Khám phá định lý PTOLEME

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

494
lượt xem 94
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khám phá định lý PTOLEME nhằm giúp các em học sinh các em đam mê toán đào sâu kiến thức toán, mở rộng kiến thức. Tài liệu mang tính chất tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khám phá định lý PTOLEME

DIEN DAN BAT DANG THUC VIET NAM VietNam Inequality Mathematic Forum www.vimf.co.cc Tác Gi Bài Vi t: Admin Bài vi t này (cùng v i file ñính kèm) ñư c t o ra vì m c ñính giáo d c. Không ñư c s d ng b n ebook này dư i b t kì m i m c ñính thương m i nào, tr khi ñư c s ñ ng ý c a tác gi . M i chi ti t xin liên h : www.vimf.co.cc
KHÁM PHÁ ð NH LÍ PTOLEME I. M ñ u: Hình h c là m t trong nh ng lĩnh v c toán h c mang l i cho ngư i yêu toán nhi u ñi u thú v nh t và khó khăn nh t. Nó ñòi h i ta ph i có nh ng suy nghĩ sáng t o và tinh t . Trong lĩnh v c này cũng xu t hi n ko ít nh ng ñ nh lí, phương pháp nh m nâng cao tính hi u qu trong quá trình gi i quy t các bài toán, giúp ta chinh ph c nh ng ñ nh núi ng gh và hi m tr . Trong bài vi t này zaizai xin gi i thi u ñ n các b n m t vài ñi u cơ b n nh t v ñ nh lí Ptô-lê-mê trong vi c ch ng minh các ñ c tính c a hình h c ph ng. Dù ñã r t c g ng nhưng bài vi t s không th tránh kh i nh ng thi u xót mong r ng các b n s cùng zaizai b sung và phát tri n nó. II. N i dung - Lí thuy t: 1. ð ng th c Ptô-lê-mê: Cho t giác ABCD n i ti p ñư ng tròn (O). Khi ñó: AC.BD = AB.CD + AD.BC Ch ng minh: L y M thu c ñư ng chéo AC sao cho ABD = MBC Khi ñó xét ∆ABD và ∆MBC có: ABD = MBC , ADB = MCB. Nên ∆ABD ñ ng d ng v i ∆MBC (g.g). Do ñó ta có: AD MC = ⇒ ADBC = BDMC (1) . BD BC BA BM L i có: = và ABM = DBC nên ∆ABM ~ ∆DBC ( gg ) BD BC AB BD Suy ra = hay ABCD = AMBD (2). AM CD T (1)và (2) suy ra: AD.BC + AB.CD = BD.MC + AM.BD = AC.BD V y ñ ng th c Ptô-lê-mê ñư c ch ng minh. 2, B t ñ ng th c Ptô-lê-mê ðây có th coi là ñ nh lí Ptô-mê-lê m r ng b i vì nó không gi i h n trong l p t giác n i ti p . ð nh lí: Cho t giác ABCD. Khi ñó: AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC Ch ng minh: Trong ABC l y ñi m M sao cho: ABD = MBC , ADB = MCB D dàng ch ng minh: AD BD ∆BAD ~ ∆BMC ⇒ = ⇒ BD.CM = AD.CB MC CB Cũng t k t lu n trên suy ra:
AB BD AB BD = , ABM = DBC ⇒ ∆ABM ~ ∆DBC (cgc) ⇒ = ⇒ AB.DC = BD. AM BM BC AM CD Áp d ng b t ñ ng th c trong tam giác và các ñi u trên ta có: AD.BC + AB.DC = BD ( AM + CM ) ≥ BD. AC V y ñ nh lí Ptô-lê-mê m r ng ñã ñư c ch ng minh. 3, ð nh lí Ptô-lê-mê t ng quát: Trong m t ph ng ñ nh hư ng cho ña giác A 0 ,A1 ,..., A 2n n i ti p ñư ng tròn (O). M là m t ñi m thu c cung A0 A2n (Không ch a A1 ; ...; A 2n−1 ) Khi ñó: 1 1 1 1 ∑ tg[ 4 OA 0≤k ≤n 2 k −2 , OA2 k )] + tg[ OA2 k , OA2 k +2 )]OA2 k = ∑ tg[ OA2 k −3 , OA2 k −1 )] + tg[ OA2 k −1 , OA2 k +1 )]OA2 k −1 4 1≤k ≤n 4 4 Trong ñó: A −1 = A 2 n , A −2 = A 2 n−1 , A 2 n+1 = A 0 , A _ {2n + 2} = A1 ðây là m t ñ nh lí không d dàng ch ng minh ñư c b ng ki n th c hình h c THCS. Các b n có th tham kh o phép ch ng minh trong bài vi t ð nh lí Ptô-lê-mê t ng quát c a Ti n sĩ Nguy n Minh Hà, ðHSP , Hà N i thu c Tuy n t p 5 năm T p chí toán h c và tu i tr . III, ng d ng c a ñ nh lí Ptô-lê-mê trong vi c ch ng minh các ñ c tính hình h c: 1, Ch ng minh quan h gi a các ñ i lư ng hình h c M ñ u cho ph n này chúng ta s ñ n v i 1 ví d ñi n hình và cơ b n v vi c ng d ng ñ nh lí Ptô-lê-mê. Bài toán 1. Cho tam giác ñ u ABC có các c nh b ng a (a>0).Trên AC l y ñi m Q di ñ ng, trên tia ñ i c a tia CB l y ñi m P di ñ ng sao cho AQ.BP = a 2 . G i M là giao ñi m c a BQ và AP. Ch ng minh r ng: AM+MC=BM ð thi vào trư ng THPT chuyên Lê Quí ðôn, th xã ðông Hà, t nh Qu ng Tr , 2005-2006 Ch ng minh: AQ AB T gi thi t AQ.BP = a 2 suy ra = . AB BP Xét ∆ABQ và ∆BPA có: AQ AB = ( gt ) BAQ = ABP ⇒ ∆ABQ ~ ∆BPA(cgc) ⇒ ABQ = APB(1) AB BP L i có ABQ + MBP = 60 o (2) T : (1), (2) ⇒ BMP = 180o − MBP − MPB = 120o ⇒ AMB = 180o − BMP = 180o −120o = 60o = ACB. Suy ra t giác AMCB n i ti p ñư c ñư ng tròn. Áp d ng ñ nh lí Ptô-lê-mê cho t giác AMCB n i ti p và gi thi t AB=BC=CA ta có: ABMC + BCAM = BM . AC ⇒ AM + MC = BM (ñpcm) ðây là 1 bài toán khá d và t t nhiên cách gi i này ko ñư c ñơn gi n l m.Vì n u mu n s d ng ñ ng th c Ptô-lê-mê trong 1 kì thi thì có l ph i ch ng minh nó dư i d ng b ñ . Nhưng ñi u chú ý ñây là ta ch ng c n ph i suy nghĩ nhi u khi dùng cách trên trong khi ñó n u dùng cách khác thì l i gi i có khi l i ko mang v tư ng minh. Bài toán 2. Tam giác ABC vuông có BC>CA>AB. G i D là m t ñi m trên c nh BC, E là m t ñi m trên c nh AB kéo dài v phía ñi m A sao cho BD=BE=CA. G i P là m t ñi m trên c nh AC sao cho E, B, D, P n m trên m t ñư ng tròn. Q là giao ñi m th hai c a BP v i ñư ng tròn ngo i ti p △ ABC . Ch ng minh r ng: AQ+CQ=BP ð thi ch n ñ i tuy n H ng Kông tham d IMO 2000, HongKong TST 2000 Ch ng minh: Xét các t giác n i ti p ABCQ và BEPD ta có:
CAQ = CBQ = DEP (cùng ch n các cung tròn) M t khác AQC = 108o − ABC = EPD Xét ∆AQC và ∆EPD có: AQ CA AQC = EPD, CAQ = DEP ⇒ ∆AQC ~ ∆EPD ⇒ = ⇒ AQ.ED = EP.CA = EP.BD(1) EP ED (do AC=BD) AC QC = ⇒ ED.QC = AC.PD = BE.PD (2) (do AC=BE) ED PD Áp d ng ñ nh lí Ptô-lê-mê cho t giác n i ti p BEPD ta có: EP.BD+BE.PD=ED.BP T (1), (2), (3) suy ra: AQ.ED + QC.ED = ED.BP ⇒ AQ + QC = BP (ñpcm) Có th th y r ng bài 1 là tư tư ng ñơn gi n ñ ta xây d ng cách gi i c a bài 2. T c là d a vào các ñ i lư ng trong tam giác b ng nhau theo gi thi t ta s d ng tam giác ñ ng d ng ñ suy ra các t s liên quan và s d ng phép th ñ suy ra ñi u ph i ch ng minh. Cách làm này t ra khá là hi u qu và minh h a rõ ràng qua 2 ví d mà zaizai ñã nêu trên. ð làm rõ hơn phương pháp chúng ta s cùng nhau ñ n v i vi c ch ng minh 1 ñ nh lí b ng chính Ptô-lê-mê. Bài toán 3. ( ð nh lí Carnot) Cho tam giác nh n ABC n i ti p trong ñư ng tròn (O, R) và ngo i ti p ñư ng tròn (I, r). G i x,y,z l n lư t là kho ng cách t O t i các c nh tam giác. Ch ng minh r ng: x+y+z=R+r Ch ng minh: G i M, N, P l n lư t là trung ñi m c a BC, CA, AB. Gi s x=OM, y=ON, z=OP, BC=a, CA=b, AB=c. T giácOMBP n i ti p, theo ñ ng th c Ptô-lê-mê ta có: OB.PM=OP.MB+OM.PB b a c Do ñó: R = z + x 2 2 2 Tương t ta cũng có : c a b a c b R = y + x (2) ,R = y + z (3) 2 2 2 2 2 2 M t khác: a b c a b c r ( + + ) = S ABC = S OBC + S OCA + S OAB = x + y + z (4) 2 2 2 2 2 2 T (1), (2), (3), (4) ta có: a+b+c a+b+c ( R + r )( ) = ( x + y + z )( )⇒ R+r = x+ y+ z 2 2 ðây là 1 ñ nh lí khá là quen thu c và cách ch ng minh khá ñơn gi n. ng d ng c a ñ nh lí này như ñã nói là dùng nhi u trong tính toán các ñ i lư ng trong tam giác. ð i v i trư ng h p tam giác ñó không nh n thì cách phát bi u c a ñ nh lí cũng có sư thay ñ i. 2, Ch ng minh các ñ c tính hình h c Bài toán 1. Cho tam giác ABC n i ti p trong ñư ng tròn (O) và AC=2AB. Các ñư ng th ng ti p xúc v i ñư ng tròn (O) t i A, C c t nhau P. Ch ng minh r ng BP ñi qua ñi m chính gi a c a cung BAC. Ch ng minh:
G i giao ñi m c a BP v i ñư ng tròn là N. N i AN, NC. Xét △ NPC và △CPB có: PCN = PBC , P chungˆ PC NC ⇒ ∆NPC ~ ∆CPB ( gg ) ⇒ = (1) PB BC Tương t ta cũng có AP AN ∆PAN ~ ∆PBA( gg ) ⇒ = (2) BP AB M t khác PA=PC( do là 2 ti p tuy n c a ñư ng tròn c t nhau) Nên t PA NC AN (1), (2) ⇒ = = ⇒ NCAB = BCAN (3) PB BC AB Áp d ng ñ nh lí Ptô-lê-mê cho t giác n i ti p ABCN ta có: AN.BC+AB.NC=AC.BN T (3) ⇒ 2 AB.NC = AC.BN = 2 AB.BN ⇒ NC = BN V y ta có ñi u ph i ch ng minh. ðây có l là m t trong nh ng l i gi i khá là ng n và n tư ng c a bài này.Ch c n qua vài quá trình tìm ki m các c p tam giác ñ ng d ng ta ñã d dàng ñi ñ n k t lu n c a bài toán. Tư tư ng ban ñ u khi làm bài toán này chính là d a vào lí thuy t trong cùng m t ñư ng tròn hai dây b ng nhau căng hai cung b ng nhau. Do có liên quan ñ n các ñ i lư ng trong t giác n i ti p nên vi c ch ng minh r t d dàng. Bài toán 2. Cho tam giác ABC có I là tâm ñư ng tròn n i ti p, O là tâm ñư ng tròn ngo i ti p và tr ng tâm G. Gi s r ng OIA = 90 o . Ch ng minh r ng IG song song v i BC. Ch ng minh Kéo dài AI c t (O) t i N. Khi ñó N là ñi m chính gi a cung BC (không ch a A). Ta có: BN=NC (1). L i có : IBN = BIN ⇒ BN = IN (2) 1 Do OI ⊥ AE ⇒ IA = IN = sñ cung BC(3) 2 T (1), (2), (3) ⇒ BN = NC = IN = IA(4) Áp d ng ñ nh lí Ptô- lê-mê cho t giác n i ti p ABNC ta có: BN.AC+AB.NC=BC.AN T (4) ⇒ BN ( AC + AB) = 2 BN .BC ⇒ AC + AB = 2 BC (5) Áp d ng tính ch t ñư ng phân giác trong tam giác và (5) ta có: AB IA AC AB + AC AB + AC 2 BC = = = = = =2 BD ID CD BD + CD BC BC IA V y = 2(6) ID AG M t khác G là tr ng tâm c a tam giác suy ra = 2(7) GM IA AG T (6), (7) ⇒ =2= ID GM Suy ra IG là ñư ng trung bình c a tam giác ADM hayIG song song v i BC. ðây là m t bài toán khá là hay ít nh t là ñ i v i THCS và v i cách làm có v "ng n g n" này ta ñã ph n nào hình dung ñư c v ñ p c a các ñ nh lí. Bài toán 3. Cho tam giác ABC n i ti p ñư ng tròn (O), CM là trung tuy n. Các ti p tuy n t i A và B c a (O) c t nhau D. Ch ng minh r ng: ACD = BCM Ch ng minh:
G i N là giao ñi m c a CD v i (O). Xét tam giác DNB và DBC có: ACD = BCM chung. NB BD ⇒ ∆DBN ~ ∆DCB ( gg ) ⇒ = (1) CB CD Tương t ta cũng có : NA DA ∆DNA ~ ∆DAC ( gg ) ⇒ = (2) AC CD Mà BD = DA nên t NB NA (1), (2) ⇒ = ⇒ NB. AC = AN .BC (3) CB AC Áp d ng ñ nh lí Ptô-lê-mê cho t giác n i ti p ANBC ta có: AN.BC + BN.AC = AB.NC T (3) và gi thi t AN BM AB = 2 BM ⇒ 2 ANBC = 2 BMNC ⇒ = NC BC Xét ∆BMC và ∆NAC có: AN BM MBC = ANC , = ⇒ ∆BMC ~ ∆NAC (cgc) ⇒ BCM = NAC NC BC V y bài toán ñư c ch ng minh. Cơ s ñ ta gi i quy t các bài toán d ng này là t o ra các t giác n i ti p ñ áp d ng ñ nh lí sau ñó s d ng lí thuy t ñ ng d ng ñ tìm ra m i quan h gi a các ñ i lư ng. ðây là m t l i suy bi n ngư c trong hình h c. 3, Ch ng minh các ñ ng th c hình h c Bài toán 1. Gi s M, N là các ñi m n m trong △ ABC sao cho MAB = NAC , MBA = NBC . Ch ng minh r ng: AM . AN BM .BN CM .CN + + =1 AB. AC BA.BC CA.CB Ch ng minh: L y ñi m K trên ñư ng th ng BN sao cho BCK = BMA , lúc ñó ∆BMA ~ ∆BCK suy ra: AB BM AM AB BK = = (1) ⇒ = BK BC CK MB BC AB BK AK M t khác d th y r ng ABK = MBC , t ñó ∆ABK ~ ∆MBC d n ñ n = = (2) BM BC CM Cũng t ∆BMA ~ ∆BCK ta có: CKN = BAM = NAC suy ra t giác ANCK n i ti p ñư ng tròn. Áp d ng ñ nh lí Ptô-lê-mê cho t giác ABCK ta có: AC.NK = AN.CK + CN.AK (3) Nhưng t (1) và (2) thì : AM .BC AB.CM AB.BC CK = , AK = , BK = BM BM BM Nên ta có ñ ng th c (3) AB.BC ANAMBC CNABCM ⇔ AC ( BK − BN ) = ANCK + CNAKAC ( − BN ) = + BM BM BM AM . AN BM .BN CM .CN ⇔ ABBCCA = ANAMBC + CNABCM + BNBMAC ⇔ + + =1 AB. AC BA.BC CA.CB
ðây là 1 trong nh ng bài toán khá là c ñi n c a IMO Shortlist. Ta v n có th gi i quy t bài toán theo m t hư ng khác nhưng dài và ph c t p hơn ñó là s d ng b ñ : N u M,N là các ñi m thu c c nh BC c a ∆ABC sao cho MAB = NAC thì AMAN = ABAC − BMBNCM .CN . ðây là m t b ñ mà các b n cũng nên ghi nh . Bài toán 2. Cho t giác ABCD n i ti p trong ñư ng tròn (O). Ch ng minh r ng: AC BCCD + ABBD = BD BCBA + DCDA Ch ng minh: L y E và F thu c ñư ng tròn sao cho: CDB = ADE , BDA = DCF Khi ñó: AE = BC, FD = AB, EC = AB, BF = AD Áp d ng ñ nh lí Ptô-lê-mê cho hai t giác n i ti p AECD và BCDF ta có: AC.ED = AE.CD + AD.EC = BC.CD + AD.AB (1) , BD.CF = BC.DF + BF.CD = BC.AB + AD.CD ( 2) M t khác: CDE = CDB + BDE = ADE + BDE = ADB = FCD Do ñó: FDC = FDE + EDC = FCE + FCD = ECD Suy ra: ED = FC (3) T (1), (2), (3) ta có ñi u ph i ch ng minh. Bài toán 3. Cho tam giác ABC v i BE, CF là các ñư ng phân giác trong. Các tia EF, FE c t ñư ng tròn ngo i ti p tam giác theo th t t i M và N. Ch ng minh r ng: 1 1 1 1 1 1 + = + + + BM CN AM AN BN CM Ch ng minh: ð t BC=a, CA=b, AB=c Áp d ng ñ nh lí Ptô-lê-mê cho hai t giác n i ti p AMBC và ANCB ta có: a.AM + b.BM = c.CM (1) , a.AN + a.CN = b.BN (2) T (1) và (2) ta ñư c: a ( AM + AN ) = b (BN − BM ) + c (CM − CN ) (3) M t khác ta l i có: AM MF ∆ANF ~ ∆NBF ( gg ) ⇒ = (4) BN BF Tương t : AN AF ∆ANF ~ ∆MBF ( gg ) ⇒ = (5) BM MF T (4), (5) và tính ch t ñư ng phân giác ta có: AM . AN AF b = = (6) BM .BN BF a Ch ng minh tương t ta ñư c: AM . AN AE c = = (7) CM .CN CE a T (3), (6), (7) ta có ñi u ph i ch ng minh. Có th d dàng nh n ra nét tương ñ ng gi a cách gi i c a 3 bài toán ñó là v n d ng cách v hình ph t o ra các c p góc b ng các c p góc cho s n t ñó tìm ra các bi u di n liên quan. M t ñư ng l i r t hay ñư c s d ng trong các bài toán d ng này.
4, Ch ng minh b t ñ ng th c và gi i toán c c tr trong hình h c Bài toán 1 (Thi HSG các vùng c a Mĩ, năm 1987) Cho m t t giác n i ti p có các c nh liên ti p b ng a,b,c,d và các ñư ng chéo b ng p,q. Ch ng minh r ng: 2 2 2 2 pq ≤ (a + b )(c + d ) Ch ng minh: Áp d ng ñ nh lí Ptô-lê-mê cho t giác n i ti p thì ac+bd=pq V y ta c n ch ng minh p 2 q 2 = ( ac + bd ) 2 ≤ ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) B t ñ ng th c này chính là m t b t ñ ng th c r t quen thu c mà có l ai cũng bi t ñó là b t ñ ng th c Bunhiacopxki-BCS. V y bài toán ñư c ch ng minh. M t l i gi i ñ p và vô cùng g n nh cho 1 bài toán tư ng ch ng như là khó. Ý tư ng ñây là ñưa b t ñ ng th c c n ch ng minh v 1 d ng ñơn gi n hơn và thu n ñ i s hơn. Th t thú v là b t ñ ng th c ñó l i là BCS. Bài toán 2. Cho l c giác l i ABCDEF th a mãn ñi u ki n AB = BC, CD = DE, EF = FA Ch ng minh r ng: 2 2 2 BC DE FA 3 ( AC − CE ) + (CE − AE ) + ( AE − AC ) + + ≥ + BE DA FC 2 ( AC + CE ) 2 + (CE + AE ) 2 + ( AE + AC ) 2 Ch ng minh: ð t AC=a, CE=b, AE=c. Áp d ng ñ nh lí Ptô-lê-mê m r ng cho t giác ACEF ta có: AC.EF + CE. AF ≥ AE.CF . Vì EF=AF nên suy ra: FA c ≥ FC a + b Tương t ta cũng có: DE b BC a ≥ , ≥ DA c + a BE b + c T ñó suy ra 2 2 2 BC DE FA 3 ( AC − CE ) + (CE − AE ) + ( AE − AC ) + + ≥ + BE DA FC 2 ( AC + CE ) 2 + (CE + AE ) 2 + ( AE + AC ) 2 2 2 2 a b c 3 (a − b) + (b − c) + (c − a) ⇔ + + ≥ + b + c c + a a + b 2 (a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2 2 2 2 a b c 3 (a − b) + (b − c) + (c − a) ⇔ + + − ≥ b + c c + a a + b 2 (a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2 2 2 2 2 2 2 ( a − b) (b − c) (c − a ) (a − b) + (b − c) + (c − a) ⇔ + + ≥ 2(b + c)(a + c) 2(b + a)(c + a) 2(c + b)(a + b) (a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2  1 1  ⇔ ∑ ( a − b) 2  −   2(a + c)(b + c) (a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2    B t ñ ng th c ñã qui v d ng chính t c SOS : S a (b − c ) 2 + S b ( c − a ) 2 + S c ( a − b ) 2 ≥ 0 D th y:
2 2 2 1 1 2( a + c)(b + c) ≤ ( a + b) + (b + c) + (c + a ) ⇒ ≥ 2( a + c)(b + c) ( a + b) + (b + c) 2 + (c + a ) 2 2 Như v y S c ≥ 0 , ñánh giá tương t ta cũng d dàng thu ñư c k t qu S a , S b ≥ 0 V y b t ñ ng th c ñư c ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi a=b=c. T c là khi ABCDEF là m t l c giác ñ u n i ti p. ðây là m t bài toán do zaizai phát tri n t m t bài toán quen thu c. Nó cũng xu t phát t bài Stronger than Nesbit inequality c a mình. Cơ s khi gi i bài toán này là s d ng phương pháp SOS ñ làm m nh bài toán.V i bư c chuy n t vi c ch ng minh 1 b t ñ ng th c hình h c sang b t ñ ng th c ñ i s ta d dàng tìm ra 1 l i gi i ñ p. N u chu n hóa b t ñ ng th này ta cũng có k t qu r t thú v . Bài toán 3. Cho l c giác l i ABCDEF th a mãn ñi u ki n AB=BC, CD=DE, EF=FA và t ng ñ dài ba c nh AC, CE, AEb ng 3. Ch ng minh r ng: 3 3 3 BC DE FA 21 27( AC + CE + AE ) + + ≥ + 3 BE DA FC 16 16( AC + CE + AE ) L i gi i: Ta chuy n vi c ch ng minh b t ñ ng th c trên v ch ng minh b t ñ ng th c sau: a b c 21 27( a 3 + b3 + c 3 ) a b c 21 (a 3 + b 3 + c 3 ) + + ≥ + ⇔ + + ≥ + b + c c + a a + b 16 16(a + b + c) 3 3 − a 3 − b 3 − a 16 16 B ng cách s d ng phương pháp h s b t ñ nh ta d dàng tìm ñư c b t ñ ng th c ph ñúng: a 9a + a 3 − 2 2 2 ≥ ⇔ ( a −1) ( a − a + 6) ≥ 0 3− a 16 Tương t v i các phân th c còn l i ta có ñi u ph i ch ng minh. Khi ñ nh hư ng gi i bài này ch c h n b n s liên tư ng ngay ñ n SOS nhưng th t s thì nó ko c n thi t trong bài toán này b i ch làm ph c hóa bài toán. Dùng phương pháp h s b t ñ nh giúp ta tìm ra 1 l i gi i ng n và r t ñ p. Tuy nhiên l i gi i này ko d hi u l m ñ i v i THCS. Th c ra cách làm m i bài toán này cũng c c kì ñơn gi n vì xu t phát ñi m c a d ng chu n là b t ñ ng th c Nesbit quen thu c vì v y d dàng thay ñ i gi thi t ñ bi n ñ i bài toán. Mà cách thay ñ i ñi u ki n ñây chính là bư c chu n hóa trong ch ng minh b t ñ ng th c ñ i s . Nói chung là dùng ñ ñ ng b c b t ñ ng th c thu n nh t. V i tư tư ng như v y ta hoàn toàn có th xây d ng các k t qu m nh hơn và thú v hơn qua m t vài phương pháp như SOS, h s b t ñ nh, d n bi n và chu n hóa. ð c bi t sau khi chu n hóa ta có th dùng 3 phương pháp còn l i ñ ch ng minh. Bài toán 4. Cho ñư ng tròn (O) và BC là m t dây cung khác ñư ng kính c a ñư ng tròn. Tìm ñi m A thu c cung l n BC sao choAB+AC l n nh t. L i gi i: G i D là ñi m chính gi a cung nh BC. ð t DB=DC=a không ñ i. Theo ñ nh lí Ptô-lê-mê ta có: BC AD.BC = AB.DC + AC.BD = a ( AB + AC ) ⇒ AB + AC = . AD a Do BC và a ko ñ i nên AB+AC l n nh t khi và ch khi AD l n nh t khi và ch khi A là ñi m ñ i x ng c a D qua tâm O c a ñư ng tròn. IV, Bài t p Bài 1.(CMO 1988, Trung Qu c) ABCD là m t t giác n i ti p v i ñư ng tròn ngo i ti p có tâm ) và bán kính R. Các tia AB, BC, CD, DA c t (O, 2R) l n lư t t i A', B', C', D'. Ch ng minh r ng: A′ B ′ + B ′C ′ + C ′D ′ + D ′A′ ≥ 2( AB + BC + CD + DA)
Bài 2. Cho ñư ng tròn (O) và dây cung BC khác ñư ng kính. Tìm ñi m A thu c cung l n BC c a ñư ng tròn ñ AB+2AC ñ t giá tr l n nh t. Bài 3. Cho tam giác ABC n i ti p ñư ng tròn (O). ðư ng tròn (O') n m trong (O) ti p xúc v i (O) t i T thu c cung AC (ko ch a B). K các ti p tuy n AA', BB', CC' t i (O'). Ch ng minh r ng: BB'.AC = AA '.BC + CC '.AB Bài 4. Cho l c giác ABCDEF có các c nh có ñ dài nh hơn 1. Ch ng minh r ng trong ba ñư ng chéo AD, BE, CF có ít nh t m t ñư ng chéo có ñ dài nh hơn 2. Bài 5. Cho hai ñư ng tròn ñ ng tâm, bán kính c a ñư ng tròn này g p ñôi bán kính c a ñư ng tròn kia. ABCD là t giá n i ti p ñư ng tròn nh . Các tia AB,BC,CD,DA l n lư t c t ñư ng tròn l n t i A',B',C',D'. Ch ng minh r ng: chu vi t giác A'B'C'D' l n hơn 2 l n chu vi t giác ABCD.