1
Lời giới thiệu
Tài liệu này được viết nhằm hai mục đích. Thứ nhất là nhắc lại các kiến thức về
giới hạn dãy số để người đọc ham khảo khi cần thiết. Thứ hai là một vài bài tập nhằm
phục vụ cho mục đích nâng cao và ôn thi HSG cấp Tỉnh.
Các bài tập mẫu dưới dạng ví dụ được giải chi tiết và có những ghi chú thêm khi
cần thiết. Để rèn luyện kỹ năng giả toán các em học sinh nên có gắng tự giải, khi thật
cần hãy tham khảo phần hướng dẫn để kiểm tra. Các bạn nên chú ý đến phần lập luận
đi đến lời giải.
Xin được trận trọng cảm ơn và mong bạn đọc gần xa góp ý bổ sung cho tài liệu
được hoàn thiện.
“Thay thái độ, đổi cuộc sống”
TP. Huế, tháng 11 năm 2015
2
Mục lục
Lời giới thiệu........................................................................................................................................... 1
DÃY SỐ .................................................................................................................................................. 3
A. Kiến thức bổ sung .......................................................................................................................... 3
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ..................................................................................................................... 5
B. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ............................................................................................................... 5
C. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA .............................................................................................................. 6
Loại 1: Sử dụng phương trình đặc trưng tìm dạng tổng quát của dãy số ........................................ 6
Loại 2 : Tìm giới hạn dãy số nhờ định nghĩa .................................................................................. 7
Loại 3: Sử dụng định lý 3 để tính giới hạn...................................................................................... 7
Loại 4: Sử dụng định lý kẹp để tính giới hạn ................................................................................ 22
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................................... 27
3
DÃY SỐ
A. Kiến thức bổ sung
Cách tìm công thức công thức tổng quát bằng phương trình đặc trưng
Cho
,b,p,qa
thỏa mản điều kiện
240pq
Dãy số
n
u
được xác định như sau :
12
21
;
, 1,2,...
n n n
u a u b
u pu qu n


Tìm
n
u
Bài giải:
Xét phương trình đặc trưng :
20x px q
(1)
Ta có
240pq
( theo giả thiết ) . Vậy (1) có hai nghiệm
Lúc đó :
12
,n 1,2,...
nn
n
u x x

với
,

là hai nghiệm của hệ phương trình :
22
12
12
1
22
212 11
12
x ax b
p x x
x x a
ua
ub x x b x ax b
p x x




 
Vậy số hạng tổng quát của
n
u
là :
2 2 1 1
12
1 2 1 2
,n 1,2,...
nn
n
x ax b x ax b
u x x
p x x p x x

Chú ý : Người ta gọi phương trình
20x px q
là phương trình đặc trưng của
của dãy
n
u
nói trên
Dãy
n
u
xác đinh như sau :
12
21
1
, 1,2,...
n n n
uu
u u u n


Hãy xác định
n
u
Bài giải
Bài 1
Bài 2
4
Phương trình đặc trưng của dãy có dạng :
2
12
1 5 1 5
1 0 ;
22
x x x x

Suy ra :
1 5 1 5
22
nn
n
u



. Trong đó
,

xác định như sau
22
1 5 1 5 1
1
22 5
1
1 5 1 5 15
22










1 1 5 1 1 5
22
55
nn
n
u
Vậy
1 1 5 1 1 5 , 1,2,...
22
55
nn
n
un
Bài tập tự giải:
Cho dãy
n
u
xác định như sau:
12
21
2, 5
5 6 , 1,2,...
n n n
uu
u u u n


Tìm
n
u
Cho dãy số
n
u
xác định nhứ sau:
0
2
1
2
3 8 1 , 1,2,...
nnn
u
u u u n
Tìm công thức tổng quát của số hạng
n
u
Cho dãy số
n
u
xác định nhứ sau:
0
1
3
3
23
, 0,1,...
1 3 2
n
n
n
u
u
un
u



Tìm
2015
u
5
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
B. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa :
Dãy số
n
u
gọi là có giới hạn bằng
a
, và kí hiệu
lim n
nua

, nếu như
0

, tồn tại
số
0
n
sao cho
0
nn
, thì
n
ua

2. Các phép tính về giới hạn : Giả sử
lim ;lim
nn
nn
u a v b
 

thì :
a)
lim lim lim
n n n n
n n n
u v u v a b
  
b)
lim . lim .lim .
n n n n
n n n
u v u v a b
  

c) nếu
0b
, thì
lim
lim lim
n
nn
nnn
n
u
ua
v v b




3. Các định lý cơ bản :
Định lý 1: Nếu
nn
u v n
, và tồn tại
lim ;lim
nn
nn
u a v b
 

thì
ab
Định lý 2 : Dãy
n
u
được gọi là bị chặn nếu
0, n
M u M n
Định lý 3:
Nếu
n
u
là dãy đơn điệu tăng, và bị chặn trên thì tồn tại giới hạn
lim n
nu

Nếu
n
u
là dãy đơn điệu giảm, và bị chặn dưới thì tồn tại giới hạn
lim n
nu

Định lý 4 : Nguyên lý kẹp
Nếu
wn n n
u v n
, và tồn tại
lim , lim w
nn
nn
v
 
sao cho
lim lim w
nn
nn
va
 

;thì cũng tồn
tại giới hạn
lim n
nu

và ta có
lim n
nua
