Hiện tượng Gibbs của hàm tổng quát có điểm gián đoạn tại gốc tọa độ và tại điểm bất kỳ

Chia sẻ: ViEnzym2711 ViEnzym2711 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm có điểm gián đoạn tại gốc tọa độ và mở rộng tại điểm bất kỳ. Đồng thời khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ sử dụng một họ các nhân xác định đường tổng Cesaro.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hiện tượng Gibbs của hàm tổng quát có điểm gián đoạn tại gốc tọa độ và tại điểm bất kỳ

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC HIỆN TƯỢNG GIBBS CỦA HÀM TỔNG QUÁT CÓ ĐIỂM GIÁN ĐOẠN TẠI GỐC TỌA ĐỘ VÀ TẠI ĐIỂM BẤT KỲ THE GIBBS PHENOMENON OF THE GENERAL FUNCTION HAS A DISCONTINUITY AT THE COORDINATES AND AT THE WHETHER Nguyễn Kiều Hiên1, Nguyễn Thị Hải Đường1, Lưu Thị Thu Huyền2 Email: nguyenkieuhien@gmail.com.vn 1 Trường Đại học Sao Đỏ 2 Trường Đại học Hùng Vương Ngày nhận bài: 23/8/2017 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 22/12/2017 Ngày chấp nhận đăng: 28/12/2017 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm có điểm gián đoạn tại gốc tọa độ và mở rộng tại điểm bất kỳ (xem [2]). Đồng thời khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ sử dụng một họ các nhân xác định dương tổng Cesaro. Từ khóa: Chuỗi Fourier; hiện tượng Gibbs; điểm gián đoạn; tổng Cesaro. Abstract In this paper, we research the existence of Gibbs for a function with a discontinuity at the coordinates and at the whether (see [2]). At the same time overcoming the Gibbs phenomenon we will use a they multiplication the positive of Cesaro sum. Keywords: Fourier series; Gibbs phenomenon; discontinuity point; Cesaro sum. 1. GIỚI THIỆU hội tụ đều. Nhưng điều gì sẽ xảy ra khi các tổng riêng của nó gần với điểm gián đoạn? Năm 1898, J. Willard Gibbs khi nghiên cứu về sự hội tụ của chuỗi Fourier của một hàm gián đoạn Thác triển tuần hoàn chu kỳ 2π cho h xác định đã phát hiện ra hiện tượng Gibbs. Tuy nhiên, phải trên  bởi đến năm 1906 Maxime Bocher mới có lời giải chi tiết về mặt toán học. h ( x ) = 0 nếu= x k 2π ,= x ( 2k + 2 ) π Trong bài báo này, chúng tôi mô tả dáng điệu của h ( x ) = [ ( 2k + 1) π − x] 2 nếu chuỗi Fourier của các hàm tổng quát có điểm gián 2 kπ < x < ( 2 k + 2 ) π . đoạn tại gốc tọa độ, tại điểm bất kỳ và đồng thời đưa ra cách khắc phục hiện tượng Gibbs bằng sử Như vậy, hàm h liên tục tại tất cả các điểm trừ ra dụng tổng Cesaro, trình bày ví dụ khắc phục hiện những điểm x = 2kπ , với k ∈  . Ở đó tượng Gibbs kèm theo. π h ( 2 kπ + ) = h ( ( 2 k + 2 ) π + ) = , 2. HIỆN TƯỢNG GIBBS 2 Bài toán: Xét hàm tuần hoàn chu kỳ 2π xác π h ( 2 kπ − ) = h ( ( 2k + 2 ) π − ) = − . định bởi 2 0, x = 0, Xét lân cận phải của điểm 0 : ( 0, π ) . Ta có tổng riêng  h ( x )= (π − x ) 2, 0 < x < 2π , N sin ( nx ) S N ( h )( x ) = ∑ .  x = 2π . n 0, n =1 1 Lấy đạo hàm ta được Dễ dàng tính được, an = 0 với mọi n và bn = N 1 n N ( h )( x ) ′ S= ∑= cos ( nx ) C  DN ( x ) − 1 Do đó n =1 2 N sin ( nx ) sin ( N + 1 2 ) x 1 ( h )( x )  ∑ , 0 ≤ x ≤ 2π . = 2sin ( x 2 ) − n =1 n 2 Ta thấy rằng trong bài toán trên h gián đoạn tại sin ( Nx 2 ) Ccos ( N + 1) x 2  = . x = 0 và x = 2π nên chuỗi Fourier của nó không sin ( x 2 ) 58 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC Ở đây, đẳng thức cuối không đúng tại x = 0 . Từ Tích phân này bị chặn trong lân cận gần t = 0 nó đây suy ra dần tới 0 khi t → ∞ và do đó J ( x0 ) hội tụ về 0 S N′ ( h )( x ) = 0, khi N → ∞ . Do vậy π sin u có các không điểm ( h )( x0 ) lim S N= ∫ du ≈ 1,85, = xkk = π + 2 kπ , k 0,1, 2,.... N →∞ 0 u N +1 π Hàm số S N′ ( h )( x ) đổi dấu luân phiên trên hai lim h ( x0= ) ≈ 1,57. khoảng liên tiếp của các điểm chia xk . Từ đây suy N →∞ 2 ra xk là các điểm cực trị của S N ( h )( x ) . Điểm đầu Với mỗi N cho trước, tổng riêng S N ( h )( x ) có giá tiên x0 là điểm cực đại, do đó hàm số đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm. trị cực đại trên ( 0, π ). Khi N → ∞ thì dãy những giá trị cực đại đó dần tới 1,85, còn những giá trị Hơn nữa, do S N ( 0 ) = 0 nên cực trị khác của hàm tổng riêng này dao động x xung quanh các giá trị của h . S N ( h )( x ) = ∫ S N′ ( h )( t )dt Xét lân cận trái của điểm 00: ( −π , 0 ). Dáng điệu 0 x sin ( Nt 2 ) Ccos ( N + 1) t 2  tương tự cũng xảy ra đối với S N ( h )( x ). Cụ thể, =∫ dt. 0 sin ( t 2 ) khi x dần tới 0 từ bên trái, đồ thị hàm S N ( h )( x ) không dao động nữa mà nó bất chợt giảm quá giá Do trong hàm dưới dấu tích phân, hàm dưới mẫu π trị − để đạt giá trị nhỏ nhất tại − x0 sau đó tăng là tăng trong ( 0, π ) và hàm tử số đổi dấu luân 2 liên tục đến bước nhảy bên lân cận phải, nó vượt phiên qua các không điểm xk . Do đó, giá trị lớn π nhất trên ( 0, π ) của S N ( h )( x ) đạt tại điểm quá đà giá trị 2 để đạt cực đại tại x0 rồi sau đó π mới dao động ổn định xung quanh các giá trị của x0 = . Vậy bên phải của điểm cực đại x0, biên N +1 h cho tới trước điểm gián đoạn kế tiếp, trong bài độ dao động của hàm S N ( h )( x ) giảm dần và sau đó dao động xung quanh các giá trị của toán này là điểm 2π. hàm h ( x ). Điều này được gọi là hiện tượng bước nhảy Gibbs π − x0 hay hiện tượng Gibbs. Xét tại điểm cực đại x0 , h ( x0 ) = và 2 Định nghĩa 1 (xem [1]) S N ( h )( x0 ) − h ( x0 ) = Cho hàm f khả tích và tuần hoàn với chu kỳ 2π. x0 sin ( N + 1 2 ) t π ∫0 2sin ( t 2 ) dt − 2 Với N là số nguyên dương, tổng riêng thứ N của chuỗi Fourier của hàm f được xác định bởi N x0 sin ( N + 1 2 ) t SN ( f )( x ) = ∑ fˆ ( n )einx . ∫ 0 2sin ( t 2 ) dt + n= − N Định nghĩa 2 (xem [3]) x0  1 1 π + ∫  −  sin ( N + 1 2 ) tdt − Cho các tổng riêng  2sin ( t 2 ) t  2 0 π S0 ( f )( x ) , S1 ( f )( x ) ,...., S N −1 ( f )( x ) . = I ( x0 ) + J ( x0 ) − . 2 Ký hiệu σ N ( f )( x ) là tổng Cesaro thứ N của N ( f )( x ) = chuỗiσFourier. Trong đó sin ( N + 1 2 ) t S0 ( f )( x ) + S1 ( f )( x ) + .... + S N −1 ( f )( x ) x0 σ N ( f )( x ) = I ( x0 ) = ∫ dt N . 0 2sin ( t 2 ) S0 ( f )( x ) + S1 ( f )( x ) + .... + S N −1 ( f )( x ) Định nghĩa 3 (xem [2]) N . π sin u = ∫ 0 u du ≈ 1,85, Cho hàm f ( x ) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π sao cho hạn chế của nó trên ( −π , π ) là hàm thuộc và  L1 ( −π , π ). Khi đó f thỏa mãn điều kiện Lipschitz x0 1 1  1 J (= x0 ) ∫  2sin ( t 2 ) − t  sin  N + 2  tdt. bậc α > 0 tại x0 nếu tồn tại một hằng số C sao cho 0   Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 59 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 0 α −1 d α −1 f ( x ) − f ( x0 ) ≤ C x − x0 α J 2 + J3 ≤ C ∫ u du + C ∫ u du −d 0 C 0 α −1 C d α −1 2 ∫−d 2 ∫0 trong lân cận của x0 thì f được gọi là thỏa mãn ≤ u du + u du điều kiện Lipschitz đều. C d α −1 d α −1 2 ∫−d ∫0 du Định lý 1 (xem [4]) = = u du C u Cho f ∈ L1 ( −π , π ) là hàm tuần hoàn và uα d C α h ∈ C[1α , b ] hàm sao cho [α , b ] ∈ [ −π , π ]. Khi đó = C= d . b α 0 α ∫α f ( x − u ) h ( u ) sin ( lu ) du Ta viết lại J1 hội tụ đều đến 0 khi l → ∞. −d 1 Định lý 2 (xem [3]) ∫ f ( x0 − u ) J1 = −π sin (u 2) sin ( uN + u 2 ) du 1 f ( x0+ ) −d Cho f thỏa mãn điều kiện Lipschitz phải và trái −∫ sin ( uN + u 2 ) du tại x0. Khi đó −π sin (u 2) f ( x0+ ) + f ( x0− ) = K1 − K 2 . SN ( f )( x0 ) → khi n → ∞. 2 Do Hơn nữa, nếu f thỏa mãn điều kiện Lipschitz 1 ∈ C[1−π ,−d ] trong lân cận thì hội tụ đều đến f trong lân cận sin (u 2) của x0 khi n → ∞. Theo định lý 1, do tính trù mật của C[1−π , −d ] trong Định lý 3 (xem [4]) 1 L1[−π ,−d ] nên với α = −π , b = −d và l= N + Giả sử f thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều 2 bậc 0 < α < 1 trong ( a, b ). Khi đó S N ( f ) hội cho tích phân K1 thì K1 hội tụ đều đến 0 khi tụ đều đến f trong khoảng con đóng bất kỳ l → ∞. [c, d ] ⊂ ( a, b ). Tích phân K 2 cũng hội tụ đều về 0 . Do vậy, J1 Chứng minh: hội tụ đều đến 0 khi N → ∞. Tương tự với J 4. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Lấy d < min {c − a, b − d }. Bây giờ, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại hiện Theo định lý 2, ta có tượng Gibbs tại điểm gián đoạn 0 của một hàm  S N ( f )( x ) − f ( x ) trơn từng khúc g . Xét hàm g ( x ) trơn từng khúc 1 π với bước nhảy tại 0 sao cho = 2π ∫ π  f ( x − u ) − f ( x )D ( u ) du − N g ( 0+ ) lim+ g ( x ) ≠ ±∞; = Đặt x →0 f ( x0+ ) + f ( x0− ) g ( 0− ) lim− g ( x ) ≠ ±∞ = f ( x0 ) = , 0 < d < π , ta có x →0 2 2π  S N ( f )( x0 ) − f ( x0 ) khi đó, loại điểm gián đoạn 0 và xác định hàm h ( x ) mới như sau −d f ( x0 − u ) − f ( x0+ ) =∫ uDN ( u ) du −π u  g ( 0+ ) − g ( 0− )  . 0 f ( x0 − u ) − f ( x0 ) + ( x ) g ( x ) −  h=  f ( x)  +∫ uDN ( u ) du π −d u   d f ( x0 − u ) − f ( x0 ) Trong đó f ( x ) là hàm là hàm tuần hoàn chu kỳ − +∫ uDN ( u ) du 0 u 2π được xác định bởi f ( x0 − u ) − f ( x0− ) +∫ 0 uDN ( u ) du 0, x = 0, d u  f ( x )= (π − x ) 2, 0 < x < 2π , = J1 + J 2 + J 3 + J 4 0, .  x = 2π . Suy ra Cho x → 0+ ta được 60 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC lim h ( x ) = Tương tự, khi x → x0− thì x → 0+  g ( 0+ ) − g ( 0− )  g ( x0+ ) + g ( x0− ) = lim+ g ( x ) −   lim+ f ( x ) lim− h ( x ) = . x →0  π  x →0 x → x0 2    g ( 0+ ) − g ( 0− )  π Bây giờ ta xác định = g ( 0+ ) −     π 2  g ( x0+ ) + g ( x0− ) h ( x0 ) = . g ( 0+ ) + g ( 0− ) 2 = . 2 Khi đó g ( x0+ ) − g ( x0− ) Tương tự, khi x → 0 thì− h ( x ) h= lim+ h ( x ) = lim− = ( x0 ) . x → x0 x → x0 2 . g ( 0+ ) + g ( 0− ) Vậy h ( x ) liên tục tại x0 do đó S N ( f ) hội tụ đều lim h ( x ) = x → 0− 2 trong lân cận của x0 . Do vậy hàm g xảy ra hiện tượng Gibbs tại x = x0 do f ( x − x0 ) cũng thế. Bây giờ, ta xác định h ( 0 ) có Trường hợp g có số các điểm gián đoạn nhảy g ( 0+ ) + g ( 0− ) . h ( 0) = hữu hạn x1 ,..., x j và trơn từng khúc mọi nơi trừ ra 2 các điểm đó thì ta xác định h ( x ) bởi Khi đó h liên tục tại 0 và thỏa mãn giả thiết định lý với x ≠ hx(j x ) = 1. Do đó S N ( f ) hội tụ tại 0. Thực ra, nó hội tụ đều 1  h ( x) = g ( x) −  ∑  g ( x0 ) − g ( x0 )   f ( x − x j ) , + − trong lân cận của 0, vì vậy ta có thể chỉ ra rằng xảy π j  1  ra hiện tượng Gibbs tại điểm gián đoạn 0. g ( xx) −= x ∑  g ( x0 ) − g ( x0 )   f ( x − x j ) , với  + −  π j j  Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại hiện tượng Gibbs tại điểm gián đoạn bất kỳ x0 của một h ( x) = ( ) g x +j + g x −j . ( ) 2 hàm trơn từng khúc g . Xét hàm g ( x ) trơn từng khúc với bước nhảy tại x = x0 và trơn từng khúc Chứng minh tương tự như trường hợp tại x = x0 mọi nơi trừ ra x0 sao cho ta xác định hàm h ( x ) ta cũng chứng minh cho hiện tượng Gibbs cho bởi hàm g tại điểm bất kỳ x1 ,..., x j . với x ≠ x0 3. KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG GIBBS Để khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ sử dụng  g ( x0+ ) − g ( x0− )  h ( x) = g ( x) −   f ( x − x0 ) , phương pháp xây dựng hàm số không trực tiếp  π  bằng tổng riêng của chuỗi mà từ trung bình cộng   của chúng. Phương pháp này ưu việt ở chỗ nó không chỉ đem lại tính hội tụ, mà còn hội tụ với x = x0 đều tới chính hàm f . Phương pháp này được g ( x0+ ) + g ( x0− ) gọi là phương pháp lấy trung bình cộng hay lấy h ( x) = . tổng Cesaro. 2 Định lý sau chỉ ra rằng tích chập với nhân xác định Khi đó f ( x ) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π được dương loại bỏ được hiệu ứng Gibbs. xác định như bài toán trên. Định lý 4 + Ta cho x → x ta thu được {K n }n=1 là một họ các nhân xác định dương 0 ∞ Cho lim+ h ( x ) ==  g ( x + ) − g ( x0− )  và m ≤ f ( x ) ≤ M với x ∈ ( a, b ). Khi đó, với mọi lim g ( x ) −   lim+ f ( x − x0 ) 0   x → x0 π ε > 0 và 0 < d x → x0 x → x0+   2 sao cho với mọi n > N và mọi x ∈ ( a + d , b − d )  g ( x0+ ) − g ( x0− )  π = g ( x0+ ) −   = g x0+ + g x0− . ( ) ( ) ta có m − ε ≤ σ N ( f )( x ) ≤ M + ε trong đó  π 2 2   Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 61 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC σ N ( f )( x ) = ( f * K n )( x ) . Ta thấy rằng trong ví dụ này h gián đoạn tại x = 0 nên chuỗi Fourier của nó không hội tụ Chứng minh: đều và xảy ra hiện tương Gibbs. Bây giờ sử dụng tổng Cesaro của hàm này để khắc phục hiện Do f liên tục tại x nên với ε > 0 cho trước, tượng này. tồn tại d > 0 sao cho y < d thì Ta có f ( x − y) − f ( x) < ε. N sin ( nx ) . S N ( h )( x ) = ∑ n =1 n Áp dụng tính chất của nhân tốt ta được Do đó tổng Cesaro thứ N là ( f * K n )( x ) − f ( x ) N −1  n  sin ( nx ) = 1 2π ∫π π − K n ( y ) f ( x − y ) dy − f ( x ) σ N ( h )( = x) ∑ 1 − N  n =1 n 1 π = 2π ∫ π K ( y )  f ( x − y ) − f ( x )dy − n Trong đó B là hệ số bị chặn của f . Do tính chất của nhân tốt nên tồn tại M > 0 sao cho ε M 2B K n ( y ) dy. 2π 2π ∫d ≤ y ≤π ≤ + Theo tính chất của nhân tốt thì với n đủ lớn ( f * K n )( x ) − f ( x ) 1 π K n ( y )  f ( x − y ) − f ( x ) dy 2π ∫−π = 1 K n ( y ) f ( x − y ) − f ( x ) dy 2π ∫ y 0 không phụ thuộc x khi đó ( f * K n )( x ) hội tụ đều đến f đpcm. [3]. H.T. Shim (1994). On Gibb’ phenomenon in wavelet subspaces and summability. Ph.D. Ví dụ 1: Xét hàm tuần hoàn chu kỳ 2π xác thesis, The University of Wisconsin-Milwaukee, định bởi Milwaukee. 0, x = 0, [4]. Kourosh Raeen (2008). A study of the Gibbs  h ( x )= (π − x ) 2, 0 < x < 2π , phenomenon in Fourier series and wavelets,  M.A.thesis, The University of New Mexico, 0, x = 2π . Albuquerque, New Mexico. 62 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017