e0 ctRo DUc
vA DAo
rAo
.{
DAI HOC HUE Hq vd t€n thf sinh
Sd bdo danh
KV rHr ruydN srNH sAU
DAr
Hoc NAM 2006
Mdn thi: Dai sd
(ddnh
cho: Cao hgc)
Thdi gian ldm bdi: 180
phut
Cflu 1. a. Cho
n1,r2,...,r, id cr{c
vecto
khr{c khOng ctia m6t khOng
gian vecto,
cbn
A le mQt
ph6p
bidn ddi tuydn tinh cfia khOng
gian vectd d6 sao
cho
Art - 11, Anp
: trk
* rt -t, k
:2,3, ....)n.
Chtrng
minh rang cdc
vectd
rr,n2,...,rn dOc
ldp
tuyOn tfnh.
b. Cho B lil ma trAn
vuOng
cdp
n sao
cho Bk :0, vdi k le mQt
sd tu nhiOn
ndo
d6. Tim (E^
- B)-t, trong d6 E- ld ma trAn
vuOng
don vr cdp
n.
Chu 2. Cho c le nh6m sinh boi hai phdn tir r vd a vu cdc
quan h€:
tr4:a2:!,ar-r3a.
a. X6c dinh nhfrng
phdn
tr? cfra
nh6m G.
b. Tim tdt ca ciic nh6m con cfia nh6m G.
CAu
3. Cho n le mQt vdnh.
DFtt"
Z(R)
- {, e Rlra: an,Vo
e R}.
a. Chtnrg
minh rang Z(R) lh mOt vdnh con giao
ho6n
cira
R.
b. Xdc dinh z(Mt(n)), trong d5 twt(n) lh vinh cdc ma trQn vuOng
cdp 3 h0
sd thuc.
CAu 4. Chtnrg
minh rang ndu da thrlc 13
+ arz
+ br * c c6 3 nghiOm thuc, phAn
biet
thi da thrlc
13
+ ar2
+ i@' + b)r
+ # cflng c6 3 nghigm th1rc,
phAn
bigt.
Ghi chri: C6n b0 coi thi khOng
giii thfch gi thOm
f
te"t
l
'\)*- {.*?e
e0
ctAo DUc vA oao
rAo
DAr
HQC
HU6 Hg ud, t€,n th{ s'inh:
Sd b6,o danh,:
KV rnr ruyiN srNH sAU
o4l Hec NAnn zoor
M6n thi: DAI SO
(dd,nh,
cho Cao
hoc)
TlLdi
gian ld,m bd,i:
180 phrit
Cdu f.
1. Cho nrtfr2t...tnn Ib cri,c
vecto khdc
kh6ng
crla m6t kh6ng
gian
vecto vh,
A th,
mQt
ph6p
bi6n ddi tuydn tfnh cria kh6ng
gian
vectcr
d6 sao
cho
An1
: 11, Ann
: frk
* rn-r, k : 2,3r...
rfl.
Chfrng minh rH,ng
c6c
vecto
nttn2r...,tfrn dgc
16,p
tuy6n tfnh.
2. Cho B Ie ma tr$n vu6ng cdp n x6c dinh tr6n trudng F sao cho
Bk:0, v6i k th
mQt s6 tu nhi6n ni,o d6. Tim (E^ - B)-1, trong d6 En lir,
ma trAn vu6ng dsn vi
cd,p
n.
tl a .12000 / n
g.Tfnr(0 1\--- --t-:(0 1\ Lnxdcdinhtr6nt.rbnsF.
o ( _, 0
) v6i ( _, 0
) lb, ma trdn xac dinh tran trulng F.
Ciu II.
1. Cho p ve ',h
L hai tu dbng cdu tuydn tfnh cria
mQt kh6ng gian vectcr hfru han chibu
tr6n lrubng s6 phirc C sao cho
po{s : tog. Chfrng -Ln rXng p ve 4t cd chung
mQt
vects ri€ng,
2. Cho E lb m6t kh6ng gian vectcr
Euclid htru han chibu vh (u1
,...,un) lb, m6t hO
trgc chudn
trong A.-CA*ng minh rXng n6u vcri
ngi u e E tu dbu
c6'-'
rur'-
iro,,,r'
'i,:L
thi (u1,.
.., or) lb mQt ccr s& a3,a E.
C6.u IU. Cho G th mQt nh6m nh6,n
hfru hg,o sao
cho G c6 mQt
tu d8ng c6,u
g th6a
p(a)
# o,Va
t' 16. Chfrng minh rB,ng:
1. vcri
m.oi
a e G tbn tq,i
g e G sao cho
d': g-Lp(g);
2. ndu
g c6 cdp bXng 2,tftcIi, p+i,d,vdp2 - id, thi p(.q)
: g-L v6i moi
g € G vb,
G te mQt nh6m aben c6 cd,p
14,
m6t sd 16.
C6.u IV.
1. Cho E le mQt
vh,nh
Biao
hod,n
v6i don vi 1 I 0 vA,
/ lb mQt
id€an crla E. Chfrng
minhrXng v6i m5i a € R, t6,p con
J - {ar* I | * € l?} C RlI lh, m6t id6an
cda
Rl I sinh bdi o + f € R/1. Tri d6 suy ra rXng khi f ld,
id6an
t6i dai crla vA,nh
R
thi moi phb,n
trl kh6c kh6ng c,la RII dEu
khd,
nglrieh.
2. Chirng
minh rXng t$p hqp c6c
s6 hfru tj dang ? usimAu sd Ih,
mQt s6 nguyOn
16
n
tao thb,nh
m6t mibn nguy6n chfnh.
Ghi chri: Cd,n b6 coi, th,i, kh,6ng
gi,di,
th{ch
gi,
th€,m.
e0 crAo
DUc
vA DAo
TAo
2Hg ud
t€n tht sinh:
Sd bd,o
danh:
DAI HOC HUE
Kv THr ruyiN srNH
sAU
D4r Hgc NAvr 2008
M6n thi: DAI 56
(ddnh cho Cao hq")
Thdi g'ian ld"m
bd,i: 180 phrit
CAu I.
o,. Ky hieu M"(F) lA,
khong gian vecto cd,c
ma trAn vu6ng cdp n c6 he tri trong
trudng F. Ma trAn A - (o"i).
e Mn(F) gqi lb d6i xfrng ndu
aai : aji, v6i moi
i,
j :1,...,D. Chirng minh rXng
tap tdt cA c6c
ma trAn
ddi
xirng
trong
A/l.(F)
lb mot khong gian con crla M,(F). Tim mQt ccy sd vi tfnh sd chibu cria khong
gian con cl6.
b. Cho V vd14/ Id, hai khong gian vecto tr6n trudng /( vd W co sd chibu
huu han.
Cho f , V -+ W lb mot toi,n cdu tuy6n tinh. Chirng minh rHng tbn tai m6t dnh
xa tuy6n tinh g : W ---+
V sao cho f g - idp1,
v6i idry ld 5nh xa dbng nhdt crja
W. Anh xq g c6 duy nhdt khong?
CAu II.
a. Cht'rng
minh rXng d6i vdi c6,c vect
a r,,
y, z bdt ky trong mqt khong gian vectcy
Euclid, d8ng tht'rc
sau 1u6n
xAy ra:
3
(l"l'
+ lal2
+
lrl")
- lr
* a
* rl,
+ lr
- al,
+
ly
- rl,
+
l,
- rlt.
b. C6 tbn tai hay khong
hai ma tr5,n
vu6ng
A,B cdp n c6 he tri trong trulng tr
voi
A khA
nghich
sao
cho
AB - BA: A?
Cdu III. Ki hieu
R le trudng cd,c
s6
thuc. Cho:
G-{(: 1,)lo,b€R,o>o} vitH-{(t b\,', l
t\o "-r)ta,b€1r{,o)
J i.(, ;)lae re}
a. Chirng minh ring G le mOt nh6m vdi ph6p nhan ma trAn vd lI li mot nh6m
con chudn t6c cria G. Chi ra rXng nh6m thucrng G
I H d8ng cdu vdi "f.O- lO"u
t .t ,t
c5c
s6 thuc IR.
b- Hay tim m6t nh6m con chudn tXc K ciaG chira -tr saochoK+Gvit"K*U
CAU IV.
a' MOt mibn nguy6n ggi ld mibn nguyen chinh ndu moi idean crja n6 dbu 1A
idean
chinh. Chirng t6 ring vA,nh
cdc s6 nguy6n 2,, Ib,
mibn nguy6n chfnh nhung vdnh
da thfrc V,ft] khong ph.Ai
li mibn nguy6n chfnh.
b' Ky hieu Q["] Ib vdnh cdc da thirc co he tri trong trubng s6 huu ti e Cho p le,
mQt s6 nguy6n td. Chirng minh rXng cla
thirc
Ar(r) - 1* r t...* rP-T
bdt khd
quy
trone
Qlrl.
Ghi chri: crin b6 coi,
thi khong
gid"i
thtch gi th€m.
Typeset
by AlaS-Tlf,
a0
crao DUC
vA
DAo rAo
2
DAI }IOC HUE
K:r rr{r ruy6N srNH sAU
DAr Hgc xAnn 200e
(Dqt
r)
M6n thi: O,A.f Sd
(danh cho Cao hqr)
Thdi g'ian
ld,m bd"i,r 180 phft
CAU I.
Cho U vh, W Ii,, hai kh6ng gian con crl.a
lf-kh6ng gian vecto 7 hfru han chi6u.
{-'hr'rns rnin',r
r;\'rg c6c di6u kien sau
1},
tucrng dUcrng:-----f) -*---tf'
(f
) Cir,.r{/
* Cirn)Z - dinnr/
;
/i;\ rh. tai rngl
tu tlbng
c{"u
f ciav sao
cho U - I-/,W : Ker/.
\..,/.,-*t"7.^..
Ci"u II.
1. Cho C?ng
to).n phucrng
O tr€n khong gian vectcr
thuc rz chibu 7'. Chring minh
ring c5 thd khai trrdn V' thi,nh tdng truc tidp c6c kh6ng gian con:
Vn
: Vo
@V+ @V-
trcng
d5
1/3
- K"rO, Ol x6c dinh d.ucrng, Ql x6c
dinh
Am.
rv+ r e' lv-
FIc*n nfra, CimT-r-
: sr dimV- - t, vdi s vh, t tucrng frng Id,
chi s6 duong vd chi s6
6rn
qu6n tfnh cda O.
2. i.I.{.y dua d?trg toin phuong sau
tr6n kh6ng gian vectcr
thuc R3 vE
d+ng chfnh
t6c:
Q(r,a, z) :2r2 * 4rg - 2rz + 5a2
* 69z
- 222
vi. xdc dinh co sd tucrng rlng.
C6.u III.
Coi Gtr(t, R) i), nh6m cdc ma tr5,n vu6ng thuc c6"p
n khong suy bi6n v6i ph6p
tod,n
lir rrb6p
nir6,n czic rna tr6.n,
X C GL(n,R) It t6.p c6c
rna tr6n c6 dinh thirc bing
+1 vi Y C GL(rt.,lR) 1A tAp c6c ma trAn c6 dinh thirc ducrng. Chirng minh rXng:
1. X,Y 1), cdc nh6m con
chu6ln t6c cl,a
GL(r,R);
2. nh5rn
+"hucrng
G[,(n,R)/X d8,ng
cdu v6i nh6m nh6,n c6c s6 thuc ducrng;
3. r:irdm
tirucrng GI-,,(n,R)/y di,ng cdu v6i mQt nh6m cyclic cdp hai.
CAtr IV.
Cho 1i i; mQt vl,nh.
1. Giti,
su B kh6ng c6 udc cda kh6ng, c6 rngt phb,n
tri rs l0 co cdp v6 han d6i vdi
ph6o cQng
vd,
rnoi nh6m con crLa
(ft, +) trong vdnh dEu 1),
id6an trd.i cria vdnh E.
Ch'ing minh .ing vinh n d8,ng cdu v6i mQt v)"nh con crj.a
vinh Z ci'"c
s6 nguy6n.
2. Khi R : Zga, hdy chfrng minh di,ng cdu vb,nh sau:
Rl$Z,196Z)
= Za.
Hg ua
t€n tht s'inh:
Sd bd,o
danh: