Đề thi môn Toán vào lớp 10 năm 2020 có đáp án TP.HCM là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên trong quá trình giảng dạy và phân loại học sinh. Đồng thời giúp các em học sinh củng cố, rèn luyện, nâng cao kiến thức môn Toán lớp 9. Để nắm chi tiết nội dung các bài tập mời các bạn cùng tham khảo đề thi.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm 2020-2021 có đáp án - Sở GD&ĐT TP.HCM
- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020-2021
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
Ngày thi: 17/07/2020
(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,0 điểm)
a b c
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện + + 2020 .
=
b+c c+a a+b
a2 b2 c2
Tính giá trị của biểu thức=
P + + : (a + b + c) .
b+c c+a a+b
Câu 2: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình 2x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1 = x + 4 .
y 2 − 2 xy = 8 x 2 − 6 x + 1
b) Giải hệ phương trình 2 3 2
.
y = x + 8 x − x + 1
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC ( AB < BC < CA) nội tiếp đường tròn ( O ) . Từ A kẻ đường thẳng song
song với BC cắt ( O ) tại A1 . Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O ) tại B1 . Từ C kẻ
đường thẳng song song với AB cắt ( O ) tại C1 . Chứng minh rằng các đường thẳng qua A1 , B1 , C1
lần lượt vuông góc với BC , CA, AB đồng quy.
Câu 4: (2,0 điểm)
a 2 + b2 ( a − b) 2
a) Cho 2 số thực a, b . Chứng minh rằng: ≥ ab + 2 .
2 a + b2 + 2
b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 3 .
20 7
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = b − a + + .
a b
Câu 5: (2,0 điểm)
Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC , CA lần lượt tại D, E , F .
Kẻ đường kính EJ của đường tròn ( I ) . Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC . Đường
thẳng JD cắt d , BC lần lượt tại L, H .
a) Chứng minh: E , F , L thẳng hàng.
b) JA, JF cắt BC lần lượt tại M , K . Chứng minh: MH = MK .
Câu 6: (1,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình 3x − y 3 =
1.
-------------------- HẾT --------------------
- Lời giải tham khảo
a b c
Câu 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện + + 2020 .
=
b+c c+a a+b
a2 b2 c2
Tính giá trị của biểu thức=
P + + : (a + b + c) .
b+c c+a a+b
Hướng dẫn giải
a2 b2 c2
P
= + + : (a + b + c)
b+c c+a a+b
a b c 1
= a + 1 − 1 + b + 1 − 1 + c + 1 − 1 .
b+c c+a a+b a + b + c
a+b+c a+b+c a+b+c 1
= a. − a + b. −b+c − c .
b+c c+a a+b a+b+c
a b c 1
= ( a + b + c ) + + − ( a + b + c ) .
b+c a+c a+b a+b+c
a b c
= + + 1 2020 −=
−= 1 2019
b+c a+c a+b
Câu 2: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình 2x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1 = x + 4 .
y − 2 xy = 8 x − 6 x + 1
2 2
b) Giải hệ phương trình 2 3 2
.
y = x + 8 x − x + 1
Hướng dẫn giải
a. 2 x2 + x + 9 + 2 x2 − x + 1 = x + 4
Điều kiện x ∈ .
=a 2 x2 + x + 9 > 0 a 2 − b2
Đặt ⇒ x+4
=
b
= 2x2 − x + 1 > 0 2
Khi đó phương trình trở thành
a 2 − b2
a+b = ⇔ 2(a + b) = (a − b)(a + b) ⇔ a − b = 2 (do a + b > 0)
2
Do đó
2x2 + x + 9 − 2x2 − x + 1 = 2 ⇔ 2x2 + x + 9 = 2 + 2x2 − x + 1
⇔ 2x2 + x + 9 = 4 + 2x2 − x + 1 + 4 2x2 − x + 1
x ≥ −2
⇔ 2 2x2 − x + 1 = x + 2 ⇔ 2 2
4(2 x − x + 1) = x + 4 x + 4
x ≥ −2
x = 0
x ≥ −2 x = 0
⇔ 2 ⇔ ⇔
7 x − 8 x 0
= x = 8 x = 8
7
7
8
Vậy S = 0; .
7
- y 2 − 2 xy = 8 x 2 − 6 x + 1(1)
b. 2 3 2
y = x + 8 x − x + 1(2)
y − x = 3x − 1 y = 4 x − 1
Từ phương trình (1) ta có ( y − x) 2 = (3 x − 1) 2 ⇔ ⇔
y − x =1 − 3 x y =1 − 2 x
Với =
y 4 x − 1 , thay vào (2) ta được
(4 x − 1) 2 = x 3 + 8 x 2 − x + 1 ⇔ x 3 − 8 x 2 + 7 x = 0 ⇔ x( x 2 − 8 x + 7) = 0
x = 0⇒ y = −1
x = 0
⇔ 2 ⇔ x =1 ⇒ y =3
x − 8x + 7 = 0
x = 7 ⇒ y = 27
Với y = 1 − 2 x , thay vào (2) ta được
(1 − 2 x) 2 =x3 + 8 x 2 − x + 1 ⇔ x3 + 4 x 2 + 3 x =0 ⇔ x( x 2 + 4 x + 3) =0
x = 0 ⇒ y =1
x = 0
⇔ 2 ⇔ x =−1 ⇒ y =3
x + 4x + 3 =0
x =−3 ⇒ y =7
S
Vậy = {(0;1), (0; −1), (1;3), (7; 27), (−1;3), (−3;7)} .
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC ( AB < BC < CA) nội tiếp đường tròn ( O ) . Từ A kẻ đường thẳng song
song với BC cắt ( O ) tại A1 . Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O ) tại B1 . Từ C kẻ
đường thẳng song song với AB cắt ( O ) tại C1 . Chứng minh rằng các đường thẳng qua A1 , B1 , C1
lần lượt vuông góc với BC , CA, AB đồng quy.
Hướng dẫn giải
A M A1
K
H O
B C
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và OH cắt đường thẳng qua A1 , vuông góc với BC ở
điểm K . Gọi M là trung điểm AA1 thì OM ⊥ AA1 . Suy ra OM ⊥ BC.
Mặt khác, tứ giác AHKA1 là hình thang vì AH A1 K nên ta có OM là đường trung bình, kéo
theo O là trung điểm HK hay nói cách khác, đường thẳng qua A1 , vuông góc với BC sẽ đi qua
điểm đối xứng với trực tâm H của tam giác ABC qua O.
Rõ ràng điểm này bình đẳng với B, C nên hai đường qua B1 , C1 lần lượt vuông góc với CA, AB
cũng đi qua K . Vì thế nên ta có các đường thẳng của đề bài đồng quy ở K .
- Câu 4: (2,0 điểm)
a 2 + b2 ( a − b) 2
a) Cho 2 số thực a, b . Chứng minh rằng: ≥ ab + 2 .
2 a + b2 + 2
b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 3 .
20 7
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = b − a + + .
a b
Hướng dẫn giải
a 2 + b2 ( a − b) 2
a) Cho 2 số thực a, b . Chứng minh rằng: ≥ ab + 2 .
2 a + b2 + 2
Ta có:
( a − b) ( a − b) ( a − b)
2 2 2
a 2 + b2
≥ ab + 2 2 ⇔ ≥ 2 2
2 a +b +2 2 a +b +2
21 1
⇔ (a − b) − 2 2 ≥0
2 a +b +2
b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 3
20 7
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = b − a + + .
a b
20 7 20 7 20 7
Ta có: −a ≥ b − 3 nên Q = b − a + + ≥ b + b − 3 + + = 2b − 3 + +
a b 3−b b 3−b b
20 7 20 7
= 5 (3 − b) + + 7b + − 18 ≥ 2 5. ( 3 − b ) . + 2 7b. − 18 = 16
3−b b 3−b b
⇒ Qmin = 16
20
5 ( 3 − b ) =
3−b
Dấu bằng xảy ra khi ⇒b= 1⇒a= 2.
7b = 7
b
Câu 5: (2,0 điểm)
Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC , CA lần lượt tại D, E , F .
Kẻ đường kính EJ của đường tròn ( I ) . Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC . Đường
thẳng JD cắt d , BC lần lượt tại L, H .
a) Chứng minh: E , F , L thẳng hàng.
b) JA, JF cắt BC lần lượt tại M , K . Chứng minh: MH = MK .
Hướng dẫn giải
a) Ta có JE là đường kính của ( I ) nên L
A
T
= 90° và tam giác HDE vuông ở D.
JDE
J
Chú ý rằng BD = BE , do cùng là tiếp tuyến F
kẻ từ B đến ( I ) nên BD = BH (tính chất D
I
trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Do đó tam giác BHD cân ở B. H B E M C K
Vì AL BH nên hai tam giác ADL và BDH đồng dạng, kéo theo ADL cân ở A hay
AL = AE.
= AD
= FCE
Vì AL CE nên LAF , mà hai tam giác ALF , CEF đều cân có các góc ở đỉnh bằng nhau
nên chúng đồng dạng. Suy ra , kéo theo L, F , E thẳng hàng.
AFL = CFE
- b) Kéo dài JF cắt d ở T thì tương tự câu a, ta có T , D, E thẳng hàng và
AT
= AD = AF = AL.
AL AJ AT
Theo định lý Thales với d BC thì = = , mà AT = AL nên MH = MK .
MH JM MK
Câu 6: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn 3x − y 3 = 1.
Hướng dẫn giải
x 3 2
Ta có 3 = y + 1 = ( y + 1)( y − y + 1). Do đó, tồn tại các số tự nhiên u , v sao cho
y + 1 =3u
2 .
y − y + 1 =3v
Vì y + 1 > 1 nên 3u > 1 hay u ≥ 1. Rút =
y 3u − 1 , thay vào phương trình dưới, ta có
(3u − 1) 2 − (3u − 1) + 1 =3v hay
32u − 3 ⋅ 3u + 3 = 3v ⇔ 32u −1 − 3u + 1 = 3v −1.
Vì vế phải nguyên nên ta phải có v − 1 ≥ 0 hay v ≥ 1. Tuy nhiên, nếu v − 1 > 0 thì 3v −1 chia hết
cho 3, trong khi vế trái không chia hết cho 3, vô lý. Do đó, v = 1 hay
y2 − y +1 = 3 ⇔ y2 − y = 2 .
Giải ra được y = 2. Thay vào đề bài, ta được 3x = y 3 + 1 = 9 nên x = 2.
Vậy nên tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là ( x, y ) = (2; 2).
-------------------- HẾT --------------------
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
