Hàm sóng và phương trình Schroedinger

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

243
lượt xem 47
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hàm sóng và phương trình Schroedinger Để có thể hiểu sâu về hóa học và để có thể nghiên cứu về lý thuyết hóa học, chúng ta phải có những hiểu biết nhất định về Hóa học lượng tử . Tài liệu Hàm sóng và phương trình Schroedinger giúp các bạn học chuyên sâu hóa tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hàm sóng và phương trình Schroedinger

Hàm sóng và phương trình Schroedinger Lý Lê Ngày 4 tháng 7 năm 2009 Tóm t t n i dung Đ có th hi u sâu v hóa h c ho c đ có th nghiên c u v lý thuy t hóa h c, chúng ta ph i có nh ng hi u bi t nh t đ nh v Hóa h c tư ng t . Tuy nhiên, đây là m t môn h c khó vì bên c nh nh ng ki n th c v v t lý và hóa h c, nó còn yêu c u ngư i h c ph i có m t n n t ng toán h c t t. Cách t t nh t đ làm quen v i nh ng công th c toán trong lư ng t là b t đ u t hàm sóng và phương trình sóng. 1 Hàm sóng trong cơ h c lư ng t Trong cơ h c c đi n, khái ni m tr ng thái (state) c a m t h t nghĩa là s đ nh rõ v trí và t c đ c a nó t i m t th i đi m b t kì và các l c đang tác d ng lên h t đó. Theo đ nh lu t hai Newton, n u cho trư c tr ng thái c a m t h b t kì ta s xác đ nh chính xác tr ng thái c a nó trong tương lai. Tuy nhiên, đ i v i h t vi mô thì ta không th đ ng th i xác đ nh chính xác v trí và t c đ c a nó1 . Nghĩa là, d a vào cơ h c c đi n thì không th d đoán đư c s chuy n đ ng c a h t vi mô trong tương lai. Do đó, chúng ta ph i d a vào cơ h c lư ng t đ d đoán chính xác hơn s chuy n đ ng c a h t trong tương lai. Trong cơ h c lư ng t , tr ng thái c a m t h đư c mô t b i hàm sóng hay hàm tr ng thái Ψ. B i vì tr ng thái c a h , thông thư ng, thay đ i theo th i gian, nên Ψ cũng là m t hàm theo th i gian. Đ i v i h m t h t chuy n đ ng trong không gian m t chi u, chúng ta có Ψ = Ψ(x, t). Hàm sóng Ψ ch a đ ng t t c nh ng thông tin kh dĩ c a h nên thay vì nói "tr ng thái đư c mô t b i hàm sóng Ψ", chúng ta đơn gi n ch nói "tr ng thái Ψ". Đ xác đ nh tr ng thái trong tương lai c a c a m t h theo cơ h c lư ng t chúng ta cũng ph i bi t tr ng thái hi n t i và m t phương trình cho chúng ta bi t s thay đ i c a hàm sóng theo th i gian. Phương trình đó đư c đ ngh như sau: ∂Ψ(x, t) 2 ∂ 2 Ψ(x, t) − =− + V (x, t)Ψ(x, t) (1) i ∂t 2m ∂x2 1 nguyên lí b t đ nh Heisenberg 1
trong đó h ng s Plank rút g n đư c xác đ nh b i h = (2) 2π Phương trình (1) đư c nhà v t lí ngư i Áo Schroedinger đưa ra vào năm 1926 và đư c g i là phương trình Schroedinger ph thu c th i gian hay √ phương trình sóng Schroedinger. Trong (1), i = −1, đư c g i là s ph c hay s o; m là kh i lư ng c a h t; V (x, t) là hàm th năng c a h . Phương trình Schroedinger ph thu c th i gian ch a đ o hàm b c nh t c a hàm sóng theo th i gian. Nó cho phép chúng ta xác đ nh hàm sóng t i b t kì th i đi m nào trong tương lai, n u ta bi t đư c hàm tr ng thái t i th i đi m t0 . Hàm sóng ch a đ ng t t c nh ng thông tin mà ta c n bi t v m t h mà nó mô t . Tuy nhiên, chúng ta không th hi v ng r ng Ψ s liên h v i v trí chính xác c a h t gi ng như cơ h c c đi n mô t . Ngay sau khi Schroedinger khám phá ra phương trình sóng, Born đưa ra gi đ nh 2 r ng |Ψ(x, t)|2 dx (3) là xác su t tìm th y h t d c theo tr c x trong vùng t x đ n (x + dx). Hàm |Ψ(x, t)|2 đư c g i là m t đ xác su t tìm th y h t nh ng v trí khác nhau theo tr c x. Ví d , gi s t i th i đi m t0 h t trong tr ng thái đư c mô 2 t b i hàm sóng Ψ = ae−bx , v i a và b là nh ng h ng s th c. M t đ xác 2 su t tìm th y h t t i th i đi m t0 d c theo tr c x là a2 e−2bx . 2 Phương trình Schroedinger không ph thu c th i gian Phương trình Schroedinger (1) khá là ph c t p. Tuy nhiên, đ i v i nhi u áp d ng c a cơ h c lư ng t vào hóa h c, nó ít khi đư c s d ng, thay vào đó, phương trình đơn gi n hơn đư c s d ng; đó là phương trình Schroedinger không ph thu c th i gian. Chúng ta s thi t l p phương trình Schroedinger không ph thu c th i gian d a vào phương trình Schroedinger ph thu c th i gian, cho trư ng h p m t h t trong không gian m t chi u. Chúng ta b t đ u b ng cách gi i h n th năng V là hàm không ph thu c th i gian t, ch ph thu c t a đ x. Phương trình Schroedinger ph thu c th i gian trong trư ng h p này là ∂Ψ(x, t) 2 ∂ 2 Ψ(x, t) − =− + V (x)Ψ(x, t) (4) i ∂t 2m ∂x2 Gi s nghi m c a (4) có th đư c vi t dư i d ng tích c a hàm theo th i gian và hàm theo t a đ Ψ(x, t) = f (t)ψ(x) (5) 2 khi m i làm quen v i cơ h c lư ng t , ta ph i ch p nh n m t s gi đ nh 2
L y đ o hàm (5) theo t ∂Ψ(x, t) df (t) = ψ(x) (6) ∂t dt và đ o hàm b c hai theo x ∂Ψ2 (x, t) d2 ψ(x) = f (t) (7) ∂x2 dx2 Th (6) và (7) vào (4), ta đư c df (t) 2 d2 ψ(x) − ψ(x) = − f (t) + V (x)ψ(x)f (t) (8) i dt 2m dx2 Chia hai v (8) cho f (t)ψ(x), ta đư c 1 df (t) 2 1 d2 ψ(x) − =− + V (x) (9) i f (t) dt 2m ψ(x) dx2 Nhìn vào (9) ta th y v ph i không ph thu c vào t; trong khi đó v trái không ph thu c vào x. Như v y phương trình không ph thu c vào c x và t; nó ph i b ng m t h ng s . Đ t h ng s này là E 1 df (t) 2 1 d2 ψ(x) − =E=− + V (x) (10) i f (t) dt 2m ψ(x) dx2 Xét v trái c a phương trình df (t) iE = − dt (11) f (t) L y tích phân c hai v phương trình theo t, ta đư c iEt lnf (t) = − +C (12) v i C là h ng s tích phân. T đó, ta có f (t) = eC e−iEt/ = Ae−iEt/ (13) H ng s A có th đư c nhân vào hàm ψ(x). Như v y, ta đư c f (t) = e−iEt/ (14) Ti p theo, ta xét v ph i c a phương trình (10) 2 1 d2 ψ(x) E=− + V (x) 2m ψ(x) dx2 3
Suy ra 2d2 ψ(x) − + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (15) 2m dx2 Phương trình (15) đư c g i là phương trình Schroedinger không ph thu c th i gian cho m t h t có kh i lư ng m di chuy n trong không gian m t chi u. Nó đư c dùng đ tìm năng lư ng cũng như hàm sóng cho r t nhi u h khác nhau. Ta có th vi t l i (15) như sau d2 ψ(x) 2m + 2 [E − V (x)]ψ(x) = 0 (16) dx2 H ng s E có đi m gì đ c bi t? Ta th y E xu t hi n trong bi u th c [E − V (x)], nên nó cùng th nguyên v i th năng V . Nghĩa là, E cùng th nguyên v i năng lư ng. Th t v y, E chính là năng lư ng c a h . Như v y, t n t i các hàm sóng có d ng Ψ(x, t) = e−iEt/ ψ(x) (17) Hàm sóng (17) là hàm ph c. Bình phương tr tuy t đ i c a m t s ph c là tích c a nó v i liên h p ph c 3 c a nó. Như v y, m t đ xác su t |Ψ(x, t)|2 đư c tính như sau |Ψ|2 = Ψ∗ Ψ (18) trong đó d u sao (∗ ) kí hi u cho liên h p ph c. Đ i v i hàm sóng (17), ta có |Ψ(x, t)|2 = [e−iEt/ ψ(x)]∗ e−iEt/ ψ(x) = eiEt/ [ψ(x)]∗ e−iEt/ ψ(x) (19) đây ta gi s E là s th c nên E = E ∗ . Ta có e−iEt/ e−iEt/ = e0 = 1 Do đó, (19) tr thành: |Ψ(x, t)|2 = [ψ(x)]∗ ψ(x) = |ψ(x)|2 (20) Như v y, n u nghi m Ψ(x, t) c a phương trình Schroedinger ph thu c th i gian là tích c a hàm theo th i gian và hàm theo t a đ Ψ(x, t) = e−iEt/ ψ(x) v i năng lư ng E là h ng s , thì m t đ xác su t là |ψ(x)|2 và không đ i theo th i gian. Nh ng tr ng thái như th này đư c g i là tr ng thái tĩnh (stationary state). Hàm ψ(x) cũng đư c g i là hàm sóng, m c dù hàm sóng đ y đ c a m t tr ng thái tĩnh là e−iEt/ ψ(x). Tr ng thái tĩnh trong trư ng 3 Liên h p ph c c a i = −i. 4
h p này đư c hi u là m t đ xác su t |Ψ(x, t)|2 không thay đ i theo th i gian, ch không ph i h t không thay đ i. Phương trình Schroedinger (15) ch a hai n s là năng lư ng đư c phép E và hàm sóng ψ. Đ gi i phương trình ch a hai n, chúng ta c n áp đ t thêm m t s đi u ki n (đư c g i là đi u ki n biên - boundary conditions) lên ψ bên c nh yêu c u nó th a mãn (15); đi u ki n biên xác đ nh năng lư ng cho phép E c a h nên ch nh ng giá tr xác đ nh c a E thì ψ m i phù h p v i đi u ki n biên. 3 S chu n hóa hàm sóng 3.1 Xác su t S chu n hóa hàm sóng có liên quan đ n xác su t tìm th y h t trong không gian. Vì v y, trư c h t ta s gi i thi u sơ lư c v c a xác su t. Có nhi u khái ni m đưa ra đ đ nh nghĩa xác su t. đây, chúng ta đ nh nghĩa xác su t theo l i th ng kê: Th c hi n phép th n l n. Gi s bi n c m A xu t hi n m l n. Khi đó, m đư c g i là t n s c a bi n c A và t s n đư c g i là t n s xu t hi n bi n c A trong lo t phép th . Cho s phép th tăng lên vô h n, t n s xu t hi n bi n c A d n v m t s xác đ nh g i là xác su t c a bi n c A m PA = lim n→∞ n Ví d , sau 1000 l n đi qua ngã tư, có 200 l n g p đèn đ . Khi đó, xác 200 1 su t đ g p đèn đ là = . 1000 5 Trong trư ng h p n u phép th có nhi u bi n c xu t hi n thì phép tính xác su t s ph c t p hơn. Ví d , trong m t h p ch a 10 viên bi, trong đó có 4 viên màu xanh và 6 viên màu đ . L n lư t l y ra 2 viên bi, không hoàn l i. Trong trư ng h p này, xác su t đ hai viên bi đó đ u màu đ đư c tính như sau. 6 Ta th y xác su t đ l n l y th nh t đư c viên bi màu đ là . Vì l y 10 không hoàn l i, nên sau l n l y th nh t, s viên bi còn l i trong h p là 9, trong đó còn l i 5 viên màu đ , gi s l n l y th nh t ta đư c viên màu 5 đ . Do đó, xác su t đ l n l y th hai cũng viên bi màu đ s là . Như 9 v y, t ng c ng ta có 5 · 6 = 30 l n s thu đư c viên bi màu đ trong t ng s 9 · 10 = 90 l n th . K t qu xác su t đ thu đư c hai viên bi đ u màu đ là 6 5 30 1 P = · = = 10 9 90 3 Xác su t trong cơ h c lư ng t thư ng liên quan đ n m t bi n liên t c, đó là t a đ x. Không có nhi u ý nghĩa n u chúng ta nói r ng xác su t c a m t h t đư c tìm th y t i m t đi m c th nào đó, ch ng h n t i x = 0, 500. 5
Thay vào đó, ta s nói xác su t tìm th y h t trong m t kho ng nh trên tr c x t x đ n x + dx. Xác su t s t l thu n v i giá tr dx và s thay đ i theo nh ng vùng khác nhau trên tr c x. Vì v y, xác su t tìm th y h t t x đ n x + dx s là m t hàm bi n thiên theo x, ví d g(x). Hàm g(x) đư c g i là m t đ xác su t, vì nó là xác su t trên m t đơn v chi u dài. B i vì xác su t ph i là m t s th c, không âm nên g(x) cũng ph i là hàm th c và không âm t i m i đi m. Hàm sóng Ψ có th nh n giá tr âm và cũng có th là hàm ph c nên không ph i là hàm m t đ xác su t. Theo cơ h c lư ng t , hàm |Ψ|2 là hàm m t đ xác su t. 3.2 S chu n hóa hàm sóng Xác su t tìm th y h t trong vùng a ≤ x ≤ b đư c tính b ng cách l y tích phân |Ψ|2 theo bi n x t a → b b |Ψ|2 dx (21) a B i vì xác su t tìm th y m t h t trong toàn b không gian là b ng đơn v nên chúng ta có yêu c u +∞ |Ψ|2 dx = 1 (22) −∞ Khi hàm Ψ th a mãn đi u ki n trên thì đư c g i là chu n hóa. N u hàm Ψ không chu n hóa nhưng th a mãn yêu c u sau +∞ |Ψ|2 dx = λ2 (23) −∞ v i λ2 là s không âm tùy ý, thì khi đó hàm Φ đư c xác đ nh b i 1 1 Φ= √ Ψ=± Ψ (24) λ 2 λ là hàm chu n hóa. Th t v y +∞ +∞ 1 1 |Φ|2 dx = |Ψ|2 dx = × λ2 = 1 −∞ λ2 −∞ λ2 Như v y, đ Ψ(x, t) có th là hàm sóng, trư c h t nó ph i kh tích bình 2 phương; nghĩa là Ψ(x, t) ph i có tích phân. Hơn n a, tích phân c a nó ph i xác đ nh. Vì v y, Ψ(x, t) ph i d n v zero khi x → ±∞. Tương t , đ o ∂Ψ hàm ph i d n v zero khi khi x → ±∞. ∂x Ngoài yêu c u kh tích bình phương, hàm sóng c n ph i đơn tr và liên t c. Xác su t tìm th y h t t i m t đi m c th không th có hai giá tr khác 6
nhau nên Ψ∗ Ψ ph i đơn tr . Đ Ψ∗ Ψ ch c ch n đơn tr , ta yêu c u Ψ đơn tr . Bên c nh yêu c u hàm sóng ph i liên t c, ta thư ng có thêm yêu c u là các đ o hàm riêng ph n c a nó ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, . . . cũng liên t c. M t hàm th a mãn nh ng đi u ki n như trên đư c g i là hàm hoàn h o (ti ng Anh well-behaved ). 4 Nguyên lí ch ng ch t tr ng thái Phương trình Schroedinger là m t phương trình vi phân tuy n tính. Vì v y, n u ψ1 và ψ2 là hai nghi m c a phương trình Schroedinger, thì c1 ψ1 , c2 ψ2 (v i c1 , c2 là nh ng h ng s ) và ψ đư c xác đ nh b i ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 (25) cũng là nghi m c a phương trình Schroedinger. Nguyên lí này còn đư c g i là nguyên lí ch ng ch t. Áp d ng c a nguyên lí ch ng ch t trong cơ h c lư ng t đư c tóm t t như sau: N u Ψ1 và Ψ2 là nh ng hàm sóng ng v i hai tr ng thái c a h thì tr ng thái Ψ đư c mô t b i Ψ = c1 Ψ1 + c2 Ψ2 (26) cũng là m t tr ng thái c a h . Dĩ nhiên, chúng ta có th m r ng s tr ng thái nhi u hơn hai. N u Ψ là hàm sóng c a m t tr ng thái thì kΨ, v i k là h ng s , cũng là m t hàm sóng c a tr ng thái đó. Ví d , t phương trình (24), ta th y hai 1 1 hàm sóng Ψ và − Ψ tương đương nhau, chúng đ u mô t m t tr ng thái λ λ 1 c a h . Tuy nhiên, theo thói quen, ta thư ng ch ch n Ψ. λ 5 S ph c 5.1 D ng đ i s c a s ph c √ N u i = −1, ta có th bi u di n m t s ph c hay s o z dư i d ng bi u th c z = x + iy, v i x và y là nh ng s th c. S th c x đư c g i là ph n th c; s th c y đư c g i là ph n o c a s ph c z. Ph n th c c a s ph c z = x + iy đư c ký hi u là Re(z). Ph n o c a s ph c z = x + iy đư c ký hi u là Im(z). Hai s ph c đư c g i là b ng nhau n u chúng có ph n th c và ph n o tương ng b ng nhau. Ví d : Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z = (3 + 5i) + (2 − 3i) 7
Hư ng d n: z = (3 + 5i) + (2 − 3i) = (3 + 2) + (5i − 3i) = (5 + 2i) Vy Re(z) = 5 và Im(z) = 2 Cho z = x + iy, thì s ph c z ∗ = x − iy đư c g i là s ph c liên h p hay liên h p ph c c a s ph c z = x + iy Ví d : Tìm liên h p ph c c a s ph c z = (2 + 3i)(4 − 2i) Hư ng d n: z = (2 + 3i)(4 − 2i) = (8 − 4i + 12i − 6i2 ) = (8 + 8i + 6) = (14 + 8i) Như v y z ∗ = 14 − 8i 5.2 D ng lư ng giác c a s ph c M t cách bi u di n khác c a s ph c z là d a vào m t ph ng o (ph c) −→ xOy. Cho s ph c z = x + iy và OA là vectơ bi u di n hình h c c a z trên −→ −→ m t ph ng xOy. Đ dài r = |OA| c a vectơ OA đư c g i là tr tuy t đ i (absolute value) hay modulus c a s ph c z, ký hi u là |z|. Góc θ đư c t o −→ b i OA và tr c x đư c g i là phase hay agurment c a z. y T Tr c o y A r Ex O x Tr c th c Ta có: |z| = r = x2 + y 2 x = r cos θ y y = r sin θ tan θ = x 8
Như v y, ta có th vi t x iy z = x + iy = x2 + y 2 ( + ) (27) x2 + y 2 x2 + y 2 hay z = r(cos θ + i sin θ) = r cos θ + ir sin θ (28) Đây là d ng lư ng giác c a s ph c. √ Ví d : Tìm d ng lư ng giác c a s ph c z = −1 + i 3 √ Hư ng d n: Ta có x = −1; y = 3 và r = (−1)2 + 3 = 2. Như v y: x −1 cos θ = = r 2 √ b 3 sin θ = = r 2 Vy 2π θ= 3 D ng lư ng giác 2π 2π z = r cos θ + ir sin θ = 2(cos + i sin ) (29) 3 3 Hai s ph c d ng lư ng giác đư c g i là b ng nhau khi r1 = r2 và θ1 = θ2 + 2kπ. Khi nhân hai s ph c d ng lư ng giác, tr tuy t đ i nhân v i nhau còn góc thì c ng l i z1 z2 = r1 r2 [cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )] (30) 5.3 D ng mũ c a s ph c D ng mũ c a s ph c có th đư c thi t l p như sau. Đ t f (θ) là hàm th a đi u ki n f (θ) = (cos θ + i sin θ)e−iθ (31) L y đ o hàm (31) theo θ, ta có d d d f (θ) = (cos θ + i sin θ) e−iθ + e−iθ (cosθ + isinθ) (32) dθ dθ dθ Áp d ng (sin x) = cos x; (cos x) = − sin x; (eax ) = aeax 9
Ta suy ra f (θ) = (cos θ + i sin θ)(−i)e−iθ + e−iθ (− sin θ + i cos θ) (33) Sau khi đơn gi n (33), ta có f (θ) = 0 Như v y f (θ) ph i là hàm không thay đ i theo θ. B i vì f (0) đư c xác đ nh, nên ta luôn có f (θ) = f (0). Hay (cos θ + i sin θ)e−iθ = (cos 0 + i sin 0)e−i0 = e0 = 1 (34) Nhân hai v (34) v i eiθ , ta có (cos θ + i sin θ)e−iθ eiθ = eiθ (35) vì e−iθ eiθ = e0 = 1, nên (35) tr thành (cos θ + i sin θ) = eiθ (36) hay z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ (37) Đây chính là d ng mũ c a s ph c. Khi đó, liên h p ph c c a z là z ∗ = x − iy = re−iθ (38) N u z là s th c thì ph n o c a nó ph i là zero. V y nên z ch là s th c khi và ch khi z = z ∗ . L y tích c a z v i liên h p ph c c a nó z = z ∗ , ta đư c zz ∗ = (x + iy)(x − iy) = (x2 − i2 y 2 ) = x2 + y 2 = r2 = |z|2 (39) Khi th c hi n các phép toán đ i v i s ph c, đ đơn gi n chúng ta nên dùng d ng mũ. Mu n tìm d ng mũ t d ng đ i s ta chuy n d ng đ i s sang d ng lư ng giác trư c. √ Ví d : Tìm d ng mũ c a z = − 3 + i Hư ng d n: Ta có d ng lư ng giác 5π 5π z = 2(cos + i sin ) 6 6 V y d ng mũ là z = 2ei5π/6 10
Bài t p 1. M t h p ch a 100 viên bi, trong đó có 60 viên n ng 14 gam và 40 viên n ng 15 gam. Tính xác su t đ sau hai l n b c liên ti p (không hoàn l i) ta đư c hai viên bi có kh i lư ng t ng c ng là (a) 28 gam; (b) 30 gam; (c) 29 gam. √ 3 2ix 2. Cho c = e . Tính |c|2 . 2 3. Tìm d ng lư ng giác c a (a) z = e2+iθ ; (b) z = ea+iπ/2 . 4. Tìm tr tuy t đ i và phase c a: (a) i; (b) aeiπ/3 ; (c) 1 − 2i. 5. Cho hàm ph c z = aeimϕ . V i a và m là nh ng h ng s th c. a) Tính |z|2 . b) Vi t phương trình d ng lư ng giác c a z. 6. Cho bi t hàm sau đây đã chu n hóa b 1/4 2 /2 f (x) = e−bx π Trong đó b là h ng s th c. Áp d ng đi u ki n chu n hóa, tính tích phân ∞ 2 e−bx dx 0 7. N u ψ1 , ψ2 và ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 là nh ng nghi m c a m t phương trình Schroedinger thì chúng s chu n hóa và tr c giao v i nhau; nghĩa là ∞ ∞ ∞ ∗ ∗ ψ1 ψ1 dx = ψ2 ψ2 dx = ψ ∗ ψdx = 1 −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ ∗ ∗ ψ1 ψ2 dx = ψ2 ψ1 dx = 0 −∞ −∞ T tính chu n hóa và tr c giao c a hàm sóng, hãy ch ng minh a. T ng bình phương tr tuy t đ i các h s c1 , c2 b ng đơn v |c1 |2 + |c2 |2 = 1 b. Năng lư ng c a tr ng thái ψ1 đư c tính như sau ∞ 2 ∗ d2 ψ1 (x) E1 = ψ1 − + V (x)ψ1 (x) dx −∞ 2m dx2 11