Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng giác hóa

Chia sẻ: Abcdef_37 Abcdef_37 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

747
lượt xem 95
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng giác hóa', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng giác hóa

Gi¶i mét sè ph−¬ng tr×nh v« tû b»ng ph−¬ng ph¸p l−îng gi¸c ho¸ THPT CHUY£N LμO CAI giothoimai2003 A. C¬ së lý thuyÕt. Ph−¬ng ph¸p l−îng gi¸c ho¸ ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh víi môc ®Ých thay ®æi h×nh thøc cña bµi to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè thµnh viÖc gi¶i ph−¬ng tr×n l−îng gi¸c. Ta thùc hiÖn c¸c b−íc sau: B−íc 1: L−îng gi¸c ho¸ ph−¬ng tr×nh theo mét sè dÊu hiÖu chñ yÕu sau: ⎧ y = cos α *) NÕu xuÊt hiÖn: x2 + y2 =1 th× ®Æt ⎨ . ⎩ x = sin α ⎧ y = a cos α *) NÕu xuÊt hiÖn: x2 + y2 =a2 th× ®Æt ⎨ . ⎩ x = a sin α ⎧ x = a sin α ⎪ *) NÕu xuÊt hiÖn: x + y +z = a th× ®Æt ⎨ y = a sin β cos α . 2 2 2 2 ⎪ z = a cos β cos α ⎩ *) §Æt Èn phô l−îng gi¸c tuú theo ®iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh vµ ®Æc thï cña ph−¬ng tr×nh( ®Æt Èn phô ®Ó cã thÓ ¸p dông ®−îc c¸c c«ng thøc l−îng gi¸c). B−íc 2: Thùc hiÖn viÖc gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c. B. Bµi tËp vËn dông. Bµi sè 1: Ph−¬ng tr×nh sau cã bao nhiªu nghiÖm: 4x3 -3x = 1 − x 2 (1). Gi¶i §iÒu kiÖn: 1-x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 (*). Víi ®iÒu kiÖn (*), ®Æt x = cost, t ∈[ 0; π ] 2 (**) 1 − cos 2 t ⇔ cos3t = sin t ⇔ cos3t = sint (do (**) ) Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh: 4cos3t – 3cost = π kπ π ⎡ ⎡ ⎢3t = 2 − t + k 2π ⎢t = 8 + 2 ⇔ cos3t = cos( π /2 - t) ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢3t = − π + t + k 2π ⎢t = − π + kπ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ 2 4 ⎡π π ⎡ ⎢t = 8 ⎢ x = cos 8 ⎢ ⎢ ⎢t = 5π ⇒ ⎢ x = cos 5π Do ®iÒu kiÖn (**) nªn ta cã: ⎢ ⎢ 8 8 ⎢ ⎢ 3π 3π ⎢t = ⎢ x = cos ⎢ ⎢ 4 4 ⎣ ⎣ VËy, ph−¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt. 1 + 1 − x 2 = x(1 + 2 1 − x 2 ). (2). Bµi sè 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: Gi¶i §iÒu kiÖn: 1-x ≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1. §Æt x = sint víi t ∈[ - π /2 ; π /2 ] (*) 2 Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (2) trë thµnh: 1 + 1 − sin 2 t = sin t (1 + 2 1 − sin 2 t ). 3t t ⇔ 1 + cos t = sin t (1 + 2 cos t ). ( do (*) nªn cost ≥ 0) ⇔ 2 cos t = sin t + sin 2t ⇔ 2 cos t = 2 sin cos 2 2 ⎡π ⎡ t cos = 0 ⎢t = 6 ⎡ 1 ⎢ ⎢x = 2 . 2 3t t ⇔ 2 cos (1 − 2 sin ) = 0 ⇔ ⎢ ⇒ ⎢ (**). Do ®iÒu kiÖn (*), nªn tõ (**), ta cã: ⎢ ⎢t = π 2 2 ⎢ 3t 2 ⎣x = 1 ⎢sin 2 = 2 ⎢ ⎣ ⎣ 2 VËy, ph−¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x = 1/2 hoÆc x = 1.
x x+ =2 2 Bµi sè 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (3). x2 −1 Gi¶i ⎧x − 1 > 0 π 2 1 ⇔ x >1 (*). Víi ®iÒu kiÖn (*), ®Æt x = , t ∈ (0; ) (**) §iÒu kiÖn: ⎨ ⎩x > 0 cos t 2 1 1 1 1 cos t + =2 2 ⇔ + = 2 2 ( do ®k(**) ). Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (3) trë thµnh: cos t cos t sin t 1 −1 cos 2 t ⇔ sint + cost = 2 2 sin t. cos t (3a) §Æt sint + cost = u , ®iÒu kiÖn: 1 ≤ u ≤ 2 . Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh (3a) cã d¹ng: ⎡u = 2 ⎢ u = 2 (u − 1) ⇔ ⎢ ⇔ u= 2. 2 1 u=− (l ) ⎢ ⎣ 2 2 ⇔ sin( t + π /4 ) = 1 ⇔ t + π /4 = π /2 + k2 π (***) Ta cã ph−¬ng tr×nh: sint + cost = Do ®iÒu kiÖn (**), nªn tõ (***), ta cã: t = π /4 ⇒ x = 2 . VËy, ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm duy nhÊt: x = 2 . 1− 9x 4.33x – 3x+1 = Bµi sè 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (4). Gi¶i §iÒu kiÖn: 1- 9x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 (*). Víi ®iÒu kiÖn (*), ta thÊy: 0 < 3x ≤ 1, ®Æt 3x = cost víi t ∈[0; π /2 ) (**). Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh (4) cã d¹ng: 4cos3t - 3cost = 1 − cos 2 t ⇔ cos3t = sint ( do ®k (**)) ⎡3t = π / 2 − t + k 2π ⎡t = π / 8 + kπ / 2 ⇔ cos3t = cos( π /2 - t) ⇔ ⎢ ⇔ t = π /8 + k π / 2 ⇔⎢ ⎣3t = − π / 2 + t + k 2π ⎣t = − π / 4 + kπ (l ) (***) Do ®iÒu kiÖn (**), nªn tõ (***), ta cã: t = π /8. 2+ 2 Ta cã: cos π /4 = 2cos2 π /8 - 1 ⇒ cos π /8 = . 2 2+ 2 2+ 2 Do ®ã: 3x = cos π /8 = ⇔ x = log3 . 2 2 *) B×nh luËn: Trong ba bµi to¸n ®Çu, ta ®· sö dông ph−¬ng ph¸p l−îng gi¸c ho¸ cho ph−¬ng tr×nh v« tû vµ trong bµi to¸n 4 ( lµ mét bµi to¸n mµ ph−¬ng tr×nh võa ë d¹ng v« tû võa ë d¹ng siªu viÖt) ta còng ¸p dông ®−îc ph−¬ng ph¸p l−îng gi¸c ho¸. VËy th×, ®èi víi ph−¬ng tr×nh ®a thøc ta cã ¸p dông ®−îc ph−¬ng ph¸p nµy hay kh«ng?. C©u tr¶ lêi lµ hoµn toµn cã thÓ nÕu nh− trong ph−¬ng tr×nh ®a thøc cã chøa c¸c biÓu thøc cã d¹ng nh− mét vÕ cña mét c«ng thøc l−îng gi¸c nµo ®ã ( Ch¼ng h¹n: cos3t = 4cos3t – 3cost ; cos2t = 2cos2t – 1;………………. ) Ta minh ho¹ qua mét sè bµi to¸n cô thÓ sau ®©y. Bµi sè 5: Tr×nh bµy ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh: 4x3 - 3x = m, víi m ≤ 1 (5). Gi¶i §Æt m = cos ϕ = cos( ϕ ± k2 π ); B−íc 1: ϕ ϕ V× cosϕ = 4cos3 3 - 3cos B−íc 2: 3 ϕ ⇒ x1 = cos lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (5) 3 2
ϕ ± 2π ⇒ T−¬ng tù: x2,3 = cos lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (5); 3 ϕ ϕ ± 2π B−íc 3: VËy, ph−¬ng tr×nh (5) cã ba nghiÖm: x1 = cos , x2,3 = cos . 3 3 3 4x3 - Bµi sè 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3x = (6). 2 Gi¶i π π ± 12π π π 3 = cos π /6 = cos( π /6 ± 2 π ) = cos ( ) . V× cos = 4cos3 18 - 3cos . Ta cã: 2 6 6 18 π ⇒ x = cos lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (6). 18 π ± 12π ) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (6). T−¬ng tù ta còng ®−îc x2,3 = cos ( 18 π 11π 13π VËy, ph−¬ng tr×nh (6) cã ba nghiÖm: x1 = cos ; x2 = cos ; x3 = cos . 18 18 18 8x( 2x2 – 1)( 8x4 – 8x2 +1 ) = 1 Bµi sè 7: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (7) Gi¶i ViÕt l¹i pt(7) nh− sau: pt(7) ⇔ 8x( 2x2 – 1)[2(2x2 – 1)2 – 1] = 1 Ta xÐt c¸c tr−êng hîp sau: +) TH1: NÕu x ≥ 1, VT > 1 ⇒ pt(7) v« no +) TH2: NÕu x ≤ -1, VT < 0 ⇒ pt(7) v« no +) TH3: NÕu -1 1 . Víi x 1. = Bµi sè 6: x+ . x 2 − 1 12 3
§Æt x = 1/cost, t ∈(0; π /2 ). Khi ®ã h·y ®−a pt vÒ d¹ng: 12(sint + cost) = 35sint.cost. §Æt y = sint + cost , 1 < y ≤ 2 (*), ta cã pt: 35y2 – 24y – 35 =0 ⇔ y = 7/5 (kÕt hîp(*)) ⎧sin t + cos t = 7 / 5 ⎧sin t = 3 / 5 ⎧sin t = 4 / 5 ⇒⎨ ⇔⎨ . ⇒ x = 5/3 hoÆc x = 5/4. hoÆc ⎨ ⎩sin t. cos t = 12 / 25 ⎩cos t = 4 / 5 ⎩cos t = 3 / 5 x 2 + 1 (x 2 + 1)2 Bài số 7: x + 1 + = HD: §Æt x = tgt, t ∈ ( −π / 2; π / 2) \ {±π / 4; 0} . §−a pt vÒ d¹ng: 2 2x(1 − x 2 ) 2x π 1 1 2 1 1 + = ⇔ ... ⇔ sin t = ⇒ t = ⇒ x = . cost sin 2 t sin 4t 2 6 3 4