Luận án trình bày về các nội dung: Sự thác triển hàm phân hình giá trị Fréchet từ các tập đặc biệt trong Cn; chứng minh các định lý về sự thác triển giải tích của các hàm giải tích thực có thác triển yếu từ, các tập mở của không gian Fréchet; tính chất (Ω) của đối ngẫu của không gian các mầm hàm chỉnh hình. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.
NGUYỄN VĂN ĐÔNG
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 1.01.01
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
Hƣớng dẫn chính: GS.TS. NGUYỄN VĂN KHUÊ
Hƣớng dẫn phụ: PTS. LÊ HOÀN HÓA
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
1998
NGUYỄN VĂN ĐÔNG
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 1.01.01
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
Hƣớng dẫn chính: GS.TS. NGUYỄN VĂN KHUÊ
Hƣớng dẫn phụ: PTS. LÊ HOÀN HÓA
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
1998
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa từngđƣợc ai
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
NGUYỄN VĂN ĐÔNG
CHƢƠNG 1 ..................................................................................................................... 6
THÁC TRIỂN HÀM PHÂN HÌNH GIÁ TRỊ FRESCHET TỪ CÁC TẬP ĐẶC BIỆT TRONG n . .................................................................................................................... 6
§ 1.1 Mở đầu. ......................................................................................................... 6
§1.2 Hàm phân hình xác định trên tập mở với giá trị trong không gian Fréchet
có chuẩn liên tục. ..................................................................................................... 8
§ 1.3 Hàm phân hình xác định trên tập compact -chính qui với giá trị không
gian Fréchet có (DN)-chuẩn. ................................................................................. 13
§1.4 Hàm phân hình xác định trên tập compact kiểu duy nhất với giá trị
trong không gian Fréchet có (LB) -chuẩn. ................................................... 25
§1.5 Hàm phân hình xác định trên tập compact không đa cực với giá trị
trong không gian Fréchet có (DN)-chuẩn. ..................................................... 34
CHƢƠNG 2 .................................................................................................................. 44
THÁC TRIỂN HÀM GIẢI TÍCH THỰC GIÁ TRỊ FRÉSCHET TỪ CÁC TẬP MỞ . 44
§2.1 Mở đầu. ....................................................................................................... 44
§ 2.2 Sự thác triển hàm giải tích thực có thác triển yếu với giá trị trong không
gian Fréchet có (DN)-chuẩn. ................................................................................. 45
§ 2.3 Sự thác triển hàm giải tích thực có thác triển yếu với giá trị trong không
gian Fréchet có ( -chuẩn. ................................................................................. 49
§2.4. Về các không gian Fréchet có (DN), ( (LB)-chuẩn. ............................ 57
CHƢƠNG 3 ................................................................................................................... 60
TÍNH CHẤT (), ( CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN CÁC MẦM HÀM CHỈNH HÌNH ................................................................................................................ 60
§ 3.1. Mở đầu. ........................................................................................................ 60
§ 3.2. Cấu trúc (Ω) của không gian các mầm hàm chỉnh hình. ........................... 62
§ 3.3. Các ánh xạ riêng, toàn ánh chỉnh hình và các tính chất ( , ( của
không gian các mầm hàm chỉnh hình. .................................................................. 71
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 82
1
Bài toán thác triển hàm chỉnh hình và phân hình là một trong các bài toán quan
trọng của giải tích phức. Đặc biệt, mối liên hệ giữa sự thác triển và thác triển yếu của
các hàm chỉnh hình, phân hình giá trị vectơ trên các tập mở và compact đã đƣợc nghiên
cứu bởi nhiều nhà toán học.
Siciak (1974) [42] từ một số kết quả của lý thuyết thế vị phức đã chứng minh rằng một hàm xác định trên một tập X compact chính qui, lồi đa thức trong Cn, có giá
trị trong không gian Banach F nếu có thác triển chỉnh hình yếu thì có thác triển chỉnh
hình lên một lân cận của tập X.
Gần nhƣ đồng thời, Waelbroeck (1974) [50], bằng cách áp dụng định lý ánh xạ
mở, đồ thị đóng đã chứng minh kết quả trên vẫn đúng nếu chỉ giả thiết X là tập compact kiểu duy nhất trong Cn, không nhất thiết đòi hỏi X là lồi đa thức và chính qui.
N.V.Khuê và B.Đ.Tác (1990) [28] đã mở rộng kết quả trên cho X là tập
compact trong không gian vectơ mêtric hạch.
Đối với bài toán thác triển phân hình, L.M.Hải, N.V.Khuê và N.T.Nga (1993)
[22] chứng minh đƣợc rằng mọi hàm phân hình có thác triển yếu trên các tập mở,
compact với giá trị trong không gian Banach sẽ có thác triển phân hình.
2
Khác căn bản với các tác giả trên chỉ giới hạn xét trƣờng hợp miền giá trị là
không gian Banach hoặc tổng quát hơn có đối ngẫu là không gian Baire, trong luận án
này khi xét không gian giá trị F của các hàm chỉnh hình, phân hình với F’ không nhất
thiết là không gian Baire, đặc biệt khi F là không gian Fréchet, chúng tôi đã thấy rằng
sự tƣơng đƣơng giữa tính thác triển và thác triển yếu liên hệ mật thiết với cấu trúc hệ
nửa chuẩn xác định tôpô của không gian giá trị.
Đặc biệt, khi xét các không gian Fréchet có tính chất (DN), (LB) (các tính chất
này đƣợc giới thiệu và nghiên cứu bởi Vogt vào những năm 80) là không gian giá trị của các hàm phân hình xác định trên các tập compact X của n, chúng tôi chứng minh
đƣợc rằng sự thác triển phân hình yếu sẽ dẫn đến sự thác triển phân hình nếu tập hợp X
là các tập hợp đặc biệt trong lý thuyết thế vị phức nhƣ tập ̃-chính qui, tập không đa
cực. Trƣờng hợp F là không gian Fréchet có chuẩn liên tục, chúng tôi chỉ ra rằng kết quả trên đúng với mọi tập mở trong n. Lƣu ý rằng sự thỏa mãn các điều kiện (DN) và
(LB ) là cần thiết để có thể nhận đƣợc thác triển chỉnh hình hay phân hình từ thác
triển yếu.
Luận á n gồm ba chƣơng trong đó sự thác triển hàm phân hình giá trị Fréchet từ
các tập đặc biệt trong n , đƣợc trình bày trong chƣơng 1.
Chƣơng 2 của luận á n đƣợc dành để phát biểu và chứng minh các định lý về sự
thác triển giải tích của các hàm giải tích thực có thác triển yếu từ
3
các tập mở của không gian Fréchet với giá trị thuộc các không gian Fréchet thỏa tính
chất (DN),
Không nhƣ trƣờng hợp chỉnh hình vốn đƣợc nghiên cứu khá đầy đủ và sâu sắc
bởi Bagdanovics [3], [4], [5], [6], Nachbin [36], [37], Nguyễn Thanh Vân [ 45 ], trƣờng
hợp giải tích thực phức tạp hơn.
Năm 1972, Ligocka-Siciak [31] chứng minh đƣợc rằng nếu một hàm giải tích
thực mà có thác triển giải tích yếu từ một tập mở của không gian Fréchet E với giá trị thuộc không gian lồi địa phƣơng đủ dãy F với F’ Baire thì hàm này có thác triển giải
tích.
Trong chƣơng 2 kết quả này đƣợc chúng tôi xét cho trƣờng hợp E là không gian
hữu hạn chiều còn F có tính chất (DN) hoặc E vô hạn chiều và F là không gian Fréchet
̅̅̅̅̅̅̅ có tính chất
Việc nghiên cứu các tập compact L-chính qui, ̃ -chính qui, tập không đa cực…
của lý thuyết thế vị phức liên quan mật thiết với cấu trúc của không gian các mầm hàm
chỉnh hình trên các tập compact đó.
Với X là tập compact trong n, Zaharjuta [51] chứng minh đƣợc rằng X là L- chính qui khi và chỉ khi [ có tính chất (̅ Tính chất () của với X là tập compact trong không gian Fréchet hạch (tƣơng ứng không gian Fréchet Schwartz)
đƣợc nghiên cứu bởi Meise và Vogt [34] (tƣơng ứng bởi Nguyễn Văn Khuê và Phan
Thiện Danh [7]) và đã đóng vai
4
trò quan trọng khi nghiên cứu sự thác triển chỉnh hình từ một tập compact trong E có
tính chất () với giá trị trong không gian loại
Mở rộng kết quả trên cho trƣờng hợp X là tập compact trong không gian phức
trong phần đầu chƣơng 3 chúng tôi trình bày các định lý liên quan đến tính chất ()
của và / A(X)]’
Bằng cách đặc trƣng các tính chất ( ̅ ), (̃ qua các hàm đa điều hòa dƣới cực
trị trên các không gian Stein, trong phần cuối chƣơng 3 chúng tôi chứng minh rằng các
tính chất ( ̅ ), (̃ của không gian là bất biến qua các ánh xạ riêng toàn ánh
chỉnh hình giữa các không gian Stein. Cũng nhƣ tính chất (DN), (LB), ở đây
tính chất ( ̅̅̅̅ , (),( ̅ ), (̃ … đƣợc giới thiệu và nghiên cứu bởi Vogt.
Các kết quả chúng tôi trình bày trong luận án này đƣợc báo cáo chi tiết trong
hội thảo "Giải tích và ứng dụng" của Trung tâm giải tích phức và giải tích hàm Đại học
sƣ phạm Hà Nội ngày 20, 21 tháng 09 năm 1996 và trong "Hội thảo Pháp - Việt về
Toán học" đƣợc tổ chức tại thành phố Hồ Chí Minh từ 03 đến 08 tháng 03 năm 1997.
Các kết quả trên đƣợc công bố trong các công trình [10], [ 1 1 ] , [13], [14], [15],
[16] và đƣợc nhận công bố trong công trình [9].
Luận á n đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của GS.TS Nguyễn Văn Khuê và
PTS Lê Hoàn Hóa. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những ngƣời thầy của
mình.
5
Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TS. Hà Huy Khoái, PGS.TS. Lê Mậu Hải đã
đọc kỹ bản luận á n và giúp tác giả nhiều ý kiến quý báu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm và các đồng nghiệp ở Khoa
Toán, Phòng quản lý nghiên cứu khoa học trƣờng Đại học sƣ phạm thành phố Hồ Chí
Minh, Thƣ viện khoa học tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh, PGS. PTS. Nguyễn Trọng
Khâm đã động viên giúp đỡ tạo mọi thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình nghiên
cứu và thực hiện đề tài.
6
§ 1.1 Mở đầu. Xét X là tập con của n, F là một không gian lồi địa phƣơng đủ dãy. Một
hàm f xác định trên một tập con mở trù mật Xo của X với giá trị trong F đƣợc
gọi là hàm phân hình trên X nếu nó có thể đƣợc thác triển đến một hàm phân hình trên một lân cận của X trong n. Điều này có nghĩa là tồn tại một lân cận
U của X và một hàm phân hình ̂ trên U sao cho X\P( ̂ ) là trù mật trong X và
với , ở đây ký hiệu tập cực của Trong trƣờng
hợp điều này đúng đối với với mọi , đối ngẫu của F, chúng ta nói f là
hàm phân hình yếu trên X.
Giả sử (X,F) và w (X,F) lần lƣợt là các không gian vectơ các hàm
phân hình và phân hình yếu trên X với giá trị trong F.
Trong chƣơng này chúng tôi nghiên cứu điều kiện cần và đủ để đẳng
thức sau đây đúng
(*) (X,F) = w (X,F)
Trƣờng hợp F là không gian Banach và X là tập mở hoặc compact đẳng
thức này đƣợc chứng minh đúng bởi L.M.Hải, N.V.Khuê, N.T.Nga trong [22].
Tổng quát hóa khi F’là không gian Baire đẳng thức vẫn đúng.
7
Bây giờ, ta xét miền giá trị của các hàm phân hình, phân hình yếu là không gian
F với F' không Baire, đặc biệt với F là không gian Fréchet và tìm điều kiện cần và đủ để
đẳng thức (*) đúng.
Khi F là lớp không gian Fréchet có chuẩn liên tục, trong [20] L.M. Hải đã
chứng minh kết quả “Đẳng thức (*) đúng với mọi tập mở X trong nếu và chỉ nếu F là
không gian Fréchet có chuẩn liên tục". Trong mục 1.2 chúng tôi mở rộng kết quả này trong trƣờng hợp X là tập mở trong n.
Khi xét X là tập con compact trong n và F là không gian Fréchet có (DN)-
chuẩn, (LB) -chuẩn, chúng tôi nhận thấy điều kiện đẳng thức (*) đúng lại liên quan
đến các tập đặc biệt trong lý thuyết thế vị phức.
Kết quả chính đƣợc trình bày trong mục 1.3 là định lý “Đẳng thức (*) đúng với
mọi tập X compact ̃- chính qui nếu và chỉ nếu F là không gian Fréchet có (DN)-
chuẩn". Khái niệm về tập ̃- chính qui cùng một số ví dụ về nó cũng đƣợc trình bày
trong mục này.
Bằng cách thay giả thiết của tập X compact ̃ -chính qui bởi giả thiết yếu hơn
đồng thời thu hẹp lớp không gian giá trị các hàm phân hình này chúng tôi chứng minh
đẳng thức (*) vẫn đúng. Cụ thể, trong mục 1.4 kết quả sau đƣợc chứng minh "Đẳng thứ
(X,[F’bor]’) = w (X,[F’bor]’) đúng với mọi tập compact kiểu duy nhất X trong n nếu và chỉ nếu [F’bor]’ là không gian có (LB) -chuẩn". Chúng ta cần lƣu ý rằng mọi không gian có (LB) -chuẩn đều có (DN)-chuẩn và mọi tập compact ̃--chính qui đều là tập compact kiểu duy nhất. Điều ngƣợc lại nói chung không đúng.
8
Mục 1.5 đƣợc dành để trình bày chứng minh của các kết quả "X là tập compact
không đa cực nếu và chỉ nếu X là tập compact kiểu duy nhất thỏa đẳng thức (*) với mọi
không gian Fréchet F có (DN)-chuẩn". Chúng ta nhận xét rằng mọi tập compact ̃-
chính qui đều là tập compact không đa cực nhƣng điều ngƣợc lại nói chung không
đúng.
Nội dung chính của mục này là chứng minh định lý sau
Định lý 1. Cho F là không gian Fréchet. Khi đó (X,F) = w (X,F) đúng
với mọi tập con mở X của n nếu và chỉ nếu F có chuẩn liên tục.
Chứng minh. Giả sử F có chuẩn liên tục. Chọn một hệ cơ bản tăng các nửa
chuẩn liên tục trên F, Không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng ||
||1 là một chuẩn. Với mỗi k ≥ 1, chúng ta ký hiệu không gian Banach chuẩn tắc ứng với
|| ||k là Fk và: k: F → Fk là ánh xạ chính tắc. Cho f w (X,F). Theo [22] chúng ta
có
a) Xét trƣờng hợp n=1. Trƣớc hết chúng ta chứng minh mệnh đề
ở đây P(fk) là tập cực của fk.
Chỉ cần chứng minh rằng
9
với k ≥ 1 là hiển nhiên. bởi vì
Cố định k0 ≥ 1 và cho mà chúng ta có thể giả sử rằng z0 = 0.
Do tính phân hình của mỗi fk với k ≥ 1, chúng ta có thể viết
ị
với ở đây
Do tính duy nhất của khai triển Laurent, chúng ta có
ở đây là ánh xạ chính tắc.
Các đẳng thức này dẫn đến
và
Vì || ||1 là một chuẩn trên F, suy ra ko (aj) 0 nếu và chỉ nếu 1 (aj)
0 với mỗi j > -.
Do vậy nko = n1 và điều này có nghĩa là 0 P(f1). Mệnh đề đƣợc chứng
minh.
10
Việc còn lại là kiểm tra tính phân hình của f tại mỗi z0 P(f1). Một lần
nữa xét khai triển Laurent của f tại z0,
Vì
suy ra
Do đó
Điều này chỉ ra rằng f phân hình tại z0.
b) Trƣờng hợp tổng quát n > 1.
Cũng nhƣ trƣờng hợp n = 1, trƣớc hết ta chứng minh m mệnh đề
Với mỗi k ≥ 1, đặt
ở đây là ánh xạ chính tắc.
với k ≥ 1 và do a) Dễ dàng thấy rằng zk trù mật và mở trong
11
và với mọi k ,
với mọi suy ra trù mật và mở trong P(fj) với kj ≥ 1.
Do định lý Baire điều này dẫn đến
trù mật trong P(fj) với j ≥ 1 , ở đây
Vì
chúng ta có
Việc còn lại là chứng minh tính phân hình của f tại mỗi z0 ϵ P(f1). Trƣớc tiên ta xét trƣờng hợp z0 RP(f1) tập các điểm chính qui của P(f1). Chúng ta có thể giả sử rằng z0 = 0. Chọn một lân cận U của z0 có dạng U = n ở
đây sao cho
Vì f chỉnh hình trên chúng ta có thể
viết khai triển Laurent
ở đây aj(z') là các hàm chỉnh hình trên n-1
12
Vì
cho nên
Do tính đơn ánh của 1 chúng ta có
aj (z’) = 0 với Jj < n1
Điều này có nghĩa là f phân hình tại z0. Vì codimS(P(f)) ≥ 2 và theo định lý
Remmert-Stein [32] f có thể đƣợc thác triển phân hình đến X, ở đây S(P(f)) là tập các
điểm kỳ dị của f.
Ngƣợc lại giả sử rằng (X, F) = w(X, F) với mọi tập mở X trong n. Nếu F
không có một chuẩn liên tục, theo [2] F chứa một không gian con đẳng cấu với ,
không gian tất cả các dãy số phức. Xét hàm số f: {0} → cho bởi:
f(z) = (1/z, 1/z2,… 1/zn,…)
với z \ {0}.
Hiển nhiên, f w(, ) w(, F) Tuy nhiên f w(, F)
Định lý đƣợc chứng minh.
Lưu ý. Trƣờng hợp n = 1 định lý đã đƣợc chứng minh mới đây bởi L.M.Hải
[20].
13
1.3.1. Để trình bày các đặc trƣng của các không gian Fréchet có tính chất (DN),
là hệ cơ bản các nửa chuẩn liên tục của không gian Fréchet E.
(̃), chúng ta nhắc lại những điều sau.{|| ||}k
Cho
Với mỗi tập con B của E xét nửa chuẩn suy rộng
cho bởi
Ghi
Chúng ta nói rằng E có tính chất (DN) nếu và chỉ nếu
(DN)
với x E.
Khi đó || ||p là một chuẩn và chúng ta gọi nó là (DN)-chuẩn.
Chúng ta nói rằng E có tính chất ( ̃) nếu và chỉ nếu
( ̃)
với y E’
Các tính chất (DN), ( ̃ ) cùng các tính chất khác đƣợc giới thiệu và nghiên cứu
bởi Vogt ( Xem [46],[47],[48],...). Trong [48] Vogt chứng minh rằng một không gian E
có tính chất (DN) nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : λ1(α) ⟶ E đều bị
chặn trên một lân cận của 0 λ (α) với mọi dãy mũ α = (α n), ở đây
14
Hơn nữa, trong [51] Zaharjuta chứng minh rằng tính chất (DN) tƣơng
đƣơng với điều sau
với x E
Cho V là tập con mở của n. Đặt
(V) = {f (V) : || f ||v = sup {|f(x)| : x V} < }
ở đây (V) là không gian các hàm chỉnh hình trên V.
Khi đó (V) là không gian Banach với chuẩn || ||v.
Cho X là một tập compact của n. Trên ( (V) ta xác định quan hệ
tƣơng đƣơng ~ nhƣ sau
f ~ g nếu và chỉ nếu tồn tại lân cận w của X mà trên đó f |w = g|W.
Chúng ta ký hiệu (X) là không gian vectơ các lớp tƣơng đƣơng và các phần
tử của (X) đƣợc gọi là các mầm các hàm chỉnh hình trên X. (X) đƣợc
trang bị tôpô giới hạn qui nạp
Bây giờ chúng ta nói rằng một tập compact X trong n là ̃- chính qui
nếu [ (X)]’ (̃).
15
Trong các phần tiếp theo, chúng ta sẽ ghi Z(h) và Z (g) lần lƣợt là h-1(0) và g-1
(0) -1 (0)
Kết quả chính của mục này là
Định lý 2 Cho F là một không gian Fréchet. Khi đó đẳng thức (X,F) =
W(X,F) đúng với mọi tập X compact ̃- chính qui của n nếu và chỉ nếu F
(DN)
Để chứng minh Định lý 2 trƣớc hết ta cần chứng minh một số kết quả sau
1.3.2. Một số bổ đề.
Bổ đề 1.1. Cho X là miền giả lồi trong n và f là một hàm phân hình trên
X với giá trị trong không gian lồi địa phương đủ dãy F. Khi đó với mọi miền
compact tương đối Y trong X tồn tại các hàm chỉnh hình h : X→ F và σ: X→
sao cho
f = h / và codimy Z (h,) 2 với y Y
Chứng minh . Từ các giả thiết và từ [27] ta có thể viết f = h1 / 1, ở đây h1: X
→ F, 1:X → là các hàm chỉnh hình với σ1≠0. Do tính compact của ̅ tồn tại một
lân cận W của ̅ trong X sao cho
với
16
với I = 1,…, p và j = 1, …, q, ở đây
lần lƣợt là các phân tích bất khả qui của Z(h1) và Z(σ1).
Cho với và nào đó.
Bằng cách sử dụng định lý Cartan A chúng ta có thể phân tích h1 và 1
một cách địa phƣơng qua các nhân tử chung, để đến cuối cùng, ta có thể tìm
đƣợc các hàm chỉnh hình h: X →F và : X → sao cho f = h/ và Z (h, )
không chứa nhánh bất khả qui A đối chiều 1 trong W. Điều này dẫn đến codimy
Z(h, ) 2 với y Y.
Bổ đề 1.2. Cho F là một không gian lồi địa phƣơng và , : X →, g: X → F
là hàm là các hàm chỉnh hình trên một tập con mở X của n Giả sử rằng
là hàm chỉnh hình trên X. chỉnh hình trên X và codim Z(h, ) 2 . Khi đó
mầm hàm chỉnh Chứng minh. Cho z0 X Vì vành địa phƣơng Ozo các
hình tại z0 là vành nhân tử hóa [23], ta có thể viết
trong một lân cận U của z0 sao cho 1zo,…, pzo là bất khả qui.
17
Theo các giả thiết và theo đẳng thức
suy ra là hàm chỉnh hình tại z0. Mặt khác, do giả thiết codim Z(h, )
chúng ta có 2 và
Do vậy, vì tính bất khả qui của tzo ta suy ra rằng Z(1)zo Z()zo.
là hàm chỉnh hình tại Điều này một lần nữa dẫn đến = 11 tại z0. Do đó
z0. Tiếp tục quá trình này ta suy ra rằng là hàm chỉnh hình tại z0.
Bổ đề 1.3. Cho X là một tập compact ̃- chính qui trong n . Khi đó X là tập
kiểu duy nhất, nghĩa là nếu f = (X), f/X = 0 thì f = 0 trên một lân cận nào đó của X.
Chứng minh. Cho (Vp) là một cơ sở lân cận giảm của X trong n. Theo
giả thiết chúng ta có
f (Vp).
Sử dụng bất đẳng thức trên với fn, f (Vp), ta có
18
Do đó
f (Vp).
cho nên khi
f (Vp).
Điều này có nghĩa X là tập kiểu duy nhất.
Cho E là một không gian Fréchet với đối ngẫu mạnh E’. Không gian đối
ngẫu tôpô của E đƣợc trang bị tôpô lồi địa phƣơng mạnh nhất có cùng tập bị
chặn với E’đƣợc gọi là không gian Mackey tƣơng ứng với E’ và đƣợc ký hiệu
là E’bor. Chúng ta có bổ đề sau
Bổ đề 1.4. Cho F là không gian Fréchet với F (DN). Khi đó [F’bor]’ (DN).
Chứng minh. Ta biết rằng F (DN) nếu và chỉ nếu
polar của Uq.
hoặc, nhƣ trong [46] điều kiện này tƣơng đƣơng với
ở đây
Do vậy
19
với mọi r > 0 và u [F’bor]’.
Điều này có nghĩa là [F’bor]’ (DN).
Chúng ta mở rộng kết quả của Meise và Vogt [33] trong bổ đề sau
Bổ đề 1.5. Cho E và F là các không gian Fréchet, F (DN) và E (̃).
Khi đó mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ F’bor vào E' đều có thể đƣợc phân tích
qua một không gian Banach.
Chứng minh. Cho f : F’bor → E’ là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Vì mọi ánh
xạ tuyến tính liên tục mà bị chặn trên một lân cận nào đó của điểm gốc đều có thể phân
tích qua một không gian Banach nên ta chỉ cần tìm một lân cận V của 0 E sao cho
với k ≥ l , (1)
ở đây {Uk} là một cơ sở lân cận của 0 F
s với
Theo Vogt [49], F đẳng cấu với một không gian con của không gian B ̂
B là một không gian Banach nào đó và s là không gian các dãy giảm nhanh.
s ]’ B ̂
s lên F’bor là ánh xạ mở, việc còn lại
Vì ánh xạ hạn chế R từ [B ̂
ta chỉ phải chứng minh (1) đúng với g = foR.
20
Xét ánh xạ hạn chế tuyến tính liên tục ̃ : s’ → L (B’, E’), cảm sinh bởi
g, ở đây L (B’, E’) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ B’vào E’
đƣợc trang bị tôpô mạnh.
Cho là hệ cơ bản các nửa chuẩn của E.
Vì E (̃ ta có
với mọi L (B’, E’), (2)
ở đây
Bây giờ với mỗi , đặt
Vì s là không gian Mackey ta có
và tôpô của s đƣợc xác định bởi các nửa chuẩn
Mặt khác vì s (DN) ta có
}là cơ sở chính tắc của s’.
21
ở đây { Với mỗi k ≥ 1, chọn
sao cho
Với p trong (3) đặt = (p) và lấy , d> 0 sao cho (2) thỏa mãn.
Sử dụng d trong (2) cho (3) ta kiểm tra rằng M (q, ) < với q ≥ p. Thật vậy,
cho q ≥ p. Chọn k ≥ q và C2(q,d) > 0 sao cho (3) thỏa mãn. Với k chọn = (k) sao cho
M (k, (k)) <
Khi đó với mọi ta có
Bất đẳng thức này suy ra rằng ̃ và do đó g có thể phân tích qua một không gian Banach.
22
1.3.3. Chứng minh Định lý 2.
Cho F (DN) và f W (X, F), ở đây X là tập compact ̃- chính qui trong n. Theo [22] với mỗi p 1 tồn tại một lân cận Stein Up của X trong n và một hàm phân hình fp: Up → Fp sao cho fp/x = pf. Chúng ta có thể xem rằng U1 U2… Up… Theo
Bổ đề 1.1 chúng ta có thể viết fp = hp / p, ở đây hp: Up → Up; 1 → là các hàm chỉnh
hình và p 0 sao cho
codim Z (hp, p) 2
Vì ở đây là ánh xạ chính tắc, và theo Bổ đề 1.3
ta có
là hàm chỉnh hình với p ≥ 1.
Từ Bổ đề 1.2, ta suy ra
Ta có thể định nghĩa ánh xạ tuyến tính ̃ : F’bor → (X)
bởi
ở đây
23
Hiển nhiên ̃ là liên tục. Do [F’bor]’ (DN) (Bổ đề 1.4) và [ (X)]’ ̃ )
theo Bổ đề 1.5, chúng ta có thể tìm một lân cận W của 0 F’bor sao cho ̃ (W) bị chặn trong (X) Do vậy có một p sao cho ̃ (W) đƣợc chứa và bị chặn trong (Up) không
gian Banach các hàm chỉnh hình bị chặn trên Up.
Do vậy dạng
xác định một hàm chỉnh hình ̂ : Up → F. Vì F = limproj Fp và fp/X = pf p 1 dẫn
̂
đến | X = f. Do đó f (X,F).
Ngƣợc lại, theo Vogt [48] ta cần chỉ ra rằng mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T từ
() vào F bị chặn trên lân cận 0 của (). Xét T* : F’ → [ ()] ( ̅). Vì
T*(x*) ( ̅) với mọi x* F’ và do đó chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ f : ( ̅) →
F” cho bởi
f (x) (x*) = z (T*x*)
với z ( ̅) và x* F’, và z là phiếm hàm tuyến tính Dirac xác định bởi z,
z () = (z) với ( ̅)
24
Dễ dàng thấy rằng f(z) F do tính (F’, F) liên tục của f(z). Hơn nữa f
( ̅ ). Theo giả thiết chúng ta có thể tìm đƣợc một lân cận U của ̅ trong và một hàm
phân hình F - giá trị trên U sao cho
g| ̅ = f
Vì f liên tục trên ̅, không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng g là
chỉnh hình trên U và B = g(U) bị chặn trên F. Điều này dẫn đến T* bị chặn trên B°. Đặt
T* (Bo) = C [ ()]. Do vậy V = C° là một lân cận của 0 [ ()] và T(V) B bị
chặn trong F.
Định lý đƣợc chứng minh.
1.3.4. Về tập ̃-chính qui.
Theo Zaharjuta [51] tập compact X của Cn là L-chính qui nếu và chỉ nếu
[ (X)]’ (̅ ). Do vậy mọi tập L-chính qui đều ̃- chính qui. Ví dụ tập ̅ với
là tập ̃ -chính qui trong n.
Tuy nhiên Meise và Vogt [33] đã xây dựng đƣợc một tập compact ̃-chính qui
trong một không gian Fréchet hạch nhƣng không L-chính qui.
25
1.4.1. Với những ký hiệu nhƣ trong 1.3.1 chúng ta nói rằng E có tính chất
Khi đó || ||p là một chuẩn và chúng ta gọi nó là (LB)- chuẩn.
Trong [48] Vogt chứng minh rằng một không gian E có tính chất (LB) nếu và
chỉ nếu mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T: ()→ E đều bị chặn trên một lân cận 0
() với mọi dãy mũ = (n), ở đây
Nói một cách khác, với các không gian lồi địa phƣơng E và F khi chúng ta ký
hiệu (E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục, còn (E, F) ký hiệu tập hợp
các ánh xạ A (E,F) sao cho tồn tại một lân cận U của 0 trong E để A(U) bị chặn, ta
có kết quả :
Với F là không gian Fréchet, các điều sau tƣơng đƣơng
i) ( ()F) = ( ()F) với mọi dãy mũ
ii) F có tính chất (LB)
26
Chúng ta lƣu ý rằng mọi không gian có (LB)-chuẩn đều có (DN)-chuẩn, điều
ngƣợc lại nói chung không đúng.
Kết quả chính của mục này là định lý sau Định lý 3. Cho F là một không gian Fréchet và F’bor là không gian F’ trang bị
tôpô Mackey. Khi đó đẳng thức (X, [F’bor]’ = w(X, [F’bor]’ đúng với mọi tập compact kiểu duy nhất X của Cn nếu và chỉ nếu [[F’bor]’ (LB).
Để chứng minh Định lý 3 ngoài việc á p dụng các Bổ đề 1.1, 1.2 chúng ta
chứng minh kết quả sau
1.4.2.Bổ đề 1.6. Tồn tại một tập cực compact kiểu duy nhất trong Chứng minh. a) Trƣớc tiên chúng ta chứng minh rằng một tập compact X trong
là kiểu duy nhất nếu và chỉ nếu X là tập hoàn toàn. Thật vậy, cho f (U), F|X = 0
ở đây U là một lân cận của X trong . Khi đó F|X = 0 với mọi thành phần liên thông Z
của U giao X và do đó f = 0 trên V {Z : Z là thành phần liên thông của U với Z X
}
Ngƣợc lại, nếu X không hoàn toàn thì X có một điểm cô lập và do đó X không
là kiểu duy nhất.
n với
b) Cho một dãy 1 = (1n) 0, 1n < 2-n. Định nghĩa một họ các khoảng đóng
(Jnj)n0, 1 j 2
27
Jo,s = [o, 1] với s 1
và
cho trọng lƣợng 2-n c) Với mỗi n ≥ 0 xác định μn, độ đo đều trên ⋃ đối với mỗi Jnj nghĩa là
Định nghĩa độ đo xác suất trên C(l) bởi
Chú ý rằng giới hạn này tồn tại. Đặt
d) Chúng ta sẽ chứng minh rằng, với và μ đƣợc xác định nhƣ
trên, C (=C(1)) là tập cực compact kiểu duy nhất.
Rõ ràng rằng C là tập hoàn toàn, vì C là tập dạng Cantor. Ta chứng minh C = -1 (-). Hiển nhiên (z) > - với z C. Bây giờ giả sử rằng xo C và xo Jnjn, n 0. Từ Jn,jn+1 Jn,jn chúng ta có
28
Cuối cùng ta còn phải kiểm tra rằng là điều hòa dƣới trên .
Cho zo . Khi đó dist (C,zo) > 0 và do đó log|z-zo| bị chặn trên một lân
cận của z0. Cho nên từ định lý hội tụ chặn Lebesgue ta có liên tục tại z0. Giả sử
zo C. Cho A > 0. Chọn > 0 sao cho
với Vì
chúng ta có
Khi z →Zo đều trên
ở đây với đủ bé.
Do vậy là ánh xạ nửa liên tục trên. Khi đó bất đẳng thức
29
dẫn đến rằng điều hòa dƣới.
Lưu ý : Chúng tôi cám ơn giáo sƣ Thomas đã chỉ ra cho chúng tôi cấu trúc của
tập C trong Bổ đề 3.3 khi ông ở Hà Nội.
1.4.3. Chứng minh của Định lý 3.
Cho F là không gian Fréchet với [F’bor]’ (LB) và f w (X,[F’bor]’) ở đây X là tập compact kiểu duy nhất trong n. Trƣớc tiên ta thấy rằng
là một hệ cơ bản các nửa chuẩn liên tục của F và với ở đây {|| . ||p}
mỗi p ≥ 1 ta ký hiệu Fp à không gian Banach tƣơng ứng với || . ||p. Suy ra
. Vì [F’bor]’ (LB) không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
là một chuẩn trên [F’bor]’. ||.
Theo [22] với mỗi p ≥ 1 tồn tại một lân cận Up của X trong n và một hàm phân
, ở đây hình fp : Up → F”p sao cho
là ánh xạ chính tắc .
là mở rộng duy nhất của hàm phân hình fp trên ̂ bao chỉnh
Hàm phân hình ̂
hình của Up.
Theo bổ đề 1.1, ̂ và do đó fp có thể đƣợc viết dƣới dạng fp = hp/p, ở
đây hp : Up →F”p, p: Up → là các hàm chỉnh hình và p 0 sao cho
codim Z (hp, p) 2
là đơn ánh, ở
30
: F”p → F”1 là các ánh xạ chính tắc.
là một chuẩn trên [F’bor]’ chúng ta có Vì ||.
. p và do X là kiểu duy nhất, chọn thích hợp Up ta nhận
đây
Vì 1 =
đƣợc
Từ tính đơn ánh của chúng ta có
và do vậy
Thật vậy, chúng ta có
hoặc
VìX\P(fp) trù mật trong X
Từ Bổ đề 1.2, suy ra rằng
31
là hàm chỉnh hình với p ≥ 1.
Một lần nữa do X là kiểu duy nhất chúng ta có thể định nghĩa một ánh xạ tuyến tính
̃ : F’bor → (X)
bởi
ở đây
Rõ ràng ̃ có đồ thị đóng. Do định lý ánh xạ mở của Grothendieck [39]
ta có tính liên tục của ̃.
) và do vậy
Theo [33], [ (X)]’ đẳng cấu với không gian thƣơng của (n)
(
(48) L (F’bor, (X)) = L(F’bor, (X))
Điều đó giúp ta có thể tìm đƣợc một lân cận W của 0 F’bor sao cho ̃ (W) bị chặn trong (X)). Suy ra có một p để ̃ (W) đƣợc chứa và bị chặn trong (Up) , không gian Banach các hàm chỉnh hình bị chặn trên Up.
Do đó dạng
32
̃
xác định một hàm chỉnh hình ̃ từ Up vào [F’bor]’ sao cho
Suy ra f (X, [F’bor]’).
Ngƣợc lại, theo Bổ đề 1.6 chúng ta có thể chọn một tập cực compact
kiểu duy nhất X trong . Ta biết rằng [ (X)]’ ( \ X) () Đẳng cấu
thứ nhất suy ra từ định lý đối ngẫu Grothendieck và đẳng cấu thứ hai từ kết
quả của Zaharjuta [52].
Theo Vogt [48] chỉ cần chứng minh rằng
L ([ (X)], [F’bor,]) = L([ (X)], [F’bor,])
Cho T L([ (X], [F’bor,])
Xét ánh xạ T*: [F’bor]” →([ (X)]”. Vì ([ (X)] = (X) và do vậy
chúng ta có thể xác định ánh xạ f: X →[F’bor]’cho bởi
f(x)(x)* = (T*x*) (z) với x* [F’bor]”, z X
Do tính ([F’bor]”, [F’bor]’- liên tục của f(z) dẫn đến rằng f(z)
[F’bor]’.Hơn nữa f W(X, [F’bor]’). Theo giả thiết chúng ta có thể tìm
đƣợc một lân cận U của X trong n và một hàm phân hình [F’bor]’- giá trị
trên U sao cho
̂ ̂ = ̂
Do đó chúng ta có
33
ở đây ̂ : U →[F’bor]’và ̂ : U → là các hàm chỉnh hình bị chặn và ̂0
sao cho và Z ( ̂ ̂) =
Chúng ta có ̂ T*(Bo) đƣợc chứa và bị chặn trong (U) ở đây B =
̂(U)
Điều này dẫn đến rằng T*(B°) đƣợc chứa và bị chặn trong (U\Z (̂)).
Chọn U thích hợp ta giả sử rằng P( ̂ ̂ X và có hữu hạn điểm.
Vì X là kiểu duy nhất, X không chứa điểm cô lập. Mặt khác, do tính liên tục của f trên X dẫn đến Z ̂ = và do đó ̂ chỉnh hình trên U. Chọn một lân cận V compact tƣơng đối của X trong U. Chúng ta có
Do vậy T* bị chặn trên B°.
Đặt w = T*(B°). Do đó V = W° là một lân cận của 0 ([ (X)] và
T(V) B bị chặn trong [F’bor]’. Suy ra [F’bor]’ (LB).
Định lý đƣợc chứng minh.
34
1.5.1 Với U là tập mở trong n, chúng ta ký hiệu SH(U) là lớp các hàm đđiều
hòa dƣới trên U. Xét lớp
L = { u SH(U) (n) : u(z) log (1 + |z|) + O (1)} Tập E đƣợc gọi là đa cực nếu với mọi a E tồn tại một lân cận U của a và một [40] hàm SH(U) sao cho = - trên E U và - .
Từ kết quả Siciak [41], Josefson [25] ta có
E là đa cực nếu và chỉ nếu tồn tại L sao cho = - trên E và - Ngoài ra ta lƣu ý rằng nếu E là một tập L-chính qui thì E là tập không đa cực. 1.5.2 Với những ký hiệu nhƣ trong 1.3.1- chúng ta nói rằng E có tính chất (LB)
nếu và chỉ nếu
()) với mọi dãy mũ
Với E là không gian Fréchet, các điều sau tƣơng đƣơng
()) = L (E
i) L (E
ii) F có tính chất (LB). [48]
35
Chúng ta lƣu ý rằng mọi không gian có tính chất ̃ đều có tính chất (LB), điều
ngƣợc lại nói chung không đúng.
Kết quả chính trong mục này là định lý
Định lý 4. Cho X là tập compact của n
Các điều sau tƣơng đƣơng :
i ) X là tập không đa cực.
ii ) ( X ) ] ’ (LB).
iii) X là tập kiểu duy nhất và đẳng thức (X,F) = W (X,F) đúng với mọi
không gian Fréchét F có (DN)-chuẩn.
Để chứng minh Định lý 4 ngoài việc áp dụng Bổ đề 1.4 chúng ta chứng minh
kết quả sau.
1.5.2. Bổ đề 1.7. Cho K là tập compact trong n sao cho[ ( K ) ] ’(LB).
Khi đó K là tập kiểu duy nhất.
Chứng minh. Cho f ( K ) với f|K = 0 Giả sử (Uk) là một cơ sở lân cận của
K trong n.
Với mỗik ≥ 1, đặt
36
cho Khi đó k 0. Bằng cách áp dụng tính chất
chúng ta có
Với p 1, f (Up)
Điều này dẫn đến
Chọn sao cho
ở đây
A = {n : kn = k}
Khi đó
khi k → vì
37
Khi k → và
Do vậy f = 0 trên Vq.
Điều này có nghĩa K là tập kiểu duy nhất.
1.5.3. Chứng minh của Định lý 4.
i →ii Để chứng minh (X)]’ (LB), theo Vogt [48], ta chỉ cần chỉ ra rằng
mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : (X)]→ ( ) là ánh xạ bị chặn trên một lân cận
nào đó của 0 (X)]’
Ta định nghĩa hàm số
fT (x, ) = T ( x)( ) với x X,
ở đây x là phiếm hàm Dirac xác định bởi x,
x () = (x) với (X)
Cho {Vp} là một cơ sở lân cận của X trong n. Với mỗi p ≥ 1 , đặt
ở đây
38
Điều này dẫn đến rằng Ap là tập đóng trong với p ≥ 1 , vì (Vp) là Theo định lý Baire ta có P0 sao
không gian Montel. Hơn thế nữa = ⋃ IntApo .
Xét các hàm chỉnh hình phân biệt
cho bởi
khi
khi
ở đây V = Vpo.
Theo Nguyen T. Van và Zeriahi [45], tồn tại một mở rộng chỉnh hình
của đến một lân cận V x của X x .
Do
() (V) ()
(V, ()) (V) ̂
dạng
xác định một ánh xạ tuyến tính liên tục từ (V)]’ vào ().
Do X là tập kiểu duy nhất, từ các mối liên hệ
39
ta có T = S.
Do vậy T là ánh xạ compact. ii → iii Cho F (DN) và f W(X,F) ở đây X là tập compact trong n với
(X)]’ (LB)
Theo Bổ đề 1.7 ta có X là tập kiểu duy nhất.
Nhƣ trong chứng minh của Định lý 3, chúng ta có thể định nghĩa một ánh xạ
tuyến tính liên tục
̂ : F’bor → (X) Vì (X)]’ (LB) và [F’bor ]’ (DN) (Bổ đề 1.4), theo Vogt [48] chúng ta
có
(F’bor) (X) = (F’bor) (X))
không gian Banach của các hàm chỉnh hình bị chặn trên Up. Với lý luận tƣơng tự nhƣ lý luận đã dùng trong chứng minh Định lý 3, chúng ta có thể tìm lân cận W của 0 F’bor của một lân cận Up của W sao cho ̂ (W) đƣợc chứa và bị chặn trong (Up)
Do đó dạng
40
xác định một hàm chỉnh hình ̂ từ Up vào F và điều này dẫn đến rằng f
(X,F)
iii→i Giả sử rằng X là tập đa cực. Xét một hàm đa điều hòa dƣới trên
n mà |X = -, và miền Hartogs
Cho f là hàm chỉnh hình với là miền tồn tại của f [23]. Vì X
ta có f cảm sinh ̂ W (X, (), ở đây W (X, () là không gian các hàm
chỉnh hình yếu trên X với giá trị trong W (X, (),
Thật vậy, cho [ ()]. Chọn r > 0 sao cho μ có thể đƣợc xem nhƣ là
một ánh xạ tuyến tính liên tục trên (r). Cho V là một lân cận của X sao cho
với nó V r là một tập con compact của .
Khi đó ̂→ (r) là một hàm chỉnh hình và do đó ̂ là hàm chỉnh hình
trên V.
Theo giả thiết tồn tại một lân cận W của X trong n và một hàm phân
hình ̂ trên W với giá trị trong () sao cho
41
Ghi ̂ = ̂/ ̂ , ở đây ̂ (W, (),̂ (W), ̂ 0 sao cho codimZ ̂
̂) 2
Điều này dẫn đến rằng là hàm phân hình và P( ̃ =
P( ̂) , ở đây ̃ đƣợc cảm sinh bởi ̂
Hơn thế nữa
Viết khai triển Hartogs của f trên ở đây
ở đây
Vì dãy bị chặn trên địa phƣơng, với mỗi m ≥ 1, chúng ta
Theo Bedford - Taylor [1]
} là hàm đa điều hòa dƣới và tập hợp { m <
có thể định nghĩa
là tập đa cực.
Cho
42
Vì là miền tồn tại của f, dễ dàng thấy rằng ̂ không bằng - trên mọi tập con mở khác rỗng trong n.Thật vậy, nếu ngƣợc lại giả sử ̂ trên một tập con mở khác rỗng U của n. Khi đó từ Bổ đề Hartogs ta có dãy
hội tụ về một hàm chỉnh hình trên U . Điều này dẫn đến U ∑
và do đó |U = -
Suy ra ̂ là đa điều hòa dƣới và { < ̂ }là tập đa cực, ở đây
Chọn lân cận V của X \ P ( ̃ trong W sao cho
Xét khai triển Hartogs của trên
Khi đó
với n > 0 .
và do đó
với n > 0 .
Điều này dẫn đến
43
với z V \ ( < ̂ ) mà điều này không thể đƣợc.
Định lý đƣợc chứng minh.
44
Cho K là trƣờng số phức hoặc là trƣờng số thực IR. Giả sử E và F là các
không gian vectơ tôpô Hausdorff trên K với F là không gian lồi địa phƣơng đủ dãy.
Cho là một tập con mở liên thông của E và D là tập con mở khác rỗng của .
Một hàm f : D→F đƣợc gọi là có thác triển giải tích yếu đến nếu với mỗi u
F’, đối ngẫu của F, tồn tại một hàm giải tích fu: → K sao cho fu|D = uof.
Trong [31] Ligocka và Siciak chứng minh đƣợc rằng khi K = IR, E là không
gian khả mêtric và Baire, F' là không gian Baire, thì f có thác triển giải tích đến nếu
nó có thác triển giải tích yếu đến . Cũng trong [31], các tác giả cũng đã chỉ ra ví dụ
chứng tỏ giả thiết F' là Baire không thể bỏ đi đƣợc.
Trong chƣơng này chúng tôi xem xét kết quả của Ligocka và Siciak đối với các
hàm giải tích thực có giá trị trong không gian F với F' không là không gian Baire, đặc
biệt trong không gian Fréchet F.
Mục 2.2 dành trình bày sự thác triển các hàm giải tích thực có thác triển giải
tích yếu từ một tập mở trong IRn với giá trị trong không gian
45
Fréchet có (DN)-chuẩn. Cũng trong 2.2 chúng tôi trình bày một điều kiện cần của một
không gian liên thông phức X để mọi hàm giải tích yếu trên một tập mở trong IRn với
giá trị trong không gian (X) là hàm giải tích (X) là có (DN)-chuẩn.
Trong mục 2.3 trƣớc tiên chúng tôi trình bày khái niệm không gian Fréchet có
(DN)-chuẩn. Vấn đề thác triển các hàm giải tích thực có thác triển giải tích yếu từ một
tập mở trong không gian Fréchet với giá trị thuộc không gian Fréchet có ( ̅̅̅̅ chuẩn là
nội dung chính của mục này. Trƣờng hợp không gian giá trị của hàm f là (F’) với F là
không gian Fréchet Montel phức có ( ̅̅̅̅ -chuẩn chúng tôi chứng minh rằng hàm f có
thác triển giải tích nếu uf có thác triển giải tích.
Mục 2.4 dành trình bày một số ví dụ về các không gian Fréchet có (DN) ( ̅̅̅̅ ,
(LB)
2.2.1. Kết quả chính của mục này là định lý sau
Định lý 5. Cho X là một tập con mở của một tập mở liên thông D trong IRn và F
là một không gian Fréchet có tính chất (DN). Giả sử rằng f: X → F là hàm giải tích
sao cho uof có thể được thác triển giải tích thành một hàm giải tích ̂ trên D với mọi
uF’. Khi đó f có thác triển giải tích đến D.
46
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh rằng f có thác triển giải tích tại mỗi xo X
Lấy một lân cận G = I1 ... In của x° trong D, ở đây Ii = [ai, bi], ai, < bi, i = 1,..., n.
Với mỗi 0 < ε < 1, xét ánh xạ tuyến tính
cho bởi
ở đây A(εG) là không gian các hàm giải tích trên εG.
Do εG là tập kiểu duy nhất, Sε có đồ thị đóng. Mặt khác, vì
( ̃ (
suy ra là ánh xạ liên tục, ở đây với mỗi lân cận ̃ của εG
trong n, chúng ta ký hiệu ( ̃ là không gian Banach các hàm chỉnh hình bị chặn
trên W. Từ các mối liên hệ
… (I1) ̂
[ ]’ = (I1) ̂
… ̂
( \ I1)
( \I1) ̂
… ̂
(̃
() ̂
và [F’bor]’ (DN) theo Vogt [48] chúng ta có thể tìm một lân cận W của G
trong n sao cho S: F’bor → (W) là hàm số liên tục. Xác định thác triển
chỉnh hình
̂: W → [F’bor]’
bởi
47
Do tính duy nhất, họ { ̂ xác định một thác triển chỉnh hình ̂ của f đến một lân
cận W của G trong n. Vì ̂ (G) X) F và là không gian con đóng của [F’bor] nên ̂
(W) F.
Điều này có nghĩa là hàm f có thác triển giải tích tại x0.
Định lý đƣợc chứng minh.
Lưu ý. Xét hàm số f : IR → IRN , với IRN là tích đếm đƣợc các đƣờng thẳng
thực, đƣợc cho bởi Ligocka và Siciak [31]
Hàm này giải tích trên IR \ 0 và uof giải tích trên IR với mọi u [IRN]’. Tuy
nhiên, f không giải tích tại 0 IR.
2.2.2. Bây giờ ta xét X là một đa tạp Stein tùy ý. Trong [21] L.M. Hải chứng
minh đƣợc rằng (X) (DN) nếu mọi hàm chỉnh hình yếu xác định trên một tập con
K compact, L-chính qui của n với giá trị trong (X) đều chỉnh hình trên K.
Đối với các hàm đa điều hòa dƣới, trong [21] L.M. Hải chứng minh đƣợc rằng
(X) có tính chất (DN) nếu và chỉ nếu mọi hàm đa điều hòa dƣới trên X mà bị chặn
trên là hàm hằng. Tuy nhiên, đối với các hàm giải tích chúng tôi chỉ chứng minh đƣợc
kết quả sau.
48
Mệnh đề 2.1. Cho X là một không gian phức liên thống sao cho mọi hàm
giải tích yếu trên một tập mở trong IRn với giá trị trong (X) là hàm giải tích.
Khi đó mọi hàm chỉnh hình bị chặn trên X đều là hàm hằng.
Chứng minh. Ta chứng minh phản chứng, Giả sử (X) sao cho const
và
Xét hàm f : ( - 1 , 1 ) x X → C cho bởi
Khi đó f là hàm giải tích.
Ta kiểm tra rằng hàm ̂ : (-1, 1) → (X) tƣơng ứng với f, là hàm giải tích yếu.
Thật vậy, cho trƣớc (X) và t0 (-1, 1). Chọn một tập compact K trong
X sao cho supp K. Do tính compact của K ta có thể tìm đƣợc một lân cận U V
của {t0} x K trong X và một hàm chỉnh hìnhg : U x V → C sao cho
g|(U V) (-1, 1) X) = f | |(U V) (-1, 1) X)
Vì ̂ : U → (V) là hàm chỉnh hình và có thể đƣợc xem nhƣ một phần tử
trên U. của [ (V)]’ ta có ̂ đƣợc thác triển chỉnh hình đến ̂
49
Do đó theo giả thiết ̂ là hàm giải tích. Tuy nhiên, điều này không thể đƣợc vì
bán kính hội tụ r(z) của dãy
là khi
Mệnh đề đƣợc chứng minh.
Trong trƣờng hợp dimX = 1 chúng ta có kết quả
Mệnh đề 2.2. Cho Z là một tập mở liên thông trong Khi đó (Z) (DN) nếu
và chỉ nếu mọi hàm giải tích yếu giá trị trong (Z) đều là hàm giải tích.
Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ Định lý 5. Ngƣợc lại, theo Mệnh đề 2.1
mọi hàm chỉnh hình bị chặn trên Z đều là hàm hằng. Do vậy (̅\ Z) = 0, ở đây
( ̅ \Z) là dung lƣợng giải tích của ̅ \ Z [19]. Suy ra ̅ {0}. Khi đó
( ̅ ) ̅ (DN)
2.3.1. Với những ký hiệu nhƣ trong 1.3 chúng ta nói E có tính chất ( ̅̅̅̅ nếu và
chỉ nếu
Khi đó chuẩn || ||p gọi là ( ̅̅̅̅ -chuẩn của E.
50
Trong [48] Vogt đã chứng minh đƣợc rằng mọi không gian có ( ̅̅̅̅ -chuẩn đều
có (LB)-chuẩn. Điều ngƣợc lại nói chung không đúng.
2.3.2. Kết quả đầu tiên của mục 2.3 là
Định lý 6. Cho E,F là các không gian Fréchet thực, D là tập mở của Evà F có
tính chất ( ̅̅̅̅ . Giả sử f: D → Flà hàm giải tích và f có thác triển giải tích yếu đến
Khi đó f có thác triển giải tích đến .
Chứng minh. (i) Trƣờng hợp dim E < ta có thể giả sử rằng E IRn và là
tập liên thông. Do F ( ̅̅̅̅ dẫn đến F (DN) [47], theo Định lý 5 ta có điều phải
chứng minh.
(ii) Bây giờ giả sử rằng E là không gian Banach. Theo (i), f có thác triển đến
một hàm chỉnh hình Gateaux g : Ω→ F. Ta cần kiểm tra g là hàm giải tích.
Cho xo . Xét khai triển Taylor của g tại x°,
Theo Ligocka và Siciak [31],
là hàm giải tích với mọi q ≥ 1,
ở đây Fq không gian Banach tƣơng ứng với nửa chuẩn || . ||q và q : F → Fq là ánh xạ
chính tắc.
Điều này dẫn tới tính liên tục của mọi Png.
Với mỗi q ≥ 1, đặt
51
ở đây
chúng ta có
Vì F ( ̅̅̅̅ ta có
Khi đó
Khi d → chúng ta nhận đƣợc
và do đó
Điều này dẫn đến g là hàm giải tích tại xo.
iii) Trƣờng hợp tổng quát. Theo i) f đƣợc thác triển đến một hàm chỉnh hình
Gateaux g: →F
Cho xo . Với B (E), họ tất cả các tập lồi cân compact trong E, ghi
52
ở đây E(B) ký hiệu không gian Banach sinh bởi B.
Theo (ii) với mỗi B (E) mà xo E (B) tồn tại một lân cận lồi WB của
0 E(B) và một hàm chỉnh hình gB : xo + WB → F sao cho
Đặt
Do tính duy nhất, họ {gB} xác định một hàm ̂ : W → F sao cho
Việc còn ta kiểm tra W là một lân cận của x° trong E.
Thật vậy, nếu ngƣợc lại, tồn tại một dãy {zn}, zn = xn + iyn W với n ≥ 1, hội tụ
về x°. Cho B = ̅̅̅̅̅̅̅ {xn, yn}. Chọn B1 (E), B B1 sao cho ánh xạ chính tắc E
(B) → E (B1) là ánh xạ compact. Một tập B1 nhƣ vậy tồn tại do [24].
Khi đó zn → x° trong E(B1) và do đó
zn xo + WB1 W với n đủ lớn.
Điều này không thể đƣợc.
Định lý đƣợc chứng minh.
53
2.3.3. Chúng ta xét một kết quả khác về thác triển giải tích thực
Định lý 7. Cho E là không gian Fréchet thực và F là không gian Fréchet phức
Montel, D là một tập mở trong E và F có tính chất ̅̅̅̅ . Giả sử f: D → (F’)
và uf có thác triển giải tích đến ở đây F' là đối ngẫu mạnh của F và
Khi đó f có thác triển giải tích đến .
Để chứng minh Định lý 7, trƣớc tiên ta chứng minh hai bổ đề sau
Bổ đề 2.1. Cho B là một không gian Banach và E là không gian Fréchet với E
(̃) Giả sử rằng f: B→ E' là một hàm chỉnh hình loại bị chặn. Khi đó tồn tại một lân
cận V của 0 trong E sao cho :
: || x || < r}< là một hệ cơ bản các nửa chuẩn liên
(1) với mọi r > 0
Chứng minh. Cho {|| . ||y
tục của E và giả sử U là quả cầu đơn vị của B. Vì f(U) bị chặn trong E', tồn tại α 1
sao cho
Theo giả thiết E (̃) chúng ta có thể tìm và d > 0 sao cho
(2)
Chúng ta kiểm tra rằng (1) đúng với V = {y E : ||y|| < 1}. Thật vậy, cố định
r 1. Chọn γ sao cho
54
ở đây = (er)1+d + 1
Viết khai triển Taylor của f tại 0 ϵ B
chúng ta có
Bổ đề 2.2. Cho E và F là các không gian Fréchet với E (̃ và F (DN). Giả
sử F là không gian Montel. Khi đó mọi hàm chỉnh hình từ F' vào E' đều có thể đƣợc
phân tích qua một không gian Banach.
Chứng minh. Cho f : F’ → E’ là một hàm chỉnh hình. Theo Vogt [49], F đẳng cấu với một không gian con của B ̂ s với B là không gian Banach nào đó và s là không gian các dãy giảm nhanh.
Vì ánh xạ hạn chế R từ [B ̂ s ]’ B’ ̂ s’ vào F là ánh xạ mở, ta chỉ cần
chứng minh bổ đề cho g = foR.
Mặt khác, vì mọi không gian Banach đẳng cấu với không gian thƣơng của không gian 1(I) với tập chỉ số I nào đó, không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng B’ 1(I)
Với mỗi k ≥ 1 đặt
55
Khi đó
và
(3)
với mọi i I và với mọi j ≥ 1, ở đây { I j} là cơ sở chính tắc (mà không nhất thiết đếm đƣợc) của 1(I)̂ s’.
Theo Bổ đề 2.1 với mỗi k ≥ 1 tồn tại = (k) sao cho
(4) M(k, , r) < với mọi r > 0
Đặt = (p) và lấy , d > 0 sao cho (2) thỏa mãn. Chúng ta kiểm tra rằng g là một hàm chỉnh hình từ 1(I)̂ s’. vào E’. Cố định q ≥ p. Với q và d lấy k q và D > 0 sao cho (3) thỏa mãn.
Khi đó với mọi u Aq, |||u|||q < r chúng ta có
56
với ρ đủ lớn.
Bây giờ chúng ta có thể chứng minh Định lý 7.
Chúng ta chỉ chứng minh trƣờng hợp dimE < phần còn lại chứng minh giống
nhƣ trong Định lý 6.
Cho f: D → (F’) là hàm giải tích sao u cho có thác triển giải tích đến với mọi u F’, ở đây D là một tập mở trong IRn và F là một không gian Fréchet phức
Montel với
Cố định xo D và chọn một lân cận hình hộp chữ nhật W của x° trong
Xét hàm số ̂: F’ → (W) cảm sinh bởi f.
a) Trƣớc tiên chúng ta chứng minh ̂ là hàm chỉnh hình.
là các hàm chỉnh hình với k Chỉ cần chứng minh rằng ̂k: = f|F’k : F’k → (W)
≥ 1.
Cho {Um} là một cơ sở lân cận của W trong . Với mỗi m ≥ 1, đặt
. Theo Định lý Baire tồn Khi đó Am là các tập đóng trong
tại m0 sao cho V = Int Amo .
(Umo V) → xác định bởi Xét hàm số g: (W F’k)
57
Khi đó g là hàm chỉnh hình phân biệt. Vì W là tập không đa cực và V là tập mở
khác rỗng, theo [45] với mọi không gian con hữu hạn chiều L F’k, tồn tại một hàm
mở rộng của hàm g|(W L) (Umo V) L). chỉnh hình duy nhất gL trên Umo L
Theo Định lý Zorn [53], họ {gL} xác định một hàm chỉnh hình của hàm ̂ Umo F’k →
: F’k → ).
. Điều này dẫn đến tính chỉnh hình của hàm ̂
b) Vì [ )]’ (̃) [51], theo Bổ đề 2.2, chúng ta tìm đƣợc một nửa chuẩn
liên tục trên F’ và một hàm chỉnh hình ̂: F’ → (W) sao cho ̂ = ̂ . Theo Bổ đề
2.1 ta có một lân cận U của W trong n sao cho ̂: F’ → (U) là hàm chỉnh hình. Do
vậy f : D → (F’) có thác triển chỉnh hình đến U, một lân cận của xo trong n
2.4.1. Không gian Fréchet có (DN)-chuẩn .
a) Trƣờng hợp F là không gian Fréchet hạch, trong [47], ta có kết quả : F có
(DN)-chuẩn nếu và chỉ nếu F đẳng cấu với một không gian con của không gian các dãy
giảm nhanh s.
b) Trƣờng hợp F là không gian Fréchet tổng quát thì lớp không gian F có (DN)-
chuẩn đƣợc xem là lớp không gian Fréchet nhỏ nhất chứa các
58
không gian Banach, không gian s và lớp này đóng với phép toán lấy không gian con
[49].
hoặc phép ̂
c) Ta nêu ở đây một số ví dụ cụ thể [47].
• (n) với n nguyên dƣơng là không gian có (DN)-chuẩn. Tổng quát, nếu z là
một đa tạp Stein thỏa điều kiện Liouville đối với hàm đa điều hòa dƣới thì (Z) là
không gian có (DN)-chuẩn.
•Cho K là tập con compact, là tập mở của IRn. Ký hiệu là
không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên .
không gian các hàm khả vi whitney trên K.
ở đây
Khi đó ([0,1]) là các không gian có (DN)-chuẩn, nhƣng
là các không gian không có (DN)-chuẩn. Chúng ta chú ý
rằng đều là các không gian không có chuẩn liên tục.
2.4.2. Không gian Fréchet có -chuẩn.
Xét không gian Kothe (A) với ma trận A = (aij) có tính chất
59
Không gian này có (LB) -chuẩn [48]. 2.4.3. Không gian Fréchet có ( ̅̅̅̅ -chuẩn.
a) Xét không gian Kothe (A) với ma trận A = (aij) với
hoặc aij = iji là các không gian có ( ̅̅̅̅ chuẩn. [48]
b) (n) là không gian có (DN)-chuẩn nhƣng không có ( ̅̅̅̅ chuẩn.
60
§ 3.1. Mở đầu. Cho X là tập compact trong không gian phức Z. Ký hiệu là không gian
các mầm các hàm chỉnh hình trên X. Trên ta trang bị tôpô giới hạn qui nạp
với U chạy qua mọi lân cận của X và (U) là không gian Banach các hàm chỉnh hình
bị chặn trên U.
Chúng ta biết rằng giới hạn qui nạp trên là chính qui [35] và do đó [ ]
là không gian Fréchet.
Với các ký hiệu nhƣ trong 1.3 chúng ta nói E có tính chất () nếu và chỉ nếu
E có tính chất () nếu và chỉ nếu.
Trong [45] Vogt đã chứng minh và chỉ ra các ví dụ rằng
61
Trong chƣơng này chúng tôi nghiên cứu các tính chất () (̅ , (̃ của
[ ]’.
Cấu trúc của [ ]’ và các bất biến () (̅ , (̃ đƣợc quan tâm nghiên cứu
bởi nhiều tác giả.
Trƣờng hợp Z = n Zaharjuta chứng minh trong [51] rằng [ ]’có tính chất
(̅ nếu và chỉ nếu X là L-chính qui. Trong chƣơng 1, mục 1.5, ta có kết quả : X là tập không đa cực nếu và chỉ nếu [ ]’ (LB) . Đồng thời, với định nghĩa tập compact
X là ̃-chính qui nếu và chỉ nếu [ ]’ (̃ chúng ta đã tìm đƣợc điều kiện cần và
đủ để (X,F) = w(X,F) đúng với mọi không gian Fréchet F có (DN)-chuẩn.
Trƣờng hợp Z là không gian Préchet hạch, Meise và Vogt [33] chứng minh rằng
[ ]’có tính chất () nếu và chỉ nếu Z có tính chất (). Kết quả này trong thời gian
gần đây đƣợc mở rộng cho trƣờng hợp Z là không gian Fréchet - Schwartz bởi Nguyễn
Văn Khuê và Phan Thiện Danh[7].
Chúng tôi tiếp tục mở rộng sự nghiên cứu cấu trúc [ ]’ trong trƣờng hợp Z
là không gian phức.
Trong mục 3.2 chúng tôi chứng minh đƣợc [ ]’có tính chất () khi X là tập
compact trong không gian phức Z. Chúng tôi chỉ ra đƣợc rằng trƣờng hợp Z là không
gian chuẩn tắc có số chiều bé hơn hoặc bằng 2 thì [ (X)/A(X)]' có tính chất (Ω), ở
đây A(X) ={f ϵ (X):f|x=0}.
62
Sự bất biến của các tính chất (̅ , (̃ của [ ]’qua các ánh xạ toàn ánh riêng
chỉnh hình giữa các không gian Stein đƣợc nghiên cứu và trình bày trong 3.3. Chúng ta
biết rằng bài toán tƣơng tự bài toán này về các tính chất quan trọng của các không gian
phức đƣợc quan tâm bởi nhiều tác giả (chẳng hạn xem [26], [29], [38] . . . ). Để chứng
minh kết quả này, trong mục 3.3 chúng tôi đã chứng minh đƣợc rằng các tính chất (̅ ,
(̃ có thể đặc trƣng bởi các hàm cực trị trên các không gian Stein. Kết quả đạt đƣợc
cũng tƣơng tự nhƣ kết quả đạt đƣợc trong trƣờng hợp đa tạp Stein.
Kết quả chính của mục này là định lý sau
Định lý 8. Cho X là tập compact trong không gian phức Z. Khi đó
i) [ ]’có tính chất ()
ii) Nếu Z là không gian chuẩn tắc với số chiều nhỏ hơn hoặc bằng 2 thì [ /
A(X)]’có tính chất ().
3.2.1. Để chứng minh Định lý 8 chúng ta cần chứng minh một số kết quả sau
Bổ đề 3.1. Cho X là tập compact trong một không gian chuẩn tắc Z sao cho với
mọi zϵX tồn tại f A (X),fz 0. Khi đó tồn tại một tập giải tích S trong một lân cận V
của X sao cho
X S và codim Sz 1 với z V.
63
Chứng minh. Viết , ở đây xk là các thành phần liên thông của
X. Với mỗi k ≥ 1 cố định một điểm xk Xk. Theo giả thiết với k1 = 1 tồn tại
một hàm chỉnh hình f trên một lân cận U1 của X sao cho
Cho V1 = { z U1: codim Z(f1)z = 0}.Khi đó V1 là một tập hợp vừa đóng vừa
mở trong U1. Ta có
codim Z(f1)z 1 với z X1.
Cho W1 là một thành phần liên thông của U1 chứa X1.
Khi đó
codim Z(f1)z 1 với z W1
Ta nhận thấy rằng
W1 V1 = và với mỗi k, hoặc Xk W1 hoặc Xk W1 =
Đặt
và
k2 = min {k : Xk W1 = }
Bằng cách sử dụng lý luận trên đối với Y2 và Xk2 chúng ta có thể tìm một lân
cận U2 của Y2 và f (U2) sao cho
Cũng nhƣ trên, V2 vừa đóng vừa mở trong U2 và
codim Z (f2)x 1 với x Xk2
64
sao cho Chọn một thành phần liên thông W2 của U2 chứa
codim Z (f2)x 1 với x W2
Ta nhận thấy rằng
W2 V2 =
và với mọi k, Xk W1 hoặc Xk W2 hoặc Xk W2 =
Tiếp tục quá trình này chúng ta dựng đƣợc
a) Các tập mở Uj với thành phần liên thông Wj lần lƣợt chứa Xkj.
b) Wj Wk = với j 0 c) Các tập compact Yj và Yj trong X sao cho
và
d) Các hàm chỉnh hình fj trên Uj sao cho
Đặt
Điều này dẫn đến W là một lân cận của X và với
Bổ đề 3.2. Cho X là một tập compact trong một không gian phức Z số chiều 1.
Khi đó [ / A(X)] ().
65
Chứng minh. Trƣờng hợp A(X) = 0 bổ đề suy ra từ mệnh đề thứ nhất của định
lý. Giả sử rằng A(X) ≠ 0.
a) Trƣớc tiên ta giả sử X là một đa tạp. Ký hiệu X' là tập các điểm giới hạn của
X. Khi đó X \ V là một tập hữu hạn với mọi lân cận V của X'. Do vậy tồn tại một cơ sở
lân cận Vn của X' sao cho
Y Vn = với n 1
ở đây Y = X\ X ' .
Do đó, đặt Yn = Y \ Vn chúng ta có dãy khớp
0 → lim ind [ / A(Yn)] → / A(X) → → 0
với
dim / A(Yn) <
và
/ A(Yn) → / A(Yn+1) với n 1
Suy ra dãy
0 → [ ]’ → / A(X)] → lim proj [ / A(Yn)]’→ 0
là dãy khớp.
Vì [ ]’ () và lim proj [ / A(Yn)]’ () nhƣ trong [51] điều
này dẫn đến [ / A(X)] ()
b) Chọn f (W), f 0 và f|X = 0, ở đây W là một lân cận của X trong Z. Do
tính compact của X chúng ta có thể giả sử rằng W có một số hữu hạn nhánh bất khả
qui, chẳng hạn W = W1 W2 với W1 và W2
66
là các nhánh bất khả qui của W. Hơn nữa chúng ta còn có thể giả sử rằng X
S(W) = {zo}
Trƣờng hợp 1. z0 là một điểm giới hạn của X W1 và X W2. Khi đó A(X) =
0. Điều này không thể xảy ra.
Trƣờng hợp 2. z0 là một điểm cô lập của X. Khi đó Y = X \ {z0} là một tập
compact trong R(W) và theo a) chúng ta có
[ / A(X)]’ [ (Y) / A(Y) (zo) / A(zo) ()
Trƣờng hợp 3. z0 chẳng hạn là một điểm giới hạn của X W1 nhƣng lại là một
điểm cô lập của X W2. Khi đó
(X)/A(X) (W2) X \{zo}) /A (W2 X \{zo} (W1 X)/JW1(W1 X)
và [ (W1 X)/JW1(W1 X)]’ w1 (W1 X)]’ ()
ở đây JW1 ký hiệu bó ideal mầm các hàm chỉnh hình bằng không trên W1 còn w1 bó
mầm các hàm chỉnh hình trên W1.
Do vậy không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng W là bất khả qui.
Ký hiệu X' là tập các điểm giới hạn của X. Điều này dẫn đến rằng X \ V là tập hữu hạn
với mọi lân cận V của X' và do đó cũng nhƣ trƣờng hợp mà S(W) = ta chỉ cần chứng
tỏ rằng
(X)/A(X) ()
với Vj và Vjzo là bất khả qui Chọn một lân cận U1 của z0 sao cho U1 = ⋃
với j = 1,. . . ,p. Để đơn giản chúng ta giả sử p = 2. Nếu z0 là một điểm
67
giới hạn của X’ V1 và X’ V2 (thì A(X') = 0. Do đó chúng ta có thể giả sử rằng X’
V2 = {zo}. Vì V1 là một không gian phức con của U1 chúng ta có thể tìm một tập mở
U2 trong W sao cho
U2 V2 = , U = U2 V1 X
là một không gian phức con của U V2.
Khi đó chúng ta có
[ / A(X)]’ [ / Au(X’)]’ [ ]’ ()
3.2.2. Chứng minh của Định lý 8.
Chứng minh. i) a) Trƣớc tiên xét trƣờng hợp Z là một đa tạp phức. Nhận xét
rằng nếu Z là một đa tạp phức, [ ({z})]’ () với mọi z Z.
Cho trƣớc X một tập compact trong Z và U là một lân cận của X. Vì [ ({z})]’
() với mọi z X chúng ta có thể tìm ứng với mỗi z X một lân cận Vz của z trong
U sao cho
\(**) Với mọi lân cận Wz của z trong Vz, Czdz > 0
trên (U).
Nhận xét rằng (**) cũng đúng với d ≥ dz.
Phủ X bởi Vz1, … Vz2 và đặt
68
Cho W là một lân cận của X trong V. Với mỗi j = 1.... , p chọn Wzj, Czj, dzj thỏa
mãn (**) và Wzj W
Đặt
Khi đó
Vì vậy, do tính phản xạ của (X) chúng ta suy ra rằng ]’ ()
b) Trƣờng hợp tổng quát. Xét phép giải kỳ dị Hironaka : ̃ → Z. Theo a)
chúng ta có ( ) ]’ ()
Chọn một cơ sở lân cận {Un} của X trong z. Vì là ánh xạ riêng nên {Vn = -1
Un)} tạo thành một cơ sở lân cận của -1X trong Z.
Cho trƣớc p 1, chúng ta có thể tìm đƣợc q p sao cho
Đẳng thức này dẫn đến
(Up):
Do đó ]’ ()
ii) Cho X là một tập compact trong một không gian phức chuẩn tắc Z.
a) Đặt
69
X’ = [z X | f A(X) : fz = 0 } Cho z ̅ và f A(X) Chọn một lân cận liên thông U của Z và z’ X’ U.
Vì Z là không gian chuẩn tắc và fz’ = 0 suy ra fz = 0 nghĩa là z X’. Do vậy X' là một
tập compact trong X.
Giả sử
Y = X \ X’ và
ở đây Xk là các thành phần liên thông của X.
Do tính chuẩn tắc của Z ta có
hoặc hoặc với k ≥ 1.
Với mỗi h (W) ở đây W là một lân cận của X trong Z, đặt
Khi đó Zh là một lân cận của X' và
hoặc hoặc với k ≥ 1.
chúng ta có
Cho V là một lân cận tùy ý của X' trong Z. Với mỗi thể tìm hz (Wz) với Wz là một lân cận của X trong Z sao cho
Do đó tồn tại một lân cận Vz của z trong Z sao cho
Vì V Y là tập compact, chúng ta có thể tìm h1,…, hp (W) với W là một
lân cận của X trong Z sao cho
70
Y V Zh1, … Zhp =
và với
̃ = V Zhi … Zhp
một lân cận của X', ta có
Do vậy tồn tại một cơ sở lân cận Vn của X' trong Z sao cho
b) Xét ánh xạ hạn chế
R : / A(X) →
ta thấy ánh xạ này là toàn ánh. Cho Yn = Y \ Vn với n 1
Điều này dẫn đến dãy 0 → lim ind (Yn) / A(Yn)] → (X)/A(X) → → 0
là dãy khớp và (Yn) / A(Yn) có thể đƣợc xem nhƣ là một không gian con của
(Yn+1) / A(Yn+1)
Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng [ (Yn) / A(Yn)]’ () với n≥l.
c) Cố định n ≥ 1. Theo Bổ đề 3.1 tồn tại một tập giải tích S trong một lân cận V
của Yn sao cho
Yn S và dim Sz 1 với z V
71
Theo một kết quả của siu [43], S có một lân cận Stein trong V và do đó ánh xạ
hạn chế
(Yn) / A(Yn) → (Yn) / As(Yn)
là đẳng cấu.
Bổ đề 3.2 dẫn đến [ (Yn) / A(Yn)]’ có tính chất ()
Kết quả chính của mục này là định lý sau.
Định lý 9. Cho : Z → Y là một ánh xạ riêng toàn ánh chỉnh hình giữa các
không gian phức và X là một tập compact Stein trong Y. Khi đó [ (X)]’() (tương
ứng (̃ nếu và chỉ nếu [ (-1(X))]’(̅ (tương ứng (̃ ).
Để chứng minh Định lý 9, trƣớc hết ta cần chứng minh các tính chất (̅ , (̃
của [ (X)]’ có đƣợc đặc trƣng bởi các hàm cực trị trên các không gian Stein. Những
kết quả này cũng tƣơng tự nhƣ những kết quả đạt đƣợc trong trƣờng hợp đa tạp Stein.
3.3.1. Một số kết quả chuẩn bị để chứng minh Định lý 9.
3.3.1.1.Hàm đa điều hòa dƣới trên không gian phức.
Cho X là một không gian phức. Một nửa hàm liên tục trên : X → [-, + )
đƣợc gọi là điều hòa dƣới nếu với mọi a X và mọi
72
phép nhúng địa phƣơng h của một lân cận của a trong X vào một lân cận W của h(a)
trong n , tồn tại một hàm đa điều hòa dƣới trên một lân cận của h(a) chứa trong W
sao cho oh trùng với trên một lân cận của a.
Trong [18] Fornaess và Narasimhan chứng minh rằng hàm nửa liên tục : X →
[-, + ) là hàm đa điều hòa dƣới nếu oh là hàm điều hòa dƣới với mọi ánh xạ chỉnh
hình h : → X từ đĩa đơn vị mở ∆ vào X.
3.3.1.2. Các hàm cực trị và các tập L-chính qui.
Cho Z là một không gian phức và X là một tập con compact của Z. Đặt
và
Hàm *(Z,X,.) là hàm đa điều hòa dƣới yếu trên Z, nghĩa là nó là hàm nửa liên
tục trên và đa điều hòa dƣới tại các điểm chính qui của Z. Hàm *(Z,X,.) đƣợc gọi là
hàm cực trị ứng với (Z,X). Ta biết rằng [8] nếu Z là bất khả qui địa phƣơng, mọi hàm
đa điều dƣới yếu trên Z là hàm đa điều hòa dƣới trên Z.
Một tập compact X trong Z đƣợc gọi là L-chính qui nếu *(U,X,.)|X = 0 với mọi
lân cận U của X.
Trong trƣờng hợp đa tạp Stein Zaharjuta [51] chứng minh rằng [ (K)]’ có tính
chất (̅ nếu và chỉ nếu K là L-chính qui.
73
Có thể tìm thấy các chi tiết liên quan đến các hàm cực trị trên không gian phức trong [41].
3.3.1.3 Định lý l0. Cho X là một tập compact Stein trong một không gian phức
Z Khi đó [ (X)]’ (̅ nếu và chỉ nếu X là tập L-chính qui.
Chứng minh. Cho X là một tập compact L-chính qui trong một không gian
phức Z. Cho U là một lân cận của X trong Z.
Vì * (U, X, x) = 0 với x X,
do tính nửa liên tục trên của * (U, X,.), với mỗi (0,1) chúng ta có thể tìm
đƣợc một lân cận V của X trong U sao cho
(1) * (U, X, x) < 0 với x V,
T ừ ( l ) và từ mối liên hệ
với
là không gian Banach các h à m chỉnh hình bị chặn trên U, chúng ta ở đây
nhận đƣợc bất đẳng thức
trên V
hoặc
(2)
Do đó [ (X)]’ (̅ vì [ (X)]’ (X) Ngƣợc lại, giả sử rằng [ (X)]’ (̅
74
Cố định một lân cận Stein U của X trong Z.
Chọn W là một lân cận compact tƣơng đối của X trong U.
Với 0 < ε < 1, chọn một lân cận V của X trong W sao cho
(3)
Cho (U,X) Theo Fornaess và Narasimhan [18], chúng ta có thể tìm đƣợc dãy hàm đa điều
hòa dƣới j liên tục trên U sao cho j Sử dụng bổ đề Hartogs [23], chúng ta có thể giả sử rằng
với 1 ,
ở đây j 0
Do tính Stein của U, giống nhƣ trong trƣờng hợp chính qui, với mỗi j ≥ 1 chúng
ta có thể viết
với mọi j,k ≥ 1 và sự hội tụ này là đều trên ở đây
các tập compact trong U.
Hơn nữa, không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng
(4) trên X với mọi j, k,n ≥ 1
5) trên W với mọi ,k,n ≥ 1
Từ (3),(4),(5) ta có :
75
với j, k. n 1 trên V
Do vậy
Vì (U,X) lấy tùy ý nên
với Khi 0 ta có
Định lý đƣợc chứng minh.
Liên quan giữa tính chất (̃ của [ (X)]’ và hàm cực trị ta có kết quả sau
3.3.1.4. Định lý 11.Cho X là một tập compact Stein trong một không gian phức
Z . Khi đó [ (X)]’ (̃ nếu và chỉ nếu
(6) *(U,X,x) < 1 với mọi x trong X và mọi lân cận U của X trong z.
Chứng minh. Giả sử [ (X)]’ (̃ . Chọn một lân cận V của X trong U và d
(0,1) sao cho
f (U)
|| f
(7) ||f||v ||f
76
Cho ε > 0 đủ bé sao cho d + ε < 1. Theo lý luận nhƣ trong Định lý 10, từ (7)
chúng ta nhận đƣợc
(x) d + với x V và (U,X)
Do vậy
* (U,X,x) d + < 1 với x V
Ngƣợc lại, cho U là một lân cận của X. Chọn một lân cận V của X trong U và d
ϵ (0,1) sao cho sup {* (U,X,x) :x V} < d
Vì
với f (U)
suy ra
với f (U)
với f (U)
Do đó
|| f
||f||v ||f
Điều đó có nghĩa là sử [ (X)]’ (̃ .
3.3.2. Chứng minh của Định lý 9.
a) Trƣờng hợp (̅
Điều kiện đủ. Giả sử rằng [ (-1 X))]’(̅
Chọn một cơ sở lân cận {Un} của X trong Z.
77
Vì θ là ánh xạ riêng ta có tạo thành một cơ sở lân cận của -1
(X) trong Z.
Cho p > 1, d > 0. Theo giả thiết ta có thể tìm đƣợc q ≥ p sao cho
Đẳng thức này dẫn đến
Do vậy [ (X)]’ (̅
Điều kiện cần. Giả sử rằng [ (X)]’ (̅
i) Trƣớc tiên giả sử rằng : Z → Y là một chuẩn tắc hóa của Y.
Đặt
= {h Y,y: h (* Z)y Y,y}
Khi đó là bó coherent. Do tính Stein của X, dẫn đến tính Stein của Y, chúng
ta có thể tìm h o(Z, ) sao cho h 0 trên mọi nhánh bất khả qui của Z.
Điều này dẫn đến dạng
→ h với (-1 X))
xác định một đẳng cấu giữa (-1 X)) và h ( (-1 X))) (X)
Do đó [ (-1 X))]’(̅
ii) Giả sử rằng Y là một không gian chuẩn tắc và : Z → Y là một phủ nhánh.
Theo Định lý 10, ta cần chứng minh rằng
78
*(U,-1 (X),.) = 0 trên -1(X)
với mọi lân cận U của -1(X) trong Z.
Chọn một lân cận V của X trong Y sao cho -1(V) U
Xét : -1(V) → V. Cho . (-1(V) (-1(X)). Khi đó dạng
̂ (y) = max {(x) : (x) = y }
với y V\S()
trên V\S() ở đây S() ký hiệu một nhánh xác định một hàm đa điều hòa dƣới ̂
của .
Vì Y là không gian chuẩn tắc
là hàm đa điều hòa dƣới yếu và do đó là hàm đa điều hòa dƣới trên V [8].
Hiển nhiên ̂ (V,X) và do đó
|X 0
(1) ̂
Hơn nữa, từ
(x) ̂ (x) với x -1(V) \ -1(S()).
Chúng ta nhận đƣợc
(2)
Bằng cách áp dụng (1) và (2) cho = *(-1(V), -1(X),.) chúng ta có
*(-1(V), -1(X),.) trên -1(X).
79
iii) Trƣờng hợp tổng quát. Xét sơ đồ giao hoán
với các phép ở đây : ̃ là chuẩn tắc hóa của Y và
chiếu chính tắc và
Theo (i) và (ii) ta có (( ̃)-1(X))]’ (̅
và do đó theo điều kiện đủ ta có [ ()-1(X))]’ (̅
b) Trƣờng hợp (̃ đƣợc chứng minh một cách tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp (̅
bằng cách áp dụng Định lý 11 thay vì Định lý l0.
Định lý đƣợc chứng minh.
80
Luận án đã nghiên cứu mối liên hệ giữa sự thác triển và thác triển yếu của các
hàm phân hình giá trị Fréchet từ các tập mở, compact của n, thông qua sự thay đổi
miền giá trị và miền xác định của chúng. Đối với trƣờng hợp thác triển của hàm từ tập
mở với giá trị thuộc không gian Fréchet có chuẩn liên tục, luận án đã mở rộng kết quả
của L.M.Hải từ C lên n. Luận án còn chỉ ra một số điều kiện cần và đủ để một hàm
phânhình giá trị Fréchet xác định trên một tập compact có thác triển giải tích nếu có
thác triển giải tích yếu.
Việc nghiên cứu các điều kiện cần và đủ để một hàm phân hình yếu là phân
hình trên các tập compact dẫn đến việc tìm hiểu các đặc trƣng các tập đặc biệt trong lý
thuyết thế vị phức. Luận án trình bày đặc trƣng này thông qua các kết quả liên quan đến
cấu trúc không gian các mầm hàm chỉnh hình trên tập compact trong n. Luận án còn
nêu những kết quả về cấu trúc không gian các mầm hàm chỉnh hình trên tập compact
trong không gian phức nhƣ tính chất () của đối ngẫu của không gian này hoặc tính bất
biến của các tính chất (̅ , (̃ của đối ngẫu của nó qua các ánh xạ riêng, toàn ánh
chỉnh hình giữa các không gian Stein.
Việc nghiên cứu và vận dụng trong luận án các bất biến tôpô tuyến tính đƣợc
Vogt trình bày vào những năm 80, không những giúp phân loại các không gian giá trị
của hàm phân hình, hàm giải tích thực; phân loại các
81
tập đặc biệt trong lý thuyết thế vị phức mà còn góp phần tìm hiểu sâu sắc cấu trúc
không gian các mầm hàm chỉnh hình.
Luận án mở rộng kết quả của Ligocka - Siciak về thác triển hàm giải tích thực
có thác triển yếu trong trƣờng hợp không gian giá trị là không gian lồi địa phƣơng đủ
dãy với đối ngẫu không Baire, đặc biệt là các không gian Fréchet.
Các kết quả trình bày trong luận án là mới và có ý nghĩa về mặt khoa học, có
đóng góp nhất định vào bài toán thác triển ánh xạ phân hình, ánh xạ giải tích thực và
việc nghiên cứu lý thuyết thế vị phức.
Ngoài việc vận dụng linh hoạt các kết quả sâu sắc của hình học giải tích phức,
giải tích phức nhiều biến, chúng tôi còn đƣa ra những kỹ thuật và phƣơng pháp chứng
minh mới nhằm khắc phục những khó khăn nảy sinh trong quá trình nghiên cứu.
Đề tài cũng nhƣ bài toán cụ thể đƣợc đặt ra trong luận án mang tính thời sự và
có nhiều khả năng phát triển.
82
[1] E. Bedford and B.A. Taylor, A new capacity for plurisubharmonic
functions, Acta Math . 149 (1982), 1 - 40 .
[2] Bessaga and A. Pelczynski, On a class of B0 spaces, Bull. Acad. Polon.
Sci. 5(1957), 375-377.
[3] W.M. Bogdanowicz, On analytic extensions of holomorphic functions
with values in the space of continuos functions, Notices Amer. Math. Soc. 15 (1968),
627.
[4] W.M. Bogdanowicz, Existence of analytic extensions of holomorphic
functions with values in the space of Lebesgue summable functions, Notices Amer.
Math. Soc 15 (1968), 792.
[5] W.M. Bogdanowicz, Analytic continuation of locally convex space-
valued holomorphic functions on domains in real or complex locally convex spaces.
For the announcement of the main result, see Procedings of the Symposium in
Functional Analysis, September 29 - October 5, 1968, Oberwolfach, West Germany
(Math. Ann.).
[6] W.M. Bogdanowicz, Analytic continuation of holomorphic functions
with values in a locally convex spaces, Proc. Amer. Math. Soc 22 (1969), 660 - 666.
83
[7] Phan Thien Danh and Nguyen Van Khue, Structure of spaces of germs
ofholomorphic functions, publ.Mat. Vol.41(1997), 467-480.
[8] J.P. Demailly, Mesures de Monge - Ampere et charactérisation
géométrique des variétés algebriques affines, Mém. Soc. Math. France (N.S), 19(1985),
1-124.
[9] Nguyen Van Dong, Fréchet - valued meromorphic functions on compact
sets in n (to appear in Acta MathematicaVietnamica).
[10] Nguyen Van Dong, Proper holomorphic surjections and the properties
(̅, ̃ of spaces of germs of holomorphic functions, Conference "Analysis and
Application", Publ. of CFCA Vol.1 (1996) , 31-38.
[11] Nguyen Van Dong and Le Mau Hai, Meromorphic Functions with
Values in a Fréchet Space and Linear Topological Invariant (DN), Vietnam Journal of
Math.Vol.25(4)(1997), 319-330.
[12] Nguyen Van Dong, Le Mau Hai and Nguyen Van Khue, The extension
of Frechet - Schwartz valued meromorphic functions on compact sets in 2 (sub. to
Vietnam Journal of Math.)
[13] Nguyen Van Dong and Nguyen Thai Son, Fréchet - valued analytic
functions and linear topological invariants, Port. Math. Vol.55 (1998), 101 - 112.
84
[14] Nguyen Van Dong, Hàm chỉnh hình phân biệt giá trị Fréchet trên tập
không đa cực, Thông báo khoa học Trƣờng ĐHSPTPHCM (16) 12-16.
[15] Nguyen Van Dong () - Structure of spaces of germs of holomorphic
functions, French - Vietnamese Colloquium on Mathematics 17 Feb - 8 Mar. 1997,
HoChiMinh City.
[16] Nguyen Van Dong, () - cấu trúc của không gian các mầm hàm chỉnh
hình, Thông báo khoa học Trƣờng ĐHSPTPHCM (18), 14-18 .
[17] G. Fischer, Complex Analytic Geometry, Lecture Notes in Math. 534,
Springer - Verlag 1976.
[18] J.E. Fornaess and R. Narashiman, The Levi Problem on complex spaces
with singularities, Math. Ann. 248 (1980), 47-12.
[19] T.W. Gamelin, Uniform Algebras, Prentice - Hall, Englevvood Cliffs,
N.J. 1969.
[20] Le Mau Hai, Meromorphic functions of uniform type and linear
topological invariants , Vietnam Journal of Math. special Issue, 1995, 145-163.
[21] Le Mau Hai, Weak extension of Fréchet-valued holomorphic functions
on compact sets and linear topological invariants, Acta Mathematica
Vietnamica,Vol.21 (2), (1996), 188- 199.
85
[22] Le Mau Hai, Nguyen Van Khue and Nguyen Thu Nga, Weak
meromorphic extension , Colloq. Math. 64(1993), Fac.l, 65-70.
[23] L. Hormander, An Introduction to Complex Analysis in Several
Variables, North- Holland Publishing Company 1973.
[24] H. Junek, Locally convex spaces and Operator Ideals, Teubner -Texte
zur Math. 56, 1983.
[25] B.Josefson, On the equivalence between locally polar and globally polar
sets for plurisubharmonic functions on n, Ark. Math. 16(1978), 109-115.
[26] Ha Huy Khoai and Nguyen Van Khue, Finite codimensional
subalgebras of Stein algebras and semiglobally Stein algebras, Trans. Amer. Math.
Soc. 330, (1992), 503-508.
[27] Nguyen Van Khue, On meromorphic functions with values in locally
convex spaces, Studia Math. 73(1982), 201-211.
[28] Nguyen Van Khue and Bui Dac Tac, Extending holomorphic maps on
compact sets in infinite dimension, Studia, Math. 95 (1990) 263-272.
[29] Nguyen Van Khue and Le Van Thanh, On invariance of q-convexity,
Trans. Amer. Math. Soc. 302 (1987), 47-54.
[30] M. Klimek , Pluripotential Theory, Oxford , NewYork , Tokyo. 1991.
86
[31] E. Ligocka and J. Siciak, Weak analytic continuation, Bull. Acad. Polon.
Sci. 6 (1972), 461 - 466.
[32] P.Mazet, Analytic sets in locally convex spaces, North-Holland Math-
Stud. 89(1984).
[33] R. Meise and D. Vogt, Holomorphic functions of uniformly bounded
type on nuclear Frechet spaces, Studia, Math. 83 (1986), 147-166.
[34] R. Meise and D. Vogt, Structure of spaces of holomorphic functions on
infinite dimensional polydiscs, Studia Math. 75(1983), 235 - 252.
[35] J. Mujica, Spaces of germs of holomorphic functions, Studia in Analysis,
Advances in Math. Suppl. Studies. Vol.4, Ed. G.C.Rota, Academic Press (1974), 1-41.
[36] L. Nachbin, On vector-valued versus scalar-valued holomorphic
continuation, Koninkl. Nederl. Akademie Van Wetenschappen Amsterdam,
Mathematics, Series A, 76(4), 1973, 352-353.
[37] L. Nachbin, Weakly holomorphy, part I and part II. (preprint)
[38] R. Narasimhan, A note on Stein space and their normalizations,
Ann.Scuola Norm. Sup. Pisa, 16 (1992), 327-333.
[39] A.P. Robertson and W.Robertson, Topological vector spaces,
Cambridge, 1964.
87
[40] B. Shiffman, Separate Analyticity and Hartogs Theorems. Indian Math.
4 (1989), 943-957.
. Ann. Polon.
[41] J. Siciak, Extremal plurisubharmonic functions in n
Math. 39(1981), 175-211.
[42] J.Siciak, Weak analytic continuation from compact subsets of Cn .
Lecture Notes in Math.364, Springer-Verlag, 1974, 92-95.
[43] Y.T. Siu, Every Stein subvariety has a Stein neighbourhood, Invent.
Math. 38,(1976), 89- 100.
[44] Nguyen Thanh Van, Fonctions séparément analytiques et prolongement
analytic faible en dimension infinie, Ann. Polon. Math. 33 (1976), 71-83.
[45] Nguyen Thanh Van and Zeriahi A., Families de Polynomes Presque
Partout Bornees, Bull. Sci. Math. 2eme serie vol 179 (1983), 81-91.
[46] D. Vogt, Eine charakterisierung der Potenzreihenraume Von endlicjem
Typ und ihre Folgevungen, Manuscripta Math. 37 (1982), 269-301.
[47] D.Vogt, Subspaces and quotient spaces of(s), in Functional Analysis:
Surveys and Recent Results, K.D. Bierstedt, B. Fuchssteiner (Eds.), North-Holland.
Mathematics Studies 27 (1997), 167-187.
88
[48] D. Vogt, Fréchetraume zwischen deren jede stetige linear Abbildung
beschrankt ist, J.Rein Angew Math . 345 (1983), 182-200.
[49] D. Vogt, On two classes of F-Spaces, Arch. Math. Vol. 45 (1987) 255-
266.
[50] Waelbroeck, Weak analytic functions and the closed graph theorem,
ibid, 97-100.
[51] V.P. Zaharjuta, Isomorphism of spaces of analytic functions, Sov. Math.
Dokl 22 (1980), 631-634.
[52] V.P. Zaharjuta, Spaces of functions of one variable, analytic in open sets
and on compacta, Math. USSR Sbornik. 7 (1970), (75-88) (Russian).
[53] M. Zorn, Characterization of analytic functions in Banach spaces.
Ann. of Math. (2) 46 (1945), 185-593.
