Hệ số dẫn nhiệt và các trường vi mô trong vật liệu composite cốt liệu cầu hoặc tròn có mặt tiếp xúc không hoàn hảo dạng Kapitza

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu "Hệ số dẫn nhiệt và các trường vi mô trong vật liệu composite cốt liệu cầu hoặc tròn có mặt tiếp xúc không hoàn hảo dạng Kapitza" vuất phát từ mô hình quả cầu lồng nhau, một trường hợp riêng được phát triển để xây dựng công thức tính hệ số dẫn vĩ mô và các trường vi mô của mô hình với mặt tiếp xúc không hoàn hảo dạng Kapitza. Kết quả được so sánh với tính toán số của các tác giả khác. Kết hợp với phương pháp cốt liệu tương đương, mô hình đề xuất cho kết quả phù hợp với các kết quả thực nghiệm. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hệ số dẫn nhiệt và các trường vi mô trong vật liệu composite cốt liệu cầu hoặc tròn có mặt tiếp xúc không hoàn hảo dạng Kapitza

278 334 Hệ số dẫn nhiệt và các trường vi mô trong vật liệu composite cốt liệu cầu hoặc tròn có mặt tiếp xúc không hoàn hảo dạng Kapitza Nguyễn Trung Kiên1,*, Phạm Đức Chính2 1 Trung tâm nghiên cứu và ứng dụng công nghệ xây dựng - Trường đại học Giao thông vận tải 2 Viện Cơ học - VAST *Email: ntkien@utc.edu.vn Tóm tắt. Xuất phát từ mô hình quả cầu lồng nhau, một trường hợp riêng được phát triển để xây dựng công thức tính hệ số dẫn vĩ mô và các trường vi mô của mô hình với mặt tiếp xúc không hoàn hảo dạng Kapitza. Kết quả được so sánh với tính toán số của các tác giả khác. Kết hợp với phương pháp cốt liệu tương đương, mô hình đề xuất cho kết quả phù hợp với các kết quả thực nghiệm. Từ khóa: Hệ số dẫn vĩ mô, trường vi mô, mặt tiếp xúc không hoàn hảo, cốt liệu tương đương. 1. Mở đầu Hệ số dẫn nhiệt và các trường vi mô của vật liệu composite không những phụ thuộc vào tính chất, cấu trúc, sự phân bố của các vật liệu thành phần mà còn chịu ảnh hưởng của mặt tiếp xúc giữa chúng. Trong bài toán dẫn nhiệt người ta thường quan tâm mặt tiếp xúc cản nhiệt hay còn gọi mặt tiếp xúc không hoàn hảo dạng Kapitza. Khi đó, dòng nhiệt liên tục còn nhiệt độ không liên tục và tỉ lệ với dòng nhiệt pháp tuyến qua mặt tiếp xúc. Minh họa trong thực tế cho trường hợp cản nhiệt Kapitza là vật liệu tổng hợp đồng-kim cương, mặc dù hệ số dẫn nhiệt của đồng và kim cương lần lượt là 400W/m/K và 1500W/m/K nhưng hệ số dẫn nhiệt vĩ mô của composite đo được chỉ có 200W/m/K [1]. Điều này cho thấy ảnh hưởng của mặt tiếp xúc giữa đồng và kim cương đến hệ số dẫn nhiệt vĩ mô vật liệu. Vấn đề xác định hệ số dẫn nhiệt vĩ mô của vật liệu composite với mặt tiếp xúc không hoàn hảo thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Hasselman [2] đã cải tiến nghiên cứu của Maxwell và Rayleigh cho vật liệu composite chứa cốt liệu hình cầu hoặc tròn với mặt tiếp xúc cản nhiệt. Các xấp xỉ cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu chứa cốt liệu dạng êlíp với phương bất kỳ thu được bởi phương pháp cốt liệu tương đương [3, 4, 5]. Cách tiếp cận dựa trên nguyên lý biến phân để xây dựng các giới hạn trên-dưới của hệ số dẫn vĩ mô cũng được đề xuất, các biểu thức tường minh của các giới hạn thu được khi sử dụng các trường thử thích hợp [6, 7]. Một hướng khác để nghiên cứu ảnh hưởng của mặt tiếp xúc là sử dụng phương pháp số. Monchiet [8] đã áp dụng phương pháp biến đổi nhanh Fourier để xác định hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu, sự không liên tục của trường nhiệt độ được mô hình bằng cách thêm vào các hàm mô tả phù hợp. Điểm chung của các nghiên cứu này là mới chỉ đề cập đến ứng xử vĩ mô của một số dạng vật liệu, phương pháp biến phân tương quan 3 điểm được phát triển gần đây [9, 10, 11] cho phép xây dựng công thức tường minh cho cả ứng xử vĩ mô và các trường vi mô với mô hình quả cầu lồng nhau. Tiếp tục theo hướng này, trong báo cáo sẽ xây dựng biểu thức tường minh cho hệ số dẫn vĩ mô và các trường vi mô của vật liệu có mặt tiếp xúc không hoàn hảo dạng Kapitza. Xét phần tử đặc trưng có thể tích V trong không gian d chiều gồm 3 pha 𝑉𝑉𝛼𝛼 ⊂ 𝑉𝑉 với tỉ lệ thể tích v α 2. Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha và trường hợp riêng và hệ số dẫn c α (α=1,2,3). Quả cầu pha 1 nằm trong quả cầu pha 2, cả hai quả cầu lại nằm trong quả cầu pha 3, tỉ lệ thể tích và thứ tự giữa các pha là không đổi. Toàn bộ vật liệu được lấp đầy bởi các quả cầu lồng nhau 3 pha như vậy (hình 1a). Từ nguyên lý năng lượng cực tiểu và năng lượng bù cực tiểu, các giới hạn trên-dưới đối với hệ số 𝑐𝑐 𝑙𝑙 𝑙𝑙 ≤ 𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ≤ 𝑐𝑐 𝑢𝑢𝑢𝑢 dẫn vĩ mô thu được như sau (1)
279 335 Hình 1. Quả cầu lồng nhau 3 pha (a); quả cầu lồng nhau với mặt tiếp xúc không hoàn hảo (b) 2.1. Giới hạn trên và các trường vi mô khi gradient nhiệt vĩ mô tác dụng Giới hạn trên cub được xây dựng bằng cách áp trường gradient nhiệt độ vĩ mô lên phần tử đặc trưng 𝑐𝑐 𝑢𝑢𝑢𝑢 = 𝑐𝑐 𝑉𝑉 − 𝒗𝒗′𝑐𝑐 . 𝓐𝓐−1 . 𝒗𝒗 𝑐𝑐 và có biểu thức [9] 𝑐𝑐 (2) 𝒜𝒜 𝑐𝑐 = �𝒜𝒜 𝑐𝑐 � trong đó: 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝒜𝒜 𝑐𝑐 = + ∑3 �𝐴𝐴 𝛾𝛾 − 𝑣𝑣 𝛼𝛼 𝑐𝑐 𝑅𝑅 ∑3 𝑐𝑐 −1 𝐴𝐴 𝛾𝛾 � 𝑐𝑐 𝛾𝛾 𝑣𝑣 𝛼𝛼 𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝛿𝛿 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛿𝛿𝛿𝛿 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑑𝑑 𝛾𝛾=1 𝛿𝛿=1 𝛿𝛿 𝒗𝒗′𝑐𝑐 = { 𝑣𝑣1 𝑐𝑐1 , 𝑣𝑣2 𝑐𝑐2 , 𝑣𝑣3 𝑐𝑐3 } 1 (3) 𝑑𝑑 𝒗𝒗 𝑐𝑐 = {𝑣𝑣1 ( 𝑐𝑐1 − 𝑐𝑐 𝑅𝑅 ), 𝑣𝑣2 ( 𝑐𝑐2 − 𝑐𝑐 𝑅𝑅 ), 𝑣𝑣3 ( 𝑐𝑐3 − 𝑐𝑐 𝑅𝑅 )} 𝑇𝑇 c V , c R là trung bình cộng Voigt và trung bình điều hòa Reuss; δ αβ là ký hiệu Kronecker; 𝐴𝐴 𝛼𝛼 là các tham 𝛽𝛽𝛽𝛽 Trường nhiệt độ vi mô tương ứng khi áp gradient nhiệt vĩ mô 𝛻𝛻𝑇𝑇𝑖𝑖0 lên phần tử đặc trung, có biểu số hình học tương quan 3 điểm. 𝑇𝑇( 𝒙𝒙) = 𝛻𝛻𝑇𝑇𝑖𝑖0 𝑥𝑥 𝑖𝑖 + 𝛻𝛻𝑇𝑇𝑖𝑖0 ∑3 𝑎𝑎 𝛼𝛼 𝜑𝜑,𝑖𝑖 + const thức [10,11] 𝛼𝛼 𝛼𝛼=1 (4) 𝒂𝒂 = −𝓐𝓐−1 . 𝒗𝒗 𝑐𝑐 chỉ số sau dấu phẩy là đạo hàm đối với tọa độ Decarte, các hệ số a α (α=1,2,3) được xác định như sau [10] 𝑐𝑐 còn φα là hàm thế điều hòa, đối với mô hình quả cầu lồng nhau đang xét thì biểu thức tường minh của 𝜑𝜑,𝑖𝑖 𝛼𝛼 (5) có dạng [10,11]
280 336 , 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝜑𝜑,𝑖𝑖 ( 𝒙𝒙) = � 𝑥𝑥 1 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑅𝑅1 , 𝑅𝑅1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅3 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑 ⎧0, 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅1 ⎪ 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑅𝑅1 𝜑𝜑,𝑖𝑖 ( 𝒙𝒙) = 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑 , 𝑅𝑅1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅2 𝑑𝑑 2 ⎨ 𝑥𝑥 𝑖𝑖 (𝑅𝑅 𝑑𝑑 −𝑅𝑅 𝑑𝑑 ) ⎪ 2 𝑑𝑑 1 , 𝑅𝑅2 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅3 (6) ⎩ 𝑑𝑑𝑟𝑟 0, 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅2 𝜑𝜑,𝑖𝑖 ( 𝒙𝒙) = � 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑅𝑅2 3 − 𝑑𝑑 , 𝑅𝑅2 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅3 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑟𝑟 2.2. Giới hạn dưới và các trường vi mô khi dòng nhiệt vĩ mô tác dụng Giới hạn dưới clb được xây dựng bằng cách áp trường dòng nhiệt vĩ mô lên phần tử đặc trưng và có 𝑐𝑐 𝑙𝑙 𝑙𝑙 = ( 𝑐𝑐 −1 − �′𝑐𝑐 . � −1 . � 𝑐𝑐 )−1 𝒗𝒗 𝓐𝓐 𝑐𝑐 𝒗𝒗 biểu thức [9] 𝑅𝑅 (7) 𝒜𝒜̅ 𝑐𝑐 = �𝒜𝒜̅ 𝑐𝑐 � trong đó: 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝒜𝒜̅ 𝑐𝑐 = + ∑3 �𝐴𝐴 𝛾𝛾 − ∑3 𝑐𝑐 𝛿𝛿 𝐴𝐴 𝛿𝛿𝛿𝛿 � (1−𝑑𝑑)2 𝑣𝑣 𝛼𝛼 𝛿𝛿 𝛼𝛼𝛼𝛼 1 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑣𝑣 𝛼𝛼 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝛾𝛾=1 𝑐𝑐 𝛾𝛾 𝑐𝑐 𝑉𝑉 𝛿𝛿=1 𝛾𝛾 �′𝑐𝑐 = 𝒗𝒗 � 𝑐𝑐 , , � 1−𝑑𝑑 𝑣𝑣1 𝑣𝑣2 𝑣𝑣3 𝑑𝑑 𝑐𝑐2 𝑐𝑐3 (8) 1 𝑇𝑇 � 𝑐𝑐 = (1 − 𝑑𝑑) � 𝑣𝑣1 � 𝑐𝑐 − 𝒗𝒗 �, 𝑣𝑣2 � − �, 𝑣𝑣3 � − �� 1 1 1 1 1 1 1 𝑐𝑐 𝑉𝑉 𝑐𝑐2 𝑐𝑐 𝑉𝑉 𝑐𝑐3 𝑐𝑐 𝑉𝑉 Trường dòng vi mô tương ứng khi áp dòng nhiệt vĩ mô 𝐽𝐽𝑖𝑖0 lên phần tử đặc trưng, có biểu thức: 𝐽𝐽𝑖𝑖 ( 𝒙𝒙) = 𝐽𝐽𝑖𝑖0 + 𝐽𝐽𝑖𝑖0 ∑3 � 𝛼𝛼 (𝜑𝜑,𝑖𝑖 𝑖𝑖 − 𝛿𝛿 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝔗𝔗 𝛼𝛼 ) 𝛼𝛼=1 𝑎𝑎 𝛼𝛼 trong đó 𝔗𝔗 𝛼𝛼 là hàm chỉ số: 𝔗𝔗 𝛼𝛼 ( 𝒙𝒙) = 1 nếu 𝒙𝒙 ∈ 𝑉𝑉𝛼𝛼 và 𝔗𝔗 𝛼𝛼 ( 𝒙𝒙) = 0 nếu 𝒙𝒙 ∉ 𝑉𝑉𝛼𝛼 . Các hệ số � 𝛼𝛼 (α=1,2,3) 𝑎𝑎 (9) � 𝑐𝑐 𝒗𝒗 � = −𝓐𝓐−1 . � 𝑐𝑐 𝒂𝒂 được xác định như sau [10] còn 𝜑𝜑,𝑖𝑖 𝑖𝑖 được suy ra từ (6) 𝛼𝛼 (10) , 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅1 𝛿𝛿 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝜑𝜑,𝑖𝑖 𝑖𝑖 ( 𝒙𝒙) = � 𝛿𝛿 1 𝑑𝑑 − , 𝑅𝑅1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅3 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑅𝑅1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑅𝑅1 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑑𝑑+2 0, 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅1 𝑑𝑑 ⎧ 𝑗𝑗 ⎪ 𝛿𝛿 𝑖𝑖 𝑖𝑖 − + , 𝑅𝑅1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅2 𝛿𝛿 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑅𝑅1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑅𝑅1 𝜑𝜑,𝑖𝑖 𝑖𝑖 ( 𝒙𝒙) = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 2 ⎨ 𝛿𝛿 𝑖𝑖 𝑖𝑖 (𝑅𝑅 𝑑𝑑 −𝑅𝑅 𝑑𝑑 ) 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑥𝑥 (𝑅𝑅 𝑑𝑑 −𝑅𝑅 𝑑𝑑 ) 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑑𝑑+2 ⎪ − , 𝑅𝑅2 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅3 (11) 𝑗𝑗 ⎩ 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑 2 1 2 1 𝑟𝑟 𝑑𝑑+2 0, 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅2 𝑗𝑗 𝜑𝜑,𝑖𝑖 𝑖𝑖 ( 𝒙𝒙) = � 𝛿𝛿 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝛿𝛿 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑅𝑅2 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑅𝑅2 3 − 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑+2 , 𝑅𝑅2 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅3 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑗𝑗 Đối với mô hình quả cầu lồng nhau, các biểu thức (2) và (7) hội tụ đến giá trị chính xác hệ số dẫn nhiệt vĩ mô, ta có ceff=cub=clb.
281 337 2.3. Trường hợp riêng với pha xen giữa có chiều dầy mỏng (𝑣𝑣2 ≪ 1) (hình 1b). Với chiều dầy mỏng h ( ≪ 1), ta có ℎ Xét trường hợp riêng của mô hình quả cầu lồng nhau 3 pha với pha xen giữa có chiều dầy mỏng 𝑅𝑅1 𝑑𝑑 = = �1 + � =1+ + 𝑂𝑂 � 2 � 𝑣𝑣1 +𝑣𝑣2 𝑅𝑅2 𝑑𝑑 ℎ 𝑑𝑑ℎ ℎ2 𝑣𝑣1 𝑅𝑅1 𝑑𝑑 𝑅𝑅1 𝑅𝑅1 𝑅𝑅1 (12) do đó ta có 𝑣𝑣2 = 𝑣𝑣1 + 𝑂𝑂 � 2 � 𝑑𝑑ℎ ℎ2 𝑅𝑅1 𝑅𝑅1 (13) Các tham số hình học tương quan 3 điểm 𝐴𝐴 𝛼𝛼 được đơn giản hóa như sau: 𝐴𝐴1 = 0, ∀𝛼𝛼, 𝛽𝛽 = 1,2,3 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛽𝛽𝛽𝛽 𝐴𝐴33 2 = 𝐴𝐴23 = 𝐴𝐴32 = 𝐴𝐴13 = 𝐴𝐴31 = 0, 2 2 2 2 𝐴𝐴11 = 𝐴𝐴33 = −𝐴𝐴13 = −𝐴𝐴31 = 𝑣𝑣1 𝑣𝑣3 𝑑𝑑−1 3 3 3 3 𝑑𝑑 𝐴𝐴11 = 𝐴𝐴22 = −𝐴𝐴12 = −𝐴𝐴21 = 𝑣𝑣1 (𝑑𝑑−1)ℎ 2 2 2 2 𝑅𝑅 1 𝐴𝐴12 = 𝐴𝐴21 = −𝐴𝐴23 = −𝐴𝐴32 = 𝑣𝑣1 𝑣𝑣3 (14) (𝑑𝑑−1)ℎ 3 3 3 3 𝑅𝑅1 𝐴𝐴22 = 𝑣𝑣1 𝑣𝑣3 𝑑𝑑(𝑑𝑑−1)ℎ2 3 𝑅𝑅1 2 3. Mặt tiếp xúc không hoàn hảo dạng Kapitza 𝑐𝑐2 = , →0 Trong mô hình mặt tiếp xúc cản nhiệt, hệ số dẫn của pha mỏng xen giữa được giả thiết: ℎ ℎ 𝛼𝛼 𝑅𝑅1 (15) trong tất cả các quả cầu lồng nhau. Chú ý rằng ma trận 𝒜𝒜 𝑐𝑐 = �𝒜𝒜 𝑐𝑐 � suy biến khi tỉ số → 0. Do đó để ℎ trong đó α được gọi là hệ số cản nhiệt Kapitza. Trong mô hình, tỉ lệ R 1 /R 3 và R 1 /α được giữ không đổi 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑅𝑅1 ℎ 𝑅𝑅1 quả đủ chính xác các hệ số a α hay � 𝛼𝛼 (α=1,2,3). 𝑎𝑎 áp dụng tính toán số trong báo cáo này, ta sẽ dùng các giá trị đủ nhỏ của tỉ số để có thể thu được kết Hệ số dẫn nhiệt vĩ mô chính xác ceff của mô hình với mặt tiếp xúc cản nhiệt có thể được suy ra bằng sơ đồ thay thế Hill như trong [10] −1 𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = � + � − (𝑑𝑑 − 1)𝑐𝑐3 𝑣𝑣1 𝑣𝑣3 𝑑𝑑𝑐𝑐3 𝑐𝑐1 𝑐𝑐1 𝛼𝛼+(𝑑𝑑−1)𝑐𝑐3 1+ (16) 𝑅𝑅1 Để kiểm tra sự hội tụ của kết quả với h/R 1 đủ nhỏ, xét mô hình hình tròn lồng nhau (bài toán 2 chiều) có mặt tiếp xúc không hoàn hảo dạng Kapitza. Giả thiết pha nền có hệ số dẫn c 3 =1W/m/K, cốt liệu dẫn nhiệt tốt hơn pha nền với c 1 =10W/m/K, tỉ số R 1 /α=10W/m/K và tỉ lệ thể tích cốt liệu v 1 =0.3. Giới hạn trên cub tính theo (2),(3),(14),(15), giới hạn dưới clb tính theo (7),(8),(14),(15) còn ceff chính xác tính theo (16). Hình 2 cho thấy cub và clb hội tụ đến giá trị chính xác với tỉ lệ h/R 1 =0.001. Giá trị này sẽ được dùng để tính hệ số dẫn nhiệt vĩ mô và các trường vi mô trong các ví dụ tiếp theo.
282 338 Hình 2. Hội tụ của các giá trị giới hạn trên, giới hạn dưới với các giá trị h/R 1 khác nhau Hình 3 biểu diễn hệ số dẫn vĩ mô theo tỉ số R 1 /α. Kết quả của Monchiet [8] cũng được giới thiệu để so sánh. Chú ý rằng Monchiet tính cho vật liệu tuần hoàn với phần tử đặc trưng hình vuông chứa các cốt liệu hình tròn phân bố ngẫu nhiên. Hình 3. Hệ số dẫn nhiệt vĩ mô phụ thuộc tỉ số R 1 /α, trường hợp 2 chiều với tỉ lệ thể tích cốt liệu Đối với ví dụ ở trên, các hệ số a α hay � 𝛼𝛼 (α=1,2,3) được xác định lần lượt theo (5) và (10) 𝑎𝑎 v 1 =0.236 { 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 𝑎𝑎3 } 𝑇𝑇 = {−1.5825 206.7512 0.5014} 𝑇𝑇 {𝑎𝑎1 �2 �3 } 𝑇𝑇 = {−0.7792 0.6076 0.3337} 𝑇𝑇 � 𝑎𝑎 𝑎𝑎 (17) Chú ý rằng giá trị tuyệt đối của a 2 lớn hơn nhiều lần các hệ số a 1 và a 3 . Nguyên nhân do suy biến nền. Trường nhiệt độ khi áp gradient nhiệt độ vĩ mô 𝛻𝛻𝑻𝑻0 = (1, 0) 𝑇𝑇 được biểu diễn trên hình 4. Dễ thấy của các số hạng chứa R 1 /h, dẫn đến bước nhảy của trường nhiệt độ tại mặt tiếp xúc giữa cốt liệu và pha của trường nhiệt độ được biểu diễn trên hình 5. Trường dòng nhiệt vi mô khi áp dòng nhiệt vĩ mô 𝑱𝑱0 = hiệu ứng cản nhiệt dẫn đến sự gián đoạn của trường nhiệt độ tại mặt tiếp xúc cốt liệu-pha nền. Bước nhảy (1, 0) 𝑇𝑇 lên phần tử đặc trưng, được biểu diễn trên hình 6.
283 339 Hình 4. Trường nhiệt độ vi mô khi áp gradient nhiệt vĩ mô ∇𝑻𝑻0 = (1, 0) 𝑇𝑇 Hình 5. Thay đổi bước nhảy nhiệt độ theo góc θ 4. Xấp xỉ hệ số dẫn nhiệt với phương pháp cốt liệu tương đương Khi cho tỉ lệ pha nền tiến đến 1 (v 3 →1) trong biểu thức (16), chúng ta thu được biểu thức hệ số dẫn vĩ mô cho bài toán cốt liệu phân bố thưa với mặt tiếp xúc không hoàn hảo dạng Kapitza. Biểu thức tương tự cho cốt liệu phân bố thưa với mặt tiếp xúc hoàn hảo có dạng: −1 𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = � + � − (𝑑𝑑 − 1)𝑐𝑐3 𝑣𝑣1 𝑣𝑣3 𝑐𝑐1 +(𝑑𝑑−1)𝑐𝑐3 ∗ 𝑑𝑑𝑐𝑐3 (18) Sự tương đồng giữa (16) và (18) gợi ý cách tiếp cận xấp xỉ hệ số dẫn nhiệt vĩ mô bằng cốt liệu tương đương. Chúng ta sẽ xem vật liệu composite có mặt tiếp xúc không hoàn hảo giữa cốt liệu với pha nền như là vật liệu có mặt tiếp xúc hoàn hảo giữa cốt liệu với pha nền nhưng có hệ số dẫn tương đương 𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = được xác định bởi biểu thức: 𝑐𝑐1 𝑐𝑐 𝛼𝛼 1+ 1 𝑅𝑅1 (19)
284 340 Hình 6. Trường dòng vi mô khi áp dòng nhiệt vĩ mô 𝑱𝑱0 = (1, 0) 𝑇𝑇 Trong báo cáo này ta sẽ sử dụng mô hình đề xuất, kết hợp với phương pháp cốt liệu tương đương để dự đoán hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu composite đồng-kim cương. Vật liệu composite đồng-kim cương được sử dụng làm vật liệu tản nhiệt trong các thiết bị điện tử, tuy nhiên liên kết hóa học giữa đồng và kim cương rất kém. Bổ xung thêm lớp vỏ Mo 2 C cho cốt liệu kim cương sẽ làm tăng hệ số dẫn của mặt tiếp xúc giữa cốt liệu và pha nền, do đó làm tăng hệ số dẫn nhiệt vĩ mô của vật liệu [1]. Từ kết quả thực nghiệm c exp =ceff ứng với các tỉ lệ thể tích cốt liệu v 1 =0.3,0.4,0.5,0.6 ta có thể tìm được hệ số dẫn của cốt liệu tương đương c equi và tham số α/R 1 . Kết quả được ghi trong bảng 1. Hệ số dẫn nhiệt của pha nền (đồng) và cốt liệu (kim cương) lần lượt là c 3 =400W/m/K và c 1 =1500W/m/K. Khi lấy tham số α/R 1 được xác định ứng với tỉ lệ thể tích v 1 =0.4 ta dự đoán được hệ số dẫn nhiệt vĩ mô cho các tỉ lệ thể tích cốt liệu khác. Kết quả được biểu diễn trên hình 7. Bảng 1. Hệ số dẫn cốt liệu tương đương và tham số α/R 1 tương ứng với các tỉ lệ thể tích khác nhau Không có lớp vỏ Mo 2 C Có lớp vỏ Mo 2 C v1 c exp c equi α/R 1 (×10-3) c exp c equi α/R 1 (×10-4) 0.3 264 41.48 23.4 495 788.42 6 0.4 252 87.76 10.7 530 788.06 6 0.5 230 102.19 9.1 560 769.23 6.3 0.6 200 100 9.3 596 766.58 6.4 5. Kết luận Bài toán dẫn trong vật liệu composite chứa cốt liệu cầu hoặc tròn với mặt tiếp xúc không hoàn hảo dạng Kapitza được nghiên cứu. Xuất phát từ mô hình quả cầu lồng nhau 3 pha, vật liệu có mặt tiếp xúc cản nhiệt giữa các pha được mô hình hóa như là trường hợp riêng khi chiều dầy của pha xen giữa tiến tới không. Kết quả tính hệ số dẫn nhiệt vĩ mô hội tụ khi chiều dầy pha xen giữa đủ nhỏ và phù hợp với kết quả của các tác giả khác. Các trường vi mô nhiệt độ hay dòng nhiệt cũng được khảo sát chi tiết. Kết hợp với phương pháp cốt liệu tương đương, mô hình có thể dự đoán hệ số dẫn nhiệt vĩ mô của các vật liệu composite trong thực tế.
285 341 Hình 7. So sánh kết quả tính theo mô hình và thực nghiệm cho vật liệu composite đồng-kim cương, các tham số của mô hình được xác định tương ứng với tỉ lệ thể tích cốt liệu v 1 =0.4 Tài liệu tham khảo [1] Q. Kang, X. He, S. Ren, L. Zhang, M. Wu, C. Guo, Q. Liu, T. Liu, X. Qu. Effect of molybdenum carbide intermediate layers on thermal properties of copper-diamond composites. J. Alloys. Comp, 576, (2013), pp. 380– 385. [2] D.P.H. Hasselman, L.F. Johnson. Effective thermal conductivity of composites with interfacial thermal barrier resistance. J. Compos. Mater, 21, (1987), pp.508–515. [3] H.L. Duan, B.L. Karihaloo. Effective thermal conductivities of heterogeneous media containing multiple imperfectly bonded inclusions. Phys. Rev. B, 75, (2007) 064206. [4] M.L. Dunn, M. Taya. The effective thermal conductivity of composites with coated reinforcement and the application to imperfect interfaces. J. Appl. Phys, 73 (1993) 1711. [5] C.W. Nan, R. Brringer, D.R. Clarke, H. Gleiter. Effective thermal conductivity of particulate composites with interfacial thermal resistance. J. Appl. Phys, 81 (1997), pp. 6692-6699. [6] R. Lipton, D.R.S. Talbot. Bounds for the effective conductivity of a composite with an imperfect interface. Proc. R. Soc. Lond. A, 457, (2001), pp. 1501-1517. [7] S. Torquato, M.D. Rintoul. Effect of the interface on the properties of composite media. Phys. Rev. Lett, 75, (1995), pp. 4067-4070. [8] V. Monchiet. FFT based iterative schemes for composites conductors with non-overlappingfibers and Kapitza interface resistance. Int. J. Solids. Struct, 135, (2018), pp. 14-25. [9] D.C. Pham. Bounds on the effective conductivity of statistically isotropic multicomponent materials and random cell polycrytals. J. Mech. Phys. Solids, 59, (2011), pp. 497-510. [10] D.C. Pham. Solutions for the conductivity of multi-coated spheres and spherically-symmetric inclusion problems. Z. Angew. Math. Phys, 69, (2018), 13. [11] D.C. Pham, T.K. Nguyen. The microscopic conduction fields in the multi-coated sphere composites under the imposed macroscopic gradient and flux fields. Z. Angew. Math. Phys, 70, (2019), 24.