Kỹ thuật Cơ ứng dụng: Phần 1

Chia sẻ: Hoa La Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:162

Thêm vào BST

Báo xấu

453
lượt xem 105
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 Tài liệu Cơ ứng dụng do Ngô Kiều Nhi (chủ biên) biên soạn gồm 6 chương đầu Tài liệu. Nội dung phần này trình bày về động học, các cơ cấu thông dụng, động lực học, phản lực liên kết, các khái niệm cơ sở của cơ học vật rắn biến dạng, các chỉ tiêu bền.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỹ thuật Cơ ứng dụng: Phần 1

1 ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC BAÙCH KHOA Ngoâ Kieàu Nhi (chuû bieân) - Tröông Tích Thieän CÔ ÖÙNG DUÏNG NHAØ XUAÁT BAÛN ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH - 2003
2 MUÏC LUÏC Lôøi noùi ñaàu 5 Phaàn A Chöông 1 ÑOÄNG HOÏC 7 1.1 Ñoäng hoïc ñieåm 7 1.2 Baäc töï do vaø toïa ñoä suy roäng cuûa cô heä 14 1.3 Caùc chuyeån ñoäng cô baûn cuûa vaät raén 16 1.4 Chuyeån ñoäng phöùc hôïp cuûa vaät raén 18 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 21 Chöông 2 CAÙC CÔ CAÁU THOÂNG DUÏNG 23 2.1 Moät soá khaùi nieäm 23 2.2 Cô caáu boán khaâu chöùa caùc khôùp loaïi 5 26 2.3 Cô caáu ba khaâu 31 2.4 Truyeàn ñoäng nhôø phaàn töû meàm 36 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 37 Chöông 3 ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 38 3.1 Taùc ñoäng cô hoïc 38 3.2 Vít xoaén cuûa heä löïc, vít xoaén ñoäng löïc hoïc cuûa cô heä 44 3.3 Nguyeân lyù cô baûn ñoäng löïc hoïc 45 3.4 Phaân loaïi caùc heä löïc 47 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 54 Chöông 4 PHAÛN LÖÏC LIEÂN KEÁT 55 4.1 Moät soá khaùi nieäm 55 4.2 Nguyeân lyù cô baûn ñoäng löïc hoïc ñoái vôùi vaät chòu lieân keát 56 4.3 Soá löôïng phöông trình caân baèng 58 4.4 Soá löôïng aån trong baøi toaùn xaùc ñònh phaûn löïc lieân keát 62 4.5 Ñaëïc ñieåm heä löïc caân baèng goàm hai löïc vaø ba löïc 64 4.6 Xaùc ñònh phaûn löïc lieân keát cuûa heä nhieàu vaät 66 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 67 Höôùng daãn giaûi baøi taäp 67 Phaàn B Chöông 5 Caùc khaùi nieäm cô sôû cuûa Cô hoïc vaät raén bieán daïng 74 5.1 Phöông phaùp maët caét 74 5.2 Traïng thaùi öùng suaát taïi moät ñieåm 100 5.3 Traïng thaùi bieán daïng taïi moät ñieåm 115 5.4 Ñònh luaät Huùc 117 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 119 Höôùng daãn giaûi baøi taäp 121
3 Chöông 6 Caùc chæ tieâu beàn 136 6.1 Ñaëc tröng cô hoïc cuûa vaät lieäu 136 6.2 Caùc giaû thuyeát beàn 141 6.3 Caùc yeáu toá aûnh höôûng ñeán phöông phaùp xaùc ñònh öùng suaát vaø chæ tieâu beàn146 6.4 Hieän töôïng moûi 150 6.5 Hieän töôïng taäp trung öùng suaát 158 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 161 Höôùng daãn giaûi baøi taäp 161 Chöông 7 Traïng thaùi öùng suaát caùc ñieåm cuûa thanh 163 7.1 Caùc tieân ñeà cô sôû 164 7.2 Bieåu thöùc tính öùng suaát phaùp σz 167 7.3 Bieåu thöùc tính öùng suaát tieáp 185 7.4 Ñieàu kieän beàn 204 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 212 Höôùng daãn giaûi baøi taäp 214 Chöông 8 Bieán daïng cuûa thanh 234 8.1 Môû ñaàu 234 8.2 Phöông phaùp tích phaân phöông trình vi phaân 235 8.3 Phöông phaùp naêng löôïng 251 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 260 Höôùng daãn giaûi baøi taäp 261 Chöông 9 TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA THANH 339 9.1 Caùc khaùi nieäm 339 9.2 Thanh tieát dieän khoâng ñoåi moät nhòp chòu neùn ñuùng taâm 340 9.3 Giôùi haïn coâng thöùc Euler - khaùi nieäm ñoä maûnh 345 9.4 Phöông phaùp tính oån ñònh cuûa thanh chòu neùn 346 9.5 Thanh moät nhòp chòu neùn vaø uoán ngang phaúng ñoàng thôøi 348 9.6 Hieän töôïng maát oån ñònh uoán veânh 353 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 357 Höôùng daãn giaûi baøi taäp 358 Phaàn C Chöông 10 TRUYEÀN ÑOÄNG ÑAI 374 10.1 Khaùi nieäm chung 374 10.2 Nhöõng vaán ñeà cô baûn cuûa lyù thuyeát truyeàn ñoäng ñai 376 10.3 Tính truyeàn ñoäng ñai 381 10.4 Trình töï thieát keá truyeàn ñoäng ñai 385 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 398 Chöông 11 TRUYEÀN ÑOÄNG XÍCH 399
4 11.1 Khaùi nieäm chung 399 11.2 Caùc chi tieát maùy trong boä truyeàn xích 399 11.3 Nhöõng thoâng soá chính cuûa boä truyeàn 403 11.4 Tính truyeàn ñoäng xích 407 11.5 Löïc taùc duïng trong truyeàn ñoäng xích 409 11.6 Trình töï thieát keá boä truyeàn xích 410 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 412 Chöông 12 TRUYEÀN ÑOÄNG BAÙNH RAÊNG 413 12.1 Ñaïi cöông vaø phaân loaïi 413 12.2 Cô caáu baùnh raêng 415 12.3 Trình töï thieát keá boä truyeàn baùnh raêng 435 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 436 Chöông 13 TRUÏC - OÅ ÑÔÕ 437 13.1 Truïc 437 13.2 OÅ truïc 445 Caâu hoûi oân taäp lyù thuyeát 457 Phuï luïc 459 Taøi lieäu tham khaûo 487
5 LÔØI NOÙI ÑAÀU Cô hoïc, laø ngaønh khoa hoïc nghieân cöùu söï chuyeån ñoäng cuûa vaät chaát trong khoâng gian theo thôøi gian. Caùc öùng duïng cuûa cô hoïc trong kyõ thuaät coù theå chia laøm hai höôùng chính: - Nghieân cöùu söï chuyeån ñoäng cuûa vaät theå, cuûa caùc boä phaän cuûa maùy moùc - Nghieân cöùu veà ñoä beàn cuûa caùc boä phaän maùy moùc, coâng trình. Ngöôøi kyõ sö luoân phaûi ñoái maët vôùi nhieäm vuï quaûn lyù, söû duïng maùy moùc, coâng trình, neân duø thuoäc ngaønh naøo cuõng phaûi coù kieán thöùc veà cô hoïc. Cuoán saùch CÔ ÖÙNG DUÏNG seõ cung caáp cho ñoäc giaû caùc kieán thöùc caàn thieát veà cô hoïc, maø neàn taûng cô sôû kieán thöùc cuûa ngaønh khoâng phaûi laø cô hoïc. Muïc tieâu cuûa taøi lieäu naøy nhaèm giuùp cho ngöôøi hoïc coù khaùi nieäm veà hai höôùng öùng duïng neâu treân cuûa cô hoïc ñeå: moät laø hieåu ñöôïc caùch vaän haønh cuûa caùc boä phaän cuûa maùy, hai laø coù khaùi nieäm veà caùc chæ tieâu beàn cô hoïc ñeå söû duïng thieát bò, maùy moùc coâng trình moät caùch an toaøn. Cô hoïc quan nieäm vaät chaát thuoäc moät trong caùc daïng (hay coøn goïi laø moâ hình) sau: 1- Chaát ñieåm, khi kích thöôùc hình hoïc ñöôïc coi laø raát beù, coù theå boû qua, toaøn boä khoái löôïng taäp trung vaøo moät ñieåm. 2- Vaät raén tuyeät ñoái, khi khoaûng caùch giöõa caùc ñieåm luoân khoâng ñoåi trong quaù trình chuyeån ñoäng cuûa chuùng. 3- Vaät raén bieán daïng, khi khoaûng caùch giöõa caùc ñieåm coù thay ñoåi song voâ cuøng beù so vôùi kích thöôùc cuûa toaøn vaät. 4- Löu chaát, khi söï thay ñoåi khoaûng caùch giöõa hai ñieåm khoâng theå cho laø voâ cuøng beù, ñaây laø daïng cuûa vaät chaát ôû theå khí hay loûng. Cuoán saùch goàm 3 phaàn, vaø trình baøy taäp trung vaøo caùc vaán ñeà lieân quan ñeán 3 daïng ñaàu tieân. Phaàn A. Muïc tieâu cuûa phaàn naøy laø trang bò caùc coâng cuï cô baûn ñeå sinh vieân hieåu ñöôïc söï chuyeån ñoäng cuûa caùc boä phaän cuûa maùy moùc. Phaàn naøy ñöôïc trình baøy trong caùc chöông 1, 2, 3, 4. Phaàn B. Muïc tieâu cuûa phaàn naøy laø trang bò caùc kieán thöùc, khaùi nieäm veà ñoä beàn cô hoïc cuûa vaät theå, caùc chæ tieâu vaø caùch tính toaùn chuùng. Phaàn naøy ñöôïc trình baøy trong caùc chöông 5, 6, 7, 8, 9. Phaàn C. Trong phaàn naøy, sinh vieân laøm quen vôùi caùc boä truyeàn cô khí phoå bieán nhaát vaø caùch tính toaùn chuùng trong kyõ thuaät theo quy phaïm. Phaàn naøy ñöôïc trình baøy trong caùc chöông 10, 11, 12, 13. Ñeå giuùp sinh vieân, cuoái moãi chöông coù neâu caùc caâu hoûi ñeå höôùng daãn
6 ngöôøi hoïc oân taäp lyù thuyeát. Yeâu caàu veà kyõ naêng tính toaùn trong cuoán saùch naøy chæ ñöa ra ñoái vôùi vieäc tính ñoä beàn. Vì vaäy cuoái caùc chöông cuûa phaàn B ñeàu coù phaàn höôùng daãn caùch giaûi baøi taäp. Muïc tieâu chính cuûa vieäc höôùng daãn giaûi baøi taäp ñöôïc taùc giaû taäp trung vaøo phaàn höôùng daãn phöông phaùp phaân tích cô heä, vaø trình töï thöïc hieän giaûi ñoái vôùi töøng loaïi cô heä. Phaàn A vaø phaàn B do PGS TS Ngoâ Kieàu Nhi bieân soaïn. Phaàn C do TS Tröông Tích Thieän bieân soaïn. Caùc taùc giaû baøy toû söï caùm ôn chaân thaønh ñeán caùc ñoàng nghieäp thuoäc Phoøng Thí nghieäm Cô hoïc öùng duïng vaø Toå Giaùo trình Tröôøng Ñaïi hoïc Baùch khoa - Ñaïi hoïc Quoác gia TP HCM ñaõ giuùp ñôõ raát nhieàu cho vieäc hoaøn taát cuoán saùch naøy. Caùc taùc giaû haân haïnh ñöôïc tieáp nhaän moïi yù kieán ñoùng goùp, xin vui loøng gôûi ñeán ñòa chæ: Phoøng Thí nghieäm Cô hoïc öùng duïng Tröôøng Ñaïi hoïc Baùch khoa - Ñaïi hoïc Quoác gia TP HCM, 268 Lyù thöôøng Kieät, Q.10. ÑT: (08) 8 637 868. Caùc taùc giaû
7 Phaàn A Chöông 1 ÑOÄNG HOÏC 1.1 ÑOÄNG HOÏC ÑIEÅM 1.1.1 Caùc khaùi nieäm vaø caùc ñaëc tröng chuyeån ñoäng cuûa ñieåm Ñoäng hoïc laø moät phaàn cuûa cô hoïc nghieân cöùu caùch bieåu thò vò trí trong khoâng gian cuûa caùc ñoái töôïng khaûo saùt. Söï thay ñoåi vò trí theo thôøi gian thì goïi laø chuyeån ñoäng. Vì vaäy vieäc xaùc ñònh vò trí trong caû moät quaù trình thì goïi laø xaùc ñònh chuyeån ñoäng. Vò trí cuûa ñoái töôïng khaûo saùt, duø laø ñieåm hay laø vaät raén, luoân phaûi ñöôïc xaùc ñònh trong ñieàu kieän ñöôïc chæ roõ tröôùc ñoái vôùi vaät theå naøo – vaät theå ñöôïc choïn ñeå töø ñoù ta xaùc ñònh vò trí cuûa ñoái töôïng khaûo saùt, ñöôïc goïi laø vaät quy chieáu hay heä quy chieáu. Hình1.1: Chuyeån ñoäng cuûa ñieåm M ñoái vôùi vaät A Ví duï, neáu ta choïn vaät A laøm heä quy chieáu ñeå khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa M nhö treân hình 1.1a thì chuyeån ñoäng naøy ñöôïc goïi laø chuyeån ñoäng ñoái vôùi A, hay chuyeån ñoäng trong heä quy chieáu A. Neáu trong baøi toaùn khaûo saùt, vaät A ñöôïc cho bieát laø ñöùng yeân thì A ñöôïc goïi laø heä quy chieáu coá ñònh hay vaén taét laø heä coá ñònh hay heä quy chieáu, ngöôïc laïi neáu A ñöôïc cho bieát laø chuyeån ñoäng thì A ñöôïc goïi laø heä quy chieáu ñoäng, hay heä ñoäng. Trong muïc naøy, ta seõ nghieân cöùu caùch bieåu thò chuyeån ñoäng cuûa ñieåm M trong heä coá ñònh, töùc A ñöôïc cho laø ñöùng yeân. Treân caùc hình veõ, moät phaàn ñöôøng bao vaät quy chieáu coá ñònh luoân ñöôïc quy öôùc kyù hieäu theâm caùc vaïch cheùo beân caïnh, ví duï nhö treân hình 1.1b thì ñöôøng bao bieåu thò vaät A ñöôïc keøm theo caùc vaïch cheùo, hay treân hình 1.1c caùc truïc toaï ñoä cuûa heä truïc toïa ñoä Ñeà Caùc ñöôïc thieát laäp gaén chaët vôùi A cuõng ñöôïc keøm theo caùc vaïch cheùo. Ñeå hieåu ñöôïc toaøn boä söï chuyeån ñoäng vaø caùc ñaëc ñieåm chuyeån ñoäng cuûa
8 ñieåm, ngöôøi ta duøng caùc ñaïi löôïng sau: Hình 1.2: Bieåu thò chuyeån ñoäng cuûa ñieåm 1- Veùctô ñònh vò cuûa ñieåm, laø veùctô noái töø moät ñieåm thuoäc heä quy chieáu, r ñieåm O treân hình 1.2, ñeán ñieåm M ñöôïc khaûo saùt, veùctô naøy ta kyù hieäu laø r . 2- Khi ñieåm M thay ñoåi vò trí töø thôøi ñieåm naøy sang thôøi ñieåm khaùc thì r r veùctô ñònh vò r cuûa noù cuõng seõ thay ñoåi. Haøm r theo thôøi gian: r r r = r (t) (1.1) ñöôïc goïi laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa ñieåm. Neáu ta coù ñöôïc haøm (1.1) thì taïi baát kyø thôøi ñieåm naøo ta cuõng xaùc ñònh ñöôïc vò trí cuûa ñieåm M khaûo saùt, do vaäy phöông trình chuyeån ñoäng theå hieän toaøn boä chuyeån ñoäng cuûa ñieåm. 3- Quyõ ñaïo cuûa ñieåm laø quyõ tích caùc ñieåm thuoäc heä quy chieáu truøng vôùi vò trí cuûa ñieåm khaûo saùt taïi caùc thôøi ñieåm khaùc nhau. r 4- Vaän toác hay veùctô vaän toác, kyù hieäu laø v , laø ñaïi löôïng ñöôïc xaùc ñònh bôûi bieåu thöùc sau: r r dr v= dt (1.2) uur 5- Gia toác hay veùctô gia toác, kyù hieäu laø W , laø ñaïi löôïng xaùc ñònh bôûi caùc coâng thöùc sau: r uur dv W= dt (1.3) r uur d2 r W= 2 hay dt (1.4) 1.1.2 Ñaëc ñieåm cuûa veùctô vaän toác vaø veùctô gia toác 1- Tieáp tuyeán vaø maët phaúng maät tieáp
9 Hình 1.3: Tieáp tuyeán vaø maët phaúng maät tieáp Theo hình hoïc giaûi tích thì taïi moãi ñieåm treân moät ñöôøng cho tröôùc toàn taïi moät tieáp tuyeán vaø moät maët phaúng maät tieáp cuûa ñöôøng ñoù. Tieáp tuyeán vaø maët phaúng maät tieáp taïi ñieåm A cuûa ñöôøng L (H.1.3) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: r a) Tieáp tuyeán taïi A cuûa L: kyù hieäu Δ r , laø veùctô noái giöõa ñieåm A vaørñieåm A1 raát gaàn ñieåm A, cuõng thuoäc ñöôøng L. Khi A1 tieán ñeán A thì phöông cuûa Δ r tieán tôùi vò trí giôùi haïn, phöông naøy goïi laø phöông tieáp tuyeán taïi A cuûa L. Ñöôøng thaúng coù phöông truøng vôùi phöông tieáp tuyeán taïi A ñöôïc goïi laø ñöôøng tieáp tuyeán cuûa L taïi A. r Veùctô ñôn vò treân ñöôøng tieáp tuyeán, kyù hieäu laø τ , goïi laø veùctô tieáp tuyeán ñôn vò cuûa L taïi A. Khi L laø ñöôøng thaúng thì tieáp tuyeán coù phöông truøng vôùi L. uur b) Maët phaúng maät tieáp cuûa L taïi A: bieåu thò τ1 laø veùctô tieáp tuyeán ñôn vò uur r uur cuûa L taïi A1. Di dôøi goác cuûa τ1 töø A1 ñeán A, vaø keû maët phaúng chöùa τ vaø τ1 ñaët goác taïi A. Khi cho A1 tieán ñeán A thì maët phaúng naøy seõ tieán ñeán vò trí giôùi haïn, goïi laø maët phaúng maät tieáp cuûa L taïi A. Trong tröôøng hôïp ñöôøng L naèm hoaøn toaøn trong moät maët phaúng, L ñöôïc goïi laø ñöôøng cong phaúng, thì maët phaúng maät tieáp taïi taát caû moïi ñieåm cuûa ñöôøng cong ñeàu truøng nhau vaø truøng vôùi maët phaúng chöùa ñöôøng cong. Khi ñöôøng L laø ñöôøng thaúng thì maët phaúng maät tieáp thu veà thaønh moät ñöôøng truøng vôùi L. 2- Phöông cuûa veùctô vaän toác vaø caùc veùctô gia toác Giaû söû L laø quyõ ñaïo cuûa ñieåm M. Giaû söû taïi thôøi ñieåm khaûo saùt, ñieåm M coù vò trí taïi ñieåm A cuûa ñöôøng L, vaø sau moät khoaûng thôøi gian Δt, ñieåm M coù vò trí taïi A1 cuûa L. Töø coâng thöùc (1.2) ta thaáy: r r r dr Δr v= = lim dt Δt→0 Δt (a) r r Töø coâng thöùc (a) ta thaáy phöông cuûa v laø phöông cuûa Δ r khi Δt→0. Tuy nhieân khi Δt → 0 thì A1 → A. Theo ñònh nghóa veà tieáp tuyeán neâu ôû treân thì r phöông r giôùi haïn cuûa Δ r chính laø phöông tieáp tuyeárn cuûa L taïi A. Vaäy phöông cuûa v truøng vôùi phöông tieáp tuyeán cuûa L taïi A. Vì vaäy v coøn ñöôïc vieát döôùi daïng: r r v = τ.v (1.5) r r Δr v = τ. lim Δt→0 Δt hay Neáu kyù hieäu chieàu daøi cung ño giöõa A1 vaø A treân L, nhaéc laïi L baây giôø laø quyõ ñaïo cuûa ñieåm M, laø Δs thì ta coù theå cho raèng: Δr ≈ Δs (b)
10 Vôùi (b), töø coâng thöùc (1.5) vaø (1.6) ta coù: Δr Δs v = lim = lim = s& Δt→ 0 Δt Δt→0 Δt (1.7) s laø giaù trò ño treân ñöôøng L töø vò trí ñieåm M ñeán moät ñieåm O treân L (H.1.4). Hình 1.4: Vò trí ñieåm M treân quyõ ñaïo Giaù trò s laø giaù trò ñaïi soá, coù daáu (+) hay (-) do quy ñònh phía naøo laø (+), phía naøo laø (-) so vôùi vò trí goác O. Phöông cuûa veùctô vaän toác cuûa ñieåm M taïi A r r truøng vôùi τ vaø taïi A1 truøng vôùi τ1 (H.1.5). Ta vieát laïi coâng thöùc (1.3) nhö sau: r Hình 1.5: Phöông cuûa veùctô Δ v r uur Δv W = lim Δt→0 Δt (c) uur r Töø coâng thöùc (c), ta thaáy phöông cuûa W truøng vôùi phöông cuûa Δ v khi uur v Δt→0, töùc khi A1 → A. Dòch chuyeån 1 song song cho coù goác taïi A (H.1.5) thì r r uur v τ vaø τ1 Δ naèm trong maët phaúng chöùa . Khi A1 → A thì maët phaúng naøy, theo ñònh nghóa veà maët phaúng maät tieáp neâu ôû treân, trôû thaønh maët phaúng maät tieáp cuûa uur L taïi A. Vaäy veùctô W naèm trong maët phaúng maät tieáp cuûa L taïi A. Löu yù phöông r r uur Δ v , ta nhaän thaáy Δ v höôùng veà beà loõm cuûa quyõ ñaïo, vaäy W cuõng höôùng veà beà loõm cuûa quyõ ñaïo. Ta thieát laäp maët phaúng toïa ñoä trong maët phaúng maät tieáp coù truïc toïa ñoä τ, r ñöôïc goïi laø truïc tieáp tuyeán (H.1.6) truøng phöông vôùi tieáp tuyeán ñôn vò τ vaø truïc n vuoâng goùc vôùi truïc τ, coù chieàu höôùng veà phía phía beà loõm cuûa quyõ ñaïo.
11 r uur Hình 1.6: Bieåu thò v vaø W trong heä truïc toïa ñoä töï nhieân Truïc n ñöôïc goïi laø truïc phaùp tuyeán chính, ta kyù hieäu veùctô ñôn vò chæ ur phöông cuûa truïc n laø n vaø goïi laø veùctô phaùp tuyeán chính ñôn vò . Heä truïc toïa ñoä τ - n ñöôïc goïi laø heä truïc toïa ñoä töï nhieân. r uur Bieåu thò v vaø W bôûi toång caùc thaønh phaàn cuûa chuùng treân truïc tieáp tuyeán r uur vaø truïc phaùp tuyeán chính, thì v ñöôïc vieát nhö trong coâng thöùc (1.5), coøn W thì: uur uuur uuuur W = Wτ + Wn (1.8) uuur τ trong ñoù W ñöôïc goïi laø veùctô gia toác tieáp tuyeán hay vaén taét laø gia toác uuuur n tieáp, coøn W laø veùctô gia toác phaùp tuyeán hay gia toác phaùp. uuur uuuur τ n Caùc veùctô W vaø W coøn ñöôïc vieát ôû daïng: uur r τ W = τ.W (1.9) uur ur n W = n.W (1.10) Neáu vò trí cuûa M treân quyõ ñaïo L ñöôïc xaùc ñònh baèng haøm s(t), thì töø giaùo trình vaät lyù ta ñaõ bieát: d2 Wτ = s( t) = && s( t ) dt2 (1.11) v2 s&( t) Wn = = ρ ρ (1.12) Trong coâng thöùc (1.12) thì ρ laø baùn kính cong cuûa L taïi vò trí cuûa M treân quyõ ñaïo L. Tröôøng hôïp L laø moät ñöôøng troøn thì ρ chính laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn. Neáu kyù hieäu baùn kính ñöôøng troøn laø R thì trong tröôøng hôïp naøy gia toác phaùp ñöôïc tính theo coâng thöùc sau: 2 nv2 ( s& ) W = = R R (1.13) 1.1.3 Caùc phöông phaùp theå hieän phöông trình chuyeån ñoäng Nhö trong muïc 1.1.1 ñaõ ñöa ra ñònh nghóa, phöông trình chuyeån ñoäng laø haøm theo thôøi gian cho ta bieát vò trí cuûa ñieåm taïi moïi thôøi ñieåm. Tuøy theo caùch theå hieän vò trí maø ta coù caùc caùch, hay caùc phöông phaùp, theå hieän phöông trình chuyeån ñoäng. Veà baûn chaát , thì vò trí phaûi ñöôïc theå hieän bôûi ñaïi löôïng veùctô, töùc veùctô ñònh vò ñaõ neâu trong muïc 1.1.1, neân phöông phaùp chung laø phöông phaùp
12 veùctô. Tuy nhieân ñeå tính toaùn thì ta phaûi chuyeån töø ñaïi löôïng veùctô sang ñaïi löôïng ñaïi soá. Trong muïc naøy chæ trình baøy caùc phöông phaùp ñöôïc duøng phoå bieán. 1- Phöông phaùp veùctô Phöông phaùp naøy ñaõ trình baøy trong muïc 1.1.1, ôû ñaây chæ nhaéc laïi vaén taét. Theo phöông phaùp naøy thì phöông trình chuyeån ñoäng coù daïng (theo coâng thöùc 1.1): r r r = r( t) (d) r vôùi r - veùctô ñònh vò cuûa ñieåm trong heä quy chieáu. r Veùctô vaän toác v , theo coâng thöùc (1.2), ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: r r dr v= dt (e) uur Veùctô gia toác W , theo coâng thöùc (1.3), ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: r r uur dv d2 r W= = 2 dt dt (f) 2- Phöông phaùp toïa ñoä Ñeà Caùc Thaønh laäp trong heä quy chieáu moät heä truïc toïa ñoä Ñeà Caùc gaén chaët vôùi heä quy chieáu nhö treân hình 1.1c. Caùc truïc toïa ñoä kyù hieäu laø x, y, z vaø caùc veùctô ñôn r r r vò chæ phöông cuûa chuùng laàn löôït laø i , j , k (H.1.7). Hình 1.7: Bieåu thò vò trí cuûa ñieåm trong heä truïc toïa ñoä Ñeà Caùc r Khi naøy ta coù theå phaân veùctô r thaønh 3 veùctô thaønh phaàn theo caùc phöông cuûa truïc x, y, z:
13 r r r r r = i. x + j. y + k. z (1.14) r Trong coâng thöùc (1.14) thì x, y, z laø toïa ñoä cuûa ngoïn veùctô r treân caùc truïc x, y, z. Neáu taïi moãi thôøi ñieåm ta ñeàu bieát ñöôïc toïa ñoä x, y, z thì ta luoân xaùc ñònh ñöôïc vò trí cuûa ñieåm M. Do vaäy phöông trình chuyeån ñoäng cuûa ñieåm seõ laø taäp hôïp caùc phöông trình sau: x = x( t) ⎫ ⎪ y = y( t)⎬ z = z( t) ⎪⎭ (1.15) Taäp hôïp (1.15) ñöôïc goïi chung laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa ñieåm theo phöông phaùp toïa ñoä Ñeà Caùc. Deã daøng thaáy raèng neáu phöông trình (1.14) ñaõ ñöôïc bieát thì veùctô ñònh vò r r ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: r + Ñoä lôùn cuûa r : r = (x2 + y2 + z2)1/2 (1.16) r r + Phöông chieàu cuûa r ñöôïc xaùc ñònh baèng caùc goùc hôïp giöõa r vôùi caùc r r r truïc x, y, z, (hay vôùi caùc veùctô i , j , k ) thoâng qua ñaïi löôïng löôïng giaùc cosin cuûa chuùng, goïi laø caùc cosin chæ höôùng: rr cos( r, i) = x / r ⎫ r r ⎪⎪ cos( r, j ) = y / r ⎬ r r ⎪ cos( r, k) = z / r ⎪⎭ (1.17) Khoâng phaûi luùc naøo phöông trình chuyeån ñoäng cuõng caàn theå hieän ñaày ñuû bôûi ba phöông trình treân. Trong tröôøng hôïp ñieåm chæ chuyeån ñoäng trong moät maët phaúng thì ta chæ caàn thieát laäp trong maët phaúng naøy hai truïc toïa ñoä Ñeà Caùc (H.1.8), vò trí cuûa ñieåm chæ caàn xaùc ñònh bôûi hai toïa ñoä x, y. Vaäy phöông trình chuyeån ñoäng laø taäp hôïp hai phöông trình sau: x = x( t) ⎫ ⎬ y = y( t)⎭ (1.18)
14 Hình 1.8: Ñieåm chuyeån ñoäng trong maët phaúng Hoaëc khi ñieåm chæ chuyeån ñoäng treân moät ñöôøng thaúng, kyù hieäu truïc x truøng vôùi ñöôøng thaúng quyõ ñaïo naøy, thì phöông trình chuyeån ñoäng chæ chöùa moät phöông trình: x = x(t) (1.19) 3- Phöông phaùp toïa ñoä töï nhieân Phöông phaùp naøy ñöôïc duøng khi quyõ ñaïo ñaõ bieát, ñöôøng quyõ ñaïo laø moät ñöôøng cong baát kyø, phaúng hay khoâng gian, hoaëc coù theå laø thaúng. Luùc naøy ñöôøng quyõ ñaïo ñöôïc choïn laøm truïc toïa ñoä, thöôøng ñöôïc kyù hieäu laø toïa ñoä s (H.1.9). Hình 1.9: Bieåu thò chuyeån ñoäng cuûa ñieåm theo phöông phaùp toïa ñoä töï nhieân Khi naøy vò trí cuûa ñieåm chæ caàn theå hieän bôûi toïa ñoä s vaø phöông trình chuyeån ñoäng laø: s = s(t) (1.20) Phöông trình (1.20) ñöôïc goïi laø phöông trình chuyeån ñoäng theo phöông r uur phaùp toïa ñoä töï nhieân. Caùc veùctô vaän toác v vaø gia toác W , nhö ñaõ trình baøy trong muïc 1.1.2, ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc coâng thöùc (1.5), (1.7), (1.8) ÷ (1.13). 1.2 BAÄC TÖÏ DO VAØ TOÏA ÑOÄ SUY ROÄNG CUÛA CÔ HEÄ 1- Baäc töï do Sau ñaây ta seõ laøm quen vôùi moät soá khaùi nieäm cô hoïc. Cô heä laø taäp hôïp caùc chaát ñieåm trong baøi toaùn khaûo saùt. Cô heä ñôn giaûn nhaát laø cô heä chæ coù moät ñieåm, nhö ta ñaõ quan saùt trong muïc 1.1. Tuy nhieân, trong thöïc teá ta seõ gaëp phaàn lôùn caùc cô heä coù voâ soá ñieåm. Vaán ñeà ñaët ra laø, ñeå
15 xaùc ñònh chuyeån ñoäng cuûa moïi ñieåm trong cô heä khaûo saùt, thì ta caàn xöû duïng bao nhieâu toïa ñoä. Nhö ta ñaõ thaáy trong muïc 1.1.3, tuøy theo daïng quyõ ñaïo chuyeån ñoäng cuûa ñieåm trong khoâng gian, trong maët phaúng, hay coù quyõ ñaïo ñaõ ñöôïc bieát tröôùc, maø ta caàn söû duïng ba, hai hoaëc moät toïa ñoä ñeå bieåu thò vò trí cuûa ñieåm, vaø qua ñoù thieát laäp phöông trình chuyeån ñoäng. Soá löôïng cuûa caùc toïa ñoä ñoù ñöôïc goïi laø baäc töï do cuûa cô heä. Hình 1.10: Heä nhieàu ñieåm rôøi raïc Chaúng haïn ta coù hai ñieåm M, N chuyeån ñoäng trong cuøng moät maët phaúng (H.1.10a), thì soá toïa ñoä caàn thieát ñeå bieåu thò vò trí cuûa chuùng phaûi laø 4; coøn trong hình 1.10b khi ñieåm M vaø N chuyeån ñoäng trong khoâng gian thì soá toïa ñoä caàn thieát phaûi laø 6, töùc baäc töï do cuûa chuùng laø 6. Trong tröôøng hôïp ta coù cô heä caùc ñieåm noái cöùng vôùi nhau (vaät raén tuyeät ñoái) thì soá baäc töï do seõ giaûm raát nhieàu so vôùi heä caùc ñieåm coù khoaûng caùch giöõa chuùng thay ñoåi, goïi laø heä rôøi raïc. Ví duï, heä hai ñieåm M vaø N coù khoaûng caùch giöõa chuùng khoâng ñoåi, cuøng chuyeån ñoäng trong maët phaúng (H.1.11a), thì ta chæ caàn ba toïa ñoä trong soá boán toïa ñoä Ñeà Caùc xM, yM, xN, yN ñeå bieåu thò vò trí cuûa hai ñieåm, töùc baäc töï do coøn laïi laø 3. Hình 1.11: Heä nhieàu ñieåm noái cöùng Töông töï heä hai ñieåm noái cöùng chuyeån ñoäng trong khoâng gian nhö treân hình 1.11b thì baäc töï do laø 5. Töø ñaây ta chöùng minh deã daøng heä goàm caùc ñieåm noái cöùng taïo thaønh moät hình phaúng A chuyeån ñoäng trong maët phaúng cuûa noù (H.1.11a) coù baäc töï do laø 3, duø soá ñieåm ñöôïc cho laø bao nhieâu. Hình phaúng A chuyeån ñoäng baát kyø trong khoâng gian (H.1.11b) thì coù baäc töï do baèng 6. Hôn theá nöõa, vaät raén tuyeät ñoái chuyeån ñoäng trong khoâng gian coù baäc töï do cuõng laø 6. 2- Toïa ñoä suy roäng Toïa ñoä suy roäng laø caùc toïa ñoä ñöôïc choïn ñeå bieåu thò vò trí cuûa moïi ñieåm thuoäc cô heä maø hoaøn toaøn ñoäc laäp ñoái vôùi nhau. Soá löôïng caùc toïa ñoä suy roäng, do vaäy, baèng ñuùng soá baäc töï do cuûa cô heä. Caùc toïa ñoä suy roäng khoâng nhaát thieát
16 laø caùc toïa ñoä theo chieàu daøi, maø coøn laø caùc toïa ñoä goùc. Vieäc choïn löïa caùc toïa ñoä suy roäng cuõng raát ña daïng. Ví duï, heä hai ñieåm M, N noái cöùng treân hình 1.11a coù baäc töï do laø 3, ta coù theå choïn ba trong boán toïa ñoä Ñeà Caùc cuûa ñieåm M, N laøm toïa ñoä suy roäng, hoaëc choïn hai toïa ñoä cuûa ñieåm M vaø goùc ϕ hôïp bôûi phöông cuûa ñöôøng MN vôùi truïc x, töùc choïn taäp caùc toïa ñoä suy roäng sau: xM, yM, ϕ. Sau khi ñaõ choïn xong caùc toïa ñoä suy roäng thì caùc haøm cuûa chuùng theo thôøi gian seõ laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa cô heä khaûo saùt. Trong tröôøng hôïp treân hình 1.11a thì phöông trình chuyeån ñoäng seõ laø: xM = xM ( t) ⎫ ⎪ yM = yM ( t)⎬ ϕ = ϕ( t) ⎪⎭ (1.21) Ñaïo haøm cuûa toïa ñoä suy roäng theo thôøi gian ñöôïc goïi laø vaän toác suy roäng, ñaïo haøm cuûa vaän toác suy roäng theo thôøi gian ñöôïc goïi laø gia toác suy roäng. 1.3 CAÙC CHUYEÅN ÑOÄNG CÔ BAÛN CUÛA VAÄT RAÉN Vaät raén ñöôïc hieåu trong chöông naøy laø vaät raén tuyeät ñoái. Caùc daïng chuyeån ñoäng sau ñaây ñöôïc goïi laø caùc chuyeån ñoäng cô baûn: 1- Chuyeån ñoäng quay quanh truïc coá ñònh Chuyeån ñoäng cuûa vaät raén ñöôïc goïi laø chuyeån ñoäng quay quanh truïc coá ñònh neáu toàn taïi taäp hôïp caùc ñieåm thuoäc vaät luoân ñöùng yeân vaø naèm treân cuøng moät ñöôøng thaúng, ñöôøng naøy ñöôïc goïi laø truïc quay. Baäc töï do cuûa vaät chuyeån ñoäng quay quanh truïc coá ñònh baèng 1, do vaäy soá toïa ñoä suy roäng baèng 1. Trong thöïc teá ñaïi löôïng ñöôïc choïn laøm toïa ñoä suy roäng laø goùc ϕ, goùc hôïp bôûi hai maët phaúng chöùa truïc quay (H.1.12), moät maët gaén vôùi heä quy chieáu, vaø moät maët gaén vôùi vaät. Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa vaät quay: ϕ = ϕ(t) (1.22) goùc ϕ ñöôïc goïi laø goùc quay cuûa vaät. Ñaïo haøm cuûa goùc quay theo thôøi gian ñöôïc goïi laø vaän toác goùc cuûa vaät, kyù hieäu laø ω: dϕ ω= dt (1.23) Ñaïo haøm cuûa vaän toác goùc ñöôïc goïi laø gia toác goùc cuûa vaät, kyù hieäu laø ε: dω ε= dt (1.24)
17 Löu yù coâng thöùc (1.23), thì ε coøn ñöôïc vieát ôû daïng d2 ϕ ε= dt2 (1.25) Khi phöông trình chuyeån ñoäng (1.22) ñaõ ñöôïc cho thì vò trí, vaän toác, gia toác cuûa baát kyø ñieåm naøo thuoäc vaät cuõng seõ ñöôïc xaùc ñònh. Giaû söû ta khaûo saùt ñieåm M thuoäc vaät naèm caùch truïc quay moät khoaûng laø R. Deã daøng thaáy raèng quyõ ñaïo cuûa ñieåm M laø ñöôøng troøn baùn kính R naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc quay, coù taâm naèm treân truïc quay. Vì quyõ ñaïo ñaõ bieát neân ta choïn phöông phaùp toïa ñoä töï nhieân ñeå bieåu thò chuyeån ñoäng cuûa ñieåm M. Vò trí cuûa M treân quyõ ñaïo theå hieän bôûi toïa ñoä s (H.1.13), ñoù laø ñoä daøi cung treân quyõ ñaïo chaén goùc ϕ. Ta seõ coù: + Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa ñieåm: s = R.ϕ(t) (1.26) + Vaän toác cuûa ñieåm tính theo (1.5) r r v = τ.v trong ñoù v tính theo coâng thöùc (1.7) v = s& = R.ϕ& = R.ω (1.27) r phöông cuûa veùctô vaän toác v vuoâng goùc vôùi ñöôøng O1M, O1 - taâm cuûa ñöôøng r troøn quyõ ñaïo. Neáu ω > 0 thì v höôùng theo chieàu taêng cuûa s, coøn khi ω < 0 thì ngöôïc laïi. + Gia toác cuûa ñieåm bieåu thò theo coâng thöùc (1.8) uur uuur uuuur W = Wτ + Wn trong ñoù: ⎧Phöông : vuoâng goùc vôùi O1 M uuur ⎪ W : ⎨Chieàu : theo höôùng taêng cuûa s neáu ε > 0, vaø ngöôïc laïi neáu ε < 0 τ ⎪ uuur r ⎩Ñoä lôùn : W = τ.W , vôùi W = && s = R.ε τ τ τ ⎧ ⎪Phöông : truøng vôùi O1 M uuuur ⎪⎪ W : ⎨Chieàu : theo höôùng töø M ñeán O1 n ⎪ uuuur ur ⎪Ñoä lôùn : W n = n.W n , vôùi Wn = (s) = v = R.ω2 & 2 2 ⎪⎩ R R
18 2- Chuyeån ñoäng tònh tieán Chuyeån ñoäng cuûa vaät maø moïi ñöôøng thaúng thuoäc vaät di chuyeån song song vôùi chính noù thì goïi laø chuyeån ñoäng tònh tieán. Khi vaät ñang chuyeån ñoäng tònh tieán thì veùctô vaän toác, veùctô gia toác cuûa moïi ñieåm thuoäc vaät laø baèng nhau vaø quyõ ñaïo cuûa moïi ñieåm thuoäc vaät laø gioáng nhau. Chính vì vaäy maø ta chæ caàn bieåu thò chuyeån ñoäng cuûa vaät bôûi chuyeån ñoäng cuûa moät ñieåm thuoäc noù. Hình 1.14: Vaät chuyeån ñoäng tònh tieán Vaän toác , gia toác cuûa moïi ñieåm thuoäc vaät thì ñöôïc goïi laø vaän toác tònh tieán vaø gia toác tònh tieán cuûa toaøn vaät. 1.4 CHUYEÅN ÑOÄNG PHÖÙC HÔÏP CUÛA VAÄT RAÉN 1- Moät soá khaùi nieäm Caùc daïng chuyeån ñoäng cuûa vaät raén khaùc vôùi hai daïng neâu trong muïc 1.3 ñeàu ñöôïc goïi laø chuyeån ñoäng phöùc hôïp. Ñoái vôùi chuyeån ñoäng phöùc hôïp ngöôøi ta luoân ñöa vaøo, moät caùch töôûng töôïng, caùc heä quy chieáu ñoäng phuï ñeå chuyeån ñoäng ñoù coù theå ñöôïc coi laø chuyeån ñoäng cuûa vaät khaûo saùt ñoái vôùi heä quy chieáu ñoäng, heä ñoäng naøy laïi chuyeån ñoäng ñoái vôùi heä ñöôïc coi laø coá ñònh (H.1.15). Ngoaøi ra, söï chuyeån ñoäng cuûa vaät naøy ñoái vôùi vaät kia ñeàu coá gaéng sao cho laø thuoäc daïng chuyeån ñoäng cô baûn. Hình 1.15: Chuyeån ñoäng phöùc hôïp cuûa vaät raén khaûo saùt Caùch phaân tích chuyeån ñoäng phöùc hôïp nhö treân hình 1.15 ñöôïc môû roäng cho tröôøng hôïp toång quaùt: vaät khaûo saùt chuyeån ñoäng ñoái vôùi heä ñoäng thöù 1, heä ñoäng thöù 1 chuyeån ñoäng ñoái vôùi heä ñoäng thöù 2, heä ñoäng thöù 2 chuyeån ñoäng ñoái vôùi heä ñoäng thöù 3, …, vaø cuoái cuøng heä ñoäng thöù n-1 chuyeån ñoäng ñoái vôùi heä thöù
19 n coá ñònh. Khaùi nieäm chuyeån ñoäng phöùc hôïp cuõng ñöôïc xem xeùt cho ñieåm töông töï nhö ñoái vôùi vaät. 2- Chuyeån ñoäng song phaúng Vaät raén khaûo saùt coù chuyeån ñoäng goïi laø chuyeån ñoäng song phaúng khi moïi ñieåm thuoäc vaät ñeàu coù khoaûng caùch khoâng ñoåi ñeán cuøng moät maët phaúng quy chieáu. Hình 1.16: Vaät chuyeån ñoäng song phaúng Giaû söû ta kyù hieäu maët quy chieáu ñoù laø Q (H.1.16a). Töø ñònh nghóa treân veà chuyeån ñoäng song phaúng, ta thaáy baát kyø tieát dieän naøo cuûa vaät song song vôùi maët phaúng Q, khi vaät chuyeån ñoäng thì luoân chuyeån ñoäng trong maët phaúng chöùa noù. Treân hình 1.16, bieåu dieãn tieát dieän A chöùa caùc ñieåm thuoäc vaät cuøng caùch Q khoaûng caùch hM , tieát dieän naøy seõ luoân chuyeån ñoäng trong maët phaúng chöùa noù. Ñoàng thôøi ta cuõng thaáy moïi ñieåm naèm treân cuøng ñöôøng vuoâng goùc vôùi Q coù cuøng quyõ ñaïo, vaän toác, gia toác. Do vaäy, ñeå khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa moïi ñieåm thuoäc vaät chæ caàn khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa caùc ñieåm thuoäc moät tieát dieän A naøo ñoù song song vôùi Q (H.1.16b). Ta thieát laäp heä truïc toïa ñoä Ñeà Caùc Oxyz coá ñònh, töùc gaén chaët vôùi heä quy chieáu coá ñònh, coù truïc z vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa A vaø maët phaúng toïa ñoä xy naèm trong maët phaúng chöùa A (H.1.16 b). Vì tieát dieän A luoân chuyeån ñoäng trong maët phaúng chöùa noù, neân, nhö trong phaàn 1 muïc 1.2 ta ñaõ bieát, baäc töï do cuûa tieát dieän A , töùc cuûa caû vaät , baèng 3, vaø caùc toïa ñoä suy roäng cuøng phöông trình chuyeån ñoäng gioáng nhö phöông trình (1.21): xM = xM ( t ) ⎫ ⎪ yM = yM ( t)⎬ ϕ = ϕ( t) ⎪⎭ (1.30) Phöông trình (1.30) baây giôø laø phöông trình chuyeån ñoäng song phaúng.
20 Döôùi ñaây ta seõ phaân tích chuyeån ñoäng song phaúng theo phöông höôùng ñaõ neâu trong phaàn 1 muïc 1.4. Gaùn töôûng töôïng vaøo cô heä khaûo saùt moät heä ñoäng chuyeån ñoäng tònh tieán theo quy luaät chuyeån ñoäng cuûa ñieåm M, Töùc quyõ ñaïo, vaän toác, gia toác moïi ñieåm cuûa heä ñoäng naøy gioáng heät caùc ñaïi löôïng töông öùng cuûa ñieåm M. Ta thieát laäp tieáp heä truïc toïa ñoä Ñeà Caùc gaén chaët vôùi heä ñoäng coù goác taïi M, kyù hieäu laø heä truïc Mx1y1z1 , sao cho caùc truïc x1, y1, z1 song song vôùi caùc truïc x, y, z cuûa heä truïc toïa ñoä coá ñònh. Vì heä ñoäng chuyeån ñoäng tònh tieán neân phöông caùc truïc x1, y1, z1 luoân giöõ song song vôùi x, y, z töøng ñoâi töông öùng. Phöông cuûa moät ñöôøng baát kyø thuoäc hình phaúng A hôïp vôùi truïc x theá naøo, thì cuõng hôïp vôùi truïc x1 nhö theá. Nhö vaäy ñoái vôùi heä ñoäng thì hình phaúng A chuyeån ñoäng quay quanh truïc coá ñònh truøng vôùi truïc z1, vôùi quy luaät ϕ = ϕ(t), phöông trình cuoái trong coâng thöùc (1.30). Maët khaùc heä ñoäng laïi chuyeån ñoäng tònh tieán theo quy luaät chuyeån ñoäng cuûa ñieåm M, töùc quy luaät chuyeån ñoäng cuûa heä ñoäng theå hieän bôûi hai phöong trình ñaàu cuûa coâng thöùc (1.30): xM = xM(t) yM = yM(t) Toùm laïi, ta ñaõ phaân tích chuyeån ñoäng song phaúng thaønh hai chuyeån ñoäng cô baûn nhö sau: vaät (hay hình phaúng A) chuyeån ñoäng quay ñoái vôùi heä ñoäng, trong luùc heä ñoäng laïi chuyeån ñoäng tònh tieán ñoái vôùi heä coá ñònh. Ta cuõng nhaän thaáy raèng trong soá caùc phöông trình chuyeån ñoäng cuûa vaät thì moät soá phöông trình theå hieän chuyeån ñoäng cuûa vaät ñoái vôùi heä ñoäng, moät soá phöông trình theå hieän chuyeån ñoäng cuûa heä ñoäng ñoái vôùi heä coá ñònh. 3- Chuyeån ñoäng quay quanh caùc truïc giao nhau taïi moät ñieåm coá ñònh Xeùt tröôøng hôïp vaät thöïc hieän chuyeån ñoäng nhö sau: quay quanh truïc thöù nhaát , kyù hieäu truïc Δ1 (H.1.17), trong luùc truïc Δ1 quay quanh truïc Δ2, …, vaø truïc Δn-1 quay quanh truïc Δ coá ñònh. Caùc truïc Δ1, …, Δn-1, Δ giao nhau taïi moät ñieåm O, ñieåm naøy coù vò trí coá ñònh treân moãi truïc.