Giáo trình xác suất thốn kê

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:112

Thêm vào BST

Báo xấu

105
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

ui tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó được chia thành k giai đoạn. Có n1 cách thực hiện giai đoạn thứ nhất, n2 cách thực hiện giai đoạn thứ 2,...n cách thực hiện giai đoạn thứ k. Khi đó ta có:... Ví dụ 1: Giả sử để đi từ A đến C ta bắt buộc phải đi qua điểm B. Có 3 đường khác nhau để đi từ A đến B và có 2 đường khách nhau để đi từ B đến C. Vậy có n= 3.2 cách khác nhau để đi từ A đến C......

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình xác suất thốn kê

Chuong 1 ’’ ` ˜’ ’’ ´ ˆ ˆ´ ˆ ´ NHUNG KHAI NIEM CO BAN VE XAC SUAT . ’ ` ’ ’ BO TUC VE GIAI T´ ˆ´ ˆ ˆ 1. .’ ICH TO HOP ´ ˘ 1.1 Qui tac nhˆn a ’ ’’ o o Gia su mˆt cˆng viˆc n`o do duoc chia th`nh k giai doan. C´ n1 c´ch thuc hiˆn giai e a ¯´ ¯ ’ .’ a ¯. o a e .’ . . . ´a ´ ´ ´ doan thu nhˆt, n2 c´ch thuc hiˆn giai doan thu hai,...,nk c´ch thuc hiˆn giai doan thu ¯. a e ¯. a e ¯. ’ ’ ’ ’ ’ . . . . k. Khi do ta c´ ¯´ o n = n1 .n2 . . . nk c´ch thuc hiˆn cˆng viˆc. a eo e .’ . . • V´ du 1 Gia su dˆ’ di tu A dˆn C ta bat buˆc phai di qua diˆ’m B. C´ 3 duong kh´c ´ ´ ’ ’’ ¯e ¯ ` ¯e o ¯ ’` ’¯ ˘ ı. o ¯e a ’ ’ . ’ di tu A dˆn B v` c´ 2 duong kh´c nhau dˆ’ di tu B dˆn C. Vˆy c´ n = 3.2 c´ch ´ ´ nhau dˆ ¯ ` ¯e ¯e ¯ ` ¯e a o ¯ ’` ¯e a ao a ’ ’ ’ . ’ di tu A dˆn C. ´ ` ¯e kh´c nhau dˆ ¯ ’ a ¯e A B C ’ 1.2 Chinh hop ’ . o o ´ .’ a ’’ ˜ ` ’ ’ 2 ¯ inh nghia 1 Chinh hop chˆp k cua n phˆn tu (k ≤ n) l` mˆt nh´m (bˆ) c´ thu tu D. a ao o .’ ’ . . . ` ’’ a ` ’’ ¯˜ ` k phˆn tu kh´c nhau chon tu n phˆn tu da cho. ` gˆm o a a ’ . ´ a ’’ ı e a n ` Sˆ chinh hop chˆp k cua n phˆn tu k´ hiˆu l` Ak . o’ ’ a .’ . . n! ´ ınh: Ak = Cˆng thuc t´ o = n(n − 1) . . . (n − k + 1) ’ n (n − k )! ’ ´ ` ’` ’oaa ’. • V´ du 2 Mˆt buoi hop gˆm 12 nguoi tham du. Hoi c´ mˆy c´ch chon mˆt chu toa ı. o ˆ.o o ’ .’ . . . v` mˆt thu k´? ao ’y . ’ Giai ’ ˜ ’y` ’` ’. Mˆi c´ch chon mˆt chu toa v` mˆt thu k´ tu 12 nguoi tham du buˆi hop l` mˆt oa o ao .’ o . a o ’ ’ . . . . a ’’ ` ’ ’ chinh hop chˆp k cua 12 phˆn tu. a .’ . 1
´ ` ˜ ’’ 2 Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt ’’ a e ea a ’ . ´ Do d´ sˆ c´ch chon l` A2 = 12.11 = 132. ¯o o a . a 12 o e’ a ¯ ’.’ ´a ’´ ´ ` ˜o • V´ du 3 Voi c´c chu sˆ 0,1,2,3,4,5 c´ thˆ lˆp duoc bao nhiˆu sˆ kh´c nhau gˆm 4 ı. eoa o ’ . ’´ ˜o chu sˆ. ’ Giai ´´ ` ` ’´ ´` ’´ ˜o ˜o ’ aoo a o ˘ ¯a ˘ C´c sˆ bat dˆu bang chu sˆ 0 (0123, 0234,...) khˆng phai l` sˆ gˆm 4 chu sˆ. o ’´` e ’´ ’´ ˜ o ¯a ˜o ˜o ’ Chu sˆ dˆu tiˆn phai chon trong c´c chu sˆ 1,2,3,4,5. Do do c´ 5 c´ch chon chu sˆ a ¯´ o a . . ` dˆu tiˆn. ¯a e Ba chu sˆ kˆ tiˆp c´ thˆ’ chon t`y y trong 5 chu sˆ c`n lai. C´ A3 c´ch chon. ’´´´ ’´ ˜oe e o e . u´ ˜oo . o 5a . ´ Vˆy sˆ c´ch chon l` 5.A3 = 5.(5.4.3) = 300 a oa .a . 5 ’ 1.3 Chinh hop l˘p .a ’. o ´ .’ o a ’’ a o ˜ ` ` ’ ’ 2 ¯ inh nghia 2 Chinh hop l˘p chˆp k cua n phˆn tu l` mˆt nh´m c´ thu tu gˆm k D. .’ a a o ’ . . . ’ c´ m˘t 1,2,...,k lˆn trong a ’’ . ` a ’’ ¯˜ ˜ a ’’ o e ` ` ` ` phˆn tu chon tu n phˆn tu da cho, trong d´ mˆi phˆn tu c´ thˆ o a ¯o o a ’ . nh´m. o ´ a ’’ ¯ ’.’ ı e ` k o’ ’ Sˆ chinh hop l˘p ch˘p k cua n phˆn tu duoc k´ hiˆu Bn . .’ a a . . . ´ ınh Cˆng thuc t´ o ’ Bn = nk k ´ ´ ´ ’o • V´ du 4 Xˆp 5 cuˆn s´ch v`o 3 ng˘n. Hoi c´ bao nhiˆu c´ch xˆp ? ı. e oa a a ea e ’ Giai ´ ´ ˜ ˜` ’ ’ Mˆi c´ch xˆp 5 cuˆn s´ch v`o 3 ng˘n l` mˆt chinh hop l˘p chˆp 5 cua 3 (Mˆi lˆn oa e oa a aao .’ a a oa . . . ´ ´ ´ xˆp 1 cuˆn s´ch v`o 1 ng˘n xem nhu chon 1 ng˘n trong 3 ng˘n. Do c´ 5 cuˆn s´ch nˆn e oa a a a a o oa e ’. ´ h`nh 5 lˆn). ` viˆc chon ng˘n duoc tiˆn a e a ¯ ’ .’ e a . . ´ ´ Vˆy sˆ c´ch xˆp l` B3 = 35 = 243. ea5 a oa . 1.4 Ho´n vi a . o ´ .’ o ¯’ a a ’’ a o ˜ ` ` ` a .’ 2 ¯ inh nghia 3 Ho´n vi cua m phˆn tu l` mˆt nh´m c´ thu tu gˆm du m˘t m phˆn D. o a ’ . . ’’ da cho. tu ¯˜ ´ a ’’ ¯ ’.’ ı e a ` o a .’ Sˆ ho´n vi cua m phˆn tu duoc k´ hiˆu l` Pm . . ´ ınh Cˆng thuc t´ o ’ Pm = m! ´ ´ ˜` ’oaa • V´ du 5 Mˆt b`n c´ 4 hoc sinh. Hoi c´ mˆy c´ch xˆp chˆ ngˆi ? ı. oao e oo . . ’ Giai ´ ´ a ’’ ˜ ˜ ’’ o a a o ` o’ a .’ Mˆi c´ch xˆp chˆ cua 4 hoc sinh o mˆt b`n l` mˆt ho´n vi cua 4 phˆn tu. Do d´ sˆ oa e ¯o o . . . ´ c´ch xˆp l` P4 = 4! = 24. a ea
’ ’ ` e ’ ıch o .’ 3 1. Bˆ t´ c vˆ giai t´ tˆ hop ou ’’ 1.5 Tˆ hop o. ’ a ’’ ˜ ` ’ 2 ¯ inh nghia 4 Tˆ hop chˆp k cua n phˆn tu (k ≤ n) l` mˆt nh´m khˆng phˆn biˆt D. o .’ a ao o o a e . . . ´ tu, gˆm k phˆn tu kh´c nhau chon tu n phˆn tu da cho. ` ’’ a ` ’’ ¯˜ ` ` thu .’ o a a ’ ’ . ´’ a ’’ ı e a k ` ’ Sˆ tˆ hop chˆp k cua n phˆn tu k´ hiˆu l` Cn . o o .’ a . . ´ ınh Cˆng thuc t´ o ’ n! n(n − 1) . . . (n − k + 1) k Cn = = k !(n − k )! k! Ch´ y u´ ’´ i) Qui uoc 0! = 1. ’ ii) Cn = Cn −k . k n k −1 k k iii) Cn = Cn−1 + Cn−1 . ’ o e’ a ´ ’´ ˜ o ¯e` ` ’a ’ • V´ du 6 Mˆi dˆ thi gˆm 3 cˆu hoi lˆy trong 25 cˆu hoi cho truoc. Hoi c´ thˆ lˆp ı. o a a ’ . ` nˆn bao nhiˆu dˆ thi kh´c nhau ? e e ¯e a ’ Giai 25! 25.24.23 Sˆ dˆ thi c´ thˆ’ lˆp nˆn l` C25 ´ o ea e a 3 o ¯e` = = = 2.300. . 3!.(22)! 1.2.3 ’ o ` ¯ e’ a y o o ˜’ ´ ’ ’’ . ˜ • V´ du 7 Mˆt m´y t´nh c´ 16 cˆng. Gia su tai mˆi thoi diˆm bˆt k` mˆi cˆng ho˘c ı. oaı o o a ’ . . trong su dung ho˘c khˆng trong su dung nhung c´ thˆ’ hoat dˆng ho˘c khˆng thˆ hoat e’ . ’’ . ’’ . a o o e . ¯o a o ’ . . . ’ ´ ’’ . ’o dˆng. Hoi c´ bao nhiˆu cˆu h`nh (c´ch chon) trong d´ 10 cˆng trong su dung, 4 khˆng ¯o eaı a ¯o o o . . ’’ dung nhung c´ thˆ’ hoat dˆng v` 2 khˆng hoat dˆng? trong su . o e . ¯o a o . ¯o ’ . . ’ Giai De’ a ¯i ´ ’´ ¯ ˆ x´c d.nh sˆ c´ch chon ta qua 3 buoc: oa ’ . ’ ’´ ’’ . o 10 Buoc 1: Chon 10 cˆng su dung: c´ C16 = 8008 c´ch. o a ’ . Buoc 2: Chon 4 cˆng khˆng trong su dung nhung c´ thˆ’ hoat dong trong 6 cˆng c`n ’ ’ ’´ ’’ . o o o e . ¯ˆ o o ’ ’ . . 4 lai: c´ C6 = 15 c´ch. o a . Buoc 3: Chon 2 cˆng khˆng thˆ’ hoat dˆng: c´ C2 = 1 c´ch. ’ ’´ o2 o o e . ¯o a ’ . . ´ o 10 4 2 ˘ Theo qui tac nhˆn, ta c´ C16 .C6 .C2 = (8008).(15).(1) = 120.120 c´ch. a a ´ 1.6 Nhi thuc Newton ’ . ’’ o o ’ ’ ` ´ ´ ¯a ´ ¯˜ e a ˘ ¯˘ O phˆ thˆng ta da biˆt c´c hang dang thuc d´ng nho’ ’ a + b = a 1 + b1 (a + b)2 = a2 + 2a1 b1 + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b1 + 3a1 b2 + b3 ’ C´c hˆ sˆ trong c´c hang dang thuc trˆn c´ thˆ’ x´c d.nh tu tam gi´c Pascal ` .´ ´ e o e a ¯i ` a ˘ ¯˘ a eo a ’ ’
´ ` ˜ ’’ 4 Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt ’’ a e ea a ’ . 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 0 1 2 3 4 Cn −1 n n Cn Cn Cn Cn Cn ... Cn ’’ ¯˜ ´ ´o .´ Newton da chung minh duoc cˆng thuc tˆng qu´t sau (Nhi thuc Newton): ¯ ’ .’ o a ’ ’ n Cn an−k bk k (a + b)n = k =o = Cn an + Cn an−1 b + Cn an−2 b2 + . . . + Cn an−k bk + . . . + Cn −1 abn−1 + Cn bn 0 1 2 k n n ´ ´ (a,b l` c´c sˆ thuc; n l` sˆ tu nhiˆn) a a o .’ a o .’ e ´ ´ ´ ´ ˆ ˆ` ˆ ´ ˆ ˆ 2. ˜’ BIEN CO VA QUAN HE GIUA CAC BIEN CO . ´´ ’aeo 2.1 Ph´p thu v` biˆn cˆ e ’ Viˆc thuc hiˆn mˆt nh´m c´c diˆu kiˆn co ban dˆ’ quan s´t mˆt hiˆn tuong n`o do a ¯ e` e ’ ’ ¯e e e o o a o e a ¯´ ’ .’ .’ . . . . . . ’’ C´c kˆt qua c´ thˆ’ xay ra cua ph´p thu duoc goi l` biˆn cˆ (su ´ ´´ ’’ ¯ ’ .’ . a e o .’ ’o e’ ’ duoc goi mˆt ph´p thu. a e ¯ ’ .’ . o e e . kiˆn). e . • V´ du 8 ı. ´ ’’ Do ’’ a o ` e` e a o ` e` a a a ¯o a i) Tung dˆng tiˆn lˆn l` mˆt ph´p thu. ¯ ˆng tiˆn lˆt m˘t n`o d´ (xˆp, ngua) l` mˆt ¯o e . . . . ´´ biˆn cˆ. eo ´ ’’ ˘ ii) Ban mˆt ph´t s´ng v`o mˆt c´i bia l` mˆt ph´p thu. Viˆc viˆn dan tr´ng (trˆt) o au a oa ao e e e ¯. u a . . . . . ´n cˆ. ´ bia l` mˆt biˆ o aoe . ´´ ´´ e˜a 2.2 C´c biˆn cˆ v` quan hˆ giua c´c biˆn cˆ a e oa eo ’ . i) Quan hˆ k´o theo ee . ´´ ´´ ´ ’ ’ Biˆn cˆ A duoc goi l` k´o theo biˆn cˆ B, k´ hiˆu A ⊂ B , nˆu A xay ra th` B xay e o ¯ ’ .’ . a e eo ıe e ı . ra. ii) Quan hˆ tuong duong e ’’ ¯’’ . ´´ ´ ´ Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` tuong duong voi nhau nˆu A ⊂ B v` B ⊂ A, k´ hiˆu eo a ¯ ’ .’ . a ’ ’ ¯ ’ ’ e a ıe ’ . A = B. ´´ ´ iii) Biˆn cˆ so cˆp e o’a Biˆn cˆ so cˆp l` biˆn cˆ khˆng thˆ’ phˆn t´ duoc nua duoc nua. ´´ ´ ´´ e a ıch ¯ ’ .’ ˜ ¯ ’ .’ e o ’a a e o o ’ ’ ´´´ ´ eo˘ ˘ iv) Biˆn cˆ chac chan ´´´ ’’ ı e e’ L` biˆn cˆ nhˆt d.nh s˜ xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. K´ hiˆu Ω. a e o a ¯i e e .’ . .
´ oa´ ´o ´ e˜a 5 2. Biˆn cˆ v` quan hˆ giua c´c biˆn cˆ e e ’ . ´ ´ ´´. ´´e’ u˘ u ˘ oo a • V´ du 9 Tung mˆt con x´c xac. Biˆn cˆ m˘t con x´c xac c´ sˆ chˆm b´ hon 7 l` ı. o eoa a . ´ ´ ´n co chac chan. ´˘ ˘ biˆ ˆ e ’ ´´o v) Biˆn cˆ khˆng thˆ eo e ´´´ ’’ ı e ’ L` biˆn cˆ nhˆt d.nh khˆng xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. K´ hiˆu ∅. a e o a ¯i o e e .’ . . ⊕ Nhˆn x´t Biˆn cˆ khˆng thˆ’ ∅ khˆng bao h`m mˆt biˆn cˆ so cˆp n`o, nghia l` ´´ ´´ ´a ˜a a e eoo e o a o e o ’a . . ´ cˆ so cˆp n`o thuˆn loi cho biˆn cˆ khˆng thˆ’. ´’a a ´ ´o khˆng c´ biˆn o o oe a .’ eo e . ´´a ˜ vi) Biˆn cˆ ngˆu nhiˆn eo e L` biˆn cˆ c´ thˆ’ xay ra ho˘c khˆng xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. Ph´p thu m` ´´ ’’ ’’ a a e oo e’ ’ a o e e e .’ . . ´ ´´˜ ’’ a˜ ’’ c´c kˆt qua cua n´ l` c´c biˆn cˆ ngˆu nhiˆn duoc goi l` ph´p thu ngˆu nhiˆn. ae oaa eoa e ¯ ’ .’ . a e e ´ ´’ vii) Biˆn cˆ tˆng e oo ’ ´´ ´´ ´ ’ ’ Biˆn cˆ C duoc goi l` tˆng cua hai biˆn cˆ A v` B, k´ hiˆu C = A + B , nˆu C xay e o ¯ ’ .’ . a o eo a ıe e . ´o ´´ ra khi v` chi’ khi ´ nhˆt mˆt trong hai biˆn cˆ A v` B xay ra. ’ a ıt a eo a . ´ ´ ´ ´ ’` ’` .’ a u ˘a • V´ du 10 Hai nguoi tho s˘n c`ng ban v`o mˆt con th´. Nˆu goi A l` biˆn cˆ nguoi ı. o ue. aeo ’ ’ . ´u ´u ´ nhat ban tr´ng con th´ v` B l` biˆn cˆ nguoi thu hai ban tr´ng con th´ th` C = A + B ´˘ ´o ´ ’` ´ ˘ thu ˆ ua a e uı ’ ’ ’ ´ ´n cˆ con th´ bi ban tr´ng. ´ ˘ l` biˆ o ae u. u Ch´ y u´ i) Moi biˆn cˆ ngˆu nhiˆn A dˆu biˆ’u diˆn duoc duoi dang tˆng cua mˆt sˆ biˆn cˆ ’ ´´˜ ’´ . .´´´ ˜ ¯e` e ’ eoa e e ¯ ’ .’ o ooeo ’ . ’ ´ ´´ ´ ´´ so cˆp n`o do. C´c biˆn cˆ so cˆp trong tˆng n`y duoc goi l` c´c biˆn cˆ thuˆn loi cho ’ a a ¯´ a e o ’a o a ¯ ’ .’ . a a eo a .’ . ´ cˆ A. ´ biˆn o e ii) Biˆn cˆ chac chan Ω l` tˆng cua moi biˆn cˆ so cˆp c´ thˆ’, nghia l` moi biˆn cˆ ’ ´´´ ´ ´´ ´ ´´ ˜a . ’ eo˘ ˘ ao e o ’a o e eo . ´ ´´ ´ ’ a ¯e` so cˆp dˆu thuˆn loi cho Ω. Do do Ω c`n duoc goi l` khˆng gian c´c biˆn cˆ so cˆp. a .’ ¯´ o ¯ ’ .’ . a o a e o ’a . ´ ´´ ´ u˘ • V´ du 11 Tung mˆt con x´c xac. Ta c´ 6 biˆn cˆ so cˆp A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , trong ı. o o e o ’a . ´n cˆ xu´t hiˆn m˘t j chˆm j = 1, 2, . . . , 6. ´ae ´ d´ Aj l` biˆ o ¯o ae a a . . ˜ ´´´e a´o a’´´ ´´ ˘ Goi A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t voi sˆ chˆm chan th` A c´ 3 biˆn cˆ thuˆn loi l` aeoa ı o eo a .’ a . . . . A2 , A 4 , A 6 . Ta c´ A = A2 + A4 + A6 o ´´´. a´o a’´´ ´ ´´ Goi B l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t voi sˆ chˆm chia hˆt cho 3 th` B c´ 2 biˆn cˆ thuˆn aeoa e e ı o eo a . . . loi l` A3 , A6 . ’a . Ta c´ B = A3 + A6 o ´´ viii) Biˆn cˆ t´ e o ıch ´´ ´´ ´ e o ¯ ’ .’ . a ıch ’ ’ Biˆn cˆ C duoc goi l` t´ cua hai biˆn cˆ A v` B, k´ hiˆu AB, nˆu C xay ra khi v` eo a ıe e a . ˜ chi’ khi ca A lˆn B c`ng xay ra. ’ ’ a u
´ ` ˜ ’’ 6 Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt ’’ a e ea a ’ . ´ ’` u ˘a • V´ du 12 Hai nguoi c`ng ban v`o mˆt con th´. ı. o u ’ . ’ ´´ ´ ´ ´ ’` ’ ´a˘ ´ ´ ’` ’´ ˘ Goi A l` biˆn cˆ nguoi thu nhˆt ban truot, B l` biˆn cˆ nguoi thu hai ban truot th` aeo aeo ı ’.’ ’.’ ’ . ´ ´ cˆ con th´ khˆng bi ban tr´ng. ´ .˘ C = AB l` biˆn o ae uo u ´´. ix) Biˆn cˆ hiˆu eoe ´´ ´´ ´´ Hiˆu cua biˆn cˆ A v` biˆn cˆ B, k´ hiˆu A \ B l` biˆn cˆ xay ra khi v` chi’ khi A e’ ae o’ eo aeo ıe a . . ’ ’ xay ra nhung B khˆng xay ra. o ’ ´ ´´ ˘ x) Biˆn cˆ xung khac eo ´´ ´´ ´´ ` ` ˘e Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` hai biˆn cˆ xung khac nˆu ch´ng khˆng dˆng thoi eo a ¯ ’ .’ . a eo u o ¯o ’ ’’ ’ xay ra trong mˆt ph´p thu. o e . ` ` • V´ du 13 Tung mˆt dˆng tiˆn. ı. o ¯o e . ´´´. .´ ´´´. ’’ Goi A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t xˆp, B l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t ngua th` AB = ∅. aeoa e aa aeoa e a ı . . ´ ´´. xi) Biˆn cˆ dˆi lˆp e o ¯o a ´´ e o ¯ ’ .’ . a e o ¯o a ´ e o ´´ ´ ´´. ’´´ ’ Biˆn cˆ khˆng xay ra biˆn cˆ A duoc goi l` biˆn cˆ dˆi lˆp voi biˆn cˆ A. K´ hiˆu A. eoo ıe . Ta c´ o A + A = Ω, AA = ∅ ⊕ Nhˆn x´t a e . ´ ´’ ´ ´. ’’ ´ ´ Qua c´c kh´i niˆm trˆn ta thˆy c´c biˆn cˆ tˆng, t´ hiˆu, dˆi lˆp tuong ung voi a ae e aa e oo ıch, e ¯o a ’ ’ . . ` b` cua l´ thuyˆt tˆp hop. Do d´ ta c´ thˆ’ su dung c´c ph´p ´a ’’ . ’y tˆp hop, giao, hiˆu, phˆn u a e a e. ¯o oe a e .’ .’ . . ´´ to´n trˆn c´c tˆp hop cho c´c ph´p to´n trˆn c´c biˆn cˆ. a eaa a e a ea eo ’ . . Ta c´ thˆ’ d`ng biˆ’u dˆ Venn dˆ’ miˆu ta c´c biˆn cˆ. ´´ ` ¯e e ’ a o eu e ¯o eo Ω Ω Ω ´ ´ AB A+B ˘ ˘ Bc chac chan Ω Ω Ω A A A A B B ´ ´. A=⇒B ˘ A,B xung khac ¯ ˆi lˆp A Do a
´ 7 3. X´c suˆt a a ´ ´ ˆ 3. XAC SUAT ´’ ’ ´ ˜a 3.1 ¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆn D. a o o ¯e 2 ¯ inh nghia 5 Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong d´ ´ ´` ’ ’’ e ’’ o ˜ ’a oe’ D. e o ¯o ¯o ’ ´n cˆ dˆng kha n˘ng thuˆn loi cho biˆn cˆ A (A l` tˆng cua m biˆn cˆ so cˆp ´ ¯o ´o ´ ´ o ’a ´ ´ ` ’a ’ c´ m biˆ o o e a .’ e ao e . ` ´ ´´ ´ ˜˘ a’ n`y). Khi d´ x´c suˆt cua biˆn cˆ A, k´ hiˆu P (A) duoc d. nh nghia bang cˆng thuc sau: a ¯o a eo ıe ¯ ’.’ ¯i o ’ . ´ o ’` m Sˆ truong hop thuˆn loi cho A a .’ ’ .’ . P (A) = = ’ ´ truong hop c´ thˆ xay ra n ` .’ o e ’ Sˆ ’ ’ o ´ ´ ´ ´ ´e ` u ˘ a ¯o ¯o • V´ du 14 Gieo mˆt con x´c xac cˆn dˆi, dˆng chˆt. T´ x´c suˆt xuˆt hiˆn m˘t ı. o a ınh a a a a . . . ˜ ˘ chan. ’ Giai ˜ ´´´e ´ ´´´e ˘ Goi Ai l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t i chˆm v` A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t chan th` aeoa a a a aeoa a ı . . . . . A = A2 + A4 + A6 Ta thˆy ph´p thu c´ 6 biˆn cˆ so cˆp dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra trong d´ c´ 3 ´ ´´ ´ ’’ o ` ’a oe’ a e e o ’ a ¯o ¯o o ´´ biˆn cˆ thuˆn loi cho A. eo a .’ . 3 1 P (A) = = 6 2 ´´ ´. ` ’` . ¯ e o o ’ o ¯e • V´ du 15 Mˆt nguoi goi diˆn thoai nhung lai quˆn 2 sˆ cuˆi cua sˆ diˆn thoai cˆn ı. o e .a ’ ’ . . . . ’ nguoi d´ quay ngˆu nhiˆn mˆt ´a ´ ´ ˜ goi m` chi’ nho l` 2 sˆ d´ kh´c nhau. T` x´c suˆt dˆ ’` ¯o a o ¯o a ım a a ¯e a e o ’ ’ . . ´a . ` tr´ng sˆ cˆn goi. ` lˆn u a o ’ Giai ´ ´ ’` ¯o ´` ˜ .`u Goi A l` biˆn cˆ nguoi d´ quay ngˆu nhiˆn mˆt lˆn tr´ng sˆ cˆn goi. aeo a e oa oa . ’ . Sˆ biˆn cˆ so cˆp dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra (sˆ c´ch goi 2 sˆ cuˆi) l` n = A2 = 90. ´´´ ´` ´ ´´ ’a oe’ o e o ’ a ¯o oa ooa . 10 ´´´ Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho A l` m = 1. oeo a .’ a . 1 Vˆy P (A) = a . . 90 • V´ du 16 Trong hˆp c´ 6 bi trang, 4 bi den. T` x´c suˆt dˆ’ lˆy tu hˆp ra duoc ´ ´ ´ ’. a ¯e a ` o ˘ ı. oo ¯ ım a ¯ ’.’ . i) 1 viˆn bi den. e ¯ ´ ˘ ii) 2 viˆn bi trang. e ’ Giai ´ ´´ ’ . ´ ´´ ’ . a e oa ` o a e oa ` o Goi A l` biˆn cˆ lˆy tu hˆp ra duoc 1 viˆn bi den v` B l` biˆn cˆ lˆy tu hˆp ra 2 ¯ ’ .’ e ¯ a . ´ng. ˘ viˆn bi tra e Ta c´ o
´ ` ˜ ’’ 8 Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt ’’ a e ea a ’ . 1 C4 2 i) P (A) = = 1 C10 5 2 C6 1 ii) P (B ) = 2 = C10 3 ´ ˜ ’.˜ e ` o oau’ • V´ du 17 R´t ngˆu nhiˆn tu mˆt cˆ b`i t´ lo kho 52 l´ ra 5 l´. T` x´c suˆt sao ı. u a a a ım a a ’ cho trong 5 l´ r´t ra c´ au o a ¯’ a a ¯ a) 3 l´ do v` 2 l´ den. ` b) 2 con co, 1 con rˆ, 2 con chuˆn. o o ’ ’ Giai ´´ a ¯’ a a ¯ Goi A l` biˆn cˆ r´t ra duoc 3 l´ do v` 2 l´ den. a e ou ¯ ’ .’ . ´ cˆ r´t ra duoc 2 con co, 1 con rˆ, 2 con chuˆn. ´u ` B l` biˆn o ae ¯ ’ .’ o o ’ Sˆ biˆn cˆ c´ thˆ’ xay ra khi r´t 5 l´ b`i l` C52 . ´´´ aaa5 o e oo e’ u ´´´ a32 a) Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho A l` C26 .C26 . oeo a .’ . 3 2 C26 .C26 845000 P (A) = = = 0, 3251 5 C52 2598960 ´´´ a212 b) Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho B l` C13 .C13 .C13 oeo a .’ . 2 1 2 C13 .C13 .C13 79092 P (B ) = = = 0, 30432 5 C52 2598960 a ¯e’ o ıt ´ ` ’` • V´ du 18 (B`i to´n ng`y sinh) Mˆt nh´m gˆn n nguoi. T` x´c suˆt dˆ c´ ´ ı. o o o ım a ’ a a a . ´t hai nguoi c´ c`ng ng`y sinh (c`ng ng`y v` c`ng th´ng). ` ou nhˆ a a u a au a ’’ ’ Giai Goi S l` tˆp hop c´c danh s´ch ng`y sinh c´ thˆ’ cua n nguoi v` E l` biˆn cˆ c´ ´ ´´ ’` a o e’ aa .’ a a a a e o o ıt ’ . . ´ ’` nhˆt hai nguoi trong nh´m c´ c`ng ng`y sinh trong n˘m. a o ou a a ’ ´´ ’´ ’` a y Ta c´ E l` biˆn cˆ khˆng c´ hai nguoi bˆt k` trong nh´m c´ c`ng ng`y sinh. o aeoo o o ou a ´ ’` .’ ’ Sˆ c´c truong hop cua S l` oa a ’ n(S ) = 365.365 . . . 365 = 365n n ´ o ’` Sˆ truong hop thuˆn loi cho E l` a .’ a ’ .’ . n(E ) = 365.364.363. . . . [365 − (n − 1)] [365.364.363. . . . (366 − n)](365 − n)! = (365 − n)! 365! = (365−n)!
´ 9 3. X´c suˆt a a ´` ’a V` c´c biˆn cˆ dˆng kha n˘ng nˆn ıa e o ¯o e 365! n(E ) 365! (365−n)! P (E ) = = = n n .(365 − n)! n(S ) 365 365 Do d´ x´c suˆt dˆ’ ´ nhˆt c´ hai nguoi c´ c`ng ng`y sinh l` ´ ´ ’` o u ¯o a a ¯e ıt a o a a ’ 365! 365! (365−n)! P (E ) = 1 − P (E ) = 1 − = 365n 365n .(365 − n)! ´ ’` ´ ´ ’` o u Sˆ nguoi trong nh´m o o X´c suˆt c´ ´ nhˆt 2 nguoi c´ c`ng ng`y sinh a a o ıt a a ’ ’ n P (E ) 5 0,027 10 0,117 15 0,253 20 0,411 23 0,507 30 0,706 40 0,891 50 0,970 60 0,994 70 0,999 ’ Bang b`i to´n ng`y sinh a a a Ch´ y ¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆ’n c´ mˆt sˆ han chˆ: ´’ ´ .´ ´ ˜a u ´ D. a o o ¯e o o o . e ´´ ´ i) N´ chi’ x´t cho hˆ huu han c´c biˆn cˆ so cˆp. e˜ . a o e e o ’a .’ ` ’u a ’a ’ ii) Khˆng phai l´c n`o viˆc ”¯ˆng kha n˘ng” c˜ng xay ra. o e do u . ´ ´ ´ ˜a 3.2 ¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi thˆng kˆ D. a o o e ´´ ´e ’’ ’ ’’ e o ˜ ` ` 2 ¯ inh nghia 6 Thuc hiˆn ph´p thu n lˆn. Gia su biˆn cˆ A xuˆt hiˆn m lˆn. Khi D. e e a a a .’ . . `´ ´´ ´ ¯ ’.’ . a a ´ ´. ´ ` m ¯ ’.’ . a a o ’ a’o d´ m duoc goi l` tˆn sˆ cua biˆn cˆ A v` ty sˆ n duoc goi l` tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn ¯o eo a ae e ´ ’’ cˆ A trong loat ph´p thu. o e . ´ ´ ´e ´´ .´ ’’ a ` a e` o o a ` Cho sˆ ph´p thu t˘ng lˆn vˆ han, tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn cˆ A dˆn vˆ mˆt sˆ x´c oe e o. a a a eo . ´ ´´ a’ d. nh goi l` x´c suˆt cua biˆn cˆ A. ¯i . aa eo m P (A) = nlim n →∞ ´ ´ • V´ du 19 Mˆt xa thu ban 1000 viˆn dan v`o bia. C´ xˆp xi’ 50 viˆn tr´ng bia. Khi o. ’˘ ı. e ¯. a oa e u . ’. ’ ˘ ´ ´t dˆ xa thu ban tr´ng bia l` 50 = 5%. d´ x´c suˆ ¯e ¯o a a u a 1000 • V´ du 20 ¯ ˆ’ nghiˆn cuu kha n˘ng xuˆt hiˆn m˘t sˆp khi tung mˆt dˆng tiˆn, nguoi e´ ´. .´ ` e` ’` ’a ı. De ae aa o ¯o ’ ’ . ´ ´ ´ ¯a ` e` e` a a ` ’’ ’ ’ ta tiˆn h`nh tung dˆng tiˆn nhiˆu lˆn v` thu duoc kˆt qua cho o bang duoi dˆy: ea ¯o ¯ ’.’ e ’’
´ ` ˜ ’’ 10 Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt ’’ a e ea a ’ . ´` ´` ´ ` ’` a Nguoi l`m Sˆ lˆn Sˆ lˆn duoc Tˆn suˆt oa o a ¯ ’ .’ a a ’ .´ th´ nghiˆm tung ı e m˘t sˆp aa f (A) . Buyﬀon 4040 2.048 0,5069 Pearson 12.000 6.019 0,5016 Pearson 24.000 12.012 0,5005 ’ ´ ˜a 3.3 ¯ inh nghia x´c suˆt theo quan diˆm h` hoc D. a ¯e ınh . ¯ ’.’ e’ ´´ ´ ’’ o o ˜ ˜ 2 ¯ inh nghia 7 X´t mˆt ph´p thu c´ khˆng gian c´c biˆn cˆ so cˆp Ω duoc biˆu diˆn D. eo e a e o ’a e . boi miˆn h`nh hoc Ω c´ dˆ do (¯ˆ d`i, diˆn t´ch, thˆ’ t´ ´´ ’’ ` ˜. eı o ¯o ¯ do a eı e ıch) huu han kh´c 0, biˆn cˆ A a eo ’ . . . . duoc biˆ’u diˆn boi miˆn h` hoc A. Khi do x´c suˆt cua biˆn cˆ A duoc x´c d. nh boi: ´ ´ ´ ¯ ’.’ a ¯i ˜ e ’’ ` ’’ a’ ¯ ’.’ e e ınh . ¯´ a eo e` o¯ ’ Dˆ do cua miˆn A P (A) = ¯ . ` Do ¯ ’ ¯ ˆ do cua miˆn Ω e . ’ ¯ e’ ˜ ˘ • V´ du 21 Trˆn doan thang OA ta gieo ngˆu nhiˆn hai diˆm B v` C c´ toa dˆ tuong ı. e ¯. a e a o . ¯o ’ ’ . ´ OB = x, OC = y (y ≥ x). T`m x´c suˆt sao cho dˆ d`i cua doan BC b´ hon dˆ ´ ’ ¯. ung ı a a ¯o a e ’ ¯o ’ . . a ’ ¯. d`i cua doan OB . ’ Giai y ’ ’’ ’ Gia su OA = l. C´c toa dˆ x v` y phai a . ¯o a . a a ¯ e` e ’ thoa m˜n c´c diˆu kiˆn: . I M Q 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, y≥x (*) y=2x Biˆ’u diˆn x v` y lˆn hˆ truc toa do vuˆng ˜ e e a e e . . ¯ˆ o . . ’m c´ toa do thoa m˜n (*) thuˆc o . ¯ˆ ’ g´c. C´c diˆ o a ¯e a o . . ’ xem nhu biˆn cˆ chac ´´ ´o˘ tam gi´c OM Q (c´ thˆ a oe ’e ´ ˘ chan). x O M˘t kh´c, theo yˆu cˆu b`i to´n ta phai c´ y − x < x hay y < 2x (**). Nhung diˆ’m ` ˜ ¯e ’o a a eaaa ’ . ´ cˆ cˆn t` ´ a ım c´ toa do thoa m˜n (*) v` (**) thuˆc miˆn c´ gach. Miˆn thuˆn loi cho biˆn o ` e` o . e` o . ¯ˆ ’ a a o a .’ e . . . ´` l` tam gi´c OM I . Vˆy x´c suˆt cˆn t´ a a aa a a ınh . diˆn t´ OM I e ıch 1 . p= = diˆn t´ OM Q e ıch 2 . ` • V´ du 22 (B`i to´n hai nguoi g˘p nhau) ı. a a ’’ a . Hai nguoi hen g˘p nhau o mˆt d. a dıˆ’m x´c d. nh v`o khoang tu 19 gio dˆn 20 gio. ’´ ’’ o ¯i ¯ e ` ’` . a ` ¯e ` ’ a ¯i a ’ ’ ’ . . Mˆi nguoi dˆn (chac chan s˜ dˆn) diˆ’m hen trong khoang thoi gian trˆn mˆt c´ch dˆc ´ ´ ’´ ´ ˜ ` ¯e ` ’ ˘ ˘ e ¯e ¯ e o e o a ¯o ’ ’ . . . a´ ´ ´ ´ ´ ` ’` ¯e e ’ ¯ lˆp voi nhau, cho trong 20 ph´t, nˆu khˆng thˆy nguoi kia dˆn s˜ bo di. T` x´c suˆt u e o a ım a a ’ ’ ’ . ¯e’ ’` a dˆ hai nguoi g˘p nhau. ’.
´ 11 3. X´c suˆt a a ’ Giai Goi x, y l` thoi gian dˆn diˆ’m hen cua mˆi nguoi ´ ˜ a` ’` .’ ¯e ¯ e o ’ ’ . ´ cˆ hai nguoi g˘p nhau. R˜ r`ng x, y ´ ’` a v` A l` biˆn o a ae oa ’. l` mˆt diˆ’m ngˆu nhiˆn trong khoang [19, 20], ta ˜ ’ a o ¯e a e . y c´ 19 ≤ x ≤ 20; o 20 19 ≤ y ≤ 20. D De’ ’` a ¯ ˆ hai nguoi g˘p nhau th`ı ’. A 19 1 ` |x − y | ≤ 20 ph´t = 3 gio. u ’ Do d´ ¯o Ω = {(x, y ) : 19 ≤ x20, 19 ≤ y ≤ 20} o 20 x 19 1 A = {(x, y ) : |x − y | ≤ } 3 ` e` e ıch ’ ˘ Diˆn t´ cua miˆn Ω bang 1. . ` e` Diˆn t´ cua miˆn A bang 1 − 2. 2 . 2 . 2 = 1 5 e ıch ’ ˘ . 33 9 diˆn t´ A e ıch 5/9 Vˆy P (A) = . a = = 0, 555. . diˆn t´ Ω e ıch 1 . ´ ˜a ` 3.4 ¯ inh nghia x´c suˆt theo tiˆn dˆ D. a e ¯e ´´´ ´ ’ ’’ ’ a ¯ e` e ’ aeo˘ ˘ Gia su Ω l` biˆn cˆ chac chan. Goi A l` ho c´c tˆp con cua Ω thoa c´c diˆu kiˆn a.a a . . . sau: ´ i) A chua Ω. ’ ´ ii) Nˆu A, B ∈ A th` A, A + B, AB thuˆc A. e ı o . ´ ’ a e ¯e` Ho A thoa c´c tiˆn dˆ i) v` ii) th` A duoc goi l` dai sˆ. a ı ¯ ’.’ . a ¯. o . ’ ´ a ’’ ’ ` iii) Nˆu A1 , A2 , . . . , An , . . . l` c´c phˆn tu cua A th` tˆng v` t´ vˆ han A1 + A2 + e aa ıo a ıch o . . . . + An v` A1 A2 . . . An . . . c˜ng thuˆc A. a u o . ´ ´ ’ a ¯ e` e Nˆu A thoa c´c diˆu kiˆn i), ii), iii) th` A duoc goi l` σ dai sˆ. e ı ¯ ’ .’ . a ¯ . o . ´ ´ ˜ 2 ¯ inh nghia 8 Ta goi x´c suˆt trˆn (Ω, A) l` mˆt h`m P sˆ x´c d. nh trˆn A c´ gi´ D. .a ae aoa o a ¯i e oa . ` sau: a’ tri trong [0,1] v` thoa m˜n 3 tiˆn dˆ a e ¯e . i) P (Ω) = 1. ´ ´ ˘ ii) P (A + B ) = P (A) + P (B ) (voi A, B xung khac). ’ ´ ´ iii) Nˆu d˜y {An } c´ t´nh chˆt A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ An ⊃ . . . v` A1 A2 . . . An . . . = ∅ th` ea oı a a ı lim P (An ) = 0. n→∞
´ ` ˜ ’’ 12 Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt ’’ a e ea a ’ . ´ ´ a ınh a ’ 3.5 C´c t´ chˆt cua x´c suˆt a a ´. ´´ i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 voi moi biˆn cˆ A eo ’ ii) P (Ω) = 1 iii) P (∅) = 0 ´ iv) Nˆu A ⊂ B th` P (A) ≤ P (B ). e ı v) P (A) + P (A) = 1. vi) P (A) = P (AB ) + P (AB ). ´ ´ MOT SO CONG THUC T´ ˆ ˆˆ ´ ˆ ´ 4. ’ INH XAC SUAT . ´o ´ 4.1 Cˆng thuc cˆng x´c suˆt o a a ’ . ´ Cˆng thuc 1 o ’ ´ ´´ ’ ’’ ˘ Gia su A v` B l` hai biˆn cˆ xung khac (AB = ∅). Ta c´ a a eo o P (A + B ) = P (A) + P (B ) ´ Chung minh ’ Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong do c´ mA biˆn cˆ ´ ´` ´´ ’ ’’ e ’’ o ’a oe’ e o ¯o ¯´ o eo ´´ ´´ ´´ ´´´ thuˆn loi cho biˆn cˆ A v` mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B . Khi do sˆ biˆn cˆ thuˆn a .’ eo a eo a .’ eo ¯´ o e o a . . . ´ cˆ A + B l` m = mA + mB . ´ loi cho biˆn o e a ’ . Do d´ ¯o mA + mB mA mB P (A + B ) = = + = P (A) + P (B ) n n n ˜ 2 ¯ inh nghia 9 D. ´’ ´´ ´ ´` ˘` e o ¯a ¯’ i) C´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An duoc goi l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung a eo ¯ ’.’ . a o a ’ng cua ch´ng l` biˆn cˆ chac chan. Ta c´ ´’ ´´´ ´ ´ ˘ ` ¯o a o ’ aeo˘ ˘ dˆi nˆu ch´ng xung khac tung dˆi v` tˆ ¯o e u u o A1 + A2 + . . . + An = Ω, Ai Aj = ∅ ´´ ´ ´. . ´ ` ` ii) Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` hai biˆn cˆ dˆc lˆp nˆu su tˆn tai hay khˆng tˆn eo a ¯ ’.’ . a e o ¯o a e .’ o . o o ´n cˆ n`y khˆng anh huong dˆn su tˆn tai hay khˆng tˆn tai cua biˆn cˆ kia. ´a ´ ´o ´ ’’ ¯e .’ o .` `. ’ .’ o’ tai cua biˆ o e o o e ’ ´´ ` ´ o e o ¯o a ˜ ´ ´. . iii) C´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An duoc goi dˆc lˆp to`n phˆn nˆu mˆi biˆn cˆ dˆc lˆp a eo ¯ ’.’ . ¯o a a ae .. ’ hop bˆt k` trong c´c biˆn cˆ c`n lai. ´ı ´ ´´ ’ voi t´ch cua mˆt tˆ .’ a y oo a e oo . ’ . ’ Hˆ qua 1 e . ´’ ´ ´´ ˘ ` ¯o ı i) Nˆu A1 , A2 , . . . , An l` biˆn cˆ xung khac tung dˆi th` e aeo P (A1 + A2 + . . . + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An )
´ ´ ınh x´c suˆt ´ 13 4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´ o oo a a ’ . ´’ ´ ´ ´` ˘ ` ¯o ı e o ¯a ¯’ ii) Nˆu A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung dˆi th` e ao a n P (Ai ) = 1 i=1 iii) P (A) = 1 − P (A). ´ Cˆng thuc 2 o ’ P (A + B ) = P (A) + P (B ) − P (AB ) ´ Chung minh ’ Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong do c´ mA biˆn cˆ ´ ´` ´´ ’ ’’ e ’’ o ’a oe’ e o ¯o ¯´ o eo ´´ ´´ ´´ ´´ thuˆn loi cho biˆn cˆ A, mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B v` k biˆn cˆ thuˆn loi cho a .’ eo eo a .’ eo a eo a .’ . . . ´´ ´´´ ´´ biˆn cˆ AB . Khi d´ sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ A + B l` mA + mB − k . eo ¯o o e o a .’ eo a . Do d´ ¯o mA + mB − k mA mB k P (A + B ) = = + − = P (A) + P (B ) − P (AB ). n n n n ’ Hˆ qua 2 e . n i) P (A1 + A2 + . . . , +An ) = P (Ai ) − P (Ai Aj ) + P (Ai Aj Ak ) + . . . + i=1 i
´ ` ˜ ’’ 14 Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt ’’ a e ea a ’ . 1 5 C2 .C8 112 8 P (B ) = = = 6 C10 210 15 Do d´ ¯o 2 8 2 P (C ) = P (A) + P (B ) = + = 15 15 3 o´o ’ ˜ • V´ du 24 Mˆt lop c´ 100 sinh viˆn, trong d´ c´ 40 sinh viˆn gioi ngoai ngu, 30 sinh ı. e ¯o o e .’ ’ . ´ ˜n tin hoc. Sinh viˆn n`o gioi ´ nhˆt ’ ’’ ˜a ’ ıt a viˆn gioi tin hoc, 20 sinh viˆn gioi ca ngoai ngu lˆ e e ea ’ . . . mˆt trong hai mˆn s˜ duoc thˆm diˆ’m trong kˆt qua hoc tˆp cua hoc k`. Chon ngˆu ´ ˜ ’. a ’ o o e ¯ ’.’ e ¯e e .y a . . . nhiˆn mˆt sinh viˆn trong lop. T`m x´c suˆt dˆ’ sinh viˆn d´ duoc t˘ng diˆ’m. ´ ´ e o e ı a a ¯e e ¯o ¯ ’.’ a ¯ e ’ . ’ Giai Goi . A l` biˆn cˆ goi duoc sinh viˆn duoc t˘ng diˆ’m. ´´ a e o . ¯ ’ .’ e ¯ ’ .’ a ¯ e ´´ ’ ˜ N l` biˆn cˆ goi duoc sinh viˆn gioi ngoai ngu. a e o . ¯ ’ .’ e ’ . ´ cˆ goi duoc sinh viˆn gioi tin hoc ´ . ¯ ’ .’ ’ T l` biˆn o ae e . th` A = T + N . ı Ta c´ o 30 40 20 50 P (A) = P (T ) + P (N ) − P (T N ) = + − = = 0, 5 100 100 100 100 ´ ´ ´ ` 4.2 X´c suˆt c´ diˆu kiˆn v` cˆng thuc nhˆn x´c suˆt a a o ¯e e ao a a a ’ . ´ ` a) X´c suˆt c´ diˆu kiˆn a a o ¯e e . ´ ´´ ´ ¯ e` e ´´ ˜ a’ ’ 2 ¯ inh nghia 10 X´c suˆt cua biˆn cˆ A voi diˆu kiˆn biˆn cˆ B xay ra duoc goi l` D. a eo eo ¯ ’.’ . a ’ . ´´ a o ¯ e` e ’ x´c c´ diˆu kiˆn cua biˆn cˆ A. K´ hiˆu P (A/B ). eo ıe . . ´ ´ ` ’.’ ˘ • V´ du 25 Trong hˆp c´ 5 viˆn bi trang, 3 viˆn bi den. Lˆy lˆn luot ra 2 viˆn bi ı. oo e e ¯ aa e . ’ lˆn thu hai lˆy duoc viˆn bi trang biˆt lˆn thu nhˆt ´ ´ ´ ´ ´` ´a ´ a ¯e ` ˘ (khˆng ho`n lai). T`m x´c suˆt dˆ a o a. ı a a ¯ ’.’ e ea ’ ’ ´ ´y duoc viˆn bi trang. ˘ da lˆ ¯ ’.’ e ¯˜ a ’ Giai ´ ´ ´` ´ ´ ˘ Goi A l` biˆn cˆ lˆn thu hai lˆy duoc viˆn bi trang a e oa a ¯ ’ .’ e ’ . ´ ´ ´` ´ a a ¯ ’ .’ ´´ ˘ B l` biˆn cˆ lˆn thu nhˆt lˆy duoc viˆn bi trang. a e oa e ’ Ta t` P (A/B ). ım ´ ´` ´ a a ¯ ’ .’ e ´´ ¯˜ ’ ˘ Ta thˆy lˆn thu nhˆt lˆy duoc viˆn bi trang (B da xay ra) nˆn trong hop c`n 7 viˆn aa e .’ o e ’ ´ ˘ng. Do d´ bi trong d ´ c´ 4 viˆn bi tra ¯o o e ¯o 1 C4 4 P (A/B ) = = 1 C7 7
´ ´ ınh x´c suˆt ´ 15 4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´ o oo a a ’ . ´ Cˆng thuc o ’ P (AB ) P (A/B ) = P (B ) ´ Chung minh ’ Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra trong do c´ mA biˆn c´ ´ ´` ´ ’ ’’ e ’’ o ’a oe’ e o ¯o ¯´ o eo ´ cˆ A, mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B v` k biˆn cˆ thuˆn loi cho ´ ´o ´ ´o ´ ´o ´ thuˆn loi cho biˆn o a .’ e e a .’ e a e a .’ . . . ´ cˆ AB . ´ biˆn o e Theo d.nh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆ’n ta c´ ´’ ´ ˜a ¯i a o o ¯e o k mB P (AB ) = , P (B ) = n n ´ ´ ¯˜ ’ ´ ´` ’a ’ Ta t` P (A/B ). V` biˆn cˆ B da xay ra nˆn biˆn cˆ dˆng kha n˘ng cua A l` mB , ım ıeo e e o ¯o a ´ cˆ thuˆn loi cho A l` k . Do d´ ´ biˆn o e a .’ a ¯o . k k P (AB ) n P (A/B ) = = = . mB mB P (B ) n • V´ du 26 Mˆt bˆ b`i c´ 52 l´. R´t ngˆu nhiˆn 1 l´ b`i. T` x´c suˆt dˆ’ r´t duoc ´ ˜ ı. o oa o a u a e aa ım a a ¯e u ¯ ’.’ .. ´` e˘ con ”´t” biˆt rang l´ b`i r´t ra l` l´ b`i m`u den. a aa u aa a a ¯ ’ Giai ´´ Goi A l` biˆn cˆ r´t duoc con ”´t” a e o u ¯ ’ .’ a . A A ´´ B l` biˆn cˆ r´t duoc l´ b`i m`u den. a e o u ¯ ’ .’ a a a ¯ ♣ ♠ ´ ♣ ♠ Ta thˆy trong bˆ b`i c´ a oao . 26 26 l´ b`i den nˆn P (B ) = aa¯ e 52 2 2 con ”´t” den nˆn P (AB ) = a¯ e . 52 A A ♣ ♠ P (AB ) 2/52 1 Do d´ P (A/B ) = ¯o = = P (B ) 26/52 13 ´ ´ b) Cˆng thuc nhˆn x´c suˆt o a a a ’ ´a ´ `o a o ¯ e` e Tu cˆng thuc x´c suˆt c´ diˆu kiˆn ta c´ o ’ ’ . i) P (AB ) = P (A).P (B/A) = P (B ).P (A/B ). ´ ´ ´. . ii) Nˆu A, B l` hai biˆn cˆ doc lˆp th` P (AB ) = P (A).P (B ). e a e o ¯ˆ a ı iii) P (ABC ) = P (A).P (B/A).P (C/AB ) P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 )P (A2 /A1 ) . . . P (An /A1 A2 . . . An−1 ). ´ ´ ´ao ´ ´ ˘ ˘ • V´ du 27 Hˆp thu nhˆt c´ 2 bi trang v` 10 bi den. Hˆp thu hai c´ 8 bi trang v` 4 ı. o a ¯ o o a ’ ’ . . a ¯e’ ˜. ´ ´ `ooa bi den. Tu mˆi hˆp lˆy ra 1 viˆn bi. T`m x´c suˆt dˆ ¯ e ı a ’
´ ` ˜ ’’ 16 Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt ’’ a e ea a ’ . ´ `˘ ’ a) Ca 2 viˆn bi dˆu trang, e ¯e ´ ˘ b) 1 bi trang, 1 bi den. ¯ ’ Giai ´ ´ ´´ ¯ ’ .’ ’ ˘ Goi T l` biˆn cˆ lˆy ra duoc ca 2 bi trang a e oa . ´ ´ ´´ ´a ´ `o ˘ T1 l` biˆn cˆ lˆy duoc bi trang tu hˆp thu nhˆt a e o a ¯ ’ .’ ’. ’ ´ ´ cˆ lˆy duoc bi trang tu hˆp thu hai ´ a ¯ ’ .’ ´ ´ `o ˘ T2 l` biˆn o ae ’. ’ ´ ´. . th` T1 , T2 l` 2 biˆn cˆ doc lˆp v` T = T1 T2 . Ta c´ ı a e o ¯ˆ a a o 1 2 P (T1 ) = , P (T2 ) = 6 3 Do d´ P (T ) = P (T1 T2 ) = P (T1 ).P (T2 ) = 1 . 3 = 1 . 2 ¯o 6 9 ´ ´ ´´ ´a ´ ´ ˘ ’’ o b) Goi T1 , T2 l` biˆn cˆ lˆy duoc bi trang o hˆp thu nhˆt, thu hai a e o a ¯ ’ .’ ’ ’ . . ´ cˆ lˆy duoc bi den o hˆp thu nhˆt, thu hai ´ a ¯ ’ .’ ´ ´a ´ ´ ’’ o D1 , D2 l` biˆn o ae ¯ ’ ’ . ´ ´ cˆ lˆy duoc bi trang o hˆp thu nhˆt v` bi den o hˆp thu hai ´ a ¯ ’ .’ ´ ´aa ´ ´ ˘ ’’ o ¯ ’’ o T1 D2 l` biˆn o ae ’ ’ . . ´ng o hˆp thu hai v` bi de n o hˆp thu nhˆt ´ ´´ ´ ´a ´ T2 D1 l` biˆn cˆ lˆy duoc bi tra ’’ o ’’ o ˘ a e o a ¯ ’ .’ a ¯ ’ ’ . . th` A = T1 D2 + T2 D1 . ı Ta c´ o 1 2 P (T1 ) = , P (T2 ) = 6 3 5 1 P (D1 ) = 1 − P (T1 ) = P (D2 ) = 1 − P (T2 ) = 6 3 Suy ra P (A) = P (T1 D2 ) + P (T2 D1 ) = P (T1 ).P (D2 ) + P (T2 ).P (T1 ) 11 25 11 =.+.= 63 36 8 ..´ ´ ’’ `e ’ ¯ ’.’ . a o e • V´ du 28 Mˆt hˆ thˆng duoc cˆu th`nh boi n th`nh phˆn riˆng le duoc goi l` mˆt hˆ ı. o e o ¯ ’.’ a a a a .. ´ng song song nˆu n´ hoat dˆng khi ´ nhˆt mˆt th`nh phˆn hoat dˆng. Th`nh phˆn ´ o . ¯o ´o ` ` thˆ o e ıt a a a . ¯o a a . . . ’ hˆ ´ dˆ a ´ a ´a ´ ´ ` thu i (¯oc lˆp voi c´c th`nh phˆn kh´c) hoat dˆng voi x´c suˆt pi . T` x´c suˆt dˆ e a a a . ¯o a ım a a ¯e . ’ ’ ’ .. . ´ng song song hoat dˆng. thˆ o . ¯o. 1 2 A B 3 n ’ Giai Goi . ´ ´. ´ A l` biˆn cˆ hˆ thˆng hoat dˆng. a e oe o . ¯o.
´ ´ ınh x´c suˆt ´ 17 4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´ o oo a a ’ . ´´ ´ ` Ai l` biˆn cˆ th`nh phˆn thu i hoat dˆng. aeoa a . ¯o ’ . Ta c´ o P(A) = 1 − P (A) = 1 − P (A1 .A2 . . . An ) n = 1− P (Ai ) i=1 n = 1− (1 − pi ) i=1 ´ ´ ` ` • V´ du 29 (H^ x´ch) X´t mˆt hˆ thˆng gˆm hai th`nh phˆn. Hˆ thˆng hoat dˆng ı. e oeo o a a eo . ¯o .ı e .. . . ´i theo x´ch). ` ` khi v` chi’ khi ca hai th`nh phˆn hoat dˆng (c´c th`nh phˆn duoc nˆ ’ a a a ¯o a a a ¯ ’.’ o ı .. A B ´ ´aa ` ` ’ a’ ¯ ˆ tin cˆy R(t) cua mˆt th`nh phˆn cua hˆ thˆng l` x´c suˆt m` th`nh phˆn c´ Do a o a eo aa a ao . . . . ’ hoat dong ´ nhˆt khoang thoi gian t. ´ ` ’ thˆ . ¯ˆ ıt a e ’ . ´ ´´ ´ ` ’’ . ¯ˆ ıt a ¯ ’ . ` Nˆu k´ hiˆu biˆn cˆ ”th`nh phˆn hoat dong ´ nhˆt t don vi thoi gian” boi T > t th` eıe eo a a ı ’ . . R(t) = P (T > t) ˜a ` a’ Goi PA v` PB l` do tin cˆy cua th`nh phˆn A v` B , nghia l` a a ¯ˆ a a a . . . ´ . ¯o ıt a ¯ ’ . ` PA = P (A hoat dˆng ´ nhˆt t don vi thoi gian), ’ . ´ . ¯o ıt a ¯ ’ . ` PB = P (B hoat dˆng ´ nhˆt t don vi thoi gian). ’ . ´ .´a ` a’ Nˆu c´c th`nh phˆn hoat dˆng dˆc lˆp th` dˆ tin cˆy cua hˆ thˆng l` R = pA .pB . ea a a . ¯o ¯o a ı ¯o eo . .. . . • V´ du 30 ı. .´ ’’ a’eo X´t dˆ tin cˆy cua hˆ thˆng cho boi e ¯o A B . . `´ h`nh bˆn. Th`nh phan nˆi A v` B trˆn ı e a ˆo a e ’ thay boi th`nh phˆn don ’’ ` ¯’ dinh c´ thˆ oe a a ¯’ ´ ¯o ` voi dˆ tin cˆy pA .pB . Th`nh phˆn song a a a ’. . song cua ngat C v` D c´ thˆ’ thay boi ´ ’’ ’ ˘ a oe C ´t don voi dˆ tin cˆy 1 − (1 − pC ).(1 − ´ ¯o ˘ nga ¯ ’ ’ . a . D pD ). .´ a’eo ¯ ˆ tin cˆy cua hˆ thˆng song song n`y l` Do aa . . 1 − (1 − pA .pB )[1 − (1 − (1 − pC ).(1 − pD ))]
´ ` ˜ ’’ 18 Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt ’’ a e ea a ’ . ´a ´ ´ ` a ¯a ¯ ’ a o 4.3 Cˆng thuc x´c suˆt dˆy du v` cˆng thuc Bayes o ’ ’ ´a ´ ` a ¯a ¯ ’ a) Cˆng thuc x´c suˆt dˆy du o ’ ´ Cˆng thuc o ’ ´’ ´ ´` ´ ’ ’’ ˘ ` ¯o a e o ¯a ¯ ’ Gia su A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung dˆi v` B l` biˆn ao a ae ´ bˆt k` c´ thˆ’ xay ra trong ph´p thu. Khi d´ ta c´ ´ yo e’ ’’ cˆ a o e ¯o o n P (B ) = P (Ai ).P (B/Ai ) i=1 ´ Chung minh ’ V` A1 + A2 + . . . + An = Ω nˆn ı e B = B (A1 + A2 + . . . + An ) = BA1 + B2 + . . . + BAn ´’ ´´ ´´ ˘ ` ¯o e a Do c´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An xung khac tung dˆi nˆn c´c biˆn cˆ t´ BA1 , BA2 , . . ., a eo e o ıch ´c tung dˆi. BAn c˜ng xung kha ` ¯o ˘’ u n ´ Theo d.nh l´ cˆng x´c suˆt ta c´ P (B ) = ¯i yo a a o P (BAi ). . i=1 ´ M˘t kh´c theo cˆng thuc nhˆn x´c suˆt th` P (BAi ) = P (Ai ).P (B/Ai ). a a o aa a ı ’ . n Do d´ P (B ) = ¯o P (Ai ).P (B/Ai ). i=1 ´ e o ¯´ ´ ¯ e` e ’’ Ch´ y Cˆng thuc trˆn c`n dung nˆu ta thay diˆu kiˆn A1 + A2 + . . . + An = Ω boi u´ o e ’ . B ⊂ A1 + A2 + . . . + An . ’ ’ ´ ´ ´ e oo’ ¯o o ’ ’ • V´ du 31 X´t mˆt lˆ san phˆm trong d´ sˆ san phˆm do nh` m´y I san xuˆt chiˆm ı. a a aa a e . ´t chiˆm 30%, nh` m´y III san xuˆt chiˆm 50%. X´c suˆt phˆ ´ ´ ´ ´ ´ ’ ’ 20%, nh` m´y II san xuˆ aa a e aa a e a a e ’ ´ ’ phˆm cua nh` m´y I l` 0,001; nh` m´y II l` 0,005; nh` m´y III l` 0,006. T` x´c suˆt a aa a aa a aa a ım a a ¯e’ a ´’ ´ ˜ dˆ lˆy ngˆu nhiˆn duoc dung 1 phˆ phˆm. a e ¯ ’.’ ¯´ ea ’ Giai ’ ´’ ´´ ´ a e o’ Goi B l` biˆn cˆ san phˆm lˆy ra l` phˆ phˆm aa aea . ’ ´ ´´ a e o a ¯ ’ .’ ’ ’ A1 , A2 , A3 l` biˆn cˆ lˆy duoc san phˆm cua nh` m´y I, II, III a aa ´’ ´´ ˘ ` ¯o th` A1 , A2 , A3 l` nh´m c´c biˆn cˆ xung khac tung dˆi. Ta c´ ı ao a eo o P (A1 ) = 0, 2; P (A2 ) = 0, 3; P (A3 ) = 0, 5 P (B/A1 ) = 0, 001; P (B/A2 ) = 0, 005; P (B/A3 ) = 0, 006 Do d´ ¯o P (B ) = P (A1 ).P (B/A1 ) + P (A2 ).P (B/A2 ) + P (A3 ).P (B/A3 ) = 0, 2.0, 001 + 0, 3.0, 005 + 0, 5.0, 006 = 0, 0065
´ ´ ınh x´c suˆt ´ 19 4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´ o oo a a ’ . ´ ´ ´` ˘ • V´ du 32 Mˆt hˆp chua 4 bi trang, 3 bi v`ng v` 1 bi xanh. Lˆy lˆn luot (khˆng ho`n ı. oo a a a a ’.’ o a ’ .. ’ lˆy duoc 1 bi trang v` 1 bi v`ng. ´ a ¯e ´ ´ `o ˘ lai) tu hˆp ra 2 bi. T`m x´c suˆt dˆ a ¯ ’.’ ı a a a ’. . ’ Giai ´ ´ ´´ ´ ´´ ˘ Goi T l` biˆn cˆ lˆy duoc bi trang, V l` biˆn cˆ lˆy duoc bi v`ng. a e o a ¯ ’ .’ a e o a ¯ ’ .’ a . Ta c´ o 4 1 3 P (T ) = =; P (V ) = ; 8 2 8 3 4 P (V /T ) = ; P (T /V ) = 7 7 X´c xuˆt dˆ’ lˆy duoc 1 bi trang v` 1 bi v`ng l` ´ ´ ´ ˘ a a ¯e a ¯ ’ .’ a a a 13 34 3 P (T V ) = P (T ).P (V /T ) + P (V ).P (T /V ) = . + . = . 27 87 7 ´ 2 Cˆy x´c suˆt a a a ´ ’’ ´ ´´aa ´ e` e` e o Trong thuc tˆ c´ nhiˆu ph´p thu chua mˆt d˜y nhiˆu biˆn cˆ. Cˆy x´c suˆt cung .’ e o e oa a ’ . ´ ´ua cˆp cho ta mˆt cˆng cu thuˆn loi cho viˆc x´c d.nh cˆu tr´c c´c quan hˆ bˆn trong c´c a oo a .’ e a ¯i a ee a . . . . . ´ ’’ khi t´ x´c suˆt. ph´p thu e ınh a a ´u’aa ´ Cˆu tr´c cua cˆy x´c suˆt duoc x´c d.nh nhu sau: a a ¯ ’ .’ a ¯i ’ i) V˜ biˆ’u dˆ cˆy x´c suˆt tuong ung voi c´c kˆt qua cua d˜y ph´p thu. a ’’ ´ ´ ´a e ´ ’’ ` ’’ e e ¯o a a a e ’ ’ a´o ´’ ˜ ˜ ii) G´n mˆi x´c suˆt voi mˆi nh´nh. a oa a ´ Cˆy x´c suˆt sau minh hoa cho v´ du 32. aa a ı. . T 3/7 13 . V T 27 X 1/2 34 T . 4/7 87 3/8 V V X T X V ´ b) Cˆng thuc Bayes o ’ ´ Cˆng thuc o ’ ´’ ´ ´` ´ ’ ’’ ˘ ` ¯ˆ a e o ¯a ¯ ’ Gia su A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung doi v` B l` biˆn ao a ae ´ bˆt k` c´ thˆ’ xay ra trong ph´p thu. Khi d´ ta c´ ´ yo e’ ’’ cˆ a o e ¯o o P (Ai ).P (B/Ai ) P (Ai /B ) = i = 1, 2, . . . , n n P (Ai ).P (B/Ai ) i=1
´ ` ˜ ’’ 20 Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt ’’ a e ea a ’ . ´ Chung minh ’ ´a ´ a o ¯ e` e Theo cˆng thuc x´c suˆt c´ diˆu kiˆn ta c´ o o ’ . (Ai B ) P (Ai ).P (B/Ai ) P (Ai /B ) = = P (B ) P (B ) n ´a ` a ¯a ¯ ’ ı M˘t kh´c theo cˆng thuc x´c suˆt dˆy du th` P (B ) = a a o P (Ai ).P (B/Ai ). ’ . i=1 P (Ai ).P (B/Ai ) Do d´ P (Ai /B ) = ¯o . n P (Ai ).P (B/Ai ) i=1 ´a ’ ’’ o • V´ du 33 Gia su c´ 4 hˆp nhu nhau dung c`ng mˆt chi tiˆt m´y, trong d´ c´ mˆt ı. o ¯.’ u o e ¯o o o ’ . . . ´t xˆu, 5 chi tiˆt tˆt do m´y I san suˆt; c`n ba hˆp c`n lai mˆi hˆp dung 4 ´ ´o ´ ´o ˜ o ¯.’ ’ hˆp 3 chi tiˆ a o e e a a oo. o. . . ´´ ´´ ´ ´ ˜ o o o ` o ¯o `’. ’ chi tiˆt xau, 6 chi tiˆt tˆt do m´y II san suˆt. Lˆy ngˆu nhiˆn mˆt hˆp rˆi tu hˆp d´ eˆ eo a a a a e .. ´y ra mˆt chi tiˆt m´y. ´a lˆ a o e . a) T`m x´c suˆt dˆ’ chi tiˆt m´y lˆy ra l` tˆt. ´ ´ ´ ´ ı a a ¯e e aa ao b) Voi chi tiˆt tˆt o cˆu a, t`m x´c suˆt dˆ’ n´ duoc lˆy ra tu hˆp cua m´y I. ´ ´´ ´ ´ e o ’’ a `o ’ ı a a ¯e o ¯ ’.’ a a ’ ’. ’ Giai ´ ´´ ´´ Goi B l` biˆn cˆ lˆy duoc chi tiˆt tˆt a e o a ¯ ’ .’ eo . ´ cˆ lˆy duoc hˆp dung chi tiˆt m´y cua m´y I, II ´ a ¯ ’ .’ o ¯ .’ ´ ´a’ A1 , A2 l` biˆn o ae e a . ´ ` ¯o ´ cˆ xung khac tung dˆi. ´ ˘’ th` A1 , A2 l` nh´m c´c biˆn o ı ao a e a) P (B ) = P (A1 ).P (B/A1 ) + P (A2 ).P (B/A2 ) 1 5 3 6 P (A1 ) = ; P (B/A1 ) = ; P (A2 ) = ; P (B/A2 ) = 4 8 4 10 Do d´ ¯o 15 3 6 97 P (B ) = . + . = 4 8 4 10 160 15 . P (A1 ).P (B/A1 ) 26 = 4978 = b) P (A1 /B ) = P (B ) 97 160 ´ ’’ a’a * Cˆy x´c suˆt cua cˆu a) cho boi aa 5 15 T . 8 48 I 1 4 X 6 36 . T 10 4 10 3 II 4 X