intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

hệ phưong trình-phương pháp thế

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST
Báo xấu
55
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

hệ phưong trình-phương pháp thế

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: hệ phưong trình-phương pháp thế

  1. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net Trong các ph n trư c chúng ta ñã ñi xét m t s d ng h mà có ñư ng l i gi i t ng quát. Trong ph n này chúng ta ñi xét m t s h mà không có ñư ng l i gi i t ng quát. ð tìm l i gi i c a nh ng h này 1. Phương pháp th : N i dung c a phương pháp này t m t phương trình ho c k t h p hai phương trình c a h ta bi u di n n này qua n kia ho c m t bi u th c này qua bi u th c khác và th vào phương trình còn l i chuy n v phương trình m t n (có th là n ph ). M c ñích c a vi c làm này là gi m s n. Tùy thu c vào ñ c ñi m c a bài toán mà ta có nh ng cách bi n ñ i phù h p. Trong phương pháp này ta c n lưu ý m t s d u hi u sau. • N u trong h phương trình có m t phương trình b c nh t ñ i v i m t n thì ta rút n ñó qua n kia th vào phương trình còn l i và chuy n v gi i phương trình m t n. • V i hai s th c b t kì x ≠ 0; y ta luôn có y = tx (t là s th c c n tìm). V i cách làm này ta s ñư c h v phương trình m t n t. • Phương trình f (x; y) = f (y;x) luôn có m t c p nghi m x = y (các b n th gi i thích vì sao?), do ñó ta luôn phân tích phương trình ñã cho v d ng: ( x − y)g(x; y) = 0 . • Trong h phương trình n u bi u th c u (x) xu t hi n hai phương trình thì ta có th ñ t t = u(x) ñ làm ñơn gi n hình th c bài toán.  x 3 y = 16  (1) Ví d 1: Gi i h phương trình:  . 3x + y = 8  (2) Gi i : Ta th y (2) là m t phương trình b c nh t hai n nên ta rút n này qua n kia. T phương trình (2) ⇒ y = 8 − 3x thay vào phương trình (1) ta ñư c: x 3 (8 − 3x) = 16 ⇔ 3x 4 − 8x 3 + 16 = 0 ⇔ (x − 2)2 (3x 2 + 4x + 4) = 0 ⇔ x = 2 V y h có nghi m là x = y = 2 . Chú ý : cách gi i trên ta th y h có nghi m duy nh t x = y = 2 , ñ ng th i t hai phương trình ta có nh n xét x , y > 0 và phương trình (2) VT là 3x + y , phương trình (1) có tích x 3 y . ði u này g i cho chúng ta liên tư ng ñ n BðT Cauchy. Ta có cách gi i khác như sau: Ta th y n u h có nghi m (x;y) thì x , y > 0 . Áp d ng bñt Cauchy ta có: 3x + y = x + x + x + y ≥ 4 4 x 3 y = 8 . ð ng th c x y ra ⇔ x = y = 2 . Th l i ta th y th a mãn. 1 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  2. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net ( )  y(1 + x 2 ) = x 1 + y 2 (1)  Ví d 2:Gi i h phương trình:  .  x 2 + 3y 2 = 1  (2) Gi i: D th y phương trình (1) có c p nghi m x = y , do ñó ta bi n ñ i phương trình (1) c a h ra th a s ( x − y) . x = y Ta có: (1) ⇔ x − y + xy(y − x) = 0 ⇔ (x − y)(1 − xy) = 0 ⇔  . xy = 1  1 * x = y ⇒ 4x 2 = 1 ⇔ x = ± . 2 1 * x = ⇒ 3y 4 − y 2 + 1 = 0 phương trình vô nghi m. y 1 V y nghi m c a h là: x = y = ± . 2  1 1 x − x = y − y (1) Ví d 3: Gi i h phương trình:  . 2y = x 3 + 1  (2) Gi i: xy ≠ 0 x = y x−y 1 = 0 ⇔ (x − y)(1 + ) = 0 ⇔  Ta có (1) ⇔ x − y + . y = − 1 xy xy  x * x = y thay vào (2), ta ñư c: −1 ± 5 x 3 − 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 + x − 1) = 0 ⇔ x = 1;x = . 2 1 1 1 3 * y = − thay vào (2), ta ñư c: x 4 + x + 2 = 0 ⇔ (x 2 − ) + (x + ) 2 + = 0 vô x 2 2 2 nghi m. −1 ± 5 V y h ñã cho có ba c p nghi m: x = y = 1;x = y = . 2 2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  3. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net  x+y=3x+y  Ví d 4: Gi i các h phương trình sau:  .  x−y= 3 x − y − 12  x + y ≥ 0 Gi i: ðK:  . x−y≥0  Ta th y m i phương trình c a h là phương trình m t n x + y và x − y . Do ñó ñi u mà chúng ta nghĩ t i là ñi gi i t ng phương trình tìm x + y và x − y , khi ñó ta có ñư c h phương trình m i ñơn gi n hơn nhi u. ð ñơn gi n v m t hình th c ta ñ t a = x + y, b = x − y ⇒ a, b ≥ 0 ta có h : 3  a =3a a = a a = 0 V a = 1 2  ⇔ ⇔  . b=4  b = b − 12 b = (b − 12) 3 2  3   a = 0 x + y = 0 x = 2 ⇔ ⇔ *V i  b = 4  x − y = 4  y = −2  5 x=  a = 1 x + y = 1  2 ⇔ ⇔ *V i  b = 4  x − y = 4  y = − 3   2 53 V y nghi m c a h là: (x; y) = (2; −2), ( ; − ) . 22  x+y − x−y=2 (1)  Ví d 4: Gi i h phương trình:  .  x 2 + y2 + x 2 − y2 = 4 (2)  Gi i: ðK : x ≥| y | Vì (1) trong căn ch ch a lũy th a b c 1 ñ i v i x,y còn (2) thì trong căn ch a lũy th a b c 2 ñ i v i x,y nên suy nghĩ ñ u tiên là ta s bình phương hai v phương trình (1) ñ ñưa v hai phương trình ñ ng b c. T (1) ⇒ x + y > x − y ⇒ y > 0 . 2≤x≤6  x 2 − y2 = x − 2  x − x 2 − y2 = 2 2   H ⇔ ⇔ ⇔  x − y 2 = (2 − x)2  x 2 + y2 = 4 − x 2 − y2  x 2 + y2 = 6 − x 2    x + y = (6 − x) 2 2 3 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  4. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net 2 ≤ x ≤ 6 2 ≤ x ≤ 6  5 x = 2 2 ⇔ 2x = (2 − x) + (6 − x) ⇔ 2x = 40 − 16x + 2x ⇔  2 2 2 2. 2 2 y = 6  x + y = (6 − x)  y = 36 − 12x  2 2 5 V y nghi m c a h ñã cho là: ( ; 6) . 2  x 2 + 1 + y(y + x) = 4y  (1) Ví d 6: Gi i h phương trình:  . (x + 1)(y + x − 2) = y 2  (2) Gi i: ð t a = x + y t (1) ⇒ x 2 + 1 = y(4 − a) th vào (2), ta có: y(4 − a)(a − 2) = y ⇔ y(a 2 − 6a + 9) = 0 ⇔ y = 0; a = 3 * V i y = 0 thay vào (1) ta th y h vô nghi m. * V i a = 3 ⇔ x + y = 3 thay vào h ta có: x = 1 ⇒ y = 2 x2 + 1 = y = 3 − x ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔  . x = −2 ⇒ y = 5  V y h ñã cho có hai c p nghi m: ( x; y) = (1;2), (−2;5) .  x 3 − 8x = y3 + 2y  (1) Ví d 7: Gi i h phương trình:  .  x − 3 = 3(y + 1) 2 2  (2) Gi i: Cách 1: T (2) ⇒ x 2 = 3(y 2 + 2) (3) thay vào (1) ta ñư c : x = 0 x2 ⇔ x(3x − xy − 24) = 0 ⇔  x − 8x = y(y + 2) = y 3 2 2  y = 3x − 24 . 2 3   x * V i x = 0 thay vào (3) ta có: y + 2 = 0 vô nghi m. 2 2  3x 2 − 24  3x 2 − 24 *V i y= thay vào (3) ta ñư c: x = 3   +6 2   x x    x = ±3 ⇒ y = ±1 x2 = 9 ⇔ 13x 4 − 213x 2 + 864 = 0 ⇔  2 96 ⇔  .  x = ± 96 ⇒ y = ∓ 78 x =     13 13 13 4 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  5. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net 96 78 V y h có b n c p nghi m: (x; y) = (±3; ±1), (± ). ;∓ 14 13 Cách 2: Ta th y x = 0 không là nghi m c a h nên ta ñ t y = tx . Khi ñó h tr thành  x 3 − 8x = t 3 x 3 + 2tx  x 2 (1 − t 3 ) = 2t + 8 1 − t3 t + 4   ⇔ = ⇒ 2 1 − 3t 2 x − 3 = 3(t 2 x 2 + 1) x 2 (1 − 3t 2 ) = 6 3     1 t = 3 ⇔ 3(1 − t ) = (t + 4)(1 − 3t ) ⇔ 12t − t − 1 = 0 ⇔  3 2 2 . 1 t = −   4  x (1 − 3t ) = 6 2 2  x = ±3 1 * t= ⇒ ⇔ . x y = ±1 3 y =   3  4 78 x = ± 1 13 * t=− ⇒ . 4 78  y = ∓ 13  | x 2 − 2x | + y = 1  (1) Ví d 8: Gi i h phương trình:  .  x + | y |= 1 2  (2) Gi i: T (2) ⇒ −1 ≤ x, y ≤ 1 . Ta xét các trư ng h p sau * y ≥ 0 ⇒ (1) ⇔ x 2 + y = 1 ⇔ y = 1 − x 2 thay vào (2) ta ñư c: | x 2 − 2x | +1 − x 2 = 1 ⇔| x 2 − 2x |= x 2 ⇔ x 2 (x − 2)2 = x 4 ⇔ x 2 (−4x + 4) = 0 x = 0 ⇒ y = 1 ⇔ x = 1 ⇒ y = 0 * y < 0 ⇒ (1) ⇔ y = x 2 − 1 thay vào (2) ta có: | x 2 − 2x | + x 2 − 1 = 1 ⇔| x 2 − 2x |= 2 − x 2 ⇔ x 3 − 2x 2 + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 − x − 1) = 0 x = 1 ⇔ x = 1 − 5 ⇒ y = 1 − 5 .   2 2 5 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  6. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net 1− 5 1− 5 V y h có ba c p nghi m (x; y) = (0;1), (1;0), ( ). ; 2 2 2 2xy x + y + x + y = 1 2 (1) Ví d 9: Gi i h phương trình:  .  x + y = x2 − y (2)  Gi i: ðK : x + y > 0 (x + y)2 − (x 2 + y 2 ) Ta có: (1) ⇔ x 2 + y 2 + −1= 0 . x+y (x 2 + y 2 )(x + y) − (x 2 + y 2 ) x 2 + y2 ⇔ + x + y − 1 = 0 ⇔ (x + y − 1)( + 1) = 0 . x+y x+y x 2 + y2 ⇔ x + y − 1 = 0 ⇔ y = 1 − x ( Do > 0 ) Thay vào (2), ta ñư c: x+y x = 1 ⇒ y = 0 x 2 − (1 − x) = 1 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔  . x = −2 ⇒ y = 3  V y h có hai c p nghi m: ( x; y) = (1;0), (−2;3) .  7 x + y + 2x + y = 5  Ví d 10: Gi i h phương trình:  (HSG Qu c Gia – 2001).  2x + y + x − y = 2  Gi i: 8x + t = (3 − t) 2  7x + y = 3 − t    Cách 1: ð t t = y − x ⇔ y = x + t ta có h :  ⇔ 3x + t = (2 + t) 2  2x + y = 2 + t −2 ≤ t ≤ 3    3t − 8t = 3(3 − t) − 8(2 + t)  t + 9t + 1 = 0 −9 + 77 2 2 2   ⇔ ⇔t= ⇒ . −2 ≤ t ≤ 3 −2 ≤ t ≤ 3 2    (t + 2) 2 − t x= = 10 − 77   3 ⇒ là nghi m c a h ñã cho. 11 − 77 y = t + x =   2 6 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  7. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net u + v = 5 Cách 2: ð t u = 7x + y, v = 2x + y . H tr thành:  . v=2+ y−x  5−x M t khác u 2 − v 2 = 5x ⇒ (u − v)(u + v) = 5x ⇒ u − v = x ⇒ v = (Do u + v = 5 ). 2 5−x 1+ x 1+ x 5 − x =2+ y−x⇒y= thay vào h ta có ñư c: 2x + = T ñó ⇒ 2 2 2 2 x ≤ 5 x ≤ 5 11 − 77   ⇔ x = 10 − 77 ⇒ y = ⇔ ⇔ 2 . 10x + 2 = (5 − x)  x − 20x + 23 = 0 2 2    x = 10 − 77  Thay vào h ta th y th a mãn. V y h ñã cho có nghi m  11 − 77 . y=   2  1 3x (1 + )=2  x+y  Ví d 11: Gi i h phương trình:  (HSG Qu c Gia – 1996 ). 1  7y(1 − )=4 2 x+y   Gi i: ðK : x , y ≥ 0 . Vì x=0 hay y=0 không là nghi m c a h nên ta có:   1 2 1 22  x+y= 1+ 1 = + (1) 3x   3x 7y H ⇔ ⇔ . Nhân (1) v i (2) ta ñư c: 1 − 1 = 42  1 = 1 −2 2 (2)  x + y  x+y 7y 3x 7y  1 1 22 1 22 1 8 =( − − )= − ⇔ 21xy = (x + y)(7y − 24x) )( x+y 3x 7y 3x 7y 3x 7y ⇔ 24x 2 + 38xy − 7y 2 = 0 ⇔ (6x − y)(4x + 7y) = 0 ⇔ y = 6x (Do x , y > 0 ) 11 + 4 7 22 + 8 7 1 2 Thay vào (1) ta có: 1 = + ⇔x= ⇒ y = 6x = 21 7 3x 7x Th l i h ta th y th a mãn.  11 + 4 7 x =  21 V y h có c p nghi m duy nh t  . 22 + 8 7 y =   7 7 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  8. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net  x 3 + 3xy 2 = −49  (1) Ví d 12: Gi i h phương trình:  (HSG QG – 2004 ) .  x − 8xy + y = 8y − 17x 2 2  (2) Gi i: Cách 1: Ta th y x = 0 không ph i là nghi m c a h nên x 3 + 49 T (1) ⇒ y = − 2 (*) th vào phương trình (2) ta ñư c: 3x x 3 + 49 x − 8xy − = 8y − 17 ⇔ 24y(x 2 + x) = 2x 3 + 51x 2 − 49 2 3x  x = −1 ⇔ 24xy(x + 1) = (x + 1)(2x + 49x − 49) ⇔  2  y = 2x + 49x − 49 2   24x * x = −1 th vào (*) ⇒ y = ±4 . 2x 2 + 49x − 49 * y= th vào (*), ta có: 24x 2 x 3 + 49  2x 2 + 49x − 49  − =  ⇔ −192x(x + 49) = (2x + 49x − 49) 3 2 2   3x 24x   Bi n ñ i rút g n ta ñư c: 4x 4 + 4x 3 + 45x 2 + 94x + 49 = 0 ⇔ (x + 1)2 (4x 2 − 4x + 49) = 0 ⇔ x = −1 . V y h có hai c p nghi m: ( x; y) = (−1; ±4) . Cách 2: Nhân phương trình (2) v i 3 r i c ng v i (1) theo t ng v ta ñư c: x 3 + 3x 2 + 3xy 2 − 24xy + 3y 2 = 24y − 51x − 49 ⇔ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 + 3y 2 (x + 1) − 24y(x + 1) + 48(x + 1) = 0 ( ) ⇔ (x + 1) (x + 1) 2 + 3y 2 − 24y + 48 = 0 ⇔ x = −1. Th x = −1 vào phương trình (1) ta có: y 2 = 16 ⇔ y = ±4 . V y h có hai c p nghi m ( x; y) = (−1; ±2) . Cách 3: Vì x = 0 không là nghi m c a h nên ta ñ t y = tx . Khi ñó h tr thành: 8 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  9. Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net −49 −49 −49 3  x = 1 + 3t 2 = 49 + 3(t 2 − 16) = 49 + 3a  x (1 + 3t ) = −49 3 2   ⇔ 2  x (1 − 8t + t ) = x(8t − 17)  x = 8t − 17 = 8t − 17 2 b  = t 2 − 8t + 1 (t 2 − 16) − (8t − 17) a − b   (Trong ñó ta ñã ñ t: a = t 2 − 16; b = 8t − 17 ). ( ) −49 b3 = ⇔ 49 b3 + (a − b)3 + 3a = 0 ⇒ 49 + 3a (a − b) 3 ( ) ⇔ a  49 b 2 − b(a − b) + (a − b) 2 + 3 = 0 ⇔ a = 0 ⇔ t 2 = 16 .   Th t = 16 vào h ⇒ x = −1 ⇒ y = ±4 . 2 Bài t p: Gi i các h phương trình sau: 3 x − y = x − y 3 x − y = x − y  2x + y + 1 − x + y = 1    3)  1)  2)  3x + 2y = 4 x + y = x + y + 2  x + 4 − 1 − y = 1 − 2x     x2 1 1 x3 x − x = y − y ( y ) + ( y ) = 12  x 3 y = 16  5)  6)  7)  3x + y = 8  2 y = x 3 + 1 ( xy)2 + xy = 6   2 1 x  x + y2 + y = 3  2x  x+ y + x− y =2 2y + =3    8)  y 9)  10)  x x + x + 1 = 3  y + x − y − x =1  x − y + xy = 3     yy  3 85 4xy + 4(x + y ) + (x + y) 2 = 3 2 2  x − xy + y = 3(x − y) 2 2   11)  12)   x + xy + y = 7(x − y) 2 2 2 2x + 1 = 13   x+y 3  x 2 + y2 = 1  x 2 + y 2 + xy = 1  x 3 + y3 − xy 2 = 1    13)  3 14)  15)  1 3x − y = x + y 3  x + y = x + 3y 4x + y = 4x + y 3 3 4 4     x 2 + y2 + x + y − 4 = 0  16)  2x + xy − y − 5x + y + 2 = 0 2 2  9 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2