Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về hàm số bậc nhất hướng tới áp dụng giải quyết các vấn đề thực tế trong chương trình trung học cơ sở

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu lý thuyết về kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm được đưa ra lần đầu tiên trong cuốn sách của Hiebert và Leferve (1986, [4]). Bài báo tập trung nghiên cứu hai loại kiến thức này đối với hàm số bậc nhất, từ đó áp dụng giải quyết các vấn đề thực tế có nội dung phù hợp với độ tuổi 15, vận dụng các quá trình giải quyết vấn đề của OECD/PISA.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về hàm số bậc nhất hướng tới áp dụng giải quyết các vấn đề thực tế trong chương trình trung học cơ sở

KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT HƯỚNG TỚI ÁP DỤNG GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ HỒ THỊ MINH PHƯƠNG Khoa Toán học, Trường Đại học Quy Nhơn ĐT: 0129 375 8492, Email: homphuong@yahoo.com Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu lý thuyết về kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm được đưa ra lần đầu tiên trong cuốn sách của Hiebert và Leferve (1986, [4]). Bài báo tập trung nghiên cứu hai loại kiến thức này đối với hàm số bậc nhất, từ đó áp dụng giải quyết các vấn đề thực tế có nội dung phù hợp với độ tuổi 15, vận dụng các quá trình giải quyết vấn đề của OECD/PISA. Từ khóa: Kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm, hàm số bậc nhất, OECD/PISA, giải quyết vấn đề. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Theo Dubinsky và Harel (1992, [2]), khái niệm hàm số là khái niệm quan trọng nhất từ lúc học mẫu giáo cho đến khi tốt nghiệp trung học phổ thông. Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán hiện hành ở bậc Trung học cơ sở, khái niệm hàm số được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán 7 và Toán 9, tập trung vào khái niệm hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Tuy nhiên, rất nhiều vấn đề có nội dung thực tiễn phù hợp với độ tuổi 15 gắn với khái niệm hàm số bậc nhất. Vì thế chúng tôi lựa chọn nghiên cứu việc dạy-học khái niệm hàm số bậc nhất ở bậc Trung học cơ sở nhằm tìm hiểu tình hình giảng dạy, học tập và khả năng áp dụng hàm số bậc nhất trong việc giải quyết các vấn đề có nội dung thực tế của học sinh ở độ tuổi 15, từ đó có những đề xuất phù hợp để nâng cao chất lượng việc dạy-học khái niệm quan trọng này. Bên cạnh đó, nghiên cứu việc dạy-học khái niệm hàm số bậc nhất cho đối tượng học sinh ở độ tuổi 15 xuất phát từ Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) do Tổ chức Hợp tác và Phát triển (OECD, 2003, [5]) khởi xướng và chỉ đạo, nhằm tìm kiếm các chỉ số đánh giá tính hiệu quả - chất lượng hệ thống giáo dục của mỗi nước tham gia, qua đó rút ra các bài học về các chính sách đối với giáo dục phổ thông. Một trong những nội dung đánh giá của PISA trong lĩnh vực Toán học là Năng lực toán học (Mathematical literacy), là năng lực của một cá nhân có thể nhận biết về mặt ý nghĩa, vai trò của toán học trong cuộc sống; là khả năng lập luận và giải toán; biết học toán, vận dụng toán theo cách nhằm đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt. Có 3 mức trong đánh giá năng lực toán học của PISA: - Mức 1: Ghi nhớ, tái hiện: Học sinh có thể nhớ lại các đối tượng, định nghĩa và tính chất toán học; thực hiện được một cách làm quen thuộc; áp dụng một thuật toán đặc trưng. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(41) /2017: tr. 5-13 Ngày nhận bài: 06/9/2016; Hoàn thành phản biện: 10/10/2016; Ngày nhận đăng: 12/02/2017 6 HỒ THỊ MINH PHƯƠNG - Mức 2: Kết nối và tích hợp: Học sinh có thể kết nối, tích hợp thông tin để giải quyết các vấn đề đơn giản; tạo một kết nối trong các cách biểu đạt khác nhau; đọc và giải thích được các ký hiệu và ngôn ngữ hình thức (toán học) và hiểu mối quan hệ của chúng với ngôn ngữ tự nhiên. - Mức 3: Khái quát hóa, toán học hóa: Học sinh có thể nhận biết nội dung toán học trong tình huống có vấn đề phải giải quyết; sử dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề; biết phân tích, lập luận, chứng minh toán học (BGD&ĐT, 2011, [1]; OECD, 2003, [5]). Nội dung các bài toán trong PISA đề cao tính ứng dụng của toán học vào thực tiễn, vừa giúp học sinh thấy được vai trò của toán học trong cuộc sống, vừa hấp dẫn, kích thích được ham muốn tìm tòi, khám phá của các em. Hàm số bậc nhất là một trong những kiến thức có liên quan mật thiết đến nội dung các bài toán nói trên của PISA. Việc nghiên cứu một phương pháp hiệu quả để giảng dạy cho học sinh ở bậc Trung học cơ sở các kiến thức liên quan đến hàm số bậc nhất là rất cấp thiết, nhằm đáp ứng tốt yêu cầu đánh giá năng lực toán học của PISA. Có hai quan điểm dạy-học một kiến thức toán học. Quan điểm thứ nhất là dạy-học kiến thức theo hướng đề cao phát triển kỹ năng, nâng cao khả năng tính toán qua việc dạy-học một thuật toán liên quan đến kiến thức toán học. Quan điểm thứ hai là dạy–học kiến thức để hiểu nội hàm của kiến thức, vận dụng kiến thức trong nhiều tình huống khác nhau. Quan điểm “thuật toán” liên quan đến “quy trình”, còn quan điểm “hiểu” liên quan đến sự “khái niệm hóa” của kiến thức. Trong phần tiếp theo chúng tôi tập trung nghiên cứu hai dạng này của kiến thức, đặc biệt hóa đối với kiến thức về hàm số bậc nhất. 2. KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT 2.1. Kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm và quan hệ giữa chúng Một quy trình là một chuỗi các bước hoặc các hoạt động, được thực hiện nhằm hoàn thành một mục tiêu; một quy trình cũng có thể xem là một thuật toán – một dãy các hành động có trình tự, nó sẽ đưa đến câu trả lời đúng khi được thực hiện đúng, hoặc những hành động có thể được tiếp nối nhau một cách phù hợp để giải quyết một vấn đề đặt ra. Kiến thức về các quy trình thường được gọi là kiến thức quy trình (KTQT). Một khái niệm là một ý tưởng trừu tượng hoặc đủ tổng quát, được khái quát hóa từ nhiều trường hợp riêng. Kiến thức về các khái niệm thường được gọi là kiến thức khái niệm (KTKN) (Hiebert & Leferve, 1986, [4]; Rittle-Johnson, Siegler & Alibali, 2001, [6]). Kiến thức toán học bao gồm cả hai dạng quy trình và khái niệm và “Sự kết hợp giữa KTKN và KTQT sẽ có nhiều thuận lợi trong việc tiếp thu và sử dụng KTQT” (Hiebert & Lefevre, 1986, [4]). Trong quá trình áp dụng toán học để giải quyết các vấn đề thực tế, chỉ có KTKN hay chỉ có KTQT là chưa đủ, mà đòi hỏi học sinh phải vận dụng cả hai loại kiến thức. Điều này định hướng cho giáo viên phải có sự kết hợp nhuần nhuyễn hai loại kiến thức trong quá trình truyền thụ kiến thức cho học sinh. KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT… 7 2.2. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về hàm số bậc nhất Dựa trên lý luận về KTQT và KTKN được trình bày ở phần trước, chúng tôi đưa ra định nghĩa cho hai loại kiến thức này đối với hàm số bậc nhất như sau. KTKN về hàm số bậc nhất biểu thị sự vận dụng khéo léo mạng lưới các mối quan hệ về hàm số bậc nhất, bao gồm mối quan hệ giữa các biến, mối quan hệ giữa các hình thức biểu diễn khác nhau của hàm số bậc nhất (đồ thị, biểu thức đại số, bảng, lời), mối quan hệ điểm-đồ thị, mối quan hệ giữa dạng đồ thị và sự biến thiên của hàm số, mối quan hệ giữa đồ thị của các hàm số bậc nhất khác nhau (trùng nhau, song song, cắt nhau) … Ví dụ đơn giản sau đây minh họa cho việc vận dụng KTKN về hàm số bậc nhất: “Xác định biểu thức đại số của hàm số y  f ( x) có đồ thị được cho ở Hình 1.” Trước tiên, với kiến thức về khái niệm hàm số, học sinh nhận xét được rằng đồ thị của hàm số đã cho là một đường thẳng, do đó f ( x) phải có Hình 1 dạng f ( x)  ax  b, trong đó a  0 và b là các số cần tìm. Tiếp theo, với kiến thức về quan hệ điểm-đồ thị và giá trị của hàm số tại một giá trị của biến số, học sinh có thể đưa về giải một hệ phương trình bậc nhất hai biến số là a và b . KTQT về hàm số bậc nhất biểu thị sự vận dụng thành công và linh động các quy tắc, thuật toán hoặc các quy trình đặc biệt trên các hàm số bậc nhất. Các câu hỏi để kiểm tra KTQT về hàm số bậc nhất thường liên quan đến việc tính toán giá trị của một hàm số cho trước tại những giá trị khác nhau của biến số, vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất, tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến, xét sự tương giao của đồ thị hai hay nhiều số hàm số bậc nhất,… Chẳng hạn, xét ví dụ: “Vẽ đồ thị của các hàm số y  2 x  3 và y  2 x  5 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Từ đó xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho.” Để vẽ đồ thị của từng hàm số, học sinh áp dụng quy trình vẽ đồ thị hàm số bậc nhất được học trong sách giáo khoa Toán 9. Dựa vào hai đồ thị đã vẽ được, một cách trực quan học sinh dễ dàng tìm được tọa độ của giao điểm. 3. ÁP DỤNG KTQT VÀ KTKN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ THỰC TẾ Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ Nhiều vấn đề có nội dung thực tế dành cho học sinh ở độ tuổi 15 liên quan đến khái niệm hàm số bậc nhất. Việc nghiên cứu phương pháp và cách thức tổ chức dạy học KTQT và KTKN về hàm số bậc nhất cho học sinh ở độ tuổi này là một nhiệm vụ quan 8 HỒ THỊ MINH PHƯƠNG trọng được đặt ra cho mỗi giáo viên, nhằm giúp các em có đủ kiến thức và đủ khả năng áp dụng giải quyết các vấn đề có nội dung thực tế. Trong các lĩnh vực đánh giá của PISA, Giải quyết vấn đề là năng lực của một cá nhân trong việc vận dụng các quá trình nhận thức để đối mặt và giải quyết các tình huống thực tế xuyên suốt các môn học. Theo PISA (2003, [5]), quá trình giải quyết vấn đề gồm các bước cơ bản sau: Bước 1: Hiểu vấn đề. Học sinh có thể hiểu một văn bản, một công thức, một biểu đồ, hoặc một bảng như thế nào và rút ra các kết luận từ đó; liên kết thông tin từ các nguồn khác nhau. Bước 2: Phân tích vấn đề. Học sinh có thể nhận biết các biến số trong vấn đề và các mối liên quan giữa chúng; quyết định biến số nào là phù hợp và biến số nào là không phù hợp. Bước 3: Biểu diễn vấn đề. Học sinh xây dựng các biểu diễn dưới dạng bảng, đồ thị, ký hiệu hay lời, hoặc làm thế nào để các em học sinh áp dụng một dạng biểu diễn bên ngoài cho trước để giải quyết vấn đề. Bước 4: Giải quyết vấn đề. Học sinh đưa ra một quyết định; phân tích một hệ thống hoặc thiết kế một hệ thống để đạt được một mục tiêu nào đó, hoặc phát hiện và đề xuất một lời giải. Bước 5: Phản ánh về lời giải. Học sinh kiểm tra lời giải của mình; đánh giá lời giải của mình theo các quan điểm khác nhau nhằm điều chỉnh lại lời giải. Bước 6: Giao tiếp về lời giải. Học sinh lựa chọn phương tiện và cách thức thể hiện phù hợp để truyền đạt lời giải của các em đến những người quan tâm. Trong các bước trên đây của quá trình giải quyết vấn đề, các bước hiểu vấn đề, phân tích vấn đề, biểu diễn vấn đề đòi hỏi KTKN; bước giải quyết vấn đề đòi hỏi KTQT về các vấn đề đang đối mặt giải quyết; bước Phản ánh về lời giải đòi hỏi sự kết hợp của cả hai loại kiến thức. Các bước nêu trên của PISA cung cấp một quy trình tốt để giải quyết các vấn đề có nội dung thực tế. Chúng tôi minh họa cho quy trình này thông qua ví dụ sau đây của OECD, vận dụng KTQT và KTKN về hàm số bậc nhất. Ví dụ 3.1. (Vấn đề tham quan, xem chi tiết OECD, 2003, [5] tr. 100) Một lớp học muốn thuê một chiếc xe khách đi tham quan. Có ba công ty được tiếp cận để tham khảo giá: Công ty A có giá khởi điểm là 3.750.000 đồng cộng thêm 5000 đồng cho mỗi km; Công ty B có giá khởi điểm là 2.500.000 đồng cộng thêm 7.500 đồng cho mỗi km; Công ty C có giá nền là 3.500.000 đồng nếu không quá 200 km, cộng thêm 10.200 đồng cho mỗi km chạy xe vượt quá 200 km. Theo bạn lớp đó nên chọn thuê xe của công ty nào nếu chuyến tham quan có tổng đoạn đường cần di chuyển trong khoảng 400 km đến 600 km? KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT… 9 Đối với vấn đề này, học sinh sẽ có những khó khăn nhất định trong việc xác định giá của từng công ty theo quãng đường di chuyển, và thậm chí còn lúng túng hơn khi quãng đường di chuyển không cố định mà thay đổi trong một khoảng cho trước. Tuy nhiên, nếu các em có thể bám chặt vào từng bước của quá trình giải quyết vấn đề nêu trên của PISA, vận dụng KTQT và KTKN về hàm số bậc nhất, khả năng giải quyết vấn đề sẽ tốt hơn. Bước 1: Hiểu vấn đề Lớp học có 3 phương án để lựa chọn đi tham quan. Tùy thuộc vào quãng đường cần di chuyển và giá cả tương ứng của từng phương án mà lựa chọn một phương án với chi phí thấp nhất. Bước 2: Phân tích vấn đề Học sinh nhận ra được hai biến số phụ thuộc nhau trong vấn đề: giá và quãng đường di chuyển. Nếu giá được tính theo đơn vị chục ngàn đồng thì đối với Công ty A, giá = giá khởi điểm + 0,5  quãng đường di chuyển; đối với Công ty B, giá = giá khởi điểm + 0,75  quãng đường di chuyển; đối với Công ty C, giá = giá nền nếu quãng đường di chuyển không quá 200 km, còn nếu quãng đường di chuyển vượt quá 200 km thì giá = giá nền + 1,02  quãng đường vượt quá 200 km. Bằng cách so sánh giá của từng công ty với nhau tương ứng với quãng đường di chuyển trên, học sinh đưa ra lời giải cho vấn đề. Bước 3: Biểu diễn vấn đề Học sinh cần biết cách dùng ký hiệu để biểu diễn quan hệ phụ thuộc giữa giá và quãng đường di chuyển. Ký hiệu x cho quãng đường di chuyển, f ( x) cho giá của Công ty A, g ( x) cho giá của Công ty B, h( x) cho giá của Công ty C. Khi đó, từ bước phân tích vấn đề, học sinh có thể biểu diễn được giá của từng công ty theo quãng đường di chuyển bằng các công thức sau đây: 350, khi x  200 f ( x)  375  0,5x, g  x   250  0,75x, h( x)   350  1,02( x  200), khi x  200. Bằng KTKN về hàm số bậc nhất, học sinh sẽ nhận ra rằng f , g , h là các hàm số bậc nhất theo biến số x . Các em có thể biểu diễn các hàm số này bằng đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ để dễ dàng so sánh giá trị của từng hàm số tại một điểm, vận dụng KTQT về vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất (xem Hình 2). Với 400  x  600, so sánh giá trị của f ( x), g ( x), h( x) để xác định giá trị nhỏ nhất của 3 giá trị này, từ đó lựa chọn phương án tối ưu nhất. Việc so sánh này có thể quan sát trực tiếp dựa trên đồ thị hàm số. Dựa vào KTKN về giá trị của hàm số tại một giá trị của biến số, học sinh có thể tìm được giá trị nhỏ nhất bằng Hình 2. Đồ thị của các hàm số f(x), g(x), h(x)