Luận án Tiến sĩ Toán học: Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:116

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án nhằm nghiên cứu về lớp hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù kiểu (II, A). để từ đó phân lớp phạm trù các nhóm phạm trù và phạm trù các nhóm phạm trù bện; phân lớp các nhóm phạm trù bện phân bậc bới các hệ phân tử; nghiên cứu một số phiên bản của mô đun chéo trên các nhóm của J. H. C. Whitehead. Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết đề tài!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

§¹i häc huÕ Trêng ®¹i häc s ph¹m ph¹m thÞ cóc HÖ nh©n tö trong nhãm ph¹m trï ph©n bËc luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc HuÕ - 2014
§¹i häc huÕ Trêng ®¹i häc s ph¹m ph¹m thÞ cóc HÖ nh©n tö trong nhãm ph¹m trï ph©n bËc Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè M· sè: 62. 46. 05. 01 luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ngêi híng dÉn khoa häc: 1. PGS. TS. NguyÔn TiÕn Quang 2. GS. TS. Lª V¨n ThuyÕt HuÕ, 2014
Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña t«i ®îc viÕt chung víi c¸c ®ång t¸c gi¶. Nh÷ng kÕt qu¶ viÕt chung víi c¸c t¸c gi¶ kh¸c ®· ®îc sù nhÊt trÝ cña c¸c ®ång t¸c gi¶ khi ®a vµo luËn ¸n. C¸c sè liÖu, kÕt qu¶ ®îc tr×nh bµy trong luËn ¸n lµ trung thùc vµ cha tõng ®îc ai c«ng bè trong bÊt kú c«ng tr×nh nµo kh¸c. T¸c gi¶ Ph¹m ThÞ Cóc 1
Lêi c¶m ¬n LuËn ¸n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn cña PGS. TS. NguyÔn TiÕn Quang vµ GS. TS. Lª V¨n ThuyÕt. Lêi ®Çu tiªn, em xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt ®Õn c¸c ThÇy. C¸c ThÇy kh«ng chØ truyÒn cho em niÒm ®am mª nghiªn cøu khoa häc, tËn t×nh híng dÉn vµ gióp ®ì em vÒ mäi mÆt, mµ cßn dµnh cho em sù cæ vò vµ ®éng viªn trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu cña m×nh. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n c¸c thÇy c« trong Khoa To¸n, Phßng Sau ®¹i häc - Trêng §¹i häc s ph¹m - §¹i häc HuÕ, Ban ®µo t¹o sau ®¹i häc - §¹i häc HuÕ vµ c¸c thÇy c« trong Bé m«n §¹i sè, Khoa Khoa häc tù nhiªn - Trêng §¹i häc Hång §øc - Thanh Hãa ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t«i häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh ch¬ng tr×nh nghiªn cøu cña m×nh. T«i còng xin göi lêi c¶m ¬n ®Õn Th¹c sü NguyÔn Thu Thñy v× nh÷ng sù gióp ®ì ch©n thµnh. Cuèi cïng, t«i muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn gia ®×nh t«i v× nh÷ng sù ®ång c¶m, ®éng viªn vµ chia sÎ nh÷ng khã kh¨n trong suèt thêi gian t«i lµm nghiªn cøu sinh vµ hoµn thµnh luËn ¸n nµy. Ph¹m ThÞ Cóc 2
Môc lôc 1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ 16 1.1 Nhãm ph¹m trï (bÖn) ph©n bËc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.1 Nhãm ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.2 Nhãm ph¹m trï thu gän vµ c¸c t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c . . . . . . . . . 17 1.1.3 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.4 Nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.5 Hµm tö monoidal, t¬ng ®¬ng tù nhiªn monoidal . . . . . . . . . . . 19 1.2 Ann-ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.1 Ann-ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.2 Ann-hµm tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.3 Ann-ph¹m trï thu gän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f ) vµ øng dông 25 2.1 Ph©n líp ®èi ®ång ®iÒu c¸c hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f ) . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc bëi hÖ nh©n tö . . . . . . . . . . . 37 2.5 ¸p dông vµo bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.1 Nhãm ph¹m trï cña mét h¹t nh©n trõu tîng . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.2 Hµm tö monoidal vµ bµi to¸n më réng nhãm . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo 53 3.1 Nhãm ph¹m trï liªn kÕt víi mét m«®un chÐo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Ph©n líp c¸c m«®un chÐo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo: lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp 58 4 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ vµ më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo 65 4.1 Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®¼ng biÕn cña Cegarra . . . . . . . . . . . . . 65 3
4.2 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän vµ hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ) . 66 4.2.1 X©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän th«ng qua ph¹m trï khung 67 4.2.2 X©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän b»ng ph¬ng ph¸p hÖ nh©n tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2.3 Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ) . . . . . . . . . . 72 4.3 Γ-m«®un chÐo vµ nhãm ph¹m trï ph©n bËc liªn kÕt . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 Ph©n líp c¸c Γ-m«®un chÐo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.5 Bµi to¸n më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo: lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5 Ann-ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh qui 88 5.1 Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu vµnh cña Mac Lane vµ Shukla . . . . . . . . . . . . 88 5.2 Song m«®un chÐo vµ E-hÖ chÝnh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.3 Ph©n líp c¸c E-hÖ chÝnh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.4 Më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4
B¶ng ký hiÖu Ký hiÖu NghÜa ObG tËp c¸c vËt cña ph¹m trï G MorG tËp c¸c mòi tªn cña ph¹m trï G (0, g, d) rµng buéc ®¬n vÞ cña phÐp céng (1, l, r) rµng buéc ®¬n vÞ (cña phÐp nh©n) Π = π0 G tËp c¸c líp vËt ®¼ng cÊu cña G A = π1 G tËp c¸c tù ®¼ng cÊu cña vËt ®¬n vÞ I SG ph¹m trï thu gän cña ph¹m trï G Hom(ϕ,f ) [S, S0 ] tËp c¸c líp ®ång lu©n c¸c hµm tö kiÓu (ϕ, f ) 0 tõ S ®Õn S (Π, A), (Π, A, k) nhãm ph¹m trï kiÓu (Π, A) R Γ (Π, A, h) nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc kiÓu (Π, A) (F, Fe) hµm tö monoidal (Γ-ph©n bËc) (F, F˘ , Fe) Ann-hµm tö (H, H), e (G, G)e c¸c t¬ng ®¬ng monoidal chÝnh t¾c (HΓ , H e Γ ), (GΓ , G eΓ ) c¸c t¬ng ®¬ng monoidal Γ-ph©n bËc chÝnh t¾c (R, M ), (R, M, h) Ann-ph¹m trï kiÓu (R, M ) H i (Π, A) c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu nhãm HΓi (Π, A) c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®¼ng biÕn i HM acL (R, M ) c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu vµnh cña Mac Lane i HShu (R, M ) c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu vµnh cña Shukla MA vµnh c¸c song tÝch cña vµnh A Ext(Π, A, ψ) tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng c¸c më réng nhãm d M, (B, D, d, θ), B → D (Γ-)m«®un chÐo, E-hÖ ExtB→D (Q, B, ψ) tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng c¸c më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo ExtΓB→D (Q, B, ψ) tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng c¸c më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo 5
B¶ng thuËt ng÷ ThuËt ng÷ TiÕng Anh Ann-ph¹m trï Ann-category Ann-ph¹m trï chÆt chÏ strict Ann-category Ann-ph¹m trï chÝnh qui regular Ann-category Ann-ph¹m trï thu gän reduced Ann-category Ann-hµm tö Ann-functor Ann-hµm tö ®¬n single Ann-functor Ann-mòi tªn Ann-morphism Ann-t¬ng ®¬ng Ann-equivalence Ann-t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c canonical Ann-equivalence c¶n trë obstruction ®Ýnh stick ®iÒu kiÖn khíp coherence condition E-hÖ E-system E-hÖ chÝnh qui regular E-system hµm tö monoidal monoidal functor hµm tö monoidal chÝnh qui regular monoidal functor hµm tö monoidal ®èi xøng symmetric monoidal functor hµm tö monoidal ph©n bËc graded monoidal functor hµm tö monoidal ph©n bËc chÝnh qui regular graded monoidal functor h¹t nh©n trõu tîng abstract kernel hÖ nh©n tö factor set hÖ nh©n tö chÝnh qui regular factor set gi¶ hµm tö pseudo-functor m«®un chÐo crossed module m«®un chÐo ®¼ng biÕn equivariant crossed module më réng nhãm ®¼ng biÕn equivariant group extension më réng tÝch chÐo crossed product extension nhãm ph¹m trï categorical group nhãm ph¹m trï chÆt chÏ strict categorical group nhãm ph¹m trï bÖn braided categorical group nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc graded braided categorical group 6
nhãm ph¹m trï ph©n bËc graded categorical group nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ strict graded categorical group nhãm pham trï rêi r¹c discrete categorical group nhãm ph¹m trï thu gän reduced categorical group ph¹m trï khung skeletal category ph¹m trï monoidal monoidal category ph¹m trï monoidal ®èi xøng symmetric monoidal category ph¹m trï Picard Picard category ph©n bËc graded rµng buéc constraint rµng buéc bÖn braided constraint rµng buéc ®¬n vÞ unit constraint rµng buéc giao ho¸n commutativity constraint rµng buéc kÕt hîp associativity constraint song m«®un chÐo crossed bimodule song tÝch bimultiplication song tÝch giao ho¸n permutable bimultiplication sù t¬ng thÝch compatibility tiÒn ®Ýnh pre-stick t¬ng ®¬ng ph¹m trï categorical equivalence t¬ng ®¬ng tù nhiªn monoidal monoidal natural equivalence vËt object 7
s¬ ®å mèi liªn hÖ gi÷a c¸c kh¸i niÖm, thuËt ng÷ Nhãm ph¹m trï Ann-ph¹m trï ph©n bËc @ @ @ @ @ Nhãm ph¹m trï 1. Nhãm ph¹m trï ⊃ Nhãm ph¹m trï - M«®un chÐo chÆt chÏ @ @ @ @@ Më réng nhãm ⊃ Më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo 2. Nhãm ph¹m trï ⊃ Nhãm ph¹m trï - Γ-m«®un chÐo ph©n bËc ph©n bËc chÆt chÏ @ @ @ @ Më réng nhãm ⊃ Më réng nhãm ®¼ng biÕn ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo 3. Ann-ph¹m trï ⊃ Ann-ph¹m trï - E-hÖ chÝnh qui chÆt chÏ @ @ @ @ @ Më réng vµnh ⊃ Më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh qui 8
Më ®Çu Kh¸i niÖm ph¹m trï monoidal (hay ph¹m trï tens¬) ®îc ®Ò xuÊt bëi BÐnabou [44], S. Mac Lane [26], G. M. Kelly [23], ... vµo ®Çu nh÷ng n¨m 60 cña thÕ kû tríc. §ã lµ mét ph¹m trï C ®îc trang bÞ mét song hµm tö ⊗ : C × C → C cã tÝnh kÕt hîp (sai kh¸c mét ®¼ng cÊu tù nhiªn) vµ mét vËt I võa lµ ®¬n vÞ tr¸i võa lµ ®¬n vÞ ph¶i ®èi víi phÐp to¸n ⊗ (còng sai kh¸c mét ®¼ng cÊu tù nhiªn). C¸c ®¼ng cÊu tù nhiªn kÕt hîp vµ ®¬n vÞ ph¶i tháa m·n nh÷ng ®iÒu kiÖn khíp nhÊt ®Þnh ®Ó ®¶m b¶o r»ng tÊt c¶ c¸c biÓu ®å phï hîp lµ giao ho¸n. NÕu c¸c ®¼ng cÊu nµy ®Òu lµ ®ång nhÊt th× ta nãi c¸c rµng buéc lµ chÆt chÏ, vµ ph¹m trï ®ang xÐt lµ ph¹m trï monoidal chÆt chÏ. Mçi ph¹m trï monoidal ®Òu t¬ng ®¬ng víi mét ph¹m trï monoidal chÆt chÏ. PhÐp to¸n tens¬ th«ng thêng lµm cho c¸c kh«ng gian vect¬, c¸c nhãm aben, c¸c R-m«®un hoÆc c¸c R-®¹i sè trë thµnh ph¹m trï monoidal. Do ®ã, ph¹m trï monoidal cã thÓ ®îc xem nh tæng qu¸t hãa cña c¸c kh¸i niÖm nµy vµ nhiÒu vÝ dô kh¸c. Ph¹m trï monoidal ®îc "mÞn hãa" ®Ó trë thµnh ph¹m trï víi cÊu tróc nhãm khi bæ sung thªm kh¸i niÖm vËt kh¶ nghÞch. Trong trêng hîp ph¹m trï nÒn lµ mét groupoid (nghÜa lµ mäi mòi tªn trong ph¹m trï ®Òu lµ ®¼ng cÊu) th× ta thu ®îc mét líp ph¹m trï quan träng, ®ã lµ nhãm ph¹m trï. Mét nhãm ph¹m trï (hay Gr-ph¹m trï theo c¸ch gäi cña H. X. SÝnh [50]) lµ mét ph¹m trï monoidal trong ®ã mäi mòi tªn ®Òu kh¶ nghÞch vµ mäi vËt ®Òu cã nghÞch ®¶o yÕu (ë ®©y nghÞch ®¶o yÕu cña mét vËt X lµ mét vËt Y sao cho X ⊗ Y vµ Y ⊗ X ®Òu ®¼ng cÊu víi vËt ®¬n vÞ I ). §Æc biÖt, mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ (theo c¸ch gäi cña A. Joyal vµ R. Street [22]) lµ mét ph¹m trï monoidal chÆt chÏ trong ®ã mäi mòi tªn ®Òu kh¶ nghÞch vµ mäi vËt ®Òu cã nghÞch ®¶o chÆt chÏ (X ⊗ Y = I = Y ⊗ X ). Kh¸i niÖm nµy cßn ®îc gäi lµ G -groupoid theo R. Brown vµ C. Spencer [8], hay 2-nhãm theo B. Noohi [29], hay 2-nhãm chÆt chÏ theo J. C. Baez vµ A. D. Lauda [3], hay Gr-ph¹m trï chÆt chÏ theo H. X. SÝnh [51]. Nhãm ph¹m trï bÖn lµ mét nhãm ph¹m trï ®îc trang bÞ thªm rµng buéc bÖn. Trong trêng hîp rµng buéc bÖn lµ ®èi xøng th× ta thu ®îc kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï ®èi xøng (hay ph¹m trï Picard, Pic-ph¹m trï theo [50]) hay 2-nhãm ®èi xøng. Nh÷ng t¸c gi¶ ®Çu tiªn nghiªn cøu vÒ nhãm ph¹m trï mµ ta cã thÓ kÓ ®Õn lµ N. Saavedra Rivano [49], H. X. SÝnh [50], M. L. Laplaza [24], ... Trong luËn ¸n cña m×nh n¨m 1975 [50], H. X. SÝnh ®· m« t¶ cÊu tróc cña nhãm ph¹m trï vµ ph¹m trï Picard vµ ph©n líp chóng bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu 3 cña c¸c nhãm. Do trong líp ph¹m trï nµy mäi mòi tªn ®Òu lµ ®¼ng cÊu nªn c¸c bÊt biÕn ®Æc trng cña mçi ph¹m trï thuéc líp nµy ®Òu ®îc x¸c ®Þnh. Theo ®ã, mçi nhãm ph¹m trï G x¸c ®Þnh hoµn toµn ba bÊt biÕn: nhãm Π = π0 G c¸c líp vËt ®¼ng cÊu cña G, Π-m«®un A = π1 G c¸c tù ®¼ng cÊu cña vËt ®¬n vÞ cña G vµ mét líp 9
®èi ®ång ®iÒu chuÈn t¾c chiÒu 3 cña nhãm Π víi c¸c hÖ tö trong Π-m«®un A. H¬n n÷a, mçi nhãm ph¹m trï ®Òu t¬ng ®¬ng víi mét nhãm ph¹m trï kiÓu (Π, A) qua c¸c t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c ®îc x©y dùng nhê kh¸i niÖm ®Ýnh. Do ®ã, sù ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï hoµn toµn cã thÓ ®îc thùc hiÖn mét c¸ch ®¬n gi¶n h¬n trªn líp c¸c ph¹m trï lo¹i nµy (c¸c nhãm ph¹m trï tiÒn ®Ýnh kiÓu (Π, A)). KÕt qu¶ nµy ®· cho phÐp x¸c lËp mèi liªn hÖ gi÷a lý thuyÕt nhãm ph¹m trï, ®èi ®ång ®iÒu nhãm vµ bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn cña Schreier - Eilenberg - Mac Lane [51]. Sau ®ã, lý thuyÕt nhãm ph¹m trï víi tÝnh kh¸i qu¸t cña nã ngµy cµng cã nhiÒu øng dông. LuËn ¸n cña H. X. SÝnh [50] cã thÓ xem nh lµ ®· tr×nh bµy mét c¸ch ®Çy ®ñ c¸c vÊn ®Ò c¬ b¶n liªn quan ®Õn nhãm ph¹m trï, nhng c«ng tr×nh nµy kh«ng ®îc xuÊt b¶n vµ còng rÊt khã t×m. J. C. Baez vµ A. D. Lauda [3] sau ®ã ®· cã mét tæng kÕt kh¸ tØ mØ cho c¸c nhãm ph¹m trï, tuy nhiªn c¸c t¸c gi¶ nµy l¹i kh«ng ®Ò cËp tíi bµi to¸n ph©n líp. C¸c nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc ®îc giíi thiÖu lÇn ®Çu tiªn trong [20] bëi A. Frohlich vµ C. T. C. Wall. GÇn ®©y, nhiÒu vÝ dô thó vÞ kh¸c vÒ nhãm ph¹m trï ph©n bËc còng xuÊt hiÖn trong t«p« ®¹i sè vµ lý thuyÕt vµnh (xem [14, 16]). Trong [14], A. M. Cegarra vµ c¸c ®ång t¸c gi¶ ®· chøng ®Þnh lý ph©n líp chÝnh x¸c cho c¸c nhãm ph¹m trï ph©n bËc vµ c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn chiÒu thø 3 theo nghÜa trong [15]. Sau ®ã, c¸c kÕt qu¶ nµy ®· ®îc ¸p dông ®Ó ®a ra lêi gi¶i thÝch hîp cho bµi to¸n më réng ®¼ng biÕn cña nhãm víi h¹t nh©n kh«ng aben trong [14]. §©y lµ mét d¹ng kh¸i qu¸t cña bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn, mµ ë ®©y nã xuÊt hiÖn nh lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt øng víi Γ = 1. KÕt qu¶ nµy cho ta thÊy mèi liªn hÖ gi÷a bé ba: lý thuyÕt nhãm ph¹m trï ph©n bËc, më réng nhãm ®¼ng biÕn vµ ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn. Nhãm ph¹m trï bÖn ®îc xÐt tíi lÇn ®Çu trong [22] bëi A. Joyal vµ R. Street nh mét më réng cña ph¹m trï Picard, trong ®ã c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ®· ®îc ph©n líp bëi nhãm ®èi 3 ®ång ®iÒu aben Hab (M, N ). T×nh huèng tæng qu¸t h¬n ®èi víi c¸c nhãm ph¹m trï Picard ®îc ®a ra bëi A. Frohlich vµ C. T. C. Wall víi tªn gäi nhãm ph¹m trï ph©n bËc [20] (sau nµy, A. M. Cegarra vµ E. Khmaladze [18] gäi lµ ph¹m trï Picard ph©n bËc). C¸c ®Þnh lý ph©n líp ®ång lu©n cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc, vµ trêng hîp riªng cña nã lµ ph¹m trï c¸c ph¹m trï Picard ph©n bËc ®· ®îc tr×nh bµy theo thø tù trong [17] vµ [18]. Trong phÐp chøng minh c¸c ®Þnh lý ph©n líp nµy, phÇn thó vÞ nhÊt vµ còng lµ phøc t¹p nhÊt lµ phÐp dùng 3-®èi chu tr×nh ®îc c¶m sinh bëi mét nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc (hoÆc ph¹m trï Picard ph©n bËc) qua ph¹m trï khung mµ mçi líp t¬ng ®¬ng cña c¸c ph¹m trï cïng lo¹i lµ t¬ng øng víi mét líp ®èi ®ång ®iÒu chiÒu 3. Trong bµi b¸o [34], N. T. Quang ®· giíi thiÖu mét c¸ch tiÕp cËn kh¸c cho bµi to¸n ph©n líp ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc dùa trªn ph¬ng ph¸p hÖ nh©n tö (hay gi¶ hµm tö theo nghÜa cña A. Grothendieck [47]). Ph¬ng ph¸p nµy dùa trªn ý tëng sau. Mçi nhãm 10
ph¹m trï Γ-ph©n bËc ®îc xem nh më réng cña mét nhãm ph¹m trï bëi nhãm Γ. Do mçi nhãm ph¹m trï lµ t¬ng ®¬ng víi mét nhãm ph¹m trï kiÓu (Π, A) nªn 3-®èi chu tr×nh c¶m sinh cã thÓ ®îc x¸c ®Þnh tõ mét hÖ nh©n tö t¬ng tù nh c¸ch x¸c ®Þnh c¸i c¶n trë cña bµi to¸n më réng nhãm. Ph¬ng ph¸p nµy cã nhiÒu triÓn väng trong viÖc ¸p dông cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn Γ-ph©n bËc. NÕu nh nhãm ph¹m trï ®îc xem nh lµ mét phiªn b¶n ph¹m trï cña cÊu tróc nhãm th× vµo n¨m 1988 N. T. Quang [1] ®· ®a ra kh¸i niÖm Ann-ph¹m trï, xem nh mét ph¹m trï hãa cña kh¸i niÖm vµnh, víi nh÷ng ®ßi hái vÒ tÝnh kh¶ nghÞch cña c¸c vËt vµ cña c¸c mòi tªn trong ph¹m trï nÒn. Còng trong [1], N. T. Quang ®· x¸c ®Þnh ®îc c¸c bÊt biÕn ®Æc trng cña mét Ann-ph¹m trï bao gåm mét vµnh R, mét R-song m«®un M vµ mét phÇn 3 tö thuéc nhãm ®èi ®ång ®iÒu Mac Lane HM acL (R, M ) theo nghÜa trong [48]. Tõ ®ã x¸c lËp ®îc mét song ¸nh gi÷a tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c Ann-ph¹m trï tiÒn ®Ýnh kiÓu (R, M ) víi tËp c¸c líp ®èi ®ång ®iÒu c¸c cÊu tróc cña Ann-ph¹m trï kiÓu (R, M ) (§Þnh lý 3.4, Ch¬ng IV [1]). Sau ®ã, bµi to¸n ph©n líp c¸c Ann-hµm tö ®· ®îc N. T. Quang vµ D. D. Hanh gi¶i quyÕt trong [35] nhê c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu thÊp cña ®èi ®ång ®iÒu vµnh Mac Lane. Còng trong bµi b¸o nµy, c¸c t¸c gi¶ ®· chØ ra mèi liªn hÖ gi÷a bµi to¸n më réng vµnh vµ lý thuyÕt c¶n trë cña c¸c Ann-hµm tö. Líp c¸c Ann-ph¹m trï chÝnh qui (rµng buéc ®èi xøng tháa m·n ®iÒu kiÖn cX,X = id ®èi víi mäi vËt X ), n¶y sinh tõ bµi to¸n më réng vµnh, ®· ®îc ph©n líp trong [1] bëi nhãm 3 ®èi ®ång ®iÒu cña ®¹i sè kÕt hîp HShu (R, M ) theo nghÜa cña Shukla trong [52]. GÇn ®©y nhÊt, bµi to¸n ph©n líp c¸c Ann-ph¹m trï trong trêng hîp tæng qu¸t ®· ®îc N. T. Quang gi¶i quyÕt trän vÑn trong [37]. M«®un chÐo cña c¸c nhãm ®îc J. H. C. Whitehead ®a ra vµo n¨m 1949 trong c«ng tr×nh nghiªn cøu cña «ng vÒ biÓu diÔn 2-d¹ng ®ång lu©n [43] mµ kh«ng cã sù trî gióp cña lý thuyÕt ph¹m trï. Trong bµi b¸o ®îc xuÊt b¶n n¨m 1976 [8], R. Brown vµ C. Spencer ®· chØ ra r»ng mçi m«®un chÐo ®Òu x¸c ®Þnh mét G -groupoid (nghÜa lµ, mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ) vµ ngîc l¹i, do ®ã m«®un chÐo cã thÓ ®îc nghiªn cøu bëi lý thuyÕt ph¹m trï. KÕt qu¶ nµy cho phÐp x¸c lËp mèi liªn hÖ gi÷a lý thuyÕt nhãm ph¹m trï víi m«®un chÐo, mét kh¸i niÖm c¬ b¶n vµ cã nguån gèc tõ t«p« ®¹i sè. Mét c¸ch chÝnh x¸c, R. Brown vµ C. Spencer ®· chøng minh r»ng (§Þnh lý 1, [8]) ph¹m trï c¸c m«®un chÐo lµ t¬ng ®¬ng víi ph¹m trï c¸c G -groupoid (trong ph¹m trï thø nhÊt c¸c mòi tªn lµ c¸c ®ång cÊu m«®un chÐo, cßn trong ph¹m trï thø hai mòi tªn lµ c¸c hµm tö b¶o toµn phÐp to¸n nhãm). Tríc ®ã, kÕt qu¶ nµy ®· ®îc t×m ra mét c¸ch ®éc lËp bëi J. -L. Verdier vµo n¨m 1965 trong mét c«ng tr×nh cña «ng nhng kh«ng ®îc c«ng bè. Sau ®ã, kÕt qu¶ nµy ®· ®îc sö dông vµ trÝch dÉn trong kh¸ nhiÒu nghiªn cøu cña c¸c t¸c gi¶ kh¸c cã liªn quan tíi m«®un chÐo hoÆc nhãm ph¹m trï. Mét d¹ng kh¸i qu¸t hãa cña §Þnh lý 1 trong [8] cho c¸c m«®un chÐo trong nhãm 11
víi phÐp to¸n vµ c¸c ph¹m trï trong ®· ®îc T. Porter giíi thiÖu trong [32]. Nh vËy, cã thÓ xem nh R. Brown vµ C. Spencer lµ nh÷ng t¸c gi¶ ®Çu tiªn ®· ®a ra ®îc mét t¬ng ®¬ng ph¹m trï gi÷a mét bªn lµ ph¹m trï c¸c m«®un chÐo vµ mét bªn lµ ph¹m trï cña mét lo¹i ®¹i sè ph¹m trï. Tuy nhiªn, trong t¬ng ®¬ng nµy, ngoµi viÖc x©y dùng ®îc t¬ng øng gi÷a c¸c vËt cña hai ph¹m trï, c¸c t¸c gi¶ míi chØ x©y dùng ®îc t¬ng øng trªn mét líp c¸c mòi tªn vµ c¸c hµm tö rÊt ®Æc biÖt. Do ®ã, t¬ng ®¬ng nµy cha ph¶n ¸nh ®îc b¶n chÊt cña tenx¬ ph¹m trï, ®ã lµ mèi liªn hÖ víi ®èi ®ång ®iÒu nhãm. Mèi liªn hÖ gi÷a nhãm ph¹m trï chÆt chÏ, m«®un chÐo vµ ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®· ®îc A. Joyal vµ R. Street chØ ra trong b¶n th¶o bµi b¸o n¨m 1986 [21], nhng sau ®ã l¹i bÞ bá ®i trong phiªn b¶n cuèi cïng [22]. Bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo ®îc giíi thiÖu trong [42] vµ [46] ®· ®îc R. Brown vµ c¸c céng sù nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh [7], [9], [10]. Trong ®ã, c¸c t¸c gi¶ ®· gi¶i thÝch ®Þnh lý vÒ sù tån t¹i vµ ph©n líp c¸c më réng lo¹i nµy b»ng c¸ch sö dông ph¬ng ph¸p phøc chÐo, t¬ng tù nh ph¬ng ph¸p phøc xÝch trong ®¹i sè ®ång ®iÒu. C¸c kÕt qu¶ vÒ bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo ®· ®îc biÓu diÔn (thÓ hiÖn) qua ®èi ®ång ®iÒu nhãm, t¬ng tù nh kÕt qu¶ cæ ®iÓn cña Eilenberg - Mac Lane (MÖnh ®Ò 8.3, Ch¬ng IV [27]). Trong [51], H. X. SÝnh còng ®· sö dông nhãm ph¹m trï chÆt chÏ ®Ó t×m l¹i §Þnh lý 9.2, Ch¬ng IV, [27] vÒ sù thÓ hiÖn mét 3-®èi chu tr×nh nhãm nh lµ c¸i c¶n trë cña bµi to¸n më réng nhãm. §iÒu nµy gîi ý cho c¸c nghiªn cøu vÒ viÖc thÓ hiÖn nh÷ng kh¸i niÖm liªn quan ®Õn m«®un chÐo qua ng«n ng÷ nhãm ph¹m trï, vµ tõ ®ã øng dông trë l¹i c¸c kÕt qu¶ cña lý thuyÕt nhãm ph¹m trï cho c¸c bµi to¸n vÒ m«®un chÐo. Kh¸i niÖm m«®un chÐo cña J. H. C. Whitehead [43] ®· ®îc tæng qu¸t hãa theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau dùa trªn c¸c quan ®iÓm kh¸c nhau khi xem chóng lµ 1-m«®un chÐo hay m«®un chÐo trªn c¸c nhãm. M«®un chÐo (hay 1-m«®un chÐo) m« t¶ c¸c 2-d¹ng ®ång lu©n liªn th«ng vµ do ®ã chóng ®ãng vai trß quan träng trong ®¹i sè ®ång ®iÒu. N¨m 1984, D. ConduchÐ [45] ®· ®a ra kh¸i niÖm 2-m«®un chÐo vµ m« t¶ chóng nh lµ c¸c 3-d¹ng liªn th«ng. Sau ®ã, vµo n¨m 2009 Z. Arvasi vµ c¸c ®ång t¸c gi¶ ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm tæng qu¸t h¬n, 3-m«®un chÐo, vµ m« t¶ chóng nh lµ c¸c 4-d¹ng ®ång lu©n ®¹i sè [2]. Nh ®· nãi ë trªn, mçi m«®un chÐo trªn c¸c nhãm ®îc xem nh mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ, vµ chóng thêng ®îc nghiªn cøu nhiÒu nhÊt díi d¹ng nµy. Sau ®ã, H. -J. Baues [4] ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c k-®¹i sè (k lµ trêng). C¸c m«®un chÐo trªn c¸c k-®¹i sè vµ lµ k-chÎ ra cã cïng h¹t nh©n M vµ ®èi h¹t nh©n B ®· ®îc ph©n líp bëi 3 nhãm ®èi ®ång ®iÒu Hochschild HHoch (B, M ) [5]. Trong [6] c¸c t¸c gi¶ thay thÕ trêng k bëi vµnh giao ho¸n K vµ gäi c¸c m«®un chÐo trªn c¸c K-®¹i sè lµ song m«®un chÐo. §Æc biÖt, víi K = Z th× chóng t«i thu ®îc kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh. Kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c nhãm cã thÓ ®îc x¸c ®Þnh trªn vµnh theo mét c¸ch 12
kh¸c, mµ chóng t«i gäi lµ E-hÖ. Trêng hîp ®Æc biÖt cña E-hÖ, E-hÖ chÝnh qui, trïng víi kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh, vµ do ®ã kh¸i niÖm E-hÖ lµ yÕu h¬n kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh. T¬ng tù nh m«®un chÐo trªn c¸c nhãm, kh¸i niÖm E-hÖ chÝnh qui mµ chóng t«i ®a ra nh»m môc ®Ých kÕt nèi víi kh¸i niÖm Ann-ph¹m trï chÆt chÏ (mäi rµng buéc trong nã ®Òu lµ chÆt chÏ) th«ng qua mét t¬ng ®¬ng ph¹m trï, lµ më réng cña t¬ng ®¬ng ph¹m trï ®· ®îc thiÕt lËp bëi R. Brown vµ C. Spencer. N»m trong chuçi c¸c bµi to¸n më réng kiÓu m«®un chÐo, chóng t«i ®a ra vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh qui, xem nh lµ mét øng dông cña kh¸i niÖm E-hÖ còng nh cña lý thuyÕt Ann-ph¹m trï. Mét phiªn b¶n kh¸c cña kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c nhãm lµ kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c Γ-nhãm, thêng ®îc gäi lµ m«®un chÐo Γ-®¼ng biÕn (hay ®¬n gi¶n lµ Γ-m«®un chÐo). Kh¸i niÖm nµy ®· ®îc B. Noohi giíi thiÖu trong [30] khi so s¸nh c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó ®Þnh nghÜa ®èi ®ång ®iÒu nhãm víi c¸c hÖ tö trong mét m«®un chÐo. Do ®ã, vÊn ®Ò t×m ra mét líp ph¹m trï phï hîp ®Ó biÓu diÔn c¸c Γ-m«®un chÐo, tõ ®ã ph©n líp c¸c Γ-m«®un chÐo, ... ®ang cßn lµ vÊn ®Ò më. Nh vËy, bªn c¹nh nh÷ng kÕt qu¶ ®· cã vÒ mèi liªn hÖ gi÷a m«®un chÐo, nhãm ph¹m trï chÆt chÏ, ®èi ®ång ®iÒu nhãm vµ bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn; mèi liªn hÖ gi÷a nhãm ph¹m trï ph©n bËc, lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn vµ bµi to¸n më réng ®¼ng biÕn; mèi liªn hÖ gi÷a lý thuyÕt Ann-ph¹m trï, ®èi ®ång ®iÒu vµnh vµ bµi to¸n më réng vµnh, chóng t«i tiÕp tôc nghiªn cøu mét c¸ch cã hÖ thèng mèi c¸c liªn hÖ nµy vµ c¸c phiªn b¶n tæng qu¸t hãa cña chóng. Kü thuËt hÖ nh©n tö ®· ®îc sö dông xuyªn suèt c¶ ®Ò tµi nghiªn cøu ®Ó gi¶i quyÕt nhiÒu vÊn ®Ò. Do ®ã, díi sù híng dÉn cña PGS. TS. NguyÔn TiÕn Quang vµ GS. TS. Lª V¨n ThuyÕt, chóng t«i chän ®Ò tµi "HÖ nh©n tö trong nhãm ph¹m trï ph©n bËc" ®Ó gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò nªu trªn. Môc ®Ých cña luËn ¸n tríc hÕt lµ nghiªn cøu vÒ líp hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï kiÓu (Π, A), ®Ó tõ ®ã ph©n líp ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï vµ ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn. Hai lµ, ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc bëi c¸c hÖ nh©n tö. Ba lµ, nghiªn cøu mét sè phiªn b¶n cña m«®un chÐo trªn c¸c nhãm cña J. H. C. Whitehead, bao gåm: sù biÓu diÔn cña chóng qua c¸c líp ph¹m trï nµo ®ã (gäi lµ ph¹m trï liªn kÕt), mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu m«®un chÐo lo¹i ®ã víi c¸c hµm tö gi÷a c¸c ph¹m trï liªn kÕt t¬ng øng, vµ sö dông c¸c kÕt qu¶ cña lý thuyÕt ph¹m trï cïng lo¹i ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n më réng kiÓu m«®un chÐo t¬ng øng, xem nh lµ mét øng dông cña lý thuyÕt chung. §èi tîng nghiªn cøu cña luËn ¸n tríc hÕt lµ mét sè líp ph¹m trï víi cÊu tróc vµ øng dông cña chóng, bao gåm: nhãm ph¹m trï, nhãm ph¹m trï bÖn, nhãm ph¹m trï ph©n bËc, nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc, vµ Ann-ph¹m trï. §èi tîng tiÕp theo mµ luËn ¸n quan t©m nghiªn cøu ®ã lµ m«®un chÐo vµ c¸c phiªn b¶n cña nã, c¸c ®ång cÊu m«®un chÐo vµ c¸c 13
hµm tö gi÷a c¸c ph¹m trï liªn kÕt vµ bµi to¸n më réng kiÓu m«®un chÐo t¬ng øng. §Ò tµi nghiªn cøu ®îc cÊu tróc thµnh 5 ch¬ng, kh«ng kÓ c¸c phÇn më ®Çu, kÕt luËn, tµi liÖu tham kh¶o vµ danh môc tõ khãa. Ch¬ng 1, Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ, tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ ®· biÕt vÒ lý thuyÕt nhãm ph¹m trï vµ Ann-ph¹m trï ®îc sö dông cho c¸c ch¬ng sau. Ch¬ng 2, Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f ) vµ øng dông, bao gåm mét sè néi dung sau. TTríc hÕt, chóng t«i m« t¶ vÒ c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï kiÓu (Π, A) (hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f )), tr×nh bµy lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp cho c¸c hµm tö lo¹i nµy (§Þnh lý 2.6). KÕt qu¶ ph©n líp nµy kh«ng nh÷ng ®îc sö dông ®Ó chøng minh ®Þnh lý ph©n líp cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï (§Þnh lý 2.7) vµ ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn (§Þnh lý 2.10), mµ cßn ®îc n©ng lªn cho nh÷ng cÊu tróc phøc t¹p h¬n ®Ó sö dông trong c¸c ch¬ng sau. §ång thêi chóng t«i giíi thiÖu mét øng dông ®¹i sè cña lý thuyÕt c¶n trë cña c¸c hµm tö monoidal liªn quan ®Õn mét trong nh÷ng bµi to¸n cæ ®iÓn cña lý thuyÕt nhãm lµ bµi to¸n më réng nhãm (§Þnh lý 2.18). Còng trong Ch¬ng 2 nµy, chóng t«i chøng minh ®Þnh lý ph©n líp cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc b»ng ph¬ng ph¸p hÖ nh©n tö. Ch¬ng 3, Nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo, nghiªn cøu vÒ mèi liªn hÖ gi÷a m«®un chÐo, nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo. Chóng t«i x©y dùng mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu m«®un chÐo víi c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï chÆt chÏ liªn kÕt, tõ ®ã thu ®îc mét t¬ng ®¬ng ph¹m trï (§Þnh lý 3.4) mµ t¬ng ®¬ng ph¹m trï cña R. Brown vµ C. Spencer trong [8] chØ lµ trêng hîp riªng. §ång thêi, chóng t«i sö dông c¸c nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ kÕt qu¶ vÒ c¸c hµm tö monoidal ®· nãi ë Ch¬ng 2 ®Ó thu l¹i kÕt qu¶ cña bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo cña R. Brown vµ c¸c céng sù [9], xem nh mét øng dông cña lý thuyÕt nhãm ph¹m trï cã liªn quan tíi m«®un chÐo. Ch¬ng 4, Nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ vµ më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo, tr×nh bµy mét kh¸i qu¸t chung cho c¶ hai lý thuyÕt më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo vµ lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn. §ã lµ lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo. Tríc hÕt, chóng t«i ®a ra kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ ®Ó kÕt nèi víi kh¸i niÖm Γ-m«®un chÐo cña B. Noohi th«ng qua mét t¬ng ®¬ng ph¹m trï (§Þnh lý 4.9. KÕt qu¶ nµy lµ më réng cña §Þnh lý 3.4 ë Ch¬ng 3 (øng víi Γ = 1), vµ do ®ã lµ më réng cña §Þnh lý 1 cña R. Brown vµ C. Spencer trong [8]. Bªn c¹nh ®ã, chóng t«i tr×nh bµy lý thuyÕt Schreier ®èi víi c¸c më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo nhê c¸c Γ-hµm tö monoidal (§Þnh lý 4.11 vµ §Þnh lý 4.13), tõ ®ã thu l¹i ®îc §Þnh lý ph©n líp c¸c më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo cña R. Brown vµ O. Mucuk (§Þnh lý 5.2 [9]) vµ §Þnh lý ph©n líp c¸c më réng cña c¸c Γ-nhãm cña A. M. Cegarra vµ c¸c ®ång t¸c 14
gi¶ (§Þnh lý 4.1 [14]) nh nh÷ng trêng hîp riªng. Trêng hîp thø nhÊt øng víi Γ = 1 vµ m«®un chÐo tïy ý, trêng hîp thø hai øng víi m«®un chÐo c¸c tù ®¼ng cÊu cña mét nhãm vµ Γ tïy ý. §iÒu ®Æc biÖt h¬n n÷a lµ khi c¶ hai trêng hîp nµy ®ång thêi x¶y ra (nghÜa lµ Γ = 1 vµ m«®un chÐo lµ m«®un chÐo c¸c tù ®¼ng cÊu cña mét nhãm) th× ta thu ®îc bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn. Ch¬ng 5, Ann-ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh qui, nghiªn cøu vÒ E-hÖ, mèi liªn hÖ cña chóng víi mét sè kh¸i niÖm liªn quan ®· biÕt vµ t×m kiÕm øng dông liªn quan ®Õn bµi to¸n më réng. Kh¸i niÖm E-hÖ mµ chóng t«i ®a ra ®îc xem nh mét phiªn b¶n cña m«®un chÐo trªn c¸c nhãm cho vµnh. Trêng hîp ®Æc biÖt, kh¸i niÖm E-hÖ chÝnh qui lµ trïng víi kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh. Nhê viÖc biÓu diÔn c¸c E-hÖ chÝnh qui th«ng qua c¸c Ann-ph¹m trï chÆt chÏ (cßn gäi lµ 2-vµnh chÆt chÏ) vµ nh÷ng nghiªn cøu vÒ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu E-hÖ chÝnh qui víi c¸c Ann-hµm tö gi÷a c¸c Ann-ph¹m trï chÆt chÏ liªn kÕt mµ chóng t«i thu ®îc kÕt qu¶ ph©n líp ph¹m trï c¸c E-hÖ chÝnh qui (§Þnh lý 5.7). Cuèi cïng, chóng t«i ®a ra vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh qui (§Þnh lý 5.10), xem nh lµ mét øng dông cña kh¸i niÖm E-hÖ còng nh cña lý thuyÕt Ann-ph¹m trï. 15
Ch¬ng 1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ Sau khi kh¸i niÖm ph¹m trï monoidal ®îc giíi thiÖu bëi J. BÐnabou trong [44], S. Mac Lane trong [26], G. M. Kelly trong [23], ... vµo ®Çu nh÷ng n¨m 60 cña thÕ kû tríc, nã ®· ®îc nhiÒu ngêi quan t©m nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn kh¸ nhanh. Nh÷ng nghiªn cøu liªn quan tíi mét sè líp ph¹m trï monoidal ®Æc biÖt nh nhãm ph¹m trï, Ann-ph¹m trï, ... ®· ®¹t ®îc nh÷ng kÕt qu¶ s©u s¾c nhê nh÷ng ph¸t hiÖn, n¶y sinh mét c¸ch tù nhiªn, vÒ mèi liªn kÕt t¬ng øng víi lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu nhãm, ®èi ®ång ®iÒu vµnh, ... V× vËy, trong ch¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ c¬ b¶n liªn quan ®Õn: nhãm ph¹m trï dùa theo tµi liÖu [50], nhãm ph¹m trï ph©n bËc dùa theo tµi liÖu [14], nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc dùa theo tµi liÖu [17] vµ Ann-ph¹m trï dùa theo tµi liÖu [1]. Trong toµn bé luËn ¸n nµy, ®Ó cho tiÖn, ®«i khi chóng t«i ký hiÖu XY hoÆc X.Y thay cho tÝch tenx¬ X ⊗ Y cña hai vËt. 1.1 Nhãm ph¹m trï (bÖn) ph©n bËc 1.1.1 Nhãm ph¹m trï Mét ph¹m trï monoidal (G, ⊗, I, a, l, r) lµ mét ph¹m trï G cïng víi mét song hµm tö ⊗ : G × G → G, mét vËt cè ®Þnh I gäi lµ vËt ®¬n vÞ cña ph¹m trï vµ c¸c ®¼ng cÊu tù nhiªn aX,Y,Z : X ⊗ (Y ⊗ Z) → (X ⊗ Y ) ⊗ Z, lX : I ⊗ X → X , rX : X ⊗ I → X, t¬ng øng gäi lµ rµng buéc kÕt hîp, rµng buéc ®¬n vÞ tr¸i vµ rµng buéc ®¬n vÞ ph¶i. C¸c rµng buéc nµy ph¶i tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn khíp, lÇn lît gäi lµ tiªn ®Ò ngò gi¸c vµ tiªn ®Ò tam gi¸c (aX,Y,Z ⊗ idT ) aX,Y ⊗Z,T (idX ⊗ aY,Z,T ) = aX⊗Y,Z,T aX,Y,Z⊗T , (1.1) idX ⊗ lY = (rX ⊗ idY )aX,I,Y . (1.2) 16
Mét ph¹m trï monoidal ®îc gäi lµ chÆt chÏ nÕu rµng buéc kÕt hîp a vµ c¸c rµng buéc ®¬n vÞ l, r ®Òu lµ c¸c phÐp ®ång nhÊt. Mét nhãm ph¹m trï G lµ mét ph¹m trï monoidal mµ tÊt c¶ c¸c vËt ®Òu kh¶ nghÞch vµ ph¹m trï nÒn lµ mét groupoid, nghÜa lµ tÊt c¶ c¸c mòi tªn ®Òu lµ ®¼ng cÊu. 1.1.2 Nhãm ph¹m trï thu gän vµ c¸c t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c Cho G lµ mét nhãm ph¹m trï. Khi ®ã tËp π0 G c¸c líp vËt ®¼ng cÊu cña G lµ mét nhãm, trong ®ã luËt hîp thµnh, ký hiÖu lµ phÐp nh©n, ®îc c¶m sinh bëi phÐp to¸n ⊗, phÇn tö ®¬n vÞ 1 lµ líp c¸c vËt ®¼ng cÊu víi vËt ®¬n vÞ I . TËp π1 G = Aut(I) c¸c tù ®¼ng cÊu cña vËt ®¬n vÞ I lµ mét nhãm giao ho¸n víi phÐp to¸n nhãm, ký hiÖu lµ phÐp céng, chÝnh lµ phÐp hîp thµnh hîp thµnh. H¬n n÷a, π1 G lµ mét π0 G-m«®un tr¸i víi t¸c ®éng ®îc cho bëi: −1 su = γX δX (u), X ∈ s, s ∈ π0 G, u ∈ π1 G, trong ®ã γX , δX lÇn lît ®îc cho bëi biÓu ®å giao ho¸n sau: γX (u) δX (u) X - X X - X 6 6 6 6 lX lX rX rX u⊗id id⊗u I ⊗X - I ⊗X X ⊗I - X ⊗ I. Rµng buéc kÕt hîp cña G c¶m sinh mét 3-®èi chu tr×nh nhãm k ∈ Z 3 (π0 G, π1 G). Víi c¸c d÷ kiÖn nµy, ta x©y dùng ®îc mét ph¹m trï SG cã c¸c vËt lµ c¸c phÇn tö cña nhãm π0 G vµ c¸c mòi tªn lµ nh÷ng tù ®¼ng cÊu (s, u) : s → s, s ∈ π0 G, u ∈ π1 G. PhÐp hîp thµnh cña hai mòi tªn ®îc c¶m sinh bëi phÐp céng trong π1 G, (s, u) ◦ (s, v) = (s, u + v). Ph¹m trï SG t¬ng ®¬ng víi ph¹m trï G nhê c¸c t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c ®îc x©y dùng nh sau. Víi mçi s = [X] ∈ π0 G ta chän mét ®¹i diÖn Xs ∈ G sao cho X1 = I vµ víi mçi X ∈ s ta chän mét mòi tªn ®¼ng cÊu iX : Xs → X sao cho iXs = id. Hä (Xs , iX ) ®îc gäi lµ mét ®Ýnh cña nhãm ph¹m trï G nÕu iI⊗Xs = lXs , iXs ⊗I = rXs . Víi mçi ®Ýnh (Xs , iX ) chóng ta thu ®îc hai hµm tö      G : G → SG    H : SG → G   G(X) = [X] = s H(s) = Xs      G(X → f −1 −1  Y ) = (s, γXs (iY f iX )) H(s, u) = γ (u). Xs 17
Hai hµm tö G vµ H lµ nh÷ng t¬ng ®¬ng ph¹m trï bëi c¸c phÐp biÕn ®æi tù nhiªn α = (iX ) : HG ∼ = idG , β = id : GH ∼ = idSG . Chóng ®îc gäi lµ nh÷ng t¬ng ®¬ng chÝnh t¾c. Bëi phÐp chuyÓn cÊu tróc nhê bé bèn (G, H, α, β), ph¹m trï SG trë thµnh mét nhãm ph¹m trï víi phÐp to¸n ®îc x¸c ®Þnh nh sau: s ⊗ t = s.t, s, t ∈ π0 G, (s, u) ⊗ (t, v) = (st, u + sv), u, v ∈ π1 G. Nhãm ph¹m trï SG cã rµng buéc ®¬n vÞ lµ chÆt chÏ vµ cã rµng buéc kÕt hîp as,r,t = (srt, k(s, r, t)), víi k ∈ Z 3 (π0 G, π1 G). H¬n n÷a, c¸c t¬ng ®¬ng G vµ H trë thµnh c¸c t¬ng ®¬ng monoidal cïng víi c¸c ®¼ng cÊu tù nhiªn e s,t = i−1 eX,Y = G(iX ⊗ iY ) , H (1.3) G Xs ⊗Xt : Xs Xt → Xst . Nhãm ph¹m trï SG ®îc gäi lµ mét thu gän cña nhãm ph¹m trï G. Chóng ta cã thÓ nãi SG cã kiÓu (Π, A, k), hoÆc ®¬n gi¶n lµ kiÓu (Π, A), khi ta thay thÕ π0 G, π1 G bëi c¸c nhãm Π vµ Π-m«®un A mét c¸ch t¬ng øng. 1.1.3 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc Trong luËn ¸n nµy, ký hiÖu Γ lµ mét nhãm cè ®Þnh. Ta nh¾c l¹i r»ng mét Γ-nhãm Π lµ mét nhãm Π ®îc trang bÞ thªm mét Γ-t¸c ®éng tr¸i bëi c¸c tù ®¼ng cÊu, vµ mét Π-m«®un (tr¸i) Γ-®¼ng biÕn lµ mét Γ-nhãm aben A ®îc trang bÞ mét cÊu tróc Π-m«®un sao cho σ(xa) = (σx)(σa), víi mäi σ ∈ Γ, x ∈ Π vµ a ∈ A. Mét Γ-®ång cÊu f : Π → Π0 gi÷a c¸c Γ-nhãm lµ mét ®ång cÊu nhãm tháa m·n f (σx) = σf (x), σ ∈ Γ, x ∈ Π. Nhãm Γ ®îc xem nh mét ph¹m trï víi ®óng mét vËt ký hiÖu lµ ∗, mòi tªn lµ c¸c phÇn tö cña Γ vµ phÐp hîp thµnh lµ phÐp to¸n nhãm. H¬n n÷a, Γ lµ mét nhãm ph¹m trï, gäi lµ nhãm ph¹m trï rêi r¹c. Ph¹m trï G ®îc gäi lµ Γ-ph©n bËc nÕu cã mét hµm tö gr : G → Γ. Ph©n bËc ®îc gäi lµ æn ®Þnh nÕu víi mçi X ∈ Ob G vµ mçi σ ∈ Γ tån t¹i mét mòi tªn f trong G víi ®èi miÒn X sao cho gr(f ) = σ . Mét ph¹m trï monoidal Γ-ph©n bËc G = (G, gr, ⊗, I, a, l, r) bao gåm: i) mét ph¹m trï Γ-ph©n bËc æn ®Þnh (G, gr), c¸c hµm tö Γ-ph©n bËc ⊗ : G ×Γ G → G vµ I : Γ → G, ∼ ∼ ii) c¸c ®¼ng cÊu tù nhiªn bËc 1 aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z → X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : I ⊗ X → ∼ X, rX : X ⊗ I → X tháa m·n hai ®iÒu kiÖn khíp (1.1) vµ (1.2). 18