 2
0,25
Nghiệm của phương trình đã cho là z = −1 + 2i 0,25
hoặc z = −1 + i. 0,25
------------- Hết -------------
Trang 3/3
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
