Luận án Tiến sĩ Toán học: Ứng dụng phương pháp lọc bayes và mô hình markov ẩn trong bài toán quan sát quỹ đạo đa mục tiêu

Chia sẻ: Hương Hoa Cỏ Mới | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:106

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là xác định số mục tiêu và các thuộc tính trạng thái (quỹ đạo là một hệ quả tổ hợp một số các thuộc tính trạng thái) của chúng tại mỗi thời điểm trong miền quan sát với các điều kiện cơ bản là: Các mục tiêu xuất hiện, biến mất một cách ngẫu nhiên; Các mục tiêu xuất hiện, chuyển động và biến mất độc lập với nhau; Các quan sát được tiến hành tại các mốc thời gian rời rạc (thường là cách đều nhau) và các quan sát được thực hiện trong môi trường có nhiễu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Ứng dụng phương pháp lọc bayes và mô hình markov ẩn trong bài toán quan sát quỹ đạo đa mục tiêu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ NGUYỄN THỊ HẰNG ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LỌC BAYES VÀ MÔ HÌNH MARKOV ẨN TRONG BÀI TOÁN QUAN SÁT QUỸ ĐẠO ĐA MỤC TIÊU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ NGUYỄN THỊ HẰNG ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LỌC BAYES VÀ MÔ HÌNH MARKOV ẨN TRONG BÀI TOÁN QUAN SÁT QUỸ ĐẠO ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 9 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. TS Trịnh Quốc Anh 2. TS Nguyễn Văn Hùng Hà Nội – 2021
i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu, các kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ các công trình nào khác trước đây. Các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ. Hà Nội, ngày 12 tháng 07 năm 2021 NCS. Nguyễn Thị Hằng
ii LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện và hoàn thành tại Viện Công nghệ thông tin - Viện Khoa học và Công nghệ quân sự - Bộ Quốc phòng, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS.Trịnh Quốc Anh - Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc Gia Hà Nội và TS. Nguyễn Văn Hùng, Viện CNTT, Viện KH-CN quân sự. Trước hết, Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới tập thể giáo viên hướng dẫn, các thầy đã luôn đồng hành và ủng hộ em trong suốt quá trình nghiên cứu. Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới NCVCC.TS. Nguyễn Hồng Hải người thầy luôn động viên, khuyến khích và chỉ bảo tận tình cho NCS, chính sự nhiệt tình, quan tâm của thầy là nguồn động lực rất lớn cho NCS vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án. Nghiên cứu sinh xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, các nhà khoa học của Viện Công nghệ thông tin - Viện KH-CN quân sự, Viện Toán học - Viện Hàn lâm KHCN Việt Nam, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN, Trường Đại học Mỏ - Địa chất,. . . đã có các góp ý quý báu cho Nghiên cứu sinh trong quá trình thực hiện luận án này. Nghiên cứu sinh xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Viện KH-CN quân sự, thủ trưởng và các cán bộ Phòng Đào tạo, Viện KHCN Quân sự đã tạo điều kiện thuận lợi để NCS hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu. Cuối cùng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, chia sẻ và ủng hộ NCS trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn! NCS Nguyễn Thị Hằng
iii MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1 Thống kê Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Công thức xác suất đầy đủ - Bayes . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Suy luận Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Một số vấn đề về lọc Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Nguồn gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Các ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Tiếp cận Bayes với bài toán lọc ngẫu nhiên và làm mịn 13 1.2.4 Mô hình không gian trạng thái xác suất tổng quát . . 14 1.2.5 Các phương trình lọc Bayes . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Lọc Kalman và lọc Kalman mở rộng . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Lọc Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Lọc Kalman mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Một số vấn đề về quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN QUAN SÁT QUỸ ĐẠO ĐA MỤC TIÊU TỔNG QUÁT CÓ THỂ CÓ MỤC TIÊU BỊ CHE KHUẤT 34 2.1 Giới thiệu mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Bài toán quan sát đa mục tiêu: Mô hình toán học . . . . . . 37
iv 2.3 Phương pháp liên kết dữ liệu, chiến lược tối ưu và sự tồn tại của chiến lược tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.1 Phương pháp liên kết dữ liệu đệ quy . . . . . . . . . . 41 2.3.2 Khái niệm chiến lược tối ưu từng bước và sự tồn tại chiến lược tối ưu từng bước . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 T -chiến lược và thuật toán xây dựng T -chiến lược . . . . . 48 2.5 Chiến lược "K(ε) -tối ưu" và thuật toán tìm chiến lược "K(ε) -tối ưu" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 CHƯƠNG 3. MÔ HÌNH MARKOV ẨN TRONG BÀI TOÁN QUAN SÁT QUỸ ĐẠO ĐA MỤC TIÊU 63 3.1 Giới thiệu mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2 Mô hình toán học bài toán MTT . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.1 Mô hình toán học bài toán MTT . . . . . . . . . . . 64 3.2.2 Mô hình xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3 Mô hình Markov ẩn (HMM-Hidden Markov Model) . . . . . 67 3.4 Thuật toán tiến và thuật toán Viterbi cải tiến . . . . . . . . 74 3.4.1 Bài toán cơ bản thứ nhất và thuật toán tiến . . . . . 75 3.4.2 Bài toán cơ bản thứ hai và thuật toán Viterbi cải tiến 79 3.5 Áp dụng HMM giải bài toán MTT . . . . . . . . . . . . . . 82 3.5.1 Bổ trợ phương pháp tính các xác suất cơ bản trong xây dựng HMM tương ứng với mô hình MTT . . . . . . . 82 3.5.2 Ứng dụng HMM giải bài toán MTT . . . . . . . . . 83 3.6 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 KẾT LUẬN 87 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO 90
v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT := Toán tử gán hay định nghĩa bởi. ≡ Đồng nhất bằng. ≈ Xấp xỉ bằng. ' Cùng phân phối. P (λ) Phân phối Poission với cường độ λ. Rn Không gian véc tơ n−chiều. d(· , ·) Khoảng cách Euclid trong không gian véc tơ n−chiều. Rnx Không gian trạng thái (nx là số chiều của véc tơ trạng thái). R (R ⊂ Rnx ) Miền quan sát. [0, T ], T ∈ R+ Khoảng thời gian của quá trình quan sát. ti , ti ∈ [0, T ] Thời điểm quan sát thứ i. tki Thời điểm xuất hiện của mục tiêu thứ k . tkf Thời điểm biến mất của mục tiêu thứ k . pk Xác suất xuất hiện của mục tiêu thứ k . q Xác suất xuất hiện của mục tiêu giả FA. Mt = Mt (ω) Số mục tiêu có trong miền R tại thời điểm t. Gt = Gt (ω) Số mục tiêu giả có trong miền R tại thời điểm t. Xtk Trạng thái của mục tiêu thứ k tại thời điểm t. Vtk Nhiễu hệ thống, là nhiễu trắng với ma trận hiệp phương sai là Qk . Wt Nhiễu quan sát, là nhiễu trắng với ma trận hiệp phương sai là R. M Là lớp mục tiêu mà mô hình MTT quan tâm. pm Xác suất xuất hiện Xtk , k ∈ M. pm Xác suất xuất hiện Xts , s ∈ / M với pg 6= pm .
vi V (A), A ⊂ Rnx Số đo “thể tích” của A trong Rnx . O(O;r) Là hình cầu mở tâm O bán kính r trong không gian véc tơ n−chiều tương ứng. O(O,r) Là hình cầu đóng tâm O bán kính r trong không gian véc tơ n−chiều tương ứng. A⊗B Tích của tập A và B . {a}⊗k Tập hợp gồm k + 1 phần tử a. Card(A) Lực lượng của tập A. X ktk ,tk Quỹ đạo của mục tiêu thứ k xuất hiện tại thời điểm tki [ i f] và biến mất tại thời điểm tkf . L[ti ,tf ] Dây chuyền liên kết dữ liệu với thời điểm bắt đầu ti và thời điểm cuối tf . Ll [t− , Yti ] Dây chuyền thứ l có đỉnh cuối tại thời điểm t là Yti . DL[ti ,tf ] Tập đỉnh của dây chuyền L[ti ,tf ] . DLl [t− , Yti ] Tập đỉnh của dây chuyền thứ l có đỉnh cuối tại thời điểm t là Yti . M [Y (t)] Tập nguồn của ánh xạ ft+1 . Y (t + 1) Tập đích của ánh xạ ft+1 . (ft )−1 (B) Nghịch ảnh của tập B qua ánh xạ ft . S Không gian trạng thái của HMM. V Không gian các giá trị quan sát của HMM. A = [aij ]1≤i,j≤M Ma trận chuyển trạng thái đối với HMM thuần nhất. A(k) = [aij (k)] Ma trận chuyển trạng thái tại bước k với 1 ≤ i, j ≤ M. O Dãy quan sát. Q Dãy trạng thái. Ot Giá trị quan sát của HMM tại thời điểm t. qt Trạng thái của HMM tại thời điểm t.
vii ASDE-X Hệ thống giám sát điều khiển không lưu thế hệ X (Airport Surface Detection Equipment - Model X). BSE Ước lượng tuần tự Bayes (Bayesian Sequential Estima- tion). DA Liên kết dữ liệu (Data Association). EKF Lọc Kalman mở rộng (Extended Kalman filter). FA Báo động giả (False Alarm). GNN Liên kết dữ liệu lân cận gần nhất toàn cục (Global Near- est Neighbor). HMM Mô hình Markov ẩn (Hidden Markov Model). JPDA Liên kết dữ liệu xác suất đồng thời (Joint Probabilistic Data Association). KF Lọc Kalman (Kalman Filter). MHT Liên kết dữ liệu đa giả thuyết (Multiple Hypothesis Tracking). MTT Quan sát vết đa mục tiêu hay còn gọi là quan sát quỹ đạo đa mục tiêu (Multiple Target Tracking). NASA Cơ quan Hàng không và Vũ trụ Hoa Kỳ (National Aero- nautics and Space Administration). NNJPDA Liên kết dữ liệu xác suất đồng thời lân cận gần nhất (Nearest Neighbor Joint Probabilistic Data Association). SBX Sea Based X-band Radar (Hệ thống radar biển). THAAD Hệ thống phòng thủ tầm cao giai đoạn cuối (Terminal High Altitude Area Defense). UEWR Hệ thống radar mảng pha cảnh báo sớm (Upgraded Early Warning Radars).
viii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1 Hiện tượng mục tiêu thứ k và mục tiêu thứ l che khuất lẫn nhau tại thời điểm t. Ytk ≡ Ytl ≡ YtX . . . . . . . . . . . . 40 Hình 2.2 Dây chuyền dữ liệu ảnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Hình 2.3 Sơ đồ logic cài đặt thuật toán tìm T -chiến lược. . . . . 53 Hình 2.4 Sơ đồ logic cài đặt thuật toán tìm "K() - tối ưu" . . . 60 Hình 3.1 Lưới tính biến tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài luận án Các mô hình quan sát vết đa mục tiêu MTT (Multiple Target Tracking), đôi khi còn gọi là quan sát quỹ đạo đa mục tiêu, là một trong những thành phần đóng vai trò quan trọng nhất trong nhiều hệ thống chức năng trong thực tiễn xã hội và đặc biệt là trong an ninh quốc phòng. Trong thực tiễn, chúng ta thường gặp những hệ thống chức năng như: Hệ thống giám sát không lưu (trong hàng không); Hệ thống camera bảo vệ một khu vực; Hệ thống điều khiển tự động robot đổ bộ nghiên cứu các hành tinh (của NASA, Mỹ);. . . Trong an ninh quốc phòng, chúng ta thấy các hệ thống chức năng như: Hệ thống radar giám sát không phận; Hệ thống radar phòng thủ bờ biển; Hệ thống phòng thủ tên lửa đạn đạo; Hệ thống điều khiển tên lửa tự hành; Hệ thống điều khiển máy bay không người lái; Hệ thống phòng không S-400 (của Nga); Hệ thống radar THAAD (của Mỹ); Hệ thống điều khiển tàu ngầm;. . . Tùy đặc thù của từng hệ thống chức năng mà yêu cầu mô hình MTT nhúng trong hệ thống đó được xây dựng với các điều kiện phù hợp tương ứng. Cho đến thời điểm hiện tại, lớp các mô hình MTT được nghiên cứu khá phong phú và có rất nhiều kết quả nghiên cứu đã được công bố. Ở một phương diện khác, chúng ta cũng thấy rằng tuy được công bố công khai ở một cấp độ nhất định trong một số lĩnh vực, song trong một số lĩnh vực khác, mà đặc biệt là trong an ninh quốc phòng, mang tính bảo mật quốc gia, các kết quả nghiên cứu, các thuật toán then chốt đều được giữ bí mật bản quyền. Đơn cử như khi Nga bán hệ thống phòng không S-400 thì họ chỉ bán dưới dạng “hộp đen”. Người mua chỉ được hướng dẫn sử dụng chứ không có bản quyền thuật toán để sao chép hay cải tiến và họ cũng chỉ bán phiên
2 bản xuất khẩu chứ không bán phiên bản dùng cho chính quốc gia của họ. Bởi lẽ đó các quốc gia đều phải quan tâm và tự nghiên cứu các mô hình MTT phục vụ cho mục đích phát triển nền công nghiệp quốc phòng của quốc gia mình. Điều đó cũng đủ nói lên rằng: tuy các kết quả nghiên cứu về MTT đã được công bố công khai khá nhiều ở các cấp độ khác nhau, song tính cấp thiết của việc nghiên cứu nó vẫn luôn được đặt ra. Mặt khác, do sự phát triển và tiến bộ không ngừng của khoa học-kỹ thuật, các “công cụ quan sát” cũng ngày càng phát triển và thay đổi. Vì thế các mô hình MTT cũng thay đổi theo, các thuật toán cũng phải được nghiên cứu thay đổi phù hợp với sự thay đổi tiến bộ đó. Tính thời sự của việc nghiên cứu các mô hình MTT luôn hiện hữu. Luận án trình bày các kết quả nghiên cứu mới đối với hai lớp mô hình MTT (ở Chương 2 và Chương 3). Qua phân tích trên có thể khẳng định ý nghĩa khoa học, ý nghĩa thực tiễn, tính thời sự và tính cấp thiết của đề tài cũng như của bản luận án. 2. Mục tiêu nghiên cứu Các mô hình MTT trong các hệ thống chức năng khác nhau có những điều kiện và cấu trúc khác nhau. Song chúng đều có những nguyên tắc, những mục đích cơ bản giống nhau. Mục đích của MTT là xác định số mục tiêu và các thuộc tính trạng thái (quỹ đạo là một hệ quả tổ hợp một số các thuộc tính trạng thái) của chúng tại mỗi thời điểm trong miền quan sát với các điều kiện cơ bản là: Các mục tiêu xuất hiện, biến mất một cách ngẫu nhiên; Các mục tiêu xuất hiện, chuyển động và biến mất độc lập với nhau; Các quan sát được tiến hành tại các mốc thời gian rời rạc (thường là cách đều nhau) và các quan sát được thực hiện trong môi trường có nhiễu. Tập dữ liệu quan sát được tại mỗi thời điểm là một tập dữ liệu "lộn xộn". Mỗi dữ liệu có thể là một số liệu quan sát có nguồn gốc từ một mục tiêu này hay có nguồn gốc từ một mục tiêu khác hay cũng có thể là số liệu có nguồn
3 gốc từ một mục tiêu giả (do nhiễu gây ra). Cho tới thời điểm hiện tại, phương pháp toán học phổ biến để giải bài toán MTT là phương pháp ước lượng tuần tự Bayes (BSE – Bayesian Sequential Estimation). Phương pháp này về bản chất là cập nhật một cách đệ quy hàm phân phối hậu nghiệm các trạng thái của mục tiêu để đưa ra các thuật toán “bám mục tiêu”, “bám quỹ đạo”. Tất cả các thuật toán được công bố xây dựng trên nguyên tắc này cho đến thời điểm hiện tại đều là các thuật toán không tầm thường vì chúng được gắn với các mô hình xác suất rất phức tạp. Phương pháp giải cơ bản là sự kết hợp của các thuật toán liên kết dữ liệu (DA - Data Association) với các bộ lọc (filters) phù hợp. Chúng ta điểm qua một số thuật toán liên kết dữ liệu và các bộ lọc kết hợp quan trọng được công bố và sử dụng trong lĩnh vực này. Các thuật toán liên kết dữ liệu có thể gom lại thành 3 họ chính: Thuật toán liên kết dữ liệu lân cận gần nhất toàn cục (GNN – Global Nearest Neighbors) và các phát triển biến thể của nó (xem [13],[72]). Thuật toán liên kết dữ liệu đa giả thuyết (MHT – Multiple Hypothesis Tracking) và các phát triển biến thể của nó (xem [11],[12],[49],[67],[73]). Thuật toán liên kết dữ liệu xác suất đồng thời (JPDA – Joint Probabilis- tic Data Association) và các phát triển biến thể của nó (xem [4],[5],[6]). Các bộ lọc được dùng thông dụng trong lĩnh vực này là: Các bộ lọc Bayes, bộ lọc Kalman (KF-Kalman Filter) [20], [41], [42], bộ lọc Kalman mở rộng (EKF – Extended Kalman Filter) (xem [21], [29], [64],[71]). Lấy ví dụ minh họa như: Hệ thống radar biển X-band (SBX) của hải quân Mỹ dùng thuật toán NNJPDA (Nearest Neighbor Joint Probabilistic Data Association) [14], [69] là biến thể của thuật toán JPDA kết hợp với bộ lọc Kalman mở rộng EKF. Với các kết quả nghiên cứu, các thuật toán đối với bài toán MTT đã được công bố, chúng ta nhận thấy vẫn còn những mảng mờ, chưa đầy đủ, chưa
4 được giải quyết triệt để. Trong thực tế khi các mục tiêu di chuyển rất gần nhau do khả năng phân giải của các Sensor (cảm biến) bị giới hạn dẫn đến các mục tiêu đó không thể phân biệt được hoặc giả do một lý do kỹ thuật nào đó cũng dẫn đến tình trạng 2 hay nhiều mục tiêu có cùng một số liệu quan sát. Hiện tượng đó chúng tôi gọi là hiện tượng mục tiêu bị che khuất. Với hiện tượng này, các thuật toán “bám mục tiêu”, “bám quỹ đạo” đã được công bố có tình trạng mất mục tiêu, mất quỹ đạo bám. Bởi vậy mục tiêu thứ nhất của luận án là nghiên cứu thuật toán giải bài toán MTT tổng quát, trong đó phương pháp giải khắc phục được hiện tượng mục tiêu bị che khuất. Mặt khác, trong thực tế gặp nhiều hệ thống chức năng có mô hình MTT trong đó yêu cầu xác định số lượng mục tiêu trong một lớp mục tiêu nào đó tại mỗi thời điểm trong miền quan sát. Lớp mục tiêu cần quan tâm này có thể hoặc là tất cả các mục tiêu, hoặc là lớp con thực sự của lớp tất cả các mục tiêu. Số lượng mục tiêu của lớp mục tiêu cần quan tâm này là số lượng ẩn trong số lượng tất cả các mục tiêu mà mô hình MTT ước lượng (xem các ví dụ đầu chương 3). Bởi vậy mục tiêu thứ hai của luận án chính là quan tâm giải lớp mô hình MTT như vậy. Cụ thể hơn là nghiên cứu phương pháp dùng mô hình Markov ẩn (HMM – Hidden Markov Model) để giải lớp mô hình MTT này. 3. Nội dung nghiên cứu Nghiên cứu hai lớp bài toán MTT: Lớp bài toán MTT tổng quát có thể có hiện tượng mục tiêu bị che khuất. Lớp bài toán MTT trong đó yêu cầu ước lượng số lượng mục tiêu trong một lớp con các mục tiêu cần quan tâm tại mỗi thời điểm trong miền quan sát. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu các mô hình MTT và các thuật toán; Thống kê và lọc Bayes; Lọc Kalman; Mô hình Markov ẩn; Một phần cần thiết về giải tích
5 ngẫu nhiên và quá trình ngẫu nhiên. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của thống kê Bayes, lọc Kalman và các thuật toán trong mô hình Markov ẩn để thực hiện mục tiêu nghiên cứu. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả luận án thu được ngoài ý nghĩa đóng góp làm phong phú thêm các nghiên cứu bài toán MTT và lý thuyết HMM về mặt khoa học; còn có ý nghĩa không nhỏ trong ứng dụng thực tiễn. Chính xác hơn các đóng góp đó gồm: − Với lớp mô hình MTT tổng quát có thể có hiện tượng mục tiêu bị che khuất, luận án đề xuất phương pháp liên kết dữ liệu mới là chiến lược liên kết dữ liệu dựa trên hệ thống ánh xạ được xác định đệ quy. Chiến lược liên kết này khắc phục được tình trạng “mất mục tiêu”, “mất quỹ đạo bám” khi có mục tiêu bị che khuất. Đồng thời luận án cũng chứng minh được sự tồn tại chiến lược liên kết dữ liệu tối ưu theo nghĩa Bayes, chỉ ra cách xây dựng tường minh chiến lược thỏa mãn tính chất T tổng quát cho trước và tính chất “ K(ε)-tối ưu” cụ thể thường dùng trong thực tiễn. − Với lớp mô hình MTT chỉ quan tâm tới một lớp con các mục tiêu, luận án đã tiếp cận bằng mô hình HMM và đã thu được các kết quả mới sau: Đề xuất ”thuật toán tiến”, ”thuật toán Viterbi cải tiến” đối với HMM không thuần nhất; Xây dựng HMM tương thích và giải quyết bài toán xác định số lượng mục tiêu trong lớp mục tiêu cần quan tâm của mô hình MTT nêu trên. 7. Bố cục của luận án Ngoài phần "Mở đầu" giới thiệu về luận án, luận án được chia thành 3 chương:
6 Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 1 trình bày một số kết quả cần thiết về thống kê Bayes, lọc Bayes, lọc Kalman, lọc Kalman mở rộng, đồng thời cũng đưa ra một số kiến thức bổ trợ về quá trình ngẫu nhiên như quá trình Poission, quá trình Markov. Chương 2: Bài toán quan sát quỹ đạo đa mục tiêu tổng quát có thể có mục tiêu bị che khuất. Cấu trúc của chương này gồm 6 mục, mục 2.1 là mục "Giới thiệu mở đầu". Mục 2.2 trình bày mô hình toán học của bài toán MTT. Mục 2.3 trình bày phương pháp liên kết dữ liệu thông qua hệ thống ánh xạ được xác định đệ quy. Mục 2.4 chỉ ra cách xây dựng T - chiến lược và thuật toán tìm T - chiến lược (với T là một tiêu chuẩn cho trước). Mục 2.5 đưa ra khái niệm "K() - tối ưu"và đồng thời trình bày thuật toán tìm "K() - tối ưu" cụ thể. Mục 2.6 là mục kết luận của chương. Chương 3: Mô hình Markov ẩn trong bài toán quan sát quỹ đạo đa mục tiêu. Cấu trúc của chương 3 gồm có 6 mục. Mục 3.1 là mục "Giới thiệu mở đầu"; Mục 3.2 là mục phát biểu và xây dựng mô hình toán học cho bài toán MTT được nghiên cứu trong chương này; Mục 3.3 là mục giới thiệu HMM; Mục 3.4 là mục trình bày các kết quả nghiên cứu mở rộng các kết quả trong HMM cho mục tiêu nghiên cứu MTT của luận án; Mục 3.5 là ứng dụng các kết quả nghiên cứu đó vào việc giải bài toán MTT và cuối cùng, Mục 3.6 là nhận xét và kết luận chương. Những kết quả chính của luận án được thể hiện trong các công trình đã công bố của tác giả, ngoài ra những kết quả này cũng được tác giả báo cáo tại các hội nghị, hội thảo và xemina chuyên ngành.
7 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số kiến thức về suy luận Bayes trường hợp rời rạc và liên tục, lọc Kalman, lọc Kalman mở rộng, một số kiến thức về quá trình ngẫu nhiên, làm cơ sở cho việc trình bày nội dung của luận án trong các chương sau. 1.1. Thống kê Bayes Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học máy tính và khoa học tính toán, các ứng dụng của thống kê ngày càng được sử dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực của đời sống như y học, kinh tế, giáo dục, môi trường ... Tuy nhiên, cùng với những phát triển mọi mặt của đời sống, thống kê tần suất đã bộc lộ một số khuyết điểm như công thức tính toán cồng kềnh, áp dụng nhiều kỹ thuật phức tạp hay bỏ qua các thông tin về tiên nghiệm trong những thông tin thu được, gây ra việc lãng phí thông tin. Chính vì vậy, những người học thống kê chuyển sự quan tâm nhiều hơn sang thống kê Bayes. Trong thống kê tần suất xem tham số cần ước lượng là một hằng số thì trong thống kê Bayes coi tham số cần ước lượng là một biến ngẫu nhiên, phân phối của biến ngẫu nhiên này được gọi là phân phối tiên nghiệm, phân phối tiên nghiệm đó biểu thị thông tin về giá trị chân thực của tham số. Ta có thể gán cho tham số một phân phối xác suất nào đó, bằng cách kết hợp giữa các thông tin trước và trong khi quan sát, chúng ta thu được thông tin muốn biết. Thống kê tần suất (thống kê cổ điển) không sử dụng kiến thức về tiên nghiệm, vì thế đã bỏ qua một cách lãng phí các thông tin thu được từ việc quan sát về tham số đó trong quá khứ. Trái lại, thống kê Bayes sử dụng cả hai nguồn thông tin, thông tin tiên nghiệm và thông tin chứa trong dữ liệu. Đây cũng chính là điểm khác biệt căn bản của hai cách tiếp cận.
8 1.1.1. Công thức xác suất đầy đủ - Bayes Cơ sở của suy luận Bayes là định lý Bayes. Định lý cho phép xác định xác suất xảy ra một sự kiện ngẫu nhiên khi biết sự kiện liên quan xảy ra. - Công thức xác suất đầy đủ: Cho {B1 , ..., Bk } là một họ đầy đủ, A là một biến cố ngẫu nhiên, khi đó ta có công thức xác suất đầy đủ: k X P (A) = P (Bj ) × P (A|Bj ) (1.1) j=1 - Công thức Bayes : P (A ∩ Bi ) P (Bi ) × P (A|Bi ) P (Bi |A) = = k (1.2) P (A) P P (Bj ) × P (A|Bj ) j=1 Các biến cố B1 , B2 , ..., Bk gọi là các giả thiết. Các xác suất P (B1 ), P (B2 ), ..., P (Bk ) được xác định trước khi phép thử được tiến hành, do đó gọi là xác suất biên duyên hay xác suất tiên nghiệm (prior). P (A|Bi ) là xác suất có điều kiện của A nếu biết Bi xảy ra, còn được gọi là hàm khả năng hay hàm hợp lý (likelihood). Các xác suất P (B1 |A), ..., P (Bk |A) được xác định sau khi các phép thử đã được tiến hành và biến cố A đã xảy ra, do đó gọi là xác suất hậu nghiệm (posterior). 1.1.2. Suy luận Bayes Suy luận Bayes là quá trình suy luận ra đặc trưng của tập chính (chưa biết) dựa vào thông tin thu thập được từ tập dữ liệu mà ta quan sát được kết hợp với với những thông tin có từ trước đó. Giá trị của đặc trưng của tập chính được ký hiệu là tham số θ ∈ Θ (θ được coi như một biến ngẫu nhiên, π(θ) là phân bố tiên nghiệm của θ), còn
9 dữ liệu được ký hiệu là y ∈ Y. Trong thống kê Bayes, ta quan tâm tới ba hàm phân phối sau: 1. Phân phối tiên nghiệm π(θ) là thông tin ban đầu của ta về tham số θ. 2. Phân phối của dữ liệu là f (y|θ). 3. Từ hai phân phối trên và luật Bayes, ta tính được phân phối hậu nghiệm π(θ|y)của tham số θ. f (y|θ)π(θ) π(θ|y) = , f (y) Với f (y) là phân phối thực nghiệm của dữ liệu được xác định bởi công thức: Z f (y) = f (y|θ)π(θ)dθ. Θ Suy luận Bayes trong trường hợp tham số rời rạc Xét tham số là biến ngẫu nhiên rời rạc X không quan sát được. Biến ngẫu nhiên Y quan sát được, phụ thuộc tham số, với các giá trị y1 , y2 , ..., yJ . Ta suy luận về biến ngẫu nhiên X|Y = yn bằng việc sử dụng định lí Bayes. Gọi f là phân phối xác suất (có điều kiện hoặc không có điều kiện) của quan sát ngẫu nhiên Y , g là phân phối chứa tham số biến ngẫu nhiên X . Nếu X nhận các giá trị x1 , x2 , ..., xI , phân phối đồng thời là f (xi , yj ) = g(xi )f (yj |xi ). trong đó: g(xi ) = P [X = xi ] với i = 1, ..., I là xác suất tiên nghiệm của tham số X, f (yj |xi ) = P [Y = yj |X = xi ] với i = 1, ..., I là hàm hợp lí. Đây chính là xác suất có điều kiện của Y với điều kiện X = xi .
10 Khi đó phân phối hậu nghiệm của X|Y = yj là g(xi ) × f (yj |xi ) g(xi |yj ) = I . (1.3) P g(xk ) × f (yj |xk ) k=1 Phân phối xác suất tiên nghiệm g(xi ) của biến ngẫu nhiên rời rạc X là xác suất của mỗi xi trước khi ta quan sát dữ liệu, dễ thấy nó xuất phát từ kinh nghiệm chứ không phải từ dữ liệu. Khi quan sát được Y = yj ta có hàm hợp lý f (yj |xi ). 1.2. Một số vấn đề về lọc Bayes 1.2.1. Nguồn gốc Nguồn gốc của lọc Bayes lại nằm trong lĩnh vực tối ưu tuyến tính. Ý tưởng xây dựng ước lượng đệ quy tối ưu lần đầu tiên được áp dụng cho hệ tuyến tính theo nghĩa sai số bình phương tối thiểu. Lịch sử của lọc tối ưu bắt đầu từ bộ lọc Wiener, 1950 [52], lọc Wiener là một giải pháp cho vấn đề lọc các tín hiệu Gauss cố định. Ngày nay bộ lọc Wiener vẫn quan trọng trong truyền thông, xử lý tín hiệu số, xử lý ảnh [3],[27],[33],[53]. Sự thành công của lọc tối ưu tuyến tính chủ yếu là do bài báo của Kalman,1960 [41], một lý do cho sự thành công của bộ lọc Kalman là khối lượng tính toán nhẹ hơn lọc Wiener, mặc dù tính toán đơn giản hơn nhưng lọc Kalman (hoặc lọc Kalman-Bucy [42]) lại chứa lọc Wiener như trường hợp riêng của nó. Bộ lọc Kalman đã sớm được phát hiện là thuộc lớp các bộ lọc Bayes [35],[37]. Việc làm mịn Bayes cũng được phát triển ngay sau khi tìm ra bộ lọc Kalman [47],[57],[56]. Mặc dù nguồn gốc ban đầu của bộ lọc Kalman dựa trên cách tiếp cận bình phương tối thiểu nhưng các phương trình lại được bắt nguồn từ các suy diễn Bayes. Các tính toán lọc Kalman theo quan điểm Bayes được trình bày trong