Xử lý tín hiệu số: Giới thiệu tổng quan

Chương 11 Chương

BK TP.HCM

GIỚI THIỆU GIỚI THIỆU VỀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ VỀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

T.S. Đinh Đức Anh Vũ

Faculty of Computer Science and Engineering HCMC University of Technology 268, av. Ly Thuong Kiet, District 10, HoChiMinh city (08) 864-7256 (ext. 5843) Telephone : Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu

Tín hiệu và Hệ thống Tín hiệu và Hệ thống

§ Tín hiệu (t/h)

“Đại lượng vật lý biến thiên theo thời gian, theo không

gian, theo một hoặc nhiều biến độc lập khác • Âm thanh, tiếng nói: dao động sóng ~ thời gian (t) • Hình ảnh: cường độ ánh sáng ~ không gian (x,y,z) • Địa chấn: chấn động địa lý ~ thời gian

“Biểu diễn toán học: hàm theo biến độc lập

xtAtFt =

• u(t) = 2t2 – 5 • f(x,y) = x2 –2xy –6y 2 • Các t/h tự nhiên thường không biểu diễn được bởi một hàm sơ q

cấp

¥ (cid:229) ()()cos[2()()] i =-¥

§ Hàm xấp xỉ cho các t/h tự nhiên

2 Tín hiệu và Hệ thống Tín hiệu và Hệ thống

§ Hệ thống (h/t)

“Thiết bị vật lý, thiết bị sinh học, hoặc chương

trình thực hiện các phép toán trên tín hiệu nhằm biến đổi tín hiệu, rút trích thông tin, …

“Việc thực hiện phép toán còn được gọi là xử lý

tín hiệu

“Ví dụ

• Các bộ lọc t/h • Các bộ trích đặc trưng thông tin trong t/h • Các bộ phát, thu, điều chế, giải điều chế t/h, …

3 Phân loại tín hiệu, hệ thống Phân loại tín hiệu, hệ thống

§ T/h đa kênh – T/h đa chiều

“T/h đa kênh: gồm nhiều t/h thành phần, cùng chung mô tả một đối tượng nào đó (thường được biểu diễn dưới dạng vector)

• T/h điện tim (ECG – ElectroCardioGram) • T/h điện não (EEG –ElectroEncephaloGram) • T/h ảnh màu RGB

“T/h đa chiều: biến thiên theo nhiều hơn một biến độc lập

• T/h hình ảnh: ~ (x, y) • T/h TV trắng đen: ~ (x, y, t) “Cót/h v ừa đa kênh và đa chiều

• T/h TV màu

4 Phân loại tín hiệu, hệ thống Phân loại tín hiệu, hệ thống

§ T/h RRTG

§ T/h LTTG

“T/h chỉ được định nghĩa tại những thời điểm rời rạc nhau

“T/h được định nghĩa tại mọi điểm trong đoạn thời gian [a, b]

“x(n)

“x(t)

5 Phân loại tín hiệu, hệ thống Phân loại tín hiệu, hệ thống

§ T/h liên tục giátr ị

§ T/h rời rạc giátr ị

“T/h chỉ nhận trị trong

“T/h cóth ể nhận trị bất kỳ trong đoạn [Ymin, Ymax]

một tập trị rời rạc định trước

6 Phân loại tín hiệu, hệ thống Phân loại tín hiệu, hệ thống

§ T/h LTTG, liên tục giá

§ T/h RRTG, rời rạc giá

trị “T/h tương tự (analog)

trị “T/h số (digital)

7 Phân loại tín hiệu, hệ thống Phân loại tín hiệu, hệ thống

§ T/h ngẫu nhiên

§ T/h tất định

“Giátr ị của t/h trong

“Giátr ị t/h ở quákh ứ,

tương lai không thể biết trước được

hiện tại và tương lai đều được xác định rõ

“Các t/h trong tự nhiên

“T/h cócông th ức xác

thường thuộc nhóm này

định rõ ràng

8 Phân loại tín hiệu, hệ thống Phân loại tín hiệu, hệ thống

§ H/t xử lý t/h tương tự

§ H/t xử lý t/h số

ADC

t/h tương tự t/h số

Hệ thống tương tự Hệ thống số t/h tương tự t/h số

DAC

9 Phân loại tín hiệu, hệ thống Phân loại tín hiệu, hệ thống

§ H/t xử lý t/h số

“Cóth ể lập trình được “Dễ mô phỏng, cấu hình - sản xuất hàng loạt với

độ chính xác cao

“Giáthành h ạ “T/h số dễ lưu trữ, vận chuyển và sao lưu

Nhược điểm “Khóth ực hiện với các t/h có tần số cao

10 Tần số Tần số

§ T/h liên tục thời gian

“ Tần số liên quan mật thiết với dao động điều hòa (harmonic

oscillation) được mô tả bởi các hàm sin

“ Xét thành phần t/h cơ bản

–∞< t < +∞

xa(t) = ACos(Ωt + θ),

“ 3 đặc trưng cơ bản

: biên độ t/h : Tần số góc (rad/s) : Tần số -chu k ỳ/s –(Hz) : Pha (rad) : Chu kỳ (s) A Ω = 2πF F θ Tp = 1/F

1)Với F xác định, xa(t) tuần hoàn với chu kỳ: Tp= 1/F 2)Tần số khác nhau thìhai tín hi ệu sẽ khác nhau 3)Khi F tăng thì hệ số dao dộng tăng

11 Tần số Tần số

T/h rời rạc thời gian “ Xét thành phần t/h cơ bản

x(n) = A Cos(ωn + θ)

–∞ < n < +∞

: chỉ số mẫu (nguyên) : biên độ

“ 3 đặc trưng cơ bản

1) x(n) tuần hoàn (cid:243) f là số hữu tỉ 2) Các t/h có tần số ω cách nhau một bội 2π là đồng nhất nhau 3) Hệ số dao động cao nhất của x(n) khi: ω=π (hay ω=–π), tức f = 1/2 hay –1/2

n A ω = 2πf : t ần số (radian/mẫu) : tần số (chu kỳ/mẫu) f : pha (rad) θ

12 Tần số Tần số

§ Khoảng tần số “T/h LTTG

–∞< Ω < +∞

“T/h RRTG

ω: một đoạn 2π bất kỳ, thường ω: [0, 2π] hoặc [–π, π]

§ T/h mũ phức

“LTTG

t 0

với k: nguyên

• Cơ bản: • Tổng hợp:

sk(t) = ejkΩ = (cid:229) xtcs t ()( ) ak k

=-¥

“RRTG

n 0

ω0 = 2πf0, f0=1/N

• Cơ bản: • Tổng hợp:

k k

sk(n) = ejkω N - = (cid:229) xncs n ()( ) k =

13 Quátrình r ời rạc hoá Quátrình r ời rạc hoá

Biến đổi AD

x(n) xa(t) xs(n) xq(n) Lấy mẫu Lượng Tử Mã Hóa

1 2 3

: LTTG, LTBĐ

• xa(t)

• xs(n): RRTG, LTB Đ

• xq(n): RRTG, RRB Đ

• x(n)

: RRTG, RRBĐ

• Sai số lượng tử eq(n) = xq(n) – xs(n)

14 Quátrình r ời rạc hoá Quátrình r ời rạc hoá

t = nTs (n: nguyên)

với

–¥ < n < +¥

xs(n) = xa(nTs) Ts : chu kỳ lấy mẫu Fs = 1/Ts : tần số lấy mẫu

“ Lấy mẫu t/h cơ bản: xa(t) = ACos(2πFt + θ)

Lấy mẫu “ Đo đạc t/h xa(t) tại những thời điểm rời rạc, thường làcách đều nhau

Lấy mẫu

xs(n) xa(t) = ACos(2πFt + θ)

“ Quan hệ giữa tần số F của t/h tương tự và tần số f của t/h RRTG

= ACos(2πFnTs + θ) = ACos(2π[F/Fs]n + θ) = ACos(2πfn + θ)

f = F/Fs

“ Ràng buộc:

-½< f < ½ (cid:219)

-½< F/F s< ½ (cid:219) -Fs/2 < F < Fs/2

15 Quátrình r ời rạc hoá Quátrình r ời rạc hoá

§ Vi phạm ràng buộc -Hi ện tượng xen phủ

“ Ví dụ cho 2 t/h

x1(t) = 3Cos(20πt) x2(t) = 3Cos(220πt) lấy mẫu x1(t) và x2(t) với Fs = 100Hz

x2(t) x1(t)

x2(t) : vi phạm ràng buộc về lấy mẫu

Quátrình l ấy mẫu

x1(n) x2(n)

= 3Cos([20/100]πn) = 3Cos(πn/5)

= 3Cos([220/100]πn) = 3Cos([11/5]πn) = 3Cos([(10 + 1)/5]πn)

x(n) = 3Cos(πn/5)

Hai tín hiệu cho cùng một kết quả

16 Quátrình r ời rạc hoá Quátrình r ời rạc hoá

§ Tổng quát của hiện tượng xen phủ

x0(t) = ACos(2πF0t + θ) xk(t) = ACos(2πFkt + θ) với Fk = F0 + kFs (k: nguyên) Với tần số lấy mẫu Fs các t/h trong họ xk(t) cho

cùng kết quả như x0(t)

17 Quátrình r ời rạc hoá Quátrình r ời rạc hoá

§ Định lý lấy mẫu

“xa(t) có tần số lớn nhất là Fmax = B “Nếu lấy mẫu xa(t) với tần số Fs > 2Fmax = 2B, thìcóth ể

phục hồi xa(t) màkhông b ị mất thông tin

“Công thức phục hồi

: kết quả lấy mẫu : chu kỳ mẫu

• Hàm nội suy g(t) = [Sin(2πBt)]/(2πBt) • xs(n) • Ts = 1/Fs

) s

¥ (cid:229) xtxnTgtnT ()()*( = ass =-¥

(CM : xem chương 4)

18 Quátrình r ời rạc hoá Quátrình r ời rạc hoá

§ Lượng tử

“Quátrình r ời rạc hoá biên độ “Phương pháp: làm tròn hay cắt bỏ “Qui ước:

• L số mức lượng tử • Ymax, Ymin: trị lớn nhất vành ỏ nhất của t/h • ∆: bước lượng tử

∆ = (Ymax - Ymin)/(L–1) Sai số lượng tử: • Làm tròn: • Cắt:

| eq(n) | <= ∆/2 | eq(n) | < ∆

19 Quátrình r ời rạc hoá Quátrình r ời rạc hoá

§ Mã hoá

“Phép gán một con số cho mỗi mức lượng tử “Nếu mỗi mức biểu diễn bởi b bit nhị phân thì:

2b >= L

hay

b >= ceil(log2L) ceil: hàm lấy số nguyên cận trên (Matlab)

“Ví dụ

• L = 100 thìb>=7 • L = 256 thìb>=8

20 Quátrình liên t ục hoá Quátrình liên t ục hoá

§ Quátrình tái t ạo tín hiệu LTTG từ t/h RRTG § Các phương pháp

“Bộ xấp xỉ zero-order “Bộ xấp xỉ first-order “Bộ xấp xỉ bậc cao + bộ lọc tương tự

21 Bài tập vàth ảo luận Bài tập vàth ảo luận

Bằng Matlab hãy thực hiện: Cho t/h: xa(t) = 4Cos(200πt – π/6) + 20Cos(300πt – π/3) 1) Vẽ ở dạng liên tục trong 4 chu kỳ 2) Lấy mẫu xa(t) với các tần số lấy mẫu sau đây: Fs= 100, 200, 300, 400, 500, 600, 800, 1200 Vẽ các t/h rời rạc thời gian tương ứng

3) Lượng tử các mẫu ở câu 2) với số bit là: 4, 8, 16

a) Vẽ t/h sau lượng tử b) Ghi vào file dãy số đã lượng tử từ 1 chu kỳ của t/h 4) Tìm hiểu các hàm để mở các tập tin âm thanh,

hình ảnh vàhi ển thị chúng

22

Chương 22 Chương

BK TP.HCM

Tín hiệu và Hệ thống Tín hiệu và Hệ thống Rời Rạc Thời Gian Rời Rạc Thời Gian

T.S. Đinh Đức Anh Vũ

Faculty of Computer Science and Engineering HCMC University of Technology 268, av. Ly Thuong Kiet, District 10, HoChiMinh city (08) 864-7256 (ext. 5843) Telephone : Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu

Nội dung (1) Nội dung (1)

§ Tín hiệu RRTG “ Các t/h cơ bản “ Phân loại t/h “ Các phép toán cơ bản

§ Hệ thống RRTG “ Mô tả vào-ra “ Mô tả sơ đồ khối “ Phân loại h/t RRTG

§ Phân tích hệ LTI trong miền thời gian

“ Phân giải t/h RRTG ra đáp ứng xung đơn vị “ Tích chập vàcác thu ộc tính “ Biểu diễn hàm đáp ứng xung đơn vị cho hệ: nhân quả, ổn định “ Hệ FIR, IIR

2 Nội dung (2) Nội dung (2)

§ Phương trình sai phân

“LTI và phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng “Giải PTSPTT HSH “Đáp ứng xung đơn vị của h/t đệ qui LTI

§ Hiện thực hệ RRTG

“Cấu trúc trực tiếp dạng 1 “Cấu trúc trực tiếp dạng 2 § Tương quan giữa các t/h

“Tương quan và tự tương quan “Thuộc tính của tương quan “Tương quan của các t/h tuần hoàn “Giải thuật tính sự tương quan

3 Tín hiệu RRTG Tín hiệu RRTG

§ Giới thiệu

“ Ký hiệu: x(n), n: nguyên “ x(n) chỉ được định nghĩa tại các điểm rời rạc n, không được định nghĩa tại các điểm khác (không cóngh ĩa làx(n) bằng 0 tại các điểm đó)

“ x(n) = xa(nTs)

(Ts: chu kỳ mẫu)

“ n: chỉ số của mẫu tín hiệu, ngay cả khi t/h x(n) không phải đạt được từ lấy mẫu t/h xa(t)

4 Tín hiệu RRTG Tín hiệu RRTG

§ Một số dạng biểu diễn

1) Dạng hàm

x(n) =

1, n = 1, 3 4, n = 2 0, n khác

2) Dạng bảng

n |…-2 -1 0 1 2 3 4 5… x(n) |... 0 0 0 1 4 1 0 0…

3) Dạng chuỗi

↑: chỉ vị trín=0

{…,0,0,1,4,1,0,0,…}t/h vô h ạn

{0,0,1,4,1,0,0}

t/h hữu hạn

4) Dạng đồ thị

5 Tín hiệu RRTG cơ bản Tín hiệu RRTG cơ bản

δ(n)

§ T/h mẫu đơn vị (xung đơn vị) “Ký hiệu: “Định nghĩa:

( ) n

„

(cid:236) = (cid:237) 0 (cid:238)

6 Tín hiệu RRTG cơ bản Tín hiệu RRTG cơ bản

§ T/h bước đơn vị

u(n)

“Ký hiệu: “Định nghĩa:

‡

u n ( )

(cid:236) = (cid:237) 0 (cid:238)

7 Tín hiệu RRTG cơ bản Tín hiệu RRTG cơ bản

ur(n)

§ T/h dốc đơn vị “Ký hiệu: “Định nghĩa:

n n

‡

u n ( ) r

(cid:236) = (cid:237) (cid:238)

8 Tín hiệu RRTG cơ bản Tín hiệu RRTG cơ bản

§ T/h mũ

x(n) = an, "n

“Định nghĩa: “Hằng số a • a: thực • a: phức

ﬁ x(n): t/h thực ﬁ a ” rejq ﬁ x(n)= r nejθn

= rn(cosθn + jsinθn)

2 cách biểu diễn

xR(n) = rncosθn xI(n) = rnsinθn

hoặc

| x(n) | = rn —x(n) = θn

9 Tín hiệu RRTG cơ bản Tín hiệu RRTG cơ bản

T/h mũ x(n)=an (với a=0.9) giảm dần khi n tăng T/h mũ x(n)=an (với a=1.5) tăng dần khi n tăng

10 Tín hiệu RRTG cơ bản Tín hiệu RRTG cơ bản

xr(n) = (1.5)ncos(πn/10) xr(n) = (0.9)ncos(πn/10)

11 Phân loại tín hiệu RRTG Phân loại tín hiệu RRTG

§ T/h năng lượng vàt/h công su ất

+¥

“Năng lượng của t/h x(n)

( )

xEx n

= (cid:229)

-¥

• Nếu Ex hữu hạn (0 < Ex < ¥) ﬁ x(n): t/h năng lượng

“Công suất TB của t/h x(n)

( )

Px n = N

1 + (cid:229) lim 1 Nﬁ¥ 2

n N =-

“Năng lượng t/h trên khoảng [-N,N]

( )

Ex n N

• Nếu Px hữu hạn (0 < Px < ∞) ﬁ x(n): t/h công suất = (cid:229)

n N =-

• Năng lượng t/h

lim N E

ﬁ¥

• Công suất t/h

1 lim Nﬁ¥ 2 +

12 Phân loại tín hiệu RRTG Phân loại tín hiệu RRTG

§ T/h tuần hoàn vàkhông tu ần hoàn

“x(n) tuần hoàn chu kỳ N (cid:219) x(n+N) = x(n), "n

“Năng lượng

• Hữu hạn nếu 0 ≤ n ≤ N –1 vàx(n) h ữu hạn • Vô hạn nếu –¥ ≤ n ≤ +¥

“Công suất hữu hạn

( )

1 = (cid:229) Px n N

(cid:222) T/h tuần hoàn làt/h công su ất

13 Phân loại tín hiệu RRTG Phân loại tín hiệu RRTG

§ T/h đối xứng (chẵn) và bất đối xứng (lẻ)

“Cho t/h x(n) thực • x(n) = x(–n), "n • x(n) = –x(–n), "n

ﬁ t/h chẵn ﬁ t/h lẻ

“Bất cứ t/h nào cũng được biểu diễn x(n) = xe(n) + xo(n)

• Thành phần t/h chẵn

xe(n) = (½)[x(n) + x(–n)]

• Thành phần t/h lẻ

xo(n) = (½)[x(n) –x(–n)]

14 T/h RRTG: Các phép toán cơ bản T/h RRTG: Các phép toán cơ bản

§ Các phép toán cơ bản

Phép biến đổi biến độc lập (thời gian)

: co giãn

“Delay : làm trễ (TD) “Advance : lấy trước (TA) “Folding : đảo (FD) : cộng “Addition “Multiplication: nhân “Scaling

15 T/h RRTG: Các phép toán cơ bản T/h RRTG: Các phép toán cơ bản

§ Biến đổi biến độc lập (thời gian)

"k >0

• y(n) = x(n–k) • y(n) là kết quả của làm trễ x(n)

đi k mẫu

x(n) “ Phép làm trễ: dịch theo thời gian bằng cách thay thế n bởi n–k

• Trên đồ thị: phép delay chính là DỊCH PHẢI chuỗi t/h đi k mẫu

Làm trễ Lấy trước

"k >0

• y(n) = x(n+k) • y(n) là kết quả của lấy trước

x(n) đi k mẫu

• Trên đồ thị: phép lấy trước

chính là DỊCH TRÁI chuỗi t/h đi k mẫu

“ Phép lấy trước: dịch theo thời gian bằng cách thay thế n bởi n+k y(n) = x(n–k)

16 T/h RRTG: Các phép toán cơ bản T/h RRTG: Các phép toán cơ bản

§ Biến đổi biến độc lập (thời gian) “ Phép đảo: thay thế n bởi –n

• y(n) = x(–n) • y(n) là kết quả của việc đảo tín

hiệu x(n)

• Trên đồ thị: phép folding chính là ĐẢO đồ thị quanh trục đứng

x(n)

Chú ý

• FD[TDk[x(n)]] „ TDk[FD[x(n)]] • Phép đảo vàlàm tr ễ không hoán

vị được

Đảo Đảo

y(n) = x(-n)

• y(n) = x(μn) • y(n) là kết quả của việc co giãn

t/h x(n) hệ số µ

• Phép tái lấy mẫu nếu t/h x(n) có được bằng cách lấy mẫu xa(t)

“ Phép co giãn theo thời gian: thay thế n bởi µn (µnguyên) μ: nguyên

17 T/h RRTG: Các phép toán cơ bản T/h RRTG: Các phép toán cơ bản

n: [–∞,+∞]

Cho hai t/h x1(n) và x2(n)

§ Phép cộng

n: [–∞,+∞]

y(n) = x1(n) + x2(n)

§ Phép nhân

n: [–∞,+∞]

y(n) = x1(n).x2(n)

§ Phép co giãn biên độ

n: [–∞,+∞]

y(n) = ax1(n)

18 Hệ thống RRTG Hệ thống RRTG

§ Giới thiệu

“Tín hiệu đã chuyển sang dạng biểu diễn số (cid:222) Cần thiết

kế thiết bị, chương trình để xử lý nó

“Hệ thống RRTG = thiết bị, chương trình nói trên

y(n) x(n)

Hệ thống RRTG

Tín hiệu vào (Tác động) x(n) Tín hiệu ra (đáp ứng) y(n) = T[x(n)]

19 H/t RRTG: Mô tả quan hệ vào-ra H/t RRTG: Mô tả quan hệ vào-ra

§ Chỉ quan tâm mối quan hệ vào–ra § Không để ý đến kiến trúc bên trong của hệ § Xem hệ như là

y(n) = T[x(n)]

§ Ví dụ bộ tích lũy

ynx k ()( )

(cid:229)

-¥

()( ) xkx n +

(cid:229)

-¥ ynx n (1)( ) =- +

Nếu n ‡ n0 (chỉ tính đáp ứng từ thời điểm n0),

ﬁ

y(n0) = y(n0 –1) + x(n 0)

y(n0 – 1): điều kiện đầu, bằng tổng các t/h áp lên h/t trước thời điểm n0 Nếu y(n0 –1) = 0

ﬁ h/t ở trạng thái nghỉ (không cótác động trước n0)

20 H/t RRTG: Mô tả sơ đồ khối H/t RRTG: Mô tả sơ đồ khối

§ Kết nối các khối phần tử cơ bản

“ Bộ cộng

x1(n)

y(n) =x1(n)+x2(n) +

x2(n)

“ Bộ trễ đơn vị

a “ Bộ co-giãn x(n) y(n) = ax(n) x(n) y(n) = x(n–1)

Z–1

“ Bộ nhân

x1(n) “ Bộ tiến đơn vị

y(n) =x1(n).x2(n) x(n) y(n) = x(n+1) x Z x2(n)

Dấu * dùng để chỉ một phép toán khác –tích ch ập (nói sau)

21 H/t RRTG: Mô tả sơ đồ khối H/t RRTG: Mô tả sơ đồ khối

§ Ví dụ

“Mô tả bằng sơ đồ cấu trúc cho hệ cóquan h ệ vào ra sau: y(n) = 2x(n) –3x(n–1) + 1.5y(n–1) + 2y(n–2)

“Đặc tả điều kiện đầu của hệ: {trị các ô Z–1}

2 y(n) x(n)

+ +

Z–1 Z–1 1.5 –3 +

Z–1 2

22 H/t RRTG: Phân loại H/t RRTG: Phân loại

§ Một hệ thống được gọi làcótính ch ất X nếu tính chất X

thoả mãn cho mọi tín hiệu vào của hệ thống đó

§ Hệ động – hệ tĩnh

“ Hệ tĩnh

• Ngõ xuất chỉ phụ thuộc các mẫu ở thời điểm hiện tại (không phụ thuộc

mẫu tương lai hay quákh ứ)

§ Không xuất hiện các ô Z–1 trong sơ đồ khối § Không xuất hiện các x(n–k) hay y(n–k) trong quan hệ vào ra

“ Hệ động

• Không dùng bộ nhớ

§ Cóxu ất hiện các ô Z–1 trong sơ đồ khối § Cóxu ất hiện các x(n–k) hay y(n–k) trong quan hệ vào ra

• Ngõ xuất tại thời điểm n phụ thuộc các mẫu trong [n–N, n] (N ≥ 0) • Hệ códùng b ộ nhớ

• N = 0 ﬁ h/t tĩnh • ¥ > N > 0 ﬁ h/t có bộ nhớ hữu hạn • N = ¥ ﬁ h/t có bộ nhớ vô hạn

23 H/t RRTG: Phân loại H/t RRTG: Phân loại

§ Hệ biến thiên và bất biến theo thời gian

“Hệ bất biến theo thời gian

• Đặc trưng vào-ra không thay đổi theo thời gian • Định lý:

Hệ nghỉ T là bất biến nếu vàch ỉ nếu

()( )

xny n(cid:190)(cid:190)ﬁ

(cid:222)

xnkynkxn ()()(),

k -(cid:190)(cid:190)ﬁ-"

“Hệ biến thiên theo thời gian • Hệ không cótính ch ất trên

24 H/t RRTG: Phân loại H/t RRTG: Phân loại

§ Hệ tuyến tính vàphi tuy ến

“Hệ tuyến tính

• Hệ thoả nguyên lý xếp chồng • Định lý:

Hệ làtuy ến tính nếu vàch ỉ nếu: T[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1T[x1(n)] + a2T[x2(n)] "ai, "xi(n)

• Tính chất co giãn:

nếu a2 = 0 ﬁ T[a1x1(n)] = a1T[x1(n)]

• Tính chất cộng:

nếu a1 = a2 = 1 ﬁ T[x1(n) + x2(n)] = T[x1(n)] + T[x2(n)]

“Hệ phi tuyến

• Hệ không thoả mãn nguyên lý xếp chồng

y(n) = T(0) ≠ 0

25 H/t RRTG: Phân loại H/t RRTG: Phân loại

§ Hệ nhân quả vàkhông nhân qu ả

“Hệ nhân quả

• Hệ chỉ phụ thuộc các mẫu hiện tại vàquákh ứ, không

phụ thuộc các mẫu tương lai

• Định lý:

Hệ T được gọi lànhân qu ả nếu như đáp ứng tại n0 chỉ phụ thuộc vào tác động tại các thời điểm trước n0 (ví dụ: n0 –1, n 0 –2, …)

y(n) = F[x(n), x(n–1), x(n–2), …]

“Hệ không nhân quả: hệ không thoả định lý trên

26 H/t RRTG: Phân loại H/t RRTG: Phân loại

§ Hệ ổn định vàkhông ổn định

“Hệ ổn định • Định lý:

Hệ nghỉ được gọi làBIBO ổn định nếu vàch ỉ nếu mọi ngõ nhập hữu hạn sẽ tạo ra ngõ xuất hữu hạn

"x(n): │x(n)│ ≤ Mx < ¥ ﬁ │y(n)│ = │T[x(n)]│ ≤ My < ¥

27 H/t RRTG: Kết nối H/t RRTG: Kết nối

§ Cóth ể kết nối các hệ RRTG nhỏ, cơ bản, thành các

hệ thống phức tạp hơn

x(n) y(n) y1(n)

§ Hai cách kết nối

T1 T2

“Nối tiếp

y(n)

với Tc ” T2T1

= T2[T1[x(n)]] y1(n) = T1[x(n)] = Tc[x(n)] y(n) = T2[y1(n)] • Thứ tự kết nối làquan tr ọng T2T1 ≠ T1T2 • Nếu T1, T2 tuyến tính và bất biến theo thời gian

“Song song y(n)

Tp y1(n) § Tc ” T2T1 bất biến theo thời gian § T1T2 = T2T1 T1 y(n) x(n) +

y2(n)

= T1[x(n)] + T2[x(n)] = (T1+T2)[x(n)] = Tp[x(n)]

với Tp”T1+T2

28 H/t LTI: Phân tích h/t tuyến tính H/t LTI: Phân tích h/t tuyến tính

§ Kỹ thuật phân tích h/t tuyến tính

§ Phân giải t/h nhập

xncx n= (cid:229) ()( )

“ Biểu diễn quan hệ vào/ra bằng phương trình sai phân vàgi ải nó “ Phân tích t/h nhập thành tổng các t/h cơ sở sao cho đáp ứng của h/t đối với các t/h cơ sở làxác định trước. Nhờ tính chất tuyến tính của h/t, đáp ứng của h/t đối với t/h nhập đơn giản bằng tổng các đáp ứng của h/t với các t/h cơ sở

( )

]

(cid:229) [()] Tcx n k k cTx n [ k

(cid:229)

(

)

( )

(cid:222)

k (cid:229) yncy n k

giả sử yk(n) = T[xk(n)] ynTx n ()[()]

29 H/t LTI –Phân gi ải t/h nhập H/t LTI –Phân gi ải t/h nhập

§ Phân giải t/h nhập ra đáp ứng xung đơn vị

xk(n) = δ(n–k)

“ Chọn các t/h thành phần cơ sở “ Ta có x(n)δ(n–k) = x(k)δ(n–k) "k

)

¥ (cid:229) xnxkn k ()()( = =-¥

“ Biểu thức phân tích t/h x(n)

x(n) = {2 4 3 1} “ Ví dụ:

§ Đáp ứng của h/t LTI với t/h nhập bất kỳ: tích chập

thì x(n) = 2δ(n+2) + 4δ(n+1) + 3δ(n) + δ(n–1)

“ Đáp ứng y(n, k) của h/t với xung đơn vị tại n=k được biểu diễn bằng h(n, k)

• n: chỉ số thời gian • k: tham số chỉ vị trí xung đơn vị

y(n, k) ” h(n, k) = T[δ(n–k)] –¥ < k < ¥

“ Nếu t/h nhập được co giãn hệ số ck ” x(k), đáp ứng của h/t cũng co giãn

ckh(n, k) = x(k)h(n, k)

30 H/t LTI –Tích ch ập H/t LTI –Tích ch ập

()[()] ynTx n

§ Tích chập

¥ (cid:229) [()()] Txkn k k =-¥

xkTn k ()[()] d

(cid:229)

=-¥

xkhn k ()(, )

(cid:229)

=-¥

y(n) x(n) LTI

“ Biểu thức trên đúng với mọi h/t tuyến tính nghỉ (bất biến hoặc biến thiên) “ Đối với hệ LTI, nếu h(n) = T[δ(n)] thìh(n–k) = T[ δ(n–k)]

(cid:229) ynxkhn k ()()( ) = =-¥

(cid:222)

“ H/t LTI được đặc trưng hoàn toàn bằng hàm h(n), trong khi h/t tuyến tính

biến thiên thời gian yêu cầu một số vô hạn các đáp ứng xung đơn vị h(n, k): mỗi hàm h(n, k) cho mỗi thời gian trễ

31 H/t LTI –Tích ch ập H/t LTI –Tích ch ập

Cách tính ngõ xuất của h/t tại một thời điểm n0

ynxkhn ()()( = 0

(cid:229) k ) =-¥

1. Đảo: 2. Dịch:

: dịch h(–k) đi một

h(k) ﬁ h(–k): đối xứng h(k) quanh trục k=0 h(–k) ﬁ h(–k + n0)

3. Nhân: 4. Cộng:

đoạn n0 sang phải (trái) nếu n0 dương (âm) vn0(k) = x(k) h(–k + n0) tổng tất cả chuỗi vn0(k)

32 H/t LTI –Tích ch ập H/t LTI –Tích ch ập

§ Trong biểu thức tích chập, nếu thay m=n–k (tức

k=n–m), ta có

(cid:229)

¥ (cid:229) ()()()()( ) ynxnmhmxnkh k =-= m

=-¥=-¥

“Công thức này cho cùng kết quả như công thức tích

chập, nhưng thứ tự tính toán khác nhau

“Nếu

vvnn(k) = w

(k) = wnn(n(n––k)k)

vn(k) = x(k)h(n–k) wn(k) = x(n–k)h(k)

()()(

(cid:222)

(cid:229)

(cid:229) ynvkwn k ) n == k

- k

=-¥=-¥

33 H/t LTI –Tích ch ập H/t LTI –Tích ch ập

§ Tóm tắt

x(n)

y(n)

h(n) : Hàm đáp ứng xung đơn vị của hệ LTI

)( ny

)(*)( nx nh

)( ny

)(*)( nx

()( knhkx

)

( khknx )() -

(cid:229)

-¥=

LTI: h(n)

34 H/t LTI –Tính ch ất tích chập H/t LTI –Tính ch ất tích chập

§ Giao hoán x(n)*h(n) = h(n)*x(n)

h(n) y(n) y(n) x(n)

§ Kết hợp

[x(n)*h1(n)]*h2(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)]

h(n) x(n)

h1(n) h2(n)

Giao hoán h2(n) h1(n)

Kết hợp

h = h1(n)*h2(n)

35 H/t LTI –Tính ch ất tích chập H/t LTI –Tính ch ất tích chập

§ Phân phối

x(n)*[h1(n) + h2(n)] = x(n)*h1(n) + x(n)*h2(n)

h1(n)

x(n) y(n) x(n) y(n)

+ Phân phối h(n) = h1(n) + h2(n)

“ Ví dụ: dùng tích chập, xác định đáp ứng của hệ thống

h2(n)

• x(n) = anu(n) và h(n) = bnu(n) trong cả 2 truờng hợp a=b và a≠b • x(n) = {…0, 1, 2, 1, 1, 0…} vàh(n) = δ(n) – δ(n–1) + δ(n–4) + δ(n–5)

36 H/t LTI –Tính nhân qu ả H/t LTI –Tính nhân qu ả

§ Một hệ LTI lànhân qu ả nếu vàch ỉ nếu các đáp ứng xung

của nó bằng 0 đối với các giátr ị âm của n [tức, h(n) = 0, "n < 0]

)

(cid:229)

¥ (cid:229) ynhkxnkxkhn k ()()()()( =-= k 0 ==-¥

Qui ước “ Chuỗi bằng 0 "n < 0 “ Chuỗi khác 0 "n: n<0 vàn>0

ﬁ chuỗi nhân quả ﬁ chuỗi không nhân quả

§ Nếu t/h nhập làchu ỗi nhân quả [x(n) = 0, "n < 0]

)

(cid:229)

n (cid:229) ynhkxnkxkhn k ()()()()( =-= 0 k =

“ Đáp ứng của h/t nhân quả với chuỗi nhân quả lànhân qu ả [y(n) =

0, "n<0]

37 H/t LTI –Tính ổn định H/t LTI –Tính ổn định

§ Hệ LTI là ổn định nếu hàm đáp ứng xung đơn vị làkh ả tổng

tuyệt đối “ Chứng minh

Tacó

¥ (cid:229) ynxnkh k ()()( ) = k =-¥ xn M ( )

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

(cid:229)

¥¥ (cid:229)(cid:229) ynxnkhkxnkhkMh k ()()()()()( ) =-£- kk

=-¥=-¥=-¥

ynMnêuSh k ()( )

£<¥=< ¥ y

(cid:229)

=-¥

§ Ví dụ: xác định tầm giátr ị a, b sao cho hệ LTI sau ổn định

‡

()11

n 1

0 =-£ < n b

< -

38 H/t LTI –FIR vàIIR H/t LTI –FIR vàIIR

§ Hệ có đáp ứng xung hữu hạn – FIR (Finite-duration Impulse

Response) “ h(n) = 0 "n: n < 0 vàn ≥ M M 1 - (cid:229) ynhkxn k ()()( ) = 0

“ Hệ FIR có bộ nhớ độ dài M

§ Hệ có đáp ứng xung vô hạn – IIR (Infinite-duration Impulse

Response) “ Giả sử h/t cótính nhân qu ả

(cid:229) ynhkxn k ()()( ) = 0

“ Hệ IIR có bộ nhớ vô hạn

39 H/t RRTG – Đệ qui H/t RRTG – Đệ qui

§ Trung bình tích lũy của t/h x(n) trong khoảng 0 ≤ k ≤ n

ynx k ()( ) =

1 + (cid:229) 1 = k

0 “ Việc tính y(n) đòi hỏi lưu trữ tất cả giátr ị của x(k)

x(n)

y(n)

(cid:222) khi n tăng, bộ nhớ cần thiết cũng tăng

§ Cách khác để tính y(n): đệ qui n 1 - (cid:229) nynxkxnnynx n (1)()()()(1)( ) +=+=- + k 0 =

1 n+1

(cid:222)=- +

n ynynx n ()(1)( ) n +

1 +

+ x

n • y(n0 – 1): điều kiện đầu

§ H/t đệ qui là hệ cóy(n) ph ụ thuộc không chỉ t/h nhập màcòn giátr ị

quákh ứ của ngõ xuất

Z–1 x

40 H/t RRTG – Đệ qui H/t RRTG – Đệ qui

y(n) = F[x(n), x(n–1), …, x(n–M)]

§ H/t không đệ qui nếu § Khác nhau cơ bản giữa h/t đệ qui và h/t không đệ qui

x(n)

y(n)

F[x(n), x(n–1), …, x(n–M)]

F[x(n), x(n–1), …, x(n–M), y(n–1), y(n–2), …, y(n–N)]

§ Ý nghĩa

“ H/t đệ qui phải tính các giátr ị ngõ xuất ở quákh ứ trước “ H/t không đệ qui cóth ể xác định giátr ị ngõ xuất ở thời điểm bất kỳ

màkhông c ần tính giátr ị ngõ xuất ở quákh ứ

“ Hệ đệ qui: hệ tuần tự “ Hệ không đệ qui: hệ tổ hợp

Z-1

41 H/t LTI RRTG –ph/trình sai phân H/t LTI RRTG –ph/trình sai phân hệ số hằng hệ số hằng

§ Tập con của h/t đệ qui và không đệ qui § Ví dụ h/t đệ qui được mô tả bởi PTSP bậc 1: y(n) = ay(n–1) + x(n)

y(0) = ay(–1) + x(0) y(1) = ay(0) + x(1) = a2y(–1) + ax(0) + x(1) … y(n) = ay(n–1) + x(n) = an+1y(–1) + anx(0) + an-1x(1) + …+ ax(n–1) + x(n) Hoặc

1 n + ynayaxnk ()(1)()

n =-+-" ‡ (cid:229) n 0 0 k =

“ Phương trình xuất nhập cho hệ LTI “ Tác động vào h/t t/h x(n) "n ≥ 0 vàgi ả sử tồn tại y(–1)

• Bộ nhớ biểu diễn trạng thái h/t ﬁ h/t ở trạng thái 0 (đáp ứng trạng thái 0 hoặc

đáp ứng cưỡng bức – yzs(n))

“ Nếu h/t nghỉ tại n=0, bộ nhớ của nó bằng 0, do đóy(–1) = 0

n (cid:229) ynaxn k ) ()( zs 0 k =

• Đây làtích ch ập của x(n) vàh(n) = a nu(n) • Đáp ứng trạng thái 0 phụ thuộc bản chất h/t vàt/h nh ập

= -

42 H/t LTI RRTG –ph/trình sai phân H/t LTI RRTG –ph/trình sai phân hệ số hằng hệ số hằng

§ Nếu h/t không nghỉ [tức y(–1) ≠ 0] vàx(n) = 0 "n: hệ

1 +

thống không cót/h nh ập “ Đáp ứng không ngõ nhập (hay đáp ứng tự nhiên) yzi(n) -

()(1) y =

ziyna

“ H/t đệ qui với điều kiện đầu khác không là hệ không nghỉ, tức nó

vẫn tạo ra đáp ứng ngõ ra ngay cả khi không cót/h nh ập (đáp ứng này do bộ nhớ của h/t)

“ Đáp ứng không ngõ nhập đặc trưng cho chính h/t: nóph ụ thuộc bản

chất h/t và điều kiện đầu +

ynyny n ()()( )= zizs

§ Tổng quát § Dạng tổng quát của PTSPTT HSH

(cid:229)

N (cid:229) ynaynkbxn k ()()( ) =--+ k k 1 =

“ N: bậc của PTSP

hoac

(cid:229)

a aynkbxnk ()()(1) -=- ”

43 H/t LTI RRTG –ph/trình sai phân H/t LTI RRTG –ph/trình sai phân hệ số hằng hệ số hằng

§ Xem lại các t/chất tuyến tính, bất biến thời gian và ổn định

của h/t đệ qui được mô tả bằng PTSP TT HSH “ Hệ đệ qui cóth ể nghỉ hay không tùy vào điều kiện đầu

§ Tuyến tính

“ Hệ làtuy ến tính nếu nóth ỏa

1. Đáp ứng toàn phần bằng tổng đáp ứng trạng thái không và đáp ứng

không ngõ nhập y(n) = yzs(n) + yzi(n)

2. Nguyên tắc xếp chồng áp dụng cho đáp ứng trạng thái không (tuyến

tính trạng thái không)

3. Nguyên tắc xếp chồng áp dụng cho đáp ứng không ngõ nhập (tuyến

“ Hệ không thoả một trong 3 đ/k trên là hệ phi tuyến “ Hệ đệ qui được mô tả bằng PTSP HSH thỏa cả 3 đ/k trên ﬁ tuyến

tính

tính không ngõ nhập)

44 H/t LTI RRTG –ph/trình sai phân H/t LTI RRTG –ph/trình sai phân hệ số hằng hệ số hằng

Ví dụ: xét tính chất tuyến tính của hệ y(n) = ay(n–1) + x(n)

“ Đ/k 1.

n 0 ynaxnk ()() zs (cid:222)= ynyny n ()()( ) + zszi

n (cid:229) k =-" ‡ 0 = 1 n + =-" ‡

“ Đ/k 2.

• Giả sử x(n) = c1x1(n) + c2x2(n)

()(1) n 0 ynay zi (cid:252) (cid:239) (cid:253) (cid:239) (cid:254)

112 2

(cid:229)

n (cid:229) k ynaxnkacxnkcxn k ()()[()()] =-=-+ zs 0 k =

(cid:229)

) - ()( 2

(cid:229) k caxnkcaxn k =-+ 112 0 k = (1)(2) cyncy 1 zszs

“ Đ/k 3.

• Giả sử y(–1) = c1y1(–1) + c2y2(–1)

1 +

x(n) y(n) n ()( ) + = +

n 1 + ynayacyc y ()(1)[(1)(1)] =-=-+ zi

112

1 +

Z–1 - a

1 n + cayca =-+ 112 (1)(2) cyncy zizi 1

“ Vậy y(n) tuyến tính

y (1)(1) - 2 n ()( ) + =

45 H/t LTI RRTG –ph/trình sai phân H/t LTI RRTG –ph/trình sai phân hệ số hằng hệ số hằng

“ ak và bk là hằng số ﬁ PTSP HSH là bất biến theo thời gian “ H/t đệ qui được mô tả bằng PTSP HSH làLTI

§ Bất biến thời gian

“ H/t BIBO ổn định nếu vàch ỉ nếu với mọi ngõ nhập hữu hạn và mọi điều kiện đầu hữu

hạn, đáp ứng của toàn h/t là hữu hạn

“ Ví dụ: xác định giátr ị a để h/t y(n) = ay(n–1) + x(n) ổn định

"n ≥ 0

• Giả sử │x(n)│≤ Mx < ¥

1 +

)

k -

(cid:229)

nkn 1 + ynayaxnkayaxn k ()(1)()(1)( =-+-£-+ k

(1)

n 1 + ayM £- +

(cid:229)

1 +

(1)

n 1 + ayM

£-+

” x

1 - M 1

• n hữu hạn (cid:222) My hữu hạn vày(n) h ữu hạn độc lập với giátr ị a • Khi nﬁ¥, My hữu hạn chỉ nếu │a│< 1 (cid:222) My = Mx/(1 – │a│) • Vậy h/t chỉ ổn định nếu │a│< 1

§ Ổn định

46 Giải ph/trình sai phân tuyến tính hệ Giải ph/trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số hằng

§ Xác định biểu thức chính xác của y(n) khi biết x(n)

(n≥0) và tập các đ/k đầu

§ 2 phương pháp

“Gián tiếp: biến đổi Z “Trực tiếp

§ Phương pháp trực tiếp

“Đáp ứng toàn phần y(n) = yh(n) + yp(n)

• yh(n): đáp ứng thuần nhất, không phụ thuộc x(n) (x(n) = 0) • yp(n): đáp ứng riêng phần, phụ thuộc x(n)

47 Giải ph/trình sai phân tuyến tính hệ Giải ph/trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số hằng

() 0 ayn k - k

§ Đáp ứng thuần nhất “ Giả sử x(n) = 0

(cid:229)

PTSP thuầần nhn nhấấtt PTSP thu

• Giả sử đáp ứng có dạng yh(n) = λn

)

n k ( l -

(cid:222)

a k

(cid:229)

() 0

k 0 = nNNN -- llll

a = l

L 1

N - aaa +++++ hoặc 12 Biểu thức trong ngoặc đơn: đa thức đặc trưng của h/t • PT này cóN nghi ệm λ1, λ2, …, λN • Dạng tổng quát nhất của nghiệm PTSP thuần nhất (giả sử các nghiệm đơn riêng

biệt)

=++

n l

nn + ll 112 2

( ) ynCC hN N

1 -

2 n C l

Ci cóth ể được xác định nhờ vào các đ/k đầu của h/t • Nếu λ1 lànghi ệm bội bậc m, nnnmnn ynCCnCnCnC ( ) =++++++ lllll hmmmN N 11213111

+ 1

• PT này cóth ểđượ c dùng để xác định đáp ứng không ngõnh ập của h/t

(bởi vìx(n) = 0)

“ Cách giải PTSP TT HSH tương tự cách giải PT vi phân TT HSH

48 Giải ph/trình sai phân tuyến tính hệ Giải ph/trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số hằng

§ Đáp ứng thuần nhất

“Ví dụ y(n) + a1y(n–1) = x(n) • Cho x(n) = 0 vàgi ả sử yh(n) = λn (cid:222) λn +a1λn–1 = 0 (cid:222) λn–1(λ+a1) = 0 (cid:222) λ = –a1 • Đáp ứng đồng dạng yh(n) = Cλn = C(–a1)n • Mặt khác,

(1)

(cid:222)=-

Ca y -

- C

ya y (0)(1) =- (0)

1 =

()()(1)

1 =--" ‡n + 1

ziynay

Do đó

49 Giải ph/trình sai phân tuyến tính hệ Giải ph/trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số hằng

“ Đáp ứng riêng phần yp(n) thoả mãn PT

()()

-=-

”

aynkbxnk kp

(cid:229)

k 0

“ Ví dụ

(│a1│< 1)

y(n) + a1y(n–1) = x(n)

xác định yp(n) khi x(n) = u(n)

K + a1K = 1

(cid:222) K = 1/(1+a1)

• Đáp ứng riêng phần có dạng yp(n) = Ku(n) K: hệ số co giãn (cid:222) Ku(n) + a1Ku(n–1) = u(n) • Khi n ≥ 1, ta có • Đáp ứng riêng phần

§ Đáp ứng riêng phần

pynu n ()( ) =

x(n)

1 a + 1

A yp(n) K

“ Dạng tổng quát của đáp ứng riêng phần

Amn

AnM

KMn K0nM + K1nM-1 + …+ K M An(K0nM + K1nM-1 + …+ K M)

K1cosω0n + K2sinω0n

50

AnnM Acosω0n Asinω0n

Giải ph/trình sai phân tuyến tính hệ Giải ph/trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số hằng

“ Ví dụ: xác định đáp ứng toàn phần của PTSP

y(n) + a1y(n–1) = x(n)

với x(n) = u(n) vày(–1) là đ/k đầu

• Theo trên, ta có

§ Đáp ứng toàn phần

) ynC a ()( = h

n ‡

• Muốn xác định đáp ứng trạng thái không, ta cho y(–1) = 0

ynCa ()() n 0 (cid:222)=-+ = 1 ( ) y n p 1 a + 1 1 - 1 a + 1 (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

ya y (0)(1) 1 +- = 1

1 +

C (cid:222) = (0) y C = + 1 a 1 a + 1 1 1 a + 1 (cid:252) (cid:239) (cid:253) (cid:239) (cid:254)

Vậy

• Nếu tìm C dưới đ/k y(–1) ≠ 0, đáp ứng toàn phần sẽ bao gồm đáp ứng trạng thái không và

đáp ứng không ngõ nhập

1 +

1( () n = 0 ‡ yn zs ) a - - 1 a 1 + 1

(0)(1) 1 ya y +- = 1 ()()(1) ynay =--+ 1 (1) Ca y (cid:222)=-- + 1( ) a - - 1 0 n ‡ a 1 + 1 (0) y C = + 1 a 1 a + 1 1 = 1 a + 1 yny n ()( ) + zizs

51 Giải ph/trình sai phân tuyến tính hệ Giải ph/trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số hằng

§ Ngoài ra, cóth ể xác định đáp ứng riêng

phần từ đáp ứng trạng thái không

yny n ()lim( ) = pzs ﬁ¥

1 a + 1

“yp(n) ≠ 0 khi nﬁ¥: đáp ứng trạng thái đều “yp(n) =0 khi n ﬁ¥: đáp ứng tiệm cận

52 Đáp ứng xung của h/t đệ qui LTI Đáp ứng xung của h/t đệ qui LTI

‡

ynhkxnk zs

x(n) = δ(n) (cid:222)

n (cid:229) ()()()(0) =- k =

hkn k ()( d

) -

(cid:229)

0 k = h n ( )

(cid:222) h(n) = yh(n)

= yp(n) = 0 vìx(n) = 0 khi n > 0 Bất kỳ h/t đệ qui nào được mô tả bằng PTSP TT HSH đều là IIR

§ § § Đáp ứng thuần nhất

n l

ynhn ()( ) ” hk k

= (cid:229) C

1 =

Tính ổn định

{Ci} được xác định nhờ đ/k đầu y(-1) = y(-2) = …= y(-N) = 0 §

“ Đ/k cần và đủ cho sự ổn định của một h/t nhân quả IIR được mô tả bởi PTSP TT HSH là tất cả các

nghiệm của đa thức đặc trưng cógiátr ị tuyệt đối nhỏ hơn đơn vị

¥¥

“ CM

hnC ( )

n l

¥ £

n l kkk

nnkk

(cid:229)(cid:229)(cid:229)(cid:229) (cid:229) = n 0 =

0011 ====

Nêukh n

l k

<"(cid:222)<¥(cid:222)< ¥(cid:229) n 1( ) l k

(cid:229)

Ngược lại nếu │λ│≥ 1, h(n) không còn khả tổng, tức h/t không ổn định

53 Hiện thực hệ RRTG – Cấu trúc Hiện thực hệ RRTG – Cấu trúc

x(n) y(n) v(n) b0

+

§ VD: Xét hệ bậc 1 y(n) = a1y(n–1) + b0x(n) + b1x(n–1)

Z–1 Z-1

Sơ đồ cấu trúc

-a1 b1

H1 Cấu trúc trực tiếp dạng 1 H1

x(n) y(n) b0

+

vnbxnbx n ()()(1) =+ 0 ynaynv n ()(1)( ) =-- + 1

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

Z-1 Z–1 Hoán vị hai hệ con -a1 b1

Gộp hai ô nhớ x(n) y(n) w(n) b0

+

H3 Z-1

-a1 b1

H3 Cấu trúc trực tiếp dạng 2 (dạng chuẩn tắc) wnawnx n ()(1)( ) =-- + 1 ynbwnbw n ()()(1) =+

54 Hiện thực hệ RRTG – Cấu trúc Hiện thực hệ RRTG – Cấu trúc

()()(

(cid:229)

N (cid:229) ) ynaynkbxn k =--+ k 1 =

Dạng II b0 x(n) y(n) x(n) y(n) Dạng I b0 + + + +

Z-1 a1 b1 Z-1 Z-1 + + a1 b1 + + Z-1 a2 b2 + + Z-1 Z-1 a2 b2 bM + + +

Z-1 aN–1 aN–1 bM–1 + + + Z-1 Z-1 Z-1 aN aN bM

Ô nhớ: M+N Ô nhớ: Max(M,N)

Hoán vị Gộp ô nhớ

55 Hiện thực hệ RRTG – Cấu trúc Hiện thực hệ RRTG – Cấu trúc

§ Khi ak = 0 (cid:222)

M (cid:229) ynbxn k ) ()( = 0 =

hệ FIR không đệ qui với

h n ( )

£ £ kkhác

kbk M 0 (cid:236) = (cid:237) 0 (cid:238)

§ Hệ bậc 2: y(n) = –a1y(n–1) – a2y(n–2) + b0x(n) + b1x(n–1) + b2x(n–2)

x(n) Z-1 Z-1

b0 y(n) x(n) b0 b2 + + + y(n)

Z-1 b1 + a1=a2=0: hệ FIR a1 b1 + +

y(n) Z-1 x(n) b0 a2 b2

+ –a1 + –a2

Z-1 Z-1

b1=b2=0: hệ đệ qui thuần

56 Hiện thực hệ FIR – bất đệ qui Hiện thực hệ FIR – bất đệ qui

§ Hiện thực không đệ qui

M (cid:229) ynbxn k ) ()( = 0 =

(0 ≤ k ≤ M)

“Đáp ứng xungh(k) = b k “Ví dụ

()

1 + (cid:229) ynxn k ) ()( M 1 = k 1 hnn M =£ £ M +

x(n)

Z–1

y(n)

1 M+1

+ + +

57 Hiện thực hệ FIR – đệ qui Hiện thực hệ FIR – đệ qui

§ Hiện thực đệ qui

“Bất kỳ h/t FIR nào cũng được thực hiện theo kiểu đệ qui “Ví dụ

ynxn k ) ()( =

(cid:229)

1 M +

xnkxnxn (1)[()(1)]

1 M M +

M 1 (cid:229) =--+-- - M + 0 =

ynxnxn (1)[()(1)] =-+-- -

1 M M 1 +

x(n)

x(n–1–M)

Z–1

y(n)

– +

1 M+1

Z–1

58 Tương quan giữa các t/h RRTG Tương quan giữa các t/h RRTG

§ Ứng dụng

§ Định nghĩa

“ Đo lường sự giống nhau giữa các tín hiệu “ Trong các lĩnh vực: truyền tín hiệu, radar, sonar, …

+¥ (cid:229) rlxnyn l ()()( = xy n

) =-¥

T/h phát T/h nhận α D w(n) x(n) y(n) = αx(n–D) +w(n) : hệ số suy giảm t/h : thời gian trễ truyền : nhiễu đường truyền

+¥

(cid:229) rlxnly n ()()( ) = xy n

=-¥

y(n) so với x(n)

)

+¥ (cid:229) rlynxn l ()( )( = yx n

=-¥

Tương quan chéo

rlynlx n yx n

+¥ (cid:229) ()() ( ) = =-¥

x(n) so với y(n)

59 Tương quan giữa các t/h RRTG Tương quan giữa các t/h RRTG

Các bước để tính sự tương quan giữa y(n) so với x(n) 1. Dịch: để cóy(n–l), d ịch y(n) sang

+ phải nếu l dương + trái nếu l âm

1. Nhân: vl(n) = x(n)y(n–l) Cộng: tổng các vl(n) 2.

Nhận xét “ rxy(l) = ryx(–l)

“ So với tính tích chập, phép tính tương quan không phải thực hiện

phép đảo •

ryx(l) là đảo của rxy(l) qua trục l = 0

Cóth ể dùng giải thuật tính tích chập để tính tương quan và ngược lại

rxy(l) = x(l)*y(–l)

60 Tương quan giữa các t/h RRTG Tương quan giữa các t/h RRTG

§ Tự tương quan

)

+¥ (cid:229) rlxnxn l ()( )( = xx n

=-¥

()(

+¥ (cid:229) rlxnlx n ()() ( ) = xx n =-¥ ) -

l =

rlr xxxx

§ Tương quan của chuỗi nhân quả độ dài N [i.e x(n)=y(n)=0 khi n<0 và

n≥N]

N k ()()( rlxnyn l = xy

1 - - (cid:229) )

n i =

ilk

‡

Với

ikl

== 0, ==

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

N k ()()( rlxnxn l = xx

1 - - (cid:229) )

n i =

61 Tương quan giữa các t/h RRTG Tương quan giữa các t/h RRTG

§ Tính chất của sự tương quan giữa các t/h năng lượng “ Năng lượng của t/h chính là sự tự tương quan tại l = 0

+¥

rxn xx

(cid:229) E (0)( ) = n

=-¥

“ Trung bình nhân của năng lượng làgiátr ị lớn nhất của chuỗi tương

quan

rlE E ( ) y xyx

r ()(0) £

”

rlE xxxxx

“ Chuỗi tương quan chuẩn hóa không phụ thuộc vào sự co giãn của

t/h (│ρxy(l)│≤ 1 và │ρxx(l)│≤ 1)

l ( )

r xx

r xy

l ( ) r xx E

r xy E E x

62 Tương quan giữa các t/h RRTG Tương quan giữa các t/h RRTG

§ Tương quan của t/h tuần hoàn

“ Cho x(n) vày(n) là2 t/h công su ất M

(cid:229)

rlxnyn l ()lim()( = xy M

ﬁ¥

1 ) M

n M =-

(cid:229)

rlxnxn l ()lim()( = xx M

ﬁ¥

1 ) M

n M =-

“ Nếu x(n) vày(n) tu ần hoàn chu kỳ N • rxy(l) và rxx(l) tuần hoàn chu kỳ N

1 rlxnyn l ()()( = xy N

N 1 - (cid:229) ) n =

1 rlxnxn l ()()( = xx N

N 1 - (cid:229) ) n =

• T/c này được dùng để xác định chu kỳ của t/h (SV đọc thêm)

63 Tương quan giữa các t/h RRTG Tương quan giữa các t/h RRTG

§ Giải thuật tính chuỗi tương quan giữa 2 t/h

Input rxx(n) Output ryx(n) “ x(n) “ y(n) 0 ≤ n ≤ N–1 0 ≤ n ≤ M–1

LTI h(n)

1 - +

xnynllN M ()() 0 -££

(cid:229)

-(cid:229)

n l =

N 1 - ()()()0 rlxnynll N =-££ xy n l =

l ( )

r xy

1 -

xnynlNMl N ()() --££

(cid:229)

n l =

(cid:236) (cid:239) (cid:239) = (cid:237) (cid:239) (cid:239)(cid:238)

§ Chuỗi tương quan giữa ngõ nhập vàxu ất của h/t LTI

()()*(), =

()()*()()*[()*()]()*( )

=-=-

M≤N M>N

¥ = (cid:229) k (0)()( )

=-¥

(cid:222)=

Voiynhnxntacó rlylxlhlxlxlhlr yxxx Thaylbang l - l rlhlr ()()*( ) - xyxx

()()*()[()*()]*[()*()]()*( ) =

=-=--

rlylylhlxlhlxlrlr yyhhxx

Errkr ” yyyhhxx

64

Chương 33 Chương

BK TP.HCM

BIẾN ĐỔI Z BIẾN ĐỔI Z

T.S. Đinh ĐứcAnh V ũ

FacultyofComputer Science andEngineering HCMC UniversityofTechnology 268, av. LyThuongKiet, District 10, HoChiMinhcity (08) 864-7256 (ext. 5843) Telephone : Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu

Nộidung Nộidung

“ BĐ thuận “ BĐ ngược

§ Biến đổi Z

“ Điểmkhông(Zero) – Điểm cực(Pole) “ Pole vàt/hnhânqu ả trongmi ềnth ờigian “ Mô tả h/tLTI b ằnghàm h ệ thống

§ Cáctínhch ất của BĐ Z § BĐ Z hữu tỉ

ữu tỉ

“ Phương pháptíchphân “ Phương phápkhaitri ểnthànhchu ỗi lũyth ừa “ Phương phápphânrãthànhcác h

§ Biến đổiZ ng ược

“ Tínhch ất “ GiảiPTSP b ằng BĐ Z+

§ Biến đổiZ m ộtphía(Z +)

“ Đáp ứng của hệ “ Đáp ứng tứcth ời, quá độ “ Tính ổn địnhvànhânqu ả

§ Phân tích hệ LTI

2 Biến đổi Z Biến đổi Z

§ Tổngquát

+¥

§ Địnhngh ĩa

ềutr ường hợp(d ựavàocáct/c c ủa BĐ Z) “ Mộtcáchbi ểudi ễnt/hkhác v ề mặttoán h ọc “ Biến đổit/h t ừ miềnth ờigiansang mi ền Z “ Dễ khảosátt/hvàh/ttrongnhi

= (cid:229)

Xzxn z ()( ) n

=-¥

“ Công thức

()( ) z xnX z‹(cid:190)ﬁ

“ Quan hệ

“ Ký hiệu X(z) ≡ Z{x(n)}

Điểmthu ộc mặtph ẳngz “ Biến z

z = a + jbhay z = re jδ

“ Miền hội tụ (ROC){z │ |X(z)| < ∞}

Chỉ quantâmX(z) t ạinh ững điểmz thu ộcROC

3 Biến đổi Z Biến đổi Z

§ Ví dụ

+¥

1 -

)( zX

)( znx

(

)

“ T/h nhânqu ả

(cid:229)

-¥=

1 -

Khi

..(1

zei

)( zX

1 -

1 az

ROC

(cid:222)

1 -

x(n) = anu(n) - (cid:229) =

n ) za

1 - za

: “ T/h phảnnhânqu ả x(n) = –anu(–n–1) +¥ (cid:229)

(cid:229)

)( znx )( zX ( ) - = = -=

-¥=

1 =

1 - zaKhi

( -¥=

1 -

1 - za 1 - za -

..(1 zei a ), )( zX < < -= = 1 1 1 az -

ROC : z a (cid:222) <

• T/h RRTG x(n) đượcxác địnhduynh ất bởibi ểuth ức BĐ Z vàROC c ủanó • ROC củat/hnhânqu ả làph ầnngoài c ủavòngtrònbánkính r củat/hph ảnnhânqu ả làph ầntrong c ủavòngtrònbánkính r

2, trongkhiROC 1

“ Ý nghĩa

4 Biến đổi Z Biến đổi Z

§ ROC củacáct/h

T/h hữu hạn T/h vô hạn

T/h ROC T/h ROC

Img

Mpz\{0} │z│> r2 Nhânqu ả [x(n)=0 n<0] Nhânqu ả (t/h bênph ải) [x(n)=0 n<0]

Mpz\ { ¥} │z│< r1 Phảnnhânqu ả [x(n)=0 n>0] Phảnnhânqu ả (t/hbêntrái) [x(n)=0 n>0]

2 bên 2 bên Mpz\{0, ¥}

+¥

§ BĐ Z mộtphía

+ zX )(

nznx - )(

(cid:229)

Vànhkhuyên r1 >│z│> r2

5 Biến đổi Z Biến đổi Z

§ TíchphânCauchy

1 --

„

1 (cid:242) 2 j C p

1 (cid:236) (cid:237) 0 (cid:238)

kzkx )(

)( zX

§ Biến đổiZ ng ược +¥ (cid:229) -¥= “ Nhân 2 vế với zn–1 “ Tíchphân2 v ế theo đườngcong kínC bao g ốcO thu ộcROC c ủaX(z)

+¥

n 1 --

1 -

)( zzX

)( zkx

(cid:242)

(cid:242) (cid:229)

-¥=

+¥

1 --

1 -

“ Từ

njx )(

2 p=

z C

(cid:242)

= (cid:229) (cid:242) kx )(

-¥=

1 -

(cid:222)

)( nx

)( zzX

(cid:242)

1 j 2 p

“ Áp dụngtíchphânCauchy zzX )(

6 Biến đổiZ –Tínhch ất Biến đổiZ –Tínhch ất

z(cid:190)ﬁ‹ z(cid:190)ﬁ‹

(cid:222)

§ ROC = ROC1 ∩ ROC2 ∩ … ∩ ROCn nx )( § Tuyếntính 1 )( nx 2 n )(

nx )(

n )(

zX )(

z )(

zX )( 1 zX )( 2 z (cid:190)ﬁ‹

ax 1

“ Ví dụ

ROC

n nua )(

z (cid:190)ﬁ‹

zX )( 1

nx )( 1

1 -

x(n) = anu(n) + bnu(–n–1) 1 az

( nub

ROC

)1 (cid:190)ﬁ‹--

)( nx 2

)( zX 2

1 -

1 bz

Do đó

)( nx

)( zX

z (cid:190)ﬁ‹

)( nx 1

)( nx 2

)( zX 1

)( zX 2

1 -

1 az

1 bz

ROC

7 Biến đổiZ –Tínhch ất Biến đổiZ –Tínhch ất

nx )(

zX )(

ROC

z (cid:190)ﬁ‹

§ Co giãntrongmi ền Z

r 1:

r 2

n nxa )(

1 - zaX (

)

(

thuc

hay

phuc

)

z (cid:190)ﬁ‹

a "

(cid:222)

ROC

ra 1

ra 2

Im(z)

j w 0

Re(z)

j w

§ Ý nghĩa a er 0 re

(cid:222)

= )}(

)}({ nxZ n { nxaZ

)( zX ( ) wX

1 - zaw =

)

( ww- 0

Im(w)

1 - zaw =

r/r0

1 r 0

(cid:230) (cid:231)(cid:231) Ł

ω–ω0 Re(w)

(cid:246) jer (cid:247)(cid:247) ł co

Thay

bien

quay

mpz

(cid:219)

gian

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

1 (cid:252) (cid:253) 1 (cid:254)

w=a–1z

9 Biến đổiZ –Tínhch ất Biến đổiZ –Tínhch ất

)( nx

)( zX

ROC

z (cid:190)ﬁ‹

§ Đảoth ờigian

1: r

r 2

1 -

)

( nx

( zX

ROC

(cid:190)ﬁ‹-

(cid:222)

1 r 2

1 r 1

“Ý nghĩa

• ROCx(n) làngh ịch đảo củaROC x(–n) • Nếu z0 ˛ ROCx(n), 1/z0 ˛ ROCx(–n)

nx )(

zX )(

z(cid:190)ﬁ‹

§ Vi phântrongmi ền Z

)( z

)( nnx

z -(cid:190)ﬁ‹

(cid:222)

10 Biến đổiZ –Tínhch ất Biến đổiZ –Tínhch ất

§ Tíchch ập

nx )( 1 nx )( 2

zX )( 1 zX )( 2

(cid:222)

nx )(

*)(

zX )(

zXzX )(

)(

z(cid:190)ﬁ‹ z(cid:190)ﬁ‹ z (cid:190)ﬁ‹

nx 1

nx )( 2

§ Tínhtíchch ập của2 t/hdùngphép BĐ Z

“ Xác định BĐ Z của2 t/h

Miềnth ờigian ﬁ miền Z X1(z) = Z{x1(n)} X2(z) = Z{x2(n)}

“ Nhân 2 BĐ Z vớinhau X(z) = X1(z)X2(z)

“ Tìm BĐ Z ngược củaX(z)

Xử lýtrongmi ền Z

x(n) = Z-1{X(z)} MiềnZ ﬁ miềnth ờigian

11 Biến đổiZ –Tínhch ất Biến đổiZ –Tínhch ất

§ Tương quan

z(cid:190)ﬁ‹ z(cid:190)ﬁ‹

)( nx 1 nx )( 2

)( zX 1 zX )( 2

1 -

l )(

)(

)

(

z )(

zXzX (

)(

)

(cid:190)ﬁ‹-

lnxnx 1 2

r xx 21

xx 21

= (cid:229)

-¥=

§ Việctính t ươngquangi ữa2 t/h đượcth ựchi ện dễ dàngnh ờ BĐ Z § Ví dụ: xác địnhchu ỗi tự tươngquan c ủat/hx(n) = a nu(n) (|a| < 1)

)( nx

n )( nua

)( zX

ROC

z (cid:190)ﬁ‹

( zX

1 =- )

1 az 1 - : ROC z <

1 az -

1 -

)( zXzX (

)

)( zRxx

1 -

1 az

( za

)

1 - 1 a 1 az -

1 z +

ROC

1 a

)( l

l ¥<<-¥

r xx

1 a -

(cid:222)

12 Biến đổiZ –Tínhch ất Biến đổiZ –Tínhch ất

§ Nhân 2 chuỗi

z(cid:190)ﬁ‹ z(cid:190)ﬁ‹

)( nx 1 nx )( 2

zX )( 1 zX )( 2

1 -

nx )(

)(

zX )(

XvX )(

(

)

z (cid:190)ﬁ‹

nxnx )( 1

(cid:242)

(cid:222)

z v

bao

dong

quanh

goc

thuoc

chung

1 j 2 p ROC

v )/1(

XvavXcua )( 1

§ Cáchxác địnhmi ền hội tụ tu

hoi

vX )( 1

r u 1

r l 1

hoi

zX )( 2

r 2

hoi

vzX )/(

(cid:222)

r 2

z v

hoi

zXdoDo , )(

rr l 21

rr u 1 2

13 Biến đổiZ –Tínhch ất Biến đổiZ –Tínhch ất

ịđầ u

§ Địnhlýgiátr

"n<0]

“ Nếux(n) nhânqu ả [x(n) = 0 (cid:222)

zX )(

)0(

lim z ¥ﬁ

nx )(

zX )(

z(cid:190)ﬁ‹

§ Phức hợp

n )(*

z(cid:190)ﬁ‹

“ Phầnth ực

Re{

nx )}(

[

zX )(

*)]

z (cid:190)ﬁ‹

1 2

“ Phần ảo

1 z z Im{()}[()*(*)] xnXzX ‹(cid:190)ﬁ j 2

14 Biến đổiZ h ữu tỉ –zero & pole Biến đổiZ h ữu tỉ –zero & pole

§ Zero của BĐ X(z): cácgiátr ị z saochoX(z) = 0 § Pole của BĐ Z: cácgiátr ị củaz saochoX(z) = ¥ § ROC khôngch ứa bất kỳ pole nào § Ký hiệutrênmpz: zero –vòngtròn(o) vàpole –ch

)( zX

zX )(

1 z

1 9.01 -

ữ thập(x) z - 1 - -

15 Biến đổiZ h ữu tỉ –zero & pole Biến đổiZ h ữu tỉ –zero & pole

§ Biến đổiZ d ạng hữu tỉ

“ Rất hữuích để phântích h ệ LTI RRTG “ Việcxéttínhch ấthay thi ết kế hệ cótínhch ấtnào đó ﬁ chỉ cần

quantâmtrên v ị trí củacác điểmzero-pole

zb k

1 -

(cid:229)

§ Cáccáchbi ểudi ễn “ Dạng mũ âm

)( zX

k = M

1 -

)( zN )( zD

b 0 a

+ +

L + L +

+ +

zb 1 za 1

zb M za N

za k

(cid:229)

1 -

MN -

“ Dạng mũ dương

zX )(

1 -

b 0 a 0

b 1 b 0 a 1 a

Mb b 0 a N a

(cid:213)

MN -

“ DạngZero-Pole

( z z ) -

1 k = N

(cid:213)

1 =

G ”

Gz Gz zX )( = = z z z 2 p z M p z ( z ( )( )( z ( z ( ) ) - - - - - - ) K ) K z 1 p 1 ( z p ) -

16 Biến đổiZ h ữu tỉ –zero & pole Biến đổiZ h ữu tỉ –zero & pole

MN -

zX )(

z z

z 2 p

z M p

§ Dạng hữu tỉ từ zeros-poles z ( z (

)( )(

z ( z (

) )

- -

) K ) K

z 1 p 1

§ VD: Tìm dạng hữu tỉ và vẽ giản đồ zero-pole choX(z):

“ G: độ lợi(gain)

%Tim Huuti, zplane: zpm.m %---------------------------------- M=8; a=0.8; p=zeros(M,1); z=zeros(M,1); for k=1:M,

z(k,1)=a*exp((j*2*pi*k)/M);

end; [num den] = zp2tf(z,p,1); disp(num); disp(den); zplane(z,p);

Zeros: Zk=0.8ej2πk/M , k=1..M Poles: M pole tại 0

17 Biến đổiZ h ữu tỉ –zero & pole Biến đổiZ h ữu tỉ –zero & pole

§ Mô tả hình họcchoX(z)

“ |X(z)| làhàmth ực, dương củabi ếnz

ﬁ bề mặt

“ Zeros: các đỉnh dương, cao “ Poles: các đỉnhâm, th ấp “ VD:

)( zX

1 19.01 -

Dạnghình h ọcdùngMatlab

ezmesh('a', 'b',

'0.1*log10(abs(1/(1 -0.9*(a+j*b)^-1)))', [-2,2,-2,2]);

18 Biến đổiZ h ữu tỉ Biến đổiZ h ữu tỉ

§ Vị trípole vàhànhvi c ủat/hnhânqu ả ở miềnth ời

gian “Vị trípole ảnh hưởngtínhch ất bị chận, phân kỳ củatín

hiệunhânqu ả ở miềnth ờigian

“Vị trípole quy ết địnhtính ổn định của hệ thốngnhânqu ả “Tínhch ất củatínhi ệu ở miềnth ờigian, trongtr ường hợp pole nằmngoàihay tronghay trên vòngtròn đơn vị qua nhữngví d ụ sau

19 Biến đổiZ h ữu tỉ – Vị trípole Biến đổiZ h ữu tỉ – Vị trípole

20 Biến đổiZ h ữu tỉ – Vị trípole Biến đổiZ h ữu tỉ – Vị trípole

21 Biến đổiZ h ữu tỉ – Vị trípole Biến đổiZ h ữu tỉ – Vị trípole

p=1.2e±jπ/4

p=0.8e±jπ/4

p=e±jπ/4

p=0.8e±jπ/4

22 BĐ Z hữu tỉ –Hàmh/t c ủa hệ LTI BĐ Z hữu tỉ –Hàmh/t c ủa hệ LTI

§ VD

x(n) y(n)

Hệ thốngLTI h(n)

“ h(n) = (1/2)nu(n) “ x(n) = (1/3)nu(n)

y(n) = x(n)*h(n)

zH )(

1 -

Y(z) = X(z) H(z)

zX )(

1 -

1 1 2 1 1 3

“ TínhX(z) vàH(z) “ Xác địnhY(z) “ Tìmy(n) b ằngcáchtính BĐ Z ngược củaY(z)

§ Xác địnhy(n)

zY )(

(cid:222)

1 -

1 1 2

1 1 3

)( zH

nznh - )(

(cid:229)

)( zY zX )(

-¥=

1 -

(

6 )(2

§ Tìm đáp ứng đơn vị

ền Z ềnTG

“ H(z): đặctr ưngchoh/ttrongmi “ h(n): đặctr ưngchoh/ttrongmi

§ Hàmh/t: H(z)

23 BĐ Z hữu tỉ –Hàmh/t c ủa hệ LTI BĐ Z hữu tỉ –Hàmh/t c ủa hệ LTI

§ Hàm hệ thống của hệ LTI mô tả bởiPTSP TT HSH

)( ny

( knya

)

( knxb k

(cid:229)

1 =

x(n) y(n) b0 + +

“ Hệ pole-zero

Z-1 Z-1

(cid:229)

a1 b1 zb k + +

0 N

(cid:229)

1 =

“ Hệ toànzero

• ak = 0

kM -

)( zH ” = )( zY zX )( Z-1 Z-1 1 + za k a2 b2 + +

k - =

(cid:229)

1 ≤ k ≤ N M 1 (cid:229) M z

aN–1 )( zH = zb k zb k bM–1 + +

• FIR “ Hệ toànpole

• bk = 0

1 ≤ k ≤ M zb 0

Z-1 Z-1 aN bM

kN -

a zH )( 1 = = ” b 0 N

(cid:229)

1 =

• IIR

1 + za k za k

24 Biến đổiZ ng ược Biến đổiZ ng ược

§ Phương pháptíchphântr ựcti ếp

“ Địnhlýth ặng dư Cauchy

• Nếu đạohàmdf(z)/dz t ồn tạitrênvàtrongbao đóngC và n ếuf(z)

( zf

)

z z

bên bên

trong ngoài

C C

(cid:242) j C

1 2 p

)( zf z z -

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

khôngcópole t ạiz = z 0

• Tổngquát, n ếu đạohàm b ậck+1 c ủaf(z) t ồn tạivàf(z) khôngcópole

1 -

bên

trong

)( zf 1 k -

(

)!1

1 -

zz =

(cid:242)

(

zf )( z ) -

1 j 2 p

bên

ngoài

dz 0

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

tạiz = z 0

• Vế phải của2 bi ểuth ứctrên g ọilàth ặng dư của cực tạiz = z 0

26 Biến đổiZ ng ược Biến đổiZ ng ược

đóngC và đath ứcg(z) cócác

§ Giả sử f(z) khôngcópole trongbao

(cid:242)

)( zf )( zg

nghiệm đơnriêngbi ệt z1, z2, …, zn trong C 1 2 j p

1 2 j p

)( zA i z z -

1 =

Ø (cid:242) (cid:229) Œ º

ø dz œ ß

1 (cid:229) (cid:242) j 2 p

)( zA i z z -

1 =

(

)

zA )( i

)

zf )( )( zg

( zA i

(cid:229)

1 =

§ Biến đổiZ ng ược

1 -

)( nx

)( zzX

(cid:242)

1 j 2 p

1 -

cua

tai

zzX )(

]

(cid:229)

cac

pole

thang [ trong C }{ z i

1 -

(

)

)( zzXz i

(cid:229)

zz =

: Thặng dư

27 Biến đổiZ ng ược Biến đổiZ ng ược

-1

1 -

1 az

)( nx

1 - dz

1 -

(cid:242)

)( zX n z az -

1 2 j p

z -

§ Ví dụ: tìm BĐ Z ngược của 1 (cid:242) 1 2 j p “ C: vòngtrònbánkínhr > |a| 1. n ≥ 0: zn khôngcópole trongC. Pole bênngoàiC làz = a

(cid:222) x(n) = f(z0) = an

)1( =-

(cid:242)

zz (

)

2. n < 0: zn cópole b ậcn t ạiz = 0 (bêntrongC) 1 1 z -

1 -

1 2 j p

az =

)2( -

(cid:242)

)

(

d dz

1 2 z

1 2 j p

1 az -

(cid:230) (cid:231) Ł

(cid:246) (cid:247) ł

az =

“ Cóth ể CM đượcx(n) = 0 khin < 0

(cid:222) x(n) = anu(n)

28 Biến đổiZ ng ược Biến đổiZ ng ược

§ PP khaitri ểnthànhchu ỗitheobi ếnz và z –1 ất của BĐ Z, nếuX(z) được

“Dựavàotínhduynh khaitri ểnthành

zX )(

n zc

(cid:229)

-¥=

thì

x(n) = cn "n

“NếuX(z) h ữu tỉ, phépkhaitri ển đượcth ựchi ện

bằngphépchia • PP nàych ỉđượ cdùng để xác địnhgiátr ị vài mẫu đầu

củat/h

29 Biến đổiZ ng ược Biến đổiZ ng ược

)( zX

§ Ví dụ: xác địnhx(n) t ừ

5.0

1 1 - +

5.11 - Vớia) ROC |z| >1 vàb) ROC |z| < 0.5

• x(n) làt/hnhânqu ả

1 -

)( zX

1 +=

L+

3 2

7 4

15 8

5.0

1 1 - +

5.11 -

x(n) = {1, 3/2, 7/4, 15/8, …}

(cid:222)

• x(n) làt/hph ảnnhânqu ả

zX )(

L+

5.0

1 1 - +

5.11 -

x(n) = {…, 14, 6, 2, 0, 0}

(cid:222)

30 Biến đổiZ ng ược Biến đổiZ ng ược

§ PP khaitri ểnphân s ố cục bộ vàtra b ảng

“ Nguyên tắc

“ Từ dạng hữu tỉ

)( zX

)( zN zD )(

+ +

zb M - za N

zb 1 1 - za 1

(

)

NM -

zX )(

1 - L +

c 0

zc 1

NM -

zN )( 1 )( zD

1 -

• NếuX(z) đượcbi ểudi ễnX(z) = a 1X1(z) + a2X2(z) + …+ a kXk(z) thìx(n) = a 1x1(n) + a2x2(n) + …+ a kxk(n) L + L +

b 0 1 • X(z) là hợp lệ nếu aN≠0 vàM= N, chia đath ức đểđư a về zN )( )( zD )( zN )( zD

1 -

MN -

)( zX = = • Giả sử X(z) hợp lệ b 0 1 + + L + L + + + zb 1 1 - za 1

MN -

1 -

“ Phương pháp

zb 0 = + N + 1 - z + L L + zb M - za N zb M a + zb 1 za + 1

N zb M a +

zb 0 = + N + 1 - )( zX z z zb 1 + L + za 1

+ L • Khaitri ểnphân s ố cục bộ • Tra bảng để xác định BĐ Z ngược của từngphân s ố

31 Biến đổiZ ng ược Biến đổiZ ng ược

zN + a1zN-1+…+aN = 0

§ Khaitri ểnphân s ố cục bộ “ Tìmpole b ằngcáchgi ảiPT (giả sử cácpole: p 1, p2, …, pN) “ Pole đơnriêngbi ệt =

+ + L + z z A 2 p - A N p -

kpz =

z ( )( zX z - • Xác định Ak = A k A 1 z p - 1 ) )( zXp k z

• Cácpole liên h ợpph ức sẽ tạoracác h ệ số liên hợpph ứctrongkhaitri ển

* thì A2 = A1

“ Pole kép

(i.e. nếu p2 = p1

+ = + L + + L + + L + )( zX z z z z ( z ) ) ( z z • Giả sử pole pk kép bậc l A 2 p - A 1 k p - A 2 k p - A lk p - A N p - A 1 p - 1

l )( zXp

• Xác định Aik

kpz =

,...,2,1 i l = = A ik ) ( l i p d dz ) k z 1 ()! - - Ø - ( z Œ º ø œ ß

32 Biến đổiZ ng ược Biến đổiZ ng ược

§ Tìm BĐ Z ngược của từngphân s ố cục bộ

1 -

“ Nếucácpole đơnriêngbi ệt zX )( = + L ++ A 1 A 2 A N 1 - - 1 zp 1 1 zpz - 2 1 zpz N

1 -

) ( ROC : z ( nhân qua ) > p k Z = do nu )( n 1 ) nu ( )1 ROC : z ( phan nhân qua ) - - -- < 1 zp k p k p ( k p k

(

n 2

n nupA )() N

n nu )(])

[

)

Nên (cid:236) (cid:237) (cid:238) nx )( (cid:252) (cid:253) (cid:254) n pA 11 (cid:236) (cid:237) (cid:238) pA 2

* pA ( k

* k

pA ( k

nx )( k

j a k

“ Nếucó2 pole liên h ợpph ức, cóth ể kết hợp2 pole đó +

j b k

= A k eA k Nếu thì

1 -

p = er k (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

* A k

n rA k k

1 -

Z 2 cos( )() nu neu ROC : z p + = > = A k n + ab k r k 1 1 - - 1 zp k 1 * zp k (cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:252) (cid:253) (cid:254)

n )( nunp

21 - )

“ Nếucópole kép : ROC z p Z = > 1( pz pz - (cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:252) (cid:253) (cid:254)

33 Biến đổiZ ng ược Biến đổiZ ng ược

§ Xác địnhbi ểuth ứckhaitri ển của

1 2

)

)( zX

2 p

2 zX ( z

A -

1 2 A -

1 z + 1 - 5.0 z +

1 2

3 2

1 2

3 2

zX )(

1 -

zX )( z

(

A 1 +

A 2 z -

A 3 )1 -

1 1)(

21 - )

A 3

A 2

A 1

1 2

3 4

1 4

34 Biến đổiZ ng ược Biến đổiZ ng ược

ươngsau)

“ Dùngtrongvi ệchi ệnth ựccách/tRRTG (cácch “ Giả sử có BĐ Z đượcbi ểudi ễn (đểđơ ngi ản a0≡1)

1 -

§ Phânrã BĐ Z hữu tỉ

(cid:229)

(cid:213)

1( ) - zz k zb k

1 k = N

0 N

1 -

)( zX = = b 0

(cid:229)

(cid:213)

1 =

“ NếuM ≥ N, X(z) cóth ểđượ cbi ến đổithành

NM -

zX )(

z )(

zc k

= (cid:229)

“ Nếu Xpr(z) cócácpole đơnriêngbi ệt, Xpr(z) đượcphânrãthành

z )(

A 1

1 zp 1

1 zp N

1 zp 2 “ Nếu Xpr(z) cónghi ệmph ức(liên h ợp), cácnghi ệmliên h ợpnày đượcnhóm l ại để

tránh tạora h ệ số phức

Re(

)

a 1

với

Re( 2

) *

A pz

A * zp

zb 1 1 +

Re(

)

b 0 =

b + 0 - za 1

za 2

b 1

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

1 + 1( ) - za k zp k

35 Biến đổiZ ng ược Biến đổiZ ng ược

§ Tóm lại

NM -

K 1

zX )(

zc k

1 -

(cid:229)

1 =

b k za k

b zb + k k 0 1 1 - za + k 1

za k 2

KK +

với

36 Biến đổiZ ng ược Biến đổiZ ng ược

§ Phânrã BĐ Z hữu tỉ

“ X(z) cóth ểđượ cbi ểudi ễn dưới dạngtích “ Cácpole ph ức(liên h ợp) vàcáczero ph ức(liên h ợp) được kết hợp

1 -

2 -

1 -

để tránh hệ số phứcchophânrã c ủaX(z) 1 - ) 1 - )

1)( 1)(

1( - 1( -

1 + 1 +

+ +

- -

zb k 2 za 2 k

zz k zp k

)

a 1 k

trong

đó

và

zb k 1 za 1 k z Re( 2 z

2 -= a

p Re( 2 p

-= b 2

* zz k * zp k b (cid:236) 1 k (cid:237) (cid:238)

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

“ Đểđơ n giản, choM = N, X(z) đượcbi ểudi ễnthành

1 -

2 -

K 1

)( zX

b 0

1 -

(cid:213)

1 1

1 + 1 +

+ +

1 =

zb 1 k za 1 k

zb 2 k za 2 k

trong

đó

1 = =

zb k za k KK + 1

37 Biến đổiZ m ộtphía Biến đổiZ m ộtphía

§ Giớithi ệu

“ Trong kỹ thuật: tác độngth ường bắt đầu từ thời điểm n0 nào đó. Đáp ứng cũngth ường bắt đầu từ n0 vàcácth ời điểmsau n 0, với điềuki ện đầunào đó

“ Biến đổiZ m ộtphía(Z +) chỉ quantâm đếnph ầntínhi ệux(n), n ≥0

§ Địnhngh ĩa

+ zX )(

nznx - )(

”

(cid:229)

nx )(

zX )(

+(cid:190)ﬁ‹

Z+{x(n)}

và

§ Ký hiệu § Đặctính

“ Z+{x(n)} khôngch ứathôngtin c ủax(n) khi n < 0 “ BĐ Z+ chỉ làduynh ất đối vớit/hnhânqu ả “ Z+{x(n)} = Z{x(n)u(n)} • ROC bênngoàivòngtròn • Khôngxét đếnROC khitính BĐ Z+

38 Biến đổiZ m ộtphía Biến đổiZ m ộtphía

§ Tínhch ất

“ Cáctínhch ất của BĐ Z đều đúngcho BĐ Z+, ngoạitr ừ tínhch ất dịch

theoth ờigian

“ Dịchtheoth ờigian

nx )(

zX )(

+(cid:190)ﬁ‹

knx (

)

[

+ zX )(

]

(cid:190)ﬁ‹-

znx ( ) -

(cid:229)

1 =

§ Nếux(n) làt/hnhânqu + knx (

)

ả, tacó k - zXz )(

(cid:190)ﬁ‹-

1 -

• Trễ

knx (

)

k zXz )(

[

znx )(

]

(cid:190)ﬁ‹+

(cid:229)

“ Địnhlýgiátr

(

+ zX )(

ị cuốicùng lim)( nx lim = 1 n ¥ﬁ ﬁ

• Nhanh

• Giới hạn tồn tại nếuROC c ủa(z-1)X +(z) chứavòngtròn đơn vị

39 Biến đổiZ m ộtphía Biến đổiZ m ộtphía

§ GiảiPTSP

“ Dùng BĐ Z+ để giảiPTSP v ới điềuki ện đầukhác 0 “ Phương pháp

“ Ví dụ: xác định đáp ứng bước của hệ y(n) = ay(n–1) + x(n) (|a|< 1)

với đ/k đầu y(–1) = 1

+ zX )(

1 -

• Xác địnhPTSP c ủa hệ • Tính BĐ Z+ cả 2 vế PTSP để biến đổinóthànhPT đại số trongmi ền Z • GiảiPT đại sốđể tìm BĐ Z củat/hmongmu ốn • Tìm BĐ Z ngược để xác địnht/htrongmi ềnth ờigian

+ )( zY

(cid:222)

1 -

a az

1 z -

)( ny

)( nu

)() nu

1 1 az - 1 n + 1 a - 1 -

1 -

Y+(z) = a[z–1Y+(z) + y(–1)] + X+(z) 1 z -

40 Phântích h ệ LTI Phântích h ệ LTI

§ Tìm đáp ứng củat/hx(n) đối với mộth/tLTI

“ Biết đáp ứngxung đơn vị h(n)

x(n) y(n) Hệ LTI

)( ny

)

( knya k

( knxb k

1 Ghiph ươngtrìnhvào-ra

(cid:229)

1 =

PhươngtrìnhSP

2 Biến đổiZ hai v ế

Y(z) = H(z)X(z)

3 Biến đổiZ ng ược(PP: phânrã)

Đáp ứngy(n)

41 Phântích h ệ LTI Phântích h ệ LTI

zH )(

zX )(

và

§ Đáp ứng củah/tpole-zero v ớihàmh/t h ữu tỉ zB )( )( zA

zN )( )( zQ

“ Giả sử

zY )(

zXzH )( )(

zNzB )( )( zQzA )( )(

“ Nếuh/tngh ỉ (tứcy(-1) = y(-2) = …= y(-N) = 0)

)

( zY

(cid:222)

(cid:229)

• H/t cócácpole đơn p1, p2, …, pN vàX(z) cócácpole đơn q1, q2, …, qL • pk ≠ qm (k = 1, …, N vàm = 1, …, L) • Khôngth ểướ c lượcgi ữaB(z)N(z) vàA(z)Q(z) A k zp k

Q k zq k

)( ny

)

)( nu

)

)( nu

“ Giả sử

( pA k

( qQ k

(cid:229)

1 =

“ Biến đổing ược =

Đáp ứng tự nhiên Đáp ứng cưỡng bức

ường hợpX(z) vàH(z) cópole chungho ặc “ Cóth ể tổngquáthoátrongtr

pole bội

42 Phântích h ệ LTI Phântích h ệ LTI

§ Tìm đáp ứng củat/hx(n) đối với mộth/tLTI có đ/k đầu

“ Biết đáp ứngxung đơn vị h(n) “ Biếtcác đ/k đầu củah/t x(n)

y(n) Hệ LTI

1 Ghiph ươngtrìnhvào-ra

PhươngtrìnhSP

2 Biến đổi Z+ hai vế

zi(z) và Y+

zs(z)

Cóth ể táchra Y + Y+(z) = H+(z)X+(z)

3 Biến đổiZ ng ược, (PP: phânrã)

Đáp ứng: y(n) Cóth ể táchra y zi(n) và yzs(n)

43 Phântích h ệ LTI Phântích h ệ LTI

“ Chot/hx(n) nhânqu ả vàcác đ/k đầuy(-1), y(-2), …, y(-N)

§ Đáp ứng củah/tpole-zero v ới đ/k đầukhác 0

(cid:229)

1 =

“ BĐ Z+ cả 2 vế và X+(z) = X(z)

k zb

k za

(

) zn

(cid:229)

)( z

)( zX

0 N

k za

(cid:229)

)( zXzH )(

(

k za

) zn

-”

)( zN 0

(cid:229)

)( zN 0 )( zA

“ Đáp ứng gồm2 ph ần

(côngth ứcph ầntr ước)

Yzs(z) = H(z)X(z)

• Đáp ứngtr ạngtháikhông • Đáp ứngkhôngngõnh ập(p 1, p2, …, pN làpole c ủaA(z))

)( ny ( knya ) ) -= - + - ( knxb k

Z (cid:190)ﬁ‹

(cid:229)

1 =

• Do

y(n) = yzs(n) + yzi(n)

)

ny (

nu (

)

(

)

(cid:222)

' pA ( k

qQ ( k

' k

(cid:229)

(cid:229) • Đ/k đầuch ỉ làmthay đổi đáp ứng tự nhiên củah/tthôngqua h ệ số co giãn

) )( nu = = )( zY zi )( ny zi ( pD k )( zN 0 )( zA

44 Phântích h ệ LTI Phântích h ệ LTI

§ Đáp ứng tự nhiên

)( n

)

)( nu

( pA k

(cid:229)

1 =

§ Đáp ứng cưỡng bức

)( nu

)( n

)

1 =

“ Khi │pk│< 1 ("k), ynr(n) tiệm cận về 0 khin → ¥ : đáp ứngnh ấtth ời ( qQ k

(cid:229) k “ Khit/hnh ậplàt/hsin, cácpole q

k nằmtrênvòngtròn

đơn vị vàcác đáp

§ Tínhnhânqu ả và ổn địnhtrênH(z)

ứng cưỡng bức cũngcó d ạngsin: đáp ứng đều

“ Nhân quả

: nhânqu ả : nhânqu ả : cóROC làngoàivòngtrònbánkínhR nào đó

: ổn định : khả tổngtuy ệt đối : cóROC ch ứavòngtròn đơn vị

LTI (cid:243) h(n) (cid:243) H(z) “ Ổn định LTI (cid:243) h(n) (cid:243) H(z) “ Nhân quả và ổn định

LTI nhânqu ả

: ổn định : tất cả cácpole n ằmtrongvòngtròn đơn vị (cid:243) H(z)

45 Phântích h ệ LTI Phântích h ệ LTI

§ Đáp ứng đềuvàti ệm cận

“ Xác định đáp ứng đềuvàti ệm cận củah/tmô t ả bởiPTSP

y(n) = 3y(n–1) + x(n) khit/hnh ậplà x(n) = 2sin(πn/4)u(n) H/t có đ/k đầu bằng0.

§ Ổn địnhvànhân qu ả

“ Choh/tLTI được đặctr ưng bởihàmh/t

zH (

)

4 1

- - z

2 3

3 5.3

5.1

1 1 2

z + Đặc tả ROC của H(z) vàxác địnhh(n) trongcác tr ường hợp

§ Ổn định của h/t bậc 2

• H/t ổn định • H/t nhân quả • H/t phản nhân quả

46

Chương 44 Chương

BK TP.HCM

Tínhi ệu& H ệ thống Tínhi ệu& H ệ thống trongmi ền tần số trongmi ền tần số

T.S. Đinh ĐứcAnh V ũ

FacultyofComputer Science andEngineering HCMC UniversityofTechnology 268, av. LyThuongKiet, District 10, HoChiMinhcity (08) 864-7256 (ext. 5843) Telephone : Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu

Nộidung Nộidung

§ Phân tích tần số củat/hLTTG

§ Phân tích tần số củat/hRRTG

§ Cáctínhch ất của BĐ Fourier chocáct/hRRTG

§ Đặctr ưngmi ền tần số của hệ LTI

§ Bộ lựach ọn tần số

§ Hệ thống đảo

2 Tạisaomi ền tần số ? Tạisaomi ền tần số ?

Tần số

F

t/hhìnhSIN: F 0 t/hhìnhSIN: F 1 t/hhìnhSIN: F 2

Tínhi ệu

…

F

Công cụ phântích t ần số -Chu ỗiFourier –tínhi ệutu ầnhoàn -Bi ến đổiFourier –tínhi ệu năng lượng, khôngtu ầnhoàn

(J.B.J. Fourier: 1768 -1830)

F

F-1

Tínhi ệu X Tínhi ệu X

F-1

Công cụ tổng hợp tần số -Chu ỗiFourier ng ược–tínhi ệutu ầnhoàn -Bi ến đổiFourier ng ược–tínhi ệu năng lượng, khôngtu ầnhoàn

3 Tạisaomi ền tần số ? Tạisaomi ền tần số ?

T/h hìnhSin

LTI

)

jAe 0w

T/h hìnhSin jeA +n ( 0 qwa

Biên độ: Pha: Tần số: Co/giãn lượng α Lệch lượng θ Không đổi ω0

4 Tạisaomi ền tần số ? Tạisaomi ền tần số ?

t/hhìnhSIN: F0

Tần số

Tínhi ệu

F

t/hhìnhSIN: F1

t/hhìnhSIN: F2

Phổ

Xác địnhph ổ củat/h d ựavàocông c ụ toán học

Phổ (spectrum): Nộidung t ần số củatínhi ệu Phântíchph ổ: Ước lượngph ổ: Xác địnhph ổ củat/h d ựatrênphép đot/h

x1(t): F0

x0(t): 0

x(t)

Tần số

F-1

x-1(t):-F0

Phổ

Tổng hợp tần số:Xác địnht/hban đầu từ cácph ổ tần số

5 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

§ ChuỗiFourier

“ x(t): LTTG, tuầnhoàn v ớichu k ỳ cơ bản Tp = 1/F0 (F0: tần số)

+¥

2 p

kF 0

)( tx

kec

(cid:229)

-¥=

2 p

kF 0

“ Đặt

)( tx k

ec k

Phương trình tổng hợp

+¥

)( tx

)( tx k

(cid:229)

-¥=

• xk(t) tuầnhoàn v ớichu k ỳ Tk=Tp/k(kF 0: tần số)

2 p

kF 0

)( etx

• Đónggópchox(t) m ột lượng ck (Tần số kF0 có đónggóp m ột lượng ck)

(cid:242)

“ Hệ số chuỗiFourier 1 T

Đónggóp v ề biên độ

Đónggóp v ề pha

kj q

ec k

Phươngtrìnhphântích

6 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

tx )(

¥<

(cid:242)

§ Đ/k Dirichlet: bảo đảmchu ỗiFourier h ội tụ về x(t) "t “ x(t) có số hữu hạncác điểmgián đoạntrong m ộtchu k ỳ “ x(t) có số hữu hạncác điểm cực đạivà c ựcti ểutrong m ộtchu k ỳ “ x(t) khả tíchphântuy ệt đốitrong m ộtchu k ỳ, tức

“ T/h biểudi ễn bằngchu ỗiFourier ch ưach ắcth ỏa đ/kDirichlet

§ Đ/k Dirichletch ỉ là đ/k đủ

j q k

“ ck và c-k liên hợpph ức ( k “ Biểudi ễnrút g ọn củachu ỗi F

ec k tx )(

cos(

)

2 p

) c 0

tkF 0

q k

(cid:229)

1 =

cos(2πkF0t + θk) = cos2πkF0t cosθk – sin2πkF0t sinθk

“ Do Cáchbi ểudi ễnkhác c ủachu ỗi F

tx )(

(

cos

2sin

)

2 p

btkF k 0

tkF 0

(cid:229)

1 =

Với

a0 = c0 ak = │ck│cosθk bk = │ck│sinθk

§ Nếux(t) làt/hth ực

7 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

ần tần số

§ Ví dụ: Phântíchtínhi ệusauracácthànhph

x(t) = 3Cos(100πt – π/3) j

100(

)

100(

)

t p

p 3

tx )(

3 2

100(

)

100(

)

t p

p 3

j ee

3 2

50Hz đónggóp c 1

F

Đồngnh ất vớiPT t ổng hợp

-50Hz đónggóp c -1

p 3

Tínhi ệumi ềnth ờigian

3 2

Phổ tần số

(cid:222)

p 3

3 2

(cid:236) c (cid:239) 1 (cid:237) c (cid:239)(cid:238) 1 -

8 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

Phổ biên độ

|Ck| 3/2

-1

Tần số

50Hz (c1)

F

Tínhi ệu

-50Hz (c -1)

|θk| π/3

-1

Phổ pha

-π/3

9 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

+¥

2 tFj p 0

)( tx

P x

* ec k

(cid:229)

(cid:242)

1 T

-¥=

Ø Œ º

ø œ ß

|)( tx

)( txtx )(

P x

(cid:242)

§ Công suấttrungbình 1 T

1 T

¥+

p +¥

2 tFj p 0

2 p

kF 0

[ )( etx

] dt

* k

* )( tx

* kec

(cid:229)

(cid:242)

(cid:229)

1 T

-¥=

ø œ œ ß

Ø Œ Œ º

k -¥= “ Do đó

+¥

)( tx

P x

(cid:229)

(cid:242)

1 T

| -¥=

§ Phổ mật độ côngsu ất

Côngth ứcquan h ệ Parseval

“ Công suấttrungbình t ổng cộng bằng tổng cáccôngsu ấttrungbình c ủacáct/hhài t ần “ Giản đồ côngsu ấttheo t ần số “ Phổ vạch: các vạchcách đều đoạn F0 “ Hàmch ẵn(do c -k = c* k đ/vt/hth ực)

10 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

§ Ví dụ 1: tínhcôngsu ấttrungbình c ủa x(t) = 3Cos(100πt – π/3)

p 3

c 1

1 -

3 2

3 e = “ Theo VD trên, và 2 “ Theo Parseval, Px = │c–1│2 + │c1│2 = 4.5

§ Ví dụ 2: chox(t): LTTG, tu ầnhoàn v ớichu k ỳ Tp. Phântíchx(t) racác

thànhph ần tần số

x(t)

Miềnth ờigian

tx )(

| t £ | t >

A , (cid:236) (cid:237) ,0 (cid:238)

0 -τ/2

τ/2

Miền tần số

2 p

kF 0

2 p

kF 0

(cid:242)

-Tp 1 T

A T

2 p

e -

kF 0

Ae 2/

t -

t ø œ ß

Ø Œ º

t -

T p

kFj tp 0

sin

c 0

(cid:242)

1 T p

A t T p

2/ )( tx 2/

2/ Adt 2/

- t

1 T Tp - p

e j

A T

- 2

A kF p 0 p

kF tp 0 kF tp 0 11

T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

sin

k =

Minh họa ck ở miền tần số

A T

kF tp 0 kF tp

12 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

Tổng hợpx(t) t ừ cácthànhph ầnhìnhSin Thông số:

Tp = 50s τ = 0.2Tp A = 1

Tổng hợp từ 21 thànhph ần

13 T/h LTTG vàtu ầnhoàn T/h LTTG vàtu ầnhoàn

Tổng hợp từ 101 thànhph ần

Tổng hợp từ 2001 thànhph ần

14 T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

§ T/h tuầnhoàn x p(t)

“ Có đượcdo l ặp lạit/hx(t) “ Tuầnhoànchu k ỳ cơ bản Tp “ Cóph ổ vạch: khoảngcách v ạch F0=1/Tp

§ T/h khôngtu ầnhoànx(t)

“ Cóth ể coinh ư xp(t) khi Tp → ∞ “ Khoảngcách v ạch F0 = 1/Tp → 0 (cid:222) Phổ củatínhi ệukhôngtu ầnhoànlà phổliêntục

15 T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

§ Biến đổiFourier

“ x(t): LTTG, khôngtu ầnhoàn

+¥

j p2

)

( FX

)( etx

(cid:242)

¥-

Phươngtrìnhphântích (biến đổiFourier thu ận)

)

kFX ( 0

kFXF ( 0

1 T

+¥

j p2

)( tx

( eFX )

• Hệ số Fourier

(cid:242)

¥-

“ Đ/k Dirichlet

+¥

tx )(

¥<

Phươngtrình t ổng hợp (biến đổiFourier ng ược)

(cid:242)

¥-

• x(t) có hữu hạncác điểmgián đoạn hữu hạn • x(t) có hữu hạncác điểm cực đạivà c ựcti ểu • x(t) khả tíchphântuy ệt đối, nghĩalà

16 T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

§ Ví dụ: chox(t) khôngtu ầnhoàn. Phântíchx(t) racácthành

+¥

phần tần số

FX (

)

= (cid:242)

A ,

| £

¥-

tx )(

F

| >

(cid:236) (cid:237) ,0 (cid:238)

sin

F tp F tp

Miềnth ờigian

Miền tần số

x(t)

-τ/2

0 τ/2

17 T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

+¥

§ Năng lượng +¥

+¥

2 p

tx )(

eFX ( )

2 |)(| tx

)( txtx )(

(cid:242)

¥-

Ø Œ º

ø œ ß

¥+

2 p

* )( tx

( eFX )

dFFX

)

(

etx )(

(cid:242)

¥-

Ø Œ º

ø œ ß

Do đó

+¥

)

)( tx

( FX

E x

(cid:242)

¥-

Côngth ứcquan h ệ Parseval

• Khôngch ứaph ổ pha ﬁ không đượcdùng để khôiph ục lạix(t)

“ Bảotoàn n ăng lượngtrongmi ềnth ờigianvàmi ền tần số “ Phổ mật độ năng lượng Sxx(F) = |X(F)|2

)

FX (

)

FX ( -

)

(

)

FS ( xx

)

FX (

)

FX ( -—

-—=

(cid:252) (cid:253) (cid:254)

“ Nếux(t) làt/hth ực

18 T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h LTTG vàkhôngtu ầnhoàn

§ Ví dụ

F/F-1

19 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

x(n+N) = x(n) "n

§ x(n) làt/htu ầnhoànchu k ỳ N § ChuỗiFourier chot/hRRTG có t ối đaN thànhph ần tần số (do tầm tần

số [0, 2π] hoặc[- π, π]) § ChuỗiFourier r ời rạc(DTFS)

1 -

2 p

k N

)( nx

ec k

(cid:229)

§ Hệ số Fourier

Phương trình tổng hợp

“ Mô tả x(n) trongmi ền tần số (ck biểudi ễnbiên độ vàpha c ủathànhph ần

1 -

2 p

k N

tần số sk(n) = ej2πkn/N)

enx )(

1 N (cid:229) N

Phươngtrìnhphântích

“ ck+N = ck (cid:222) Phổ củat/htu ầnhoànx(n) v ớichu k ỳ N là mộtchu ỗitu ầnhoàn cũng vớichu k ỳ N

20 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

cos(

a .

)

§ Ví dụ: Xác địnhvà v ẽ phổ chocáct/hsau 2 n p

nx 3)( =

b .

cos(

)

nx 3)( =

c .

p 3 hoan

nx :)(

tuan

chu

}1201{:

›

nx )(

cos(

)

2 n p

2/1

tucp ,2

w 0

= 0 Phổ

f0 : không hữu tỉ → x(n) khôngtu ầnhoàn → Phổ gồmch ỉ một tần sốđơ n: f0

3

Tần số

0 =

21 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

b .

nx )(

cos(

)

3 n

kp 2 6

enx )(

5..0

Các hệ số đónggóp

x(n) = 3cos(2πn/6) (cid:222) f0 = 1/6 (cid:222) N = 6 (cid:222) x(n) tuầnhoànchu k ỳ N=6 1 5 = (cid:229) 6

)( nx

cos(

)

Tuynhiên

2 p

1 6

0 1 6 3 2

3 2

So trùng vớiph ươngtrình t ổng hợp

3 2

22 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

b .

cos(

)

3)( nx =

3 n

Tínhi ệutrongmi ềnth ờigian: (3 chu k ỳ)

Tínhi ệutrongmi ền tần số

23 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

nx (

tuan

hoan

chu

1{: ›

2 p

k 4

enx )(

3..0

k p

kj p

3 2

)

21( +

1 = (cid:229) 4 1 4

)121( ++

1 4

3 p 4

21(

)

1 4

1 - 4

2 4

)121( -+

1 4

1 2

5 p 4

21(

)

1 4

1 -- 4

2 4

24 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

1 -

2 p N

nx )(

nxnx )( )(

P x

§ Công suấttrungbình 1 - (cid:229)

(cid:229)

P x

* ec k

(cid:229)

1 N

(cid:230) (cid:231) )( nx (cid:231) Ł

(cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

1 -

Nkn /

2 p

1 -

* nx )(

* ec k

(cid:229)

2 p N

)( enx

* k

(cid:229)

1 N

(cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł

(cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

“ Do đó

2)( nx

P x

(cid:229)

1 N

“ Chuỗi │ck│2: phổ mật độ côngsu ất củat/htu ầnhoàn

§ Năng lượngt/htrong m ộtchu k ỳ N 1

( nx

(cid:229)

Công thứcquan h ệ Parseval

25 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

Pho

* = c-k do

bien

doi

xung

chan

§ Nếux(n) th ực[x *(n) = x(n)], (cid:222) ck =

Pho

pha

doi

xung

k - —-

k —=

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

“ Tức

k c

kN - -—=—

kN -

(cid:236) (cid:237) (cid:238) “ Đ/v t/hth ực, phổ ck (k=0,1,…,N/2 khiN ch ẵnho ặck=0,1,…,(N-1)/2 khiN

“ Ngoàira, t ừ cN+k = ck, ta cũngcó

lẻ) hoàntoàncóth ểđặ c tả chot/htrongmi ền tần số

0 c 2

cos

q k

)( nx

cos(

)

c 0

q k

(cid:229)

2 p N

1 =

sin

q k

Với

chan

cos

sin

b k

N 2

(cid:229)

2 p N

1 =

(cid:230) (cid:231) Ł

(cid:246) (cid:247) ł

leN :

N 1 - 2

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:239) b (cid:237) k (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

“ Khi đó, chuỗiFourier cóth ểđượ crút g ọn

26 T/h RRTG vàtu ầnhoàn T/h RRTG vàtu ầnhoàn

M

x(n) x(n)

A A

* * * ** * * * * ** *

… …

i ề n t h ờ i

*** * *** * *** *

n n

0 0

N N

-N -N

*** * *** * *** * L L

g i a n

,0 –=

N ,2, –

M

AL N

sin

)1 -

c k

Lkj ( p N

khac

i ề n t ầ n s ố

A N

sin

kL p N k p N

(cid:230) (cid:231) Ł (cid:230) (cid:231) Ł

(cid:246) (cid:247) ł (cid:246) (cid:247) ł

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

27 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

§ Chỉ xétt/h n ăng lượngx(n) § Biến đổiFourier

)

njenx w )(

( w

(cid:229)

-¥=

§ X(ω): nộidung t ần số củat/h

“ Khácbi ệt cơ bảngi ữa BĐ Fourier củat/h n ăng lượngRRTG vàt/h

năng lượngLTTG • Tầm tần số

§ T/h LTTG: -¥ → +¥ § T/h RRTG: 0 → 2π hoặc –π→ π [X(ω) tuầnhoànchu k ỳ 2π]

Phươngtrình t ổng hợp

§ Hệ số Fourier

nx )(

( ) w

nj w w d

• Cáchtính: dùngtíchphânthayvìdùng t ổng

1 (cid:242) 2 p 2

Phươngtrìnhphântích

28 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

§ Ví dụ: xác định nộidung t ần số củatínhi ệusau

x(n) = {…0 1

0 …}

2 w

j w

2 w

+ cos

1 ++ 2

cos(

( ) w ( w

21) +=

+ )2 w

Chúý: X(ω) tuầnhoàn Chu kỳ: 2π

29 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

Tần số

F

x(n)

30 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

nj w

§ Sự hội tụ của BĐ Fourier

)( enx

( ) w

(cid:229)

n -= “ Trong BĐ Fourier ngược(PT phântích), chu ỗi XN(ω) đượcgi ả thiết hội tụ về

X(ω) khi N→¥

( ) w

) ( w

lim N ¥ﬁ

enx

)

(

)

( nx

)

¥<

“ Ý nghĩa: giátr ị sai số X(ω) – XN(ω) sẽ bằng0 khi N →¥ X

-¥=

n • Đ/k đủđể tồn tại BĐ Fourier RRTG • Tương đương đ/kDirichletth ứ 3 cho BĐ Fourier củat/hLTTG ( đ/k1 v à 2 không

códo b ảnch ất củat/hRRTG)

“ XN(ω) hội tụ nếux(n) kh ả tổngtuy ệt đối (cid:229) (cid:229)

• Đ/k hội tụđượ cgi ảmnh ẹ

)

( w

2 ( ww

(cid:242)

lim N ¥ﬁ

• Năng lượng củasai s ố X(ω) – XN(ω) sẽ tiến về 0, nhưngkhôngnh ấtthi ếtgiátr ị

sai số tiến về 0

§ T/h năng lượngcó BĐ Fourier

“ Nếux(n) kh ả tổngbìnhph ươngtuy ệt đối(i.e. x(n) có n ăng lượng hữu hạn) p

31 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

§ Năng lượng

nj w

+¥

)( nx

( ) e w

(cid:229)

(cid:242)

)(

)( nx

)( nxnx

1 2 p

(cid:229)

-¥=

- p

Ø Œ º

ø d w œ ß

-¥=

nj w

* )( nx

)

( w

nj w w d

)( enx

( ) w

d w

(cid:229)

(cid:242)

1 2 p

-¥=

Ø Œ º

ø œ ß

p -

“ Do đó

+¥

( nx

)

(

)

(cid:229)

(cid:242)

1 2 p

-¥=

( ) w

“ X(ω) là số phức

je Q

( ) w

| =

( w

Côngth ứcquan h ệ Parseval

(wX )

• Phổ biên độ

(wQ )

• Phổ pha

)

(

) ( w

* X ( ) ww

S xx

• Phổ mật độ năng lượng

32 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

j w

) w

) ( w

j w

)

) ae -

a cos ) ( aj sin w - 2 cos 21 a a w - +

) ( w

b) |X(ω)|, Θ(ω), Sxx(ω) = ? ae 1( 1 - j w - 1)( ae ae 1( a - a 21 cos - a sin - 21 cos a -

1( - ) cos w a w + w + w

( w

( ) w

1 -

tan

(

)

) ( w

X X

( ) w ( ) w

(

)

( ) w

* ( X ) ww

j w

1 cos

1 j w 1)(

)

21 -

34 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

c) Vẽ phổ

d) ω=π/2

p )( 2

p 2

1 +

ae 1

p |)( 2

1 a + 1 - tan )( a

│X(π/2)│≠ 0 Tần số π/2 có mặttrongtínhi ệu

p )( -=Q 2

35 T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn T/h RRTG vàkhôngtu ầnhoàn

§ Nếux(n) th ực “ X*(ω) = X(–ω)

(

) w -

) ( w

) w

—=

) ( w

(cid:236) (cid:237) X ( -— (cid:238)

“ Sxx(–ω) = Sxx(ω)

§ Ví dụ

, A

)( nx

L=5 A=1

Ln -££ otherwise

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

)1 -

w (2

jAe

( ) w

sin( sin(

) )

L w 2 w 2

36 Quan hệ giữa BĐ Fourier với BĐ Z Quan hệ giữa BĐ Fourier với BĐ Z

x(n) MiềnTh ờiGian

Biến Đổi Z

Biến ĐổiFourier

z = ejω

X(ω) Miền Tần Số

X(z) Miền Z

+¥

)( zX

nznx - )(

njenx w )(

( ) w

(cid:229)

-¥=

z = ejω (xéttrênvòngtròn

-¥=

đơn vị)

37 Cepstrum Cepstrum

§ Giả sử {x(n)} có BĐ Z X(z) và{x(n)} ổn địnhsaochoX(z) h ội tụ trên

vòngtròn đơn vị

§ Địnhngh ĩa: Cepstrumph ức của{x(n)} là{c x(n)}, BĐ Z ngược của

Cx(z)= lnX(z)

§ Cepstrumph ức tồn tại nếu Cx(z) hội tụ trongvànhkhuyên r 1<|z|

1 -

)( zX

)( zzX

)( znc x

)( zC x

)( nc x

chứavòngtròn đơn vị (0 < r1 < 1 và r2 > 1) ¥ (cid:229)

(cid:242)

1 2 j p

-¥=

§ Cx(z) hội tụ trênvòngtròn đơn vị nj w

nj w

( ) w

d w

)( enc x

)( nc x

(cid:229)

p -

(cid:242)

1 2 p

-¥=

§ Nếubi ểudi ễnX( ω) dưới dạng cực

j ) ( wq

)

(

( ) w

) ( w

(cid:222)

) ( w

j ( ) + wqw

§ Cepstrumph ức

)

(

( ) j wqw +

nj w w d

[ ln

] e

)( nc x

(cid:242)-

1 2 p

38 BĐ Fourier t/hRRTG BĐ Fourier t/hRRTG

đơn

§ BĐ Fourier củat/hcópole n ằmtrênvòngtròn

vị “Cónh ữngchu ỗikhôngkh ả tổngtuy ệt đối lẫnkh ả tổng

bìnhph ương, do đókhôngcó BĐ Fourier

• Ví dụ

và

nx )(

nu )(

zX )(

1 -

và

nx )(

cos(

nun )()

zX )(

w 0

z - 1 - z

cos

1 z - 1 21 -

w 0 +

cos w 0

• Cả 2 t/hnày đềucópole trênvòngtròn

đơn vị

“BĐ Fourier mở rộng củacácchu ỗi dạngnày

• Chophép BĐ Fourier cócácxung t ạicác t ần số tương ứng với vị

trícácpole n ằmtrênvòngtròn

đơn vị

• Xunglàhàm c ủa ω, cóbiên độ 1/a, độ rộnga, di ệntích đơn vị

(a→0)

39 Phânlo ạit/h ở miền tần số Phânlo ạit/h ở miền tần số

§ Phân loạit/h d ựavàoph ổ mật độ côngsu ất/năng lượng

§ Băngthông

“ T/h tần số cao: phổ tậptrung ở tần số cao “ T/h tần số thấp: phổ tậptrung ở tần số 0 “ T/h tần số trungbình(t/hbandpass): ph ổ tậptrungtrong d ải tầm tần số

“ Tầm tần số màph ổ mật độ côngsu ất(n ăng lượng) củat/h t ậptrung

F1≤F≤F2

“ Trongtr ường hợpt/hbandpass, n ếu băngthông c ủat/hquánh ỏ (hệ số 10) so với tần số giữa(F 1+F2)/2: băngthông h ẹp. Ngược lạilà b ăngthông r ộng

ổ bằngkhôngbênngoài t ầm tần số “ T/h băngthônggi ới hạnlàt/hcóph

T/h khôngtu ầnhoàn

T/h tuầnhoàn

LTTG

Time-limited: x(t)=0 với|t|> τ Bandlimited: X(F)=0 với|F| > B

Time-limited: xp(t)=0 với τ<|t|M

RRTG

Time-limited: x(n)=0 với|n|>N Bandlimited: |X(ω)|=0 với ω0<|ω|<π

Time-limited: x(n)=0 với n0<|n|

40 Đốing ẫu Đốing ẫu

ềnth ờigian(m ặttoán h ọcvà m ặt

§ 2 tínhch ất đặctr ưngchot/htrongmi

vậtlý) “ Biếnth ờigian: liên t ụchay r ời rạc “ Tínhchu k ỳ: tuầnhoànhay khôngtu ầnhoàn

§ Biếnth ờigian “ T/h LTTG

• Phổ khôngtu ầnhoàn, khôngph ụ thuộct/hmi ềnth ờigiantu ầnhoànhay không

(do hàm mũ ej2πFt liên tụctheoth ờigian, khôngtu ầnhoàntheoF)

• Dải tầm tần số F: [0..¥]

• Phổ tuầnhoànchu k ỳ ω = 2π • Dải tầm tần số F: [-π..π]

§ Tínhchu k ỳ

“ T/h RRTG

Tuầnhoàn v ớichu k ỳ α trong mộtmi ền thì sẽ rời rạc vớikho ảngcách1/ α trongmi ềnkhác, vàng ược lại

• Phổ rời rạc(ph ổ vạch) • Khoảngcáchph ổ : ΔF=1/Tp (t/hLTTG) ho ặc Δf=1/N (t/hRRTG)

“ T/h tuầnhoàn

• Phổ liên tục(do hàm m ũ ej2πFt hoặc ejωn liên tục, khôngtu ầnhoàntheoF ho ặc ω)

“ T/h năng lượngkhôngtu ầnhoàn

41 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ T/h RRTG, khôngtu ầnhoànvàcó n ăng lượng hữu

hạn

§ Tương tự chot/hLTTG, khôngtu ầnhoànvàcó

năng lượng hữu hạn

§ Qui ước

nxF

)}({

njenx w )(

”

( ) w

“BĐ Fourier thuận

“BĐ Fourier nghịch

nx )(

)}

1 ” - F X ({

( ) w

nj w w d

(cid:242)

(cid:229) -¥= 1 2 p

2 p

“Cặp BĐ Fourier

nx )(

F(cid:190)ﬁ‹

wX ( )

§ Chúý: X( ω) tuầnhoàn v ớichu k ỳ 2π

42 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Tính đối xứng

“ Nếut/hcó m ột sốđặ ctính đối xứngtrongmi ềnth ờigian, vi ệcxemxétcác đơngi ảnhóacácph ương

đ/k đối xứngtrên BĐ Fourier củanóchophép trình BĐ Fourier thuậnvàngh ịch

• x(n) = xR(n) + jxI(n) • X(ω) = XR(ω) + jXI(ω)

“ Giả sử

)

cos

sin)(

( w

n w

]

[ )( nx R

nx I

(cid:229)

-¥=

và e–jω = cosω – jsinω (ejω = cosω + jsinω), tacó

)

sin)(

cos

( w

n w

]

[ nx R

)( nx I

(cid:229)

-¥=

)

sin)

( cos ww

( www

Xn -

[

] dn

nx )( R

(cid:242)

1 2 p

2 p

BĐ Fourier thuận

cos

)

( sin) ww

( www

Xn +

[

] dn

)( nx I

(cid:242)

1 2 p

2 p

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

BĐ Fourier nghịch

43 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Tính đối xứng(tt)

“ T/h thực

• xR(n) = x(n) và xI(n) = 0, do đó

(cid:229)

(

) ( w

) w -

-¥=

(

) w

= X

) - w

(

R X

) w -

) ( w

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

X ) nx )( cos = ( w n w

(cid:229)

( ) w

) ( w

2 R

(

) ( w

) w -

X nx ) sin)( -= ( w n w Đối xứngHermitian (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

1 -

) w

-—=

) ( w

(cid:236) (cid:237) X ( -— (cid:238)

tan

) ( w

X X

2 I ( ) w ( ) w

)( nx

)

sin)

( cos ww

Xn -

( www

] dn

• Do

hàm

( sin) ww

-¥= (cid:236) (cid:239) (cid:237) — (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) [ (cid:238) nx )(

sin)

[ ] Xvàn ( ) cos ww

Xn -

] làn ( www

chăh ] dn

1 [ (cid:242) 2 p p 2 ( ) cos ww 1 p [ (cid:242) p 0

• Do

44 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Tính đối xứng(tt) “ T/h thựcvàch ẵn

nx )(

cos

(

hàm

chăh

)

2)0( +

( ) w

n w

(cid:229)

1 =

0) =

( w

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

cos

)

( www

(cid:242)

1 p

nx )( “ T/h thựcvà l ẻ

• xR(n) = x(n) vàx(–n) = x(n), nên[x(n)cos ωn] chẵnvà[x(n)sin ωn] lẻ • Do đó

( w

0) =

(

)

sin)( nx

hàm

( ) w

n w

(cid:229)

1 =

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

sin)

)( nx

( www

(cid:242)

1 p

• xR(n) = x(n) vàx(–n) = –x(n), nên[x(n)cos ωn] lẻ và[x(n)sin ωn] chẵn • Do đó

45 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Tính đối xứng(tt)

“ T/h ảo

)

sin)(

(

hàm

)

( w

n w

nx I

(cid:229)

-¥=

)

cos

(

hàm

chan

)

( w

n w

nx )( I

(cid:229)

-¥=

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

sin)

)

cos

( w

Xn +

[

] dn ww

)( nx I

(cid:242)

1 p

• xR(n) = 0 vàx(n) = jx I(n) vàx(–n) = x(n), do đó

xI(n) lẻ xI(n) chẵn

(cid:229)

1 =

X ( w 0) = X 2 sin)( ( hàm le ) ( ) w = n w nx I

(cid:229)

1 =

cos ( X x hàm ) chan ( ) w = 2)0( + n w )( nx I X ( w 0) = (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

(cid:242)

X sin) nd = ( www nx )( I cos ) X nd = ( www )( nx I 1 p 1 p

46 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Tính đối xứng(tt) “T/h x(n) bất kỳ

)]

)( nx

)( n

e )( nx R

o )( nx R

e [ )( nxj I

o ( nx I

)( nx R =

)( nx e

I )( nx o

n )(

nx )([

(

)]

nx )( e

e nx )( R

e I

1 2

trong

đó

n )(

nx )([

(

)]

nx )( o

o nx )( R

o I

1 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

nx )(

n )(

]

[ e nx )( R

e I

[ o nx )( R

o I

) ( w

( ) w

) ( w

[ X

]

[ X

]) ( w

e R

e I

o R

o I

47 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Tuyếntính

( ) w

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

nxa )( 11

nxa )( 22

Xa 1

Xa 2

1 X

) ( w

F (cid:190)ﬁ‹

nx )( 1 nx )( 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

“ Ví dụ: tìm BĐ Fourier củax(n) sau. V ẽ t/hvàph ổ củat/h.

nj w

j w

(

)

( ) w

)( enx 1

(cid:229)

nx )(

nx )( 1

nx )( 2

-¥=

j w

nx )( 1

n n

0 ‡ 0 <

(cid:222)

( ) w

(cid:236) a (cid:237) 0 (cid:238)

j w

1 ae

1 -

nj w

j w

)

(

)

( ) w

)( enx 2

1 (cid:229)

(cid:229)

nx )( 2

-¥=

( -¥=

1 =

< 0

‡

j w

aeDo

(cid:236) a (cid:237) (cid:238) 1 <<-

j w

(cid:222)

( ) w

j w

ae -

48 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

) ( w

( ) w

) ( w

21 -

a 1 - cos a w

49 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Dịchtheoth ờigian

nx )(

knx (

)

kj w X

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

(cid:222)

F -(cid:190)ﬁ‹- e

) ( w

nu (

“ Ví dụ: tìm BĐ Fourier củat/h

)( nu

)

F (cid:190)ﬁ‹

( w

)( nx 1

1 )( 2

j w

1 nx )(3)( = 2 1 1 e 2

)( nx

)

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

( w

)(6 nx 1

j w

6 1 e 2

§ Đảotheoth ờigian

nx )(

nx (

)

(

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

(cid:222)

(cid:190)ﬁ‹-

) - w

50 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Tíchch ập

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

nx )(

(

)

) ( w

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

nx 1

nx )(*)( 2

X ( ) ww 2

1 X

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

nx )( 1 nx )( 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

“ Chúý: Cóth ể dùng BĐ Fourier thuậnvà BĐ Fourier ngược để tính

tíchch ặp

§ Tương quan

) ( w

F (cid:190)ﬁ‹

)

(

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

) - w

mr ( xx 21

xx 21

1 X

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

nx )( 1 nx )( 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

§ ĐịnhlýWiener-Khintchine

nx )(

thuc

l )(

(

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

) - w

r xx

51 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Dịchtheo t ần số

j w 0

nx )(

)

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

( - ww 0

§ Địnhlý điềuch ế

nx )(

cos

)

F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

[

])

w 0

( + ww 0

( - ww 0

1 2

§ ĐịnhlýParseval

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

)(

(cid:222)

( ) w

( ) d ww

nxnx )( 1

* 2

(cid:229)

p -

(cid:242)

1 2 p

-¥=

1 X

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

)( nx 1 nx )( 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

52 T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier T/h RRTG: Đặctính c ủa BĐ Fourier

§ Nhân 2 chuỗi (địnhlý c ửa sổ)

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

1 X

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

)( nx 1 )( nx 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

)(

(

)

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

)( llwl

)( nx 3

)( nxnx 1

(cid:242)-

1 2 p

§ Đạohàmmi ền tần số

)( nx

)( nnx

F (cid:190)ﬁ‹

( ) w

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

( ) dX w d w

nx )(

* nx )(

(

§ Liên hợpph ức F (cid:190)ﬁ‹

) ( w

(cid:222)

F (cid:190)ﬁ‹

) - w

53 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

§ H/t nghỉ LTI § Hàm đáp ứng tần số: đáp ứng tần số củat/h m ũ phứcvàt/hsin

h(n)

y(n) x(n) Miềnth ờigian

h(n): hàm đáp ứngxung đơn vị

F

H(ω)

y(n) x(n) Miền tần số

H(ω): hàm đáp ứng tần số

T/h mũ phức T/h sin

()(

)

knxkh

)(*)( nh

)( ny

-¥ < n < ¥

-¥=

(

)

j w

kn -

nj w

kj w

)( kh

)( ekh

(cid:229)

nj w

k -¥= AH

( w)

“ Đáp ứng tần số củat/h m ũ phức: chox(n) = Ae jωn ¥ (cid:229)

-¥= x(n) = Aejωn là mộteigenfunction c ủah/t H(ω) làeigenvalue t ương ứng

54 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

) ( w

je Q

) ( w

( ) w

§ Biểudi ễnH( ω) ở dạng cực § Ta có

kj w

ekh )(

kh )(

cos

sin)(

( ) w

k w

(cid:229)

-¥=

k -¥= ( ) w

k -¥= H ( ) w

1 -

tan

( w

[

])

) ( w

2 R

2 I

)( kh

cos

hàm

chan

)( w

k w

hàm

chan

) ( w

2 R

2 I

-¥=

1 -

tan

hàm

( ) Q w

H H

( ) w ( ) w

sin)( kh

hàm

)( w

k w

(cid:229)

-= k

-¥=

§ Do đó, nếubi ết │H(ω)│và Θ(ω) trongkho ảng0 ≤ω≤ π thì cũngxác

định đượctrongkho ảng –π≤ω ≤ 0

Trong đó ¥ (cid:229)

55 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

)

j Q

njAe w

( nj ww e

( ) w

(1 nx

§ Đáp ứng tần số củat/hsin )( ny = 1

( -Q

) w

nj w

(

) - w

njAe w-

)( ny 2

(2 nx

j Q-

( ) w

nj w

( ) w

ny )(

nx )(

cos

n w

])(

[ nx )( 1

nx 2

1 2

[ 1 ny )( 1 2 HA

) ( w

] ny )( 2 [ n cos w Q+

]) ( w

nx )(

sin

ny )(

n w

])(

[

]

[ nx )( 1

nx 2

ny )( 1

1 j 2

sin)

Q+

( w

ny )( 2 [ n w

]) ( w

56 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

§ Đáp ứngchot/htu ầnhoàn

1 -

2 k p N

k 2 p N

(

)

)( ny

nx )(

Hc k

2 k p N

ec k

(cid:229)

H(ω)

(cid:229)

“ Đáp ứng củat/htu ầnhoàn c ũnglàt/htu ầnhoànchu k ỳ N

ầnhoàn

§ Đáp ứngchot/hkhôngtu

x(n) y(n)

h(n)

y(n) = x(n)*h(n)

F

Y(ω) X(ω)

H(ω)

Y(ω0) = X(ω0)H(ω0) = │H(ω0)│ejΘ(ω0)X(ω0) Ł Thànhph ần tần số (ω0)khi đi qua hệ thì:

-Biên độ: -Pha:

co/giãn │H(ω0)│ lệchpha Θ(ω0)

Y(ω) = X(ω)H(ω)

57 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

§ Quan hệ giữahàm h ệ thốngvàhàm đáp ứng tần số

nj w

)

)( zH

)( enh

( w

j w

ez =

(cid:229)

-¥=

kj w

eb k

zb k

(cid:229)

)( zH

) ( w

0 N

kj w

(cid:229)

ea k M

1 =

j w

(

)

(

)

za k M (cid:213)

(cid:213)

)

( MNj w

MN -

)( zH

( ) w

eb 0

zb 0

1 k = N

j w

(

)

(

)

pz -

(cid:213)

1 =

H H

) )

* wH ) ( 1 - zH ( )

1 -

zHzH )( (

)

/1( z z /1( (* H ( ) w

= = = H ) ( ) - w w ) ) H H ( ( w w = -

) ( w

Hệ ổn định

58 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

§ Tínhhàm đáp ứng tần số H(ω)

“Biểudi ễn dưới dạng cực

( ) w

j w

) ( w

V k

j w

(

)

) ( w

j w

(cid:213)

Up =

( ) w

)

MNj ( w

(cid:236) e (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) e

) ( w

eb 0

1 k = N

j w

(

)

(cid:213)

1 =

) ( w

b 0

V 1 U

( (

)... V M U )...

( ) w ( ) w

( ) V ww 2 U ( ) ww 2

)

( ) w

) ( w

( ) w

( w

MN -

b +—= 0

N (cid:229) F- 1 k =

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) — (cid:239) (cid:238)

M (cid:229) Q+ 1 k = “Do đó, cóth ể tính đượcH( ω) nếubi ết đượczero vàpole

củahàm h ệ thống

“Ý nghĩa ?

59 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

§ Tínhhàm đáp ứng tần số H(ω)

Φk(ω)

Im(z)

L Uk

Θk(ω)

x pk

ejω

Vk A

“ Chozero z k vàpole p k “ Xác định H(ω) tại ω (điểm L) “ Việc tính H(ω) tương đương việc tính H(z) tại điểm L trên vòng tròn đơn vị Bzk

AL= CL –CA BL= CL –CB

CL = CA + AL CL = CB + BL

) ( w

j F

j w

)( e w

C 0 Re(z)

Up = k

) ( w

j w

j Q k

pk zk ejω

= CA = CB = CL

)( e w

Vz = k k

ejω hoặc │z│= 1

“ Sự hiện diện của zero gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng tần số tại

những điểm trên vòng tròn gần điểm đónh ỏ

“ Ngược lại, sự hiện diện của pole gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp

ứng tần số tại những điểm trên vòng tròn gần điểm đó lớn

60 Hệ LTI trongmi ền tần số Hệ LTI trongmi ền tần số

1 -

(

)

(

)

z )(

§ Hàm tươngquanvào-ravàph S S

ổ z S Sz )( )( hh SzHz )( )(

zHzHz )( )( ( z )(

= =

xx (

(

)

mrmrmr ( hh yy mrmhmr ( yx

z=ejω

) ( w

( ) w

2 w S ( )

Phổ mật độ năng lượng

)

(

) ( w

( ) w

) ( w

X ( ww

Phổ mật độ năng lượngchéo

)0(

)

( ) d ww

( w

( ) d ww

(cid:242)

1 2 p

( ) w

) ( w

) ( w =

( ) w

1 E

nh )(

)

x mr ( yx

Năng lượng tổng

1 E

Nếut/hnh ậpcóph ổ phẳng Sxx(ω) = Ex = constkhi – π ≤ω≤ π Dùngtrongvi ệcxác địnhh(n) c ủa hệ lạ: tác độngvàoh/tt/hcóph

61 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

“ Thiết bị dùng để xử lýtùytheo đặctính c ủat/htác độngvàoh/t “ Ví dụ: bộ lọckhôngkhí, b ộ lọc dầu, bộ lọctia c ựctím

§ Bộ lọc

“ Y(ω) = H(ω)X(ω) “ Thay đổiph ổ t/hnh ậptùytheo đặctr ưng của đáp ứng tần số H(ω) động “ Hệ LTI đượcxemlà b ộ lọc tần số: H(ω) đóngvaitròhàmtác

hoặchàmch ỉnhph ổ

Lowpass filter

“ Cótác d ụng

Highpass filter

• Loại bỏ nhiễutrênt/h • Tinhch ỉnhhình d ạngph ổ củat/h • Phântíchph ổ t/h • Pháthi ệnt/htrongRadar, Sonar, …

Bandpass filter

§ Hệ LTI

§ Phân loại bộ lọc

Filter

Bandstop filter

All-pass filter

62 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

|H(ω)|

Highpass Lowpass

–π

–ωc

ωc

–ωc

ωc

|H(ω)|

1 1

Bandpass Bandstop

–π

–ω0

ω0

–ω0

ω0

1 1

63 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ lọclý t ưởng

“ Đặctr ưng củaH( ω) lý tưởng

• Biên độ

= hằng số A, trongvùng t ần sốđượ cqua = 0, trongvùng t ần số không đượcqua tuyếntính( = -a ω, a: hằng số)

nj w 0

• Pha “ Minh họa

) ( w

otherwise -

nj w 0

(

)

X ( ) ww

) ( w

( www 2

(cid:236) Ce (cid:237) 0 (cid:238) Y H ) ( w y(n) = Cx(n-n0)

• T/h x(n) vớicácthànhph ầnt/strongkho ảng [ω1, ω2] • Hàm đáp ứng tần số << www 2

§ bị delay: τg(ω) = -dΘ(ω)/dω = n0 (tất cả cácthànhph ầnt/s đều bị trễ như

nhau)

§ bị co giãnbiên độ

“ Trongth ực tế khônghi ệnth ực đượctìnhtr ạnglý t ưởng, màch ỉ là

• Phổ t/h tạingõxu ất • T/h ngõxu ất • x(n) khi qua bộ lọc lý tưởng

64 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Thiết kế bộ lọc bằng sơđồ zero-pole “ Bộ lọc sốđơ ngi ảnnh ưngquantr ọng “ Nguyênlý : đặtcácpole g ầncác điểmtrênvòngtròn

đơn vị tương ứng với

các tần số cầnnh ấn mạnh(cógócpha b ằng tần sốđượ cchoqua b ộ lọc) và đặtcáczero g ầncác điểm tương ứng vớicác t ần số khôngmu ốn

• Pole bêntrongvòngtròn

đơn vị (để hệ ổn định). Zero cóth ể nằm bất kỳở đ âu

trênmpz

• Cáczero/pole ph ứcph ảitheo t ừng cặpliên h ợp (để hệ số của bộ lọclà s ố thực) • Chọn b0 thích hợp để chuẩnhoá đáp ứng tại tần sốđượ cchoqua b ộ lọc (để

│H(ω0)│ = 1, ω0 là tần số trongbandpass c ủa bộ lọc)

1 -

)

zz k

zb k

(cid:229)

(cid:213)

)( zH

b 0

0 N

1 k = N

1 -

)

za k

zp k

(cid:229)

(cid:213)

1 =

1 = G ≡ b0: độ lợi

“ Ràngbu ộc

65 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ lọcthôngth ấp(lowpass)

đơn vị có tần số thấp (ω = 0)

“ Đặtpole g ầncác điểmtrênvòngtròn “ Đặtzero g ầnho ặc tạicác điểmtrênvòngtròn

đơn vị có tần số cao (ω = π)

§ Bộ lọcthôngcao(highpass)

“ Tương tự như bộ lọcthôngth ấp, bằngcách l ấy đối xứngcáczero/pole qua tr ục ảo

củampz

“ Trongbi ểuth ứchàmh/t, thayz b ởi–z

66 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Ví dụ: bộ lọcthôngth ấp

a = 0.9

zH )( 1

(lowpass) mộtpole “ Hàm hệ thống a - 1 - az

1 1 - “ Độ lợiG đượcch ọn(1 –a) để biên độ H(z) bằng đơn vị khi ω = 0

“ Việcthêmzero = –1 s ẽ làmsuygi ảm đáp ứng của bộ lọc ở tần số cao

1 -

zH )( 2

1 -

z az

1 + 1 -

- 2 “ │H2(ω)│giảm bằng0 khi

“ Do đó

ω = π

67 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

a = 0.9

§ Bộ lọcthôngcao (highpass) “ Cóth ểđạ t được từ bộ lọclowpass bằngcáchthayz bởi–z

1 -

zH lp )(

1 -

- 2

z az

1 + 1 -

z = –z

zH hp )(

1 -

- 2

z az

1 - 1 +

68 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ lọcbandpass

“ Nguyên tắc: đượcth ựchi ện tương tự lowpassvàhighpass “ Có mộtho ặcnhi ều cặppole liên h ợpph ức gầnvòngtròn đơn vị, trongvùng

lân cận dải tần số chophép

• Tâm củapassband= π/2. Đáp ứng tần số tạitâm đó= 1 • Đáp ứng năng lượng= 0 t ạicác t ần số: 0, π • Đáp ứng năng lượng= t ạicác t ần số: 4π/9

–

j p 2

Pole

p 2,1

“ Ví dụ: thiết kế bộ lọcbandpasstho ả:

y(n) x(n)

Zero

z 2,1

+ +

zH )(

(

z z

)1 jr

)

z 2 z

1 –= ( )(1 z - jr )( z -

+ +

2 1 - 2 r +

z-1 z-1

15.0

p 1)( = 2

(cid:222)

+ +

(

)

7.0

–=

4 p 9

1 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

15.0)( =

G (cid:236) (cid:237) r (cid:238) 2 - z 1 - 7.01 +

z-1 z-1

69 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

2 -

15.0)( =

z 1 - 7.01 +

70 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Biến đổi đơngi ản từ bộ lọclowpasssang b ộ lọchighpass

“ Tạo bộ lọchighpass b ằngcách d ịch Hlp(ω) một đoạn π (nghĩalàthay

thế ω bởi ω – π

“ Trongmi ềnth ờigian

Hhp(ω) = Hlp(ω – π)

)( ny

( knya

)

)( ny

( knya

)

)1( -

( knxb k

(cid:229)

1 =

kj w

)1( -

eb k

(cid:229)

) ( w

0 N

kj w

)1( -

ea k

(cid:229)

1 =

hhp(n) = (ejπ)nhlp(n) = (-1)nhlp(n) N M

71 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ cộng hưởng số

(0 < r < 1)

“ Bộ lọcbandpass2 pole liên h ợpph ức gầnvòngtròn đơn vị “ Vị trígóc c ủapole xác định tần số cộng hưỏng “ Chọnpole liên h ợpph ức p1,2 = re±jω0 “ Cóth ể chọnthêm t ối đa2 zero • Hoặczero t ại gốc tọa độ • Hoặczero t ại ±1 • Chophéplo ại bỏ các đáp ứng của bộ lọc tại ω = 0 hoặc ω = π

“ Giả sử zero đượcch ọn tại gốc

)( zH

1 -

j w 0

b 0 1)(

)

re • Do |H(ω)| có đỉnh tại(ho ặc gần) ω = ω0, nên

)

( w 0

j w 0

)

b 0 1)(

cos

1( -=

b 0

2 w 0

72 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Phổ biên độ vàph ổ phatrongtr ường hợp ω0 = 1

ω0 –ω0

p1 = rej

p2 = re–j

73 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ lọckheV (notch)

ω0 = π/4

“ Chứa mộtho ặcnhi ềukhesâu, có đáp ứng tần số bằng 0 “ Đặt một cặpzero liên h ợp

–=

z 2,1

phứctrênvòngtròn góc ω0, tức đơn vị, tại wje

1 -

j w 0

zH )(

1)(

)

1 -

cos

)

21( -

w 0

b 0 b 0

“ Hàmh/t

• Khecó độ rộngkhá l ớn • Thànhph ần tần số xung quanh ω0 bị suyhao

• P/p khắcph ục: ad-hoc (nhiều p/pkhác đượctrìnhbày ở chương8)

“ Nhược điểm

74 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ P/p khắcph ục bộ lọcnotch

–

wj 0

“ Đặt cặppole liên h ợpph ức tại ω0 để cộng hưởngtrongvùng lân cận ω0 p 2,1

1 -

2 -

“ Hàmh/t

zH )(

b 0

cos cos

z 2 zr

21 - r 21 -

+ +

z w 0 1 - z w 0

ω0 = π/4

• Ngoàivi ệcgi ảm băngthông củakhe, pole c ũng tạoracác lăn tăn(ripple) trongbandpass của bộ lọc(do vi ệc cộng hưởng)

• Khắcph ụcripple b ằngcách

thêmzero và/ho ặcpole → thử vàsai

“ Nhược điểm:

75 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ lọc răng lược(comb)

)( zH

kzkh - )(

jkekh w )(

) ( w

z=ejω

(cid:229)

“ Là bộ lọcnotch v ớicáckhexu ấthi ệntu ầnhoàn “ Hàmh/t

jkL

z=ejω

)( zkh

ekh )(

LH (

) ( w

) w

)( zH L

(cid:229)

= (cid:229)

“ Thayz b ằng zL (L>0)

“ Đáp ứng tần số HL(ω) chínhlàvi ệc lặp bậcL c ủa đáp ứng tần số H(ω) trong

• NếuH( ω) có mộtph ổ không tại tần số ω0 nào đó, HL(ω) sẽ cócácph ổ không

răng lược tại ωk = ω0+2πk/L (k=0, 1, 2, …, L-1)

H(ω)

H4(ω)

π/2

3π/2 2π

-2π

2π

khoảng[0, 2 π]

76 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

)( ny

)

( knx -

§ Ví dụ: bộ lọctrungbình

(cid:229)

1 M +

Mj w

sin

)

(

) ( w

zH )(

e M

( w sin

1 -

(cid:229)

M 1 + 2 w 2

- 1

1 M +

z -

/( Mk

2 p

Mk /(

pw =

,...,3,2,1

ML (

LMj w

sin

)

M 1 + 2

) ( w

)( zH L

- 1

1 M +

z -

L ( w L w sin 2

z=ejω

M=10 & L=3

M=10

x(n)

h(0)

h(1)

h(2)

h(3)

z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1

+ + +

L=3 & M=3

y(n)

77 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

(0 ≤ ω ≤ π)

H(z) = z–k

§ Bộ lọcAllpass “ |H(ω)| = 1 “ Loại đơngi ảnnh ất: “ Loạikhác

za k

(cid:229)

real

)( zH

”

a 0

0 N

za k

(cid:229)

1 -

)

zA )(

0 = ”

zH )(

-= z

za k

a 0

= (cid:229)

zA ( zA )(

(r–1,ω0)

(r,ω0)

ω0 –ω0

1 a-1

(r,–ω0)

(r–1,–ω0)

• Nếu z0 làpole c ủaH(z), thì1/z 0 làzero c ủaH(z)

78 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

1 -

zH )( 2

zH )( 1

1 -

z w 0 1 - z

z + 2 zr

r r 2 + r 21 cos -

za + 1 az +

cos w 0

a = 0.6 r = 0.9 ω0 = π/4

θ2(ω)

θ1(ω)

79 Hệ LTI và bộ lọc Hệ LTI và bộ lọc

§ Bộ dao độngsin s ố

đơn vị

w 0

zH )(

b 0 1 - +

a 1 a

za 1

za 2

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

–

wj 0

“ Bộ cộng hưởng2 pole, trong đócácpole n ằmtrênvòngtròn cos

)( nh

sin( n

)( nu

p 2,1

w 0

rb 0 sin

w 0

và đáp ứngxung đơn vị “ Pole

nh (

)

sin(

“ Nếupole n ằmtrênvòngtròn

)

)1 w+

x(n)=(Asinω0)δ(n)

y(n)=Asin(n+1)ω0

đơn vị: r = 1 và b0 = Asinω0 nu (

–a1

y(n) = –a1y(n–1) – a2y(n–2) + b0δ(n)

z-1

a1= –2cosω0 a2= 1

–a2

z-1

80

Chương 55 Chương

BK TP.HCM

BIẾN ĐỔI FOURIER BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) RỜI RẠC (DFT)

T.S. Đinh Đức Anh Vũ

Faculty of Computer Science and Engineering HCMC University of Technology 268, av. Ly Thuong Kiet, District 10, HoChiMinh city (08) 864-7256 (ext. 5843) Telephone : Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu

Giớithi ệu về DFT Giớithi ệu về DFT

§ Biến đổi Fourier liên tục

x(n)

x(n) = 0.8nu(n)

Miềnth ờigian

F

njenx w )(

( ) w

(cid:229)

-¥=

Miền tần số

§ Vấn đề: X(ω) liên tụctheo t ần số ω → không thích hợp cho việctínhtoántrên

máytính

2 Lấy mẫumi ền tần số Lấy mẫumi ền tần số

X(ω)

Lấy mẫu

kX )(

)

”

2 k pw = ( N

N=10 N=10

3 Lấy mẫumi ền tần số Lấy mẫumi ền tần số

/ Nkn

2 p

(

)

,...,1,0

)( enx

( ) w

2 p N

Nk /

2 pw =

(cid:229)

-¥=

1 -

2 p N

kX )(

enx )(

1 - enx )(

(cid:229)

Nn =

N 1 -+

2 p N

enx )(

(cid:229) (cid:229)

-¥=

lNn =

1 -

2 p N

)

lNnx ( -

-¥=

ø œ ß

Ø (cid:229) (cid:229) Œ º 1 -

2 p N

)

( lNnx -

Thayn b ằng(n-lN)

kX )(

enx )(

(cid:222)

)( nx p

(cid:229)

-¥=

với

1 -

Nkn /

2 p

,...,1,0

nx )( p

ec k

(cid:229)

1 -

Nkn /

2 p

enx )(

,...,1,0

(cid:229)

§ T/h xp(n) – lặpchu k ỳ củax(n) m ỗiN m ẫu–t/htu ầnhoàn v ớichu k ỳ cơ bản N

4 Lấy mẫumi ền tần số Lấy mẫumi ền tần số

,1,0

)( kX

1 N

1 -

2 p N

,1,0

)( ekX

)( nx p

(cid:229)

1 N

§ Cóth ể phục hồit/h x p(n) từ các mẫu củaph ổ X(ω)

££

)( nx p

)( nx

x(n)

others

(cid:236) (cid:237) 0 (cid:238)

N>L xp(n)

n Khi N≥L, x(n) cóth ểđượ ckhôiph ục từ các mẫuph ổ tần số tại ωk=2πk/N

5 Lấy mẫumi ền tần số Lấy mẫumi ền tần số

“ Giả sử N ≥ L → x(n) = xp(n) khi 0 ≤ n ≤ N-1

1 -

/ Nkn

2 p

)( nx

jekX )(

(cid:229)

1 N

0 = ¥

1 -

/ Nkn

nj w

2 p

nj w

enx )(

ekX )(

) ( w

(cid:229)

-¥=

1 Ø (cid:229) (cid:229) Œ N º

ø œ ß

1 -

)

nNk

( 2 pw -

)( kX

(cid:229)

1 N

Ø Œ º

ø œ ß

Nj w

1 -

nj w

( ) w

j w

11 e - N e 1 -

1 -

2/)1

Nj ( w

)

()( PkX

LN ‡

) ( w

2 pw - N

= (cid:229)

1 = (cid:229) N n 0 = sin( w N sin(

)2/ )2/

N w

)

( 2 p P N

,2,1

1 (cid:236) (cid:237) 0 (cid:238)

§ Cóth ể phục hồi X(ω) từ các mẫu X(k) vớik = 0, 1, …, N-1

6 Lấy mẫumi ền tần số Lấy mẫumi ền tần số

1 -

nx )(

j NekX )(

(cid:229)

1 N

x(n) cóchi ềudài L ≤N

B Đ F

1 -

PkX )(

)

( ) w

njenx w )(

( ) w

( ww - k

(cid:229)

-¥=

0 N

1 -

pw 2=

nje w -

( ) w

(cid:229)

k = 1 N

L ấ y m ẫ u

2 p j N

kX )(

enx )(

(cid:229)

Phục hồi Phục hồi

7 Lấy mẫumi ền tần số Lấy mẫumi ền tần số

§ Ví dụ: x(n) = anu(n),0

nj w

)( kX

(

)

n ea

( ) w

/ Nk

2 p

j w

= (cid:229)

2 k p N

1 ae

)

( lNnx -

)( nx p

(cid:229)

-¥=

a=0.8

lNn -

(cid:229)

a a -

a -¥=

“ Phổ t/h được lấy mẫu tạicác t ần số ωk = 2πk/N, k=0, 1, …, N-1 1 jae -

8 Biến đổiFourier r ời rạc(DFT) Biến đổiFourier r ời rạc(DFT)

§ Chuỗi không tuần hoàn, năng lượng hữu hạn x(n) § Các mẫu tần số X(2πk/N), k = 0, 1,…, N-1 không đặc trưng cho x(n) khi

x(n) cóchi ều dài vô hạn

§ Nó đặc trưng cho chuỗi tuần hoàn, chu kỳ N xp(n) § xp(n) là lặp tuần hoàn của x(n) nếu x(n) cóchi ều dài hữu hạn L ≤ N § Do đó, các mẫu tần số X(2πk/N), k = 0, 1,…, N-1 đặc trưng cho chuỗi chiều dài hữu hạn x(n); i.e. X(n) cóth ể đượcph ục hồi từ các mẫu tần số {X(2πk/N)}

§ x(n) = xp(n) trên một chu kỳ N (được đệmvàoN-L zero). M ặcdùL m ẫu củaX( ω) cóth ể tái tạo lại đượcX( ω), nhưng việc đệmvàoN-L zero giúp việctínhtoán DFT N điểm củaX( ω) đồng nhất hơn

DFT N 1 -

IDFT N 1 -

2 p j N

kX )(

enx )(

nx )(

ekX )(

= (cid:229)

0 = N

0 ,

,1,0

k ,

,1,0

n = K

1 = (cid:229) N K

9 Biến đổiFourier r ời rạc(DFT) Biến đổiFourier r ời rạc(DFT)

§ Ví dụ: xác địnhDFT N điểm củachu ỗix(n) có độ dàiL h ữu hạn(N ≥L)

1 -

Ln -££

nj w

)( enx

) ( w

)( nx

(cid:229)

0 others

1 (cid:236) (cid:237) 0 (cid:238)

Lj w

(

2/)1

j w

sin( sin(

0 n = )2/ L w )2/ w

n -¥= 1 e - 1 e -

10 Biến đổiFourier r ời rạc(DFT) Biến đổiFourier r ời rạc(DFT)

11 DFT – BĐ tuyếntính DFT – BĐ tuyếntính

DFT N 1 -

IDFT N 1 -

2 p j N

kX )(

enx )(

nx )(

ekX )(

= (cid:229)

0 ,

,1,0

0 = N

k ,

,1,0

n = K

1 = (cid:229) N K

Nghiệmth ứ N của đơn vị

/2p-= j

eW N

1 -

kX (

)

Wnx )(

nx )(

WkX )(

kn N

- N

= (cid:229)

0 = N

,1,0

n ,

0 ,

1 = (cid:229) N K

n = K

TínhDFT m ột điểm TínhDFT N điểm

-Nhânph ức: N2 - Cộngph ức: N(N-1)

12 DFT – BĐ tuyếntính DFT – BĐ tuyếntính

X X

)0( )1(

x )0( x )1(

NX (

Nx (

M -

ø œ œ œ œ ß

Ø Œ Œ Œ Œ º

ø œ œ œ œ ß

1 -

)1 -

L L L

1 N W N (2 N

Các mẫumi ền thờigian Các mẫumi ền tần số

M )(1 N -

)1 -

M 1

N 2 N M 1 N - N

2 N 4 N M )1 (2 N - N

( N

ø œ œ œ œ œ œ ß

Ø Œ Œ Œ Œ º Ø Œ Œ Œ Œ Œ Œ º

§ BĐ DFT N điểm

xWX = NN

1 =- N

* N

Ma trận BĐ tuyếntính

1 N =

1- XWx N N N * XW N

1= N

WW N

* N

WN làma tr ận đườngchéo

13 DFT –Quan h ệ vớicácphép BĐ khác DFT –Quan h ệ vớicácphép BĐ khác

§ Với hệ số Fourier củachu ỗichu k ỳ

1 -

2 p j N

2 p N

nx )(

ekX )(

(

)

ec k

= (cid:229)

,1,0

0 = N

n ,

1 = (cid:229) N K

£¥-

k 0 = ¥£

DFT N điểm củachu ỗix(n) Chuỗi xp(n) tuầnhoànchu k ỳ N

1 -

2 p j N

2 p N

kX )(

enx )(

= (cid:229)

,1,0

0 ,

1 = (cid:229) N ,1,0

0 ,

n = K

X(k) = Nck

§ Với BĐ Fourier củachu ỗikhôngchu k ỳ

DFT N điểmchochínhxác phổ vạch củachu ỗi tuầnhoànchu k ỳ N

“ DFT N điểmchoph ổ vạch củachu ỗikhôngchu k ỳ x(n) nếux(n) h ữu hạncó

§ SV xemthêm m ốiquan h ệ giữaDFT và BĐ Z; giữaDFT và h ệ số Fourier

củat/hLTTG

độ dàiL ≤ N

14 DFT –Bi ểudi ễntínhi ệu DFT –Bi ểudi ễntínhi ệu

Dạngvòng

Dạngth ẳng

Chiều dương

Âm

Dương n

n=1

n=0

n=–1

Chiềuâm

x(n) = {1 2 3 4}

x(n)

x(1)

x(2)

4 3 2

x(0)

x(n)

x(3)

-2 -1 0 1 2

15 DFT –Bi ểu diễn tín hiệu theo vòng DFT –Bi ểu diễn tín hiệu theo vòng

)

( lNnx -

§ Chuỗitu ầnhoànchu k ỳ N, mở rộng từ x(n)

)( nx p

(cid:229)

-¥=

( knx

)

( lNnx -

)(' nx p

§ Chuỗi dịch xp(n) đik m ẫu

££

(cid:229) l -¥= ' nx 0)( p

nx )('

§ Chuỗicóchi ềudài h ữu hạn từ x’p(n)

otherwise

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) 0

x’(n) = x(n-k, MOD N) ≡ x((n-k))N 4

§ Quan hệ giữax(n) vàx’(n): d ịchvòng 4 x(n) xp(n) 2

-4-3-2-1

012 3

4 5 6 7

-2-1 0

1 2 3

456 7

0 1 2 3

x(1)

x’(1)

xp(n-2) 2

x(2) 3

x(0)

x’(2) 1

x’(0)

x’(n)

0 1 2 3

x’(3)

x(3)

x(n) x’(n)

16 DFT –Tính đối xứngvòng DFT –Tính đối xứngvòng

§ Phép dịch vòng của một chuỗi N điểm tương đương với

phép dịch tuyến tính của chuỗi mở rộng tuần hoàn của nó

§ Chuỗi N điểm là chẵn theo vòng nếu nó đối xứng qua điểm

0 trên vòng tròn “ i.e. x(N –n) = x(n), 0 ≤ n ≤ N – 1

§ Chuỗi N điểm là lẻ theo vòng nếu nóph ản đối xứng qua

điểm 0 trên vòng tròn “ i.e. x(N –n) = –x(n), 0 ≤ n ≤ N – 1

§ Đảo theo thời gian của chuỗi N điểm: đảo các mẫu của

chuỗi quanh điểm 0 trên vòng tròn “ i.e. x((–n)) N = x(N –n), 0 ≤ n ≤ N – 1 “ Phép đảo được thực hiện bằng cách vẽ x(n) theo chiều kim đồng hồ

17 DFT –Tính đối xứngvòng DFT –Tính đối xứngvòng

“ x(n) = xR(n) + jxI(n), 0≤n≤N–1 “ X(k) = XR(k) + jXI(k), 0≤k≤N–1

1 -

cos

sin)(

]

[

nx )( R

kX )( R

kX I

)

(

)

(

cos

sin)

kn 2 p N

[ x

]

( nx I

(cid:229)

kn p N

(cid:229)

1 N

1 -

sin)

cos

)

(

sin)(

cos

[ x

]

( kX I

( nx I

]

[

kn p N

nx )( I

kX R

kX )( I

kn 2 p N

(cid:229)

1 N

NX (

)

(cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238) § Nếux(n) th ực: X(N-k) = X*(k) = X(–k) kX ( -

-—=

—

1 -

kX )(

nx )(

cos

kX )(

cos

và kX ( § Nếux(n) th ựcvàch ẵn: x(n) = x(N–n) ﬁ XI(k) = 0 2 kn p nx )( N

2 kn p N

(cid:229)

1 N

1 -

sin)(

§ Giả sử x(n) và BĐ DFT X(k) làt/hph ức

kX )(

2 kn p N

(cid:229)

1 N

1 -

sin)(

cos

kX )( R

nx I

kX )( I

nx )( I

2 kn p N

§ Nếux(n) th ựcvà l ẻ: x(n) = –x(N–n) ﬁ XR(k) = 0 nx )( nx sin)(

(cid:229)

§ Nếux(n) thu ần ảo: x(n) = jxI(n) N (cid:229)

18 DFT –Tínhch ất DFT –Tínhch ất

§ Tuầnhoàn

( nx

)

( kX

)

‹

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ

( nx

)

( nx

)

(cid:222)

( kX

= )

+ ( kX

)

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

§ Tuyếntính

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹

nx )( 1

kX )( 1

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹

nx )( 2

kX )( 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:222)

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹

nxa )( 11

nxa )( 2

kXa )( 1 1

kXa )( 2

§ Tổngch ậpvòng

(

)

(

)

‹

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ

(

)

(

)

‹

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ

(

)

(

)

(

Xk )

(

)

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:222)

˜ N

‹

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ

Tíchch ậpvòngN điểm

)

(

)

((

))

,1,0

˜ N

nx ( 1

xkx ( 1

(cid:229)

19 DFT –Tíchch ậpvòng DFT –Tíchch ậpvòng

mx (

)

IDFT

kX )}({

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹

1 -

2 p N

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹

kX )( 1 kX )( 2

nx )( 1 nx )( 2

ekX )(

(cid:229)

1 N

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) mx (

)

kX )(

kXkX )(

)(

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹

1 -

2 p N

ekXkX )(

)(

(cid:229)

1 N

1 -

2 p N

(cid:229)

enx )( 1

elx )( 2

(cid:229)

„

1 N

Ø Œ º

ø œ ß

Ø Œ º

(cid:236) (cid:239) (cid:237) 1 a - (cid:239) 1 a - (cid:238)

1 -

ø œ ß 1 -

1 -

(

)

lnm --

(

)

lnmk --

2 p N

Trong

ñoù

nx )( 1

lx )( 2

(cid:229)

1 N

ea = :

lnmkhi

Zp ˛

)

lnm --

=-- (2 j p

=(cid:222)„

-(cid:222)=

1 -

((

))

lnm

pN =(cid:219)=--

nm -

(cid:222)

1 -

(cid:229)

otherwise

(cid:236) (cid:237) 0 (cid:238)

mx (

)

)(

))

,1,0

nmxnx (( 1 2

(cid:229)

1 -

nx )(

((

))

,1,0

kn -

xkx )( 1

(cid:229)

20 DFT –Tínhch ất DFT –Tínhch ất

nx )(

kX )(

DFT N

((

nNx (

)

((

))

kNX

(

)

x -(cid:222)

(cid:190)(cid:190) ﬁ‹-

)( nx

)( kX

)) N § Dịchvòngtheoth ờigian DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹ N

/ Nkl

j 2 p-

DFT N

))

)( ekX

(cid:222)

(cid:190)(cid:190) ﬁ‹-

nx )(

kX )(

(( lnx § Dịchvòngtheo t ần số DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹ N

Nnl /

2 p

enx )(

kX ((

))

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹

(cid:222) Liên hợpph ức

§ Đảovòngtheoth ờigian DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹ N

nx )(

kX )(

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹ N

* nx )(

((

))

kNX

(

)

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹

(cid:222)

DFT N

((

* nNxNn

))

)

(

* kX )(

(cid:190)(cid:190) ﬁ‹-

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

21 DFT –Tínhch ất DFT –Tínhch ất

nx )(

kX )(

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹ N

1 -

ny )(

kY )(

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹ N

§ Tương quanvòng

~ r

l )(

ynx )(

((

))

ln -

(cid:229)

~ r

l )(

~ kR )( xy

kYkX )(

)(

(cid:222)

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹

với

kX )( 1

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹

nx )( 2

kX )( 2

)(

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:222)

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹

˜ N

kX )( 1

kX )( 2

1 N

nxnx )( 1 § ĐịnhlýParseval

nx (

)

kX (

)

‹

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ

ny (

)

kY (

)

‹

DFT (cid:190)(cid:190) ﬁ

ynx )

(

)

YkX (

)

(

)

(cid:222)

(cid:229)

§ Nhân 2 chuỗi nx )( 1

22 DFT – Lọctuy ếntính DFT – Lọctuy ếntính

§ Y(ω) = H(ω)X(ω)

ố

1 -

§ Lọctuy ếntính

“ Hàmliên t ụctheo t ần số ω “ Khóth ựchi ệntrêncácmáytính s → DFT: mộtcáchtínhhi ệu qủa của tổngch ậpmi ềnth ờigian

ny )(

knxkh

()(

)

(cid:229)

x(n) y(n) h(n)

y(n) chiềudàiN = M+L-1

“ Tínhi ệung ắn x(n) chiềudài= L (n=0,1,…,L-1) h(n) chiềudài= M(n=0,1,…,M-1)

Số mẫuph ổ (tần số) cầnthi ết để biểudi ễnduynh ấtchu ỗiy(n) ≥ L+M-1 Y(k) = H(k)X(k), k=0,1,…,N-1

H(k), X(k): DFT N điểm củah(n), x(n) (các số 0 được đệmvào để tăngkíchth ướcchu ỗilênN)

y(n) = IDFTN{Y(k)} • Tổngch ậpvòngN điểm củah(n) vàx(n)

tương đương với tổngch ậptuy ếntính c ủah(n) v ớix(n)

•DFT cóth ểđượ cdùng để lọctuy ếntính

(bằngcách đệmthêmcác s ố 0 vàochu ỗi tương ứng)

23 DFT – Lọctuy ếntính DFT – Lọctuy ếntính

§ Tóm tắt

DFTN

x(n)

X(k)

IDFTN

Y(k) = X(k)H(k)

y(n)

DFTN

h(n)

H(k)

§ Tín hiệu nhập dài: chia nhỏ x(n) thành từng block

có độ dài cố định “Overlap-Save “Overlap-Add

§ Giả thiết

“Bộ lọc cóh(n): chi ều dài M “T/h nhập x(n): được chia nhỏ thành từng block cóchi ều

dài L >> M

24 Lọctuy ến tính –Overlap-Save Lọctuy ến tính –Overlap-Save

§ DFTN vàIDFT N với N = L+M–1 § Mỗi block dữ liệu được xử lý bao gồm (M – 1) điểm của block trước và L

điểm mới của t/h nhập “ M-1 điểm của block đầu tiên được set bằng 0

§ Đáp ứng xung của bộ lọc được đệm thêm (L –1) s ố 0 để tăng chiều dài

lên N “ DFT của N điểm của h(n) được tính một lần duy nhất

Input

M-1 L L L

M-1 L

M-1 L Add M-1 zeros x1(n) x2(n) x3(n)

M-1 L Output

M-1 L

M-1 L Discard

25 Lọctuy ếntính –Overlap-Add Lọctuy ếntính –Overlap-Add

§ Đệm thêm (M-1) số 0 vào mỗi block dữ liệu đầu

vào

Input

zeros L M-1

L M-1

L M-1 x1(n) x2(n) x3(n)

L Output

M-1 +

L M-1

Phươngpháphi ệuqu ả hơndùng để xác định bộ lọctuy ếntính

đượctrìnhbàytrongch ương 6

26 DFT –Phântích t ần số DFT –Phântích t ần số

§ T/h ngắn

§ T/h dài

“ TínhDFT t ừ x(n)

“ Cửa sổ hoá

x(n): t/h cầnphântích Giới hạnchi ềudàichu ỗi mộtkho ảngL m ẫu (cid:219) Nhân chuỗi với cửa sổ chiềudài L

Hàm cửa sổ cóchi ềudàiL chỉ phânbi ệt được nếucác t ần số cáchnhau ítnh ất một đoạn

pw 2=D L

xw(n) = x(n)w(n) w(n): hàm cửa sổ

cos

Ln -££

2 p 1 L -

)( nw

otherwise

0 Ln -££ otherwise

1 (cid:236) 2 (cid:237) 0 (cid:238)

1 (cid:236) (cid:237) 0 (cid:238)

Cửa sổ chữ nhật Cửa sổ Hanning

27 DFT –Phântích t ần số DFT –Phântích t ần số

§ Ví dụ

)( nx

cos

)( nw

n w + 1

w 2

^ X

)

1 (cid:236) (cid:237) 0 (cid:238) )

( w

[ W

0 Ln -££ otherwise ])

( - ww 1

( - ww 2

( + ww 1

( + ww 2

1 2

L=25

L=50

ω1 = 0.2π ω2 = 0.22π

L=75

L=100

Rò rỉ côngsu ất

28

Chương 66 Chương

BK TP.HCM

BIẾN ĐỔI FOURIER BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT) NHANH (FFT)

T.S. Đinh Đức Anh Vũ

Faculty of Computer Science and Engineering HCMC University of Technology 268, av. Ly Thuong Kiet, District 10, HoChiMinh city (08) 864-7256 (ext. 5843) Telephone : Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu

Nộidung Nộidung

TínhDFT & IDFT

Tínhtr ựcti ếp

Biến đổi WN

Chia-Trị

Lọctuy ếntính

Cơ số 2

Cơ số 4

Tách cơ số

Goertzel

Chirp-z

2 DFT & IDFT DFT & IDFT

§ Tính DFT: xác định chuỗi N giátr ị phức {X(k)} khi biết trước chuỗi

{x(n)} chiều dài N )

kX (

Wnx )

(

kn N

DFT

= (cid:229)

p2-= Nj e

0 N

1 -

nx )(

WkX )(

££

IDFT

- N

1 = (cid:229) N

§ Tính trực tiếp

cos(

(

)

[

(

)

sin(

)]

nx ( I

kn p N

(cid:229)

sin(

)

[

)

(

)

cos(

)]

kX ( I

nx ( I

kn p N

(cid:229)

“ N2 phép nhân phức “ N(N-1) phép cộng phức → Độ phức tạp: O(N 2)

§ Biến đổi WN

“ Giải thuật tính DFT cũng được áp dụng cho việc tính IDFT (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

Ñoái

xöùng

k W N

Giảithu ậttínhDFT t ối ưu mỗiphéptoán theonh ữngcáchkhácnhau 2/

Tuaàn

hoaøn

Nk + W N Nk + W N

k W N

“ 2N2 phép tính lượng giác “ 4N2 phép nhân số thực “ 4N(N-1) phép cộng số thực “ Một số phép toán chỉ số và địa chỉ để nạp x(n)

3 Phươngphápchia-tr ị Phươngphápchia-tr ị

§ Nguyên tắc: phân rã nhỏ việc tính DFT N điểm thành việc tính các DFT kích

thước nhỏ hơn → các giải thuật FFT

“ Giả sử N=L.M “ Lưu trữ x(n) vào mảng 2 chiều LxM (l: chỉ số hàng, m: chỉ số cột)

n →

…

N-1

x(0)

x(1)

x(2)

…

x(N-1)

…

M-1

x(0,0)

x(0,1)

…

x(0,M-1)

x(1,0)

x(1,1)

…

x(1,M-1)

“ Cách lưu trữ

x(2,0)

x(2,1)

…

x(2,M-1)

• Theo dòng n = Ml + m • Theo cột n = l + mL

…

L-1

x(L-1,0)

x(L-1,1)

x(L-1,M-1)

“ Tương tự, các giátr ị DFT X(k) tính được cũng sẽ được lưu trữ trong ma trận LxM

(p: chỉ số hàng, q: chỉ số cột)

• Theo dòng k = Mp + q • Theo cột k = p + qL

§ Phương pháp

4 Phươngphápchia-tr ị Phươngphápchia-tr ị

kX (

)

Wnx )

(

kn N

= (cid:229)

Với:

1 -

)(

)

qMp +

lmL +

qpX ( ),

(cid:229)(cid:229)

x(n) X(k)

: theo cột : theohàng

( NWmlx ,( ) W

Nmp N

)(

lmL

qMp +

) =+

( W N

mLq lq WWWW N N

MLmp N

Mpl N

mqL N

mq / LN

1 -

mq M W

Mpl N

pl / MN

pl L

)

),( qpX

lq N

mq ,( Wmlx M

(cid:229)

Ø Œ º

ø œ ß

(cid:236) W (cid:237) (cid:238)

(cid:252) lp W (cid:253) L (cid:254)

(1): TínhL DFT M điểm “Nhân phức : LM2 “Cộngph ức: LM(M-1)

(2): TínhG(l,q)

“Nhân phức: LM

(3): TínhX(p,q)

1 DFT M điểm F(l,q)

“Nhân phức: ML2 “Cộngph ức: ML(L-1)

Ł Độ phức tạp

2 G(l,q)

“Nhân phức: N(M+L+1) “Cộngph ức: N(M+L-2)

DFT L điểm X(p,q)

5 Phươngphápchia-tr ị Phươngphápchia-tr ị

§ Hiệu quả

PP chia-trị • Nhânph ức: N(M+L+1) • Cộngph ức: N(M+L-2) PP tínhtr ựcti ếp • Nhânph ức: N 2 • Cộngph ức: N(N-1)

N=1000 ﬁ L=2, M=500 106 nhân phức ﬁ 503,000 (~ N/2) N= r1r2r3…rv

“ Phân rã nhỏ hơn đến (v-1) lần

§ PP chia-trị rất hiệu quả khi

n = Ml + m k = qL+ p

n = l + mL k = Mp + q

§ Giải thuật

Giảithu ật 2

Giảithu ật 1

Lưutr ữ t/htheohàng

Lưutr ữ t/htheo c ột

1. 2. TínhDFT L điểm của mỗi cột 3. Nhânma tr ận kếtqu ả với hệ số pha WN 4. TínhDFT M điểm của mỗihàng 5. Đọcma tr ận kếtqu ả theo cột

1. 2. TínhDFT M điểm của mỗihàng 3. Nhânma tr ận kếtqu ả với hệ số pha WN 4. TínhDFT L điểm của mỗi cột 5. Đọcma tr ận kếtqu ả theohàng

6 Phươngphápchia-tr ị Phươngphápchia-tr ị

lq W6

x(4)

X(2)

x(5)

X(5)

x(2)

X(1)

T 3 điể

F D

x(3)

X(4)

x(0)

X(0)

m ể đ

x(1)

X(3)

2 T F D

§ Mô hình tính toán DFT 6 điểm thông qua việc tính DFT 3 điểm và DFT 2 điểm

“ Nếu N = r1r2r3…rv = rv → mô hình tính DFT có cấu trúc đều (chỉ dùng 1 DFT r điểm) “ r = 2 → FFT cơ số 2 “ Chọn M = N/2 và L = 2

x(N-1)

x(0)

x(1)

x(2)

…

m=0

m=1

m=M-1

Giảithu ật chiatheoth ờigian

l=0

x(N-2)

x(0)

x(2)

…

n= 0,1, …, N/2-1

f1(2n) f2(2n+1)

l=1

x(N-1)

x(1)

x(3)

…

§ Giải thuật tính FFT cơ số 2

7 FFT cơ số 2 FFT cơ số 2

kX (

)

Wnx )

(

,...,1,0

kn N

(cid:229)

Wnx )

(

Wnx )

(

kn N

(cid:229)

even

old

(

1)2/

(

1)2/

- Wmx )2(

- mx 2(

2 N

mk 2( N

(cid:229)

2 N WW =

(

1)2/ -

kX )(

(

)

(

Wmf ) 1

km N 2/

k N

Wmf 2

km N 2/

(cid:229)

m 0 = ,...,1,0 =

m 0 = kFWkF )( )( 1

k N

)

,...,1,0

‹

mf ( 1

kF )( 1

(cid:190)(cid:190)(cid:190) ﬁ DFT N

)

,...,1,0

‹

mf ( 2

kF )( 2

(cid:190)(cid:190)(cid:190) ﬁ DFT

)(

,..,1,0

)( kX

)( kFWkF + 1

k N

N 2

Nk + N

k N

)

)(

,..,1,0

( kX

)( kFWkF - 1

k N

N 2

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

F1(k), F2(k) tuầnhoàn chu kỳ N/2 F1(k+ N/2) = F1(k) F2(k+ N/2) = F2(k)

8 FFT cơ số 2 FFT cơ số 2

,..,1,0

)( kF 1

N 2

)(

,..,1,0

k N

N 2

)( kG (cid:236) (cid:239) 1 (cid:237) )( kFWkG = (cid:239)(cid:238)

X(k)

G1(k)

DFT2

X(k+ N/2)

G2(k)

k=0,1,…,(N/2-1)

)(

,...,1,0

N 2

kX (

)(

)

,...,1,0

kGkGkX )( 1 =

2 kGkG )( -

N 2

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

(N/2-1)

X(N/2-1)

F 1

DFT 2 điểm

(N/2-1) (N/2-1)

N/2-1 N

x(N-2) x(N-2)

F 2

x(4)

X(N-1)

(1)

X(1)

(0)G

DFT 2 điểm

X(0)

x(4)

(0) F 1

DFT 2 điểm

1 N

(2) (1) F 1 F 1 (2) (1) F 2 F 2

DFT 2 điểm

(0)

D F T N / 2 điể m D F T N / 2 điể m

0 N

x(0)x(2) x(1)x(3)

(0) F 2

X(N/2)X(N/2+1)

9 FFT cơ số 2 FFT cơ số 2

(

)

,...,1,0

)2( n

N 4

,...,1,0

)

(

1 f

N 4

,...,1,0

(

)

)2( n

N 4

,...,1,0

(

)

N 4

§ Tiếp tục phân f1(n) và f2(n) thành các chuỗi N/4 điểm (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

kVWkV

)

(

)

(

,...,1,0

k N

kF ( 1

N 4

kVWkV

(

)

,...,1,0

kF ( 1

k N

N 4

)

(

)

,...,1,0

VWkV +

N 4 =

kF ( 2

k N

N 4

(

)

(

)

,...,1,0

VWkV -

kF ( 2

k N

N 4

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) + = (cid:238) § Hiệu quả

Vij(k) vij(n) DFT N/4 điểm

Nhânph ức: N2 Cộngph ức: N2 – N

Nhânph ức: (N/2)log2N Cộngph ức: Nlog2N

DFT trựcti ếpN=2 v điểm CácDFT 2 điểm FFT cơ số 2

10 FFT cơ số 2 FFT cơ số 2

§ Ví dụ: tínhDFT 8 điểm

x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)

x(0) x(2) x(4) x(6)

x(1) x(3) x(5) x(7)

[0,1,2,3,4,5,6,7]

P h â n t h e o t h ờ

i

x(0) x(4)

g i a n

x(2) x(6) [0,2,4,6] [1,3,5,7]

x(1) x(5)

[0,4] [2,6] [1,5] [3,7] x(3) x(7)

11 FFT cơ số 2 FFT cơ số 2

x(0) X(0)

x(4) X(1)

0 8W

-1

0 8W

x(2) X(2) -1

0 8W

2 8W

x(6) X(3) -1 -1

x(1) X(4)

0 8W

-1

0 8W

1 8W

x(5) X(5) -1 -1

x(3) X(6)

2 8W

0 8W

-1 -1

x(7) X(7)

2 8W

0 8W

3 8W

-1 -1 -1

12 FFT cơ số 2 FFT cơ số 2

§ Khốitínhtoán c ơ bảnchoDFT 2 điểm(hìnhcon b ướm)

a A = a+WN’b Độ phức tạp

•1 nhânph ức •2 c ộngph ức b B = a–WN’b

–1 W N’

N= 2v:

+ Log2N + N/2 : tầngtínhtoán : khốitínhtoán c ơ bảncho m ỗi lớp

Bộ nhớ:

: (a,b) – số phức + Vào + Ra : (A,B) – số phức + Cóth ể lưu(A,B) đèlên(a,b)

Ł Chỉ cầnN ô nh ớ phức(2N ô nh ớ thực) Ł Tínhtoán t ạich ỗ

13 FFT cơ số 2 FFT cơ số 2

§ Thứ tự chuỗi dữ liệu vào sau khi phân (v-1) lần

“ Biểu diễn các chỉ số ở dạng nhị phân “ Chuỗi sau khi phân chia sẽ là lấy theo thứ tự đảo các bit

Bộ nhớ

Phân Phân chia chia Phân Phân chia chia Địa chỉ Địa chỉ Địa chỉ

000 000 000 x(0) x(0) x(0)

001 010 100 x(1) x(2) x(4)

010 100 010 x(2) x(4) x(2)

011 110 x(3) x(6) x(6) 110

x(4) 100 x(1) 001 x(1) 001

x(5) 101 x(3) 011 x(5) 101

110 101 011 x(6) x(5) x(3)

111 111 111 x(7) x(7) x(7)

14 FFT cơ số 2 FFT cơ số 2

§ Phân chiatheo t ần số “ Phương phápchiavàtr “ M = 2, L = N/2 “ Chuỗi dữ liệunh ập được sắp xếptheo c ột “ Phân chiaX(k) thànhX(2k) vàX(2k+1) “ Sau đócóth ể phânchiati ếp tục mỗiX(kch ẵn) vàX(k l ẻ)

x(0)

X(0)

ị

x(1)

X(2)

DFT 4 điểm

x(2)

X(4)

a A = (a+b) WN’

x(3)

X(6)

x(4)

X(1)

-1

x(5)

X(3)

-1

DFT 4 điểm

X(5)

x(6)

-1

x(7)

X(7)

-1

0 8W 1 8W 2 8W 3 8W

b B = (a–b)WN’ –1 W N’

15 FFT cơ số 4 FFT cơ số 4

N = 4v

x(0) x(2) x(4) … … … x(N-1)

L = 4, M = N/4 l,p= 0,1,2,3 m,q= 0,1,…,N/4 – 1 n = 4m + l k = (N/4)p + q

m=0 m=1 m=(N/4)-1

l=0 x(4n) x(0) x(4) … … x(N-4)

l=1 x(1) x(5) … … x(N-3) x(4n+1)

n = 0,1,…,N/4-1

x(2) x(6) … … x(N-2) x(4n+2) l=2

x(3) x(7) … … x(N-1) x(4n+3) l=3

16 FFT cơ số 4 FFT cơ số 4

)

( qpX

Wmlx

mq M

lp L

lq N

(cid:229)

ø œ ß

(cid:252) W (cid:253) (cid:254)

(cid:236) W (cid:237) (cid:238)

3,2,1,0

( ), qpX

Ø Œ º ] [ ),( pWqlFW

lp 4

lq N

(cid:229)

3,2,1,0

)

),( qlF

,( Wmlx

mq N 4/

(cid:229)

,..,1,0

(

N 4

l (cid:236) (cid:237) (cid:238)

)

,( lmxmlx = +

(

)

),( qpX

qp +

N 4

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

,0(

)

,0(

)

,1(

)

qFW

,1(

)

,2(

)

- 1

,2(

)

,3(

)

- j

,3(

)

Ø Œ Œ Œ Œ º

ø œ œ œ œ ß

1 Ø Œ 1 Œ Œ 1 Œ 1 º

ø œ œ œ œ ß

ø œ œ œ œ œ ß

0 Ø FW N Œ q Œ N Œ 2 q FW N Œ 3 q FW Œ º N

DFT N/4 điểm

17 FFT cơ số 4 FFT cơ số 4

0 NW

-j -1

q NW

-1 1

-1

NW 2

j -1

-j

NW 3

Dạngrút g ọn

18 FFT cơ số 4 FFT cơ số 4

Độ phức tạp:1 kh ốitínhtoán c ần

+ 3 nhânph ức + 12 cộngph ức

N=4v

+ Tầngtínhtoán + Mỗi tầngcó : v = log4N : N/4 khốitínhtoán

: Nhânph ức : Cộngph ức 3vN/4 = (3N/8)log2N 12vN/4 = (3N/2)log2N (giảm25% vsFFT 2) (tăng50% vsFFT 2)

,0(

)

,0(

)

,1(

)

,0(

)

- 0

,2(

)

- 0

,0(

)

,3(

)

- 0

,0(

)

ø œ œ œ œ 1 ß

Ø Œ Œ Œ Œ º

ø œ œ œ œ ß

Ø Œ Œ Œ Œ º

ø œ œ œ œ ß

Ø Œ Œ Œ Œ º

ø œ œ œ œ œ ß

0 Ø FW N Œ q FW Œ N Œ 2 q FW N Œ q 3 FW Œ º N

Biểudi ễn lạinhânma tr ận

: Nhânph ức : Cộngph ức (3N/8)log2N Nlog2N (giảm25% vsFFT 2) (bằngFFT 2)

19 Hiệnth ựccácgi ảithu ậtFFT Hiệnth ựccácgi ảithu ậtFFT

§ FFT cơ số 2

k: đượctính m ột lầnvà l ưutrong b ảng

• 4N nếumu ốn đơngi ảnhóacáctác v ụ chỉ số và điềukhi ển; đồngth ờichophép

chuỗinh ậpvàxu ấttheo đúngth ứ tự

1 -

§ IDFT

nx )(

WkX )(

££

- N

1 = (cid:229) N

“ Tínhtoánhình b ướm: (N/2)log2N lần “ Hệ số quay WN “ Bộ nhớ: 2N nếumu ốnvi ệctínhtoán đượcth ựchi ện tạich ỗ

“ Khácnhau c ơ bảngi ữavi ệctínhDFT vàIDFT là h ệ số 1/N và dấu của hệ số

• Đảochi ều sơđồ tínhDFT, đổi dấu hệ số pha, vàchia k ếtqu ả cuốicùngchoN ﬁ

IDFT

§ DFT với số điểmkhác 2 v hoặc 4v ﬁ đệmthêmcác s ố 0 § Độ phức tạp

pha WN

“ Tác vụ số học(nhânph ức, cộngph ức) “ Cấutrúchi ệnth ực củagi ảithu ật(qui t ắcvs b ấtqui t ắc) “ Kiếntrúc c ủacác b ộ DSPs(x ử lýsong songcáctác v ụ)

20 Ứng dụng củacácgi ảithu ậtFFT Ứng dụng củacácgi ảithu ậtFFT

§ TínhDFT c ủa2 chu ỗith ực

0 ≤ n ≤ N – 1

(tínhtuy ếntính c ủaDFT)

“ x1(n) và x2(n): chuỗith ực độ dàiN c ầntínhDFT “ Địnhngh ĩachu ỗix(n) = x 1(n) + jx2(n) “ X(k) = X1(k) + jX2(k)

)( nx

* )( nx

DFT

)( nx 1

[ nx )(

]

{ DFT

[ * nx )(

] }

kX )( 1

)( nx

DFT

[ nx )(

]

{ DFT

[ * nx

] })(

kX )( 2

)( nx 2

+ 2 - 2

* )( nx j

kNX

(

1 2

* nx )(

kNX

(

)

NDFT (cid:190)(cid:190) ﬁ‹

kNX

(

1 2 1 2 [ kX )( [ kX )(

] ) ])

kX )( 1 kX )( 2

1 2

21 Ứng dụng củacácgi ảithu ậtFFT Ứng dụng củacácgi ảithu ậtFFT

§ TínhDFT c ủachu ỗith ực2N điểm

0 ≤ n ≤ N-1 0 ≤ n ≤ N-1

)

kNX

(

kX ( 1

1 2

)

kNX

(

[ kX ( [ kX (

] ) ])

kX ( 2

1 2

1 -

kG )(

)2(

Wn )1 +

2 nk N 2

2( N 2

(cid:229)

1 -

Wnx )( 1

nk N

k N 2

Wnx )( 2

nk N

(cid:229)

kG )(

kXWkX )(

)(

,1,0

k N 2

(

)

)(

,1,0

)( kXWkX

NkG +

k 2 N

(tínhtuy ếntính c ủaDFT) “ g(n): chuỗith ực độ dài2N c ầntínhDFT “ Táchthành2 chu ỗi x1(n) = g(2n) và x2(n) = g(2n+1) “ Địnhngh ĩachu ỗix(n) = x 1(n) + jx2(n) “ X(k) = X1(k) + jX2(k)

22 Ứng dụng củacácgi ảithu ậtFFT Ứng dụng củacácgi ảithu ậtFFT

§ Lọctuy ếntínhcácchu ỗi dữ liệudài

§ Phương pháp

DFT + FFT “ Overlap-add “ Overlap-save

(Giảithu ậtFFT suygi ảmtheo t ần số)

“ h(n) – Đáp ứngxung đơn vị của bộ lọc(chi ềudàiM) • Được đệmthêmL-1 s ố khôngsaochoN = L + M –1 = 2 • H(k): DFT N điểm củah(n), theoth ứ tựđả o nếuh(n) được sắptheoth ứ tự thuận

• Được đệmthêmM–1 điểm(giátr ị tùytheoPP l ọc đượcdùng) • Xm(k): DFT N điểm của xm(n), cũngtheoth ứ tựđả o(Gi ảithu ậtFFT suygi ảm

theo tần số)

“ xm(n) –kh ối dữ liệuchi ềudàiL ( đã đượcphân c ắt)

• H(k) và Xm(k) cùngcóth ứ tựđả o → Ym(k) theoth ứ tự đảo • ym(n) = IDFTN{Ym(k)} sẽ đúngtheoth ứ tự thuận nếudùnggi ảithu ậtFFT suy

giảmtheoth ờigian

“ Ym(k) = H(k)Xm(k)

§ Tính tươngquan(t ương tự)

“ Không cầnthi ết đảo vị trícác d ữ liệutrongvi ệctínhDFT vàIDFT

23 Phương pháp lọc tuyến tính Phương pháp lọc tuyến tính

§ FFT khônghi ệuqu ả khitínhDFT (IDFT) t ại một số điểm(< log 2N) →

tínhtr ựcti ếp § Giảithu ậtGoertzel

k vàbi ểudi ễnvi ệctínhtoánDFT nh ư lọctuy ến

“ Dựavàotínhchu k ỳ của WN

1 -

mNk

(

)

WkX

)(

Wmx )

(

Wmx )

(

- N

km N

- N

(cid:229)

1 -

zH )( k

1 -

(

)

mnk -

1 k -- zW N

nyĐăt )(

Wmx )

(

*)(

- N

nh )( k

(cid:229)

đơn vị

vói

nuWnh )(

)(

- N

Mộtpole trênvòngtròn tại tần số ωk=2πk/N

kX )(

(cid:222)

k ny )( k

Nn =

Thayvìtính t ổngch ậptr ựcti ếp, tacóth ể dùngPTSP

ViệctínhDFT t ại một điểmk cóth ể đượcth ựchi ện bằngcáchchot/h đivào b ộ cộng hưởng mộtpole tại tần số ωk=2πk/N

)(

(

)1 +-

0)1( =-

nyWny k

- N

tính

24 Giảithu ậtGoertzel Giảithu ậtGoertzel

zH )( k

1 -

1 cos(

21 -

cos

)( nx

,...,1,0

§ Kết hợp từng cặpcác b ộ cộng hưởngcópole liên h ợpph ức k - zW - N 2 zNk ) / p

)( nv k

( nv k

nvWnv

)(

(

2p k N -

)( ny k

k N

Nn = vk(n)

§ Hiệnth ực bằng dạngchu ẩn tắc(d ạngII) ( nv k

“ Với đ/k đầu v )1( =-

0)2( =-

+ + x(n) yk(n) – Z–1

cos(

)

kp 2 N

k nW

v k vk(n) được lặp lạichon = 0, 1, …, N “ Mỗivòng c ần1 phépnhânth ực yk(n) đượctínhduynh ất một lầnchon = N

§ Z–1

–1

§ Nếux(n) làt/hth ực, cầnN+1 phépnhânth ực để tínhX(k) vàX(N-k) {do tính

đối xứng}

§ Giảithu ậtGoertzelch ỉ thích hợpkhi s ố giátr ị DFT cầntínhkhánh ỏ (≤ log2N)

25 Giảithu ật BĐ Chirp-z Giảithu ật BĐ Chirp-z

§ DFT N điểm~ X(z k) với zk = ej2πkn/N , k=0,1,…,N-1 (các điểmcách đềutrên

)

,...,1,0

( zX

( znx

vòngtròn đơn vị)

- k

= (cid:229)

§ BĐ Z củax(n) t ạicác điểm zk

)

[

(

)

]

1,0

,...,

( zX

rnx

= (cid:229)

“ ViệctínhDFT cóth ểđượ cth ựchi ện bằnggi ảithu ậtFFT chochu ỗix(n)r -n

j q 0

j f 0

§ Nếu zk = rej2πkn/N (zk là N điểmcách đềunhautrênvòngtrònbkr)

)

(

qjer 0 L , K

eR 0

er = 0 Im(z)

Im(z)

z = § Tổngquát, z k nằmtrêncungxo ắn ốc bắt đầu từ điểm 0 z k ,1,0 = Im(z)

Im(z)

Vòngtròn đơn vị

θ0

Re(z)

hoặc đira g ốc tạa độ) (đivào 1

R0 < 1 R0 > 1

R0 = 1, r0 < 1 Φ0 = θ0 = 0 R0 = r0 = 1 Φ0 = θ0 = 0

26 Giảithu ật BĐ Chirp-z Giảithu ật BĐ Chirp-z

)

,1,0

( zX

)( ky )( kh j f 0

eRV = 0

)( nh

j q 0

)

)( ng

( )( ernx 0

1 -

()(

)

,1,0

)( ky

nkhng

(cid:229)

( nj

)2/

nj w

nj f 0

f 0

)( nh

1 (cid:222)=

”

R 0

2/0fw n=

BĐ chirp-z

Tần số củat/h m ũ phứch(n), t ăngtuy ếntínhtheoth ờigian → h(n): chirp signal

27 Giảithu ật BĐ Chirp-z Giảithu ật BĐ Chirp-z

“ N-1 điểm đầulàcác điểm lặp lại “ M-(N-1) điểmcòn l ạich ứa kếtqu ả

1 -

ky )(

nkhng

()(

)

,1,0

= (cid:229)

§ Xác định tổngch ậpvòng c ủachu ỗig(n) N điểmvàchu ỗih(n) M điểm(M > N)

0 = § Giả sử M = L + (N-1) § M điểm củachu ỗih(n) đượcxác định–(N–1) ≤ n ≤ (L–1) § Địnhngh ĩachu ỗiM điểm h1(n) = h(n–N+1) § H1(k) = DFTM{h1(n)} § G(k) = DFTM{g(n)} (saukhi đã đệmthêmvàog(n) L-1 s ố 0) § Y1(k) = G(k)H(k) ﬁ y1(n) = IDFT{Y1(k)} n = 0,1,…,M–1 § N-1 điểm đầutiên c ủa y1(n) làcác điểm lặp ﬁ loại bỏ chúng § Các điểm kếtqu ả làgiátr ị của y1(n) khiN-1 ≤ n ≤ M–1

“ y(n) = y1(n+N-1)

n = 0,1,…,L-1 k = 0,1,…,L-1

n = 0,1,…,M–1

§ X(zk)= y(k)/h(k)

28

Chương 77 Chương

BK TP.HCM

HIỆN THỰC CÁC HỆ HIỆN THỰC CÁC HỆ RỜI RẠC THỜI GIAN RỜI RẠC THỜI GIAN

T.S. Đinh Đức Anh Vũ

Faculty of Computer Science and Engineering HCMC University of Technology 268, av. Ly Thuong Kiet, District 10, HoChiMinh city (08) 864-7256 (ext. 5843) Telephone : Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu

Nội dung Nội dung

Cấu trúc hiện thực cho hệ FIR

“ Cấu trúc trực tiếp “ Cấu trúc cascade “ Cấu trúc lấy mẫu tần số “ Cấu trúc lattice

Cấu trúc hiện thực cho hệ IIR

“ Cấu trúc trực tiếp “ Cấu trúc hoán vị “ Cấu trúc cascade “ Cấu trúc song song “ Cấu trúc lattice vàlattice-lader

Không gian trạng thái

“ Mô tả không gian trạng thái bằng PTSP “ Giải PT không gian trạng thái “ Mô tả vào-ra vs mô tả không gian trạng thái “ Không gian trạng thái trong miền Z PP biểu diễn số (SV tự tham khảo) Lượng tử hóa các hệ số của bộ lọc

§ §

“ Phân tích độ nhạy của việc lượng tử hóa các hệ số “ Lượng tử hóa các hệ số của bộ lọc FIR § Hiệu ứng làm tròn trong các bộ lọc số

2 Cấutrúchi ệnth ựccho h ệ FIR Cấutrúchi ệnth ựccho h ệ FIR

)( ny

( knya

)

( knxb k

(cid:229)

“ PTSP “ Sơđồ khối(c ấutrúctínhtoán) “ Sơđồ các điểm cực/điểmkhông

zb k

(cid:229)

§ Các dạngmô t ả h/t

)( zH

0 N

za k

(cid:229)

“ Độ phức tạptínhtoán “ Bộ nhớ “ Sai số tínhtoán “ Cấutrúchi ệnth ực: song song/pipeline

§ Hiệnth ực (cid:219) sắp xếp lạiPTSP § Sự cầnthi ết củavi ệc sắp xếp lạicácPT

££

zH )(

k zb

nh )(

(cid:229)

otherwise

b (cid:236) n (cid:237) 0 (cid:238)

1 -

ny )(

knxkh

()(

)

ak = 0 § Hệ FIR

knxb ( k

(cid:229)

ak = 0

3 FIR – Cấutrúctr ựcti ếp FIR – Cấutrúctr ựcti ếp

1 -

ny )(

nxkh ()(

)

nxb ( k

(cid:229)

§ Tham số đặc trưng cho bộ lọc: giátr ị của đáp ứng xung

x(n)

Z–1

h(0)

h(1)

h(2)

h(3)

h(M–2)

h(M–1)

y(n)

+

M –1 (ô nh ớ)

“ Nhân: “ Cộng:

Transversal filter Tapped-delay-line filter

“ Phải đi qua (M –1) ô nh ớ “ Cần thời gian: (M –1)T s (s), Ts: chu kỳ mẫu

§ Bộ nhớ: § Độ phức tạp (cho 1 mẫu của y(n)) M M – 1 § Để 1 mẫu của x(n) đi qua khỏi hệ FIR

4 FIR – Cấutrúctr ựcti ếp FIR – Cấutrúctr ựcti ếp

§ Khi h(n) đối xứng: h(n) = ±h(M–1–n) → FIR làtuy ến tính pha § Sắp xếp lại (với M lẻ) x(n)

Z–1

+

Z–1

h([M–3]/2)

h([M–1]/2)

h(0)

h(1)

h(2)

y(n)

+

M/2 (M –1)/2

“ M chẵn: “ M lẻ:

§ Số phép nhân

5 FIR – CấutrúcCascade FIR – CấutrúcCascade

1 -

zH )(

kzkh - )(

(cid:229)

)( zH

)( zH k

(cid:213)

1 =

1 -

k đó

trong

,2,1

)( zH k

b k

zb 1 k

zb 2 k

: bộ lọc bậc 2

Mỗi hệ: Hk(z) k=1,2,…,K xk(n)

Z–1

K = [(M+1)/2] = (M+1) DIV 2 Hk(z) Hk(z) = bk0z-2(z-z1)(z-z2) z1, z2: hai điểmzero Thườngch ọn z1 và z2 làhai s ố liên hợp phức để các hệ số bộ lọclà s ố thực

bk0

bk1

bk2

yk(n)

Phântích thừa số

+

6 FIR – CấutrúcCascade FIR – CấutrúcCascade

y(n)

x(n)

H1(z)

H2(z)

HK(z)

§ Tíchcác H k(z) tương đương cấutrúccascade

x1(n) x2(n) xk(n)

“ Các điểm zero của H(z) cũng có dạng đối xứng

§ Khih(n) th ựcvà đối xứng: h(n) = ±h(M–1–n) → FIR làtuy ếntínhpha

x(n)

Z–1

Nếucóhaizero zk và z*k [đ/k để h(n) thực] thì cũngcó 1/zk và 1/z*k

+

1 -

1)(

)

(1)( -

zH )( k

* zz k

* k

Z–1

1 -

Với4 điểmzero đó, gộphai h ệ bậc2 n ốiti ếp thành hệ bậc 4

ck0

ck1

1 - zz k +

zc k 2

zc k 1

zc k 0

zz k zc k 1

ck2 y(n)

+

Giảm50% s ố phépnhân (giảm từ 6 xuống3)

ck1 và ck2 làhàm c ủa zk

7 FIR – Cấutrúc l ấy mẫu tần số FIR – Cấutrúc l ấy mẫu tần số

§ Tham số đặc trưng cho bộ lọc: giátr ị của đáp ứng tần số

1 -

h(n)

nj w

enh )(

,1,0

( ) w

F

(

)

H(ω)

,1,0

k leûM

2 p M k

M - 2

Lấy mẫu tại

,1,0

chaün

M 2

H(k+α)

1 2

1 -

(

)

2 p M

= (cid:229) n 0 w = (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) a (cid:238) H (

(

kH (

)

))

enh )(

2 p M

(cid:229)

Mẫu tần số củaH( ω)

,1,0

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

α = 0

1 -

(

)

2 p j M

nh )(

kH (

)

H(k) làDFT M điểm của h(n)

α = 0

k 0 = M

1 = (cid:229) M K

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

h(n) làIDFT M điểm của H(k)

8 FIR – Cấutrúc l ấy mẫu tần số FIR – Cấutrúc l ấy mẫu tần số

1 -

zH )(

znh )(

(cid:229)

1 -

(

)

(

)

a +

1 -

2 p M

kH (

)

(

) a

1 M

(cid:229)

Ø (cid:229) (cid:229) Œ º

ø œ ß

Ø Œ º

ø œ ß

2 pa

1 -

jM e

zH )(

H(z)

kH ( j

) a + k ( ) + a

(cid:229)

1 -

2 p M

2 pa

jM e

)

zH )( 1

1 M

1 -

H1(z)

H2(z)

zH )( 2

kH ( j

) + a k ( ) + a

(cid:229)

1 -

2 p M

9 FIR – Cấutrúc l ấy mẫu tần số FIR – Cấutrúc l ấy mẫu tần số

)

pajM e

-- z

)( zH 1

1 M

+

1 M

)

§ Hệ H1(z) “ Bậc M “ CóM điểmzero (2 ap k + e = M

Z–M

k = 1 M -

pa2je-

§ Hệ H2(z)

)( zH 2

,1,0 K ( kH j

M , - ) a + ) ( k + a

(cid:229)

1 -

Hệ H1(z)

2 p M

“ Tổng củaM h ệ H2k(z) (k =1,2,…,M) “ Cấutrúc g ồmM h ệ mắcsong song: H 21(z), H22(z),…, H2M(z) “ Mỗi hệ H2k(z) có tần số cộng hưởng (điểm cực)

)

(2 ap k + M

,1,0

H21(z)

( a+kH )

H22(z)

+

Hệ H2k(z) +

Z–1

Mje

Hệ H2(z)

H2M(z)

10 FIR – Cấutrúc l ấy mẫu tần số FIR – Cấutrúc l ấy mẫu tần số

“ Hầu hếtcácH( ω) ~ 0. CácH(k+ α) tương ứng cũng~ 0 ﬁ cóth ể bỏ qua một số hệ

H2k(z) (cid:222) Giảm được số phéptính

§ KhiLTI là b ộ lọcthông h ẹp(narrowband)

• Nhóm 2 hệ H2k(z) mộtpole thành m ột hệ có2 pole v ới các tham số thực • Khi α = 0 (tương tự khi α = ½)

§ H(k+α) là mộthàm đối xứng “ H(k+α) = H*(M –k – α) “ Cóth ể rút gọn hơn H2(z)

1 -

M 1 - 2

zH )( 2

(cid:229)

kA )( cos(

)0( 1 - z

21 -

H 1 -

1 =

zkB )( - 1 - 2 p ) zk M

M lẻ

1 -

M 2

zH )( 2

(cid:229)

)0( 1 - z

M ) 2 1 - z

kA )( cos(

21 -

H 1 -

H ( 1 +

1 =

(

)( kA

kMHkH

)

zkB )( - 1 - 2 p ) zk M )( +

/ Mk

2 p

)( kB

)( ekH

(

) ekMH -

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

M chẵn

11 FIR – CấutrúcLattice FIR – CấutrúcLattice

“ Dự đoán mẫu: x(n) từ M–1 mẫuquákh ứ: x(n–1), x(n–2), …, x(n–M)

^ ( nx

)

(

nxk

(

)

(cid:229)

“ Dự đoán mẫu: x(n–M) từ M–1 mẫu tươnglai: x(n), x(n–1), x(n–2), …, x(n–M+1)

(

)

(

nxk )

(

)

^ mnx -

(cid:229)

§ Trongnhi ều ứng dụng(x ử lýti ếngnói), c ầnthi ếtcó s ự dự đoán mẫutínhi ệu

(

)

(

zk )

)0(

zH m

zA ( m

0 1

)0(

)( k

2,1

,...,

(cid:229) k = =

)( khvà m

a m

ny )(

nx )(

^ nx )(

knxk ()(

)

ny )(

a m

§ Hệ LTI với

LTI: bộ lọc sai số dự đoán

k = 1)0( =

Z–1

Đáp ứngxung đơn vị = (cid:229)

x(n)

αm(1)

αm(2)

αm(3)

αm(M–1) αm(M)

y(n)

+

12 FIR – CấutrúcLattice FIR – CấutrúcLattice

+

x(n)

y(n)

Z–1

–

–αm(1) –αm(2) –αm(3) +

+

–αm(M–1) –αm(M) + +

§ Bộ lọcm = 1

f0(n) f1(n) = y(n) + K1 x(n) K1 “ y(n) = f1(n) = x(n) + α1(1)x(n–1) “ α1(1) = K1

Z-1 +

§ Bộ lọcm = 2

g0(n) g1(n) g0(n-1)

f0(n) f2(n) = y(n) + + “ y(n) = f2(n) = x(n) + α2(1)x(n–1) + α2(2)x(n–2) “ α2(1) = K1(1+K2) f1(n) “ α2(2) = K2 K1 K2 x(n) K1 K2

Z–1 Z–1 + +

g0(n) g0(n–1) g1(n) g1(n–1) g2(n)

13 FIR – CấutrúcLattice FIR – CấutrúcLattice

f1(n) f2(n) fM–2(n) fM–1(n) = y(n) f0(n)

x(n) Tầng 1 Tầng 2 Tầng(M–1)

g0(n) g2(n) gM–2(n) gM–1(n)

ng )( 0 f

(

1 -

fm–1(n) fm(n) = y(n) g1(n) nx )( + Km

)(

n )(

(

gKn )( + mm g +

nf )( 0 nf )( m 1 - fKng = mm

1 -

Z–1 +

zXzA )( )(

zF )( m

zA )( m

Km gm-1(n–1) gm(n)

zXzB )( )(

zB )( m

zG )( m

Hàmh/t c ủa bộ lọc dự đoánthu ận

)

(

zk )

(

)

zB ( m

Hàmh/t c ủa bộ lọc dự đoánngh ịch gm–1(n) zF )( m )( zX zG )( m zX )(

= (cid:229)

Bm(z): đath ức nghịch đảo của Am(z)

k )(

(

)

km -

zAz (

)

b m

=a m

zB )( m

với

14 FIR – CấutrúcLattice FIR – CấutrúcLattice

nx )(

nf )( 0

ng )( 0

)( zX

n )(

(

1 -

§ Quan hệ giữa hệ số bộ lọc dạng cấutrúclattice và h ệ số bộ lọc dạng cấutrúc

)( z

1 - GzK

)( z

m 1 - fK

n )(

(

n )(

mm g +

1 -

(

)( z

m 1 - Gz

m +

BĐ Z

)( zG 0 F 1 m - FK mm

trựcti ếp )( zF 0 )( zF m )( zG m

1)( =

/ X(z)

1 - BzK

z )(

1 -

1 K

K m 1

z )( z )(

zA )( m zB )( m

A m 1 - 1 - Bz m

1 -

Ø Œ º

ø œ ß

Ø Œ º

ø œ ß

Ø Œ º

ø =œ ß

1 - Bz

z )(

m +

zA )( 0 zA )( m zB )( m

zB 0 A m 1 - AK mm

1 -

(

)1 -

1 -

[

(

)]

zA )( m

A m

zKz )( + m

A m

1 -

(

zk )

(

zk )

(

zk )

1 --

1 -

(cid:229)

1)0( =

(

)

mk 1 - ££ M 2,1 ,..., =

1 (cid:236) (cid:237) m (cid:238)

k )(

(

)

km -

a m

a mm

1 -

a (cid:236) m (cid:239) a (cid:237) m (cid:239) a (cid:238) m

Tổng hợp

1 - 15

Cấutrúchi ệnth ựccho h ệ IIR - Cấutrúchi ệnth ựccho h ệ IIR - Cấutrúctr ựcti ếp Cấutrúctr ựcti ếp

§ Hệ IIR

zb k

(cid:229)

)( zH

)( ny

( knya

)

0 N

( knxb k

(cid:229)

za k

(cid:229)

“ H(z) gồm H1(z) cascade với H2(z)

)( zH 2

)( zH 1

k zb

(cid:229)

k za

(cid:229)

hệ toànzero (FIR) hệ toànpole

• H1(z) đặttr ước H2(z): cấutrúctr ựcti ếp dạng I • H2(z) đặttr ước H1(z): cấutrúctr ựcti ếp dạngII

16 IIR – Cấutrúctr ựcti ếp IIR – Cấutrúctr ựcti ếp

DạngII Dạng I

y(n) b0 x(n) y(n) x(n) b0 + + + +

z–1 z–1 z–1 –a1 b1 + + –a1 b1 + + z–1 –a2 b2 + + z–1 z–1

b2 –a2 + + –aM bM +

§ Nhược điểm(c ả 2 cấutrúc): khi l ượng tử hóacáctham s ố của bộ lọc vớiN l ớn, sai số nhỏ cũng dẫn đến sự thay đổi lớn vị trí điểmzero và điểmpole c ủah/t

–aN-1 bM-1 z–1 + + –aN-1 + z–1 z–1 –aN z–1 bM –aN

17 IIR – Cấutrúc đảo IIR – Cấutrúc đảo

§ Biểudi ễn sơđồ khối củah/t: bi ểu đồ dòngt/h 1 2 3 b0

“ Nhánh: có hướng “ Node: node cộng/node rẽ nhánh

x(n) y(n) z–1

–a1 b1 y(n) b0 x(n) 4 + +

z–1 Z–1 –a1 b1 –a2 b2 + +

1 -

Z–1 5 –a2 b2

)( zH

“ Cấutrúc đảocócùnghàmh/t

b zb + 0 1 1 - za 1 + 1

zb + 2 - za + 2 1

§ Địnhlý đảo

2 3 b0 y(n) x(n) b0 y(n) x(n) z–1 +

–a1 b1 4 b1 –a1 z–1 + z–1

–a2 b2 b2 –a2 z–1 + 5

18 IIR – Cấutrúccascade IIR – Cấutrúccascade

zH )(

[

]

zH )( k

N 1 + 2

zb k

(cid:229)

)( zH

2 -

1 -

0 N

zH )( k

za k

(cid:229)

= (cid:213) 1 k = b k 1

0 +

zb + k 1 1 - za k 1

zb + k 2 - za + k 2

ặpliên h ợpph ức § Các hệ số {aki} và{b ki} thực → gộpcáczero vàcácpole theo c

trongvi ệctách H k(z)

§ Hk(z) cóth ể hiệnth ựcdùng c ấutrúctr ựcti ếpho ặc cấutrúc đảo xK(n) x(n) = x1(n) H1(z) H2(z) HK(z) y(n) x2(n) y1(n)

y2(n) 1 bk0 xk(n) yk(n) = xk+1(n) + +

z–1

–ak1 bk1 + +

z–1

–ak2 bk2

19 IIR – Cấutrúcsong song IIR – Cấutrúcsong song

)( zH

zb k

(cid:229)

1 -

= (cid:229) C +

1 =

A k zp k

( zH

)

0 N

”

za k

b a

(cid:229)

§ Nếu pk phức, Ak cũngph ức → gộpcácpole liên h ợpph ức để tạocác h ệ số thực

KzH )(

[

]

zH )(

N + 2

)( zH k

= (cid:229) C + k 1 = b zb + k k 0 1 1 - za + k 1

1 1

+ H1(z)

za k 2 bk0

+ xk(n) yk(n) = xk+1(n) H2(z) + + x(n)

z–1

bk1 –ak1 + +

z–1 + HK(z) y(n) –ak2

20 IIR – CấutrúcLattice-Ladder IIR – CấutrúcLattice-Ladder

nx )(

knxka ()(

)

ny )(

knyka ()(

)

nx )(

-= (cid:229)

1 =

zH )(

1)(

zka )(

kA )( N

+= (cid:229)

1 kA )( N

zka )(

1 =

(cid:229)

1 =

x(n) « y(n)

Hệ FIR toànzero Hệ IIR toànpole

Hệ nàycóth ểđượ chi ệnth ực bằngcách đảovaitròngõnh ập/xuất

Cấutrúclattice c ủa hệ FIR toànzero x(n) = fN(n) y(n) = f0(n)

f0(n) f1(n) f2(n) fN-1(n) fN(n) = x(n)

Tầng 1

Tầng 2

Tầng N

+ –

z–1

y(n)

g0(n) gN-1(n) gN(n) g1(n) g2(n)

21 IIR – CấutrúcLattice-Ladder IIR – CấutrúcLattice-Ladder

§ Hệ lattice 1 pole (hệ IIR toànpole b ậc1) f1(n) x(n)

f0(n) = y(n)

+ –

§ Hệ lattice 2 pole (hệ IIR toànpole b ậc2)

+ Z–1 x(n) = f1(n) f0(n) = f1(n) – K1g0(n–1) g1(n) = K1f0(n) + g0(n–1) y(n) = f0(n) = – K1y(n–1) + x(n) g0(n) g1(n)

f1(n) f0(n) = y(n)

f2(n) x(n) + – + –

+ + Z–1 Z–1 g0(n) g1(n) g2(n)

y(n) = –K1(1+K2)y(n–1) – K2y(n–2) + x(n)

Hệ IIR 2 pole

g2(n) = K2y(n) + K1(1+K2)y(n–1) + y(n–2)

Hệ FIR 2 zero

22 IIR – CấutrúcLattice-Ladder IIR – CấutrúcLattice-Ladder

)( nw

)( nwk

(

)

)( nx

(

) zk

(cid:229)

1 =

)( zH

0 N

)( C z M )( zA N

(

) zk

)( ny

)( nwk

(

)

(cid:229)

w(n): hệ IIR toànpole – đượcth ựchi ện bằng cấutrúclattice y(n): hệ FIR toànzero – đượcth ựchi ện bằng cấutrúcladder tuy ếntính

)( ny

)( ngv mm

(cid:229)

§ Hệ IIR chứa cả pole vàzero

0 m = f0(n)

fN–1(n) f2(n) f1(n)

Tầng 1

Tầng 2

Tầng N

+ –

KN KN

x(n) fN(n)

z–1

g1(n) g0(n) gN(n) gN–1(n) g2(n)

vN vN–1 v2 v1 v0

y(n)

23 Khônggiantr ạngthái Khônggiantr ạngthái

§ Mô tả h/t

• Quan hệ giữangõxu ất, ngõnh ậpvàcáctr ạngtháibêntrong c ủa hệ

§ Mô tả khônggiantr ạngthái c ủa hệđặ ctr ưng bởiPTSP

“ Bằngquan h ệ vào-ra(mô t ả bênngoài) “ Bằngkhônggiantr ạngthái(mô t ả bêntrong)

“ Trạngthái c ủah/t t ại n0: thôngtin v ề h/t tại điểm n0, kết hợp vớingõnh ập

giúpxác địnhduynh ấtngõxu ất tạicác điểmsau đó(n ≥ n0)

ị ngõxu ất dựatrêngiátr

ị ngõnh ậpvà

• Phầncó b ộ nhớ:ch ứathôngtin v ề trạngthái c ủah/t • Phầnkhôngcó b ộ nhớ:tínhtoángiátr

trạngthái c ủah/t

“ H/t cóth ể xemnh ư bao gồm2 ph ần

T/h nhập T/h xuất

Tínhtoán

Trạngthái hiện tại củah/t Trạngthái kế tiếp củah/t

Bộ nhớ

24 Khônggiantr ạngthái–Mô t ả Khônggiantr ạngthái–Mô t ả

nFv )(

nqx )(

)( ny

( knya

)

( knxb k

(cid:229)

PT trạngthái nv )1 ( =+ PT ngõxu ất )( ny = 0

L M

M a

a 1

1 -

)( ndx 0 ø Ø œ Œ 0 Œ œ œ Œ Mq = Œ œ 0 œ Œ Œ œ ß º

nvg )(' ø œ œ œ œ œ œ ß

Ø Œ Œ Œ Œ Œ Œ º

F, q, g, d: hằng số khôngph ụ thuộcth ờigian ﬁ hệ LTI Ngược lại ﬁ hệ phụ thuộcth ờigian

b N

1 -

ab 0 ab 0 M

v(n+1) v(n)

- -

b 2 b 1

ab 20 ab 10

Ø Œ b Œ N Œ Œ Œ Œ º

ø œ œ œ œ œ œ ß

+ + q g’ z–1 y(n) x(n)

25 Khônggiantr ạngthái–Gi ảiPT Khônggiantr ạngthái–Gi ảiPT

nv (

)1 =+ ny )( =

nFv )( nqx )( + nvg ndx )( )(' +

1 -

nn -

1 --

nv )(

)

kqx )(

nv ( 0

nn ‡ 0

(cid:229)

nk =

Ma trận đườngchéochính(NxN)

Ma trậnchuy ểntr ạngthái

)

i (

)

0F ( i -F

”

‡

1 -

ny )(

()

(

)

(

)

kqx )(

ndx )(

-F=

n --F

nvnn 0 0

nn ‡ 0

(cid:229)

nk =

(

()

)

-F=

Đáp ứngkhôngngõnh ập nyzi )( g

nvnn 0 0

Đáp ứngxung đơn vị (n0 = 0; v(0) = 0; x(n) = δ(n) nh nqu )( (

n )(

(

-F=

d+-

Đáp ứngtr ạngtháikhông

1 -

(

)

kqx )(

ndx )(

n --F

ny )( zs

= (cid:229)

nk =

Đ/k đầuv(n 0)

26

ny )(

nvg )('

ndx )(

nFv )(

nqx )(

nv (

Khônggiantr ạngthái - Khônggiantr ạngthái - Phântíchtrongmi ền Z Phântíchtrongmi ền Z +

)1 =+

1 -

zY )(

g ('[

]

)

zXdqF )( +

zV )(

(

)

z )(

-1 dqF

zH )(

)

n =F )(

zY )( zX )(

BĐ Z BĐ Z

1 -

n zF

(

)

(

{ F

} n )(

(cid:229)

)( zH

dq +

1 -

) ( adj det(

zI zI

F F

) )

- -

(

)

zI zI

F F

adj ( det(

) )

- -

BĐ Z

Pole củah/t[nghi ệmPT det(zI–F) = 0] làeigenvalues c ủama tr ận F

27 Lượng tử hóacác h ệ số của bộ lọc Lượng tử hóacác h ệ số của bộ lọc

Biểudi ễn số (SV tự thamkh ảo)

§ § Hiệnth ực bộ lọcFIR vàIIR b ằngmáytính → phải lượng tử hóa các hệ số

“ Các hệ số biểudi ễnkhôngchínhxác → vị trí điểmzero và điểm cựckhôngnh ư mongmu ốn →

đáp ứng tần số của bộ lọc bị sai lệch

H

__ zb k

(cid:229)

zb k

(cid:229)

/ t v ớ

§ Ảnh hưởng củavi ệc lượng tử hóacác h ệ số bộ lọc a ó h ử

___ )( zH

)( zH

0 N

__ za k

(cid:229)

za k

(cid:229)

1 =

t g n ợ ư

1 =

__ a

,...,2,1

a D+

Δak, Δbk Sai số lượng tử

__ b

b k

b D+ k

i c á c h ệ s ố đ ư ợ c

1 -

l

1)(

)

,...,1,0 ___ zD )(

)

za k

zp k

k zp

(cid:229)

(cid:213)

1 =

l a ư h c ố s ệ h c á c

kN - p i

i

ư ợ n g t

__ p

,...,2,1

D+

a D

kp k

p =D i

a =D k

p ¶ a ¶

(cid:229)

ớ v

1 =

(

)

p i

p l

t /

(cid:213)

H

ử h ó a

l l

1 = i „

28

Chương 88 Chương

BK TP.HCM

THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ

T.S. Đinh Đức Anh Vũ

Faculty of Computer Science and Engineering HCMC University of Technology 268, av. Ly Thuong Kiet, District 10, HoChiMinh city (08) 864-7256 (ext. 5843) Telephone : Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu

Nội dung Nội dung

§ Bộ lọc lý tưởng § Bộ lọc thực tế

“Bộ lọc với đáp ứng xung hữu hạn (FIR)

• Bộ lọc tuyến tính pha

“Bộ lọc với đáp ứng xung vô hạn (IIR)

• Phương pháp xấp xỉ đạo hàm • Phương pháp bất biến xung

§ Phương pháp cửa sổ § Phương pháp mẫu tần số • Bộ lọc tuyến tính pha tối ưu • Bộ biến đổi Hilbert • So sánh các phương pháp thiết kế

2 Giới thiệu Giới thiệu

§ Phương pháp thiết kế bộ lọc tần số

“Đặc tính bộ lọc được mô tả bởi đáp ứng biên độ vàpha “Tùy theo đáp ứng mong muốn, bộ lọc nhân quả FIR

hoặc IIR sẽ được chọn

• FIR

• IIR

§ Được dùng khi cóyêu c ầu đáp ứng pha tuyến tính trong passband § Nhiều thông số hơn IIR → Độ phức tạp tính toán cao

§ Cócác thu ỳ biên ở dải stopband thấp hơn bộ lọc FIR cócùng s ố

tham số → được dùng nhiều hơn so với FIR (khi độ méo pha trong passband cóth ể chấp nhận được)

“Xác định các hệ số bộ lọc

§ Độ phức tạp tính toán không cao vàtiêu t ốn ít bộ nhớ

3 Tính nhân quả Tính nhân quả

§ Xét bộ lọc lý tưởng

w c p

ww £ c

( ) w

nh )(

)

pww

„

(cid:236) 1 (cid:237) 0 (cid:238)

w c n

w c p

sin( w c

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

ωc = π/4 H(ω) 1

ωc -ωc

Bộ lọc không nhân quả → không hiện thực được

4 Đ/k để bộ lọc nhân quả Đ/k để bộ lọc nhân quả

§ Định lý Paley-Wiener

( ww d H )

¥<

(cid:242)

h(n) có năng lượng hữu hạn h(n) = 0 "n<0

p -

( ) d ww

¥<

)

j Q

(cid:242)

(

Vôùi

( ) H ww

) ( w

p -

:)(

nhaân

quaû

2) ( d ww

¥<

(cid:242)

p -

“ H(ω) chỉ được phép = 0 tại một tập hữu hạn các tần số “ |H(ω)| không được là hằng số cho một khoảng tần

thể chọn độc lập được

• Việc chuyển từ passband sang stopband không được thẳng góc “ HR(ω) và HI(ω) phụ thuộc nhau → Phổ biên độ vàph ổ pha không

5 Đ/k để bộ lọc nhân quả Đ/k để bộ lọc nhân quả

( nh -+

1 2

nh )(

nh )( e

nh )( o

( nh --

[ )( nh [ )( nh

] ) ])

)( nh e )( nh o

1 2

nh )(

)()0( n d

‡

nh )( o

nh )( e

nh )(

h e )()0( h n d

‡

nunh )()(2 e nunh )()(2 o

h(n) nhân quả

nh )(

nh )( e

nh )( o

h(n) được mô tả bởi he(n)

h(n) thực F F H(ω) được mô tả bởi HR(ω)

( ) w

H(ω) được mô tả bởi HI(ω) vàh(0)

cot(

)

( ) w

)( l

d l

lw - 2

1 2 p

(cid:242)

p -

BĐ Hilbert rời rạc

6 Bộ lọc tần số trong thực tế Bộ lọc tần số trong thực tế

kj w

§ LTI

eb k

(cid:229)

)( ny

( knya

)

) ( w

( knxb k

0 N

(cid:229)

kj w

ea k

(cid:229)

1 =

(cid:229) 1 = § Đặc trưng |H(ω)|

Transition Band

1+δ1

1-δ1 δ1: Passband ripple δ2: Stopband ripple ωp: Passband edge ripple ωs: Stopand edge ripple

StopBand Passband ripple

δ2

π 0 ωp ωs

7 Thiết kế bộ lọc FIR – Thiết kế bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng Tính đối xứng & phản đối xứng

1 -

ny )(

)

knxb ( k

(cid:229)

“ H(ω) cópha Ө(ω) làhàm tuy ến tính “ Đ/k: h(n) = ± h(M–1–n) n = 0, 1, …, M-1

1 -

§ Bộ lọc FIR § Bộ lọc FIR tuyến tính pha

h(k) = bk

zH )(

kzkh - )(

(cid:229)

ny (

)

nxkh )

(

)

(cid:229)

• Thay z bởi z-1 •Nhân 2 v ế với z-(M-1) •h(n) = ±h(M–1–n)

1/z1

)1 -

z M ( -

zH (

zH )(

1 –=- )

1/z2

* cũng lànghi ệm

• Nếu z1 lànghi ệm (hoặc zero) của H(z) thì1/z 1 cũng lànghi ệm • Để h(n) thực thì z1 và1/ z 1

1/z1

8

(

)1 -

1 -

)0(

)1(

(

)( zH

§ Hàm h/t

Thiết kế bộ lọc FIR – Thiết kế bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng Tính đối xứng & phản đối xứng h +

)1 zMh -

... ++

3 M - 2

(

)1 M - 2

)21 n -- 2

(

)

)( znh

leûM

–

1 M - 2

[

(cid:229)

] (cid:252) (cid:239) (cid:253) (cid:239)(cid:254)

(cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

1 -

M 2

(

)1 M - 2

)21 n -- 2

)( znh

chaün

–

[

]

(cid:229)

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

(

)1 M - 2

ww ) e (

( ) w

3 M - 2

(

cos

)

)( nh

leûM

2) +

( w

1 M - 2

21 -- 2

(cid:229)

§ Đáp ứng xung đơn vị đối xứng h(n) = h(M –1 –n)

( ) w

1 -

M 2

cos

)

)( nh

chaün

( w

21 -- 2

(cid:229)

)

0 n = ( w

( w

0) >

M 1 - 2

Biên độ thực

Tuyến tính

( ) w

)

( w

0) <

M 1 - 2

Đặc tính pha

9 Thiết kế bộ lọc FIR – Thiết kế bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng Tính đối xứng & phản đối xứng

§ Đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng h(n) = –h(M–1–n)

(

[

]

M )1 - 2

p 2

) ( w

ww e ( )

M - 2

sin)(

(

)

leûM

21 -- 2

(cid:229)

h[(M–1)/2] = 0 “ Khi M lẻ

)

( w

M 2

sin)(

(

)

chaün

21 -- 2

(cid:229)

(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

Biên độ thực

Tuyến tính

( ) w

( w ( w

0) > 0) <

p 2 3 p 2

1 M - ) 2 1 M - ) 2

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

§ Đối xứng hay phản đối xứng ?

Đặc tính pha

h(n) = –h(M–1–n) M lẻ

Hr(0) = 0 Hr(π) = 0

“ Tùy

Không thích hợp cho các bộ lọc thông thấp vàthông cao

10 Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương pháp cửa sổ Phương pháp cửa sổ

§ Giả sử

nj w

)

( enh

( w

(cid:229)

n = p

nj w w ( ) e

“ Hd(ω): hàm đáp ứng tần số mong muốn

)( nh d

1 2 p

(cid:242)

§ Nhân hd(n) với hàm cửa sổ w(n) § Cửa sổ hình chữ nhật

)( nw

,...,1,0 n otherwise

• hd(n) cóchi ều dài vô hạn • Để chiều dài hd(n) hữu hạn, cắt hd(n) tại điểm n = M-1 1 (cid:236) (cid:237) 0 (cid:238)

)( nh

)( WvH

)

( ) w

( w

,..,1,0

1 2 p

§ Đáp ứng xung mẫu của bộ lọc )( nwnh )( d )( nh d

(cid:242)

p -

otherwise

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

“ hd(n): hàm đáp ứng xung đơn vị mong muốn

• Cóthu ỳ chính phải rộng, cao hơn nhiều so với thuỳ phụ • w(n) không nên giảm xuống 0 tại hai bên cạnh

“ Với Hd(ω) cho trước, thìW( ω) cótác d ụng làm trơn Hd(ω) “ Một W(ω) tốt khi

11 Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương pháp cửa sổ Phương pháp cửa sổ

sin(

)

Mj w

1 -

M w 2

nj w

( ) w

£- pwp

( ) w

j w

sin(

)

= (cid:229)

w 2

)

sin(

( w

0) ‡

M w 2

2/)1 -

Mj ( w

( ) w

)

sin(

0) <

)2/ )2/

e 1 - 1 e - sin( M w sin( w

1 M - 2

M w 2

M 1 - (cid:236) 2 (cid:237) ( wp - (cid:238)

Độ rộng của thùy chính: 4π /M [được đo bởi điểm zero đầu tiên của W(ω)]

Nhận xét:

-Thu ỳ chính hẹp hơn khi M tăng -Các thu ỳ phụ tương đối lớn so với thuỳ chính và không thay đổi khi M tăng -Chi ều cao thuỳ phụ tăng khi M tăng

12 Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP lấy mẫu tần số PP lấy mẫu tần số

§ Hd(ω) được định nghĩa tại M điểm tần số cách đều

(

)

,1,0

leûM

w k

M - 2

2 p M

,1,0

chaün

M 2

1 2

1 -

nj w

)

enh )(

( w

(cid:229)

(

)]

) a

”

kH ( d

2 p [ Md

1 -

)

Mn /

(2 k ap

,1,0

) a

kH ( d

enh )( d

(cid:229)

1 -

α=0, 2 công thức này chính làcông th ức DFT vàIDFT

)

Mn /

(2 k ap

,1,0

) a

nh )( d

kH ( d

1 M

(cid:229)

Chuỗi h(n) thực

(

kMH

) a

( kH d

* d

Chỉ cần định nghĩa Hd(ω) tại (M+1)/2 điểm khi M lẻ hoặc tại M/2 điểm khi M chẵn

13 Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP lấy mẫu tần số PP lấy mẫu tần số

)(

(22/ -

k ap

2/)1 -

[ bp

(

) a

(

) e

( kH d

2 p Mr

)}({0 nh

ñoái

xöùng

Với

)}({1 nh

phaûn

ñoái

xöùng

(

( kG

) a

(

2 p Mr

)(

(22/ -

2/)1 -

k ap

[ bp

( kG

b (cid:236) (cid:237) b (cid:238) § Định nghĩa các mẫu tần số thực G(k+m) )) )1( a ) a

jk pa ) e

( kH d

+ § Tùy theo giátr ị α (0|½) và β (0|1), H(k) và h(n) sẽ cócông th ức đơn giản

“ Ví dụ khi α = 0 và β = 0

/ Mkj p

)(

,1,0

)( ekGkH =

cos

(

)

1 )( nh

)( kG

2)0( +

1 2

2p k M

(cid:229)

)1(

)( kG

)

1 M

1 =

(cid:236) G (cid:237) (cid:238)

(cid:252) (cid:253) (cid:254)

(

)( kG

( 2 k p r M ) kMG -

leûMkhi

1 M - 2

vôùi

Mkhi

chaün

M 2

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

§ Mẫu tần số +

14 Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương pháp tối ưu Phương pháp tối ưu

§ Bài toán xấp xỉ Chebyshev

“Tối ưu: sai số xấp xỉ giữa đáp ứng t/s mong

muốn vàth ực tế phân bố đều trên passband và stopband (cid:222) tối thiểu hóa các sai số cực đại

“Bộ lọc có gợn sóng trong cả passband và

stopband

15 Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương pháp tối ưu Phương pháp tối ưu

§ Trường hợp 1: đáp ứng xung đơn vị đối xứng vàM l ẻ

(

2/)3

(

cos

)

)( nh

) ( w

2) +

( w

1 M - 2

(cid:229)

k = (M-1)/2 – n

(

2/)1 -

ka )(

cos

) ( w

k w

(cid:229)

(

)

1 M - 2

)( k

)

,2,1

(2 h

1 M - 2

(cid:236) (cid:237) (cid:238)

16 Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương pháp tối ưu Phương pháp tối ưu

§ Trường hợp 2: đáp ứng xung đơn vị đối xứng vàM ch ẵn

12/ -

cos

)

)( nh

) ( w

( w

1 M - - 2

(cid:229)

k = M/2 – n

cos

)( kb

) ( w

( w

1 ) 2

)

,2,1

)( kb

(cid:229) 1 k = M (2 h 2

M 2

cos

12/ - kb )('

cos

) ( w

k w

w 2

(cid:229)

)0('

)1(

,2,1

)(' kb

1 2 (' kb

)(2 kb

M 2

)

(2 b

M 2

17 Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương pháp tối ưu Phương pháp tối ưu

§ Trường hợp 3: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng vàM l ẻ

(

2/)3

sin)(

)

) ( w

( w

1 M - - 2

(cid:229)

k = (M-1)/2 – n

(

2/)1 -

sin)( kc

( ) w

k w

(cid:229)

1 =

)

,2,1

)( kc

(2 h

1 M - 2

)

(

)

M - 2

1 M - 2

2/)3

)

(2 c

M - 2

sin

kc )('

cos

) ( w

k w

( w

(cid:229)

(' kc

)(2 kc

)1 --

k ££

M - 2

)0('

)2('

)1(

1 2

18 Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương pháp tối ưu Phương pháp tối ưu

§ Trường hợp 4: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng vàM

12/ -

sin)(

)

chẵn ) ( H w

( w

1 M - - 2

(cid:229)

k = M/2 – n

sin)(

( ) w

( w

1 ) 2

)

,2,1

)( kd

(2 h

M 2

(cid:229) 1 k = M - 2

12/ -

sin

cos

)(' kd

) ( w

k w

w 2

(cid:229)

)

(2 d

)1 =-

M 2 (' kd

)(2 kd

)1 --

M 2 )(' kd =

k ££

M 2

)0('

)1('

)1(

1 2

19 Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương pháp tối ưu Phương pháp tối ưu

(

( ) w

) ( ) P ww

§ Tổng quát

tröôøng

hôïp

cos

tröôøng

hôïp

) ( w

sin

tröôøng

hôïp

w 2 w

sin

tröôøng

hôïp

w 2

1 (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

2/)1

tröôøng

hôïp

cos

)( k

) ( w

k w

(cid:229)

2 3

tröôøng tröôøng

hôïp hôïp

tröôøng

hôïp

- 12/ - 2/)3 - 12/ -

( (cid:236) (cid:239) M (cid:239) (cid:237) ( M (cid:239) (cid:239) (cid:238)

Giới thiệu về xử lý tín hiệu số

Chủ đề: