Đề xuất mô hình toán học phục vụ phân tích động lực học cho rô bốt đàn hồi

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Đề xuất mô hình toán học phục vụ phân tích động lực học cho rô bốt đàn hồi" trình bày một mô hình toán học mới để phân tích động lực học cho các rô bốt đàn hồi dựa trên phương pháp Phần tử hữu hạn – Lagrangian. Cụ thể, các ma trận khối lượng suy rộng và ma trận độ cứng của cơ hệ được xác định bằng tổng tất cả các ma trận khối lượng và ma trận độ cứng phần tử có cùng kích thước. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề xuất mô hình toán học phục vụ phân tích động lực học cho rô bốt đàn hồi

162 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 ĐỀ XUẤT MÔ HÌNH TOÁN HỌC PHỤC VỤ PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CHO RÔ BỐT ĐÀN HỒI Chu A My1*, Duong X Bien2, Vũ Minh Hoàn3 1 Viện mô phỏng, Học viện Kỹ thuật Quân sự 2 Trung tâm công nghệ, Học viện Kỹ thuật Quân sự 3 Khoa Cơ khí, Học viện Kỹ thuật Quân sự * Email: mychuanh@yahoo.com Tóm tắt. Bài báo này trình bày một mô hình toán học mới để phân tích động lực học cho các rô bốt đàn hồi dựa trên phương pháp Phần tử hữu hạn – Lagrangian. Cụ thể, các ma trận khối lượng suy rộng và ma trận độ cứng của cơ hệ được xác định bằng tổng tất cả các ma trận khối lượng và ma trận độ cứng phần tử có cùng kích thước. Các vận tốc dài và vận tốc góc của từng phần tử trên khâu được tính toán tường minh và biểu diễn trên cơ sở sử dụng ma trận Jacobian và vectơ vận tốc suy rộng. Bằng cách sử dụng vectơ hàm dạng phần tử, các ma trận khối lượng và độ cứng của từng phần tử được tính toán một cách hiệu quả. Do đó, phương trình động lực học có thể được xây dựng một cách đơn giản và hiệu quả. Phương pháp đề xuất trong nghiên cứu này còn có thể được sử dụng để mô hình hóa các hệ rô bốt gồm cả khâu cứng và khâu đàn hồi. So với các phương pháp được sử dụng trước đây, độ phức tạp tính toán giảm O(2η), trong đó η là số phần tử trên tất cả các khâu. Từ khóa: Rô bốt đàn hồi, chuyển vị đàn hồi, mô hình toán học, động lực học 1. Đặt vấn đề Gần đây, nhu cầu phát triển các loại rô bốt đàn hồi để đáp ứng các yêu cầu nhiệm vụ ngày càng tăng trong các ngành sản xuất. Tận dụng được các lợi thế của những tiến bộ mới nhất trong chế tạo rô bốt, thiết kế và sản xuất, cũng như kỹ thuật vật liệu, các rô bốt đàn hồi có một số lợi thế hơn so với các rô bốt cứng truyền thống, với khối lượng tổng thể thấp hơn, cơ cấu truyền động nhỏ hơn, tiêu thụ năng lượng thấp hơn và tỷ lệ tải trọng trên trọng lượng máy lớn hơn. Tuy nhiên, quá trình thành lập mô hình toán học đối với rô bốt đàn hồi phức tạp hơn nhiều, đặc biệt là khi xử lý các rô bốt đàn hồi nhiều khâu gồm nhiều loại khớp khác nhau như khớp quay, khớp tịnh tiến cố định và khớp tịnh tiến trượt. Nhìn chung rô bốt đàn hồi là hệ động lực học liên tục được đặc trưng bởi số bậc tự do vô hạn và được điều chỉnh bởi các phương trình vi phân liên kết phi tuyến. Giải pháp mô tả chính xác cho hệ thống như vậy là không thực tế. Vấn đề thiết lập các phương trình động lực học cho rô bốt đàn hồi thường được sử dụng hai phương pháp chính: Phương pháp khai triển theo dạng riêng (AMM) và Phương pháp Phần tử hữu hạn (FEM). Tuy nhiên như đã chỉ ra trong các nghiên cứu của Theodore & Ghosal [1] và Dwivedy & Eberhard [2], nhược điểm chính của AMM là khó khăn trong việc tìm kiếm cách thức cho các khâu khi có thiết diện mặt cắt của khâu không đều và rô bốt nhiều khâu; Do đó, FEM thường được sử dụng để mô hình hóa các rô bốt đàn hồi nhiều khâu. Trên thực tế, FEM đã được nhiều tác giả sử dụng để xây dựng công thức động lực học cho rô bốt đàn hồi [3]. Cấu trúc của ma trận khối lượng suy rộng và ma trận độ cứng của các phương trình động lực học thường yêu cầu quy trình tính toán phức tạp và các phép biến đổi để lắp ráp các ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của phần tử tương ứng. Hơn nữa, trong trường hợp các rô bốt đàn hồi gồm các khớp trượt (khớp i trượt dọc trên khâu i-1) và khớp tịnh tiến cố định (khớp i+1 nằm cố định trên khâu i), việc xây dựng các ma trận suy rộng thậm chí còn phức tạp hơn nhiều vì các điều kiện biên thay đổi theo thời gian. Mô hình động lực học, phân tích và điều khiển rô bốt đàn hồi một khâu và hai khâu đã được ghi chép lại trong một số tài liệu. Cũng có một số nghiên cứu tổng quát hóa các vấn đề mô hình động lực học cho rô bốt đàn hồi nhiều khâu [4], [5]. Tuy nhiên hầu hết các nghiên cứu này tập trung vào các rô bốt đàn hồi nhiều khâu gồm tất cả các khớp quay. Al-Bedoor & Khulief [6] và Wang và Wei [7] đã nghiên cứu mô hình động lực học của một khâu đàn hồi trượt qua một khớp tịnh tiến cố định. Pan và cộng sự. [8],
163 Chu A My1*, Duong X Bien2, Vũ Minh Hoàn3 Yuh và Young [9] và Ju [10] đã đề cập đến mô hình động lực học cho rô bốt đàn hồi hai khâu với khớp tịnh tiến cố định. Korayem và cộng sự [11] đã phát triển mô hình động lực học cho một tay máy đàn hồi với các khớp trượt cố định. Khadem & Pirmohammadi [12] đã thiết lập các phương trình động lực học cho một rô bốt đàn hồi nhiều khâu với các khớp trượt tịnh tiến. Wang & Mills [13] đã nghiên cứu một rô bốt song song đàn hồi với các khớp tịnh tiến trượt. Mặc dù mô hình động lực học của các rô bốt đàn hồi bao gồm các khớp trượt tịnh tiến đã được xem xét trong các nghiên cứu của Khadem & Pirmohammadi [12], Ju [10], và Wang & Mills [13], tuy nhiên biến dạng đàn hồi của khâu trượt, cùng với đó là khớp trượt tịnh tiến đã bị bỏ qua. Đặc biệt người ta ít chú ý đến mô hình động học và động lực học của rô bốt đàn hồi nhiều khâu có đồng thời cả khớp quay, khớp tịnh tiến cố định và khớp trượt tịnh tiến. Lưu ý rằng sự kết hợp của các loại khớp khác nhau mang lại sự linh hoạt trong thiết kế và các chức năng bổ sung cho rô bốt giúp rô bốt đáp ứng tốt nhất các yêu cầu nhiệm vụ kỹ thuật và mở rộng phạm vi ứng dụng cho rô bốt. Các vấn đề quan trọng nêu trên đã dẫn đến động lực để phát triển một mô hình toán học mới nhằm phân tích động lực học cho các loại rô bốt đàn hồi nhiều khâu. Trong bài báo này, một mô hình động lực học mới cho rô bốt đàn hồi n khâu phẳng gồm các loại khớp khác nhau được trình bày và thảo luận. Dựa trên cách tiếp cận Phần tử hữu hạn - Lagrangian, vị trí và vận tốc của mỗi phần tử được tính toán và biểu thị một cách rõ ràng dưới dạng vectơ tọa độ suy rộng. Tất cả các ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của phần tử đều được biến đổi và biểu thị một cách rõ ràng đối với toàn bộ các tọa độ suy rộng. Do đó, ma trận khối lượng và ma trận độ cứng tổng thể được xác lập bằng cách tính tổng trên tất cả các ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của phần tử có cùng kích thước tương ứng. Nó đã chỉ ra rằng công thức có thể được thực hiện một cách đơn giản và hiệu quả, bằng cách sử dụng các cú pháp tính toán tượng trưng có sẵn trong một số môi trường tính toán như Maple và matlab. Phương pháp được đề xuất trong nghiên cứu này là hiệu quả và hữu ích hơn, đặc biệt khi xử lý các hệ thống rô bốt gồm nhiều khâu cứng và khâu đàn hồi. Ưu điểm của phương pháp đề xuất được thể hiện khi so sánh với các phương pháp phổ biến trước đó sử dụng các loại sơ đồ phức tạp để lắp ráp các ma trận khối lượng và ma trận độ cứng suy rộng. Để xác nhận tính hiệu quả của phương pháp mô hình động lực học mới được đề xuất cho rô bốt đàn hồi nhiều khâu, các ví dụ và thử nghiệm số đã được thực hiện. 2. Thiết lập phương trình động lực học robot đàn hồi 2.1. Mô hình toán học Trong phần này các phương trình động lực học của rô bốt nhiều khâu được lập công thức rõ ràng bằng cách sử dụng phương pháp Phần tử hữu hạn - Lagrangian. Hai công thức mới của ma trận khối lượng suy rộng và ma trận độ cứng của các phương trình lần lượt được giới thiệu. Hình 1. Khâu thứ i − 1 và khâu thứ i của rô bốt đàn hồi Xem xét rô bốt đàn hồi phẳng gồm n khâu và n khớp nối. Mỗi khâu của rô bốt được coi như một tập hợp số lượng hữu hạn các phần tử. Giả thiết rằng độ biến dạng đàn hồi của một phần tử là nhỏ. Hình 1
164 Đề xuất mô hình toán học phục vụ phân tích động lực học cho rô bốt đàn hồi trình bày một sơ đồ tổng quát của một số khâu đàn hồi của rô bốt đàn hồi, được đặt tên là khâu i − 1 và i . Khâu i − 1 kết nối với khâu thứ i bằng một khớp có thể là ba loại khớp sau: khớp quay ( R ), khớp trượt tịnh tiến ( Pa ) và khớp trượt cố định ( Pb ). Khâu i có độ dài li được chia thành các phần tử có độ dài bằng nhau lie . Mỗi phần tử j của khâu i có hai nút. Mỗi nút có hai chuyển vị đàn hồi: chuyển vị T dài và chuyển vị góc. Đối với một phần tử j , pij = u(i )2 j −1 u(i )2 j u(i )2 j +1 u(i )2 j +2  là vectơ chuyển     vị dài và chuyển vị góc. Trong Hình 1, u(i −1) f và u(i −1)s là chuyển vị dài và chuyển vị góc tại khớp nối giữa hai khâu. Nếu khớp i là khớp quay hoặc khớp trượt cố định, thì điểm nằm ở đầu xa của khâu i − 1 là u(i −1) f = u(i −1)(2n +1) và u(i −1)s = u(i −1)(2n +2) . Nếu khớp i là khớp trượt tịnh tiến, thì điểm nằm ở đầu i −1 i −1 xa của phần tử trượt k của khâu i − 1 là u(i −1) f = u(i −1)(2k +1) và u(i −1)s = u(i −1)(2k +2) . Gọi Oi X iYi Z i là hệ tọa độ địa phương gắn liền với khâu i , trong đó gốc tọa độ Oi được cố định vào điểm đầu gần của khâu i và trục X i hướng theo hướng của khâu i . Tương tự, Oi −1X i −1Yi −1Z i −1 được gắn trên khâu i − 1 . O0X 0Y0Z 0 là hệ tọa độ gốc ban đầu được gắn khâu cơ sở (khâu 0). Xem xét hai chuyển động của phần tử thứ j . Chuyển động đầu tiên là "chuyển động cứng" nghĩa là chuyển động của phần tử thứ j không phụ thuộc vào biến dạng đàn hồi của khâu i . Chuyển động thứ hai là "chuyển động đàn hồi " so với "chuyển động cứng", được gây ra do biến dạng đàn hồi của khâu i . Để đặc trưng cho hai chuyển động của phần tử j , hai hệ tọa độ địa phương Oij x ij yij z ij và Oij x ij yij z ij r r r r f f f f được xác lập và thể hiện trong Hình 1. Không xét chuyển động đàn hồi của phần tử j , hệ trục tọa độ Oij x ij yij z ij được xác định, trong đó điểm gốc Oij nằm ở khối tâm của phần tử cứng j , và trục x ij hướng r r r r r r theo phương của khâu cứng i . Tương tự, hệ trục tọa độ Oij x ij yij z ij được xác định cho phần tử j đàn f f f f hồi. Chỉ số “r” trên là viết tắt cho các phần tử cứng và “f” là viết tắt cho các phần tử đàn hồi. Về bản chất hệ trục tọa độ Oij x ij yij z ij có thể thu được bằng cách tịnh tiến và quay hệ trục Oij x ij yij z ij theo chuyển f f f f r r r r ( ) ′ ( ) vị dài wij x dọc theo trục yij , và theo chuyển vị góc wij x quanh trục z ij một cách tương ứng. Ma r r trận biến đổi có thể được biểu diễn như sau: cos wij − sin wij 0 0  ′ ′ (1)   = Aij′ ′ uij  f f sin wij cos wij 0 wij  =  f Hij   0 0 1 0  0 1      0 0 0 1   ( ) lie 4 trong đó chuyển vị dài wij x được tính tại khối tâm, x = 2 là wij x = ( ) ∑ φ (x ) u( )( m =1 m i 2 j −2 +m ) . ( ) Trong hệ trục tọa độ Oi X iYi Z i , điểm rij x trên phần tử j được tính như sau: (x ) =( j − 1) l () T (2) rij + x wij x 0 1  ie  ( ) Trong hệ trục tọa độ Oi −1X i −1Yi −1Z i −1 , điểm r(i −1)ij x được xác định theo quan hệ động học sau: ( ) ( ) r(i −1)ij x = (i −1)i rij x (3) Trong đó,
165 Chu A My1*, Duong X Bien2, Vũ Minh Hoàn3  ( cos ϑ + u i (i −1)s ) ( ) − sin ϑi + u(i −1)s 0 ( χi + ai cos ϑi + u(i −1)s )  (4)  ( (i −1)i =  sin ϑi + u(i −1)s  ) cos (ϑ + u( ) ) i i −1 s 0 u(i −1) f + ai sin ϑi + u(i −1 s ( ) )   0 0 1 0    0 0 0 1    Trong ma trận (i −1)i , các biến khớp và tham số theo ba kiểu khớp được trình bày trong Bảng 1. Bảng 1. Các biến khớp và tham số của khâu Kiểu khớp l ϑ u(i −1)s u(i −1) f a Chú ý i −1 i i R li −1 θi* u(i −1)(2n +2 ) u(i −1)(2n +1 ) 0 (*): biến khớp i −1 i −1 Pa di* γi u(i −1)(2k +2) u(i −1)(2k +1) 0 { k ∈ 1, 2, 3,..., ni −1 } Pb li −1 γi u(i −1)(2n +2 ) u(i −1)(2n +1 ) di* − li i −1 i −1 Phương trình (2) mô tả mối quan hệ động học đối với rô bốt đàn hồi đang được xem xét. Đối với bất kỳ khâu nào, ma trận (i −1)i có thể được xác định bằng công thứ số (3). Do đó, trong hệ quy chiếu O0X 0Y0Z 0 , vị trí của điểm bất kỳ trên khâu đàn hồi đã cho có thể được xác định. Để xác định vị trí và hướng của phần tử đàn hồi j , cần tính toán vị trí và hướng của phần tử thứ j . Trong hệ quy chiếu O0X 0Y0Z 0 , điểm r0rij ≡ Oij và hướng của Oij x ij yij z ij được đặc trưng bởi ma trận biến đổi sau: r r r r r  i  A r0rij  (5) H ∏ (ξ −1)ξ  Hrij = =  0ij r 0ij   ξ =1   0  1  Trong đó, 1 0 0 j − 1 l + x   ie  ( ) (6)  0 1 0 0  Hij =  r  0 0 1 0   0 0 0  1   Do đó, trong hệ quy chiếu O0X 0Y0Z 0 , vectơ vị trí r0ij (điểm Oij ) có thể được xác định như sau: f f r= r0rij + A0ij uij f 0ij f (7) T Lưu ý rằng uij = 0 wij f 0  (xem phương trình (1)). Rõ rang, bằng cách sử dụng các hệ quy chiếu   địa phương và ma trận biến đổi (i −1)i , khối tâm của phần tử bất kỳ trên khâu có thể được xác định bằng phương trình (7). Mối quan hệ động học này rất hữu ích cho công thức động lực học sau này. Bằng cách sử dụng công thức Phần tử hữu hạn - Lagrangian, các phương trình động lực học của robot đàn hồi có thể được viết như sau: ( ) ( M q q + C q, q q + Kq + G q = F    ) ( ) (8) T Phương trình (8) được viết theo vectơ tọa độ suy rộng q =  p1 T p2 T ... pn T  , trong đó  1 2 n 
166 Đề xuất mô hình toán học phục vụ phân tích động lực học cho rô bốt đàn hồi T pi là biến khớp i , và i = u(i )1 u(i )2 ... u(i )(2n +1) u(i )(2n +2)  là vectơ chuyển vị đàn hồi của tất cả   i i   n các phần tử của khâu i . Véc tơ q bao gồm n biến khớp p1, p2 ,..., pn và ∑ (2n i =1 i +2 ) chuyển vị dài và chuyển vị góc của tất cả các phần tử của tất cả các khâu. Do đó, kích thước của q là  n   ( ) n + ∑ 2ni + 2  × 1 . Chú ý rằng ma trận Coriolis C có thể được tính toán bằng cách sử dụng công  i =1  thức Christoffel, các lực và mômen lực tác dụng lên n khớp của rô bốt có thể được biểu diễn dưới dạng T     F = τ 1 0 ... 0 ... τ n 0 ... 0  . Kích cỡ của ma trận suy rộng M, C và K là            2n1 + 2 2 nn + 2   n   n  ( )  n + ∑ 2ni + 2  ×  n + ∑ 2ni + 2  . ( )  = 1= 1 i   i  2.2. Công thức ma trận khối lượng suy rộng Lấy đạo hàm theo thời gian cả hai vế của phương trình. (7) ta được: r0rij  r0fij = + A0ij uij + A0ij uij   f f (9) Lưu ý rằng uij = ATij u 0ij . Vì vậy, f 0 f v 0ij = 0ij ATij u 0ij + A0ij uij ; v 0ij = + ωr ij u 0ij + A0ij uij ; f vr ij + A 0 0 f f f vr ij  0 f 0 f (10) v 0ij = − u 0ij ωr ij + A0ij uij f vr ij  f 0 0 f Trong đó, v 0ij là vận tốc khối tâm Oij của phần tử j trên khâu đàn hồi i . ωr ij là vận tốc góc của phần f f 0 tử j không phụ thuộc vào độ biến dạng đàn hồi của khâu i . Ở dạng khác, vận tốc v 0ij có thể được f biểu diễn dưới dạng ma trận Jacobian và vận tốc suy rộng như sau: f ij( v 0ij =Jr (T ) − u 0ij Jr (R ) + A0ij Jij q  f ij f  ) (11) trong đó ma trận Jacobian được xác định như sau: ∂rr ∂ωr ij ∂uij f (12) Jr (T ) = 0ij , Jr (R ) = 0 and Jij = f . ij ∂q ij ∂q ∂q Ma trận Jr (T ) và Jr (R ) là ma trận Jacobian tịnh tiến và quay của phần tử j mà không phụ thuộc vào ij ij các chuyển vị đàn hồi của phần tử j . Trong khi đó, ma trận Jacobian Jij được tính theo độ dịch chuyển f uốn tương đối của phần tử j và được mô tả: Jij (T ) =(R ) + A0ij Jij f −u 0ij Jr  f ij f (13) Trong đó, Jij (T ) đóng vai trò của một ma trận Jacobian tịnh tiến liên quan đến biến dạng đàn hồi của f phần tử j trên khâu i . Vận tốc dài tuyệt đối v 0ij có thể được viết lại như sau: f = f v 0ij ( J ( ) + J ( ) ) q r ij T f ij T (14) Vận tốc góc tuyệt đối ω 0ij của phần tử j trên khâu đàn hồi i có thể được xác định như sau: f
167 Chu A My1*, Duong X Bien2, Vũ Minh Hoàn3 ω 0ij ωr ij + ωij = f 0 f (15) Trong đó, ( ) T (16) f f ωij = Aij Aij f  Ma trận Jacobian và vận tốc suy rộng q , vận tốc góc ω 0ij có thể được viết lại như sau: f ω 0ij = f ( J ( ) + J ( ) ) q r ij R f ij R (17) Chú ý: ∂ωij f (18) J ( ) = f ∂q  ij R Giả sử, kích thước của một phần tử j là nhỏ và khâu i được chia thành hữu hạn các phần tử, thì động năng của một phần tử j trên khâu đàn hồi i có thể được tính gần đúng như sau: ( ) ( ) 1 T 1 f T (19) Tij  milie v 0ij v 0ij + ω 0ij Iij ω 0ij f f f 2 2 Thế các phương trình (14, 17) vào phương trình (19) ta được: ( J ( ) + J ( ) ) q  ( J ( ) + J ( ) ) q  + 2 ( J ( ) + J ( ) ) q  ( J ( ) + J ( ) ) q  1  r T   r  1 r  T  r  (20) = Tij milie f f f f Iij 2   ij T ij T ij T ij T ij R ij R   ij R ij R Viết lại Tij theo ma trận khối lượng phần tử ta nhận được là: 1 T (21) 2  q Mij q q  Tij = ( ) Do đó ma trận khối lượng phần tử Mij có thể được biểu diễn như sau: ( ) (J ( ) + J ( ) ) + (J ( ) + J ( ) ) I (J ( ) + J ( ) ) T T (22) Mij milie Jr (T ) + Jij (T ) = ij f r ij T f ij T r ij R f ij R ij r ij R f ij R Vì, ni (23) Ti = ∑T j =1 ij 1 T (24) 2  q Mi q q  Ti = ( ) Ma trận khối lượng Mi của khâu i có thể được biểu diễn như sau: ( )( ) ( ) ( ) ni T ni T (25) = ( ) ∑m l Mi q j i ie 1= 1 Jr (T ) + Jij (T ) + ∑ Jij (R ) + Jij (R ) ij f Jr (T ) + Jij (T ) ij j fr f Iij Jij (R ) + Jij (R ) r f Tổng động năng của n khâu của rô bốt được tính như sau: n 1 T (26) = ∑Ti T = i =1 2  q M q q  ( ) Cuối cùng, ma trận khối lượng suy rộng của cơ hệ thu được là: n n ni (27) = M q ( ) = 1 i ∑ Mi q = ( ) ∑ ∑ M (q ) = 1= 1 i j ij 2.3. Công thức ma trận độ cứng suy rộng
168 Đề xuất mô hình toán học phục vụ phân tích động lực học cho rô bốt đàn hồi () φ2 ( x ) φ3 ( x ) φ4 ( x )  , vectơ phần tử hàm dạng được xác T Dựa vào vectơ hàm dạng S = φ1 x   định như sau: T (28)       Sij =  0 ... 0 ST 0 ... 0          i + 2 j − 2 + ∑ ( 2 nu + 2 )   n i −1   u =1     n + ∑ (2ni +2) ×1     i =1  Vì kích thước của Sij bằng với kích thước của q , chuyển vị dài wij x có thể được tính toán và biểu ( ) diễn dưới dạng vectơ tọa độa suy rộng q như sau: ( ) wij x = ST q ij (29) Thế năng đàn hồi của phần tử j trên khâu i được tính là: ( ) 2 (30) 1 lie  ∂ 2w x  Pij = ∫ EI i   dx ij 2 0  ∂x 2    Thế phương trình (31) vào phương trình (32) ta thu được kết quả như sau: (31) 2 1 lie  ∂ 2ST  2 ∫0 Pij = EI i  ij q  dx  ∂x 2    Suy ra: 1 T 1 T (32) q  EI i ∫ UT Uijdx  q lie =Pij =  q Kij q 2  0 ij  2 Trong đó:  ∂ 2ST  (33) Uij =  2  ij  ∂x    Do đó ma trận độ cứng phần tử cho một phần tử j của khâu i có thể được viết như sau: l (34) = = EI i ∫ UT Uijdx Kij ksp  ie ij 0 ij  n   n  ( ) ( Kích cỡ của ma trận Kij là  n + ∑ 2ni + 2  ×  n + ∑ 2ni + 2  . Tổng thế năng đàn hồi của rô bốt ) = 1= 1  i   i  được tính như sau: n ni (35) 1 T = ∑ ∑ Pij P = q Kq = 1= 1 i j 2 Cuối cùng ma trận độ cứng suy rộng có thể được tính như sau: n ni (36) K = ∑ ∑ Kij = 1= 1 i j  n   n  ( ) Ma trận K và Kij có cùng kích cỡ là  n + ∑ 2ni + 2  ×  n + ∑ 2ni + 2  . Các phần tử tương ứng ( ) = 1= 1  i   i 
169 Chu A My1*, Duong X Bien2, Vũ Minh Hoàn3 của ma trận ksp là các hằng số sau:  12 6lie −12 6lie  (37)   EI  6l 4lie −6lie 2lie  2 2 ksp = 3 i  ie lie −12 −6lie 12 −6lie     6lie 2lie −6lie 4lie  2 2   Thuật toán tính toán ma trận khối lượng và ma trận độ cứng suy rộng được thể hiện trong hình 2. Đầu vào của công thức là số khâu n , số phần tử hữu hạn trên khâu n1, n2 ,...nn và các tham số khác của hệ thống rô bốt. 2.4. Điều kiện biên Khi khâu i được nối với khâu trước đó thông qua một khớp quay hoặc một khớp trượt tịnh tiến, giả thiết rằng các chuyển vị đàn hồi tại nút đầu tiên của phần tử đầu tiên của khâu i biến mất ( u(i )1 u(i )2 0 ). Do đó, các phần tử u(i )1 và u(i )2 trong vectơ q bị loại bỏ. Các hàng và cột tương ứng = = trong M, C, K được xóa bỏ. Đây là một điều kiện biên cố định. Trong trường hợp khâu i được nối với khâu trước đó qua một khớp tịnh tiến cố định, thì giả thiết rằng các chuyển vị đàn hồi của phần tử k hiện đang trượt bên trong khớp sẽ biến mất. Giá trị k sẽ thay đổi đối theo thời gian. Đây là một điều kiện biên phụ thuộc vào thời gian được thực hiện trong quá trình phân tích động lực học. Trong trường hợp khâu i được nối với khâu trước qua khớp trượt tịnh tiến, các chuyển vị đàn hồi u(i −1)(2k +1) và u(i −1)(2k +2) của phần tử k trên khâu i − 1 hiện đang trượt bên trong khớp được coi là chuyển vị đàn hồi của điểm ăn khớp giữa khâu i − 1 và khâu i . Đây cũng là điều kiện biên phụ thuộc thời gian. Hình 2. Sơ đồ thuật toán xây dựng ma trận khối lượng và ma trận độ cứng suy rộng
170 Đề xuất mô hình toán học phục vụ phân tích động lực học cho rô bốt đàn hồi 3. Mô hình minh họa Phần này trình bày mô phỏng số chuyển động tịnh tiến của rô bốt đàn hồi hai khâu. Kết quả mô phỏng số được so sánh với kết quả của các công trình trước đó (Usoro [5], Tokhi và cộng sự [14], Al- Bedoor & Almusallam [15], Mahto [16]). Hình 3. Mô hình rô bốt đàn hồi Hình 3 trình bày một rô bốt đàn hồi hai khâu với khâu cuối đàn hồi. Khớp đầu tiên của rô bốt là khớp trượt tịnh tiến và khớp thứ hai là khớp quay. Các thông số của rô bốt được trình bày trong Bảng 2. Bàng 2. Các thông số của rô bốt đàn hồi Chiều dài khâu 1 (m) L1 = 0.2 Khối lượng khâu 1 (kg) m1 = 2 Góc giữa các khâu (rad) γ1 = π 2 Khối lượng tải trọng (g) mt = 100 Chiều dài khâu 2 (m) L2 = 1 Số phần tử của khâu 2 n =5 Thiết diện mặt khâu (m2) A= 9 × 10−5 Mật độ khối lượng của khâu 2 (kg/m3) ρ = 7850 Khối lượng trên chiều dài của khâu 2 (kg/m) m2 = 0.706 Mô đun đàn hồi (N/m ) 2 E= 2 × 1010 Lực và mômen đầu vào tác dụng lên hai khớp tương ứng được cho trong Hình 4 và Hình 5. Hình 4. Lực tác dụng lên khớp tịnh tiến Hình 5. Mô-men trên khớp quay
171 Chu A My1*, Duong X Bien2, Vũ Minh Hoàn3 Hình 6 và Hình 7 cho thấy chuyển vị của hai khớp và Hình 8 mô tả chuyển vị dài ở điểm thao tác cuối của rô bốt. Có thể thấy rằng hình dạng và giá trị của các đường cong mô phỏng được tính toán từ phương pháp mới đề xuất và phương pháp trước đó khá khớp với nhau, điều này xác nhận tính tin cậy về kết quả phân tích và mô hình động lực học được đề xuất. Hình 6. Giá trị khớp tịnh tiến Hình 7. Giá trị khớp quay Hình 8. Chuyển vị dài tại điểm thao tác 4. Mô hình thực nghiệm Mô hình robot đàn hồi 2 khâu được chế tạo thử nghiệm như hình 9 với hai khớp (khớp 1 là tịnh tiến, khớp 2 là khớp quay). Hệ thống bao gồm rô bốt, hai cảm biến flex 4,5inch FSL0095-103-ST, một động cơ GB 37-3530 DC 12V, một động cơ bước NEMA 17 với 200 bước/vòng, điện áp 12V và hai bộ cảm biến góc LPD3806 -600BM-G5-24V-2P-AB. Bảng mạch STM32 F407/417 được sử dụng làm bảng mạch chính của hệ thống điều khiển của rô bốt. STM32F407/417 cung cấp hiệu suất cho lõi Cortex ™ -M4 chạy ở tốc độ 168 MHz. Hình 9. Một mẫu rô bốt đàn hồi phẳng để thử nghiệm: (1) Động cơ DC, (2) Vít dẫn, (3) Bộ mã hóa quay 1, (4) Động cơ bước, (5) Cảm biến, (6) Bộ mã hóa quay 2, (7) khâu đàn hồi. Chương trình điều khiển được viết bằng ngôn ngữ lập trình trong KeilC. Kết quả của các thí nghiệm được hiển thị trong phần mềm Labview. Khớp tịnh tiến được truyền chuyển động bởi động cơ
172 Đề xuất mô hình toán học phục vụ phân tích động lực học cho rô bốt đàn hồi (1) thông qua vít dẫn (2). Khớp quay được dẫn động bởi động cơ (4). Rô bốt hoạt động trong mặt phẳng nằm ngang. Hai cảm biến uốn FSL0095-103-ST có chiều dài 112.24mm được gắn chặt vào bề mặt và hướng về cả hai đầu của khâu đàn hồi. Điện áp đầu vào của các cảm biến là 4.98V , điện trở tối đa của các cảm biến là 110k Ω . Các thông số cấu trúc của rô bốt được đưa ra trong bảng 2, ngoại trừ một số ( ) ( ) () thông số đã được thay đổi như L1 0.005 m ; L2 0.3 m ; mt = 20 g ; A= 2 × 10−5 m 2 . = = ( ) Hình 10. Sơ đồ khối mô hình thực nghiệm Lực và mô-men xoắn tác dụng lên các khớp được mô tả trong Hình 11 và Hình 12, trong đó các giá trị được chuyển thành tín hiệu điện áp và xung cho động cơ. Hình 11. Lực tác dụng lên khớp dùng trong các Hình 12. Mômen xoắn tác dụng lên khớp dung thí nghiệm trong các thí nghiệm Giá trị dịch chuyển của các khớp bằng thí nghiệm và bằng mô phỏng được thể hiện trong Hình 13 và Hình 14. Ở trạng thái ổn định, độ lệch giữa giá trị thực nghiệm và giá trị tính toán là khoảng 3,5%. Hình 13. Giá trị khớp tịnh tiến Hình 14. Giá trị khớp quay Hình 15 trình bày chuyển vị dài tại nút thứ hai của phần tử thứ hai của khâu 2. Hình 16 cho thấy chuyển vị dài ở điểm thao tác cuối của rô bốt. Có thể thấy rằng hình dạng và giá trị của các đường cong mô
173 Chu A My1*, Duong X Bien2, Vũ Minh Hoàn3 phỏng được tính toán bằng cả phương pháp đề xuất, phương pháp trước đó và các kết quả thực nghiệm đều khớp nhau, điều này xác nhận kết quả phân tích và mô hình động lực học được đề xuất là tin cậy. Hình 15. Chuyển vị dài tại nút thứ hai của phần Hình 16. Chuyển vị dài ở điểm thao tác cuối của tử thứ hai của khâu 2 rô bốt 5. Kết luận Trong nghiên cứu này, mô hình động lực học mới đã được nghiên cứu thành công cho trường hợp rô bốt đàn hồi nhiều khâu bao gồm các khớp quay, khớp tịnh tiến cố định và khớp trượt tịnh tiến. Việc sử dụng nhiều loại khớp cho rô bốt nhiều khâu cho phép tối ưu hóa tính linh hoạt trong thiết kế và chức năng của rô bốt, đáp ứng tốt các yêu cầu nhiệm vụ kỹ thuật phức tạp hơn. Ma trận khối lượng và ma trận độ cứng suy rộng được tính toán một cách hiệu quả bằng cách tính tổng tất cả các ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của từng phần tử có cùng kích thước tương ứng. Phương pháp được đề xuất cho thấy hiệu quả và hữu ích hơn, đặc biệt là khi xử lý các hệ thống rô bốt bao gồm cả khâu cứng và khâu đàn hồi. Dựa trên cách tiếp cận Phần tử hữu hạn - Lagrangian, các vấn đề mô hình động lực học của rô bốt được khái quát hóa, có tính đến biến dạng đàn hồi của các khâu. Các phương trình động lực học cho rô bốt đàn hồi mới được giới thiệu trong lĩnh vực rô bốt. Do đó, phương pháp mô hình động lực học mới của rô bốt đàn hồi phẳng nhiều khâu được phát triển thành công. So với các phương pháp được đề xuất trước đây, độ phức tạp về thời gian của công thức giảm đi O (2η), trong đó η là số phần tử trên các khâu. Hơn nữa, nó đã được chứng minh rõ ràng là công thức mô hình động lực học được đề xuất có thể được thực hiện một cách đơn giản và hiệu quả, bằng cách sử dụng các cú pháp tính toán có sẵn trong các môi trường tính toán như MATLAB và Maple. Ví dụ mô phỏng số và thực nghiệm đã được thực hiện để xác nhận tính đúng đắn của phương pháp mô hình động lực học được đề xuất; và nó cho thấy rõ ràng sự phù hợp chặt chẽ về kết quả giữa mô phỏng và thử nghiệm. Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số 107.01-2020.15. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Theodore RJ and Ghosal A (1995) Comparison of the AMM and FEM for flexible multi-link manipulators. The International Journal of Robotics Research 14: 91-111. [2] Dwivedy SK and Eberhard P (2006) Dynamic analysis of flexible manipulators, a literature review. Mechanism and Machine Theory 41(7): 749-777. [3] Jonker B (1990) A finite element dynamic analysis of flexible manipulators. The International Journal of Robotics Research 9(4): 59-74. [4] Naganathan G and Soni AH (1987) Coupling effects of kinematics and flexibility in manipulators. The International Journal of Robotics Research 6(1): 75-84. [5] Usoro PB, Nadira R and Mahil SS (1986) A finite element/Lagrange approach to modeling lightweight flexible manipulators. Journal of dynamic systems, measurement, and control 108(3): 198-205.
174 Đề xuất mô hình toán học phục vụ phân tích động lực học cho rô bốt đàn hồi [6] Al-Bedoor BO and Khulief YA (1997) General planar dynamics of a sliding flexible link. Journal of Sound and Vibration 206(5): 641-661. [7] Wang PKC and Wei JD (1987) Vibrations in a moving flexible robot arm. Journal of Sound Vibration 116: 149-160. [8] Pan YC, Scott RA and Ulsoy AG (1990) Dynamic modeling and simulation of flexible robots with prismatic joints. Journal of Mechanical Design 112(3): 307-314. [9] Yuh J and Young T (1991) Dynamic modeling of an axially moving beam in rotation: simulation and experiment. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control 113(1): 34-40. [10] Ju J, Li W, Wang Y, Fan M and Yang X (2016) Two-Time Scale Virtual Sensor Design for Vibration Observation of a Translational Flexible-Link Manipulator Based on Singular Perturbation and Differential Games. Sensors 16(11): 1804. [11] Korayem MH, Shafei AM and Dehkordi SF (2014) Systematic modeling of a chain of N-flexible link manipulators connected by revolute–prismatic joints using recursive Gibbs-Appell formulation. Archive of Applied Mechanics 84(2): 187-206. [12] Khadem SE and Pirmohammadi AA (2003) Analytical development of dynamic equations of motion for a three-dimensional flexible link manipulator with revolute and prismatic joints. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B (Cybernetics) 33(2): 237-249. [13] Wang X and Mills JK (2006) Dynamic modeling of a flexible-link planar parallel platform using a substructuring approach. Mechanism and Machine Theory, 41(6): 671-687. [14] Tokhi MO, Mohamed Z and Shaheed MH (2001) Dynamic characterisation of a flexible manipulator system. Robotica 19(5): 571-580. [15] Al-Bedoor BO and Almusallam AA (2000) Dynamics of flexible-link and flexible-joint manipulator carrying a payload with rotary inertia. Mechanism and Machine Theory 35(6): 785-820. [16] Mahto S (2014) Shape optimization of revolute-jointed single link flexible manipulator for vibration suppression. Mechanism and Machine Theory 75: 150-160.