Giáo trình Cơ học kết cấu (Tập 2: Hệ siêu tĩnh - Tái bản lần thứ 3): Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:166

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 cuốn giáo trình "Cơ học kết cấu - Tập 2: Hệ siêu tĩnh" cung cấp cho người đọc các nội dung: Phương pháp lực và cách tính hệ phẳng siêu tĩnh, phương pháp chuyển vị và cách tính hệ phẳng siêu động. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Cơ học kết cấu (Tập 2: Hệ siêu tĩnh - Tái bản lần thứ 3): Phần 1

G S. TS. L Ê U T H Ọ T R ÌN H C ơ HỌC KÉT CẤU T Ậ P II Hê siêu tĩnh (Tái bản lần thứ 3) N H À X U Á T BẢN K H O A H Ọ C VÀ K Ỷ T H U Ậ T H À N Ộ I - 2014
Phương pháp lực và 5 cách tính hệ phẳng siêu tĩnh 5.1. Khái niệm về hệ siêu tĩnh - Bậc siêu tĩnh A . Đ in h n g h ĩa T rons tập I đã eiới thiệu cách tính hệ tĩnh định tức là nhữna hệ trong đ( chi cẩn dune các phươna trình càn bàns tĩnh học c ũ n s đu để xác địnl phan lực và nội lực. Trên thực tế. thườns 2ặp nhữna hệ trons đó nếu ch sư dụ n a các phươns trình càn bans tĩnh học khỏns thòi thì chưa đủ để xá< định các phàn lực và nội lực. Đẽ tính các hệ đó cần bổ sung các phươn! trình biểu thị điẻu kiện biến dạna. Như vậv: H ệ được gọi là siêu ffnh n ếu trong toàn hệ hoặc trong m ộ t vài phẩi cùa h ệ ta kh õ n g th ể ch ì dùng các phương trình cân bàng tĩnh học đt xác định tất cả cá c phản lực và nội lực. Hệ siêu tĩnh là hệ bất biến hình và có liên kết thừa. Danh từ liên kết thừa d ù n s ờ đày chì là quy ước. Cần hiểu liên kết thừa 1; nhữns! liên kết k h ò n2 cần thiết cho sự cáu tạo hình học của hệ nhưna vẫi cần cho sự làm việc của cò n s trình. D H Hình 5.1 Hình 5.2 V í dụ. dầm hai nhịp trẽn hinh 5 .la có bòn liên kết loại một nhưns ta ch có ba phươn2 trình cân bans tĩnh học nên chưa đủ đế xác định bốn phả
lực trong bốn liên kết, vậy dầm đó là siêu tĩnh. Dầm này có một liên ket thừa là một trong ba liên kết thanh thảng đứng. Nếu loại một liên kêt thưa như trẽn các hình 5.1b, c. d thì dầm vẫn bất biến hinh nhưng tính chat lam việc sẽ khác đi. Đối với hệ cho trẽn hình 5.2 ta thấy: phần đầu thùa AS là tĩnh dinh V I co thể chi dùng các phương trình cân bằng tĩnh học cũng đù đế xác đinh nọi lực trong đó; phần BCD là siêu tĩnh vì với ba phương trình cân băng tĩnh học chưa đù để xấc định bốn phản lực B, c, D và H. do đó cũng khóng xác định được nội lực trona phần nàv. Vậy, nếu xét toàn bộ thì hệ này là siêu tĩnh. B. T ín h ch ấ t Đối chiếu với hệ tĩnh định, hệ siêu tĩnh có những tính chất sau: 1) Chuyển vị, biến dạng và nội lực trong hệ siêu tĩnh nói chung nhỏ han trong hệ tĩnh định có cùng kích thưởc và tải trọng. Bảng 5.1 cung cấp kết quả tính độ võng ở giữa nhịp và mômen uốn lớn nhất trona dầm tĩnh định một nhịp V Ớ I dầm siêu tĩnh một nhịp có hai đầu ngàm. Bảng 5.1 1 Dẩm jL ijjU -H iiiJ , ỉ)m> ~~r ' m frr (Ị Er — Ị) , 1 : Độ võng ờ giữa nhịp 5 qí4 1 ql4 ymax = 384 El Giá tri mòmen uốn ql2 . . . .. ql2 lớn nhất tai giữa nhip M- — tại ngàm M =~ 8 Qua nhữno sỏ liệu trẽn ta thấy chuyển vị và nội lực trong dầm siêu tĩnh nhò hơn trona dầm tĩnh định khá nhiều. Bời vậy dùna hệ siêu tĩnh sẽ tiết kiệm được vặt liệu hơn so với hệ tĩnh định tươna ứna. Đó là ưu điểm chính của hệ siêu tĩnh. 2) Trong hệ siêu tĩnh phát sinh các nội lực do sự thay đổi nhiệt độ sư chuyển vị các gối tựa. sự ch ế tạo và lắp rắp không chinh xác gãy ra 4
Đ ẽ thảv rõ tính chảx nàv. ta x á m ột vài ví dụ: • So sánh dầm tĩnh định mộc nhíp (hình 5.3a) với dầm siêu tm h mộf nhịp (hìn h 5.3b) c ù n s chịu sự thav đổi nhiệt độ khôDs đều. ở trẽn là ĩ! ở dưới là f ' với I'> t] ta thảv: đuới tác d u n s cúa nhiệt độ. d im C C khuynh huớna bị ưõn co n s, nhưns tron 2 dám tĩnh định các liên kẽì khòne neãn cán bién dạn£ của dầm nẽn khò n s phát sinh phản lực V2 Dội lục. n su ạ c lại tro n s d im siêu ũnh. các liên kết (n s à m ) cán trc khống cho phép d im biến d ạ n s tự do. do đó phát sinh phản lục và nội lục. ill Ị d) " X bế bi ằ t. L_\ 1 T-*' r i X Kinh 5.3 Hình 5.4 • Khi liên kết có chuvển \ ị cưỡns bức (bị lún I dầm tĩnh đinh cho trẽn hình 5.4a bị n sh iẽn e di. các liên kếi k h õ n s n sã n căn và cho phép chuyển VI tu do nên khôns phái sinh nội lực. N su ọ c lại. khi 2ỐÌ p*háj của dầm siêu tĩnh trẽn hình 5.4b bị lún.£ÕÌtựa eiữa k h ỏ n s cho phép dám chuyển vị tự do như trườn £ hợp trên. dầm bị uốn cong theo đườne đũr nét. do đó ư o n s dám sẽ phát sinh nội lục. • Khi chẽ tạo. ã á sử chiều dài của thanh CD trcms bệ siêu tĩnh trẽn hình 5-5 bị c ĩ* ” nsãn so vói chiều dài thiẽt kẽ m ột đoạn hãng _1 Sau khi lãp ráp. ihanh CD bị A Q u dãn ra đ ó n s thời d im AB cữns bị uõn — d L COD2. do đ ó tro n s bẽ tồn tai các nội luc ....... . _ ' Hình 5.5 han đàu. Khi ửuẽi kề kẽt cáu siẽu tĩnh ta cán đặc biệt lưu V đến nhữn£ nsuvẽn nhản gãy ra nội lực kể tiên. Đ ôi khi có thể sử dựns tính chát nàv để tạc sẩn trong bẽ những nội lục và biên d ạn s ban đầu nsuợ c chiều vói nội lực và biên dạng do tải trọ n s 2ảv ra. Biện pháp nàv làm cho sạ phin phõì nội lực trong các cảu kiện của c õ n s trình đưọc hợp K hơn và do đó tiẻi kiệm đưcc vật liệu.
3) Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vật liệu và kich thườc của tiêt chen trong các thanh. Như sau này sẽ thấy, đế tính hệ siêu tĩnh ta phái dựa vào điều kiện bien dạng mà biến dạng lại phụ thuộc các độ cứng EI, EA... nên nội lực tronS hệ siêu tĩnh cũng phụ thuộc El, EA của các thanh. Tính các hệ siêu tĩnh thường phức tạp hơn tính các hệ tĩnh định. Có nhiêu phương pháp tính hệ siêu tĩnh. Hai phương pháp cơ bán là: H Phương pháp lực (được đề cập trong chương này). í ❖ Phương plĩáp chuyển vị (được đề cập trong chương 6 ). c . B ậ c s iê u tĩn h Trong phạm vi những giá thiết được chấp nhận trong cơ học kêt cấu, ta có thế định nghĩa bậc siêu tĩnh như sau: Bậc siêu tĩnh của hệ siêu tĩnh bằng s ố liên kết tương đương loại một ngoài s ố liên kết cần thiết đ ể cho hệ bất biến hình. Ta có thể dùng các công thức (1.2), (1.3), (1,4), (1.5) liên hệ giữa số lượng các miếng cứng và số lượng các liên kết đã nghiên cứu trong chương 1 để suy ra bậc siêu tĩnh của hệ. Ví dụ, từ (1.3) ta suy ra cõng thức xác định bậc siêu tĩnh n cúa hệ nối với trái đất là n = T + 2K + 3H + c -3D , trong đó D - số các miếng cứng tĩnh định (miếng cứng có chu vi hớ). Ngoài ra còn có thể thiết lập công thức đơn giản hơn để xác định bậc siêu tinh. aị h) Trước khi thiết lập ta khảo sát một ví dụ. Xét một khung có chu vi hớ (hình 5.6a). Khung này là tĩnh c) d) định, vì ta có thê chi sứ dụng các phương trình cân P, bằng tĩnh học đế xác định nội lực tại một tiết diện bất kỳ sau khi thực hiện mặt cắt Hình 5 0 như trên hình vẽ. Nếu đặt thèm vào chu vi hớ đó một liên kết loại một (thanh), hệ sẽ thừa
mội liên kẽt (hình 5 .6bl. V ặv hệ này có bậc siêu tĩnh hãng một. Nếu đặt thêm vào chu vi hỡ đó mội liên kết loại haĩ (khớp) hệ sẽ thừa hai liên kẽt tươns đươne loại một (hình 5.6c). \ ậv hệ nàv có bậc siêu ũnh hãne hai. Nếu đặt thèm vào chu vi hỡ đó m ột m õĩ hàn (liên kết loại ba) hệ sẽ thừa ha liên kẽt tươns đươne loại m ột (hình 5.6d). V ậy hệ này có bậc siêu tĩnh bans ba. Qua ví dụ trên ta có kết luận sau: Môt chu w kin có bâc siêu ữrth bàng ba. n ếu thêm vào chu vi kin đó m ót khờp đơn giàn thì bậc siêu ữnh giảm xuống m ộ t đon vị. Đe thiẽt lập cò n a thức xác định bậc siêu tĩnh, ta giả thiết tron2 hệ siêu lĩnh có l chu vi kin và Ả’ khớp đon aiản. Theo nhận xét trẽn, cứ mỗi chu vi kin có bậc siêu tĩnh hãn2 ba nên hệ có V chu vi kín sẽ có bậc siêu tĩnh là -•'l\ Nêu thêm m ột khớp đơn aiản thì bậc siêu tĩnh eìãm xuòna một đơn vị. do đó K khớp đơn aiản làm bậc siêu tĩnh của hệ eiàm K đơn vị. V ậv bậc siêu tĩnh n của hệ được xác định iheo cõna thức: n = S V -K . (5.1) Vỉ du 5.1. Tìm bặc siêu tĩnh của hệ trên hlnh 5.7. Hệ này có v = 4 và K= 3. Do đó /J = 3.4- 3 - 9. Vi du 5 J . Pưn bậc siêu tĩnh của hệ trên hình 5.8. Hệ này có ba chu vi kin. Đẽ tinh sô khớp K ta cán chú Ý: các khớp A. c là khớp đen giản nên mỗi khớp tinh bàng một đơn vị: khớp B là khớp phức u p nên phái tính bẳns độ phức lạp của nó và bane 4 — 1— Yậv tống sò khỡp đơn giản là K - 5. Bặc siêu tĩnh n = 3.1 - > = 4
Chú thích: Khi sử dụng công thức (5.1) cán quan niệm trái đát lá miếng cứng hở. Ví dụ, khi xét hệ trên hình 5.9 thì số chu vi kín trong trường hợp náy bằng 3 chứ không phai bằng 4 vi phải quan niệm trái đất là miếng cứng hở như trên hình vẽ. Bâc siêu tinh cua hệ này bằng n = 3.3 -0=9. 5.2. Nội dung phương pháp lực và cách tính hẹ sieu tĩnh chịu các nguyên nhân: tải trọng bất động, thay đổi nhiệt độ, câu tạo chiểu dài không chính xac, chuyển vị gối tựa A. N ộ i d u n g p h ư ơ n g p h á p lực Để tính hệ siêu tĩnh, ta không tính trực tiếp trẽn hệ đó mà tính trên một hệ thay thế khác cho phép dễ dàng xác định nội lực. Hệ thay thế này suy ra từ hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách loại bớt các liên kết thừa gọi là hệ cơ bản. Tất nhiên, để bảo đảm cho hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh đã cho ta cần phải bổ sung thêm các điều kiện phụ. Đó là nội dung tóm tắt của phương pháp lực. Hệ cơ bản của phương pháp lực phải là hệ bất biến hình suy ra từ hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách loại bỏ tất cả hay m ột s ố liên kết thừa. Nếu loại bỏ tất cả các liên kết thừa thì hệ cơ bản là tĩnh định còn nếu chỉ loại bỏ một số liên kết thừa thì hệ cơ bản là siêu tĩnh có bậc thấp hơn. Điều quan trọng là hệ cơ bản phải bất biến hình và cho phép ta xác định được nội lực một cách dễ dàng. Bởi vậy trong đa sô trường hợp, ta thường dùng hệ cơ bản tĩnh định. a) Đối với hệ siêu tĩnh trên hình 5.1 Oa, ta có thể chọn \p hệ cơ bản theo nhiều cách khác nhau. Trên hình ~~^77T B J /W /7} * T 77 /77777T 5.10b, c, d giới thiệu ba cách chọn hệ cơ bản tĩnh định cho hệ siêu tĩnh ở c) d) hình 5.1 Oa. Để thiết lập các điều kiện phụ ta cần so sánh sự /777 6 777 khác nhau giữa hệ siêu tĩnh đã cho (hình 5.1 Oa) Hình 5.10 với hệ cơ bản (giả sử 8
dìina hệ cơ bản 5.10b). Ta nhận thấy: Tại các vị tri loại bỏ liên kết (A và C): _ trong hệ siêu tĩnh nói chung có các phản lực còn trong hệ cơ bản không có; - t r o n g hệ siêu tĩnh, chuyển vị th eo phương CŨ3 các liên kết bị loại bỏ đều b ằn g không; trong hệ cơ bản. các chuyển vị n ày có th ể tồn tại. Như vậy. m uốn cho hệ cơ bản làm việc aiò n s hệ đã cho. ta cần: • Trong h ệ cơ bản. đặt các lực X i, X 2 .....X n tương ứng với vị trí và phương của các liên k ế t bị loại bỏ. ịp / n X 3 Nhữna lực này chưa biết và siữ vai c x 2 A trò ẩn sô (hình 5.11). V ì các ẩn số là s /^5 77? y lực (lực tập tru n s hoặc mòm en tập X- trnna) nên phươna pháp này m ans Hình 5.11 tên là phươììo pháp lực. Thiết lập điều kiện: chuyển vị trong h ệ cơ bản tương ứng vởi vị trí và phương của các liên kết bị loại bỏ bàng không. N ói khác đi. chuyển vị ư o n s hệ cơ bán tươns ÚT12 với v ị ư í v à phươna của ẩn sò X j. X ; ..... X: do các lực X /. X j.....Xn và do các nauỵên nhân bẽn nsoài (lải trọna p. sự thav đổi nhiệt độ r. sự ch ế tạo chiều dài các thanh khòna chính xác J . sự chuyển vị 2ối tựa ỉ ) sãv ra phải hãn 2 khôn2 . Nếu hệ có bậc siêu tĩnh là n -và hệ cơ bản tĩnh định thì ta có n điều kiện: A \,'V V- ..Vi. -V .p .i.± .Z i~ 0 vớ> k = l , 2 .....n. (5.2) Các điều kiện (5.2) là các phương trình cơ bán cùa phương pháp lực. Hệ phương trình này nshiệm đúne với tát cả các hệ tuân theo cũ n s như khỏna tuàn theo nauvèn 1Ý cộna tác dụns. N ới hệ có bậc siêu tĩnh là n ta ứúết lập được n phươna ưình cơ ban đu đè xác định n ẩn số Xj. X: .....Ai,. Sau khi tìm được các lực Xj. Aj......X,, ta xem chún2 như các n so ại lực tác dựnọ trên hệ cơ bản (hình 5.11). Lúc này các lực tác d ụ n s trẽn hệ cơ bản đều đã biết, ta có thể dễ dàna tìm được nội lực và biến dạna tro n s hệ cơ bàn. đó chính là nội lực và biên d ạn s trons hệ siêu tĩnh đã cho bời vì các lực Xi đã thóa m ãn hệ phươns ư ình cơ b in tức 9
là đã thỏa man điều kiện làm việc như nhau giữa hệ cơ bán với hệ đa cho. Chú ý: 1) Khi chọn hệ cơ bản cho hệ siêu tĩnh chịu các chuyển vị cưỡng bức z tại các gối tựa ta cần chú ý: • Đối với liên kết thừa không có chuyển vị cưỡng bức: có thể loại bo va Đối với liên kết thừa có chuyển v| cưỡng bức ta quy định: chỉ đựợc phép cắt và thay thế bằng cặp lực Xk ngược chiều nhau mà khong được phép loại bỏ. Thật vậy, giá sứ xét b) cì hệ siêu tĩnh cho trẽn A 5 tx , hình 5.12a nếu chọn hệ cơ bán bằng cách 'ỹj$*7Ta I 7T a X, loại bỏ liên kết A có chuyển vị cưỡng bức /7T 777 T À77f77T /7TƯT 7 (hình 5.12b) thì điều Hình 5.12 kiện biến dạng theo phương của ẩn số X/ sẽ khác không. Lúc này chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của X/ do các ấn số X và do chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa gây ra sẽ có giá trị bằng chuyển vị cưỡng bức tương ứng A XI
cắt các liên kết tựa có chuyển vị cưỡng bức, c á c liên kết đàn hồi hoặc c ác th an h hai đầu khớp và thay th ế bằng các cặp lực X k ngược chiều nhau m à kh õ n g được p hép loại bỏ. c) IP 'n Hình 5.13 Thật vậy, với hệ trẽn hình 5.13a: nếu chọn hệ cơ bàn bằng cách loại bỏ thanh căng A B (hình 5.13b) thì phương trình cơ bàn biếu thị chuyến vị tương đối giữa A và B theo phương AB, chuyên vị này khác không vì tron2 thanh A B có biên dan2 dọc trục: nếu chọn hẹ cơ bán bàns cách cắt lhanh AB (hình 5.13c) thì chuyển vị tương đổi giữa hai điếm m và n bằn° không và phưcms trình cơ bàn luôn bằn2 khỏng. Cũng lập luận tươns tự. với hệ trẽn hình 5.14a: nếu chọn hệ cơ bản bẳng cách loại bò các liên kết đàn hổi tại m và /í (hình 5.14b) thì " '■ £ 1 1 m j7T X phương trình cơ bản biểu thị n chuyên vị tương ứn2 tại m và lì sẽ ĩx 2 ^ khác khổng vì liên kết đàn hồi có biến dạng: nếu chọn hệ cơ bán ’ n tx,_____ bang cách cắt các liên kết đàn hồi Ị X, /7&77 như trên hình 5.14c thì chuyển vị tưitng đối tươns Ú 12 giữa hai tiết T diện ớ hai bèn m (m. m ’) và 11 (lì, n ') bằna không và phương trình cơ Hình 5.14 bản luôn bằng không. B . H ệ p h ư ơ n g tr ìn h c h ín h tấ c Trong giáo trình này ta chỉ nghiên cứu nhữns hệ thoả mãn điều kiện áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, với nhữno hệ này ta có thế biểu thị phươns trinh cơ bản thứ k của hệ (5.2) dưới dạng: A \ ktXi.X2. ...V .X„.P.!.J.Zi = Ax kx , + a xlx : + - + AXkXk + -- + AXkX„ + * + A ỵkp + A ỵk, + A ỵkj + A ỵ k2 = 0. II
Để cho gọn, ta bỏ bớt các chỉ sô' X \ i + 4t2 + —+ + —+ 4k« + Akp + Akl + AkA + 4t2 = 0. trong đó: ả kin - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương cùa lực Xii do lực Xn gây ra trong hệ cơ bản; Aicp, Akh 4t/i, Akz - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực Xk do riêng tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chế tạo chiều dài các thanh không chính xác, chuyển vị gối tựa gây ra trong hệ cơ bản. Nếu gọi ôkm là chuyển vị tương ứng với vị trí và phương cùa lực Xk do riêng lực Xm= 1 gây ra trong hệ cơ bản, ta có: 4b» = Shm Xm- Do đó phương trình cơ bản thứ k có dạng: Ski X] + Ổ X2 + ...+ ôkk Xk + ...+ ổkn X, + Akp + Aici + AkA + 4 tz = 0 . k2 Với hệ có bậc siêu tĩnh bằng n sau khi lần lượt cho k = 1, 2,..., n ta sẽ có hệ n phương trình cơ bản của phương pháp lực như sau: ổi/Xi + Õ12X2 + ...+ ỏikXk + ...+ SinX,, + A/p + Alt + Aịa + A/Z = 0 ; Ổ 1X1 + Ổ 2 22X2 +...+ Õ2kXk +•■■+ SỉnX,, + AĩP + A21 + Á 2 A +^ 2Z = 0; (5.3) Ổk/X/ + ổk2Ẩ2 + ...+ SkkXk + ...+ ỏknXti + A p + A i + A a + Akz = 0; ô„iXi + Ổ112X2 + ...+ SiikXk + ...+ S/uiX, + A„p + Ant + And + AIIZ = 0 . Hệ phương trình (5.3) gọi là hệ phương trình chính tắc của phương pháp lực. Các hệ số ổkm (với k * m) cùa phương trình chính tắc gọi là hẽ số phu. Các hệ số Skk gọi là hệ s ố chính. Các số hạng 4tp, 4t/. , Af:z gọi là sô' hạng tự do. Ý nghĩa vật lý của các hệ số và số hạng tự do cùa hệ phương trình (5 3 ) là các chuyển vị, do đó để xác định chúng, ta cần vận dụng còn° thức chuyển vị đã biết trong chương 4. 1. Cách tính các hệ số phụ và hệ số chính Trong trường hợp hệ có các liên kết đàn hồi, áp dụng cõng thức chuvển vị (4.33), sau khi thay Akm = ỏkm Xtn . ta được: 1 2
4. - z í ^ s ♦1 í ^ s +1 ♦x*„ i t Chia cá hai vế cho Xm ta CÓ: 1 ĩv QkQm ds + y R RJ> " A .- I J r ^ - L . 1 GA y 1 Cj 1 (5.4) Tương tự: ị II Í ^ X j Í ® - X J (5.5) ưong đó: M k , N k . Qk .R )k - các biểu thức giải tích của m òm en uốn. Iực dọc. lực cắt và phản lực tại sối đàn hồi thứ J do riêng lực khòna thứ nauyèn X t= ỉ gây ra tron 2 hệ cơ bán: M m . N m ,O m . Rp„ - cũ n 2 là nhữna đại lượns trẽn nhưno do riẽns lực khòna thứ nguyên x ,!= l gãy ra trona hệ cơ bàn: Cj - hệ sô' đàn hồi tại aối đàn hồi thứ j. Dấu tổng của các số h ạ n s cuối được tính theo sỏ' lượns liên kết đàn hồi. Đỏi với những trườnơ hợp có thè áp d ụ n s cách "nhàn biểu đổ" theo Vêrẽxaghin. ta cổ:_________________________________________ & « = ( M k ) ( M m ) + ( N k ) { Nm ) + ( Q k ) ( Qm }+ X Rjk ^ : i _ c ! (5.6) ổ u = { ĩ ĩ k X M t ) + { N k ) ( ĩ ĩ t ì + ( Q k X Q k ì + ỵ m ;k^ j L . R [ ___________________ ________________ J _ _ _± c trons đó: ( M k ). ( N k ). ( Ok ) - các biểu đồ nội lực do riẽna lực khòna thứ nsuvẽn Xk=l gày ra ư o n 2 hệ cơ bản: ( M m ), ( N m ). ( Qm ) - các biểu đồ nội lực do riẽns lực khôns thứ nguyên Xin=I gàv ra trona hệ cơ bán. Từ các côna thức trẽn ta thấy luôn luôn có: ổ k k >0 :
vì trong cóng thức xác định ồkt (5.5). các hàm số dưới dấu tích phán đeu là bình phương của nội lực nên luón luón dương còn trong cõng thưc xác định Skm (5.4) thì các hàm số đó có dấu bất kv. Ngoài ra theo đinh lý tương hỗ của các chuvển vị đơn vị, ta có: ỏkjn=Smk . ,5 -8) 2. Cách tính các số hạng tự do Ta iắn lượt xác định số hạng tự do tưcmg ứng với các nguvẽn nhàn sau: a) Tải trọng Akp là chuvến vị tương ứng với vị trí và phương cùa lực Xi. do riêng các tải trọng gây ra trong hệ cơ bản. Do đó khi áp dụng cõng thức chuyên vị (4.33) cho trường hợp này ta chi cần thay chỉ số m bằng chi số p . Ngoài ra đế nhãn mạnh rằng chuvến vị Au> là do tái irọna gây ra trong hệ cơ bàn. ta thêm chí số o vào các biểu thức nội lực và phan lực. V' rNhNp r Qt-Qp I D - 1 *X (5.9) trong đó Mp. Af , ỢỊi, «ỊP - biểu thức giải tích cùa mómen uốn. lực dọc. p lực cắt và phán lực tại gối đàn hồi thứ j do riêng tải trọng gây ra trong hộ cơ bản. Trong trường hợp có thê áp dụng cách "nhân biểu đồ" ta có: 4w>= ( M L) ( M p ) + ( N k )(N°p)+ ( ã ) ( ỡ ^ + X ^ — ì f . (5.10) Irong đó ( M"p), ( N p ), ( Q p ) - các biểu đồ nội lực do riéng tài trọng gãy ra trong hệ cơ bản. Chú ý: Trong những cấu kiên chiu uốn của hệ, ta thường có thể bỏ qua ảnh hưởng của lực doc và lực cắt so VỚI ảnh hưởng của mòmen uốn khi xác đinh các hẽ số và số hang tự do của hệ phương trinh chính tắc. b) Thay đổi nhiệt độ Au là chuyến vị tương ứng với vị trí và phương cùa lực Xí. do sư thav đổi nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bán. Nếu hệ cơ bán là tĩnh định, sư thav đổi nhiệt độ khỏng gây ra phản lực và nội lực trong hệ tĩnh định nén t"a xác đinh Alt, theo (4.30):
4 =z tf ff w+X - v Trong trường hợp hệ gồm những thanh thảng có tiết diện khõna đòi trong từng đoạn thanh và nhiệt độ thay đổi như nhau dọc theo chiều dài của từng đoạn thanh, ta dùng cóng thức (4.31) để xác định _ u ,: 4t/ = X f - Um ) O ị M k ) + ỵ ^ a tcmn < N k ). (5.11) trong đó C ì(M k ) và D ( N k ) - diện tích biếu đồ m ôm en uốn và biểu đổ lực dọc do riêng lực Xt= I gây ra trons hệ cơ bán. Các ký hiệu còn lại cũna có V nohĩa như đã chi dẫn khi thiết lập cõns thức (4.31). c) C hế tạo chiều dài các thanh không chinh xác 4 u là chuyển vị tương ứng với vị trí và phươna cùa lực Xk do sự chẽ tạo chiều dài các thanh khòng chính xác gâv ra trons hệ cơ bản. Nêu hệ cơ bán là tĩnh định, nguvên nhàn này khôna gây ra phán lực và nội lực trong hệ tĩnh định nên ta xác định 4 u theo (4.32): 4u= IX -4 . (5.12) trong đó: 4 - độ dôi cùa thanh thứ / khi thanh được chế tạo dài hơn chiều dài cần thiết theo thiết kế; Nlk- lực dọc trong thanh thứ / do riêng lực Xk=I gày ra trong hệ cơ bản tĩnh định. Dấu tổng được thực hiện theo số lượns các thanh có chiều dài chè tạo không chính xác. d) Chuyển vị gối tựa Akz là chuyển vị tương ứng với vị trí và phươns của lực Xii do chuyến vị cưỡng bức z tại các liên kết tựa gây ra trong hệ cơ bán và được xác định theo (4.25). Trong trường hợp hệ cơ bàn là tĩnh định, nsuyèn nhân này không gây ra phàn lực và nội lực trona hệ tĩnh định nèn theo (4.29). ta có: (5.13) 15
trong đó: Zj - chuyển vị cưỡng bức cho biết tại liên kết thứ j cùa hệ siéu tĩnh; Rjk - phản lực tại liên kết j do lực Xk=J gây ra trong hệ cơ bản tĩnh định. Dấu tổng được thực hiện theo số lượng các liên kết có chuyên vị cưỡng bức. c . C ách tìm n ộ i lực và biến d ạ n g trong hệ siéu tĩn h Khi tính hệ siêu tĩnh ta phải xác định được nội lực và biến dạng tại bất kỳ vị trí nào của hệ. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu cách xác định các đại lượng đó sau khi đã biết giá trị của các ẩn Xj, X2 .... X,,. 1. Cách tính trực tiếp Sau khi giải hệ phương trình chính tắc để tìm các ẩn X/c, ta xem các lực này như ngoại lực tác dụng trên hệ cơ bản với giá trị vừa tìm được. Lúc này, có thể thay việc tính nội lực và biến dạng trên hệ siêu tĩnh bằng cách tính nội lực và biến dạng trên hệ cơ bản chịu các nguyên nhân bên ngoài và các lực Xk. Vì hệ cơ bản thường là tĩnh định nên có thể sử dụng các phương pháp đã biết để xác định các đại lượng cần tìm. 2. Cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng Giả sử cần tính đại lượng s tại một vị trí bất kỳ của hệ. Đại lượng s có thể là phản lực tại một gối tựa nào đó hay mômen uốn, lực dọc, lực cắt, chuyển vị tại một tiết diện nào đó. Theo cách tính trực tiếp nói trên, ta thay việc tính đại lượng s trong hệ siêu tĩnh bằng cách tính đại lượng s trong hệ cơ bản nhưng do các nguyên nhân bên ngoài và các lực Xk cùng đổng thời tác dụng gây ra. Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta có thể viết: s = S(X/,X2... ,X„.P.I.A.Z) = SX/ + s x2 + -- + s x„ + S P + s ? + S A + S z - trong đó SX/ ,S ỵ 2 ,-.,S Xịi , s ị , s ° , S ° A , Sz là giá trị của đại lượng 5 lần lượt do riêng từng nguyên nhân X/, X2 ,..., x,„ p, t, A v à Z gáy ra trong hệ cơ bản. Nếu gọi s k là giá trị cùa đại lượng 5 do riêng lực Xk = 1 gáy ra trong hê cơ bản ta có: 16 ■" " ’
SX l = S t X k . (5.14) Thay (5.14) vào biểu thức trẽn ta được biểu thức tổng quát để xác định nội lực và chuyển vị irong hệ siêu tĩnh: s = 5/X, + s:x : +... + S„X' + s ị + s? +S^+Sị. I (5-15) Tron® trucme hợp cần tìm các biều đồ nội lực hav chuvẽn vị. cũns 1\ luận tươns tự. ta có biểu thức tổng quát sau: i ( S ) =ị S i ) X / + ( S - >) X i +. . . + ( SH)X„ + ( S p ) + (SỊ ) + ( S j 1+ ( S 2 ) ' Õ .16) Ưong đó: (Sk t - biểu đồ cùa đại lượn2 5 do riẽn® lực Xk= 1 gây ra ư o n s hệ cơ bản: (S l ).(S° J.(S j ) . ( S ỵ ) - biểu đồ của đại lượna s do rièns tải trọna. riêns p sự thay đổi nhiệt độ. rièna sự c h ế tạo chiều dài các thanh khôns chinh xác và riẽn2 chuyển vị 2ôi tựa gày ra trona hệ cơ ban. Các biểu thức (5.15) và (5.16) áp d ụn2 ch u n s cho mọi trườns hợp. 2Íả sử muôn tim m ôm en uốn A/ hay độ võns V . ta cần thay thế ký hiệu s bans ký hiệu tươns ứns h í hav V. D ùns các biểu thức này có lợi khi đã có sẵn các trạn s thái đơn vị tức là đã biết các aiá trị s t . Đôì với dám và khuns siêu tĩnh, vẽ biểu đồ mòmen uốn theo cách này rất tiện lợi YÌ đă có sẵn các biểu đồ mỏmen uốn đơn vị iro n s quá trình xác định các hệ số. Chú ý: Nếu da lượng s chì là phàn lực hoàc nội lực (knòrvg phải chuyển vi) và nẽ cơ Dàn ià ữnh định thi các đai iượng 5 f .5 ^ .5 f v a các biểu đ ó ^ /x S ^ y .rô ^ /s ẽ kho'ig tồn tại vi như ta đã biết những nguyên nhân này k^òna gây 'a phản lực vá nội lực trong hệ ữnh đinh. 3. Cách vẽ biểu đồ lực cắt và lực dọc theo biếu đổ mỏmen uốn Trong trường hợp dẳm và khun2 sồm nhữns thanh thảns. nsười ta thường bó qua ánh hưỡnE cùa lực cãt và lực dọc so với anh huờns cua mòmen uòn khi xác đinh chuyển vị. do đó tro n s các khâu tính toán trung gian ta không cần vẽ các biếu đồ đơn vị I Ok I và .V, ,. Boi vậy. nêu vẽ biếu đồ •QI và I YI theo cách trẽn sẽ bãt lợi vì khòna có sẩn các biểu đồ l Oị ) vù (s k ). Trong nhữns trườns hợp này. nên vẽ biểu đổ M 17
trước tién theo biểu thức (5.16), sau đó cãn cứ vào biểu đổ ( M ) đẽ suy ra biểu đồ (Q) và (N). Cách vẽ biểu đồ (Q) và (N) theo biểu đồ (M) dựa trên cơ sớ khảo sát sự cán bằng cua từng đoạn thanh được tách riêng ra đống thời chú ý lới lién hệ vi phân đã biết trong mục 2.4: ' clM cJN Q = -m; — =-qr clz dz Khi thực hiện, cần tách từng đoạn thanh trong đó tải trọng phân bố liên tục. Đế tiện lợi cho việc áp dụng ta lập công thức xác định lực cắt, lực dọc ớ hai đầu của một đoạn thanh thẳng chịu tái trọng phân bõ liên tục với quy luật bất kỳ như trẽn hình 5.15: • lực phân bò pháp tuyến với cường độ q„(z); • lực phán bô tiếp tuyến với cường độ q,(z); • mômen phân bô với cường độ m(z); Sau khi tách thanh ab (hình 5.15) ra khòi hệ C