Giải phương trình lượng giác 05.05 (Bài tập và hướng dẫn giải)

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

687
lượt xem 115
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giải phương trình lượng giác 05.05 (bài tập và hướng dẫn giải)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải phương trình lượng giác 05.05 (Bài tập và hướng dẫn giải)

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 05-05 (Giải các phương trình lượng giác sau) 1/ 4sin 3 x − 1 = 3sin x − 3cos3 x 2 / sin 3 x + ( 3 − 2)cos3 x = 1 3 / 4sin 3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0 4 / 2sin 5 x + 3cos3 x + sin 3x = 0 5 / 2sin 4 x + 3cos 2 x + 16sin 3 x cos x − 5 = 0 ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 05-05: 1/ 4sin 3 x − 1 = 3sin x − 3cos3x 1 3 1 ⇔ sin 3 x − 3cos3x = −1 ⇔ sin 3x − cos3x = − 2 2 2  π k 2π  x= +  π  π 18 3 ⇔ sin  3x −  = sin  −  ⇔   3  6  x = π + k 2π   2 3 2 / sin 3 x + ( 3 − 2)cos3 x = 1 3x 2t ( 3 − 2)(1 − t 2 ) Coi : t = tan ⇒ + = 1 ⇔ ( 3 − 1)t 2 − 2t + (3 − 3) = 0 2 1+ t 2 1+ t 2  3x  π k 2π  tan =1  x= + t = 1 2 6 3 ⇔ ⇔ ⇔ t = 3  tan 3 x = 3  x = 2π + k 2π   2   9 3 3 / 4sin 3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0(1) * Xét sinx = 0 ⇒ 3cos3 x = ±3 ≠ 0 (1) ⇔ 4 + 3cot 3 x − 3(cot 2 x + 1) − cot x = 0  cot x = 1   π  x = + kπ  1 4 ⇔ cot x = − ⇔  3  x = ± π + kπ  1   3  cot x =  3 Page 2 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 4 / 2sin 5 x + 3cos3 x + sin 3 x = 0 3 1 3cos3x + sin 3 x = −2sin 5 x ⇔ − cos3 x − sin 3 x = sin 5 x 2 2  5π  π ⇔ cos  + 3x  = sin 5 x = cos( − 5 x)  6  2  5π π  π kπ  6 + 3 x = − 5 x + k 2π  x=− + 2 24 4 ⇔ ⇔  5π + 3 x = 5 x − π + k 2π  x = 2π − kπ  6  2   3 5 / 2sin 4 x + 3cos 2 x + 16sin 3 x cos x − 5 = 0 ⇔ 2sin 4 x + 3cos 2 x + 8sin 2 x.sin 2 x − 5 = 0  1 − cos2 x  ⇔ 2sin 4 x + 3cos 2 x + 8sin 2 x.  −5 = 0  2  ⇔ 2sin 4 x + 3cos 2 x + 4sin 2 x − 2sin 4 x − 5 = 0 3 4 ⇔ 3cos 2 x + 4sin 2 x = 5 ⇔ cos 2 x + sin 2 x = 1 5 5  3  cos α = α  5 ⇔ Cos(2 x − α ) = 1 ⇒ x = + kπ ;(k ∈ ¢ );  2 sin α = 4   5 Page 3 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 • BTVN NGÀY 06-05 1/ Sinx − 4sin 3 x + cos x = 0(1) ⇔ Nê ' u : cos x = 0 ⇒ Sinx − 4sin 3 x = ±3 ≠ 0 (1) ⇔ t anx(1 + tan 2 x) − 4 tan 3 x + 1 + tan 2 x = 0 t = t anx t = t anx  π ⇔ 3 2 ⇔ ⇔ t anx = 1 ⇔ x = + kπ ( t − 1) ( 3t + 2t + 1) = 0 2 −3t + t + t + 1 = 0  4 2 / tan x sin 2 x − 2sin 2 x = 3 ( cos2 x + sin x cos x ) Chia VT , VP cho cos 2 x ta có : tan 3 x − 2 tan 2 x=3 ( cos x − sin 2 2 x + sin x cos x ) cos 2 x  t anx = t ⇔ tan 3 x − 2 tan 2 x = 3 ( 1 − tan 2 x + t anx ) ⇔  3 2 t + t − 3t − 3 = 0  π  t anx = t  x = − + kπ   t anx = −1 4 ⇔ ⇔ ⇔ ( t + 1) ( t − 3) = 0  x = ± π + kπ 2   t anx = ± 3   3 3 / Sin 2 x + 2 tan x = 3 Chia VT , VP cho cos 2 x ta có : t = tan x 2 tan x + 2 tan x(tan 2 x + 1) = 3(tan 2 x + 1) ⇔  3 2t − 3t + 4t − 3 = 0 2 t = tan x  π ⇔ ⇔ t anx = 1 ⇔ x = + kπ ( t − 1) ( 2t − t + 3) = 0 2  4 Page 4 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 4 / Cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x Chia VT , VP cho cos 2 x ta có : t = t anx  1 − 2 3 t anx = 2 tan x + 1 ⇔  2 2 2t + 2 3t = 0   t anx = 0  kπ ⇔ ⇔x= π  t anx = − 3  − + kπ  3 5 / 3cos 4 x − 4sin 2 x cos 2 x + sin 4 x = 0 Chia VT , VP cho cos 4 x ta có : t = t anx 3 − 4 tan x + tan x = 0 ⇔  4 2 4 t − 4t + 3 = 0 2  π  x = ± + kπ  tan x = 1 2 4 ⇔ 2 ⇔  tan x = 3  x = ± π + kπ   3 • BTVN NGÀY 07-05 1/ Sinx − cos x + 7 sin 2 x = 1 Coi : t = s inx − cos x;( t ≤ 2) s inx − cos x = 1 ⇒ t + 7(1 − t ) = 1 ⇔ 7t − t − 6 = 0 ⇔  2 2 s inx − cos x = 6  7  π  x = + k 2π   π 1 2  sin  x − 4  =  x = π + k 2π   2 3 2 ⇔ ⇔ π ;sin α = −   π 3 2  x = α + + k 2π 7 sin  x −  = −  4   4 7  π  x = − α + k 2π  4 Page 5 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  π 2 / Sin 2 x + 2 sin  x −  = 1  4 Coi : t = s inx − cos x;( t ≤ 2)  π  x = + k 2π 4  t = 0  π  0  π ⇒ 1− t + t = 1 ⇔  2 ⇔ 2 sin  x −  =  ⇔ x = + k 2π t = 1  4  1  2  x = π + k 2π    3 / Tìm m cho PT : Sin 2 x + 4(cos x − s inx) = m có ng 0 Coi : t = cos x − s inx;( t ≤ 2) ⇒ 1 − t 2 + 4t = m ⇔ m = f (t ) = −t 2 + 4t + 1 ⇒ f '(t ) = −2t + 4 > 0; ∀ t ≤ 2 ⇒ f (− 2) ≤ m ≤ f ( 2) ⇔ −4 2 − 1 ≤ m ≤ 4 2 − 1 4 / Cos2 x + 5 = 2(2 − cos x)(s inx − cos x) Cos2 x + 5 = 4(s inx − cos x) − sin 2 x + cos2 x + 1 ⇔ 4((s inx − cos x) − sin 2 x − 4 = 0 Coi : t = s inx − cos x;( t ≤ 2) ⇒ 4t − (t 2 − 1) − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 3 = 0 π  π  π 1 + k 2π ⇔ 2 sin  x −  = 1 ⇔ sin  x −  = ⇔ x=2  4  4 2  π + k 2π 5 / Sin3 x + cos3 x = 2(sin 5 x + cos5 x) ⇔ Sin3 x ( 1 − 2sin 2 x ) + cos3 x ( 2 cos 2 x − 1) = 0 ⇔ cos2 x ( s inx − cos x ) ( sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x ) = 0 π kπ ⇔ cos2 x = 0 ⇔ x = + 4 2 Page 6 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 • BTVN NGÀY 08-05 1 1/ 2 cos 2 x − 8cos x + 7 = (1) cos x π DK : x ≠ + kπ 2 cos x = 1 ⇒ x = k 2π t = cos x(t ≠) (1) ⇔  3 ⇔ ;k ∈¢  4t − 8t + 5t − 1 = 0 2 cos x = 1 ⇒ x = ± π + k 2π  2 3 2 / 4 cos 2 x + 3 tan 2 x − 4 3 cos x + 2 3 t anx + 4 = 0(2) π DK : x ≠ + kπ 2 ( ) +( ) 2 2 (2) ⇔ 2 cos x − 3 3 t anx + 1 = 0  3 π  cos x = ⇒ x = ± + k 2π 2 6 π ⇔ ⇔ x = − + k 2π ( k ∈ ¢ )  1 π 6  t anx = − ⇒ x = − + kπ  3 6 3/ 3 − cos x − cos x + 1 = 2 ⇔ 3 − cos x = cos x + 1 + 2 ⇔ 4 cos x + 1 = −2(cos x + 1)  −2(cos x + 1) ≤ 0; ∀x  Do :  ⇒ cos x + 1 = 0 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ¢ )  4 cos x + 1; ∀x  Page 7 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  π  π 4 / S in 3 x − cos3 x = cos2 x.tan  x +  .tan  x −   4  4 ( s inx- cos x ) ( 1 + sin x cos x ) = −cos2 x ⇔ ( s inx- cos x ) ( 1 + sin x cos x + s inx + cos x ) = 0   π π  s inx- cos x = 0 ⇒ sin  x −  = 0 ⇔ x = + kπ   4 4 ⇔ t = s inx + cos x( t ≤ 2)   1 + sin x cos x + s inx + cos x = 0 ⇔  t 2 − 1  t + + 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0 ⇔ t = −1   2  π  x = + kπ  π 4  x = + kπ  4 π ⇔ ⇔  x = − + k 2π ; ( k ∈ ¢ ) sin  x + π  = − 1  2      x = π + k 2π  4 2     π  2π  1 5 / Cos 2  x +  + Cos 2  x +  = (s inx + 1)  3  3  2 1 ( ) 1 ( 1 ) 2 2 ⇔ cos x − 3 s inx + cos x + 3 s inx = (s inx + 1) 4 4 2   x = k 2π s inx = 0  1 1 π ⇔ ( 1 + 2sin x ) = (s inx + 1) ⇔ 2sin x − sin x = 0 ⇔  2 2 1 ⇔  x = + k 2π ; k ∈ ¢ 2 2 s inx =  6  2  5π x = + k 2π  6 • BTVN NGÀY 10-05 Page 8 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Bài 1: Tìm các nghiệm thuộc khoảng (2π/5; 6π/7) của phương trình: 3 sin 7 x − cos 7 x = 2 Giải:  5π k 2π  x= + 3 1 2  π π 84 7 PT ⇔ sin 7 x − cos7 x = ⇔ sin  7 x −  = sin ⇔  ;(k ∈ ¢ ) 2 2 2  6 4 x = 11π k 2π +   84 7 5π k 2π 2π 5π k 2π 6π 2 5 2k 6 5 *Khi : x = + ⇒ < + < ⇔ − < < − 84 7 5 84 7 7 5 84 7 7 84 53π ⇔ k = 2 ⇔ x1 = 84 11π k 2π 2π 11π k 2π 6π 2 11 2k 6 11 *Khi : x = + ⇒ < + < ⇔ − < < − 84 7 5 84 7 7 5 84 7 7 84 35π 59π ⇔ k = 1, 2 ⇔ x2 = ; x3 = 84 84 Bài 2: Tìm các nghiệm thuộc khoảng (π/2; 3π) của phương trình:  5π   7π  sin  2 x +  − 3cos  x −  = 1 + 2sin x  2   2  Giải:  π  π  PT ⇔ Sin  2 x + 2π +  − 3cos  x + − 4π  = 1 + 2sin x  2  2  ⇔ cos2 x + 3sin x = 1 + 2sin x ⇔ 1 − 2sin 2 x = 1 − s inx Page 9 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 s inx = 0 ⇒ x = kπ    π  x = + k 2π ⇔ 2sin x − s inx = 0 ⇔  2 1 6 s inx = 2 ⇒    x = 5π + k 2π    6 π 13π 5π 17π ⇔ Do x ∈ ( ;3π ) ⇒ x1 = π ; x2 = 2π ; x3 = ; x4 = ; x5 = 2 6 6 6 Bài 3: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm thuộc khoảng (-π;7π/3): s inx + m cos x = m Giải: cos x = 1  x = 0 và x = 2π PT ⇔ s inx = m(1 − cos x) ⇔  s inx ⇔  m =  m = s inx (*)  1 − cos x  1 − cos x Vậy để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-π;7π/3). Nhưng số nghiệm của (*)thuộc khoảng (-π;7π/3) lại chính là số giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị (C) có phương trình: s inx  7π  y= trên D =  −π ;  1 − cos x  3  cos x − 1 Xét hàm : y ' = < 0 ∀x ∈ D ( 1 − cos x ) 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có: m ≥ 3; m ≤ 0 PT có 4 ng0 ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 10 of 10