Giáo trình Cơ lý thuyết: Phần 1 - Vũ Duy Cường

Chia sẻ: Hoa La Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

693
lượt xem 283
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 Giáo trình Cơ lý thuyết của tác giả Vũ Duy Cường trình bày nội dung của phần Tĩnh học vật rắn. Nội dung phần này gồm 5 chương: Các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề tĩnh học, thu gọn hệ lực. phương trình cân bằng của hệ lực, các bài toán đặc biệt, ma sát, trọng tâm. Giáo trình dành cho sinh viên ngành Cơ khí và Xây dựng. Tuy nhiên sinh viên, kỹ sư các ngành khác muốn tìm hiểu những kiến thức cơ bản của cơ học có thể dùng tài liệu này làm tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Cơ lý thuyết: Phần 1 - Vũ Duy Cường

1 ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC BAÙCH KHOA Vuõ Duy Cöôøng GIAÙO TRÌNH CÔ LYÙ THUYEÁT (Taùi baûn laàn thöù nhaát) NHAØ XUAÁT BAÛN ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP HOÀ CHÍ MINH - 2002
2 MỤC LỤC LÔØI NOÙI ÑAÀU 5 PHẦN I. TĨNH HỌC VẬT RẮN Chöông 1. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN VAØ HEÄ TIEÂN ÑEÀ TÓNH HOÏC 8 1.1. Caùc khaùi nieäm cô baûn 8 1.2. Heä tieân ñeà tónh hoïc 10 1.3. Moät soá moâ hình phaûn löïc lieân keát thöôøng gaëp 11 Chöông 2. THU GOÏN HEÄ LÖÏC. PHÖÔNG TRÌNH CAÂN BAÈNG CUÛA HEÄ LÖÏC 16 2.1. Hai ñaïi löôïng ñaëc tröng cuûa heä löïc 16 2.2. Ñònh lyù töông ñöông cô baûn 17 2.3. Caùc heä quaû 19 2.4. Ñieàu kieän caân baèng cuûa heä löïc 22 2.5. Baøi toaùn caân baèng cuûa vaät raén 23 2.6. Caùc ví duï 25 2.7. Baøi toaùn caân baèng cuûa heä vaät raén 31 2.8. Caùc ví duï baøi toaùn caân baèng cuûa heä vaät raén 32 Chöông 3. CAÙC BAØI TOAÙN ÑAËC BIEÄT 39 3.1. Baøi toaùn ñoøn phaúng 39 3.2. Baøi toaùn giaøn 39 Chöông 4. MA SAÙT 48 4.1. Ma saùt, caùc löïc ma saùt vaø tính chaát cuûa chuùng 48 4.2. Baøi toaùn caân baèng cuûa vaät raén chæ keå ñeán ma saùt tröôït 50 4.3. Moâ hình baøi toaùn caân baèng coù keå ñeán ma saùt laên 56 Chöông 5. TROÏNG TAÂM 59 5.1. Caùc ñònh nghóa 59 5.2. Caùc phöông phaùp xaùc ñònh toïa ñoä troïng taâm cuûa caùc vaät 62 5.3. Troïng taâm cuûa moät soá vaät ñoàng chaát 65 PHAÀN II. ÑOÄNG HOÏC 68 Chöông 6. ÑOÄNG HOÏC ÑIEÅM 69 6.1. Khaûo saùt ñoäng hoïc ñieåm baèng phöông phaùp vector vaø toïa ñoä Decartes 69 6.2. Khaûo saùt chuyeån ñoäng ñieåm baèng toïa ñoä cöïc 70 6.3. Khaûo saùt chuyeån ñoäng ñieåm baèng toïa ñoä töï nhieân 71 6.4. Moät soá chuyeån ñoäng ñaëc bieät 72 Chöông 7. CHUYEÅN ÑOÄNG CÔ BAÛN CUÛA VAÄT RAÉN 76 7.1. Chuyeån ñoäng tònh tieán cuûa vaät raén 76 7.2. Chuyeån ñoäng quay quanh truïc coá ñònh cuûa vaät raén 77 7.3. Caùc cô caáu truyeàn ñoäng cô baûn 79 7.4. Caùc ví duï 80 Chöông 8. CHUYEÅN ÑOÄNG PHÖÙC HÔÏP CUÛA ÑIEÅM 83 8.1. Moâ hình baøi toaùn vaø caùc ñònh nghóa 83 8.2. Caùc ñònh lyù hôïp vaän toác, gia toác 85 8.3. Phöông phaùp giaûi caùc baøi toaùn chuyeån ñoäng phöùc hôïp 86
3 8.4. Caùc ví duï 86 Chöông 9. CHUYEÅN ÑOÄNG SONG PHAÚNG CUÛA VAÄT RAÉN 95 9.1. Khaûo saùt chuyeån ñoäng caû vaät 95 9.2. Khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa ñieåm thuoäc vaät 96 9.3. Nhöõng chuyeån ñoäng song phaúng ñaëc bieät 101 9.4. Phöông phaùp giaûi baøi toaùn chuyeån ñoäng song phaúng 103 9.5. Caùc ví duï 104 PHAÀN III. ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 120 Chöông 10. MÔÛ ÑAÀU ÑOÄNG LÖÏC HOÏC PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA CHAÁT ÑIEÅM VAØ HEÄ CHAÁT ÑIEÅM 121 10.1. Caùc khaùi nieäm cuûa ñoäng löïc hoïc 121 10.2. Phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm vaø heä chaát ñieåm 123 ’ Chöông 11. NGUYEÂN LYÙ D ALEMBERT 129 11.1. Caùc ñaëc tröng hình hoïc khoái löôïng cuûa cô heä 129 11.2. Löïc quaùn tính, nguyeân lyù D’ Alembert 132 11.3. Thu goïn heä löïc quaùn tính 133 11.4. Phaûn löïc ñoäng löïc truïc quay 135 11.5. Noäi dung aùp duïng vaø caùc ví duï 136 Chöông 12. CAÙC ÑÒNH LYÙ TOÅNG QUAÙT ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 147 12.1. Caùc ñònh lyù chuyeån ñoäng khoái taâm - ñoäng löôïng moâmen ñoäng löôïng 147 12.2. Ñònh lyù ñoäng naêng 155 Chöông 13. NGUYEÂN LYÙ DI CHUYEÅN KHAÛ DÓ 172 13.1. Moät soá khaùi nieäm cô baûn 172 13.2. Nguyeân lyù di chuyeån khaû dó 179 Chöông 14. PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG QUAÙT ÑOÄNG LÖÏC HOÏC VAØ PHÖÔNG TRÌNH LAGRANGE II 185 14.1. Phöông trình toång quaùt cuûa ñoäng löïc hoïc 185 14.2. Phöông trình Lagrange II 189 Chöông 15. LYÙ THUYEÁT VA CHAÏM 199 15.1. Ñònh nghóa, ñaëc ñieåm cuûa hieän töôïng va chaïm vaø caùc giaû thieát cuûa lyù thuyeát va chaïm 199 15.2. Caùc ñònh lyù toång quaùt cuûa ñoäng löïc hoïc trong quaù trình va chaïm 201 15.3. Va chaïm thaúng xuyeân taâm cuûa hai vaät chuyeån ñoäng tònh tieán 204 15.4. Va chaïm cuûa vaät quay quanh moät truïc coá ñònh 209 PHAÀN IV. BAØI TOAÙN TÖÏ GIAÛI 212 A. PHAÀN TÓNH HOÏC 212 B. PHAÀN ÑOÄNG HOÏC 224 C. PHAÀN ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 230 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 254
4 LÔØI NOÙI ÑAÀU Giaùo trình naøy ñöôïc bieân soaïn nhaèm phuïc vuï sinh vieân ngaønh cô khí vaø xaây döïng. Tuy nhieân, sinh vieân, kyõ sö caùc ngaønh khaùc muoán tìm hieåu nhöõng kieán thöùc cô baûn cuûa cô hoïc coù theå duøng taøi lieäu naøy tham khaûo. Ñeå ñaùp öùng yeâu caàu treân, taùc giaû ñaõ maïnh daïn ñöa ra moät soá thay ñoåi trong phaàn trình baøy noäi dung vaø moät soá vaán ñeà ñaùng chuù yù sau: 1- Phaàn tónh hoïc Lyù thuyeát ñöôïc xaây döïng laáy ñònh lyù töông ñöông cô baûn laøm trung taâm. Caùc baøi toaùn caân baèng coù keå ñeán hai loaïi ma saùt (tröôït, laên) chæ coù theå ñaùnh giaù chính xaùc ôû traïng thaùi caân baèng. Neáu vaät ñaõ khôûi ñoäng khoâng theå söû duïng ñieàu kieän caân baèng tónh. 2- Ñoäng löïc hoïc Nguyeân lyù D’ ALEMBERT ñöôïc trình baøy tröôùc ñeå coù theå giaûi quyeát ñaày ñuû caùc yeâu caàu veà ñoäng löïc cuûa cô heä, xaùc ñònh ñöôïc mieàn giôùi haïn cuûa caùc tham soá phuø hôïp vôùi traïng thaùi chuyeån ñoäng cuûa cô heä ngay töø ñaàu, traùnh söï ngoä nhaän caùc keát quaû tính toaùn. 3- Ñeå taïo ñieàu kieän thuaän lôïi cho ngöôøi ñoïc, giaùo trình daønh khoaûng 60% noäi dung cho caùc ví duï vaø baøi taäp töï laøm. Trong ñoù coù moät soá baøi taäp toång hôïp xuyeân suoát noäi dung cuûa moân hoïc. Ñeå hoaøn thaønh giaùo trình naøy, taùc giaû ñaõ nhaän ñöôïc söï hoã trôï nhieät tình cuûa caùc ñoàng nghieäp Nguyeãn Quoác Vieät, Vuõ Coâng Hoøa, Nguyeãn Ñaéc Thieän trong vieäc ñaùnh maùy baûn thaûo. Taùc giaû xin chaân thaønh caûm ôn söï giuùp ñôõ quyù baùu naøy. Nhöõng suy nghó treân ñaây hoaøn toaøn döïa vaøo chuû quan cuûa taùc giaû neân khoâng traùnh khoûi thieáu soùt. Taùc giaû mong nhaän ñöôïc söï ñoùng goùp cuûa caùc ñoàng nghieäp vaø baïn ñoïc nhaèm giuùp taùc giaû xaây döïng giaùo trình ngaøy caøng hoaøn thieän. Moïi yù kieán xin gôûi veà: Boä moân Cô Kyõ thuaät - Tröôøng Ñaïi hoïc Baùch khoa - Ñaïi hoïc Quoác gia TP Hoà Chí Minh - 268 Lyù Thöôøng Kieät, F14, Q10. Taùc giaû Thaïc só VUÕ DUY CÖÔØNG
5 PHAÀN I TÓNH HOÏC VAÄT RAÉN Tónh hoïc laø phaàn ñaàu cuûa cô hoïc lyù thuyeát khaûo saùt söï caân baèng cuûa vaät theå chòu taùc duïng cuûa löïc Hai vaán ñeà chính ñöôïc giaûi quyeát trong tónh hoïc laø thu goïn heä löïc vaø ñieàu kieän caân baèng cuûa heä löïc. Nhôø phöông phaùp tröøu töôïng hoùa vaø moâ hình hoùa chuùng ta xaây döïng caùc khaùi nieäm cô baûn vaø nhöõng tieân ñeà laøm cô sôû ñeå giaûi quyeát caùc vaán ñeà ñaët ra. Nhöõng khaùi nieäm cô baûn neâu ra nhöõng moâ hình cô baûn nhaát cuûa caùc ñoái töôïng khaûo saùt. Nhöõng tieân ñeà neâu leân nhöõng chaân lyù khaùch quan deã nhaän thaáy, vaø nhöõng quan heä ñaàu tieân giöõa caùc moâ hình cô baûn. Taát caû caùc ñaùnh giaù, keát luaän coù ñöôïc sau naøy ñeàu phaûi ñöôïc chöùng minh chaët cheõ töø heä tieân ñeà.
6 Chöông 1 CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN VAØ HEÄ TIEÂN ÑEÀ TÓNH HOÏC Noäi dung - Caùc moâ hình cô baûn vaø heä tieân ñeà - Khaùi nieäm veà lieân keát, phaûn löïc lieân keát - Caùc moâ hình phaûn löïc lieân keát Yeâu caàu - Hieåu vaø nhôù caùc khaùi nieäm cô baûn, heä tieân ñeà tónh hoïc - Naém vöõng caùc moâ hình phaûn löïc lieân keát, nguyeân taéc chung ñeå bieåu dieãn caùc phaûn löïc lieân keát. 1.1. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN 1. Vaät raén tuyeät ñoái Vaät raén tuyeät ñoái laø vaät theå khoâng bò bieán daïng trong moïi tröôøng hôïp chòu löïc. Vaät raén tuyeät ñoái chính laø vaät theå ñaøn hoài ñöôïc lyù töôûng hoùa boû qua bieán daïng. Trong thöïc teá neáu bieán daïng cuûa vaät coù aûnh höôûng khoâng ñaùng keå trong tính toaùn, vaät khaûo saùt ñöôïc xem laø vaät raén tuyeät ñoái. Chaát ñieåm laø vaät raén tuyeät ñoái ñaëc bieät. Töø ñaây veà sau, neáu khoâng coù löu yù gì, vaät khaûo saùt ñöôïc hieåu laø vaät raén tuyeät ñoái. 2. Traïng thaùi caân baèng Vaät raén ñöôïc goïi laø caân baèng ñoái vôùi moät heä quy chieáu neáu noù ñöùng yeân hay chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ñoái vôùi heä quy chieáu ñoù. Heä quy chieáu laø moät vaät raén ñöôïc choïn laøm chuaån ñeå quan saùt, ñaùnh giaù vò trí cuûa vaät khaûo saùt. Trong giaùo trình naøy, heä quy chieáu ñöôïc choïn laø heä quy chieáu quaùn tính. 3. Löïc Löïc laø ñaïi löôïng ñaëc tröng cho taùc duïng cô hoïc cuûa vaät theå naøy leân vaät theå khaùc. Löïc ñöôïc bieåu dieãn baèng vector buoäc (A F) hoaëc coù theå qua caùc hình chieáu: F = (Fx , Fy , Fz ) .
7 Löïc taäp trung laø löïc bieåu dieãn cho töông taùc cô hoïc thoâng qua moät vuøng raát beù, xem nhö moät ñieåm (A). Ngöôøi ta noùi löïc F ñaët taïi A. Löïc phaân boá bieåu dieãn cho taùc ñoäng cô hoïc thoâng qua moät mieàn. 4. Moät soá ñònh nghóa khaùc A m(F) 1- Moâmen cuûa löïc ñoái vôùi taâm o Moâmen cuûa löïc F ñaët taïi A ñoái vôùi taâm O laø r ñaïi löôïng vector ñaët taïi O: d r r O m o (F) = OA × F = r × F (1.1) Hình 1.1 r r Bieåu dieãn: cho r = r(x, y, z) ; F = F (X, Y, Z) r r r r (1.1) ⇔ m o (F) = (Z.y − Y.z) i + (X.z − Z.x) j + (Y.x − X.y) k (1.2) r r m o (F) - vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa O vaø F , m o (F) = d.F r m o (F) = 0 khi giaù cuûa F qua O (vaø taát nhieân caû khi F = 0) 2- Moâmen cuûa löïc ñoái vôùi truïc ( Δ ) r Phaân tích F = F ⊥ + F // ( F⊥ vuoâng goùc truïc Δ, F // song song truïc Δ) r Moâmen cuûa F ñoái vôùi truïc Δ laø löôïng ñaïi soá (Δ) F F// m Δ (F) = ± dF⊥ I F d (1.3) O A Hình 1.2 d- laø khoaûng caùch töø truïc A ñeán giaù cuûa F ⊥ - Laáy daáu coäng neáu nhìn töø ñænh truïc Δ thaáy F ⊥ coù xu theá quay + - Laáy daáu tröø neáu coù xu theá quay ngöôïc laïi _ m Δ (F) = 0 khi F song song truïc Δ hay giaù F caét truïc Δ Trong taøi lieäu naøy chuùng ta quy öôùc caùc ñaïi löôïng moâmen qua caùc chöõ M, M, m. Ñònh lyù lieân heä Hình chieáu moâmen cuûa löïc F ñoái vôùi taâm O ∈ ( Δ ) baèng moâmen cuûa F vôùi truïc ( Δ ): [ ] r hc Δ m o∈Δ (F) = m Δ (F) (1.4) Chöùng minh. Theo H.1.2 ta coù: [r ] [r ] [ hc Δ m o ∈ Δ (F) = hc Δ m o ∈ Δ (F ⊥ ) = hc Δ (OI + IA) A F ⊥ ] theo (1.3), ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.
8 3- Heä löïc Heä löïc ϕ (F k ) ≡ (F1 , F 2 ,...., F n ) : laø caùc löïc cuøng taùc ñoäng vaøo moät vaät khaûo saùt. Hai heä löïc töông ñöông: laø heä löïc ϕ (F k ) töông ñöông vôùi Ψ ( P ’e) (kyù hieäu ϕ (F k ) ≡ ψ (P e )) neáu chuùng coù cuøng taùc duïng cô hoïc. Hôïp löïc cuûa heä löïc: laø hôïp löïc R cuûa heä löïc ϕ (F k ) , laø moät löïc duy nhaát töông ñöông vôùi heä löïc: R ≡ ϕ (F k ) . Heä löïc caân baèng: laø heä löïc ϕ (F k ) caân baèng hay coøn goïi laø töông ñöông khoâng (ϕ (F k ) ≡ 0) neáu heä löïc taùc duïng vaøo vaät khoâng laøm thay ñoåi traïng thaùi chuyeån ñoäng cuûa vaät. 1.2. HEÄ TIEÂN ÑEÀ TÓNH HOÏC 1. Tieân ñeà 1 (caëp löïc caân baèng) Heä hai löïc caân baèng khi vaø chæ khi chuùng cuøng ñöôøng taùc duïng, höôùng ngöôïc chieàu nhau, cuøng cöôøng ñoä. F ( F, F' ) ≡ 0 ⇔ F’ S F S F’ 2. Tieân ñeà 2 Hình 1.3 Theâm hay bôùt caëp löïc caân baèng ( F, F' ) ≡ 0 khoâng laøm thay ñoåi taùc duïng , ( cuûa heä löïc ⎛⎜ F, F , F1 , F 2 ,...F n ⎞⎟ ≡ F1 , F 2 ,..., F n ⎝ ⎠ ) 3. Tieân ñeà hình bình haønh löïc F Hai löïc cuøng ñaët taïi moät ñieåm töông ñöông vôùi R moät löïc ñaët taïi ñieåm ñoù ñöôïc bieåu dieãn baèng vector ñöôøng cheùo hình bình haønh coù hai caïnh laø hai löïc F’ ( thaønh phaàn. F A , F' A ≡ R A) Hình 1.4 4. Tieân ñeà löïc töông taùc Löïc taùc duïng vaø phaûn taùc duïng giöõa hai vaät laø hai löïc laàn löôït ñaët leân moãi vaät töông taùc chuùng cuøng ñöôøng taùc duïng, höôùng ngöôïc chieàu nhau, cuøng cöôøng ñoä. 5. Tieân ñeà hoùa raén Vaät bieán daïng ñang caân baèng hoùa raén laïi vaãn caân baèng (ñieàu ngöôïc laïi khoâng ñuùng).
9 6. Tieân ñeà giaûi phoùng lieân keát, vaät gaây lieân keát, vaät chòu lieân keát 1- Vaät khoâng töï do, vaät töï do - Vaät khoâng töï do laø vaät khoâng theå di chuyeån tuøy yù trong laân caän beù töø vò trí ñang xeùt. - Vaät töï do laø vaät coù theå dòch chuyeån tuøy yù veà moïi höôùng trong laân caän beù töø vò trí ñang xeùt. 2- Vaät chòu lieân keát, vaät gaây lieân keát Vaät khaûo saùt (S) ñöôïc quy öôùc laø vaät chòu lieân keát, caùc vaät theå khaùc töông taùc cô hoïc vôùi S ñöôïc goïi laø caùc vaät gaây lieân keát, chuùng coù vai troø caûn trôû chuyeån ñoäng hay xu höôùng chuyeån ñoäng cuûa S laø vaät khoâng töï do. 3- Tieân ñeà giaûi phoùng lieân keát Vaät khoâng töï do coù theå xem laø töï do neáu ta thay theá caùc vaät gaây lieân keát baèng caùc phaûn löïc lieân keát. 7. Moät soá heä quaû vaø moâ hình phaûn löïc lieân keát Heä quaû tröôït löïc: Vôùi vaät raén tuyeät ñoái löïc laø ñaïi löôïng vector tröôït S S , B F Chöùng minh. Cho (F A ), taïi ñieåm B tuøy yù treân B F A giaù cuûa F A chuùng ta ñaët heä löïc caân baèng , ( F B , F B ) ≡ 0 coù tính chaát F B chính laø F A Hình 1.5 tröôït veà ñieåm B. v r r r (F A ) = (FA , FB , FB ) ≡ FB : ñieàu phaûi chöùng minh. 1 42r4 3 ≡0 1.3. MOÄT SOÁ MOÂ HÌNH PHAÛN LÖÏC LIEÂN KEÁT THÖÔØNG GAËP • Tính chaát cuûa phaûn löïc lieân keát Theo tieân ñeà 6, phaûn löïc lieân keát phaûi thay theá ñöôïc vai troø caûn trôû chuyeån ñoäng hay xu höôùng chuyeån ñoäng cuûa vaät gaây lieân keát ñaët vaøo vaät khaûo saùt S, do ñoù chuùng phuï thuoäc hai yeáu toá: - Khaû naêng chuyeån ñoäng cuûa vaät khaûo saùt (do löïc hoaït ñoäng taùc ñoäng vaøo S) ñöôïc bieåu hieän qua cöôøng ñoä cuûa phaûn löïc (luoân luoân laø aån soá). - Tính chaát caûn trôû chuyeån ñoäng hay xu höôùng chuyeån ñoäng cuûa vaät gaây lieân keát (ñaët vaøo vaät khaûo saùt) ñöôïc bieåu hieän qua phöông (chieàu) cuûa phaûn löïc. Döïa vaøo caùc ñaùnh giaù naøy chuùng ta seõ bieåu dieãn caùc thaønh phaàn phaûn löïc cuûa moät soá moâ hình lieân keát thöôøng gaëp trong kyõ thuaät. • Caùc moâ hình phaûn löïc lieân keát
10 1- Phaûn löïc lieân keát töïa moät chieàu (khoâng ma saùt) S S NA A a) b) Hình 1.6 Vaät khaûo saùt töïa treân beà maët cuûa vaät gaây lieân keát, maët töïa chæ coù khaû naêng caûn trôû chuyeån ñoäng vaø xu höôùng chuyeån ñoäng cuûa vaät khaûo saùt theo phöông phaùp tuyeán chuùng taïi ñieåm tieáp xuùc. Phaûn löïc ñaët vaøo vaät taïi tieáp ñieåm höôùng theo phaùp tuyeán ngoaøi cuûa maët töïa. N i - trong H.1.6a; N A - trong H.1.6b - Phaûn löïc coù phöông chieàu xaùc ñònh, caàn tìm cöôøng ñoä. - Moät soá moâ hình lieân keát töïa trong kyõ thuaät: NA NA NB NB C NA S B S A B NC A A c) a) b) Hình 1.7 2- Lieân keát baûn leà truï (khôùp baûn leà) Ry R Rx A ) b) Hình 1.8 Loaïi lieân keát goàm hai oáng truï loàng vaøo nhau, vaät khaûo saùt khoâng coù xu höôùng quay quanh truïc vuoâng goùc vôùi truïc baûn leà. Ñeå ñôn giaûn, chuùng ta xem moâ hình phaúng, hình troøn trong vaø voøng troøn ngoaøi töïa leân nhau, khoâng cho ñi ra khoûi nhau. Phaûn löïc luoân luoân ñi qua taâm O (chung) naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc baûn leà, tröôït veà O, phaûn löïc ñöôïc bieåu dieãn qua hai thaønh phaàn vuoâng goùc ( R , R ).. x y Chieàu cuûa chuùng ñöôïc choïn moät caùch chuû quan, coù theå khoâng ñuùng nhö thöïc teá.
11 - Moâ hình kyõ thuaät: A S S A S A • • • • • Hình 1.9 - Moâ hình kyõ thuaät keát hôïp: S A S A S A • • • • Hình 1.10 Phaûn löïc trong moâ hình thöù 3 cuûa H.1.10 laø loaïi töïa hai chieàu, chieàu phaûn löïc chöa bieát cuï theå. Hai moâ hình ñaàu laø phaûn löïc töïa moät chieàu. 3- Lieân keát baûn leà caàu (khôùp caàu) Hai quaû caàu loàng vaøo nhau, coù theå quay töông ñoái vôùi nhau nhöng hai taâm luoân truøng nhau. Do khoâng caûn quay quanh baát cöù truïc naøo neân vector moâmen phaûn löïc ñoái vôùi taâm O baèng khoâng, coøn vector chính phaûn löïc luoân ñi qua taâm O ñöôïc phaân laøm ba thaønh phaàn vuoâng goùc R ( R x , R y , R z ) . Lieân keát ñöa vaøo baøi toaùn ba aån soá. Az Az Rz Rz Ry O Ry A A Ay Ay Rx Rx Ax Ax a) b) a) b) Hình 1.11 Hình 1.12 Moâ hình trong kyõ thuaät (H.1.11b). 4- Lieân keát goái ñôõ Ñaây laø lieân keát keát hôïp lieân keát töïa vaø baûn leà truï (H.1.12) Phaûn löïc goàm ba thaønh phaàn Ax, Ay, Az (coù moät truïc laø truïc baûn leà truï). Lieân keát ñöa vaøo baøi toaùn ba aån soá.
12 5- Lieân keát ngaøm Vaät khaûo saùt chòu lieân keát ngaøm khi bò vaät gaây lieân keát giöõ chaët khoâng cho thöïc hieän baát cöù chuyeån ñoäng naøo. Ví duï: coät truï choân chaët vaøo loøng ñaát, ñaàu daàm caém chaët vaøo töôøng, hai phaàn cuûa moät vaät raén. Ax Ay My Ax Mz Ax MA A A Mx Az a) b) Hình 1.13 - Ngaøm phaúng: (H.1.13a) Tröôøng hôïp vaät khaûo saùt chæ coù xu theá chuyeån ñoäng trong maët phaúng (Oxy). Caùc thaønh phaàn phaûn löïc lieân keát phaûi caûn trôû (dòch chuyeån theo hai phöông x, y quay quanh truïc z). Phaûn löïc thu veà taâm A goàm 3 thaønh phaàn: R A (A x , A y ) , ngaãu M A ñeàu chöa xaùc ñònh chieàu cuï theå. Caùc xu höôùng chuyeån ñoäng ñoàng thôøi - Ngaøm khoâng gian: (H.113b) Vaät khaûo saùt coù xu theá chuyeån ñoäng trong khoâng gian, lyù luaän nhö treân phaûn löïc thu veà A coù: R A (A x , A y , A z ) vaø M A (M x , My , Mz ) goàm saùu thaønh phaàn chöa coù chieàu cuï theå. 6- Lieân keát daây Daây meàm, caêng neân chæ caûn trôû xu höôùng chuyeån ñoäng cuûa vaät doïc theo daây (laøm daây ñöùt). Phaûn löïc ñaët taïi ñieåm daây baét ñaàu tieáp xuùc vôùi vaät khaûo saùt, coù chieàu höôùng vaøo vaät gaây lieân keát. B T T TA TB A B S A A S S T Hình 1.14 7- Lieân keát thanh Vaät khaûo saùt chæ coù hai lieân keát meàm (töïa, baûn leà), khoâng chòu löïc taùc ñoäng vôùi giaù khoâng ñi qua hai ñieåm lieân keát naøy ñöôïc goïi laø lieân keát thanh. Phaûn löïc lieân keát laø hai löïc cuøng cöôøng ñoä, ngöôïc chieàu ñaët taïi caùc ñieåm lieân keát naèm treân giaù chöùa hai ñieåm lieân keát.
13 Caùc phaûn löïc lieân keát thanh: S A , SB , SC , SD SA B F SB C A SC A B SD D SA SB 8- Caùc lieân keát phöùc taïp Moâ hình phaúng Phaûn löïc Moâ hình khoâng gian Phaûn löïc Mz S N S Rz Mx Ry M y Rx Mz S Mx Rz Rx M R My S S Ry Rx R Mx My Mz S S Ry Rx Ry R Mx
14 Chöông 2 THU GOÏN HEÄ LÖÏC PHÖÔNG TRÌNH CAÂN BAÈNG CUÛA HEÄ LÖÏC Noäi dung Chöông naøy ñöa ra caùc daïng thu goïn töông ñöông cuûa heä löïc, nhöõng ñieàu kieän caân baèng cuûa heä löïc laøm cô sôû ñeå ñaùnh giaù taùc duïng cuûa chuùng vaø giaûi baøi toaùn caân baèng cuûa vaät raén, heä vaät raén. Yeâu caàu Naém vöõng ñieàu kieän töông ñöông cô baûn cuûa hai heä löïc, caùc ñieàu kieän caân baèng cuûa heä löïc. Bieát caùch aùp duïng giaûi baøi toaùn caân baèng cuûa vaät raén, heä vaät raén. 2.1. HAI ÑAÏI LÖÔÏNG ÑAËC TRÖNG CUÛA HEÄ LÖÏC 1. Vector chính cuûa heä löïc , 1- Ñònh nghóa: vector chính cuûa heä löïc laø vector töï do ( R ) baèng toång caùc , vector löïc thuoäc heä: R = ΣF k F1 F2 (2.1) 2- Phöông phaùp xaùc ñònh • R' R’ Hình hoïc: vector ñoùng kín ña giaùc löïc. Fn Giaûi tích: ( ) R X ' , Y ' , Z ' ⇔ X ' = ΣFky ; Y ' = ΣFky ; Z ' = ΣFkz (2.2) 2. Vector moâmen chính cuûa heä löïc ñoái vôùi moät taâm 1- Ñònh nghóa: vector moâmen chính cuûa heä löïc ñoái vôùi taâm O ( M o ) cuûa heä löïc baèng toång caùc vector moâmen cuûa löïc thuoäc heä laáy cuøng ñoái vôùi taâm ñoù: 2- Phöông phaùp xaùc ñònh Duøng (1.2) chuùng ta nhaän ñöôïc: r r M o = Σ(Z k y k − Yk zk ) i + Σ(X k zk − Z k x k ) j + Σ(Yk x k − X k y k )k (2.4) r trong ñoù: löïc F (X k , Yk , Zk ) - baùn kính ñieåm ñaët löïc thöù k laø rk (xk, yk, zk) , 3- Tính baát bieán cuûa R vaø M o qua caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông
15 , Ñònh lyù 2.1. Hai ñaïi löôïng R vaø M o baát bieán qua caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông (tieân ñeà 2 vaø 3). , Chöùng minh. Do caëp löïc caân baèng coù R = 0 vaø M o = 0 (taâm O tuøy yù), khi duøng , tieân ñeà 2 coù ngay R vaø M o cuûa heä löïc khoâng ñoåi. Vôùi tieân ñeà 3: - Xeùt hai löïc F 1 , F 2 vaø hôïp löïc F 12 nhö H.2.1 F 1 + F 2 = F 12 , ⇒ R = ΣF X = F 1 + F 2 + F 3 + ... + F n = F 12 + F 3 + ... + F n , ⇒ R baát bieán khi duøng tieân ñeà 3. - Ñaët F 12 (X, Y, Z) coøn F i (X1, Y1, Z1), F 12 (X2, Y2, Z2) Theo tieân ñeà 3: F X = X1 + X2; Y = Y1 + Y2; Z = Z1 + Z2 F12 A Duøng coâng thöùc (1.2): r r r ⇒ m o (F1 ) + m o (F 2 ) = m o (F12 ) F2 Chöùng toû: Hình 2.1 r r r r Mo = m o (F1 ) + m o (F 2 ) + m o (F 3 ) + … + m o (F n ) r r r = m o (F12 ) + m o (F 3 ) + … + m o (F n ) ⇒ M o baát bieán trong pheùp bieán ñoåi tieân ñeà 3. 2.2. ÑÒNH LYÙ TÖÔNG ÑÖÔNG CÔ BAÛN ⎧⎪ R' = R' 1 2 Ñònh lyù 2.2. ϕ1 (F k ) ≡ ϕ 2 (P i ) ⇔ ⎨ ⎪⎩ M1 0 = M 2 0 Chöùng minh. Tröôùc heát ta chöùng minh: ⎧ , , ⎪R 1 = R 2 1) ϕ1 (F k ) ≡ ϕ 2 (P i ) ⇒ ⎨ ⎪⎩M 1 0 = M 2 0 Chuùng ta thöøa nhaän hai heä löïc töông ñöông neáu coù theå bieán ñoåi qua nhau baèng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông (tieân ñeà 2, 3). , Do: ϕ1 (F k ) ≡ ϕ 2 (P i ) neân ta coù theå bieán ñoåi chuùng qua nhau. Song R vaø M o baát bieán ñoái vôùi caùc pheùp bieán ñoåi, suy ra: ⎧ , , ⎪R 1 = R 2 ⇒ ⎨ ⎪⎩M 1 0 = M 2 0
16 ⎧ , , ⎪R 1 = R 2 2) ϕ1 (F k ) ≡ ϕ 2 (P i ) ⇐ ⎨ ⎪⎩M 1 0 = M 2 0 Xeùt heä ϕ1 (F k ) vaø ϕ 2 (P i ) . Chuùng ta laáy ñieåm O vaø hai ñieåm A, B (A, O, B khoâng thaúng haøng), phaân tích caùc löïc F k ≡ (F kO , F kA , F kB ) , caùc thaønh phaàn töông ñöông ñi qua O, A, B. ⇒ heä ϕ 1 (F k ) ≡ ba heä löïc ñoàng quy: ϕ1 (F kO ); ϕ2 (F kA ); ϕ3 (F kB ) Deã daøng nhaän ñöôïc: ϕ1 (F kO ) ≡ Fo; ϕ2 (F kA ) ≡ F A ; ϕ3 (F kB ) ≡ F B ⇒ ϕ1 (F k ) ≡ (FO , F A , F B ) Goïi OE laø giao tuyeán cuûa hai maët ** phaúng (O, F A ) vaø (O, F B ) . Treân OE laáy FO FK ñieåm I vaø phaân tích caùc löïc F A theo * FO FO caùc phöông AO vaø AI, F B theo caùc B phöông BO vaø BI. Tieáp tuïc tröôït caùc löïc FB FA veà O vaø I roài laáy caùc hôïp löïc (tieân ñeà FI 3). A * ⇒ ϕ1 (F k ) ≡ (F O , F A , F B ) ≡ (F O , F 1 ) FL E L I töông töï ta coù: * ϕ 2 (P i ) ≡ (P O , P A , P B ) ≡ (P O , F H ) Hình 2.2 (H thuoäc giao tuyeán OG, coù theå khaùc OE). Cuoái cuøng, laáy ñieåm L thuoäc giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (O, F I ) vaø (O, P H ). Phaân tích caùc löïc F 1 vaø P H theo caùc phöông ñi qua L vaø O, tröôït caùc löïc ** thaønh phaàn veà hai ñieåm O, L. Sau ñoù laáy hôïp löïc seõ ñöôïc F O vaø F L : ** ⇒ ϕ1 (F k ) ≡ (F O , F L ) ** töông töï ta coù: ϕ 2 (P i ) ≡ (P O , P L ) Duøng caùc ñieàu kieän: r r - M1O = M2O ⇔ m O (F L ) = m O (P L ) ⇒ FL = P L , , ** ** ** ** - R1 = R2 ⇔ FL + FO = P L + P O ⇒ FO = P O ⇒ ϕ 1 (F k ) vaø ϕ 2 (P 1 ) ñöôïc bieán ñoåi töông ñöông sang heä löïc thöù ba truøng nhau. Chöùng toû: ϕ1 (F k ) ≡ ϕ 2 (P 1 ) . 2.3. CAÙC HEÄ QUAÛ
17 1. Vector moâmen ngaãu löïc , 1- Xeùt heä hai löïc: ( F, F ) cuøng phöông, ngöôïc chieàu, cuøng cöôøng ñoä nhöng , , khaùc giaù taùc duïng. Do R = 0, M O ≠ 0 , neân ( F, F ) khoâng töông ñöông moät löïc, ñaây laø moät heä löïc toái giaûn ñaëc bieät, ñöôïc goïi laø ngaãu. Chuùng ta seõ chöùng toû moâmen chính cuûa ngaãu khoâng phuï thuoäc taâm laáy moâmen: F r r , MO = mO (F) + mO (F ) d , A = OA × F + OB × F α B , , MO = OA × F + OA × F + AB × F , , , = OA × (F + F ) + AB × F = AB × F (ñpcm) O • F’ , , 2- Hai ngaãu: ( F, F ) vaø ( F1 , F1 ) coù vector Hình 2.3 moâmen chính baèng nhau seõ töông ñöông nhau (vì , R = 0). Chöùng toû vector moâmen chính cuûa ngaãu laø vector töï do, hoaøn toaøn ñaëc tröng cho moät ngaãu, ñöôïc goïi ngaén goïn laø vector moâmen cuûa ngaãu. 2. Ñònh lyù thu goïn Heä löïc ϕ1 (F k ) , khi thu goïn veà moät taâm O, töông ñöông vôùi moät löïc baèng , vector chính cuûa heä löïc R vaø moät ngaãu baèng vector moâmen chính cuûa heä laáy cuøng vôùi taâm O ñoù: , ϕ(F k ) ≡ (R o , M o ) , r vôùi: R o = ΣF k vaø: Mo = Σm o (F K ) Chöùng minh. Vôùi O tuyø yù xaùc ñònh chuùng ta chæ caàn chöùng minh taïi ñoù heä löïc goàm hai thaønh phaàn: löïc R baèng vector chính vaø moät ngaãu coù moâmen chính baèng moâmen chính cuûa heä löïc ñoái vôùi cuøng taâm ñoù. Heä löïc naøy töông ñöông vôùi heä löïc ban ñaàu do vector chính vaø vector moâmen chính ñoái vôùi taâm O cuûa chuùng baèng nhau. 3. Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät r , 1- 0 ≠ R ⊥ M O ⇔ ϕ(F k ) ≡ R Δ , r r (hôïp löïc R Δ coù giaù Δ vôùi R Δ = R vaø giaù Δ thoûa maõn m O (R Δ ) = Σm O (F k )) r , Chöùng minh. Choïn A ∈ maët phaúng ⊥ M O vaø ñi qua O, Δ // R
18 Mo , Caùch O ñoaïn d = , , naèm veà höôùng cuûa R quay 90o theo chieàu R M o laáy A ∈ Δ , , r r r r r ⇒ ϕ(F k ) ≡ (R O , M O ) ≡ R A m A (R'o ), M o ) ≡ (R A ) ≡ (R Δ ) 1442r 443 ≡O Hôïp löïc cuûa nhöõng heä löïc ñaëc bieät - Heä löïc song song: ( F k // OZ ) , r Neáu R ≠ 0 seõ coù hôïp löïc: ϕ(Fk ) ≡ R Δ - Heä löïc phaúng: (F k ∈ Oxy) , r Neáu R ≠ 0 ⇒ ϕ(F k ) ≡ R Δ (coù hôïp löïc) do ta laáy ñieåm A ∈ Oxy laøm taâm thu goïn: ⇒ M A ⊥ Oxy ⇒ M A ⊥ R - Hôïp löïc cuûa heä löïc phaúng song song Cho heä löïc phaân boá nhö H.2.4. Xeùt phaân toá Δx k , heä löïc phaân boá treân ñoä daøi naøy töông ñöông moät löïc F k : r F F k = q(x 'k ).Δx k - ñaët taïi x 'k RΔ q(x) Fk l r Hôïp löïc: R Δ = F = ΣF k = ∫ q(x)dx X o O d X’k Giaù Δ ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän: Δ Xk l MΔo = ΣmΔO (F k ) = ∫ q(x).x . dx Hình 2.4 o l M ΔO ∫ q(x).xdx o R Δ d = M ΔO →d = = (2.5) RΔ l ∫ q(x)dx o trong ñoù: ΔO - laø truïc qua O vaø vuoâng goùc maët phaúng löïc. - Heä löïc phaân boá ñeàu (H.2.5) l2 qo Hôïp löïc: R 1 ; R = qo.l; OI = 2 = l (2.6) qol 2 - Heä löïc phaân boá tuyeán tính (H.2.6) qo q 1 2 coù ngay: q(x) = x → R 1 = o ; OI = 1 (2.7) 1 2 3
19 RI F RI qo qo x O I l O I l l Nhaän xeùt: Caùc hôïp löïc coù cöôøng ñoä baèng dieän tích phaân boá, ñi qua troïng taâm cuûa bieåu ñoà dieän tích. , , 2- R = 0, Mo ≠ 0 ⇔ ϕ(F k ) ≡ ngaãu toång hôïp (Q, Q ) coù moâmen baèng moâmen chính cuûa heä löïc ñoái vôùi taâm O. , , Chuù yù: Khi R = 0, ϕ(F k ) ≡ ngaãu (Q, Q ) neân moâmen chính cuûa heä khoâng phuï thuoäc taâm laáy moâmen. , 3- R = 0, Mo ≠ 0 ⇔ ϕ(F k ) ≡ 0 (2.8) , , Chöùng minh. Do heä löïc caân baèng ( F, F ) coù R = 0 vaø moâmen chính ñoái vôùi taâm baát kyø O M o = 0 4. Heä ba löïc caân baèng Heä ba löïc caân baèng thì ñoàng phaúng. Neáu caùc löïc song song vôùi nhau thì coøn phaûi ñoàng quy. Chöùng minh. Xeùt heä ba löïc (F1 , F 2 , F 3 ) ⇔ R = 0 vaø M A = 0 (taâm A tuøy yù). Coù theå xaûy ra caùc tröôøng hôïp: • F 1 // F 2 : Töø: R = 0 ⇒ (F1 + F 2 = −F 3 ) ≠ 0 ⎧⎪∈ maët phaúng (F 1 , F 2 ) Chöùng toû: (F 1 , F 2 ) ≡ R 12 ⎨ ⎪⎩// F 1 ⇒ (F1 , F 2 , F 3 ) ≡ (R12 , F 3 ) ≡ 0 Chöùng toû F 3 cuøng giaù vôùi R 12 ⇒ F 3 // F 2 // F 1 vaø ñoàng phaúng. • F 1 khoâng song song vôùi F 2 Choïn ñieåm A tuøy yù coá ñònh thuoäc giaù cuûa F 3 laøm taâm laáy moâmen chính:
20 Hai vector moâmen naøy ñaët taïi A maø coù toång baèng 0 ⇒ ít nhaát chuùng cuøng phöông ⇔ hai maët phaúng (F 1 , A ) vaø (F 2 , A) truøng nhau, töùc (F 1 , F 2 , A ) ñoàng phaúng. Do A tuøy yù neân suy ra (F 1 , F 2 , F 3 ) phaûi thuoäc cuøng moät maët phaúng. Goïi giao ñieåm cuûa F 1 , F 2 laø I, ñeå chöùng minh ba löïc ñoàng quy chuùng ta söû duïng: r r r r M1 = m1 (F1 ) + m1 (F 2 ) + m1 (F 3 ) = 0 + 0 + m1 (F 3 ) = 0 ⇒ F 3 phaûi ñi qua I (do F 3 ≠ 0). Vaäy (F 1 , F 2 , F 3 ) ñoàng quy phaúng. 2.4. ÑIEÀU KIEÄN CAÂN BAÈNG CUÛA HEÄ LÖÏC Töø (2.8) chuùng ta nhaän ñöôïc nhöõng ñieàu kieän caân baèng cuûa heä löïc: 1. Heä löïc toång quaùt (khoâng gian) ⎧ R ,x = ΣFkx = 0 ⎪ , ⎪ Ry = ΣFk y = 0 ⎪ R, = ΣFk z = 0 ⎪ 0 ≡ ϕ(F k ) ⇔ ⎨ Z (2.9) ⎪M ox = Σm x (F k ) = 0 ⎪M = Σm y (F k ) = 0 ⎪ oy ⎪⎩ M oz = Σmz (F k ) = 0 Vôùi caùc heä löïc ñaëc bieät moät soá phöông trình coù theå töï thoûa maõn neân soá ñieàu kieän giaûm ñi. 2. Heä löïc song song (F k // OZ) ⎧ ⎪ ΣFk z = 0 ⎪ 0 ≡ ϕ(F k ) ⇔ ⎨ ⎪ ∑ m x (F k ) = 0 (2.10) ⎪ ⎩ ∑ m y (F k ) = 0 Do ba phöông trình coøn laïi töï thoûa maõn. 3. Heä löïc ñoàng quy ϕ(F ok ), caùc löïc ñi qua O ⎧ ΣFkx = 0 ⎪ 0 ≡ ϕ(F k ) ⇔ ⎨ ΣFky = 0 (2.11) ⎪ ⎩ ΣFkz = 0 r Do: MO = Σm O (F k ) = 0 töï thoûa maõn z 4. Heä löïc phaúng ϕ(F k ), ∀F k ∈ Oxy MA Vôùi ñieåm A tuøy yù thuoäc maët phaúng löïc Oxy A y m A (F k ) = m AZ (F).k = ± d k Fk k dk Fk x Hình 2.7