Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright
Nieân khoùa 2003-2004 Phöông phaùp phaân tích
Baøi ñoïc Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng
Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ
Ramu Ramanathan 13 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Söï Ñoäc Laäp Thoáng Keâ
Caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc ñöôïc goïi laø söï ñoäc laäp thoáng keâ neáu P(X = x vaø Y = y) =
P(X = x) . P(Y = y). Vì vaäy trong tröôøng hôïp naøy, xaùc suaát keát hôïp laø tích cuûa caùc xaùc
suaát rieâng leû. Ñoái vôùi tröôøng hôïp bieán coù daïng lieân tuïc, chuùng ta seõ coù fXY(x, y) = fX(x).
fY(y).
Xaùc Suaát Coù Ñieàu Kieän
Ñeå bieát theâm veà xaùc suaát cuûa nhöõng bieán coá xaûy ra keát hôïp cuûa hai bieán ngaãu nhieân X vaø
Y, chuùng ta cuõng caàn neân bieát veà xaùc suaát xaûy ra cuûa bieán ngaãu nhieân cuï theå (Y) naøo ñoù
cho tröôùc söï kieän ñaõ xaûy ra cuûa moät bieán (X) ngaãu nhieân khaùc. Ví duï, chuùng ta coù theå
muoán bieát xaùc suaát ñeå giaù mua moät caên nhaø laø 200.000 ñoâ la, neáu cho tröôùc dieän tích sinh
hoaït phaûi laø 1.500 thöôùc vuoâng Anh. Yeâu caàu naøy seõ daãn chuùng ta ñeán khaùi nieäm xaùc
suaát coù ñieàu kieän, ñöôïc ñònh nghóa trong tröôøng hôïp bieán ngaãu nhieân daïng rôøi raïc nhö
sau:
P(Y = y X = x) = )xX(P
)yY,xX(P
=
== vôùi P(X = x) ≠ 0
Kyù hieäu “” coù nghóa laø cho tröôùc. Haøm maät ñoä xaùc suaát coù ñieàu kieän (cho caû khi
bieán ngaãu nhieân laø rôøi raïc vaø lieân tuïc) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:
fYX(x, y) = )x(f
)y,x(f
X
XY vôùi moïi giaù trò cuûa x sao cho fX(x) > 0
Trong ñoù fXY(x, y) laø haøm maät ñoä xaùc suaát keát hôïp cuûa X vaø Y vaø fX(x) laø haøm maät ñoä
xaùc suaát cuûa rieâng bieán X, thöôøng ñöôïc ñeà caäp ñeán nhö laø haøm maät ñoä caän bieân cuûa
bieán X. Löu yù raèng xaùc suaát coù ñieàu kieän phuï thuoäc vaøo caû giaù trò x vaø y. Khi caû hai bieán
ngaãu nhieân naøy phuï thuoäc thoáng keâ laãn nhau thì phaân phoái xaùc suaát coù ñieàu kieän trôû
thaønh caùc phaân phoái caän bieân töông öùng. Ñeå hieåu ñöôïc ñieàu naøy, haõy löu yù raèng söï ñoäc
laäp thoáng keâ ngaàm ñònh fXY(x, y) = fX(x) . fY(y). Ruùt ra töø keát luaän naøy, chuùng ta coù:
fYX (yx) = fXY(x, y)/fX(x) = fY(y) vaø fXY (xy) = fXY(x, y)/fY(y) = fX(x)
} Baûng 2.4 Phaân phoái xaùc suaát keát hôïp ñoái vôùi soá laàn xuaát hieän caùc con soá 3 (X) vaø
soá 5 (Y) khi moät caëp suùc saéc ñöôïc thaûy.
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright
Nieân khoùa 2003-2004 Phöông phaùp phaân tích
Baøi ñoïc Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng
Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ
Ramu Ramanathan 14 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
X
Y
0 1 2
0 16/36 8/36 1/36
1 8/36 2/36 0
2 1/36 0 0
} VÍ DUÏ 2.9
Baûng 2.4 trình baøy caùc giaù trò xaùc suaát keát hôïp cuûa soá laàn xuaát hieän cuûa soá 3 (X) vaø soá 5
(Y) khi moät caëp suùc saéc ñöôïc thaûy. Chuùng ta haõy tính keát quaû thöù nhaát cuûa maät ñoä caän
bieân cuûa bieán X vaø Y. Vì X = 0 coù theå xaûy ra khi Y = 0 hoaëc 1 hoaëc 2, P(X = 0) coù theå
tính toaùn ñöôïc baèng P(X = 0, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) + P(X = 0, Y = 2) = 16/36 + 8/36 +
1/36 = 25/36. Tính toaùn töông töï, chuùng ta coù P(X = 1) = 10/36 vaø P(X = 2) = 1/36. Löu yù
raèng toång cuûa ba giaù trò xaùc suaát treân laø baèng 1, vì ñieàu naøy laø hieån nhieân. Phaân phoái caän
bieân cuûa Y cuõng ñöôïc xaùc ñònh theo trình töï tính toaùn töông töï. Baûng 2.5 trình baøy caùc
giaù trò caän bieân cuûa X vaø Y ôû caùc haøng vaø coät ngoaøi cuøng töông öùng. Löu yù raèng caùc giaù
trò naøy xuaát hieän vôùi caùc quy luaät gioáng nhau.
} Baûng 2.5 Phaân Phoái Caän Bieân Ñoái Vôùi Soá Laàn Xuaát Hieän Caùc Con Soá 3 (X) Vaø Soá
5 (Y) Khi Moät Caëp Suùc Saéc Ñöôïc Thaûy.
X
Y
0 1 2 fY(y)
0 16/36 8/36 1/36 25/36
1 8/36 2/36 0 10/36
2 1/36 0 0 1/36
fX(x) 25/36 10/36 1/36 1
} Baûng 2.6 Phaân Phoái Coù Ñieàu Kieän Ñoái Vôùi Soá Laàn Xuaát Hieän Caùc Con Soá 5 (Y)
Cho Tröôùc Soá Laàn Xuaát Hieän Cuûa Caùc Soá 3 (X) Khi Moät Caëp Suùc Saéc
Ñöôïc Thaûy.
X
Y
0 1 2
0 0,64 0,32 0,04
1 0,80 0,20 0,00
2 1,00 0,00 0,00
Xaùc suaát coù ñieàu kieän ñeå Y = 0 vôùi X = 0 cho tröôùc ñöôïc tính toaùn nhö sau:
P(Y = 0X = 0) = P(X = 0, Y = 0)/ P(X = 0) = 16/36 ÷ 25/36 = 0,64
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright
Nieân khoùa 2003-2004 Phöông phaùp phaân tích
Baøi ñoïc Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng
Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ
Ramu Ramanathan 15 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Tieán haønh töông töï, chuùng ta seõ coù ñöôïc caùc giaù trò phaân phoái coù ñieàu kieän cuûa bieán Y
vôùi X cho tröôùc trình baøy trong baûng 2.6.
Giaù Trò Kyø Voïng Toaùn Hoïc Trong Tröôøng Hôïp Hai Bieán
Khaùi nieäm kyø voïng toaùn hoïc coù theå môû roäng deã daøng sang tröôøng hôïp caùc bieán ngaãu
nhieân goàm hai bieán. Cho tröôùc haøm g(X, Y) vaø haøm xaùc suaát keát hôïp f(x, y), giaù trò kyø
voïng cuûa g(X, Y) ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch nhaân g(x, y) vôùi f(x, y) vaø coäng toång caùc giaù
trò coù theå coù cuûa x vaø y. Chuùng ta coù caùc ñònh nghóa sau ñaây.
ÑÒNH NGHÓA 2.3 (GIAÙ TRÒ KYØ VOÏNG)
Giaù trò kyø voïng cuûa g(X, Y) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
E[g(X, Y)] =
∑
∑
xy
)y,x(f)y,x(g
Trong ñoù pheùp tính toång hai laàn bieåu dieãn pheùp tính toång treân taát caû caùc giaù trò coù theå coù
cuûa x vaø y. (Vì vaäy giaù trò kyø voïng seõ baèng toång coù troïng soá vôùi giaù trò xaùc suaát keát hôïp
ñöôïc duøng laøm troïng soá).
Goïi µx laø giaù trò kyø voïng cuûa bieán ngaãu nhieân X, vaø µy laø giaù trò kyø voïng cuûa bieán
ngaãu nhieân Y. Phöông sai cuûa chuùng ñöôïc xaùc ñònh töông töï nhö tröôøng hôïp ñôn bieán:
])X[(E 2
x
2
xµ−=σ vaø ])Y[(E 2
y
2
yµ−=σ (2.5)
} BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 2.5
Töø caùc giaù trò xaùc suaát keát hôïp cho trong baûng 2.4, haõy tính trò trung bình µx = E(X), µy =
E(Y), vaø phöông sai 2
x
σ, 2
y
σ. Haõy kieåm chöùng raèng bieán X vaø Y laø khoâng ñoäc laäp thoáng
keâ vôùi nhau.
Giaù Trò Kyø Voïng Coù Ñieàu Kieän vaø Phöông Sai Coù Ñieàu Kieän
Giaù trò kyø voïng cuûa Y vôùi X cho tröôùc ñöôïc goïi laø giaù trò kyø voïng cuûa Y vôùi X cho
tröôùc. Moät caùch cuï theå hôn, ñoái vôùi moät caëp bieán ngaãu nhieân rôøi raïc, thì E(YX =x) =
∑
=yY
yfYX(x,y). Hay noùi caùch khaùc, ñoù laø giaù trò trung bình cuûa Y söû duïng giaù trò maät ñoä
coù ñieàu kieän cuûa ∑
=yY
yfYX(x,y) nhö moät troïng soá. Giaù trò kyø voïng cuûa Y vôùi X cho tröôùc
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright
Nieân khoùa 2003-2004 Phöông phaùp phaân tích
Baøi ñoïc Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng
Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ
Ramu Ramanathan 16 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
coøn ñöôïc goïi laø giaù trò hoài quy cuûa Y theo X. Töø baûng 2.6, chuùng ta coù theå thaáy raèng
E(YX = 0) = (0,64 × 0) + (0,32 × 1) + (0,04 × 2) = 0,32 + 0,08 = 0,4; E(YX = 1) = 0,2;
vaø E(YX = 2) = 0. Trong moâ hình hoài quy ñôn giaûn ñöôïc trình baøy trong ví duï 1.1,
chuùng ta coù PRICE = α + β SQFT + u. Neáu E(uSQFT) = 0 thì E(PRICESQFT) = α + β
SQFT. Vì vaäy, phaàn xaùc ñònh cuûa moâ hình laø giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa bieán
PRICE vôùi SQFT cho tröôùc, khi E(uSQFT) = 0.
Khaùi nieäm giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän ñaõ trình ôû treân coù theå môû roäng deã daøng ñeå
tính toaùn phöông sai coù ñieàu kieän, ñöôïc xaùc ñònh nhö sau. Goïi µ*(X) laø giaù trò kyø voïng
coù ñieàu kieän cuûa Y cho tröôùc X, ñöôïc kyù hieäu laø E(YX). Phöông sai coù ñieàu kieän cuûa Y
vôùi X cho tröôùc ñöôïc ñònh nghóa nhö sau Var(YX) = EYX [(Y – µ* )2 | X ]. Noùi caùch
khaùc, coá ñònh giaù trò cuûa bieán X vaø tính toaùn giaù trò trung bình coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi X
cho tröôùc, vaø sau ñoù tính toaùn phöông sai xung quanh giaù trò trung bình naøy vôùi troïng soá
laø maät ñoä coù ñieàu kieän fYX(x,y).
Moät soá tính chaát cuûa giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän söû duïng trong moân hoïc kinh teá löôïng
ñöôïc toùm taét sau ñaây. Ñeå hieåu roõ theâm veà phaàn chöùng minh, xin tham khaûo taùc giaû
Ramanathan (1993, phaàn 5.2).
Tính chaát 2.4 Ñoái vôùi moïi haøm u(x) thì ta luoân coù E[u(x)X] = u(x). Tính chaát naøy ngaàm ñònh
raèng khi tieán ñeán giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cho tröôùc X thì haøm u(X) tieán ñeán
giaù trò haèng soá. Do ñoù, moät tröôøng hôïp ñaëc bieät ñöôïc suy ra laø neáu c laø haèng soá thì
E(cX) = c.
Tính chaát 2.5 E([a(x) + b(X)Y]X) = a(X) + b(X) E(YX)
Tính chaát 2.6 EXY(Y) = EX [EYX (YX)]. Tính chaát naøy coù nghóa laø giaù trò kyø voïng khoâng ñieàu
kieän cuûa Y, söû duïng maät ñoä chung giöõa X vaø Y, coù theå tính toaùn ñöôïc baèng caùch
tính tröôùc tieân giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi X cho tröôùc (laø bieåu thöùc
trong daáu ngoaëc vuoâng), sau ñoù tính giaù trò kyø voïng cuûa chuùng theo X. Tính chaát
naøy ñöôïc goïi laø luaät cuûa caùc giaù trò kyø voïng laëp (law of iterated expectations).
Tính chaát 2.7 Var(Y) = EX[Var(YX)] + VarX[E(YX)]. Noùi caùch khaùc, giaù trò phöông sai cuûa
Y söû duïng haøm maät ñoä keát hôïp fXY(x, y) tính toaùn ñöôïc seõ töông ñöông vôùi giaù trò
kyø voïng cuûa phöông sai coù ñieàu kieän cuûa bieán Y coäng vôùi phöông sai cuûa giaù trò
kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa bieán Y vôùi X cho tröôùc.
Ñoàng phöông sai vaø töông quan
Khi gaëp phaûi hai bieán ngaãu nhieân, moät trong nhöõng vaán ñeà thöôøng thu huùt söï quan taâm laø
moái quan heä giöõa hai bieán naøy nhö theá naøo? Khaùi nieäm ñoàng phöông sai vaø töông quan
laø hai caùch ñeå ño löôøng möùc ñoä quan heä “chaët” giöõa hai bieán ngaãu nhieân ñoù.
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright
Nieân khoùa 2003-2004 Phöông phaùp phaân tích
Baøi ñoïc Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng
Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ
Ramu Ramanathan 17 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Haõy xem xeùt haøm g(X, Y) = (X – µX)(Y – µY). Giaù trò kyø voïng cuûa haøm soá naøy ñöôïc
goïi laø ñoàng phöông sai giöõa X vaø Y vaø ñöôïc kyù hieäu laø σXY hay Cov(X, Y).
ÑÒNH NGHÓA 2.4 (ÑOÀNG PHÖÔNG SAI)
Giaù trò ñoàng phöông sai giöõa X vaø Y ñöôïc xaùc ñònh nhö sau
σxy = Cov(X, Y) = E[(X – µx)(Y – µy)] = E[XY – Xµy – µxY + µxµy] (2.6)
= E(XY) – µyE(X) – µxE(Y) + µxµy = E(XY) – µxµy
Deã daøng suy ra töø keát luaän treân raèng Cov(X,X) = Var(X)
Caùc ñònh nghóa veà phöông sai vaø ñoàng phöông sai ñeàu ñuùng trong caû hai tröôøng hôïp
phaân phoái coù daïng rôøi raïc vaø lieân tuïc. Vì phöông sai chæ laø moät ñaïi löôïng ño löôøng möùc
ñoä phaân taùn cuûa bieán ngaãu nhieân xung quanh giaù trò trung bình, neân ñoàng phöông sai
giöõa hai bieán ngaãu nhieân seõ laø ñaïi löôïng ño löôøng möùc ñoä lieân keát chung giöõa chuùng. Giaû
söû raèng hai bieán ngaãu nhieân rôøi raïc X vaø Y quan heä ñoàng höôùng vôùi nhau, vaø do ñoù khi
giaù trò Y taêng thì giaù trò X cuõng taêng theo nhö bieåu dieãn treân hình 2.6. Caùc voøng troøn nhoû
bieåu thò caùc caëp giaù trò cuûa X vaø Y töông öùng vôùi caùc keát quaû khaû dó giôùi haïn. Ñöôøng
gaïch chaám bieåu dieãn giaù trò trung bình µx vaø µy. Baèng caùch chuyeån truïc toaï ñoä ñeán ñöôøng
gaïch chaám naøy vôùi goác toaï ñoä laø (µx, µy), chuùng ta coù theå thaáy raèng Xi – µx vaø Yi – µy laø
ñoä daøi tính töø goác toaï ñoä môùi, ñoái vôùi moät keát quaû naøo ñoù ñöôïc kyù hieäu baèng haäu toá i . Töø
hình veõ, coù theå chöùng minh raèng caùc ñieåm naèm trong phaàn tö thöù nhaát vaø thöù ba seõ laøm
cho tích (Xi – µx)(Yi – µy) luoân coù giaù trò döông, vì töøng soá haïng trong bieåu thöùc seõ cuøng
döông hoaëc cuøng aâm. Khi chuùng ta tính toaùn ñaïi löôïng ñoàng phöông sai laø toång coù troïng
soá caùc tích bieåu thöùc treân, keát quaû cuoái cuøng coù khuynh höôùng nhaän giaù trò döông vì coù
nhieàu soá haïng döông hôn caùc soá haïng aâm. Vì vaäy, giaù trò ñoàng phöông sai coù khuynh
höôùng daáu döông. Trong tröôøng hôïp caû hai bieán X vaø Y di chuyeån theo höôùng ngöôïc laïi,
giaù trò Cov(X, Y) seõ coù daáu aâm.
Maëc duø ñaïi löôïng ñoàng phöông sai raát coù ích trong vieäc xaùc ñònh tính chaát cuûa moái
lieân keát giöõa X vaø Y nhöng noù toàn taïi moät vaán ñeà khaù nghieâm troïng laø caùc giaù trò tính
baèng soá raát nhaïy ñoái vôùi giaù trò ñôn vò duøng ñeå ño bieán X vaø Y. Neáu X laø moät loaïi bieán
taøi chính tính baèng ñoâ-la hôn laø tính baèng ñôn vò ngaøn ñoâ-la, ñaïi löôïng ñoàng phöông sai
seõ doác ñöùng do aûnh höôûng cuûa heä soá 1.000. Ñeå traùnh vaán ñeà naøy, ngöôøi ta seõ söû duïng ñaïi
löôïng ñoàng phöông sai “ñöôïc chuaån hoùa”. Ñaïi löôïng naøy coøn ñöôïc goïi laø heä soá töông
quan giöõa bieán X vaø Y vaø ñöôïc kyù hieäu laø ρxy.
ÑÒNH NGHÓA 2.5 (HEÄ SOÁ TÖÔNG QUAN)