Mục tiêu của luận án nhằm thiết lập các mô hình và nghiên cứu tính chất vật lý của chất hạt nhân: tính chất bão hòa, phương trình trạng thái, cấu trúc pha. Để hiểu rõ hơn về đề tài, mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết luận án!
VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM
ĐINH THANH TÂM
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số: 62 44 01 01
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. TRẦN HỮU PHÁT
TS. NGUYỄN TUẤN ANH
LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ
HÀ NỘI 2011
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tôi
dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Trần Hữu Phát và TS. Nguyễn
Tuấn Anh. Các kết quả nghiên cứu nêu trong luận án là trung thực và
chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011
Tác giả luận án
ii
Đinh Thanh Tâm
LỜI CẢM ƠN
Qua luận án này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng
dẫn khoa học - GS.TSKH. Trần Hữu Phát - người Thầy đã dành nhiều năm
hướng dẫn tôi học tập, nghiên cứu, đưa ra những ý tưởng khoa học và định
hướng nghiên cứu cho tôi trong quá trình tôi làm nghiên cứu sinh.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn thứ hai - Tiến sỹ
Nguyễn Tuấn Anh, người Thầy đã dành nhiều năm truyền thụ kiến thức
khoa học cho tôi, dạy tôi nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy trong Ban Giám
hiệu Trường Đại học Tây Bắc đặc biệt là Nhà giáo Nhân dân, Phó Giáo
sư Tiến sỹ Đặng Quang Việt- Bí thư Đảng ủy, Hiệu trưởng Nhà trường đã
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi vừa công tác vừa học tập và nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các giáo sư, tiến sĩ, các nhà khoa
học, các bạn đồng nghiệp ở các trường đại học và các viện nghiên cứu, cảm
ơn các thầy cô trong Bộ môn Vật lý lý thuyết Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội đã tạo điều kiện cho tôi tham gia nghiên cứu, hội thảo, hội nghị
khoa học, có những lời góp ý bổ ích cho tôi trong quá trình tôi nghiên cứu
khoa học và làm luận án tiến sỹ.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam đã
tạo điều kiện cho tôi dự thi, học tập, nghiên cứu và bảo vệ luận án tiến sỹ.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện Khoa học và Kỹ thuật Hạt nhân, Trung
tâm Nghiên cứu cơ bản và Tính toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi có
một không gian đẹp, rộng rãi và yên tĩnh để tôi học tập, nghiên cứu, hoàn
thành luận án.
Xin chân thành cảm ơn mọi người trong gia đình đã luôn động viên, tạo
điều kiện cho tôi công tác, học tập, nghiên cứu, hoàn thành luận án.
iii
Tác giả luận án
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Các khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Danh mục các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
MỞ ĐẦU 1
1 MÔ HÌNH CHẤT HẠT NHÂN KHÔNG CHIRAL 10
1.1 Thế nhiệt động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Các tính chất bão hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Phương trình trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Cấu trúc pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Sự đóng góp của meson delta . . . . . . . . . . . . . 39
1.6 Kết luận của chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 MÔ HÌNH CHẤT HẠT NHÂN CHIRAL ĐỐI XỨNG TIỆM
CẬN 43
iv
2.1 Thế nhiệt động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Các tính chất bão hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Phương trình trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4 Cấu trúc pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5 Sự đóng góp của meson delta . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6 Kết luận của chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3 MÔ HÌNH CHẤT HẠT NHÂN CHIRAL ĐỐI XỨNG CHÍNH
XÁC 84
3.1 Thế nhiệt động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Các tính chất bão hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Phương trình trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4 Cấu trúc pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.1 Chuyển pha khí-lỏng tại mật độ dưới mật độ bão hòa 105
3.4.2 Chuyển pha chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5 Sự đóng góp của meson delta . . . . . . . . . . . . . . 112
3.6 Kết luận của chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
KẾT LUẬN 116
Các công trình đã thực hiện 118
Tài liệu tham khảo 119
v
PHỤ LỤC 130
CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN
1. Bất đối xứng isospin (Isospin Asymmetry)
2. Boson hóa (Bosonization)
3. Chất hạt nhân (Nuclear Matter)
4. Cấu trúc pha (Phase Structure)
5. Đối xứng chiral (Chiral Symmetry)
6. Mô hình Nambu–Jona-Lasinio (NJL Model)
7. Năng lượng đối xứng (Symmetry Energy)
8. Ngưng tụ (Condensation)
9. Phương trình trạng thái (EoS)
10. Lý thuyết trường trung bình (Mean-Field Theory)
11. Tính chất bão hòa (Saturation Properties)
vi
12. Tính không bền về cơ và hóa (Chemical and Mechanical Instabilities)
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BEC Bose-Einstein condensation (sự ngưng tụ Bose-Einstein).
CEP critical end point (điểm cuối tới hạn)
CFL color-flavor-locked (các số lượng tử màu và hương bị khóa).
EoS equation of state (phương trình trạng thái)
ENJL extended Nambu–Jona-Lasinio model
(mô hình Nambu–Jona-Lasinio mở rộng).
MFT mean-field theory (lý thuyết trường trung bình).
NJL Nambu–Jona-Lasinio model ( mô hình Nambu–Jona-Lasinio).
NSE nuclear symmetry energy (năng lượng đối xứng hạt nhân)
QCD quantum chromodynamics (sắc động lực học lượng tử).
QGP quark-gluon plasma.
QHD quantum hadrondynamics (hadron động lực học lượng tử).
SB symmetry breaking (sự phá vỡ đối xứng).
vii
SR symmetry restoration (sự khôi phục đối xứng).
Giản đồ pha của sắc động lực lượng tử (QCD) trong mặt phẳng thế hóa
µ và nhiệt độ T [89] được phác họa trong Hình 1 là tập hợp những trạng
thái cân bằng của hệ. Cho đến nay, người ta vẫn chưa biết vị trí chính xác
của hầu hết các đường chuyển pha trong giản đồ trên. Sở dĩ như vậy là
vì nghiên cứu chuyển pha vật chất với sự có mặt đồng thời của cả nhiệt
độ và mật độ là một bài toán cực kỳ hóc búa. Các vùng có µ và (hoặc) T
lớn, các kết quả tính toán lý thuyết vẫn chưa thể kiểm chứng được bằng
thực nghiệm. Các tính toán dựa trên mô hình mạng QCD đã có những tiến
bộ khi nghiên cứu hệ ở trạng thái có mật độ baryon bằng 0 và nhiệt độ
cao. Kết quả tính toán mô phỏng gần đây nhất [58] tiên đoán chuyển pha
chiral và chuyển pha không giam cầm kiểu crossover tại nhiệt độ quanh
170 MeV. Vùng có mật độ và nhiệt độ thấp, tức là vật chất nằm trong pha
hadron chỉ được nghiên cứu tới một chừng mực nào đó. Nhìn chung, vật
chất ở mật độ và nhiệt độ hữu hạn vẫn còn nhiều điều chưa biết và là đối
tượng xây dựng các mô hình nghiên cứu. Nguyên nhân là về phương diện
lý thuyết, vùng này phức tạp hơn so với vùng có nhiệt độ và mật độ cao
có thể xử lý bằng phương pháp nhiễu loạn và các hadron là đối tượng khá
1
phức tạp khi người ta cố gắng mô tả chúng theo các phần tử hợp thành.
2
1.a.
1.b.
1.c.
1.d.
Hình 1: Các giản đồ pha trong mặt phẳng thế hóa - nhiệt độ.
Tuy nhiên, hiểu theo một nghĩa khác, vùng này là hấp dẫn và thử thách
vì nhiều vấn đề vật lý chưa biết và sinh động có thể được khám phá, nhiều
công cụ lý thuyết mới có thể cần phát triển. Hiện nay, các thí nghiệm va
chạm ion nặng ở năng lượng cao là công cụ tốt tạo ra vật chất tương tác
mạnh và đông đặc, chúng cung cấp cơ hội để khám phá các tính chất thú
vị của vật chất ở điều kiện cực trị, kiểm chứng các tính toán lý thuyết đặc
biệt là các tiên đoán về chuyển pha ở mật độ và nhiệt độ cao. Nói cách
khác, nghiên cứu các tính chất vật lý của hạt nhân đặc biệt là cấu trúc
pha là cần thiết và thích hợp cả về phương diện lý thuyết và thực nghiệm.
3
Chính vì vậy, luận án chọn nghiên cứu đề tài "Nghiên cứu tính chất
vật lý một số mô hình hạt nhân".
Vật chất tương tác mạnh và đậm đặc đã được các nhà vật lý hạt nhân
quan tâm nghiên cứu từ lâu. Chuyển pha của chất hạt nhân đã được khảo
sát trong nhiều bài báo lý thuyết [8, 31, 38, 56, 70, 76, 85, 86, 102, 104, 115].
Các công trình nghiên cứu dựa trên các mô hình hiện tượng luận được thiết
lập trực tiếp từ các bậc tự do nucleon. Các mô hình hạt nhân phi tương đối
tính sử dụng các dạng khác nhau của thế năng tương tác nucleon-nucleon
đã thu được nhiều thành công trong nghiên cứu chất hạt nhân ở mật độ
thấp và năng lượng thấp. Tuy nhiên, lý thuyết hạt nhân phi tương đối tính
lại thất bại khi phản ánh các tính chất vật lý của vật chất đông đặc. Cụ
thể, khi mật độ chất hạt nhân cao, ρ (cid:62) 3ρ0, với ρ0 là mật độ chất hạt
nhân ở trạng thái bão hòa, thì lý thuyết hạt nhân phi tương đối tính vi
phạm nguyên lý nhân quả-một trong những nguyên lý rất cơ bản của vật
lý. Khi nghiên cứu chất hạt nhân ở mật độ và (hoặc) năng lượng cao thì
hiệu ứng tương đối tính trở lên quan trọng cần phải sử dụng lý thuyết hạt
nhân tương đối tính. Có thể nói lý thuyết hạt nhân phi tương đối tính và
lý thuyết hạt nhân tương đối tính là hai phần lý thuyết bổ sung cho nhau
ở những thang năng lượng và thang mật độ nhất định.
Lý thuyết hạt nhân tương đối tính nghiên cứu chất hạt nhân ở mật độ
và (hoặc) năng lượng cao. Khi đó, về cấu trúc, người ta không thể đơn
thuần coi nucleon là một hạt mà phải tính đến cấu trúc bên trong của
4
nucleon, tức là phải nói tới các hạt quark-các hạt tạo lên nucleon. Ngoài
bất biến tương đối tính ứng với phép biến đổi Lorentz, phải kể đến một đối
xứng rất quan trọng là đối xứng chiral-một trong những đối xứng cơ bản
của vật chất tương tác mạnh và là một trong những nhân tố cơ bản của lý
thuyết hạt nhân tương đối tính. Cho đến hiện nay, chuyển pha chiral vẫn
là một trong những phát hiện thực nghiệm quan trọng nhất trong va chạm
ion nặng tương đối tính. Chuyển pha chiral trong trạng thái vật chất đông
đặc đóng một vai trò quyết định trong nghiên cứu các tính chất vật lý của
các hạt nhân kích thích cũng như cấu trúc của các sao mật độ cao và tiến
trình hình thành vũ trụ. Lý thuyết hạt nhân phi tương đối không cần đến
bất biến chiral vì nó chỉ khảo sát hạt nhân ở năng lượng thấp hay ở mật
độ không cao nhưng lý thuyết hạt nhân tương đối tính thì phải có.
Các mô hình hạt nhân tương đối tính kiểu Walecka [90, 91] đã tái hiện
thành công nhiều tính chất vật lý của các hạt nhân nặng và trung bình.
Các mô hình hạt nhân tương đối tính khác đã và đang được phát triển và
thu được nhiều kết quả quan trọng. Tuy nhiên, tất cả các mô hình trên
đều có một thiếu sót nghiêm trọng, đó là: chúng không phản ánh đối xứng
chiral.
Một số mô hình chiral đã được sử dụng để mô tả chất hạt nhân. Trong
số đó, quen thuộc nhất là mô hình Nambu–Jona-Lasinio (NJL) [78] và mô
hình sigma tuyến tính [44]. Các mô hình này đã có thể giải thích sự phá vỡ
đối xứng chiral tự phát trong chân không và sự phục hồi đối xứng chiral
tại mật độ cao. Tuy nhiên, các phiên bản đơn giản nhất của chúng lại thất
bại trong việc tái hiện tính chất bão hòa của chất hạt nhân. Cụ thể: mô
hình sigma tuyến tính chỉ tiên đoán trạng thái dị thường của chất hạt nhân
5
[100], tại đó đối xứng chiral được phục hồi và khối lượng hiệu dụng của các
nucleon bị triệt tiêu. Một số mô hình phức tạp hơn thuộc loại này cũng đã
được đề xuất trong các tài liệu [16, 29, 71, 79, 80]. Mặc dù chúng có thể
tái hiện lại trạng thái bão hòa của chất hạt nhân, nhưng một vấn đề mới
lại xuất hiện: trong các mô hình đó có một số mô hình không tiên đoán
được sự phục hồi đối xứng chiral tại mật độ baryon cao. Mô hình NJL đã
được sử dụng để mô tả chất hạt nhân lạnh [25, 59, 72]. Trong các tài liệu
[25, 59], người ta chỉ ra rằng, trong mô hình NJL chuẩn, phá vỡ đối xứng
chiral tự phát không thể xảy ra với chất hạt nhân. Các tác giả của [59] đề
xuất đưa thêm vào các số hạng tương tác (vô hướng-véc tơ) để tái hiện
lại các tính chất bão hòa đã quan sát được của chất hạt nhân. Mặt khác,
người ta cũng chỉ ra trong [72] là: thừa nhận trị số đủ nhỏ của xung lượng
cutoff (Λ (cid:39) 0.3 GeV) ta có thể thu được trạng thái bão hòa tại mật độ
thông thường ngay cả trong mô hình NJL chuẩn. Tuy nhiên, trong trường
hợp này, khối lượng hiệu dụng của nucleon tại ρB = ρ0 được tiên đoán chỉ
bằng một nửa so với giá trị của nó thu được bằng thực nghiệm.
Từ thực tiễn nêu trên, luận án nghiên cứu thiết lập một vài mô hình
NJL mở rộng tính đến các số hạng biểu diễn tương tác vô hướng-vec tơ
để nghiên cứu tính chất của chất hạt nhân ở mật độ và nhiệt độ hữu hạn,
nghiên cứu chuyển pha trong chất hạt nhân. Các mô hình này tái hiện tốt
các tính chất bão hòa đã quan sát được của chất hạt nhân như mật độ bão
hòa, năng lượng liên kết, hệ số không chịu nén và khối lượng hiệu dụng
của nucleon tại ρB = ρ0, thể hiện kịch bản chuyển pha loại một của chuyển
pha khí-lỏng tại mật độ dưới mật độ bão hòa của chất hạt nhân và tiên
đoán được sự phục hồi đối xứng chiral.
6
Như đã biết, năng lượng đối xứng hạt nhân và các đại lượng liên quan
đến nó đóng vai trò quan trọng đối với những nghiên cứu trong lĩnh vực vật
lý học thiên thể [17, 28, 95], động lực học các phản ứng va chạm ion nặng
ở năng lượng trung bình [3, 9, 17], cấu trúc của hạt nhân giàu neutron hay
các hạt nhân hầu như chỉ có neutron [51, 52, 63, 97, 105]. Sự phụ thuộc
mật độ của năng lượng đối xứng hạt nhân đóng vai trò quyết định trong
việc giúp ta hiểu rõ không chỉ các vấn đề quan trọng trong vật lý hạt nhân
[3, 9, 34] mà còn nhiều bài toán tới hạn khác trong vật lý học các thiên
thể [28, 95]. Mặc dù hiện nay vật lý lý thuyết và thực nghiệm đã có những
tiến bộ đáng tin cậy trong việc xác định năng lượng đối xứng ở các mật độ
không bình thường [4, 5, 67] nhưng sự phụ thuộc mật độ của năng lượng
đối xứng được tiên đoán bởi các mô hình khác nhau [6] lại rất khác nhau
cả ở vùng mật độ thấp và vùng mật độ cao. Chính vì vậy, luận án này
dành một khoảng thời gian thỏa đáng để nghiên cứu sự phụ thuộc mật độ
của năng lượng đối xứng của chất hạt nhân.
Nghiên cứu tính chất vật lý của chất hạt nhân:
Tính chất bão hòa
Phương trình trạng thái
Cấu trúc pha
• Đối tượng nghiên cứu: chất hạt nhân.
7
• Nhiệm vụ nghiên cứu: thiết lập các mô hình và nghiên cứu tính chất
của hạt nhân.
• Phạm vi nghiên cứu: chất hạt nhân bất đối xứng isospin và chất hạt
nhân chiral
• Phương pháp tác dụng hiệu dụng
• Phương pháp trường trung bình
• Lập trình, tính giải tích và tính số trên máy tính
Sử dụng các mô hình NJL mở rộng trong nghiên cứu, luận án có một
số đóng góp nhất định trong nghiên cứu tính chất vật lý của chất hạt nhân:
+ Tái hiện thành công tính chất bão hòa của chất hạt nhân, tính được
trị số của hai đại lượng vật lý quan trọng là khối lượng của nucleon trong
môi trường và hệ số không chịu nén của chất hạt nhân.
+ Phương trình trạng thái, năng lượng đối xứng của chất hạt nhân cho
các kết quả gần miền giá trị thu được từ thực nghiệm.
+ Kịch bản chuyển pha khí-lỏng loại 1 của chất hạt nhân được mô tả
một cách rõ ràng và phù hợp thực nghiệm gần đây về tán xạ ion nặng ở
năng lượng trung bình.
8
+ Tiên đoán được sự phục hồi đối xứng chiral và mô tả rõ ràng chuyển
pha chiral trong chất hạt nhân.
+ Các kết quả nghiên cứu chỉ rõ vai trò quan trọng không thể thiếu của
đối xứng chiral trong nghiên cứu các tính chất vật lý của hạt nhân.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Phụ lục, luận án gồm có 3 chương:
Chương 1: Mô hình chất hạt nhân không chiral
Luận án thiết lập mô hình bốn nucleon cho chất hạt nhân với các số
hạng tương tác tương tự như mô hình Nambu–Jolia-Lasinio (NJL), không
bao gồm đối xứng chiral, xác định thế nhiệt động, kiểm tra hiệu lực của
mô hình bằng việc tái hiện tính chất bão hòa của chất hạt nhân, tính các
đại lượng vật lý quan trọng mà thực nghiệm đã khống chế được là khối
lượng của nucleon trong môi trường, hệ số không chịu nén của chất hạt
nhân, nghiên cứu phương trình trạng thái và cấu trúc pha của chất hạt
nhân bất đối xứng.
Chương 2: Mô hình chất hạt nhân chiral đối xứng tiệm cận
Luận án thiết lập mô hình chất hạt nhân chiral dựa trên mô hình
Nambu–Jolia-Lasinio tính đến tương tác vô hướng-vec tơ; xác định thế
nhiệt động, kiểm tra hiệu lực của mô hình bằng việc tái hiện các tính chất
bão hòa của chất hạt nhân; nghiên cứu phương trình trạng thái; sự phụ
thuộc mật độ của năng lượng đối xứng hạt nhân; cấu trúc pha của chuyển
pha khí-lỏng trong chất hạt nhân chiral đối xứng tiệm cận.
9
Chương 3: Mô hình chất hạt nhân chiral đối xứng chính xác
Luận án thiết lập mô hình chất hạt nhân chiral đối xứng chính xác dựa
trên mô hình Nambu–Jolia-Lasinio tính đến tương tác vô hướng-vec tơ;
xác định thế nhiệt động; kiểm tra hiệu lực của mô hình bằng việc tái hiện
các tính chất bão hòa của chât hạt nhân; nghiên cứu phương trình trạng
thái; sự phụ thuộc mật độ của năng lượng đối xứng hạt nhân; cấu trúc pha
của chuyển pha khí-lỏng và chuyển pha chiral trong chất hạt nhân chiral
đối xứng chính xác.
Kết quả nghiên cứu tính chất của chất hạt nhân dựa trên ba mô hình
được đối chiếu, so sánh với nhau chỉ rõ đóng góp quan trọng không thể bỏ
qua của đối xứng chiral trong nghiên cứu chất hạt nhân.
Phần Kết luận, luận án tổng kết các kết quả thu được. Tiếp theo là
Các công trình liên quan đến luận án và Tài liệu tham khảo
Những vấn đề được trình bày trong luận án là kết quả nghiên cứu đã
được công bố trong hai bài báo đăng ở Physical Review C và ba bài đăng
ở các tạp chí chuyên ngành trong nước.
Nghiên cứu tính chất của chất hạt nhân ở mật độ và nhiệt độ hữu hạn
có tính đến bất đối xứng isospin là một vấn đề cơ bản trong vật lý hạt
nhân. Để đạt được mục đích này, người ta nghiên cứu không chỉ các trạng
thái cơ bản và kích thích của các hạt nhân thông thường mà còn nghiên
cứu những hạt nhân kích thích cao trong các va chạm hạt nhân-hạt nhân
và những hạt nhân nằm xa trạng thái bền được tạo ra bởi chùm bức xạ
ion nặng. Đến nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu lý thuyết động lực
va chạm ion nặng năng lượng trung bình [7, 14, 39]. Các nghiên cứu này
dựa trên nhiệt động lực cân bằng và tập trung vào giản đồ pha chất hạt
nhân [13, 15, 37, 111] với đặc trưng cơ bản là chuyển pha khí-lỏng ở mật
độ và nhiệt độ môi trường thấp và hệ hạt nhân thay đổi qua các biên tách
pha (binodal) và các biên không bền (spinodal) [13, 33, 94].
Những tiến bộ gần đây về thí nghiệm va chạm ion nặng sử dụng chùm
bức xạ với năng lượng lớn trên một nucleon đã dẫn đến khả năng tạo ra
10
không chỉ những hạt nhân trong giới hạn bền mà còn tạo ra các hạt nhân
Chương 1.
11
có thời gian sống ngắn có tính bất đối xứng isospin, kích thích nhiệt và bị
nén chặt. Hơn 30 năm qua, đã có nhiều cố gắng cả về thực nghiệm và lý
thuyết trong nghiên cứu các phản ứng hạt nhân từ năng lượng thấp đến
trung bình để tìm hiểu các tính chất của chất hạt nhân và phương trình
trạng thái của nó (EoS). Phương trình trạng thái của chất hạt nhân bất
đối xứng đã được khảo sát tới vùng mật độ lớn gấp năm lần giá trị mật độ
thông thường [34]. Mới đây, việc thu được chùm kích thích giàu neutron
đã mở ra một con đường nghiên cứu ở điều kiện phòng thí nghiệm những
tính chất mới về cấu trúc và động lực hạt nhân khi tỷ số giữa neutron và
proton lớn.
Các nucleon trong hạt nhân nguyên tử tương tác với nhau thông qua
hai lực, một lực hút ở tầm xa và một lực đẩy ở tầm gần. Hệ hạt nào tương
tác theo kiểu này thì đều có một chuyển pha tương tự như chuyển pha
khí-lỏng của chất lỏng van der Waals [57]. Thực tế, người ta đã thừa nhận
rằng đối với chất hạt nhân đối xứng có một chuyển pha loại một giữa pha
mật độ thấp (khí) và pha mật độ cao (lỏng) khi đạt tới một nhiệt độ tới
hạn [13, 36, 40]. Một hệ như vậy có số neutron và số proton bằng nhau,
sự đối xứng isospin cho thấy các nucleon thể hiện như một chất lỏng đơn
và có sự thay đổi không liên tục về mật độ theo áp suất của phương trình
trạng thái.
Trong trường hợp chất hạt nhân bất đối xứng, tình hình phức tạp hơn
nhiều vì có thêm một bậc tự do nữa cần khảo sát: bậc tự do isospin. Khi
đó tỷ số y = (mật độ proton)/(mật độ baryon) đóng vai trò như một tham
số trật tự. Các tính chất của chất hạt nhân bất đối xứng có vai trò quan
trọng giúp chúng ta rõ thêm nhiều vấn đề trong vật lý thiên văn, ở đó một
Chương 1.
12
hệ giàu neutron hình thành nên sao neutron và siêu sao [45, 66], trong vật
lý hạt nhân không bền, khi nghiên cứu những tính chất bức xạ và phân rã
của hạt nhân nặng giàu neutron.
Sự thành công của vật lý hạt nhân ở năng lượng thấp và trung bình đã
cho phép người ta tin rằng các nucleon và meson là những bậc tự do phù
hợp để mô tả chất hạt nhân. Đến nay, mô hình hạt nhân tương đối tính
của Walecka [90, 92, 112] đã chứng tỏ là một lý thuyết thành công nhất
trong nghiên cứu nhiều tính chất hạt nhân: như năng lượng liên kết, khối
lượng của nucleon trong môi trường, phương trình trạng thái, chuyển pha
khí-lỏng, v. v. Bên cạnh sự thành công của mô hình Walecka, Giáo sư Tiến
sỹ Khoa học Trần Hữu Phát và các cộng sự cũng đã thu được những kết
quả tốt khi sử dụng mô hình bốn-nucleon [107, 108] với các số hạng tương
tác tương tự như mô hình Nambu–Jona-Lasinio (NJL) chỉ có duy nhất một
bậc tự do nucleon nghiên cứu các tính chất của chất hạt nhân. Trong môi
trường hạt nhân, các nucleon tương tác trực tiếp với nhau tạo nên những
trạng thái liên kết đóng vai trò như các meson. Các dạng ngưng tụ của chúng (cid:104) ¯N N (cid:105), (cid:104) ¯N γµN (cid:105), và (cid:104) ¯N γµ(cid:126)τ N (cid:105) cho đóng góp chủ yếu vào tính chất
bão hòa của chất hạt nhân. Ở nhiệt độ và mật độ hữu hạn, chúng đóng
góp vào phương trình trạng thái, chuyển pha khí-lỏng và những tính chất
khác. Những lý do để sử dụng mô hình kiểu này là: Thứ nhất, những ứng
dụng mô hình vào nghiên cứu cấu trúc hạt nhân gần đây đã chỉ ra rằng mô
hình mô tả tốt các tính chất khối của hạt nhân. Thực tế, mô hình này mô
tả tốt hoặc tốt hơn bất kỳ mô hình vi mô nào đang dùng hiện nay. Thứ
hai, gần đúng trường trung bình rất phù hợp về mặt nhiệt động. Bây giờ,
Chương 1.
13
sử dụng mô hình bốn-nucleon, ta xuất phát từ hàm mật độ Lagrangian
£ = £NJL + µ ¯ψγ0ψ,
( ¯ψψ)2 − ( ¯ψγµψ)2 − γµψ)2,(1.1) ( ¯ψ £NJL = ¯ψ(i ˆ∂ − M )ψ + Gs 2 Gv 2 Gr 2 (cid:126)τ 2
trong đó: µ là thế hóa, µ = diag(µp, µn), µp,n = µB ± µI /2; µB là thế hóa
baryon, µI là thế hóa isospin; ψ là toán tử trường mô tả nucleon, M là khối
lượng thuần của nucleon, Gs, Gv, và Gr là các hằng số liên kết, (cid:126)τ là các
ma trận Pauli, γµ là các ma trận Dirac.
Thực hiện boson hóa,
(1.2) σ = ¯ψψ, ωµ = ¯ψγµψ, γµψ, (cid:126)(cid:37)µ = ¯ψ (cid:126)τ 2
hàm mật độ Lagrangian (1.1) có dạng mới
¯ψσψ − Gv ¯ψγµωµψ − Gr .(cid:126)(cid:37)µψ ¯ψγµ(cid:126)τ 2
ω2 + σ2 + (cid:126)(cid:37)2. − (1.3) £ = ¯ψ(i ˆ∂ − M + γ0µ)ψ + Gs Gv 2 Gs 2 Gr 2
Dưới đây, ta sẽ tính thế nhiệt động, tái hiện tính chất bão hòa của chất
hạt nhân, tính các đại lượng vật lý quan trọng mà thực nghiệm đã khống
chế được là khối lượng của nucleon trong môi trường và hệ số không chịu
nén của chất hạt nhân ở mật độ bão hòa, lần lượt nghiên cứu phương trình
trạng thái, cấu trúc pha của chất hạt nhân có tính đến đóng góp của bậc
tự do isospin.
Trong gần đúng trường trung bình, ta thay các toán tử trường meson
σ, ω, và (cid:37) bởi các giá trị trung bình ở trạng thái cơ bản trong chất hạt
14
Chương 1.
nhân lạnh
(cid:104)σ(cid:105) = u, (1.4) (cid:104)ωµ(cid:105) = ρBδ0µ, (cid:104)(cid:37)iµ(cid:105) = ρI δi3δ0µ.
Thay (1.4) vào (1.3) hàm mật độ Lagrangian được viết lại
(1.5) LM F T = ¯ψ{i ˆ∂ − M ∗ + γ0µ∗}ψ − U (u, ρB, ρI ),
trong đó
(1.6) M ∗ = M − Gsu,
(1.7) ρI , µ∗ = µ − GvρB − Gr
B
I
(1.8) ]. [Gsu2 − Gvρ2 τ 3 2 − Grρ2 U (u, ρB, ρI ) = 1 2
Nghiệm M ∗ của phương trình (1.6) là khối lượng nucleon hiệu dụng,
yếu tố môi trường hạt nhân đã làm thay đổi khối lượng nucleon.
Xuất phát từ (1.5) hàm phân bố chính tắc lớn của hệ được viết
X
(cid:90) (cid:90) Z = D ¯ψDψ exp (1.9) (cid:8) ¯ψ(i ˆ∂ − M ∗ + γ0µ∗)ψ − U (u, ρB, ρI )(cid:9).
Chuyển sang hình thức luận thời gian ảo, ta viết tích phân trong không
X
0
thời gian bởi (cid:90) (cid:90) β (cid:90) = dτ d3x
tích phân theo trục "thời gian ảo" τ = it chạy từ 0 đến nghịch đảo của
nhiệt độ β = 1/T và véc tơ bốn chiều trong không gian tọa độ được ký
hiệu
X ≡ (t, (cid:126)x) = (−iτ, (cid:126)x).
Chương 1.
15
Đưa vào đây các biến đổi Fourier của trường
K
K (cid:88)
(cid:88) (cid:88) e−iKXψ(K) = ei(ωnτ +(cid:126)k(cid:126)x)ψ(K), ψ(X) = 1 √ V
K
¯ψ(X) = eiKX ¯ψ(K), 1 √ V 1 √ V
với xung lượng bốn chiều
K ≡ (k0, (cid:126)k) = (−iωn, (cid:126)k),
và
K.X = k0x0 − (cid:126)k(cid:126)x = −(ωnτ + (cid:126)k(cid:126)x),
với ωn chính là các tần số Matsubara.
Từ tính chất phản tuần hoàn của toán tử trường ψ(0, (cid:126)x) = −ψ(β, (cid:126)x)
ta có
eiωnβ = −1,
do vậy, các tần số Matsubara viết cho các hạt fermion thỏa mãn
ωn = (2n + 1)πT với n ∈ Z.
X
K
Sử dụng biểu thức khai triển Fourier, ta có (cid:90) (cid:88) ¯ψ(K) ψ(K) (1.10) ¯ψ(i ˆ∂ − M ∗ + γ0µ∗)ψ = − G−1(K; u, ρB, ρI ) T
với G−1(K; u, ρB, ρI ) là nghịch đảo của hàm truyền của các hạt nucleon
viết trong không gian xung lượng
G−1(K; u, ρB, ρI ) = −γµKµ − γ0µ∗ + M ∗.
Thay biểu thức (1.10) vào (1.9), ta được
T U (u,ρB ,ρI )
(cid:90) (cid:88) ¯ψ(K) ψ(K)(cid:3) D ¯ψDψ exp (cid:2) − Z = e− V G−1(K; u, ρB, ρI ) T
T U (u,ρB ,ρI )det
K G−1(K; u, ρB, ρI ) T
= e− V
Chương 1.
16
định thức được lấy trong toàn bộ không gian vị, không gian Dirac, không
gian spin và không gian xung lượng.
Thế nhiệt động tại nhiệt độ T và thế hóa µ được viết
ln Z. Ω(T, µ) = − T V
Lấy định thức trong toàn bộ không gian Dirac, không gian vị và không
gian spin và không gian xung lượng, ta được
− /T ) + ln(1 + e−E−
+ /T )
0
(cid:20) (cid:90) ∞ k2dk ln(1 + e−E− Ω = U (u, ρB, ρI ) − T π2
−/T ) + ln(1 + e−E+
+ ln(1 + e−E+ (cid:21) + /T ) , (1.11)
với
∓ = Ek ∓ (µB − GvρB) ± (µI − GrρI )/2,
E±
là phổ năng lượng của nucleon trong chất hạt nhân
(cid:113) (cid:126)k2 + M ∗2, Ek =
là năng lượng của một nucleon.
Như đã biết, µB là thế hóa baryon hay nói cách khác là thế hóa của
các nucleon trong chất hạt nhân, từ thế nhiệt động Ω và thế hóa µB ta dễ
dàng xác định được mật độ chất hạt nhân;
µI là thế hóa isospin, nói lên bậc tự do isospin, phản ánh bất đối xứng
trong chất hạt nhân.
Như vậy, trong biểu thức của phổ năng lượng của nucleon trong chất
hạt nhân đã có đầy đủ các thành phần vật lý mà ta quan tâm.
Trạng thái vật lý mà ta quan sát được phải là trạng thái ứng với cực
tiểu của thế nhiệt động. Khác đi trạng thái cơ bản của chất hạt nhân được
Chương 1.
17
xác định bởi điều kiện cực tiểu
= 0, (1.12) ∂Ω ∂u
hay bởi phương trình khe
p + n+
p ) + (n−
n + n+
n )(cid:9) ≡ ρs,
0
(cid:90) ∞ k2dk u = (cid:8)(n− (1.13a) 1 π2 M ∗ Ek
p = n− n−
−; n+
p = n+
+; n+
n = n−
+; n−
n = n+ −;
trong đó
∓ /T + 1(cid:3)−1 chính là hàm phân bố Fermi.
∓ = (cid:2)eE±
và n±
Áp suất của hệ được xác định bởi
P = −Ωlấy tại cực tiểu.
Biểu thức của mật độ baryon và mật độ isospin được viết
p − n+
p ) + (n−
n − n+
n )(cid:9),
0 (cid:90) ∞
(cid:90) ∞ = k2dk(cid:8)(n− (1.13b) ρB =
p − n+
p ) − (n−
n − n+
n )(cid:9).
0
= k2dk(cid:8)(n− (1.13c) ρI = 1 π2 1 2π2 ∂P ∂µB ∂P ∂µI
Biểu diễn theo mật độ baryon và mật độ isospin, biểu thức của áp suất
được viết
− /T )
B
I
0
(cid:90) ∞ P = − + ρ2 ρ2 + + k2dk(cid:2)ln(1+e−E− Gr 2
+ /T )(cid:3).
Gv 2 + /T )+ln(1+e−E+ T π2 −/T )+ln(1+e−E+ (1.14) (M − M ∗)2 2Gs +ln(1+e−E−
Mật độ năng lượng E nhận được từ áp suất P bằng phép biến đổi
Legendre
p + n+
p + n−
n + n+
n ),
B
I
0
(1.15) E = Ω + T ς + µBρB + µI ρI (cid:90) ∞ = + ρ2 + ρ2 + k2dk Ek(n− Gv 2 Gr 2 1 π2 (M − M ∗)2 2Gs
Chương 1.
18
với mật độ entropy được xác định bởi
p ln n− n−
p +(1−n−
p ) ln(1−n−
p )+n+
p ln n+ p
0
(cid:20) (cid:90) ∞ ς = − k2dk 1 π2
p ) ln(1−n+
p )+n−
n ln n−
n ) ln(1−n− n )
+(1−n+
n ln n+
n +(1−n+
n +(1−n− (cid:21) n ) ln(1−n+ . n )
+n+ (1.16)
Các phương trình(1.14) và (1.15) chính là các phương trình trạng thái,
chúng chi phối mọi quá trình chuyển pha của chất hạt nhân.
Trong giới hạn nhiệt độ không, các phương trình (1.13a), (1.13b),
(1.13c), và (1.15) chuyển về dạng đơn giản
0
0
(cid:90) kF n (cid:20) (cid:90) kF p √ √ + k2dk (cid:21) , (1.17a) k2dk ρs = 1 π2 M ∗ k2 + M ∗2 M ∗ k2 + M ∗2
F p
F n
(cid:0)k3 + k3 (cid:1), (1.17b) ρB = 1 3π2
F p
F n
(cid:0)k3 − k3 (cid:1), (1.17c) ρI = 1 6π2
0
0
E = + ρ2 B + ρ2 I Gr 2 (M − M ∗)2 2Gs Gv 2 (cid:90) kF p (cid:90) kF n (1.18) + k2dk Ek + k2dk Ek, 1 π2 1 π2
Sử dụng phương pháp của Walecka [108]-[112], ta xác định các tham số
Gs và Gv ứng với chất hạt nhân đối xứng dựa trên ràng buộc của điều kiện
bão hòa: cơ chế bão hòa yêu cầu ở mật độ thông thường ρB = ρ0 (cid:39) 0.17
fm−3, năng lượng liên kết
(1.19) Ebin = −MN + E/ρB
Chương 1.
19
Hình 1.1: Sự phụ thuộc của năng lượng liên kết trên một nucleon vào mật độ ở nhiệt độ T = 0.
nằm ở giá trị cực tiểu
(Ebin)ρ0 (cid:39) −15.8 MeV.
với: MN = 939 MeV là khối lượng của nucleon trong chân không; E được
cho bởi phương trình (1.18).
Từ ràng buộc trên, với sự trợ giúp của phần mềm tính toán MATHE-
MATICA [118], tiến hành tính số, ta thu được
Gs = 13.62 fm2; Gv/Gs = 0.75.
Sử dụng các trị số nói trên của các tham số, tiến hành tính số, ta thu
được khối lượng hiệu dụng của nucleon
M ∗/MN (cid:39) 0.548,
Chương 1.
20
B
ρ0
(cid:19) (cid:39) 547.162 K0 = 9ρ2 0 và hệ số không chịu nén của chất hạt nhân đối xứng ở mật độ bão hòa (cid:18)∂2Ebin ∂ρ2
Theo kết quả phân tích tại [41, 46], trị số hệ số không chịu nén của
chất hạt nhân của mô hình này quá lớn so với dữ liệu thực nghiệm: K0 =
180 − 240 MeV.
Hình 1.1 là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng liên kết vào
mật độ baryon. Đồ thị chỉ ra rằng: có một mật độ hạt nhân ρ0 hữu hạn,
tại đó năng lượng liên kết là cực tiểu. ρ0 được gọi là mật độ bão hòa của
chất hạt nhân. Tồn tại một mật độ hạt nhân ρ0 hữu hạn, tại đó năng lượng
liên kết cực tiểu là một đặc điểm cơ bản của chất hạt nhân, phản ánh tính
chất của lực hạt nhân. Đặc điểm này phải được tái hiện lại ở bất kỳ một
mô hình hạt nhân nào mang ý nghĩa vật lý đầy đủ. Nó nói lên rằng: nếu
ta tăng dần các nucleon thành một hệ lớn các nucleon thì tới một lúc nào
đó mật độ nucleon sẽ xê dịch xung quanh một hằng số. Sở dĩ như vậy là
vì: tồn tại một khoảng cách thích hợp giữa các nucleon mà ứng với khoảng
cách đó năng lượng là cực tiểu. Theo Walecka, [90, 92, 112], tại cực tiểu
của năng lượng liên kết, áp suất P của hệ bằng 0. Khác đi, tại mật độ bão
hòa ρ0, chất hạt nhân tự liên kết, nghĩa là nó bền tại áp suất bằng 0. Cực
tiểu của năng lượng liên kết phân cách trạng thái bền với áp suất dương
(nhánh bên phải) ra khỏi trạng thái không bền với áp suất âm (nhánh bên
trái). Trong nghiên cứu các sao mật độ cao, trạng thái tự liên kết của chất
hạt nhân ngụ ý là chất hạt nhân có thể tồn tại ở bề mặt các sao, tại đó áp
suất bằng 0. Bên trong các sao, áp suất gây bởi lực hấp dẫn nén vật chất
tới mật độ cao hơn mật độ ρ0. Vật chất bị nén ở bên trong ngôi sao tự nó
Chương 1.
21
có áp suất dương để cân bằng với áp suất của lực hấp dẫn. Đây chính là
lý do để ta nói rằng: phần đường cong ứng với vùng có mật độ cao trong
Hình 1.1 có liên quan đến các ứng dụng trong vật lý học thiên thể.
Các tham số Gs và Gv được xác định từ cơ chế bão hòa đối với chất hạt
nhân đối xứng còn tham số Gr được tính từ năng lượng đối xứng của chất
hạt nhân không đối xứng.
Đối với chất hạt nhân không đối xứng, năng lượng liên kết trên mỗi
nucleon là một hàm của mật độ baryon và bất đối xứng isospin α. Biểu
thức khai triển năng lượng liên kết trên mỗi nucleon của chất hạt nhân
không đối xứng theo bất đối xứng isospin α, xung quanh điểm α = 0 trong
gần đúng parabol được viết
(1.20) Ebin(ρB, α) = Ebin(ρB, 0) + Esym(ρB)α2 + O(α4),
trong đó ρB là mật độ baryon, ρB = ρn + ρp; α = (ρn − ρp)/ρB là đại lượng
biểu thị tính bất đối xứng spin đồng vị, ρp và ρn lần lượt là mật độ proton
và neutron, đại lượng
α=0
(cid:19) (1.21) Esym(ρB) = (cid:18)∂2Ebin(ρB, α) ∂α2 1 2
được gọi là năng lượng đối xứng của chất hạt nhân.
Khai triển năng lượng đối xứng theo mật độ baryon ρB quanh điểm
ρB = ρ0
(cid:19) (cid:19)2 + ... , + Esym = a4 + L 3 Ksym 18 (cid:18)ρB − ρ0 ρ0 (cid:18)ρB − ρ0 ρ0
ở đây a4 là tham số khối trong công thức khối lượng Weiszaecker, trị số
của a4 được xác định bằng thực nghiệm: a4 = 30 − 35 MeV, L và Ksym
lần lượt là độ dốc và độ cong của năng lượng đối xứng tại mật độ bão hòa
Chương 1.
22
ρB = ρ0
ρB =ρ0
(cid:19) , (1.22a) L = 3ρ0 (cid:18)∂Esym ∂ρB
B
ρB =ρ0
(cid:19) · (1.22b) Ksym = 9ρ2 0 (cid:18)∂2Esym ∂ρ2
Dễ thấy, tại ρB = ρ0, năng lượng đối xứng Esym bằng tham số khối a4.
Ta còn có
, ρB = ρp + ρn, ρI = (ρp − ρn), α = 1 2 ρn − ρp ρB
biểu thức của năng lượng đối xứng được viết lại
B
I
ρI =0
(cid:19) · (1.23) Esym = ρ2 8 (cid:18)∂2Ebin ∂ρ2
B
(cid:19)
I
ρI =0,ρB =ρ0
Esym = Trị số của Gr được xác định sao cho (cid:18)∂2Ebin ∂ρ2 ρ2 8
bằng a4 (cid:39) 32 MeV. Tiến hành tính số, kết quả thu được là: Gr = 0.198Gs.
Đến đây, ta đã xác định được đầy đủ trị số của các tham số mô hình.
Ta cũng đã tính được trị số của hai đại lượng vật lý quan trọng mà thực
nghiệm đã khống chế được là khối lượng của nucleon trong môi trường và
hệ số không chịu nén của chất hạt nhân ở mật độ bão hòa. Bảng 1.1 liệt
kê trị số của các tham số mô hình và đại lượng vật lý của chất hạt nhân
đối xứng. Kết quả thu được từ mô hình khá phù hợp với kết quả thu được
từ mô hình Walecka.
Sử dụng trị số đã tính được của các tham số mô hình, ta tiến hành các
tính toán bằng số quá trình chuyển pha.
Chương 1.
23
Bảng 1.1: Trị số của các tham số và đại lượng vật lý
Gs (fm2)
Gv/Gs
Gr/Gs M (MeV)
K0
M ∗/MN
13.62
0.75
0.198
939
0.548
547.162
Xuất phát từ phương trình (1.14) chúng ta có được các Hình 1.2.a-1.2.d
cho họ các đường đẳng nhiệt. Các đường đẳng nhiệt này mang cấu trúc
điển hình của phương trình trạng thái van der Waals của chuyển pha khí-
lỏng. Cấu trúc này giống với cấu trúc thu được từ các lý thuyết hạt nhân
khác [30, 55], tùy thuộc vào việc lựa chọn các lực hiệu dụng như tương tác
hiệu dụng Skyrme và lý thuyết nhiệt độ hữu hạn Hartree-Fock.
Các hình vẽ cho thấy, chuyển pha khí-lỏng trong chất hạt nhân bất đối
xứng chịu ảnh hưởng mạnh của bậc tự do isospin.
Để hiểu sâu hơn về vai trò của bậc tự do isospin, ta nghiên cứu sự phụ
thuộc bất đối xứng isospin và mật độ của năng lượng liên kết, sự phụ thuộc
bất đối xứng isospin và mật độ của phương trình trạng thái, sự phụ thuộc
mật độ của năng lượng đối xứng hạt nhân. Như đã biết, hầu hết những
hiện tượng vật lý quan sát được, được xác định chủ yếu bởi thế tương tác
nucleon-nucleon trong môi trường, sự phụ thuộc bất đối xứng isospin của
phương trình trạng thái và đặc biệt là sự phụ thuộc mật độ của năng lượng
đối xứng. Sự phụ thuộc mật độ của năng lượng đối xứng có vai trò quan
trọng để hiểu không chỉ nhiều vấn đề trong vật lý hạt nhân mà còn nhiều
vấn đề tới hạn trong vật lý thiên văn.
Hình 1.3 chỉ ra sự phụ thuộc của năng lượng liên kết vào mật độ baryon
Chương 1.
24
1.2.a.
1.2.b.
1.2.c.
1.2.d.
Hình 1.2: Phương trình trạng thái ở nhiệt độ khác nhau ứng với các giá trị α xác định.
ρB và bất đối xứng isospin α. Hình 1.4 mô tả rõ hơn sự phụ thuộc mật độ
của năng lượng liên kết ứng với một vài giá trị của bất đối xứng α. Các
hình này cũng cho ta thấy sự ảnh hưởng mạnh của bất đối xứng isospin
lên mật độ bão hòa.
Bây giờ ta xác định sự phụ thuộc mật độ của năng lượng đối xứng. Từ
phương trình (1.21) ta vẽ đường cong mô tả sự phụ thuộc mật độ của năng
lượng đối xứng ở Hình 1.5. Cũng tại đó, để tiện so sánh, ta vẽ đồ thị của
các hàm E1 = 32(ρB/ρ0)0,7 và E2 = 32(ρB/ρ0)1,1.
Trực quan trên Hình 1.5, ta thấy đồ thị của Esym(ρB) sát với đồ thị của
Chương 1.
25
Hình 1.3: Sự phụ thuộc của năng lượng liên kết vào mật độ và bất đối xứng isospin α.
hàm
Esym(ρB) ≈ 32(ρB/ρ0)1,05.
Ở vùng mật độ: ρB > ρ0, ta có
E1 < Esym(ρB) < E2
biểu thức này phù hợp với kết quả phân tích trong [5, 6, 64], dựa trên dữ
liệu thực nghiệm ở [27, 69]:
Để hiểu rõ hơn tính chất của chất hạt nhân bất đối xứng, ta xét sự phụ
thuộc vào bất đối xứng isospin và mật độ chất hạt nhân của áp suất và
khối lượng nucleon hiệu dụng ở vùng mật độ cao. Hình 1.6 biểu diễn sự
phụ thuộc mật độ ρB của áp suất ở vùng mật độ cao ứng với các giá trị α
khác nhau. Vùng tô đậm biểu thị ràng buộc đặt lên áp suất hạt nhân ở mật
độ cao mô phỏng từ dữ liệu thực nghiệm thu được từ các thí nghiệm va
chạm ion nặng [34]. Kết quả cho thấy: ở mật độ cao đường cong lý thuyết
Chương 1.
26
Hình 1.4: Sự phụ thuộc của năng lượng liên kết vào mật độ ứng với một vài giá trị của α.
mô tả sự phụ thuộc của áp suất vào bất đối xứng isospin và mật độ nằm
tương đối sát với miền giá trị quan sát được từ thực nghiệm. Sự phụ thuộc
bất đối xứng isospin và mật độ của khối lượng hiệu dụng của nucleon M ∗
được biểu diễn ở Hình 1.7. Rõ ràng, ở mật độ chất hạt nhân rất cao, trị
số của khối lượng hiệu dụng M ∗ vẫn khác 0, nghĩa là: sử dụng mô hình
chất hạt nhân không chiral trong nghiên cứu tính chất của chất hạt nhân
ta không phát hiện thấy sự phục hồi đối xứng.
Tiếp theo ta xác định một vài đại lượng đáng quan tâm khác. Trước
hết, ta xét hệ số không chịu nén đẳng áp K của chất hạt nhân không đối
xứng. Tại mật độ bão hòa hạt nhân ρ0, khai triển của K theo α xung quanh
α = 0 biểu diễn đến bậc hai của α có dạng [67, 83]:
K(α) ≈ K0 + Kasyα2,
với: K0 là hệ số không chịu nén của chất hạt nhân đối xứng tại mật độ ρ0;
Chương 1.
27
Hình 1.5: Sự phụ thuộc của năng lượng đối xứng vào mật độ (đường liền nét), có so sánh với E1 = 32(ρB /ρ0)0,7 (đường chấm chấm) và E2 = 32(ρB /ρ0)1,1 (đường đứt nét).
Kasy là phần phụ thuộc vào bất đối xứng isospin[10], đặc trưng cho sự phụ
thuộc mật độ của năng lượng đối xứng hạt nhân.
Kasy ≈ Ksym − 6L.
Kasy đã được xác định từ thực nghiệm [2].
Từ các công thức (1.22a) và (1.22b), tiến hành tính số ta thu được các
đại lượng liên quan trực tiếp với năng lượng đối xứng hạt nhân như sau:
+ Độ dốc của năng lượng đối xứng hạt nhân: L = 105, 488 MeV, phù
hợp với kết quả thu được từ các thí nghiệm va chạm ion nặng và phân tích
của các mô hình khác [4, 5, 64]: 46 MeV ≤ L ≤ 111 MeV.
+ Độ cong của năng lượng đối xứng hạt nhân: Ksym = 124.826 MeV
+ Kasy = −508, 102 MeV, rất phù hợp với kết quả thu được từ nghiên
Chương 1.
28
Hình 1.6: Phương trình trạng thái của chất hạt nhân lạnh ở mật độ cao ứng với vài giá trị của α.
cứu thực nghiệm gần đây nhất [2]. Kasy = −550 ± 100 MeV.
+ K0 = 547, 162 MeV.
+ Áp suất đối xứng Psym = ρ0L/3 = 5, 78 MeV.fm−3, rất có ích cho các
nghiên cứu cấu trúc hạt nhân.
+ Biến thiên mật độ dừng ở bậc thấp nhất của bất đối xứng α
= −0, 188 f m−3. ∆ρ0(α) = − 3ρ0L K0
Bảng 1.2: Trị số của các đại lượng vật lý
a4 (MeV) L (MeV) Ksym (MeV) Kasy (MeV) Psym (MeV/fm3) ∆ρ0 (fm−3)
32
105.488
124.816
-508.102
5.978
-0.188
Trị số thu được của các đại lượng vật lý được liệt kê ở Bảng 1.2.
Chương 1.
29
Hình 1.7: Sự phụ thuộc bất đối xứng α và mật độ của khối lượng nucleon hiệu dụng M ∗.
Chuyển pha khí-lỏng trong chất hạt nhân bất đối xứng không chỉ phức
tạp hơn so với chất hạt nhân đối xứng mà còn có những tính chất mới. Sở
dĩ như vậy là vì chuyển pha trong vật chất chịu ảnh hưởng mạnh từ các
bậc tự do của nó. Nghiên cứu cấu trúc pha của chất hạt nhân với sự có
mặt của bậc tự do isospin đang là một vấn đề hấp dẫn hiện nay.
Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu cấu trúc pha của chuyển pha quen
thuộc, chuyển pha khí-lỏng ở vùng dưới mật độ bão hòa của chất hạt nhân
bất đối xứng, một trong những tính chất cơ bản của chất hạt nhân.
Ta tập trung chủ yếu vào việc nghiên cứu tính chất mới của quá trình
chuyển pha do ảnh hưởng của bất đối xứng isospin.
Trước hết, ta xét phương trình khe (1.13a) để tìm sự phụ thuộc vào thế
Chương 1.
30
1.8.a.
1.8.b.
1.8.c.
1.8.d.
Hình 1.8: Khối lượng nucleon hiệu dụng như một hàm của thế hóa µB ở nhiệt độ xác định
và các bất đối xứng α khác nhau.
hóa baryon của khối lượng nucleon trong môi trường hạt nhân ứng với bất
đối xứng isospin α và nhiệt độ khác nhau. Kết quả khảo sát cho chúng ta
các Hình 1.8.a-1.8.d và 1.9.a-1.10.b. Trực quan trên đồ thị, ta thấy rằng:
tùy thuộc vào α, khi T ≥ Tc khối lượng nucleon hiệu dụng biến đổi như một
hàm đơn trị theo thế hóa baryon nhưng ở nhiệt độ thấp hơn 0 ≤ T < Tc
khối lượng nucleon hiệu dụng biến đổi như một hàm đa trị của thế hóa µB.
Sử dụng phương pháp của Askawa và Yazaki [1], tại đó, về bản chất,
người ta đồng nhất vùng đa trị với vùng chuyển pha loại một, ta nói: trong
Chương 1.
31
1.9.a.
1.9.b.
1.9.c.
1.9.d.
Hình 1.9: Khối lượng nucleon hiệu dụng như một hàm của thế hóa µB ở bất đối xứng α
xác định và các nhiệt độ khác nhau.
vùng nhiệt độ thấp 0 ≤ T < Tc chuyển pha trong chất hạt nhân là chuyển
pha khí-lỏng loại một. Ta cũng nhận thấy có sự thay đổi của nhiệt độ tới
hạn Tc theo trị số của bất đối xứng isospin α (xem các Hình 1.2.a-1.2.d
và 1.11.a-1.11.d). Sự thay đổi của nhiệt độ tới hạn Tc theo bất đối xứng
isospin α được biểu diễn bởi đường liền nét trong Hình 1.12. Đồ thị cho
thấy, nhiệt độ tới hạn Tc giảm dần khi α tăng lên. Nhiệt độ tới hạn của
chuyển pha khí-lỏng trong chất hạt nhân bị ảnh hưởng mạnh bởi sự bất
đối xứng giữa số proton và số neutron. Điều này có thể dự đoán được vì
số neutron tăng lên làm cho bất đối xứng trong hạt nhân tăng lên và hạt
Chương 1.
32
1.10.a.
1.10.b.
Hình 1.10: Khối lượng nucleon hiệu dụng như một hàm của thế hóa µB ở bất đối xứng α
xác định và các nhiệt độ khác nhau.
nhân trở nên kém bền hơn. Quan sát Hình 1.12, so sánh kết quả thu được
từ mô hình (đường liền nét) với kết quả tính từ mô hình khí tinh thể [62]
(đường đứt nét), ta nhận thấy có sự phù hợp tốt giữa hai mô hình. Những
kết quả này cũng phù hợp với mô hình dựa trên tương tác Skyrme và lý
thuyết trường trung bình.
Một vấn đề quan trọng liên quan đến chuyển pha khí-lỏng trong chất
hạt nhân bất đối xứng là bậc chuyển pha của nó.
Theo Glendenning cũng như Muller và Serot, trong chuyển pha khí-lỏng,
không chỉ mật độ baryon mà mật độ điện tích toàn phần cũng phải được
bảo toàn. Với chất hạt nhân bất đối xứng, mật độ điện tích làm cho sự biến
đổi của các đại lượng nhiệt động trở lên mềm hơn và chuyển pha khí-lỏng
loại một trong chất hạt nhân đối xứng sẽ bị chuyển thành chuyển pha loại
hai trong chất hạt nhân bất đối xứng. Tuy nhiên, tiên đoán này vẫn đang
chờ được thẩm định bởi kết quả thực nghiệm va chạm ion nặng.
Chất hạt nhân bất đối xứng không bền về nhiệt động ở mọi mật độ,
nhiệt độ và bất đối xứng α. Điều kiện cần và đủ để chất hạt nhân bất đối
Chương 1.
33
1.11.a.
1.11.b.
1.11.c.
1.11.d.
Hình 1.11: Phương trình trạng thái ứng với nhiệt độ và α khác nhau.
xứng bền được biểu diễn ở các bất đẳng thức sau
B
> 0, (1.24)
I
B
(cid:19)2 . (1.25) > ∂2E ∂ρ2 ∂2E ∂ρ2 ∂2E ∂ρ2 (cid:18) ∂2E ∂ρB∂ρI
Đưa vào hệ số y bởi định nghĩa
y = = + = (1.26) 1 2 1 − α 2 ρp ρB ρI ρB
các điều kiện trên được viết lại ở dạng tương đương
B
T,y
T,y
B
(cid:19) (cid:19) = ρ2 > 0, (1.27) ρB (cid:18)∂2E ∂ρ2 (cid:18) ∂P ∂ρB
Chương 1.
34
Hình 1.12: Nhiệt độ tới hạn Tc như một hàm của bất đối xứng isospin α. Đường đứt nét là kết quả thu
được từ mô hình khí tinh thể isospin [62].
T,P
T,P
(cid:19) (cid:19) > 0 hoặc < 0. (1.28) (cid:18)∂µp ∂y (cid:18)∂µn ∂y
Điều kiện (1.27) ngăn cản sự không ổn định cơ học do sự gia tăng các
thăng giáng mật độ. Bất đẳng thức này là yêu cầu quen thuộc, đòi hỏi hệ
số không chịu nén đẳng nhiệt phải dương, tức là hệ bền về cơ học. Còn điều
kiện (1.28) phản ánh tính chất đặc biệt của hệ hai thành phần. Nó bảo vệ
độ bền khuếch tán do sự gia tăng neutron hóa. Hai điều kiện này có thể bị
vi phạm ở những vùng xác định trong không gian cấu hình (ρB, T, α). Sự đa
mảnh hạt nhân do sự vi phạm độ bền cơ học khác nhau: sự không bền thể
tích, sự không bền bề mặt loại Reyleigh và sự không bền Coulomb đã được
nghiên cứu rất mạnh trong mười năm trở lại đây [12, 21, 24, 47, 74, 75].
Trong phần này, ta giới hạn nghiên cứu chuyển pha khi phá vỡ tính bền
cơ học.
Chương 1.
35
Trước hết, ta xét biểu hiện của hệ số không chịu nén K. Các Hình
1.13.a-1.13.d cho thấy sự phụ thuộc của hệ số không chịu nén K vào mật
độ ở các giá trị T khác nhau ứng với giá trị α cố định. Sự không bền về
cơ học (K < 0) xuất hiện ở các mật độ trung bình, tức là ở pha pha trộn
giữa các pha khí và lỏng và ở nhiệt độ dưới nhiệt độ tới hạn. Khi hệ trở
lên giàu neutron, sự không bền cơ học bắt đầu phát triển, bởi vậy biên của
không bền cơ học co lại khi α tăng. Chẳng hạn như sự không bền cơ học
1.13.a.
1.13.b.
1.13.c.
1.13.d.
Hình 1.13: Sự phụ thuộc của hệ số không chịu nén K vào mật độ ở nhiệt độ khác nhau
với α xác định.
ở nhiệt độ T = 10 MeV sẽ dần biến mất khi α tăng từ 0 đến 0.6.
Sự phụ thuộc bất đối xứng isospin của không bền cơ học ở các nhiệt độ
cố định được nghiên cứu tỉ mỉ trong các Hình 1.14.a-1.14.d. Các kết quả
Chương 1.
36
cho thấy chất hạt nhân bền cơ học ở các mật độ thấp và cao. Ở mật độ
trung bình (chẳng hạn như ρB/ρ0 = 0.4, 0.5) hệ không bền cơ học khi α
1.14.a.
1.14.b.
1.14.c.
1.14.d.
Hình 1.14: Sự phụ thuộc mật độ của hệ số không chịu nén K ở α khác nhau với nhiệt độ
xác định.
nhỏ (chẳng hạn: α ≤ 0.2 và α ≤ 0.4 khi ρB/ρ0 = 0.4 và 0.5 tương ứng).
Khi điều kiện bền cơ học bị vi phạm thì trong hệ bắt đầu xuất hiện
chuyển pha. Các biên không bền (spinodal) trên mặt phẳng (T, ρB) được
xác định bằng phương trình
K = 0. (1.29)
Kết quả được biểu diễn trên Hình 1.15, đường liền nét ứng với chất hạt
nhân đối xứng (bất đối xứng isospin α = 0), ứng với chuyển pha khí-lỏng
Chương 1.
37
Hình 1.15: Các đường spinodal ứng với K = 0.
loại một, các đường đứt nét được vẽ ứng với các giá trị khác của α.
Về bậc của chuyển pha khí-lỏng trong chất hạt nhân bất đối xứng: ta
nhận thấy trong chuyển pha này không chỉ mật độ baryon mà cả mật độ
điện tích cũng phải được bảo toàn. Sự bảo toàn mật độ điện tích làm cho
các đại lượng nhiệt động như nhiệt độ, entropy, nhiệt dung biến đổi mềm
hơn. Bậc của chuyển pha trong chất hạt nhân bất đối xứng được kỳ vọng
là cao hơn so với chất hạt nhân đối xứng. Trong Hình 1.16, sự thay đổi
của ∂µB/∂T theo T ở áp suất cố định ứng với vài giá trị xác định của
y = (1 − α)/2 = 0.25, 0.30, 0.35, 0.40 và 0.50 (tức là α = 0.5, 0.4, 0.3, 0.2
và 0 tương ứng).
Hình trên cho thấy, khi y > 0.3 chuyển pha là loại một. Khi y ≤ 0.3
xuất hiện chuyển pha loại hai. Cả ∂µB/∂T và nhiệt độ thay đổi liên tục
trong quá trình chuyển pha, do đó nhiệt truyền cho hệ không chỉ chuyển
hệ từ lỏng thành hơi mà còn làm nóng vật chất. Chuyển pha khí-lỏng loại
Chương 1.
38
Hình 1.16: (∂µB /∂T )P như một hàm của nhiệt độ tại áp suất cố định P = 0.5 MeV/fm3 ứng với vài giá trị của y = (1 − α)/2.
một trong chất hạt nhân đối xứng có khả năng chuyển thành loại hai trong
chất hạt nhân bất đối xứng.
Các phân tích trên chỉ ra sự phụ thuộc mạnh của độ bền cơ học chất
hạt nhân vào bất đối xứng isospin. Các kết quả cũng chỉ ra rằng, sự bền
cơ học của chất hạt nhân bất đối xứng thể hiện tính bất đối xứng ở pha
lỏng (α nhỏ) kém hơn là ở pha khí. Vì phương trình trạng thái chứa số
hạng α2, nên năng lượng của chất hạt nhân bất đối xứng cũng tách thành
hai pha, một pha lỏng kém bất đối xứng hơn và một pha khí bất đối xứng
hơn chứ không phải hai pha đều có độ bất đối xứng như nhau. Khi mật độ
giảm xuống từ pha lỏng, sự bất đối xứng tăng dần lên tới một giá trị cực
đại, sau đó lại giảm xuống và chuyển sang pha khí. Giá trị bất đối xứng
cực đại là độ nhạy cho cả hai phần phụ thuộc và không phụ thuộc isospin
Chương 1.
39
của phương trình trạng thái.
Mở rộng cho đa mảnh hạt nhân: chất hạt nhân nóng được hình thành
trong vùng phản ứng sẽ nở đoạn nhiệt thành vùng không bền cơ học, ở đó
các mảnh hình thành nên các đám và các nucleon do sự tăng mạnh của
thăng giáng mật độ.
Trong các mục trước, ta đã nghiên cứu chất hạt nhân bất đối xứng
isospin, trong đó có sự tồn tại của các meson sigma, omega và rho. Trong
mục này, ta sẽ khảo sát mô hình khi có thêm sự tham gia của meson delta.
Như đã biết, sự trao đổi meson delta cùng với sự trao đổi các meson khác
cho đóng góp cơ bản vào thế thực tương tác nucleon-nucleon. Hơn nữa, sự
đóng góp của nó góp một phần quan trọng vào các điều kiện bền và các
tính chất khác của chất hạt nhân bất đối xứng. Mục đích của mục này là
khảo sát xem meson delta có cho những đóng góp đáng kể làm xuất hiện
các tính chất mới của chất hạt nhân bất đối xứng hay không.
Ta xuất phát từ hàm mật độ Lagrangian
( ¯ψψ)2 − ( ¯ψγµψ)2 − ψ)2 + ( ¯ψ(cid:126)τ ψ)2, L = ¯ψ(i ˆ∂ − M )ψ + Gs 2 Gv 2 Gr 2 ( ¯ψγµ(cid:126)τ 2 Gd 2
(1.30)
trong đó, Gd là hằng số liên kết vô hướng isospin.
Thực hiện boson hóa
ψ, (cid:126)δ = ¯ψ(cid:126)τ ψ, σ = ¯ψψ, ωµ = ¯ψγµψ, (cid:126)(cid:37)µ = ¯ψγµ (cid:126)τ 2
Chương 1.
40
ta nhận được hàm mật độ Lagrangian mới
L = ¯ψ(i ˆ∂ − M )ψ + Gs ¯ψ(cid:126)τ(cid:126)δψ − Gr (cid:126)(cid:37)µψ ¯ψγµ(cid:126)τ 2
σ2 + ω2 − δ2 + (cid:37)2. (1.31) − Gs 2 Gv 2 ¯ψσψ − Gv Gd 2 ¯ψγµωµψ + Gd Gr 2
Trong gần đúng trường trung bình, các toán tử meson σ, ω, (cid:37), và δ
được thay thế bởi các giá trị trung bình của chúng ở trạng thái cơ bản
trong chất hạt nhân lạnh
(cid:104)σ(cid:105) = u, (1.32) (cid:104)δi(cid:105) = dδi3. (cid:104)ωµ(cid:105) = ρBδ0µ, (cid:104)(cid:37)iµ(cid:105) = ρI δi3δ0µ,
Khi đó, hàm mật độ Lagrangian được viết
(1.33) LM F T = ¯ψ(cid:0)i ˆ∂ − M ∗ + γ0µ∗(cid:1)ψ − U,
với
p,n = M − Gsu ∓ Gdd,
M ∗ (1.34)
p,n = µ∗ µ∗
B
I
B
± µ∗ /2, µ∗ (1.35) = µB − GvρB,
I
µ∗ (1.36) = µI − GrρI ,
B
I
(cid:3). (1.37) U = (cid:2)Gsu2 − Gvρ2 + Gdd2 − Grρ2 1 2
Thực hiện tính toán giải tích một cách tương tự như với mục trước, ta
thu được các phương trình trạng thái
n)2
p − M ∗
p )2
B
n − M ∗ 8Gd
− /T )+ln(1+e−E−
+ /T )
−/T )+ln(1+e−E+
+ /T )(cid:3),
(M ∗ − + ρ2 + P = − ρ2 I Gv 2 Gr 2 (cid:90) ∞ + (2M − M ∗ 8Gs k2dk(cid:2)ln(1+e−E− T π2
0 +ln(1+e−E+
(1.38)
p )2
n)2
p − M ∗
n − M ∗ 8Gd p + n−
n + n+
n ),
p + n+
0
(M ∗ + + E = ρ2 B + ρ2 I Gv 2 Gr 2 (cid:90) ∞ (1.39) + (2M − M ∗ 8Gs k2dk Ek(n− 1 π2
Chương 1.
41
p +n+
p ) +
0 (cid:90) ∞
và các phương trình khe (cid:90) ∞ (n− , (n− (1.40) u = k2dk (cid:21) n +n+ n )
p +n+
p ) −
0
d = k2dk (n− , (n− (1.41) (cid:21) n +n+ n ) 1 π2 1 π2 (cid:20)M ∗ p Ep (cid:20)M ∗ p Ep M ∗ n En M ∗ n En
biểu thức của mật độ baryon và mật độ isospin
p −n+
p ) + (n−
n −n+
n )(cid:3),
0 (cid:90) ∞
(cid:90) ∞ k2dk (cid:2)(n− (1.42) ρB =
p −n+
p ) − (n−
n −n+
n )(cid:3),
0
k2dk (cid:2)(n− (1.43) ρI = 1 π2 1 2π2
p,n có biểu thức tương tự như ở mục trước.
các hàm phân bố Fermi n±
Tiến hành tính toán bằng số phương trình trạng thái và cấu trúc pha,
ta nhận thấy rằng, tại các vấn đề mà ta quan tâm nghiên cứu, việc bổ sung
meson delta vào mô hình đưa tới kết quả không khác nhiều so với các kết
quả đã trình bày ở trên, vì vậy không trình bày ở đây.
Luận án đã nghiên cứu có hệ thống các tính chất của chất hạt nhân
bất đối xứng isospin. Các kết quả nghiên cứu chính được khái quát lại như
sau:
- Đã tái hiện tính chất bão hòa của chất hạt nhân. Tuy nhiên, trị số
của hệ số không chịu nén thu được từ mô hình có giá trị cao hơn so
với thực nghiệm. Đó chính là một thiếu sót của mô hình.
- Mô tả tốt chuyển pha khí-lỏng, đặc biệt khi có sự bất đối xứng giữa
số proton và số neutron thì nhiệt độ tới hạn của chuyển pha giảm dần
khi số neutron tăng lên.
Chương 1.
42
- Sự vi phạm độ bền cơ học phụ thuộc vào bất đối xứng isospin. Chất
hạt nhân chỉ bền cơ học ở mật độ thấp hoặc cao. Ở mật độ trung
bình, hệ không bền về cơ học khi α nhỏ.
Chuyển pha khí-lỏng loại một của chất hạt nhân đối xứng đã được
khẳng định từ thực nghiệm va chạm ion nặng. Tuy nhiên, với chất hạt
nhân bất đối xứng, khi số neutron tăng lên, chuyển pha loại một dần biến
mất và thay vào đó là sự biến đổi liên tục kiểu crossover. Đây là một kết
luận quan trọng cần được chứng minh bằng thực nghiệm va chạm ion nặng
trong tương lai gần.
Hiện nay, các thí nghiệm va chạm ion nặng năng lượng cao là công cụ
mạnh tạo ra vật chất tương tác mạnh, đặc nóng, cung cấp cơ hội khám phá
các tính chất thú vị của vật chất ở điều kiện cực trị. Chính vì vậy, nghiên
cứu về chuyển pha và các tính chất của chất hạt nhân đã trở thành một
chủ đề nóng, hấp dẫn mạnh mẽ các nghiên cứu thực nghiệm và lý thuyết.
Thực nghiệm chỉ ra rằng, khi năng lượng kích thích tăng lên, biểu hiện của
các hạt nhân kích thích có thể được mô tả bới nhiệt động lực học, do đó
sử dụng các khái niệm của vật lý thống kê khi nghiên cứu chất hạt nhân
là phù hợp. Nhiều phân tích thực nghiệm cho thấy có một sự thay đổi rất
ấn tượng xảy ra trong cơ chế phản ứng khi năng lượng kích thích trên một
nucleon nằm trong khoảng E/A ∼ 2 − 5 MeV, phù hợp với chuyển pha bậc
1 hoặc bậc 2 trong chất hạt nhân [19, 20, 22, 23, 48, 81, 82, 109, 110]. Hơn
nữa, các chỉ số tới hạn rút ra từ thực nghiệm [50, 61] đặc biệt phù hợp với
các chỉ số tới hạn của chuyển pha khí-lỏng và khác biệt đáng kể so với các
43
trị số thu được từ nghiên cứu trường trung bình các hệ liên quan.
Chương 2.
44
Thực tế, chuyển pha của chất hạt nhân được nghiên cứu trong nhiều bài
báo lý thuyết [11, 31, 38, 56, 70, 76, 85, 86, 103, 104, 116]. Các công trình
nghiên cứu này dựa trên các mô hình hiện tượng luận được thiết lập trực
tiếp theo các bậc tự do của nucleon. Các mô hình hạt nhân không tương
đối tính sử dụng các dạng khác nhau của thế tương tác nucleon-nucleon
chỉ phù hợp với chất hạt nhân có năng lượng thấp, chúng thất bại khi
phản ánh các tính chất vật lý của vật chất đông đặc. Lý thuyết hạt nhân
tương đối tính của Walecka [90] đã rất thành công khi tái hiện các tính
chất vật lý của các hạt nhân nặng và trung bình. Các mô hình hạt nhân
tương đối tính khác đã và đang được phát triển và thu được nhiều kết quả
quan trọng. Tuy nhiên, tất cả các mô hình hạt nhân tương đối tính nói
trên đều có một thiếu sót nghiêm trọng, cụ thể: chúng không phản ánh đối
xứng chiral, một đối xứng hiện nay được thừa nhận là một trong những
đối xứng cơ bản của tương tác mạnh. Chuyển pha chiral trong trạng thái
vật chất đông đặc đóng vai trò quyết định trong nghiên cứu các tính chất
vật lý của các hạt nhân kích thích và cấu trúc của các sao mật độ cao và
tiến trình hình thành vũ trụ.
Gần đây đã có những tiến bộ đáng kể trong nghiên cứu chuyển pha
chiral trong chất quark trong khuôn khổ mô phỏng QCD mạng [60] và các
mô hình hiệu dụng QCD[1, 88]. Chuyển pha chiral hiện đang là một trong
những phát hiện quan trọng nhất của thực nghiệm va chạm ion nặng tương
đối tính. Ở đây, ta quan tâm tới các mô hình chất hạt nhân chiral vì chúng
có thể giải thích sự phá vỡ đối xứng chiral tự phát trong chân không và sự
phục hồi đối xứng chiral tại mật độ cao. Như đã thảo luận trong [70], mô
hình phù hợp nhất cho mục tiêu nghiên cứu tính chất vật lý của chất hạt
Chương 2.
45
nhân có thể là mô hình Nambu–Jona-Lasinio mở rộng (ENJL). Vì vậy, ta
bắt đầu từ hàm mật độ Lagrangian
[( ¯ψψ)2+( ¯ψiγ5(cid:126)τ ψ)2]− [( ¯ψγµψ)2+( ¯ψγ5γµψ)2] L = LN JL + µ ¯ψγ0ψ, Gs LN JL = ¯ψ(i ˆ∂ −m0)ψ+ 2 Gv 2
+
− ψ)2], (2.1) Gsv 2 Gr 2 [( ¯ψψ)2 + ( ¯ψiγ5(cid:126)τ ψ)2][( ¯ψγµψ)2 + ( ¯ψγ5γµψ)2] [( ¯ψγµ(cid:126)τ 2 ψ)2 + ( ¯ψγ5γµ(cid:126)τ 2
ở đây: ψ là toán tử trường, mô tả hạt nucleon; µ là thế hóa, µ = diag(µp, µn),
µp,n = µB ± µI /2; µB là thế hóa baryon, µI là thế hóa isospin; m0 là khối
lượng trần của nucleon; γµ là các ma trận chuẩn Dirac; (cid:126)τ = {τ 1, τ 2, τ 3} với
τ 1, τ 2, τ 3 là các ma trận Pauli tác dụng trong không gian isospin; Gs, Gv, Gsv
và Gr là các hằng số liên kết.
Khác biệt căn bản giữa mô hình chất hạt nhân chiral đối xứng tiệm cận
và mô hình chất hạt nhân không chiral là ở chỗ: mô hình chất hạt nhân
chiral đối xứng tiệm cận đã bao gồm đối xứng chiral.
Tiến hành boson hóa các số hạng biểu diễn tương tác trong L, cụ thể:
ta thay các toán tử ( ¯ψΓiψ)2 và ( ¯ψΓiψ ¯ψΓjψ)2 bởi
( ¯ψΓiψ)2 = 2 ¯ψΓiψ(cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105) − (cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105)2,
( ¯ψΓiψ ¯ψΓjψ)2 = ((cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105) ¯ψΓjψ)2 + ( ¯ψΓiψ(cid:104) ¯ψΓjψ(cid:105))2 − ((cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105)(cid:104) ¯ψΓjψ(cid:105))2
= (cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105)2(2 ¯ψΓjψ(cid:104) ¯ψΓjψ(cid:105)) + (2 ¯ψΓiψ(cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105))(cid:104) ¯ψΓjψ(cid:105)2
(2.2) − 3(cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105)2(cid:104) ¯ψΓjψ(cid:105)2,
2 , γ5γµ (cid:126)τ
2 } là tổ hợp của các ma trận xuất hiện trong các số hạng tương tác của LN JL, dấu ngoặc góc ký hiệu trạng
ở đây Γ = {1, iγ5(cid:126)τ , γµ, γ5γµ, γµ (cid:126)τ
thái liên kết.
Chương 2.
46
Kết hợp (2.2) với các toán tử trường boson
σ = ¯ψψ, (cid:126)π = ¯ψiγ5(cid:126)τ ψ, ωµ = ¯ψγµψ, φµ = ¯ψγ5γµψ,
ψ, ψ. (cid:126)χµ = ¯ψγ5γµ (cid:126)(cid:37)µ = ¯ψγµ (cid:126)τ 2 (cid:126)τ 2
chúng ta thu được
L = ¯ψ(i ˆ∂ − m0 + γ0µ)ψ + [Gs + Gsv(ω2 + φ2)] ¯ψ(σ + iγ5(cid:126)τ (cid:126)π)ψ
−[Gv − Gsv(σ2 + π2)] ¯ψγµ(ωµ + γ5φµ)ψ
(σ2 + π2) + (ω2 + φ2) −Gr ((cid:126)(cid:37)µ + γ5(cid:126)χµ)ψ − ¯ψγµ(cid:126)τ 2 Gs 2
+ ((cid:37)2 + χ2) − 3 Gv 2 (σ2 + π2)(ω2 + φ2). (2.3) Gr 2 Gsv 2
Về cấu trúc, chương này được bố trí như sau:
Mục 1, xác định thế nhiệt động của chất hạt nhân;
Mục 2, tiến hành kiểm tra độ tin cậy của mô hình NJL mở rộng của
chất hạt nhân chiral thiết lập ở trên qua việc khảo sát các tính chất bão
hòa của chất hạt nhân. Cụ thể: xác định các hằng số liên kết Gv, Gs, Gsv và
Gr, khối lượng thuần của nucleon m0 và tham số cắt Λ; tái hiện trạng thái
bão hòa khi mật độ chất hạt nhân đạt giá trị ρB = ρ0 (cid:39) 0.17 fm−3; chứng
tỏ có phục hồi đối xứng chiral ở mật độ cao; tính các đại lượng mà thực
nghiệm đã khống chế được là khối lượng của nucleon trong môi trường, hệ
số không chịu nén của chất hạt nhân ở trạng thái bão hòa K0;
Mục 3, khảo sát phương trình trạng thái;
Mục 4, nghiên cứu cấu trúc pha của chất hạt nhân;
Mục 5, khảo sát sự đóng góp của meson delta;
Cuối cùng là Mục 6, kết luận của chương, các kết quả nghiên cứu đã
đạt được trong chương được tóm lược lại và hướng nghiên cứu tiếp theo
Chương 2.
47
trên mô hình được đề xuất.
Trước hết, ta tính thế nhiệt động của chất hạt nhân.
Trong gần đúng trường trung bình, ta thay các toán tử trường meson
bởi các giá trị trung bình của chúng ở trạng thái cơ bản
(cid:104)σ(cid:105) = u, (cid:104)πi(cid:105) = vδi1, (cid:104)ωµ(cid:105) = ρBδ0µ,
(2.4) (cid:104)(cid:37)iµ(cid:105) = ρI δi3δ0µ, (cid:104)φµ(cid:105) = 0, (cid:104)(cid:126)χµ(cid:105) = 0,
của chất hạt nhân lạnh. Thay (2.4) vào (2.3), ta thu được
(2.5) LM F T = ¯ψ(cid:0)i ˆ∂ − M ∗ + iγ5 ˜Gsvτ1 + γ0µ∗(cid:1)ψ − U (ρB, ρI , u, v),
ở đây
(2.6) M ∗ = m0 − ˜Gsu,
B
I
± µ∗ /2, (2.7) µ∗ p,n = µ∗
I
B
µ∗ = µB − Σv = µB − [Gv − Gsv(u2 + v2)]ρB, µ∗
B
I
B
= µI − GrρI , (cid:3) (cid:2)Gs(u2 + v2) − Gvρ2 − Grρ2 + 3Gsv(u2 + v2)ρ2 U (ρB, ρI , u, v) =
I
B
= (cid:3). (2.8) − Grρ2 (cid:2) ˜Gs(u2 + v2) − 2ΣvρB + Gvρ2 1 2 1 2
với
B
)2], ξ = . ˜Gs = Gs+Gsvρ2 = Gs[1+ ξ( ρB ρ0 ρ2 0Gsv Gs
Nghiệm M ∗ của phương trình (2.6) là khối lượng hiệu dụng của nucleon,
môi trường hạt nhân đã làm giảm khối lượng của nucleon. Từ khối lượng
hiệu dụng M ∗, ta có thể rút gọn về khối lượng nucleon trong chân không.
Chương 2.
48
Xuất phát từ (2.5) hàm phân bố chính tắc lớn của hệ được viết
X
(cid:90) (cid:90) Z = D ¯ψDψ exp
(cid:8) ¯ψ(i ˆ∂ − M ∗ + γ0µ∗ + iγ5 ˜Gsvτ1)ψ − U (ρB, ρI , u, v)(cid:9). (2.9)
Chuyển sang hình thức luận thời gian ảo, ta viết tích phân trong không
X
0
thời gian bởi (cid:90) (cid:90) β (cid:90) = dτ d3x
tích phân theo trục "thời gian ảo" τ = it chạy từ 0 đến nghịch đảo của
nhiệt độ β = 1/T và véc tơ bốn chiều trong không gian tọa độ được ký
hiệu
X ≡ (t, (cid:126)x) = (−iτ, (cid:126)x).
Đưa vào đây các biến đổi Fourier của trường
K
K (cid:88)
(cid:88) (cid:88) ψ(X) = e−iKXψ(K) = ei(ωnτ +(cid:126)k(cid:126)x)ψ(K), 1 √ V
K
¯ψ(X) = eiKX ¯ψ(K), 1 √ V 1 √ V
với xung lượng bốn chiều
K ≡ (k0, (cid:126)k) = (−iωn, (cid:126)k),
và
K.X = k0x0 − (cid:126)k(cid:126)x = −(ωnτ + (cid:126)k(cid:126)x),
với ωn chính là các tần số Matsubara.
Từ tính chất phản tuần hoàn của toán tử trường ψ(0, (cid:126)x) = −ψ(β, (cid:126)x)
ta có
eiωnβ = −1,
Chương 2.
49
do vậy, các tần số Matsubara viết cho các hạt fermion thỏa mãn
ωn = (2n + 1)πT với n ∈ Z.
Sử dụng biểu thức khai triển Fourier, ta có
X
K
(cid:90) (cid:88) ¯ψ(K) ψ(K) ¯ψ(i ˆ∂ − M ∗ + γ0µ∗ + iγ5 ˜Gsvτ1)ψ = − G−1(K; ρB, ρI , u, v) T
(2.10)
với G−1(K; ρB, ρI , u, v) là nghịch đảo của hàm truyền của các hạt nucleon
viết trong không gian xung lượng
(2.11) G−1(K; ρB, ρI , u, v) = −γµKµ − γ0µ∗ + M ∗ − iγ5 ˜Gsvτ1.
Thay biểu thức (2.10) vào (2.9), ta được
T U (ρB ,ρI ,u,v)
K
(cid:90) (cid:88) Z = e− V ψ(K)(cid:3) D ¯ψDψ exp (cid:2) − ¯ψ(K) G−1(K; ρB, ρI , u, v) T
T U (ρB ,ρI ,u,v)det
= e− V · (2.12) G−1(K; ρB, ρI , u, v) T
định thức được lấy trong toàn bộ không gian vị, không gian Dirac, không
gian spin và không gian xung lượng.
Thế nhiệt động tại nhiệt độ T và thế hóa µ được viết
ln Z Ω(T, µ) = − T V
Lấy định thức trong toàn bộ không gian Dirac, không gian vị và không
gian spin và không gian xung lượng, ta có
−)(k0+ E−
−)(k0+ E+ +)
+)(k0− E+ T 4
K
(k0− E− (cid:88) ln , U (ρB, ρI , u, v)+Nf V lnZ = − T
(2.13)
Biểu thức của thế nhiệt động được viết lại
−n+ +
++E+
−n−
k +T ln n+
k +T ln n−
(cid:9), (2.14) (cid:8)E− Ω = U (ρB, ρI , u, v)+Nf (cid:90) d3k (2π)3
Chương 2.
50
ở đây Nf = 2 với chất nuclear và Nf = 1 với chất neutron,
∓ = E±
k ∓ µ∗
B
E± , (2.15a)
là phổ năng lượng của nucleon trong chất hạt nhân,
sv2,
k =
I
(cid:113) /2)2 + ˜G2 (2.15b) E± (Ek ± µ∗
và (cid:113) (cid:126)k2 + M ∗2. (2.15c) Ek =
∓ /T + 1(cid:3)−1
là năng lượng của một nucleon.
∓ = (cid:2)eE± n±
(2.16)
chính là các hàm phân bố Fermi.
Vì µ∗B có chứa µB, µ∗I có chứa µI , như vậy trong biểu thức của phổ
năng lượng của nucleon trong chất hạt nhân, hai đại lượng mà ta quan
tâm đều đã có mặt:
µB là thế hóa baryon hay nói cách khác là thế hóa của các nucleon trong
chất hạt nhân, từ thế nhiệt động Ω và thế hóa µB ta dễ dàng xác định được
mật độ chất hạt nhân;
µI là thế hóa isospin, nói lên bậc tự do isospin, phản ánh bất đối xứng
trong chất hạt nhân.
Nói cách khác, trong biểu thức của phổ năng lượng của nucleon trong
chất hạt nhân đã có đầy đủ các thành phần vật lý mà chúng ta cần.
Trạng thái vật lý mà chúng ta quan sát phải là trạng thái ứng với cực
tiểu của thế nhiệt động, vì vậy áp suất P được định nghĩa
(2.17) P = −Ωlấy tại cực tiểu
51
Chương 2.
Mật độ năng lượng toàn phần được xác định bởi phép biến đổi Legendre
của P
(2.18) E = Ω + T ς + µBρB + µI ρI ,
với ς, ρB, ρI lần lượt là mật độ entropy, mật độ baryon và mật độ isospin
được xác định bởi các biểu thức
; ; · (2.19) ς = − ρB = − ρI = − ∂Ω ∂T ∂Ω ∂µB ∂Ω ∂µI
Biểu thức của mật độ entropy được viết
− ln n−
− + (1 − n−
−) ln(1 − n− −)
(cid:2)n− ς = −Nf (cid:90) d3k (2π)3
+ ln n−
+ + (1 − n−
+) ln(1 − n− +)
+n−
− ln n+
− + (1 − n+
+n+
+ ln n+
+ + (1 − n+
+) ln(1 − n+
−) ln(1 − n+ −) +)(cid:3).
+n+ (2.20)
Thực hiện một vài biến đổi nhỏ, ta thu được biểu thức khác cho ς
I
I
−+n−
−+n+
+−1)+
+−1) (cid:21)
(cid:21) /2 /2 (n− (n+ ς =
I
I
−+n−
−+n+
+−1) −
+−1)
(cid:20)Ek −µ∗ E− k /2 (n− (n+ −
+−1) +
−+n+
+−1)
Ek +µ∗ E+ k Ek + µ∗ /2 E+ k (cid:21) (n+ (cid:26) Ek (cid:20)Ek − µ∗ E− k −+n−
−−n−
+)+(n+
+)]
(n− (cid:1)[(n− 1 E+ k −−n+
−n−
+) − E+
−n+ +)
k − T ln(n−
k − T ln(n+
(cid:90) d3k Nf (2π)3 T µI − GrρI 2 (cid:20) 1 + ˜G2 sv2 E− k − (cid:0)µB − Σv − E− (cid:27) . (2.21)
Biểu thức của mật độ baryon ρB
− − n−
+) + (n+
− − n+
+)].
(2.22) ρB = Nf (cid:90) d3k (2π)3 [(n−
Biểu thức của mật độ isospin ρI
I
I
+−1)(
−+n−
+−1)(
−+n+
/2 /2 )−(n+ )] (2.23) ρI = Nf 2 (cid:90) d3k (2π)3 [(n− Ek −µ∗ E− k Ek +µ∗ E+ k
Chương 2.
52
Trạng thái vật lý mà chúng ta quan sát phải là trạng thái ứng với cực
tiểu của thế nhiệt động, nói cách khác điều kiện để tồn tại trạng thái cơ
bản của chất hạt nhân được xác định bởi các phương trình:
= 0, = 0, = 0, = 0. (2.24) ∂Ω ∂u ∂Ω ∂v ∂Ω ∂ω0 ∂Ω ∂(cid:37)03
Tiến hành tính toán, ta thu được hệ các phương trình
I
I
−+n−
+−1) +
−+n+
/2 /2 (n− (n+ , u = Nf (cid:21) +−1) (cid:90) d3k (2π)3 M ∗ Ek
−+n−
+− 1)+
−+n+
+−1)(cid:9)
B
)v (n− (n+ v = −Nf (Gs+Gsvρ2 (cid:20)Ek − µ∗ E− k (cid:90) d3k (2π)3 (cid:8) 1 E− k Ek + µ∗ E+ k 1 E+ k
thường được gọi là hệ phương trình khe và biểu thức đã tính được ở trên
của ρB
− − n−
+) + (n+
− − n+
+)(cid:9).
(cid:8)(n− ρB = Nf (cid:90) d3k (2π)3
Theo lý thuyết chuyển pha của Landau [65] thì u và v được gọi là hai
thông số trật tự. Nếu trị số của chúng bằng 0, hệ ta xét nằm trong pha
đối xứng, nếu trị số của chúng khác không, hệ ta xét nằm trong pha phá
vỡ đối xứng. Như vậy, nếu hệ phương trình trên cho các nghiệm u, v khác
không, ta có phá vỡ đối xứng tự phát, nếu hệ phương trình trên chỉ cho
nghiệm tầm thường u = v = 0 thì phá vỡ đối xứng không xảy ra. Phát
hiện thấy có phá vỡ đối xứng tự phát là phát hiện thấy có chuyển pha từ
pha đối xứng sang pha không đối xứng. Như vậy, việc giải hệ phương trình
khe cho ta biết có xảy ra chuyển pha hay không.
Quay trở lại với biểu thức (2.18), thực hiện một vài biến đổi, ta thu
được
B
I
I
I
+ − 1)+
+− 1)(cid:3).
−+n−
−+n+
E = ] + Grρ2 1 2 /2 (n− (n+ + Nf [ ˜Gs(u2 − v2) + Gvρ2 (cid:90) d3k (cid:2)Ek −µ∗ /2 (2π)3 Ek E− k Ek +µ∗ E+ k
Chương 2.
53
Kết hợp lại, ta thu được các biểu thức xác định mật độ baryon ρB và
mật độ isospin ρI
+) + (n+
−−n+
+)(cid:3),
µ∗ I 2
−−n− µ∗ I 2
(cid:2)(n− (2.25a) ρB = Nf
−+n−
+−1)−
−+n+
+−1)(cid:3), (2.25b)
(n− (n+ ρI = Nf 2 (cid:90) d3k (2π)3 (cid:90) d3k (2π)3 Ek + E+ k (cid:2)Ek − E− k
µ∗ I 2
µ∗ I 2
hệ các phương trình khe
−+n−
+−1)+
−+n+
+−1)(cid:3) (2.25c)
(n− (n+ u = Nf (cid:90) d3k (2π)3
−+n−
+−1) +
−+n+
+−1)(cid:3),(2.25d)
(n− (n+ v = −Nf ˜Gsv M ∗ Ek (cid:90) d3k (2π)3 Ek + E+ k 1 E+ k (cid:2)Ek − E− k (cid:2) 1 E− k
hệ các phương trình trạng thái
I
B
I
I
−+n−
−+n+
+ − 1)+
+− 1)(cid:3),
E = ] (2.25e) + Grρ2 1 2 /2 (n− (n+ + Nf Ek +µ∗ E+ k
B
I
] P = − − Grρ2 1 2
−n−
+ + E+
−n+ +
k + T ln n−
k + T ln n+
(cid:8)E− (cid:9). (2.25f) − Nf [ ˜Gs(u2 − v2) + Gvρ2 (cid:90) d3k (cid:2)Ek −µ∗ /2 (2π)3 Ek E− k [ ˜Gs(u2 + v2) − 2ΣvρB + Gvρ2 (cid:90) d3k (2π)3
và biểu thức của năng lượng đối xứng
I
· (2.26) Esym = ρB 2 ∂2E ∂ρ2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)ρI =0
∓ có chứa các đại lượng vật lý T, µB, µI
Chú ý là trong biểu thức của n±
và M ∗, cho nên trong biểu thức của u và v có chứa các đại lượng vật lý
T, µB, µI và M ∗. Nói cách khác, u và v đã được biểu diễn qua các đại lượng
vật lý.
Trong mô hình này, biểu thức của u và biểu thức của v có vai trò rất
quan trọng:
Chương 2.
54
Trị số của u gắn liền với giá trị trung bình của trường sigma, là ngưng
tụ của hạt meson σ nói lên đối xứng chiral. Khi u = 0 thì đối xứng chiral
được bảo toàn, không bị phá vỡ, khi u khác không thì đối xứng chiral bị
phá vỡ tự phát, nghĩa là có chuyển pha từ pha đối xứng chiral sang pha
phá vỡ đối xứng chiral. Một trong những vấn đề rất quan trọng của vật
lý trong đó có vật lý hạt nhân là ở mật độ cao, đối xứng chiral trong chất
hạt nhân bị phá vỡ như thế nào? Nói cách khác, biểu hiện của u phụ thuộc
vào µB và µI như thế nào? Nếu chất hạt nhân ở mật độ càng cao thì trị số
của u càng lớn hay càng nhỏ?
Trị số của v bằng giá trị trung bình của trường pion, là ngưng tụ của
hạt meson π nói lên bất đối xứng trong chất hạt nhân. Nếu ta biểu diễn
được trên đồ thị (tính số được) sự phụ thuộc của v vào µB và µI thì ta có
thể biết được ứng với mỗi cặp giá trị cụ thể của µB và µI thì biểu hiện của
v sẽ như thế nào.
Lưu ý là trị số của các hằng số liên kết Gv, Gs, Gsv và Gr, khối lượng
thuần của nucleon m0... sẽ được xác định nhờ các điều kiện ràng buộc lấy
từ thực nghiệm và cơ chế bão hòa của chất hạt nhân. Sau khi Gv, Gs, Gsv
và Gr và khối lượng thuần của nucleon m0... đã được xác định thì u và v
chỉ còn là hàm số của ba biến số µB, µI và T , nghĩa là ta có hai hàm số và
mỗi hàm số là hàm của ba biến số,
u = u(µB, µI , T )
v = v(µB, µI , T ).
Ta phải tính số để mô tả sự phụ thuộc của u và v vào ba biến số µB, µI
và T đó.
Chương 2.
55
Trước hết, ta tiến hành kiểm tra độ tin cậy của mô hình chất hạt
nhân chiral thiết lập ở trên qua việc tái hiện lại các tính chất bão hòa của
chất hạt nhân đối xứng. Cụ thể, ta xác định các hằng số liên kết Gv, Gs,
khối lượng thuần của nucleon m0, tham số cắt Λ; chứng tỏ sự tồn tại trạng
thái bão hòa trong chất hạt nhân khi mật độ chất hạt nhân đạt giá trị
ρB = ρ0 (cid:39) 0.17 fm−3; chỉ ra sự phục hồi đối xứng chiral ở mật độ cao;
tính các đại lượng mà thực nghiệm đã khống chế được là khối lượng của
nucleon trong môi trường và hệ số không chịu nén của chất hạt nhân ở
trạng thái bão hòa.
Khảo sát chất hạt nhân đối xứng, nghĩa là, ta giả thiết: v = 0, khối
lượng và thế hóa của proton và neutron giống hệt nhau. Việc đồng nhất
thế hóa µp và thế hóa µn cũng có nghĩa là ta giả thiết thế hóa isospin
µI = 0. Tương ứng, tương tác giữa các nucleon được coi là đối xứng, nghĩa
là các tương tác nn, np, pp là đồng nhất. Biểu thức của mật độ baryon và
mật độ isospin của chất hạt nhân được viết
(cid:90) d3k (2.27a) ρB = 2Nf (2π)3 (n− − n+),
(2.27b) ρI = 0,
phương trình khe
(2.27c) u = ρs = 2Nf (n− + n+ − 1), (cid:90) d3k (2π)3 M ∗ Ek
Chương 2.
56
và các phương trình trạng thái
B
(cid:90) d3k + ρ2 (2.27d) E = + 2Nf (2π)3 Ek(n−+n+− 1), (m0− M ∗)2 2 (cid:101)Gs
B
B
− ρ2 P = − +(µB − µ∗ )ρB −2Nf Gv 2 Gv 2 (m0− M ∗)2 2 (cid:101)Gs
(cid:90) d3k (2π)3 [Ek + T ln(n−n+)], (2.27e)
với
và n∓ = [eE∓/T + 1]−1 E∓ = Ek ∓ (µB − Σv).
Các phương trình trạng thái (2.27d) và (2.27e) nói trên chi phối toàn
bộ quá trình chuyển pha trong chất hạt nhân đối xứng.
Trong giới hạn nhiệt độ không, ta cho T → 0 và tiến hành xác định các
biểu thức tương ứng của ρB và u.
Từ biểu thức
(cid:112) Ek =
2 − M ∗2 dEk
k2 + M ∗2 ⇒ Ek dEk = k dk (cid:113) k2dk = kEk dEk = Ek Ek
Đặt
EkF = (µB − Σv)
Ta có
E∓ = Ek ∓ (µB − Σv) = Ek ∓ EkF
Xét các biểu thức
T + 1
= n∓ = 1 Ek∓EkF 1 eE∓/T + 1 e
Ta có
T →0
T →0
lim (n− − n+) = lim (n− + n+) = θ(EkF − Ek),
Chương 2.
57
với θ(EkF − Ek) là hàm bậc thang
1 khi Ek ≤ EkF θ(EkF − Ek) =
0 khi Ek > EkF
Xét phương trình (2.27a)
(cid:90) ∞
−∞
ρB = 2Nf d3k (2π)3 (n− − n+).
Vì biểu thức dưới dấu tích phân chỉ phụ thuộc vào biến số k, ta đổi phép
lấy tích phân trong hệ tọa độ Descartes sang phép lấy tích phân trong hệ
tọa độ cầu
−∞
0
0
0
0
(cid:90) ∞ (cid:90) ∞ (cid:90) π (cid:90) 2π (cid:90) ∞ d3k = k2dk sin θdθ dϕ = 4π k2dk.
Vì vậy, khi khảo sát trong giới hạn nhiệt độ không, ta có
2 − M ∗2θ(EkF − Ek) dEk
0
0 (cid:90) EkF
(cid:90) ∞ (cid:90) ∞ (cid:113) k2dk(n− − n+) = Ek Ek ρB = Nf π2
2 − M ∗2 dEk.
0 √
(cid:113) = Ek Ek Nf π2 Nf π2
của tích phân Vì Ek =
k2 + M ∗2, do vậy, tương ứng với cận trên EkF theo biến số Ek ở trên, khi ta quay về lấy tích phân theo biến số k thì cận
trên của tích phân lúc này là kF thỏa mãn
2 + M ∗2
(cid:113) kF EkF =
kF và EkF chính là xung lượng và năng lượng Fermi.
3
Biểu thức của ρB khi tiến hành lấy tích phân theo biến số k là
(cid:90) kF
0
k2dk = Nf ρB = Nf π2 kF 3π2 ·
Chương 2.
58
Xét phương trình khe (2.27c), ta có
0
0
(cid:90) ∞ (cid:90) kF √ √ k2dk − k2dk. u = Nf π2 Nf π2 M ∗ k2 + M ∗2 M ∗ k2 + M ∗2
Chú ý là ở đây, khi xung lượng k tăng đến vô cực thì tích phân thứ hai
ở vế phải phân kỳ, vì vậy ta phải dùng một tham số cắt Λ để hạn chế xung
lượng lại. Về mặt vật lý, khi xung lượng có giá trị Λ nhỏ hơn hoặc bằng
400 MeV thì ta có thể coi hạt nhân chỉ cấu tạo từ các hạt nucleon là đúng,
còn nếu xung lượng đạt giá trị Λ lớn hơn 400 MeV thì khi đó phải tính
đến cấu trúc bên trong của các nucleon, tức là phải tính đến các bậc tự do
quark.
Sử dụng tham số cắt Λ biểu thức của u được viết
0
0
(cid:90) Λ (cid:90) kF √ √ u = k2dk − k2dk. Nf π2 Nf π2 M ∗ k2 + M ∗2 M ∗ k2 + M ∗2
Tương tự, ta có
B
0
0
E = + ρ2 Gv 2 (m0− M ∗)2 2 (cid:101)Gs (cid:90) Λ (cid:90) kF (cid:112) (cid:112) + k2+M ∗2 − k2dk k2+M ∗2 k2dk Nf π2 Nf π2
F
Kết hợp lại, ta được
(2.28a) ρB = Nf
√ u = − (2.28b) k2dk k3 3π2 , (cid:90) Λ Nf π2
B
kF (m0− M ∗)2 2 (cid:101)Gs
kF
(cid:90) Λ (cid:112) E = + ρ2 − k2+M ∗2 (2.28c) k2dk M ∗ k2+M ∗2 Gv 2 Nf π2
Lưu ý là cho tới tận bây giờ, mô hình mà ta thiết lập ở trên vẫn chưa
được sử dụng một cách định lượng vì ta chưa xác định giá trị số của các
Chương 2.
59
hằng số liên kết. Sử dụng phương pháp đã được phát triển ở tài liệu [70],
ta tiến hành xác định giá trị số của các hằng số Gs, Gv, ξ, khối lượng thuần
của nucleon m0 và tham số cắt Λ dựa vào các ràng buộc sau:
Trong chân không, ρB = 0, kF = 0, khối lượng hiệu dụng M ∗ của nucleon
phải trùng với khối lượng của nucleon: MN = 939 MeV
(2.29) MN = m0 − ˜Gsuvacuum,
với uvacuum thỏa mãn phương trình khe (2.28b) lấy tại ρB = 0 và kF = 0;
Sử dụng phương trình lấy từ lý thuyết hạt cơ bản
πf 2
π = m0|uvacuum|,
m2 (2.30)
ở đây mπ = 138M eV là khối lượng của pion và fπ = 93M eV là hằng số
phân rã pion trong chân không;
Cơ chế bão hòa đòi hỏi khi mật độ chất hạt nhân đạt giá trị ρB = ρ0 (cid:39)
0.17f m−3 thì năng lượng liên kết
(2.31) Ebin = −MN + E ρB
nằm ở giá trị cực tiểu
(Ebin)ρ0 (cid:39) −15.8 MeV
với E được xác định bởi phương trình (2.28c).
Từ các ràng buộc trên, với sự trợ giúp của phần mềm tính toán MATH-
EMATICA [118], tiến hành tính số, ta thu được
ξ = 0.032, m0 = 41.264 MeV, Gs = 8.507 f m2,
và Λ = 400 MeV, Gv/Gs = 0.933
Chương 2.
60
Bảng 2.1: Trị số của các tham số và các đại lượng vật lý
Mô hình
Λ
Gs
m0
chất hạt nhân
(MeV)
ξ
(fm2) Gv/Gs Gr/Gs
K0
(MeV) M ∗/MN
Không chiral
13.62
0.75
0.198
0.548
547.162
Chiral đối xứng
tiệm cận
400
8.507
0.933
0.417
0.032
41.264
0.684
285.91
chính là bộ tham số của mô hình.
Sử dụng bộ tham số ở trên, tiến hành tính số, ta thu được khối lượng
của nucleon trong môi trường,
(cid:39) 0.684 M ∗ MN
hệ số không chịu nén của chất hạt nhân ở trạng thái bão hòa
ρo
B
(cid:1) (cid:39) 285.91MeV K0 = 9ρ2 0 (cid:0)∂2Ebin ∂ρ2
Kết quả phân tích trong [46] chỉ ra rằng, trị số khối lượng của nucleon
trong môi trường và hệ số không chịu nén của chất hạt nhân thu được ở
trên rất phù hợp với kết quả thu được từ thực nghiệm
K0 = 180 − 240 MeV
và phù hợp với số liệu thực nghiệm hơn trị số thu được từ một công trình
nghiên cứu công bố gần đây [41].
Như vậy, từ mô hình, ta đã thu được các giá trị rất đẹp của hai đại
lượng vật lý quan trọng mà thực nghiệm đã khống chế được là khối lượng
của nucleon trong môi trường và hệ số không chịu nén của chất hạt nhân,
phù hợp tốt với mong đợi của các nhà vật lý ở tài liệu [93].
Chương 2.
61
Hình 2.1: Năng lượng liên kết hạt nhân là một hàm của mật độ baryon.
Bảng 2.1 liệt kê các trị số đã tính toán được của các tham số và các đại
lượng vật lý có liên quan của mô hình chất hạt nhân không chiral và mô
hình chất hạt nhân chiral đối xứng tiệm cận.
Hình 2.1 là đồ thị mô tả sự phụ thuộc của năng lượng liên kết hạt nhân
vào mật độ baryon. Đường liền nét là đồ thị ứng với mô hình chất hạt
nhân chiral đối xứng tiệm cận. Đường đứt nét là đồ thị ứng với mô hình
chất hạt nhân không chiral. Nhìn vào đồ thị, ta thấy, khi mật độ chất hạt
nhân đạt giá trị ρ0 (cid:39) 0, 17 fm−3 thì năng lượng liên kết hạt nhân đạt giá
trị cực tiểu là E0 (cid:39) −15, 8 MeV, phù hợp với kết quả thu được từ mô hình
vật lý khác [90]. Khác đi, ta đã tái hiện thành công tính chất bão hòa, mô
tả một cách rõ ràng một đặc điểm cơ bản của chất hạt nhân.
Đến đây, ta đã tái hiện thành công tính chất bão hòa của chất hạt nhân,
Chương 2.
62
tính được khối lượng của nucleon trong môi trường và hệ số không chịu
nén của chất hạt nhân. So sánh kết quả thu được với thực nghiệm, ta thấy
rằng: các mô hình thiết lập ở trên là hợp lý, phù hợp với các mô hình tốt
khác. So sánh kết quả thu được từ hai mô hình với nhau và so sánh với
kết quả thu được từ thực nghiệm, ta thấy mô hình chất hạt nhân chiral
đối xứng tiệm cận cho kết quả sát với kết quả thực nghiệm hơn. Trên Hình
2.1, đường cong mô tả sự phụ thuộc của năng lượng liên kết vào mật độ
baryon của mô hình chất hạt nhân chiral đối xứng tiệm cận cũng mềm
hơn đường cong tương ứng của mô hình chất hạt nhân không chiral. Như
vậy, khi nghiên cứu tính chất của chất hạt nhân, so với việc sử dụng mô
hình chất hạt nhân không chiral thì sử dụng mô hình chất hạt nhân chiral
đối xứng tiệm cận cho ta các kết quả phản ánh sát với tính chất của chất
hạt nhân thực hơn. Nói cách khác, khi nghiên cứu tính chất của chất hạt
nhân, ta không thể không tính đến các đóng góp của đối xứng chiral.
Như vậy, sau khi xác định các hằng số liên kết, khối lượng thuần của
nucleon, tái hiện tính chất bão hòa của chất hạt nhân ở mật độ thông
thường ρB = ρ0 (cid:39) 0, 17f m−3, ta đã tính được các đại lượng vật lý quan
trọng mà thực nghiệm đã khống chế được là khối lượng của nucleon trong
môi trường và hệ số không chịu nén của chất hạt nhân. Nói cách khác, ta
đã hoàn thành việc kiểm tra độ tin cậy của mô hình chất hạt nhân chiral
vừa thiết lập. Kết quả kiểm tra cho thấy, mô hình mà ta đưa ra là đáng tin
cậy, phù hợp với các mô hình tốt khác. Ta chuyển sang nghiên cứu phương
trình trạng thái của chất hạt nhân.
Chương 2.
63
Xuất phát từ hệ thức
P = −Ωlấy tại cực tiểu,
tiến hành tính số, ta vẽ một họ các đường đẳng nhiệt mô tả phương trình
Hình 2.2: Phương trình trạng thái của chất hạt nhân ứng với các giá trị nhiệt độ
khác nhau. ABC là đường spinodal.
trạng thái (EoS) của chất hạt nhân đối xứng (Hình 2.2).
Chúng mang cấu trúc điển hình của phương trình trạng thái van der
Waals của chuyển pha khí-lỏng giống với cấu trúc thu được từ các lý thuyết
hạt nhân khác [30, 55], tùy thuộc vào việc lựa chọn các lực hiệu dụng như
tương tác hiệu dụng Skyrme và lý thuyết nhiệt độ hữu hạn Hartree-Fock
[55]. Đường ABC chính xác là đường phân cách (spinodal) định ranh giới
Chương 2.
64
T
điều kiện không bền, (cid:19) < 0. (cid:18) ∂P ∂ρB
Phần của các đường đẳng nhiệt nằm dưới trục hoành thỏa mãn điều
kiện này có áp suất âm tương ứng với các trạng thái giả bền (metastable
states) [65]. Giao của các đường đẳng nhiệt với trục hoành và nằm bên
phải của AB chính là các trạng thái tự liên kết của chất hạt nhân đối xứng
tại nhiệt độ và mật độ khác nhau.
Tiếp theo, ta nghiên cứu sự phụ thuộc bất đối xứng isospin và mật độ
của năng lượng liên kết hạt nhân và phương trình trạng thái; sự phụ thuộc
mật độ của năng lượng đối xứng hạt nhân và các đại lượng có liên quan
của chất hạt nhân không đối xứng. Gần đây, nhiều thiết bị phát tia phóng
xạ được lắp đặt trên thế giới, như FAIR/GSI ở Đức, SPIRAL2/GANIL ở
Pháp, RIB/RIKEN ở Nhật Bản v...v... Nhiều nghiên cứu thực nghiệm sử
dụng các chùm tia phóng xạ với các proton và neutron có năng lượng cao
nhằm khám phá vai trò của bất đối xứng isospin trong chất hạt nhân. Kết
quả quan sát được cho thấy, các đại lượng vật lý được xác định bởi thế
tương tác nucleon-nucleon trong môi trường và sự phụ thuộc mật độ của
năng lượng đối xứng hạt nhân. Sự phụ thuộc mật độ của năng lượng đối
xứng hạt nhân đóng vai trò quyết định trong việc giúp ta hiểu rõ không
chỉ các vấn đề quan trọng trong vật lý hạt nhân [3, 9, 34] mà còn nhiều
bài toán tới hạn khác trong vật lý học các thiên thể [28, 95]. Tuy nhiên,
cho đến hiện nay vẫn chưa có một khảo sát quy mô nào về vấn đề trên cả
trong lý thuyết hạt nhân không tương đối tính [6, 18, 35, 117] và lý thuyết
hạt nhân tương đối tính [53, 54, 77, 98, 99, 101, 108].
Chương 2.
65
Xét trường hợp các hạt meson có các ngưng tụ:
(cid:104)σ(cid:105) = u, (cid:104)πi(cid:105) = 0, (cid:104)ωµ(cid:105) = ρBδ0µ, (cid:104)(cid:37)µi(cid:105) = ρI δ0µδi3.
(cid:104)φµ(cid:105) = 0, (cid:104)(cid:126)χµ(cid:105) = 0.
+−1) + (n+
−+n+
−+n−
(n− , (2.32) u = Nf Từ (2.25), (2.26), thực hiện một vài tính toán, ta thu được (cid:21) (cid:20) +−1) (cid:90) d3k (2π)3 M ∗ Ek
−−n−
+) + (n+
(cid:20) (n− , (2.33) ρB = Nf (cid:21) −−n+ +)
−+n−
+−1) − (n+
−+n+
(cid:20) (n− . (2.34) ρI = (cid:21) +−1) (cid:90) d3k (2π)3 (cid:90) d3k (2π)3 Nf 2
Biểu diễn áp suất P theo mật độ baryon (2.33), ta có
B
I
B
P = − + − ρ2 ρ2 + (µB − µ∗ )ρB
−n−
+) + T ln(n+
−n+
+)(cid:3)
(2.35) Gv Gr 2 2 (cid:2)2Ek + T ln(n− −Nf (m0 − M ∗)2 2 ˜Gs (cid:90) d3k (2π)3
tương tự, biểu thức của mật độ năng lượng được viết
B
I
E = + ρ2 + ρ2 Gr 2
− + n−
+ − 1) + (n+
− + n+
+ − 1)
(m0 − M ∗)2 2 ˜Gs (cid:90) d3k Gv 2 (cid:20) (n− (2.36) (cid:21) , + Nf (2π)3 Ek
∓ có chứa các đại lượng vật lý T, µB, µI và M ∗, vì vậy trong biểu thức của u đã có chứa các đại lượng vật lý T, µB, µI và M ∗,
Trong biểu thức của n±
nói cách khác: u đã được biểu diễn qua các đại lượng vật lý.
Từ (2.35) và (2.36), ta có
B
1. Năng lượng đối xứng hạt nhân
I
(2.37) Esym = ρ2 8 ∂2Ebin ∂ρ2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)ρI =0
66
Chương 2.
2. Hệ số không chịu nén của chất hạt nhân [90]
(2.38) , K(ρB, α) = 9
· ∂P ∂ρB với α là bất đối xứng isospin: α = ρn−ρp ρB
Trong giới hạn nhiệt độ không, các phương trình (2.32) - (2.38) được
viết lại
kFp
kFn
(cid:21) (cid:20) (cid:90) Λ (cid:90) Λ u = − k2dk k2dk (2.39) + , 1 π2 M ∗ Ek M ∗ Ek
Fp
Fn
(2.40) (cid:2)k3 + k3 (cid:3), ρB =
Fp
Fn
(2.41) (cid:3), (cid:2)k3 − k3 ρI = 1 3π2 1 6π2
và
B
I
kFp
kFn
(cid:21) (cid:20)(cid:90) Λ (cid:90) Λ E = + ρ2 + ρ2 − .(2.42) k2dkEk + k2dkEk Gv 2 Gr 2 1 π2 (m0 − M ∗)2 2 ˜Gs
Trị số của các hằng số liên kết Gv, Gs, tham số cắt Λ, ξ và khối lượng
thuần m0 của nucleon đã được xác định ở trên cho chất hạt nhân đối xứng
và được liệt kê trong Bảng 2.1. Tương tự như ở Chương 1, hằng số liên kết
Gr được tính từ năng lượng đối xứng của chất hạt nhân không đối xứng.
Trị số của Gr được xác định sao cho
B
(cid:19)
I
ρI =0,ρB =ρ0
Esym = = a4 = 32 MeV ρ2 8 (cid:18)∂2Ebin ∂ρ2
Tiến hành tính số, ta thu được: Gr = 0.417Gs.
Đến đây, tất cả các tham số mô hình đã được xác định. Sử dụng bộ
tham số này, ta tiến hành khảo sát sự phụ thuộc vào bất đối xứng isospin
và mật độ của năng lượng liên kết chất hạt nhân không đối xứng.
Chương 2.
67
Hình 2.3 biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng liên kết Ebin(ρB, α) vào
mật độ ρB/ρ0 và bất đối xứng isospinα được vẽ trong không gian ba chiều.
So sánh với kết quả thu được ở Chương 1 (Hình 1.3) thì độ cong của Hình
2.3 nhỏ hơn, hệ số không chịu nén của chất hạt nhân thu được ở mô hình
này cũng bé hơn (Bảng 2.1). Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của năng lượng liên
kết vào mật độ hạt nhân thu được từ mô hình này cũng mềm hơn (Hình
2.1) cho thấy vai trò quan trọng không thể thiếu của đối xứng chiral trong
nghiên cứu tính chất chất hạt nhân. Hình 2.4 mô tả sự phụ thuộc mật độ
của năng lượng liên kết Ebin(ρB, α) tại một vài giá trị của α. So sánh với
kết quả thu được từ mô hình (Hình 2.4) với kết quả thu được từ phương
pháp tương đối tính Brueckner-Hatree-Fock không tính đến/ có tính đến
sự phụ thuộc xung lượng của năng lượng riêng [54] (Hình 2.5), ta thấy các
đường cong ứng mô hình chất hạt nhân chiral ta thiết lập mềm hơn và sự
Hình 2.3: Năng lượng liên kết phụ thuộc vào mật độ và bất đối xứng isospin.
phụ thuộc vào bất đối xứng isospin của mật độ bão hòa là đủ mạnh.
Chương 2.
68
Hình 2.4: Năng lượng liên kết của chất hạt nhân không đối xứng thu được từ mô hình chiral đối xứng
tiệm cận.
Bây giờ, ta xét tới năng lượng đối xứng hạt nhân. Như mọi người đều
biết, bên cạnh những ràng buộc rút ra từ các phát hiện trong vật lý học
thiên thể [96] ta còn có những phát hiện quan trọng rút ra từ thực nghiệm
[68] về các yếu tố ảnh hưởng tới biểu hiện của năng lượng đối xứng hạt
nhân tại mật độ xung quanh và vượt quá mật độ bão hòa. Tuy nhiên, tiên
đoán về biểu hiện của năng lượng đối xứng hạt nhân tại mật độ vượt quá
mật độ bão hòa ở các mô hình khác nhau tương đối khác nhau [5]. Có thể
nói, tiên đoán rút ra từ mô hình chất hạt nhân chiral thiết lập ở trên sẽ
đưa tới cách nhìn thấu đáo hơn về vấn đề này. Sử dụng các phương trình
(2.32), (2.33), (2.34) và (2.37) tiến hành tính số với sự trợ giúp của phần
mềm tính toán MATHEMATICA [118] ta thu được Hình 2.6 mô tả sự phụ
thuộc mật độ của năng lượng đối xứng hạt nhân (đường liền nét). Cũng
Chương 2.
69
Hình 2.5: Năng lượng liên kết của chất hạt nhân không đối xứng theo tính toán tương
đối tính Brueckner-Hartree-Fock (tham khảo từ [54]).
trong Hình 2.6, để tiện so sánh, ta vẽ đồ thị của các hàm E1 = 32(ρB/ρ0)0.7 (đường chấm chấm) và E2 = 32(ρB/ρ0)1.1 (đường đứt nét).
Rõ ràng là:
+ Xung quanh và dưới mật độ bão hòa hạt nhân, hình vẽ rút ra từ mô
hình chất hạt nhân chiral đối xứng tiệm cận rất gần với hình vẽ tiên đoán
bởi Brueckner-Hartree-Fock [119].
+ Dáng điệu của Esym ở mật độ cao hơn mật độ bão hòa về cơ bản phù
hợp với các phân tích tại [4, 5, 6]:
E1 < Esym < E2 với ρ0 < ρB < 2ρ0 và ρB > 3ρ0,
Esym > E2 > E1 với 2ρ0 < ρB < 3ρ0.
Một vấn đề quan trọng nữa cần nghiên cứu trong mục này là sự phụ
thuộc bất đối xứng isospin và mật độ của phương trình trạng thái. Hình
2.7 biểu diễn phương trình trạng thái của chất hạt nhân lạnh ở mật độ
Chương 2.
70
Hình 2.6: Sự phụ thuộc ρB /ρ0 của Esym (đường liền nét), E1 = 32(ρB /ρ0)0.7 (đường chấm chấm), và E2 = 32(ρB /ρ0)1.1 (đường đứt nét).
baryon cao tại bất đối xứng isospin khác nhau. Ở đó, vùng tô đậm biểu
thị ràng buộc đặt lên áp suất của chất hạt nhân ở mật độ cao mô phỏng
từ các dữ liệu thực nghiệm thu được từ các thí nghiệm va chạm các ion
nặng [34]. So sánh với kết quả thu được ở Chương 1 (Hình 1.6), ta thấy
đường cong lý thuyết mô tả sự phụ thuộc của áp suất vào bất đối xứng
isospin và mật độ chất hạt nhân ở mật độ cao thu được từ mô hình chất
hạt nhân chiral nằm sát với miền giá trị thu được từ thực nghiệm hơn là
đường cong tương ứng thu được từ mô hình chất hạt nhân không chiral.
Điều này, một lần nữa cho thấy, các kết quả thu được từ mô hình chất hạt
nhân chiral phản ánh chính xác tính chất của chất hạt nhân thực hơn so
với kết quả thu được từ mô hình chất hạt nhân không chiral.
Cuối cùng, tương tự như đã làm ở Chương 1, ta tính trị số của một vài
Chương 2.
71
Hình 2.7: Phương trình trạng thái của chất hạt nhân lạnh không đối xứng ở mật độ baryon cao ứng
với một vài bất đối xứng isospin α. Vùng tô đậm biểu thị ràng buộc đặt lên áp suất của chất hạt nhân
mô phỏng từ nguồn dữ liệu rút ra từ thực nghiệm [34].
đại lượng vật lý liên quan khác.
Sử dụng các công thức (1.22a), (1.22b), tiến hành tính số, ta được:
+ Độ dốc của năng lượng đối xứng hạt nhân: L = 96.732 MeV, phù hợp
với kết quả thu được từ thí nghiệm va chạm ion nặng và kết quả nghiên
cứu của các mô hình khác [4, 5, 64]: 46 MeV ≤ L ≤ 111 MeV.
+ Độ cong của năng lượng đối xứng hạt nhân: Ksym = −347.786 MeV,
sát với kết quả phân tích tiết diện tán xạ NN trong môi trường trong mô
hình IBUU04 [27]: Ksym = −500 ± 50 MeV.
+ Tại mật độ bão hòa hạt nhân ρ0 và xung quanh điểm α = 0, hệ số
nén đẳng áp của chất hạt nhân không đối xứng được biểu diễn tới bậc hai
Chương 2.
72
Bảng 2.2: Trị số các đại lượng vật lý
Mô hình
chất hạt nhân
a4(MeV) L(MeV) Ksym(MeV) Kasy(MeV) Psym(MeV/fm3) ∆ρ0(fm−3)
Không chiral
32
105.488
124.816
−508.113
5.978
−0.188
Chiral đối xứng
tiệm cận
32
96.732 −347.786 −928.181
5.482
−0.173
của α như sau
K(α) = K0 + Kasyα2,
với: K0 là hệ số không chịu nén của chất hạt nhân; Kasy là phần phụ thuộc
bất đối xứng isospin
Kasy = Ksym − 6L
đặc trưng cho sự phụ thuộc mật độ của năng lượng đối xứng hạt nhân.
Từ mô hình, ta dễ dàng tính được
Kasy = −928.18MeV
Kasy cũng có thể xác định được bằng thực nghiệm. Kết quả thực nghiệm
gần đây nhất [2] cho Kasy = −550 ± 100 MeV.
+ Trị số áp suất đối xứng và sự dịch chuyển của mật độ bão hòa chất
hạt nhân ứng với bậc thấp nhất của bất đối xứng α
Psym(ρ0) = ρ0L/3 = 5.482 MeV/fm3,
= −0.173 fm−3. ∆ρ0 = − 3ρ0L K0
Trị số tính được của các đại lượng vật lý được liệt kê tại Bảng 2.2 có so
sánh với số liệu thu được ở Chương 1. Hầu hết các trị số liệt kê trong bảng
Chương 2.
73
là phù hợp với các phân tích gần đây thu được từ các mô hình khác nhau
và phù hợp với các ràng buộc thu được từ thực nghiệm.
Trong phần này, ta tiến hành nghiên cứu sự phục hồi đối xứng chiral
ở mật độ cao và chuyển pha khí-lỏng nổi tiếng ở mật độ dưới mật độ bão
hòa của chất hạt nhân. Đó là những vấn đề cơ bản hiện nay của vật lý hạt
nhân hiện đại.
Từ công thức (2.27c), tiến hành tính số, ta vẽ được đồ thị mô tả sự phụ
thuộc của ngưng tụ chiral u vào mật độ chất hạt nhân tại một vài giá trị
Hình 2.8: Sự phụ thuộc của ngưng tụ chiral u vào mật độ chất hạt nhân tại một vài giá trị của nhiệt
độ.
của nhiệt độ (Hình 2.8). Trực quan trên đồ thị, ta thấy: tại chân không
Chương 2.
74
ρB = 0, u đạt giá trị cao nhất, u (cid:54)= 0, chất hạt nhân nằm trong trạng thái
bị phá vỡ đối xứng chiral hoàn toàn. Khi mật độ chất hạt nhân tăng lên,
u giảm dần và tiệm cận 0 khi mật độ chất hạt nhân đạt giá trị rất cao,
khác đi, đối xứng chiral phục hồi tiệm cận khi mật độ chất hạt nhân lớn.
Tiến hành giải số phương trình khe (2.27c) cho ngưng tụ chiral u thu
được đồ thị mô tả sự phụ thuộc của ngưng tụ chiral vào thế hóa baryon µB
ứng với một số giá trị của T (Hình 2.9). Rõ ràng là đối xứng chiral phục
hồi tiệm cận tại µB lớn và hơn nữa, với T > 20 MeV, tham số trật tự u là
một hàm đơn trị của thế hóa baryon µB, hướng trơn tới 0. Kiểu biểu hiện
như vậy thường được định nghĩa là một biến đổi crossover. Trong khi đó,
với nhiệt độ T thấp, 0 < T < 20 MeV, tham số trật tự u hóa ra lại là một
hàm đa trị của thế hóa baryon µB. Sử dụng phương pháp được đưa ra bởi
Askawa và Yazaki [1], tại đó về bản chất, người ta đồng nhất vùng đa trị
của ngưng tụ chiral với vùng chuyển pha loại 1, ta phát hiện thấy chuyển
pha loại một trong vùng nhiệt độ thấp. Kết hợp lại, ta thu được giản đồ
pha tương ứng trong mặt phẳng (T, µB) biểu diễn trong Hình 2.10.
Trong Hình 2.10, đường liền nét mô tả chuyển pha loại 1, nó bắt đầu
tại (T = 0, µB = 923 MeV) kéo dài và kết thúc tại điểm cuối tới hạn loại 2,
CEP ứng với T = 20 MeV và µB = 907 MeV. Đó chính xác là chuyển pha
khí-lỏng ở mật độ dưới mật độ bão hòa của chất hạt nhân đối xứng. Hình
2.10 phù hợp tốt với giản đồ pha được tiên đoán trong QCD [43]. Các thí
nghiệm va chạm ion nặng năng lượng thấp đã chỉ ra µCEP ∼ 923 MeV và
TCEP = 15 − 20 MeV [32], phù hợp với tiên đoán rút ra từ mô hình.
Kết quả tính toán trên có thể được kiểm tra bằng việc quan sát đồ thị
mô tả sự phụ thuộc của thế nhiệt động Ω vào khối lượng hiệu dụng M ∗
Chương 2.
75
Hình 2.9: Biểu hiện của ngưng tụ chiral u theo µB tại các giá trị khác nhau của T . Từ phải sang trái, lần lượt là các đồ thị ứng với T = 0, 100, 175 MeV. Hình vẽ trên góc phải biểu diễn u(T, µB ) tại nhiệt độ
thấp, T = 0 (đường 1), 5 MeV (đường 2), 10 MeV (đường 3 ),15 MeV (đường 4), 20 MeV (đường 5).
của nucleon tại một số giá trị của T và µB thuộc vùng đa trị của ngưng tụ
chiral, 0 < T < 20 MeV và 907 < µB < 923 MeV (Hình 2.11). Với T < 20,
chuyển pha loại 1 được biểu diễn bởi đồ thị với hai cực tiểu tương ứng với
các pha phục hồi và phá vỡ đối xứng chia tách nhau bởi một rào chắn. Khi
nhiệt độ T tăng lên thì hai cực tiểu mờ dần, tới T = 20 MeV, rào chắn
biến mất, báo hiệu sự bắt đầu của chuyển pha loại 2.
Kết quả trên cũng có thể được kiểm tra một lần nữa bằng việc quan sát
đồ thị phương trình trạng thái (EoS) của chất hạt nhân đối xứng (Hình
2.2). Chúng mang cấu trúc điển hình của phương trình trạng thái van der
Waals của chuyển pha khí-lỏng giống với cấu trúc thu được từ các lý thuyết
hạt nhân khác [30, 55], tùy thuộc vào việc lựa chọn các lực hiệu dụng như
Chương 2.
76
Hình 2.10: Giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong mặt phẳng (T, µB ). Đường liền nét mô tả chuyển pha loại 1. CEP (T = 20 MeV, µB = 907 MeV) là điểm cuối tới hạn. Đường đứt nét chỉ biến đổi crossover
tương tác hiệu dụng Skyrme và lý thuyết nhiệt độ hữu hạn Hartree-Fock
[55]. Đường AB là một phần của đường phân cách (spinodal) định ranh
giới điều kiện không bền.
Hình 2.12 mô tả sự phụ thuộc của mật độ chất hạt nhân ρB vào thế hóa
baryon µB tại một vài giá trị của nhiệt độ. Kết hợp Hình 2.2 và Hình 2.12
cho thấy chuyển pha xảy ra tại điểm tới hạn ρc ∼ 0.3−0.4ρ0 và Tc ∼ 16−20
MeV, phù hợp với kết quả khảo sát ở công trình nghiên cứu khác [22].
Một vấn đề quan trọng cần chỉ ra là chuyển pha loại 1 được đặc trưng
bởi ẩn nhiệt (latent heat) sinh ra trong chuyển pha. Ta hãy chú ý vào biểu
hiện của mật độ năng lượng được cho bởi phương trình (2.27d) với T biến
thiên xung quanh T = 20 MeV. Như đã thấy trong Hình 2.13, với T < 20
Chương 2.
77
Hình 2.11: Sự phụ thuộc của thế nhiệt động vào khối lượng hiệu dụng M ∗ ứng với
các giá trị khác nhau của T và µB .
MeV, mật độ năng lượng có một bước nhảy và một lượng ẩn nhiệt được
sinh ra
∆ε = ε(T + 0) − ε(T − 0).
Nếu ta chọn T = 10 MeV thì ∆ε = 7.941 MeV. So sánh trị số này với
trị số mà lần đầu tiên thực nghiệm ước lượng được [20] với hạt nhân nặng,
nóng có Z ∼ 70, ta thấy rất thú vị vì sự phù hợp giữa chúng với nhau.
∆ε = 8.1(±0.4)stat(+1.2 − 0.9)systA MeV
Chương 2.
78
Hình 2.12: Sự phụ thuộc của mật độ chất hạt nhân ρB vào thế hóa baryon µB ứng với các giá trị nhiệt độ khác nhau.
Trong các mục trước, ta đã nghiên cứu chất hạt nhân chiral bất đối
xứng isospin có tính đến đóng góp của các meson sigma, omega và rho.
Trong mục này, ta sẽ khảo sát mô hình khi có thêm sự tham gia của meson
delta. Như đã biết, sự trao đổi meson delta cùng với sự trao đổi các meson
khác cho đóng góp cơ bản vào thế thực tương tác nucleon-nucleon và hơn
nữa, sự đóng góp của nó là một phần quan trọng của các điều kiện bền
và các tính chất khác của chất hạt nhân bất đối xứng. Mục đích của mục
này là khảo sát xem meson delta có cho những đóng góp đáng kể làm xuất
hiện các tính chất mới của chất hạt nhân bất đối xứng hay không. Ta xuất
Chương 2.
79
Hình 2.13: Sự phụ thuộc của mật độ năng lượng vào nhiệt độ ứng với các giá trị
khác nhau của µB .
phát từ hàm mật độ Lagrangian
[( ¯ψψ)2 + ( ¯ψiγ5(cid:126)τ ψ)2] − [( ¯ψγµψ)2 + ( ¯ψγ5γµψ)2] Gs 2 Gv 2
+
+ ψ)2], (2.43) [( ¯ψ(cid:126)τ ψ)2 + ( ¯ψγ5ψ)2] − L = LN JL + µ ¯ψγ0ψ, LN JL = ¯ψ(i ˆ∂ − m0)ψ + Gsv 2 Gd 2 [( ¯ψψ)2 + ( ¯ψiγ5(cid:126)τ ψ)2][( ¯ψγµψ)2 + ( ¯ψγ5γµψ)2] Gr 2 ψ)2 + ( ¯ψγ5γµ(cid:126)τ 2 [( ¯ψγµ(cid:126)τ 2
trong đó Gd là hằng số liên kết vô hướng isospin.
Trong môi trường hạt nhân, các nucleon liên kết với nhau tạo thành các
Chương 2.
80
hạt meson trung gian
σ = ¯ψψ,
ψ, ψ. (cid:126)δ = ¯ψ(cid:126)τ ψ, ϕ = ¯ψγ5ψ, (cid:126)π = ¯ψiγ5(cid:126)τ ψ, ωµ = ¯ψγµψ, φµ = ¯ψγ5γµψ, (cid:126)τ (cid:126)χµ = ¯ψγ5γµ (cid:126)(cid:37)µ = ¯ψγµ 2 (cid:126)τ 2
Hàm mật độ Lagrangian được viết lại
L = ¯ψ(i ˆ∂ − m0 + γ0µ)ψ + [Gs + Gsv(ω2 + φ2)] ¯ψ(σ + iγ5(cid:126)τ (cid:126)π)ψ
−[Gv − Gsv(σ2 + π2)] ¯ψγµ(ωµ + γ5φµ)ψ
+Gd ¯ψ((cid:126)τ(cid:126)δ + γ5(cid:126)ϕ)ψ − Gr ((cid:126)(cid:37)µ + γ5(cid:126)χµ)ψ ¯ψγµ(cid:126)τ 2
− (σ2+π2) + (ω2+φ2) − (δ2+ϕ2) Gd 2
+ (σ2+π2)(ω2+φ2). (2.44) Gs 2 Gr 2 Gv 2 Gsv ((cid:37)2+χ2) − 3 2
Trong biểu thức (2.44), các hạt mà chúng ta quan tâm như: σ, π, δ...
đã xuất hiện một cách rõ ràng.
Trong gần đúng trường trung bình, ta thay các toán tử trường meson
bởi các giá trị trung bình của chúng trong trạng thái cơ bản của chất hạt
nhân lạnh
(cid:104)σ(cid:105) = u, (cid:104)δi(cid:105) = dδi3, (cid:104)ωµ(cid:105) = ρBδ0µ, (cid:104)(cid:37)iµ(cid:105) = ρI δi3δ0µ
(cid:104)πi(cid:105) = 0, (cid:104)φµ(cid:105) = 0, (cid:104)(cid:126)χµ(cid:105) = 0, (cid:104)ϕi(cid:105) = 0.
Khi đó, hàm mật độ Lagrange được viết
(2.45) LM F T = ¯ψ(cid:0)i ˆ∂ − M ∗ + γ0µ∗(cid:1)ψ − U,
Chương 2.
81
trong đó
p,n = m0 − ˜Gsu ∓ Gdd,
B
M ∗ ˜Gs = Gs + Gsvρ2 = Gs[1 + ξ(ρB/ρ0)2],
p,n = µ∗ µ∗
B
I
B
± µ∗ /2, µ∗ = µB − Σv = µB − (Gv − Gsvu2)ρB,
I
µ∗ = µI − GrρI ,
B
I
B
(cid:3) U = (cid:2)Gsu2 − Gvρ2 + Gdd2 − Grρ2 + 3Gsvu2ρ2
B
I
= (cid:3), + Gdd2 − Grρ2 (cid:2) ˜Gsu2 − 2ΣvρB + Gvρ2
0
1 2 1 2 ξ = ρ2 và Gsv/Gs.
Thực hiện tính toán giải tích tương tự ở các mục trước, ta thu được
biểu thức của áp suất
p )2
n)2
p −M ∗
B
I
B
n n+
n )(cid:3),
0
(M ∗ ρ2 − + + ρ2 P = − +(µB −µ∗ )ρB Gr 2 (cid:90) ∞ (2.46) − (2m0−M ∗ n −M ∗ 8Gd 8Gs k2dk (cid:2)Ep + T ln(n− p n+ Gv 2 p ) + En + T ln(n− 1 π2
mật độ năng lượng
p )2
n)2
p − M ∗
I
B
n − M ∗ 8Gd
(M ∗ E = + + ρ2 + ρ2
p +n+
p −1) + En(n−
0
(cid:90) ∞ (2.47) + (2m0 − M ∗ 8Gs k2dk (cid:2)Ep(n− Gv 2 n +n+ Gr 2 n −1)(cid:3), 1 π2
các phương trình khe
p +n+
p −1) +
n +n+
n −1)
0 (cid:90) ∞
(cid:90) ∞ u = (2.48) (cid:21) , k2dk (n− (n−
p +n+
p −1) −
n +n+
0
d = k2dk (n− (n− , (2.49) (cid:21) n −1) 1 π2 1 π2 (cid:20)M ∗ p Ep (cid:20)M ∗ p Ep M ∗ n En M ∗ n En
biểu thức của mật độ baryon và mật độ isospin
p −n+
p ) + (n−
0 (cid:90) ∞
(cid:20) (cid:90) ∞ k2dk (n− , (2.50) ρB = (cid:21) n −n+ n )
p ) − (n−
p −n+
0
. (2.51) k2dk (cid:20) (n− ρI = (cid:21) n −n+ n ) 1 π2 1 2π2
Chương 2.
82
p,n có biểu thức tương tự như ở mục trước.
Các hàm phân bố Fermi n±
Hằng số liên kết Gd được xác định từ ràng buộc: trong chân không
p,n của proton và neutron phải
(ρB = 0, kF = 0), khối lượng hiệu dụng M ∗
trùng với khối lượng của chúng trong chân không Mp = 938.3 MeV và
Mn = 939.7 MeV.
(2.52)
(2.53) Mp = m0 − ˜Gsuvacuum − Gddvacuum, Mn = m0 − ˜Gsuvacuum + Gddvacuum,
với uvacuum và dvacuum thỏa mãn các phương trình khe lấy tại ρB = 0 và kF = 0. Kết quả, ta thu được: Gd = 10.93Gs (cid:39) 93 fm2.
Tiến hành các tính toán bằng số phương trình trạng thái và cấu trúc
pha, ta thấy, tại các vấn đề mà ta quan tâm nghiên cứu, việc bổ sung
meson delta vào mô hình dẫn tới kết quả không khác nhiều so với kết quả
đã trình bày ở trên, do vậy ta không đưa ra ở đây.
Luận án đã nghiên cứu có hệ thống các tính chất của chất hạt nhân
dựa trên mô hình chất hạt nhân chiral đối xứng tiệm cận có tính đến tương
tác vô hướng-vec tơ. Các kết quả nghiên cứu chính được tóm lược lại như
sau:
- Tái hiện thành công tính chất bão hòa của chất hạt nhân.
- Mô tả rõ ràng kịch bản chuyển pha khí-lỏng loại một của chất hạt
nhân ở mật độ dưới mật độ bão hòa.
Chương 2.
83
- Đã chỉ ra đối xứng chiral phục hồi tiệm cận tại mật độ baryon cao
ứng với các nhiệt độ T xác định.
- Nghiên cứu có hệ thống sự phụ thuộc vào mật độ và bất đối xứng
isospin của phương trình trạng thái.
- Thể hiện vai trò không thể thiếu của đối xứng chiral trong nghiên cứu
tính chất của chất hạt nhân.
Trong Chương 2, ta đã sử dụng mô hình NJL mở rộng có tính đến tương
tác vô hướng-vec tơ để nghiên cứu tính chất của chất hạt nhân ở mật độ và
nhiệt độ hữu hạn. Mô hình Nambu – Jona-Lasinio mở rộng kể trên tái hiện
tốt các tính chất bão hòa đã quan sát được của chất hạt nhân như mật
độ bão hòa, năng lượng liên kết, hệ số không chịu nén và khối lượng hiệu
dụng của nucleon tại mật độ bão hòa ρ0. Mô hình đã chỉ ra, chuyển pha
khí-lỏng loại một xảy ra tại mật độ dưới mật độ bão hòa xuất hiện trong
mọi mô hình thực của chất hạt nhân, tuy nhiên nó chỉ tiên đoán được sự
(cid:38) 3ρ0, chứ phục hồi đối xứng chiral tiệm cận tại mật độ baryon cao, ρB
không biểu diễn phục hồi đối xứng chiral chính xác.
Trong chương này, ta đi tìm một mô hình chất hạt nhân thích hợp, sao
cho nó có thể tái hiện được các tính chất bão hòa đã quan sát được của
84
chất hạt nhân, mô tả rõ ràng chuyển pha khí-lỏng loại một xảy ra tại mật
85
Chương 3.
độ dưới mật độ bão hòa trong chất hạt nhân và phục hồi đối xứng chiral
chính xác.
Từ mô hình, sử dụng phương pháp gần đúng trường trung bình đối với
trường meson và phương pháp gần đúng một loop đối với trường fermion,
ta sẽ xác định thế nhiệt động, kiểm tra hiệu lực của mô hình bằng việc tái
hiện lại các tính chất bão hòa đã quan sát được của chất hạt nhân, tính
các đại lượng vật lý mà thực nghiệm đã khống chế được là khối lượng của
nucleon trong môi trường, hệ số không chịu nén của chất hạt nhân ở mật
độ bão hòa, khảo sát phương trình trạng thái, cấu trúc pha của chuyển
pha khí-lỏng loại 1 của chất hạt nhân ở mật độ dưới mật độ bão hòa và
cấu trúc pha của chuyển pha chiral. Chuyển pha loại một của chuyển pha
khí-lỏng bắt đầu tại nhiệt độ T = 0 yếu dần khi T tăng và cuối cùng kết
thúc tại điểm tới hạn T (cid:46) 18 MeV. Kịch bản chuyển pha này được khẳng
định bởi nghiên cứu biến đổi của thế nhiệt động theo khối lượng hiệu dụng
của nucleon và phương trình trạng thái. Sự phục hồi đối xứng chiral dẫn
tới chuyển pha loại hai trong vùng 0 ≤ T (cid:46) 171 MeV và chuyển pha loại
một trong vùng T (cid:38) 171 MeV.
Như đã thảo luận trong [70], mô hình phù hợp nhất với mục tiêu nêu
trên có thể là mô hình Nambu–Jona-Lasinio mở rộng (ENJL). Ta bắt đầu
với hàm mật độ Lagrangian
L = LNJL + µ ¯ψγ0ψ,
[( ¯ψψ)2+( ¯ψiγ5(cid:126)τ ψ)2] − [( ¯ψγµψ)2+( ¯ψγ5γµψ)2] Gs 2 Gv 2
+
− ψ)2], (3.1) LNJL= ¯ψi ˆ∂ψ + Gsv 2 Gr 2 [( ¯ψψ)2+( ¯ψiγ5(cid:126)τ ψ)2][( ¯ψγµψ)2+( ¯ψγ5γµψ)2] [( ¯ψγµ(cid:126)τ 2 ψ)2 + ( ¯ψγ5γµ(cid:126)τ 2
Chương 3.
86
ở đây: ψ là toán tử trường mô tả hạt nucleon, µ là thế hóa: µ = diag(µp, µn),
µp,n = µB ±µI /2; (cid:126)τ là các ma trận Pauli tác dụng trong không gian isosin,γµ
là các ma trận chuẩn Dirac, Gs, Gv, Gsv và Gr là các hằng số tương tác.
Khác biệt giữa mô hình chất hạt nhân chiral đối xứng chính xác và mô
hình chất hạt nhân chiral đối xứng tiệm cận là ở chỗ: trong biểu thức của
hàm mật độ Lagrangian (3.1) ta đã loại bỏ yếu tố gây phá vỡ đối xứng
hiển là khối lượng trần của nucleon. Hàm mật độ Lagrangian (3.1) chính
xác đối xứng chiral, hàm mật độ Lagrangian (2.1) chỉ gần đúng đối xứng
chiral.
Tiến hành boson hóa các số hạng biểu diễn tương tác trong L, cụ thể:
ta thay các toán tử ( ¯ψΓiψ)2 và ( ¯ψΓiψ ¯ψΓjψ)2 bởi
( ¯ψΓiψ)2 = 2 ¯ψΓiψ(cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105) − (cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105)2,
( ¯ψΓiψ ¯ψΓjψ)2 = ((cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105) ¯ψΓjψ)2 + ( ¯ψΓiψ(cid:104) ¯ψΓjψ(cid:105))2 − ((cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105)(cid:104) ¯ψΓjψ(cid:105))2
= (cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105)2(2 ¯ψΓjψ(cid:104) ¯ψΓjψ(cid:105)) + (2 ¯ψΓiψ(cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105))(cid:104) ¯ψΓjψ(cid:105)2
(3.2) − 3(cid:104) ¯ψΓiψ(cid:105)2(cid:104) ¯ψΓjψ(cid:105)2,
2 , γ5γµ (cid:126)τ
2 } là tổ hợp của các ma trận xuất hiện trong các số hạng tương tác của LN JL, dấu ngoặc góc ký hiệu trạng
ở đây Γ = {1, iγ5(cid:126)τ , γµ, γ5γµ, γµ (cid:126)τ
thái liên kết.
Kết hợp (3.2) với các toán tử trường boson
σ = ¯ψψ, (cid:126)π = ¯ψiγ5(cid:126)τ ψ, ωµ = ¯ψγµψ, φµ = ¯ψγ5γµψ,
ψ, ψ. (cid:126)χµ = ¯ψγ5γµ (cid:126)(cid:37)µ = ¯ψγµ (cid:126)τ 2 (cid:126)τ 2
Chương 3.
87
chúng ta thu được
L = ¯ψ(i ˆ∂ + γ0µ)ψ + [Gs + Gsv(ω2 + φ2)] ¯ψ(σ + iγ5(cid:126)τ (cid:126)π)ψ
−[Gv − Gsv(σ2 + π2)] ¯ψγµ(ωµ + γ5φµ)ψ
(σ2 + π2) + (ω2 + φ2) −Gr ((cid:126)(cid:37)µ + γ5(cid:126)χµ)ψ − ¯ψγµ(cid:126)τ 2 Gs 2
+ ((cid:37)2 + χ2) − 3 Gv 2 (σ2 + π2)(ω2 + φ2). (3.3) Gr 2 Gsv 2
Tương tự như ở Chương 2, cấu trúc của chương này như sau:
Mục 1, biểu diễn thế nhiệt động của chất hạt nhân chiral;
Mục 2, tiến hành kiểm tra hiệu lực của mô hình bằng việc tái hiện lại
các tính chất bão hòa của chất hạt nhân;
Mục 3, khảo sát phương trình trạng thái;
Mục 4, nghiên cứu cấu trúc pha của chất hạt nhân;
Mục 5, khảo sát sự đóng góp của meson delta;
Cuối cùng là Mục 6, kết luận của chương, các kết quả nghiên cứu đã
đạt được trong chương được tóm lược lại và hướng nghiên cứu tiếp theo
trên mô hình được đề xuất.
Trước hết, ta tính thế nhiệt động của chất hạt nhân.
Tiến hành khảo sát với chất hạt nhân đối xứng, ta giả thiết µI = 0.
Trong gần đúng trường trung bình, ta thay các toán tử trường meson bởi
Chương 3.
88
các giá trị trung bình của chúng ở trạng thái cơ bản
(cid:104)σ(cid:105) = u, (cid:104)πi(cid:105) = 0, (cid:104)ωµ(cid:105) = ρBδ0µ,
(3.4) (cid:104)(cid:37)iµ(cid:105) = 0, (cid:104)φµ(cid:105) = 0, (cid:104)(cid:126)χµ(cid:105) = 0,
của chất hạt nhân lạnh.
Thay (3.4) vào (3.3), biểu thức của hàm mật độ Lagrangian được viết
lại
(3.5) LMFT = ¯ψ(i ˆ∂ −M ∗+γ0µ∗)ψ−U (u, ρB),
ở đây
(3.6) M ∗ = − ˜Gsu,
(3.7) µ∗ = µB − Σv = µB − (Gv − Gsvu2)ρB,
B
B
(cid:1), (3.8) (cid:0)Gsu2−Gvρ2 +3Gsvu2ρ2 U (u, ρB) = 1 2
với
0Gsv/Gs.
B
ξ = ρ2 ˜Gs = Gs+Gsvρ2 = Gs[1+ξ(ρB/ρ0)2],
Nghiệm M ∗ của phương trình (3.6) chính là khối lượng hiệu dụng của
nucleon, từ M ∗, ta có thể thu được khối lượng của nucleon trong chân
không.
Từ (3.5), ta thiết lập hàm phân bố thống kê
0
(cid:90) (cid:90) β (cid:90) Z = D ¯ψDψ exp dτ d3x LMFT . V
T U (ρB ,u)
K
Thực hiện một vài biến đổi, ta thu được (cid:90) (cid:88) Z = e− V ¯ψ(K) ψ(K)(cid:3) D ¯ψDψ exp (cid:2) − G−1(K; ρB, u) T
T U (ρB ,u)det
= e− V , (3.9) G−1(K; ρB, u) T
Chương 3.
89
với G−1(K; ρB, u) là nghịch đảo của hàm truyền của các hạt nucleon viết
trong không gian xung lượng
(3.10) G−1(K; ρB, u) = −γµKµ − γ0µ∗ + M ∗,
định thức được lấy trong toàn bộ không gian vị, không gian Dirac, không
gian spin và không gian xung lượng.
Thế nhiệt động tại nhiệt độ T và thế hóa µ được định nghĩa
Ω(T, µ) = − ln Z T V
Lấy định thức trong toàn bộ không gian Dirac, không gian vị và không
gian spin và không gian xung lượng, biểu thức của thế nhiệt động được
viết
(3.11) (cid:2)Ek +T ln(n−n+)(cid:3), Ω =U (ρB, u) + 2Nf (cid:90) d3k (2π)3
với Nf = 2 với chất hạt nhân và Nf = 1 với chất neutron,
(cid:112) k2 + M ∗2 Ek =
là năng lượng của một nucleon,
n∓ = (cid:2)eE∓/T + 1(cid:3)−1
là hàm phân bố Fermi.
Trạng thái vật lý mà ta quan sát phải là trạng thái ứng với cực tiểu của
thế nhiệt động. Biểu thức của áp suất P được viết
P = −Ωlấy tại cực tiểu
Mật độ năng lượng E thu được từ P bởi phép biến đổi Legendre
(3.12) E = Ω + T ς + µBρB
= U (ρB, u)+2Nf (cid:90) d3k (2π)3 Σv(n−−n+)+2Nf (cid:90) d3k (2π)3 Ek(n−+n+−1),
Chương 3.
90
trong đó, mật độ entropy được viết
ς = −2Nf (cid:90) d3k (2π)3
(3.13) (cid:2)n− ln n−+(1−n−) ln(1−n−) +n+ ln n++(1−n+) ln(1−n+)(cid:3).
Trạng thái cơ bản của chất hạt nhân được xác định bởi điều kiện cực
tiểu
= 0, ∂Ω ∂u
hay bởi phương trình khe
(3.14a) (n−+n+−1). u = ρs = 2Nf (cid:90) d3k (2π)3 M ∗ Ek
Đưa vào biểu thức mật độ baryon
(3.14b) = 2Nf ρB = (cid:90) d3k (2π)3 (n−−n+), ∂P ∂µB
biểu thức của P được viết
B
P=− ρ2 − (3.15) (cid:2)Ek +T ln(n−n+)(cid:3), +(µB −µ∗)ρB − 2Nf Gv 2 (cid:90) d3k (2π)3 M ∗2 2 ˜Gs
mật độ năng lượng có dạng
B
+ E = ρ2 (3.16) +2Nf Gv 2 (cid:90) d3k (2π)3 Ek(n−+n+−1). M ∗2 2 ˜Gs
Các phương trình (3.15) và (3.16) là các phương trình trạng thái, chúng
chi phối toàn bộ các quá trình chuyển pha của chất hạt nhân.
Chương 3.
91
Trong giới hạn nhiệt độ không, các biểu thức (3.14a), (3.14b), (3.15)
và (3.16) được viết
kF
F
(cid:90) Λ u = − k2dk , (3.17) M ∗ (k2 + M ∗2)1/2
(3.18) ρB = Nf Nf π2 k3 3π2 ,
B
kF
(cid:90) Λ E = ρ2 − k2dk (k2+M ∗2)1/2. (3.19) + Gv 2 Nf π2 M ∗2 2 ˜Gs
Sử dụng phương pháp đã được trình bày trong tài liệu [70], ta xác định
bốn tham số Gs, Gv, ξ, và Λ của chất hạt nhân đối xứng dựa trên các điều
kiện ràng buộc sau:
a. Trong chân không (ρB = 0), khối lượng hiệu dụng M ∗ của nucleon
bằng khối lượng MN của nucleon, với MN = 939 MeV. Do vậy, phương
trình (3.6) cho ta ràng buộc đầu tiên
(3.20) MN = − ˜Gsuvacuum,
với uvacuum thỏa mãn phương trình khe (3.17) lấy tại ρB = 0 (nghĩa là
kF = 0).
b. Cơ chế bão hòa đòi hỏi năng lượng liên kết
(3.21) Ebin = −MN + E/ρB
đạt giá trị cực tiểu
ρ0
(cid:1) (cid:39) −15.8 MeV, (cid:0)Ebin
Chương 3.
92
tại mật độ bão hòa ρB = ρ0 (cid:39) 0.17 fm−3, với E được cho bởi phương
trình (3.19).
Từ các ràng buộc trên, với sự trợ giúp của phần mềm tính toán MATH-
EMATICA [118], tiến hành tính số, ta thu được
ξ = 0.031 và Λ = 400MeV Gs = 8.8975 fm2, Gv/Gs = 0.9485,
chính là bộ tham số của mô hình.
Sử dụng các trị số nói trên, ta tính khối lượng của nucleon trong môi
trường
M ∗/MN (cid:39) 0.6633,
và hệ số không chịu nén của chất hạt nhân
B
(cid:19) ρ0 (cid:39) 276.23 MeV. K0 = 9ρ2 0 (cid:18)∂2Ebin ∂ρ2
Kết quả phân tích trong [46] chỉ ra rằng, trị số khối lượng của nucleon
trong môi trường và hệ số không chịu nén của chất hạt nhân thu được ở
trên rất phù hợp với kết quả thu được từ thực nghiệm
K0 = 180 − 240 MeV,
phù hợp với kết quả thực nghiệm hơn trị số thu được từ một công trình
nghiên cứu công bố gần đây [41].
Như vậy, từ mô hình, ta đã thu được các giá trị rất đẹp của hai đại
lượng vật lý quan trọng mà thực nghiệm đã khống chế được là khối lượng
của nucleon trong môi trường và hệ số không chịu nén của chất hạt nhân,
phù hợp tốt với mong đợi của các nhà vật lý ở tài liệu [93].
Chương 3.
93
Bảng 3.1: Trị số của các tham số và các đại lượng vật lý
Mô hình
Λ
Gs
m0
chất hạt nhân
(MeV)
ξ
(fm2) Gv/Gs Gr/Gs
K0
(MeV) M ∗/MN
Không chiral
13.62
0.75
0.198
0.548
547.162
Chiral đối xứng
tiệm cận
400
8.507
0.933
0.417
0.032
41.264
0.684
285.91
Chiral đối xứng
chính xác
400
8.897
0.948
0.383
0.031
0.663
276.23
Bảng 3.1 liệt kê các trị số đã tính được của các tham số và các đại lượng
vật lý có liên quan của ba mô hình: chất hạt nhân không chiral, chất hạt
nhân chiral đối xứng tiệm cận và chất hạt nhân chiral đối xứng chính xác.
Hình 3.1 là đồ thị mô tả sự phụ thuộc của năng lượng liên kết hạt nhân
vào mật độ baryon. Đường liền nét là đồ thị ứng với mô hình chất hạt
nhân chiral đối xứng chính xác, đường đứt nét ứng với mô hình chất hạt
nhân chiral đối xứng tiệm cận và đường chấm chấm ứng với mô hình chất
hạt nhân không chiral. Nhìn vào đồ thị, ta thấy, khi mật độ chất hạt nhân
đạt giá trị ρ0 (cid:39) 0, 17 fm−3 thì năng lượng liên kết hạt nhân đạt giá trị cực
tiểu là E0 (cid:39) −15, 8 MeV, phù hợp với kết quả thu được từ mô hình vật lý
khác [90]. Nói cách khác, các mô hình thiết lập ở trên đã tái hiện thành
công tính chất bão hòa, mô tả một cách rõ ràng một đặc điểm rất cơ bản
của chất hạt nhân.
Như vậy, sau khi xác định các hằng số liên kết, ta đã tái hiện thành công
tính chất bão hòa của chất hạt nhân ở mật độ thông thường ρB = ρ0 (cid:39)
0, 17f m−3, tính được các đại lượng vật lý quan trọng mà thực nghiệm đã
Chương 3.
94
Hình 3.1: Năng lượng liên kết hạt nhân là một hàm của mật độ baryon .
khống chế được là khối lượng của nucleon trong môi trường và hệ số không
chịu nén của chất hạt nhân. Nói cách khác, ta đã hoàn thành việc kiểm
tra độ tin cậy của mô hình chất hạt nhân chiral vừa thiết lập. So sánh kết
quả thu được từ ba mô hình với kết quả thu được từ thực nghiệm, ta thấy
các mô hình chất hạt nhân thiết lập ở trên là hợp lý, phù hợp với các mô
hình tốt khác. So sánh kết quả thu được từ ba mô hình với nhau và so
sánh với kết quả thu được từ thực nghiệm, ta thấy: các mô hình chất hạt
nhân chiral bộc lộ các tính chất sát với tính chất của chất hạt nhân thực
hơn mô hình chất hạt nhân không chiral. Kết quả rút ra từ mô hình chất
hạt nhân chiral đối xứng chính xác phù hợp với kết quả thu được từ thực
nghiệm nhất. Trên Hình 3.1, đường cong mô tả sự phụ thuộc của năng
lượng liên kết hạt nhân vào mật độ baryon của mô hình chất hạt nhân
chiral đối xứng chính xác mềm hơn đường cong tương ứng của mô hình
Chương 3.
95
chất hạt nhân chiral đối xứng tiệm cận, mềm hơn đường cong tương ứng
của mô hình chất hạt nhân không chiral. Nói cách khác, khi nghiên cứu
tính chất của chất hạt nhân, so với việc sử dụng mô hình chất hạt nhân
không chiral thì sử dụng mô hình chất hạt nhân chiral cho ta kết quả phản
ánh đúng tính chất của chất hạt nhân thực hơn. Mô hình chất hạt nhân
chiral đối xứng chính xác bộc lộ các tính chất sát với tính chất của chất
hạt nhân thực nhất.
Tiếp theo, ta chuyển sang nghiên cứu phương trình trạng thái của chất
hạt nhân.
Thực hiện một cách tương tự như ở Chương 2, ta bắt đầu từ hệ thức
P = −Ωlấy tại cực tiểu,
tiến hành tính số, ta vẽ một họ các đường đẳng nhiệt mô tả phương trình
trạng thái (EoS) của chất hạt nhân đối xứng (Hình 3.2).
Chúng mang cấu trúc điển hình của phương trình trạng thái van der
Waals của chuyển pha khí-lỏng giống với cấu trúc thu được từ các lý thuyết
hạt nhân khác [30, 55], tùy thuộc vào việc lựa chọn các lực hiệu dụng như
tương tác hiệu dụng Skyrme và lý thuyết nhiệt độ hữu hạn Hartree-Fock
[55]. Đường ABC chính xác là đường phân cách (spinodal) định ranh giới
T
điều kiện không bền, (cid:19) < 0. (cid:18) ∂P ∂ρB
Phần của các đường đẳng nhiệt nằm dưới trục hoành thỏa mãn điều
Chương 3.
96
Hình 3.2: Phương trình trạng thái của chất hạt nhân ứng với các giá trị nhiệt độ
khác nhau. ABC là đường spinodal.
kiện này có áp suất âm tương ứng với các trạng thái giả bền (metastable
states) [65]. Giao của các đường đẳng nhiệt với trục hoành và nằm bên
phải của AB chính là các trạng thái tự liên kết của chất hạt nhân đối xứng
tại nhiệt độ và mật độ khác nhau.
Để hiểu rõ hơn các tính chất vật lý của chất hạt nhân, ta nghiên cứu
sự phụ thuộc bất đối xứng isospin và mật độ của năng lượng liên kết hạt
nhân và phương trình trạng thái; sự phụ thuộc mật độ của năng lượng đối
xứng và các đại lượng có liên quan của chất hạt nhân không đối xứng.
Xét trường hợp các hạt meson có các ngưng tụ:
(cid:104)σ(cid:105) = u, (cid:104)πi(cid:105) = 0, (cid:104)ωµ(cid:105) = ρBδ0µ, (cid:104)(cid:37)µi(cid:105) = ρI δ0µδi3.
(cid:104)φµ(cid:105) = 0, (cid:104)(cid:126)χµ(cid:105) = 0.
Chương 3.
97
Tiến hành tính toán tương tự như ở các mục trước, ta thu được
−+n−
+−1) + (n+
−+n+
(cid:20) (n− , (3.22) u = Nf (cid:21) +−1) (cid:90) d3k (2π)3 M ∗ Ek
−−n−
+) + (n+
(cid:20) (n− , (3.23) ρB = Nf (cid:21) −−n+ +)
−+n−
+−1) − (n+
−+n+
(cid:20) (n− . (3.24) ρI = (cid:21) +−1) (cid:90) d3k (2π)3 (cid:90) d3k (2π)3 Nf 2
Biểu diễn áp suất P theo mật độ baryon (3.23), ta có
B
I
B
ρ2 + ρ2 P = − − + (µB − µ∗ )ρB M ∗2 2 ˜Gs
−n−
+) + T ln(n+
−n+
+)(cid:3)
(3.25) −Nf Gr 2 (cid:2)2Ek + T ln(n− Gv 2 (cid:90) d3k (2π)3
tương tự, biểu thức của mật độ năng lượng được viết
B
I
+ + ρ2 ρ2 E = M ∗2 2 ˜Gs
− + n−
+ − 1) + (n+
− + n+
+ − 1)
Gv 2 (cid:90) d3k Gr 2 (cid:20) (n− (3.26) (cid:21) , + Nf (2π)3 Ek
∓ có chứa các đại lượng vật lý T, µB, µI và M ∗, vì vậy trong biểu thức của u đã có chứa các đại lượng vật lý T, µB, µI và M ∗,
Trong biểu thức của n±
nói cách khác: u đã được biểu diễn qua các đại lượng vật lý.
Từ (3.25) và (3.26), ta có
B
1. Năng lượng đối xứng hạt nhân
I
(3.27) Esym = ρ2 8 ∂2Ebin ∂ρ2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)ρI =0
2. Hệ số không chịu nén của chất hạt nhân [90]
, (3.28) K(ρB, α) = 9
· ∂P ∂ρB với α là bất đối xứng isospin: α = ρn−ρp ρB
98
Chương 3.
Trong giới hạn nhiệt độ không, các phương trình (3.22) - (3.26) được
viết lại
kFn
kFp
(cid:21) (cid:90) Λ (cid:20) (cid:90) Λ k2dk k2dk + , (3.29) u = − 1 π2 M ∗ Ek M ∗ Ek
Fp
Fn
(cid:2)k3 + k3 (cid:3), (3.30) ρB =
Fp
Fn
(cid:2)k3 − k3 (cid:3), (3.31) ρI = 1 3π2 1 6π2
và
B
I
kFp
kFn
(cid:20)(cid:90) Λ (cid:90) Λ ρ2 + ρ2 − E = + (3.32) (cid:21) . k2dkEk + k2dkEk Gv 2 Gr 2 1 π2 M ∗2 2 ˜Gs
Trị số của các hằng số liên kết Gv, Gs, tham số cắt Λ và ξ đã được xác
định ở trên cho chất hạt nhân đối xứng và được liệt kê trong Bảng 3.1.
Tương tự như ở Chương 1, hằng số liên kết Gr được tính từ năng lượng
đối xứng của chất hạt nhân không đối xứng.
Trị số của Gr được xác định sao cho
B
(cid:19)
I
ρI =0,ρB =ρ0
= a4 = 32 MeV Esym = ρ2 8 (cid:18)∂2Ebin ∂ρ2
Tiến hành tính số, ta thu được: Gr = 0.383Gs.
Đến đây, tất cả các tham số mô hình đã được xác định. Sử dụng bộ
tham số này, ta tiến hành khảo sát sự phụ thuộc vào bất đối xứng isospin
và mật độ của năng lượng liên kết chất hạt nhân không đối xứng.
Hình 3.3 biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng liên kết Ebin(ρB, α) vào
mật độ ρB/ρ0 và bất đối xứng isospinα được vẽ trong không gian ba chiều.
So sánh với hình vẽ tương ứng của hai mô hình trước thì độ cong của Hình
3.3 nhỏ nhất. Hệ số không chịu nén của chất hạt nhân thu được ở mô hình
Chương 3.
99
này cũng phù hợp với kết quả thu được từ thực nghiệm nhất (Bảng 3.1).
Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của năng lượng liên kết vào mật độ hạt nhân
thu được từ mô hình này cũng mềm nhất (Hình 3.1). Như vậy, việc loại
bỏ khối lượng m0, yếu tố gây phá vỡ đối xứng hiển trong hàm mật độ
Lagrangian đã khiến mô hình bộc lộ các tính chất sát với tính chất của
Hình 3.3: Năng lượng liên kết phụ thuộc vào mật độ và bất đối xứng isospin.
chất hạt nhân thực hơn.
Hình 3.4 mô tả sự phụ thuộc mật độ của năng lượng liên kết Ebin(ρB, α)
tại một vài giá trị của α. So sánh với kết quả thu được từ mô hình (Hình
3.4) với kết quả thu được từ phương pháp tương đối tính Brueckner-Hatree-
Fock không tính đến/ có tính đến sự phụ thuộc xung lượng của năng lượng
riêng [54] (Hình 3.5), ta thấy các đường cong ứng mô hình chất hạt nhân
chiral ta thiết lập mềm hơn và sự phụ thuộc vào bất đối xứng isospin của
mật độ bão hòa là đủ mạnh.
Bây giờ, ta xét tới năng lượng đối xứng hạt nhân. Sử dụng các phương
Chương 3.
100
Hình 3.4: Năng lượng liên kết của chất hạt nhân không đối xứng thu được từ mô hình chiral đối xứng
chính xác.
trình (3.22), (3.23), (3.24), (3.26) và (3.27) tiến hành tính số với sự trợ
giúp của phần mềm tính toán MATHEMATICA [118] ta thu được Hình
3.6 mô tả sự phụ thuộc mật độ của năng lượng đối xứng hạt nhân (đường
liền nét). Cũng trong Hình 3.6, để tiện so sánh, ta vẽ đồ thị của các hàm
E1 = 32(ρB/ρ0)0.7 (đường chấm chấm) và E2 = 32(ρB/ρ0)1.1 (đường đứt
nét).
Rõ ràng là:
+ Xung quanh và dưới mật độ bão hòa hạt nhân, hình vẽ rút ra từ mô
hình chất hạt nhân chiral đối xứng tiệm cận rất gần với hình vẽ tiên đoán
bởi Brueckner-Hartree-Fock [119].
+ Dáng điệu của Esym ở mật độ cao hơn mật độ bão hòa về cơ bản phù
Chương 3.
101
Hình 3.5: Năng lượng liên kết của chất hạt nhân không đối xứng theo tính toán tương
đối tính Brueckner-Hartree-Fock (tham khảo từ [54]).
hợp với các phân tích tại [4, 5, 6]:
E1 < Esym < E2 với ρ0 < ρB < 2ρ0 và ρB > 3ρ0,
Esym > E2 > E1 với 2ρ0 < ρB < 3ρ0.
Một vấn đề quan trọng nữa cần nghiên cứu trong mục này là sự phụ
thuộc mật độ và bất đối xứng isospin của phương trình trạng thái. Hình
3.7 biểu diễn phương trình trạng thái của chất hạt nhân lạnh ở mật độ
baryon cao tại bất đối xứng isospin khác nhau. Ở đó, vùng tô đậm biểu
thị ràng buộc đặt lên áp suất ở mật độ cao tương ứng với chất hạt nhân
mô phỏng từ các dữ liệu thực nghiệm thu được từ các thí nghiệm va chạm
các ion nặng [34]. Ta nhận thấy, họ đường cong lý thuyết thu được từ mô
hình nằm rất sát với miền giá trị thu được từ thực nghiệm chứng tỏ mô
hình chất hạt nhân chiral đối xứng chính xác ta thiết lập ở trên đã bộc lộ
tính chất rất gần với tính chất của chất hạt nhân thực. So sánh với kết quả
thu được từ mô hình chất hạt nhân không chiral (Hình 1.6), ta thấy đường
Chương 3.
102
Hình 3.6: Sự phụ thuộc ρB /ρ0 của Esym (đường liền nét), E1 = 32(ρB /ρ0)0.7 (đường chấm chấm), và E2 = 32(ρB /ρ0)1.1 (đường đứt nét).
cong lý thuyết mô tả sự phụ thuộc của áp suất vào mật độ chất hạt nhân
ở mật độ cao thu được từ mô hình chất hạt nhân chiral nằm sát với miền
giá trị thu được từ thực nghiệm hơn là đường cong tương ứng thu được từ
mô hình chất hạt nhân không chiral. Điều này, một lần nữa cho thấy, mô
hình chất hạt nhân chiral phản ánh chính xác tính chất của chất hạt nhân
thực hơn so với kết quả thu được từ mô hình chất hạt nhân không chiral.
Nói cách khác, khi nghiên cứu tính chất của chất hạt nhân, ta không thể
không tính đến đóng góp của đối xứng chiral.
Cuối cùng, tương tự như đã làm ở Chương 1, ta tính trị số của một vài
đại lượng vật lý liên quan khác.
Sử dụng các công thức (1.22a), (1.22b), tiến hành tính số, ta được:
Chương 3.
103
Hình 3.7: Phương trình trạng thái của chất hạt nhân lạnh không đối xứng ở mật độ baryon cao ứng
với một vài bất đối xứng isospin α. Vùng tô đậm biểu thị ràng buộc đặt lên áp suất của chất hạt nhân
mô phỏng từ nguồn dữ liệu rút ra từ thực nghiệm [34].
+ Độ dốc của năng lượng đối xứng hạt nhân: L = 98.442 MeV, phù hợp
với kết quả thu được từ thí nghiệm va chạm ion nặng và kết quả nghiên
cứu của các mô hình khác [4, 5, 64]: 46 MeV ≤ L ≤ 111 MeV.
+ Độ cong của năng lượng đối xứng hạt nhân: Ksym = 94.345 MeV.
+ Tại mật độ bão hòa hạt nhân ρ0 và xung quanh điểm α = 0, hệ số
nén đẳng áp của chất hạt nhân không đối xứng được biểu diễn tới bậc hai
của α như sau
K(α) = K0 + Kasyα2,
với: K0 là hệ số không chịu nén của chất hạt nhân; Kasy là phần phụ thuộc
bất đối xứng isospin
Kasy = Ksym − 6L
Chương 3.
104
Bảng 3.2: Trị số các đại lượng vật lý
Mô hình
L
a4
Ksym
Kasy
Psym
∆ρ0
chất hạt nhân (MeV)
(MeV)
(MeV)
(MeV)
(MeV/fm3)
(fm−3)
Không chiral
32
105.488
124.816 −508.113
5.978
−0.188
Chiral đối xứng
tiệm cận
32
96.732 −347.786 −928.181
5.482
−0.173
Chiral đối xứng
chính xác
32
98.442
94.345
−496.268
5.578
−0.182
đặc trưng cho sự phụ thuộc mật độ của năng lượng đối xứng hạt nhân.
Từ mô hình, ta dễ dàng tính được
Kasy = −496.268 MeV
Kasy cũng có thể xác định được bằng thực nghiệm. Kết quả thực nghiệm
gần đây nhất [2] cho Kasy = −550 ± 100 MeV.
+ Trị số áp suất đối xứng và sự dịch chuyển của mật độ bão hòa chất
hạt nhân ứng với bậc thấp nhất của bất đối xứng α
Psym(ρ0) = ρ0L/3 = 5.578 MeV/fm3,
= −0.182 fm−3. ∆ρ0 = − 3ρ0L K0
Trị số tính được của các đại lượng vật lý được liệt kê tại Bảng 3.2 có so
sánh với số liệu thu được từ hai mô hình trước. Hầu hết các trị số liệt kê
trong bảng là phù hợp với các phân tích gần đây thu được từ các mô hình
khác nhau và phù hợp với các ràng buộc thu được từ thực nghiệm.
Chương 3.
105
Trong mô hình chất hạt nhân chiral đối xứng chính xác, bên cạnh
chuyển pha loại một khí-lỏng thông thường của chất hạt nhân còn có
chuyển pha phục hồi đối xứng chiral. Đó là một trong những đặc điểm cơ
bản của mọi mô hình chiral của vật chất tương tác mạnh. Các chuyển pha
nêu trên lần lượt được biểu diễn dưới đây.
3.4.1 Chuyển pha khí-lỏng tại mật độ dưới mật độ bão hòa
Trong mục này, ta sẽ chỉ ra, mô hình ENJL thiết lập ở trên, giống như
các mô hình hạt nhân tốt khác có biểu diễn chuyển pha khí-lỏng tại mật
độ dưới mật độ bão hòa. Để thực hiện điều đó, ta giải số phương trình khe
(3.14a) cho ngưng tụ chiral và thu được Hình 3.8 biểu diễn sự biến đổi của
ngưng tụ chiral theo µB tại một số giá trị của nhiệt độ T .
Trực quan trên đồ thị, ta thấy đối xứng chiral phục hồi tại µB lớn và
hơn nữa, với T > 18 MeV, tham số trật tự u là một hàm đơn trị của thế
hóa baryon µB và hướng trơn về 0. Dạng biểu hiện như vậy, thông thường
được xác định là chuyển pha crossover. Trong khi đó, với T thấp hơn,
0 ≤ T (cid:46) 18 MeV, tham số trật tự hóa ra lại là một hàm đa trị của µB.
Sử dụng phương pháp được Askawa và Yazaki đưa ra ở [1], tại đó, về bản
chất, người ta đồng nhất vùng đa trị của ngưng tụ chiral với vùng chuyển
pha loại 1, ta phát hiện thấy chuyển pha loại 1 trong vùng nhiệt độ thấp.
Tương ứng, ta thu được giản đồ pha của chuyển pha loại 1 của chất hạt
nhân trong mặt phẳng (T, µB) mô tả bởi Hình 3.9. Trong hình vẽ, giản đồ
này bắt đầu tại (T = 0, µB = 923 MeV), kéo dài và kết thúc tại điểm cuối
Chương 3.
106
Hình 3.8: Sự biến đổi của ngưng tụ chiral u theo µB tại một vài giá trị của T . Từ bên phải sang bên trái là các đồ thị tương ứng với T = 0, 150, 170, 180, 190, 200 MeV. Hình ghép thêm vào biểu diễn u(T, µB )
tại các giá trị T nhỏ, T = 0 (đường1), 5 MeV (đường 2), 10 MeV (đường 3), 15 MeV (đường 4), and 20
MeV (đường 5).
tới hạn, CEP (T (cid:39) 18 MeV, µB (cid:39) 922 MeV). Nó chính xác là chuyển pha
khí-lỏng loại 1 tại mật độ dưới mật độ bão hòa của chất hạt nhân đối xứng.
Hình 3.9 phù hợp tốt với giản đồ pha được phỏng đoán trong QCD [43].
Các thí nghiệm va chạm ion nặng năng lượng thấp chỉ ra là µCEP ∼ 923
MeV, TCEP = 15−20 MeV [32].
Kết quả trên được kiểm tra lại khi quan sát sự biến đổi của thế nhiệt
động theo M ∗ ứng với một vài giá trị của T và µB trong vùng đa trị của (cid:46) 923 MeV. Sự biến chuyển pha hạt nhân, 0 ≤ T (cid:46) 18 MeV và 922 (cid:46) µB đổi của thế nhiệt động theo M ∗ ứng với một vài giá trị của T và µB trong vùng đa trị của chuyển pha hạt nhân được vẽ trong Hình 3.10. Với T (cid:46) 18
Chương 3.
107
Hình 3.9: Các chuyển pha của chất hạt nhân chiral trong mặt phẳng (T, µB ) . Đường liền nét mô tả chuyển pha loại 1. CEP (T = 18 MeV, µB = 922 MeV) là điểm cuối tới hạn. Đường đứt nét mô tả chuyển
pha loại 2. CP (T = 171 MeV, µB = 980 MeV) là điểm ba, ở đó đường cong biểu diễn chuyển pha loại 1
gặp đường cong biểu diễn chuyển pha loại 2.
MeV chuyển pha loại 1 được biểu diễn bởi đồ thị với hai cực tiểu tương
ứng với các pha phục hồi và phá vỡ đối xứng chia tách nhau bởi một rào
chắn. Khi T tăng lên các cực tiểu này mờ dần và tại T (cid:39) 18 MeV rào chắn
giữa chúng biến mất, báo hiệu bắt đầu chuyển pha crossover.
Kết quả trên cũng có thể được kiểm tra một lần nữa bằng việc quan
sát đồ thị phương trình trạng thái (EoS) của chất hạt nhân đối xứng
(Hình 3.2). Chúng mang cấu trúc điển hình của phương trình trạng thái
van der Waals của chuyển pha khí-lỏng giống với cấu trúc thu được từ
các lý thuyết hạt nhân khác [30, 55], tùy thuộc vào việc lựa chọn các lực
hiệu dụng như tương tác hiệu dụng Skyrme và lý thuyết nhiệt độ hữu hạn
Hartree-Fock [55]. Đường AB là một phần của đường phân cách (spinodal)
Chương 3.
108
Hình 3.10: Sự biến đổi của thế nhiệt động theo M ∗ tại một vài giá trị của T và µB trong vùng chuyển pha khí-lỏng.
định ranh giới điều kiện không bền.
T
(cid:19) < 0. (cid:18) ∂P ∂ρB
Các đoạn của các đường đẳng nhiệt nằm dưới trục hoành, thỏa mãn
điều kiện này, tương ứng với các trạng thái nửa bền với áp suất âm [65].
Hình 3.2 cũng chỉ ra rằng chuyển pha xảy ra tại điểm tới hạn ρc ∼
0.3−0.4ρ0 với Tc ∼ 16−18 MeV, phù hợp với các nghiên cứu khác [22].
3.4.2 Chuyển pha chiral
Từ lâu, người ta đã biết rằng, nghiên cứu chuyển pha chiral là một vấn
đề phức tạp. Như đã thảo luận trong [26], dáng điệu trơn của ngưng tụ
chiral khi xét nó như là một hàm của nhiệt độ hoặc mật độ đã khiến cho
một số nhà nghiên cứu tin rằng chuyển pha là loại 2. Trong mục này, ta
Chương 3.
109
tiến hành nghiên cứu chuyển pha chiral trong chất hạt nhân. Từ phương
trình khe (3.14a), tiến hành tính số, ta thu được Hình 3.11, đồ thị biểu
diễn sự phụ thuộc của ngưng tụ chiral u vào mật độ baryon tại một số giá
Hình 3.11: Sự phụ thuộc vào ρB của ngưng tụ chiral ứng với một số giá trị khác nhau của nhiệt độ T .
trị khác nhau của nhiệt độ T .
Trực quan trên đồ thị, ta thấy: tại chân không (ρB = 0), ngưng tụ chiral
u có giá trị lớn nhất, u khác 0, ta phát hiện thấy có phá vỡ đối xứng chiral
tự phát; với ρB khác 0, u giảm và đạt giá trị bằng 0 ứng với các cặp giá
trị mật độ và nhiệt độ khác nhau, ta phát hiện thấy có phục hồi đối xứng
chiral chính xác, nghĩa là phát hiện thấy có chuyển pha chiral từ pha phá
vỡ đối xứng sang pha phục hồi đối xứng. Trực quan trên đồ thị, ta cũng
thấy: tồn tại hai vùng của nhiệt độ T tương ứng với các biểu hiện khác
nhau của ngưng tụ chiral. Với 0 ≤ T (cid:46) 171 MeV, tham số trật tự u(T, µB)
hướng trơn tới 0 và là một hàm đơn trị của µB. Theo lý thuyết của Landau [65], đó là đặc trưng của chuyển pha loại 2. Với T (cid:38) 171 MeV, tham số
Chương 3.
110
trật tự u(T, µB) hướng tới 0 và là một hàm đa trị của µB. Sử dụng phương
pháp đã được phát triển bởi Askawa và Yazaki trong tài liệu [1], tại đó,
về bản chất, người ta đồng nhất vùng đa trị của tham số trật tự với vùng
chuyển pha loại 1, ta xác định chuyển pha trong vùng T (cid:38) 171 MeV là
chuyển pha loại 1. Giản đồ pha tương ứng với chuyển pha chiral trong mặt
phẳng (T, µB) được biểu diễn trong Hình 3.9. Trong hình này, chuyển pha
loại 2 bắt đầu tại (T = 0, µB = 980 MeV), kéo dài (đường chấm chấm) và
kết thúc tại điểm ba, CP (T (cid:39) 171 MeV, µB (cid:39) 980 MeV), tại đó có sự bắt
đầu của chuyển pha loại 1. Kết quả này được khẳng định một lần nữa bởi
việc quan sát sự biến đổi của thế nhiệt động theo M ∗ ứng với một số giá
Hình 3.12: Sự biến đổi của thế nhiệt động theo M ∗ tại một vài giá trị của T và µB trong vùng chuyển pha chiral.
trị khác nhau của T trong vùng đa trị của của ngưng tụ chiral (Hình 3.12).
Từ các Hình 3.8, 3.11 và 3.12, ta thấy rằng sự phục hồi đối xứng chiral
xảy ra ở nhiệt độ 0 chính xác tại mật độ tới hạn ρc (cid:39) 2.2ρ0 và chuyển pha
loại 2 được biểu diễn với một cực tiểu của thế nhiệt động. Khi T tăng lên,
Chương 3.
111
cực tiểu này tách thành hai cực tiểu tại T (cid:39) 171 MeV và xuất hiện một rào
chắn ngăn cách hai cực tiểu, báo hiệu sự bắt đầu của chuyển pha loại 1.
(cid:46) 1210 Chuyển pha chiral loại 2 trong vùng (0 ≤ T (cid:46) 171 MeV, 980 (cid:46) µB
MeV) có thể được kiểm tra bằng việc quan sát sự biến đổi của ngưng tụ
(cid:46) 1210 chiral theo nhiệt độ T tại một vài giá trị của µB trong vùng 980 (cid:46) µB
MeV được biểu diễn trong Hình 3.13. Hình 3.9 và Hình 3.11 cũng cho thấy,
ở vùng có thế hóa baryon cao µB > 1210 MeV hay ρB > 3, 4ρ0 không còn
(cid:46) 1210
Hình 3.13: Sự biến đổi của ngưng tụ chiral theo T tại một vài giá trị của µB trong vùng 980 (cid:46) µB MeV.
quan sát thấy chuyển pha chiral.
Như vậy, khác với chuyển pha khí-lỏng xảy ra ở nhiệt độ thấp tại mật
độ dưới mật độ bão hòa, chuyển pha chiral xảy ra ở nhiệt độ thấp, mật
độ cao và tại nhiệt độ cao, mật độ thấp hoặc ở vùng cả mật độ và nhiệt
độ đều cao. Dấu hiệu trực tiếp của sự phục hồi đối xứng chiral là sự triệt
tiêu của ngưng tụ chiral được xác định bởi phương trình u(T, µB) = 0, ở đó
Chương 3.
112
đường liền nét ký hiệu chuyển pha phục hồi đối xứng chiral loại 1 và đường
chấm chấm ký hiệu chuyển pha phục hồi đối xứng chiral loại 2, ngăn cách
nhau bởi điểm ba tới hạn (Hình 3.9).
Từ các nghiên cứu ở trên, ta đi đến kết luận là thực sự có hai loại giản
đồ pha trong mô hình này: chuyển pha lỏng-khí loại 1 của chất hạt nhân
xảy ra tại mật độ dưới mật độ bão hòa và chuyển pha chiral với hai loại
chuyển pha, được chia tách bởi điểm ba tới hạn.
Như vậy, việc loại bỏ yếu tố trực tiếp gây phá vỡ đối xứng chiral là khối
lượng trần của nucleon trong biểu thức của hàm mật độ Lagrangian đã
khiến hàm mật độ Lagrangian thỏa mãn chính xác bất biến chiral, giúp
mô hình chất hạt nhân chiral trở nên hoàn thiện hơn. Mô hình chất hạt
nhân chiral đối xứng chính xác đã bộc lộ một cách rõ ràng kịch bản chuyển
pha chiral trong chất hạt nhân, mô tả tốt những tính chất cơ bản của chất
hạt nhân.
Trong các mục trước, ta đã nghiên cứu tính chất của chất hạt nhân
dựa trên mô hình chất hạt nhân chiral bất đối xứng có tính đến đóng góp
của các meson sigma, omega và rho. Trong mục này, ta sẽ tiến hành nghiên
cứu tính chất của chất hạt nhân khi đưa thêm vào mô hình đóng góp của
meson delta. Như đã biết, sự trao đổi meson delta cùng với sự trao đổi các
meson khác cho đóng góp cơ bản vào thế thực tương tác nucleon-nucleon
và hơn nữa, sự đóng góp của nó là một phần quan trọng của các điều kiện
bền và các tính chất khác của chất hạt nhân bất đối xứng. Mục đích của
Chương 3.
113
mục này là khảo sát xem meson delta có cho những đóng góp đáng kể làm
xuất hiện các tính chất mới của chất hạt nhân bất đối xứng hay không.
Ta xuất phát từ hàm mật độ Lagrangian
L = LN JL + µ ¯ψγ0ψ,
[( ¯ψψ)2 + ( ¯ψiγ5(cid:126)τ ψ)2] − [( ¯ψγµψ)2 + ( ¯ψγ5γµψ)2] LN JL = ¯ψi ˆ∂ψ + Gs 2 Gv 2
+
+ ψ)2], (3.33) [( ¯ψ(cid:126)τ ψ)2 + ( ¯ψγ5ψ)2] − Gsv 2 Gd 2 [( ¯ψψ)2 + ( ¯ψiγ5(cid:126)τ ψ)2][( ¯ψγµψ)2 + ( ¯ψγ5γµψ)2] Gr 2 ψ)2 + ( ¯ψγ5γµ(cid:126)τ 2 [( ¯ψγµ(cid:126)τ 2
trong đó Gd là hằng số liên kết vô hướng isospin.
Trong môi trường hạt nhân, các nucleon liên kết với nhau tạo thành các
hạt meson trung gian
σ = ¯ψψ,
ψ, ψ. (cid:126)δ = ¯ψ(cid:126)τ ψ, ϕ = ¯ψγ5ψ, (cid:126)π = ¯ψiγ5(cid:126)τ ψ, ωµ = ¯ψγµψ, φµ = ¯ψγ5γµψ, (cid:126)τ (cid:126)(cid:37)µ = ¯ψγµ (cid:126)χµ = ¯ψγ5γµ 2 (cid:126)τ 2
Hàm mật độ Lagrangian được viết lại
L = ¯ψ(i ˆ∂ + γ0µ)ψ + [Gs + Gsv(ω2 + φ2)] ¯ψ(σ + iγ5(cid:126)τ (cid:126)π)ψ
−[Gv − Gsv(σ2 + π2)] ¯ψγµ(ωµ + γ5φµ)ψ
+Gd ¯ψ((cid:126)τ(cid:126)δ + γ5(cid:126)ϕ)ψ − Gr ((cid:126)(cid:37)µ + γ5(cid:126)χµ)ψ ¯ψγµ(cid:126)τ 2
(σ2+π2) + (ω2+φ2) − (δ2+ϕ2) − Gd 2
+ (σ2+π2)(ω2+φ2). (3.34) Gs 2 Gr 2 Gv 2 Gsv ((cid:37)2+χ2) − 3 2
Trong biểu thức (3.34), các hạt mà ta quan tâm như: σ, π, δ... đã xuất
hiện một cách rõ ràng.
Trong gần đúng trường trung bình, ta thay các toán tử trường meson
bởi các giá trị trung bình của chúng trong trạng thái cơ bản của chất hạt
114
Chương 3.
nhân lạnh
(cid:104)σ(cid:105) = u, (cid:104)δi(cid:105) = dδi3, (cid:104)ωµ(cid:105) = ρBδ0µ, (cid:104)(cid:37)iµ(cid:105) = ρI δi3δ0µ
(cid:104)πi(cid:105) = 0, (cid:104)φµ(cid:105) = 0, (cid:104)(cid:126)χµ(cid:105) = 0, (cid:104)ϕi(cid:105) = 0.
Khi đó, hàm mật độ Lagrange được viết
(3.35) LM F T = ¯ψ(cid:0)i ˆ∂ − M ∗ + γ0µ∗(cid:1)ψ − U,
trong đó
p,n = − ˜Gsu ∓ Gdd,
B
M ∗ ˜Gs = Gs + Gsvρ2 = Gs[1 + ξ(ρB/ρ0)2],
p,n = µ∗ µ∗
B
I
B
± µ∗ /2, µ∗ = µB − Σv = µB − (Gv − Gsvu2)ρB,
I
µ∗ = µI − GrρI ,
B
I
B
(cid:3) U = (cid:2)Gsu2 − Gvρ2 + Gdd2 − Grρ2 + 3Gsvu2ρ2
B
I
(cid:3), = + Gdd2 − Grρ2 (cid:2) ˜Gsu2 − 2ΣvρB + Gvρ2
0
1 2 1 2 ξ = ρ2 và Gsv/Gs.
Thực hiện tính toán giải tích tương tự với các mục trước, ta thu được
biểu thức của áp suất
n)2
p )2
B
B
I
n −M ∗ 8Gd
p +M ∗ 8Gs (cid:90) ∞
(M ∗ (M ∗ P = − − + + ρ2 ρ2 +(µB −µ∗ )ρB
p n+
n n+
n )(cid:3),
0
− (3.36) k2dk (cid:2)Ep + T ln(n− Gv Gr 2 2 p ) + En + T ln(n− 1 π2
mật độ năng lượng
p )2
n)2
B
I
p + M ∗ 8Gs (cid:90) ∞
(M ∗ (M ∗ + + ρ2 + ρ2 E =
n − M ∗ 8Gd p +n+
n −1)(cid:3),
0
+ (3.37) k2dk (cid:2)Ep(n− Gv 2 p −1) + En(n− Gr 2 n +n+ 1 π2
Chương 3.
115
các phương trình khe
p +n+
p −1) +
n +n+
n −1)
0 (cid:90) ∞
(cid:90) ∞ (n− (n− (3.38) (cid:21) , u = k2dk
p +n+
p −1) −
n +n+
0
k2dk (n− (n− , (3.39) d = (cid:21) n −1) 1 π2 1 π2 (cid:20)M ∗ p Ep (cid:20)M ∗ p Ep M ∗ n En M ∗ n En
biểu thức của mật độ baryon và mật độ isospin
p −n+
p ) + (n−
0 (cid:90) ∞
(cid:20) (cid:90) ∞ k2dk (n− , (3.40) ρB = (cid:21) n −n+ n )
p −n+
p ) − (n−
0
(cid:20) (n− k2dk . (3.41) ρI = (cid:21) n −n+ n ) 1 π2 1 2π2
p,n có biểu thức tương tự như ở mục trước.
Các hàm phân bố Fermi n±
Hằng số liên kết Gd được xác định từ ràng buộc: trong chân không
p,n của proton và neutron phải
(ρB = 0, kF = 0), khối lượng hiệu dụng M ∗
trùng với khối lượng của chúng: Mp = 938.3 MeV và Mn = 939.7 MeV.
(3.42)
(3.43) Mp = − ˜Gsuvacuum − Gddvacuum, Mn = − ˜Gsuvacuum + Gddvacuum,
với uvacuum và dvacuum thỏa mãn các phương trình khe lấy tại ρB = 0 và
kF = 0.
Tiến hành tính số, ta được
Gd = 10.455Gs (cid:39) 93 fm2
Tiến hành các tính toán bằng số phương trình trạng thái và cấu trúc
pha, ta nhận thấy, tại các vấn đề mà ta quan tâm nghiên cứu, việc bổ sung
meson delta vào mô hình dẫn tới kết quả không khác nhiều so với kết quả
đã trình bày ở trên, do vậy không đưa ra ở đây.
Chương 3.
116
Trong chương này, luận án thiết lập mô hình chất hạt nhân chiral đối
xứng chính xác, tiến hành nghiên cứu có hệ thống các tính chất của chất
hạt nhân. Các kết quả nghiên cứu chính được khái quát lại như sau:
- Tái hiện thành công các tính chất bão hòa của chất hạt nhân như mật
độ bão hòa, năng lượng liên kết, hệ số không chịu nén và khối lượng
của nucleon trong môi trường.
- Tiên đoán hai đặc tính thú vị:
+ Chuyển pha khí-lỏng loại 1 của chất hạt nhân ở mật độ dưới mật
độ bão hòa.
+ Sự phục hồi đối xứng chiral chính xác. Chuyển pha chiral loại 2 bắt
đầu tại (T = 0, µB (cid:39) 980 MeV) kéo dài tới điểm tới hạn tại (T (cid:39) 171
MeV, µB (cid:39) 980 MeV) sau đó là chuyển pha loại 1.
- Tính được nhiệt độ chuyển pha chiral Tc (cid:39) 171 MeV tại µB (cid:39) 980
MeV phù hợp tốt với kết quả mô phỏng mạng QCD đưa ra: Tc (cid:39) 170
MeV [58, 114].
- Mô hình chất hạt nhân chiral đối xứng chính xác đã tái hiện đồng thời
tính chất bão hòa và chuyển pha chiral, nó có thể là một ứng viên sáng
giá để nghiên cứu lý thuyết động lực trong môi trường hadron.
Sử dụng lý thuyết hạt nhân tương đối tính, luận án thiết lập các mô
hình hiện tượng luận mô tả các tính chất của chất hạt nhân theo bậc tự
do nucleon. Các tham số của mô hình được xác định từ các ràng buộc lấy
từ thực nghiệm và cơ chế bão hòa của chất hạt nhân. So sánh kết quả thu
được từ các mô hình với nhau và so sánh với thực nghiệm, ta có một vài
kết luận như sau:
+ Các mô hình đã tái hiện được tính chất bão hòa của chất hạt nhân.
So sánh kết quả với thực nghiệm, ta nhận thấy các mô hình đều xứng đáng
là các ứng viên tin cậy để nghiên cứu các tính chất vật lý của chất hạt
nhân. So sánh các mô hình với nhau, ta nhận thấy kết quả thu được từ
mô hình chiral đối xứng chính xác sát với kết quả thực nghiệm nhất. Điều
này chứng tỏ đóng góp của đối xứng chiral rất quan trọng.
+ Phương trình trạng thái và năng lượng đối xứng hạt nhân trong các
mô hình phù hợp với thực nghiệm.
+ Kịch bản chuyển pha khí-lỏng loại 1 của chất hạt nhân được thể hiện
một cách rõ ràng.
+ Mô hình không chiral không tiên đoán được sự phục hồi đối xứng.
117
Mô hình chiral đối xứng tiệm cận tiên đoán được sự phục hồi tiệm cận ở
Kết luận
118
mật độ cao. Mô hình chiral đối xứng chính xác tiên đoán được sự phục
hồi chính xác và mô tả rõ ràng chuyển pha chiral trong chất hạt nhân. Mô
hình chất hạt nhân chiral đối xứng chính xác xứng đáng được lựa chọn để
nghiên cứu động lực hadron nói chung và chất hạt nhân nói riêng.
HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO
1. Nghiên cứu sự ảnh hưởng của bất đối xứng isospin lên các tính chất
vật lý của hạt nhân chiral.
2. Nghiên cứu chuyển pha do vi phạm độ bền khuếch tán.
3. Nghiên cứu hạt nhân hữu hạn sử dụng mô hình chiral.
[1]. Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh and Dinh Thanh Tam, Phase
Structure in a Chiral Model of Nuclear Matter, Physical Review C84,
024321(2011).
[2]. Nguyen Tuan Anh and Dinh Thanh Tam, Phase Transitions in a Chi-
ral Model of Nuclear Matter, Physical Review C84, 064326 (2011).
[3] Tran Huu Phat, Nguyen Van Long, Nguyen Tuan Anh, Le Viet Hoa,
Dinh Thanh Tam, Contribution of Delta Meson to Asymmetic Nuclear
Matter, Nuclear Science and Technology, No.1, March 2009, pp. 1 – 9.
[4] Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh and Dinh Thanh Tam, Nuclear
Symmetry Energy in Chiral Model of Nuclear Matter, Submitted to
Comm. in Phys. (2011).
[5] Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh, Le Viet Hoa, Le Duc Anh and
Dinh Thanh Tam, Phase Transition of Asymmetric Nuclear Matter,
Submitted to Nucl. Sci. Tech. (2011).
[1]. Tran Huu Phat, Le Viet Hoa, Nguyen Chinh Cuong, Nguyen Tuan
Anh and Dinh Thanh Tam, Symmetry Non-restoration at High Tem-
perature in the CJT Formalism, Communications in Physics, Vol. 18,
119
No.2, June 2008, pp. 102 – 110.
[1] M. Askawa and K. Yazaki (1989), Nucl. Phys. A504, 668.
[2] B. A. Li et al (2007), Phys. Rev. Lett. 99, 162503.
[3] B. A.Li, C. M.Ko and W.Bauer (1998), Isospin physics in heavy-ion
collisions at intermediate energies, Int.J. Mod. Phys. E7, 147.
[4] B. A.Li (2001), Probing the isospin-dependence of the nuclear equa-
tion of state, Nucl. Phys. A681, 434.
[5] B. A.Li and L.W.Chen (2005), Nucleon-nucleon cross sections in
neutron-rich matter and isospin transport in heavy-ion reactions at
intermediate energies, Phys. Rev. C72, 064611.
[6] B. A. Li, L. W.Chen, C. M.Ko and A. W.Steiner (2006), Probing the
equation of state of neutron-rich matter with intermediate energy
heavy-ion collisions, arXiv: nucl-th/0601028, LA-UR-05-9535.
[7] W. Baner (1992), Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 42, 77.
[8] V. Baran, M. Colonna, M. Di Toro, and A. B. Larionov (1998), Nucl.
Phys. A632, 287.
[9] V. Baran, M.Colonna, V.Greco and DiToro (2005), Reaction dynam-
120
ics with exotic nuclei, Phys. Rep. 410, 335 and references herein.
Tài liệu tham khảo
121
[10] V. Baran, M. Colonna,M.Di Toro,V. Greco,M. Zielinska-Pfabe, and
M. H. Wolter (2002), Nucl. Phys. A703, 603.
[11] V. Baran, M. Colonna, M. Di Toro, and A. B. Larionov, Spin-
odal decomposition of low-density asymmetric nuclear matter, arXiv:
0705.1291.
[12] W. Bauer, G.F. Bertsch, and H. Schulz (1992), Phys. Rev. Lett. 69,
1888; L.Phair, W. Bauer, and C.K. Gelbke (1993), Phys. Lett. B314,
271.
[13] G. Bertsch and P. J. Siemens (1983), Phys. Lett. B126, 9.
[14] D. H. Boal (1985), Adv. Nucl. Phys. 15, 85.
[15] D. H. Boal (1985), Nucl. Phys. A447, 479c.
[16] J. Boguta (1983), Phys. Lett. B120, 34.
[17] I.Bombaci (2001), in Isospin Physics in Heavy-ion Collisions, edited
by Li B. A. and Udo Schroeder, Nova Science Publishers, Inc., New
York, pp. 35-81.
[18] I. Bombaci and U. Lombardo (1991), Phys. Rev. C44, 1892.
[19] E. Bonnet, Bimodality and latent heat of gold nuclei, arXiv:
1002.3271.
[20] E. Bonnet et al (2009), Phys. Rev. Lett. 103, 072701.
[21] B. Borderie et al (1993), Phys. Lett. B302, 15.
[22] B. Borderie et al (2008), Prog. Part. Nucl. Phys. 61, 557.
Tài liệu tham khảo
122
[23] B. Borderie et al., Multifragmentation and phase transition for hot
nuclei: recent progress, arXiv: 1003.4120.
[24] M. Brack, C. Guet and H.-B Hakansson (1985), Phys. Report. 123,
275.
[25] M. Buballa (1996), Nucl. Phys. A611, 393.
[26] M. Buballa ( 2005), Phys. Rept. 407, 205.
[27] C. B. Das, S. Das Gupta, C. Gale, and B. A. Li (2003), Phys. Rev.
C67, 034611.
[28] C. H.Lee (1996), Kaon condensation in dense stellar matter, Phys.
Rep. 275, 255.
[29] G. W. Carter and P. J. Ellis (1998), Nucl. Phys. A628, 325.
[30] L. P. Czernai et al (1986), Phys. Rep. 131, 223; H. Muller and B. D.
Serot (1995), Phys. Rev. C52, 2072.
[31] G. Chaudhuri and S. DasGupta (2009), Phys. Rev. C80, 044609.
[32] P. Chomaz, arXiv:nucl-ex/0410024.
[33] D. H. Boal (1987), Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 37, 1.
[34] P. Danielewicz, R. Lacey, and W. G. Lynch (2002), Science 298, 1592.
[35] Dao T. Khoa, W. von Oertzen, and A. A. Ogloblin (1996), Nucl.
Phys. A602, 98.
[36] C. B. Das et al (2005), Phys. Rep. 406, 1.
Tài liệu tham khảo
123
[37] J. Diaz Alonso, J. M. Ibanez, and H. Sivak (1989), Phys. Rev. C39,
671.
[38] C. Ducoin, Ph. Chomaz, and F. Gulminellei (2006), Nucl. Phys.
A771, 68.
[39] J. M. Eisenberg and W. Greiner (1987), Nuclear Models (North-
Holland, Amsterdam).
[40] J. E. Finn et al (1982), Phys. Rev. Lett 49, 1321.
[41] B. Friedman and V. R. Pandharipande (1981), Nucl. Phys. A361,
502.
[42] M. Fromm, J. Langelage, S. Lottini, O. Philipsen, arxiv:1111.4953.
[43] K. Fukushima and T. Hatsuda (2011), Rep. Prog. Phys. 74, 014001.
[44] M. Gell-Mann and M. Levy (1960), Nuovo Cimento 16, 705.
[45] N. K. Glendenning (2001), Phys. Rep. 342, 393.
[46] N. K. Glendenning (1988), Phys. Rev. C37, 2733.
[47] D. Gross, Bao-An Li and A.R. DeAngelis (1992), Ann. Phys. 1, 467;
Bao-An Li and D.H.E. Gross (1993), Nucl. Phys. A554, 257.
[48] F. Gulminellei (2007), Nucl. Phys. A791, 165.
[49] R. S. Hayamo and T. Hatsuda (2010), Rev. Mod. Phys. 82, 2949.
[50] A. S. Hirsch et al., in Proceedings of the Corine II International Work-
shop on Multi-Particle Correlations and Nuclear Reactions, Nantes,
France, Sept. 5-9, 1994.
Tài liệu tham khảo
124
[51] F.Hofmann , C. M.Keil, and H. Lenske. (2001), Density dependent
hadron field theory for asymmetric nuclear matter and exotic nuclei,
Phys. Rev. C64, 034314.
[52] C. J. Horowitz and J. Piekarewicz (2001), Neutron star structure and
the neutron radius of 208Pb, Phys. Rev. Lett. 86, 5674.
[53] C. J. Horowitz and B. D. Serot (1987), Nucl. Phys. A464, 613.
[54] H. Huber, F. Weber, and M. K. Weigel, Phys. Rev. C50, R1287.
[55] H. R. Jaqaman, A. Z. Mekjian, and L. Zamick (1983,1984), Phys.
Rev. C27, 2782; C29, 2067.
[56] M. Jin, M. Urban, and P. Schuck (2010), Phys. Rev. C82, 024911.
[57] K. Huang, Statistical Mechanics, Wiley 1963.
[58] F. Karsch (2002), Nucl. Phys. A698, 199.
[59] V. Koch,T.S. Biro,J.Kunz, and U. Mosel (1987), Phys. Lett.B185,1.
[60] J. B. Kogut, D. Toublan, and D. K. Sinclair (2001), Phys. Lett. B514,
77; S. Hands, S. Kim and J. I. Skullerud (2010), Phys. Rev. D81,
091502 (R).
[61] D. Kudzia, B. Wilczynska , and H. Wilczynski (2003), Phys. Rev.
C68, 054903.
[62] T.T.S. Kuo, S. Ray, J. Shamanna and R.K. Su (1996), Int. Jour. of
Modern Phys. E: Nucl. Phys. 5, 303; S. Ray, J. Shamanna and T.T.S.
Kuo (1996), Phys. Lett. B in press; T.T.S. Kuo, S. Ray, J. Shamanna,
R.K. Su (1996), SUNY-preprint.
Tài liệu tham khảo
125
[63] L. W.Chen et al (2005), Nuclear matter symmetry energy and the
neutron skin thickness of heavy nuclei, Phys. Rev. C72, 064309.
[64] L.W.Chen, C. M. Ko, and B. A. Li (2005), Phys. Rev. Lett. 94,
032701.
[65] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical Physics (Pergamon, New
York, 1969).
[66] J. M. Lattimer and M. Prakash (2000), Phys. Rep. 333, 121.
[67] Lopez-Quelle, M. Marcos, S. Niembo, R.Bouyssy A. and N. Van Giai
(1988), Asymmetric nuclear matter in the relativistic approach, Nucl.
Phys. A483, 479.
[68] W. G. Lynch, talk given at the 2nd International Symposium on
Nuclear Symmetry Energy (NuSYM 11), June 17-22, 2011, Mas-
sachusetts, USA.
[69] M. B. Tsang et al (2004), Phys. Rev. Lett. 92, 062701.
[70] I. N. Mishustin, L. M. Satarov, and W. Greiner (2004), Phys. Rep.
391, 363.
[71] I.N. Mishustin, J. Bondorf, and M. Rho (1993), Nucl. Phys. A555,
215.
[72] I. N. Mishustin, in Proc. Int. Conf. on Nuclear Physics at the Turn
of Millenium (Wilderness, 1996), eds. H. St¨ocker, A. Gallman, and J.
H. Hamilton (World Scientific, Singapure, 1997), p. 499.
[73] K. Miura, T. Z. Nakano, A. Ohnishi, N. Kawamoto, arxiv:1012.1509.
Tài liệu tham khảo
126
[74] L.G. Moretto et al (1992), Phys. Rev. Lett. 69, 1884.
[75] L.G. Moretto and G.J. Wozniak (1993), Ann. Rev. Nucl. Part. Sci.
43, 123.
[76] H. Muller and B. D. Serot (1995), Phys. Rev. C52, 2072.
[77] H. Muther, M. Prakash, and T. L. Ainsworth (1987), Phys. Lett.
B199, 469.
[78] Y. Nambu and G. Jona-Lasinio (1961), Phys. Rev. 122, 345 and 124,
246 .
[79] P. Papazoglou, S. Schramm, J. Schaffner-Bielich, H. St¨ocker, and W.
Greiner (1998), Phys. Rev. C57, 2576.
[80] P. Papazoglou, D. Zschiesche, S. Schramm, J. Schaffner-Bielich, H.
St¨ocker, and W. Greiner (1999), Phys. Rev. C59, 411.
[81] M. Pichon et al (2006), Nucl. Phys. A779, 398.
[82] T. Pietrzak et al, Tracing a phase transition with fluctuation of the
largest fragment size: Statistical Fragmentation models and the AL-
ADIN S254 data, arXiv: 1003.2800.
[83] M. Prakash and K. S. Bedell (1985), Phys. Rev. C32, 1118.
[84] O. Philipsen, arxiv:1111.5370.
[85] A. Rios (2010), Nucl. Phys. A845, 58.
[86] A. Rios, A. Polls, A. Ramos, and H. Muther (2008), Phys. Rev. C78,
044314.
Tài liệu tham khảo
127
[87] D. H. Rischke and M. Gyulassy ( 1996), Nucl. Phys. A608, 479; I.
N. Mishustin (1999), Phys. Rev. Lett. 82, 4779; I. N. Mishustin and
O. Scavenius (1999), Phys. Rev. Lett. 83, 3134.
[88] O. Scavenius, A. Mocsy, I. N. Mishustin, and D. H. Rischke (2001),
Phys. Rev. C64, 045202; J. Andersen and L. Kyllingstad (2010), J.
Phys. G37, 015003.
[89] A. Schmitt, Dense matter in compact stars,( Springer, 2010).
[90] B.D. Serot and J. D. Walecka (1985), Adv. Nucl. Phys. 16, 1.
[91] B.D. Serot and J. D. Walecka, Int.J.Mod. Phys.E6,515
[92] B. D. Serot and J. D. Walecka (1997), Phys. Lett. B87, 172.
[93] M. M. Sharma, W. T. A. Borghols, S. Brandenburg, S. Crona, A.
vanderWoude, and M. N. Harakeh (1988), Phys. Rev. C38, 2562.
[94] P. J. Siemens (1983), Nature 305, 110.
[95] A. W. Steiner, M. Prakash, J. M. Lattimer, and P. J. Ellis (2005),
Phys. Rep. 411, 325 and references herein.
[96] A. W. Steiner, J. M. Lattimer, and E. F. Brown (2010), Astrophys.
J. 722, 33.
[97] J. R. Stone, J. C. Miller, R.Koncewicz , P. D Stevenson, and M.
R.Strayer (2003), Nuclear matter and neutron-star properties calcu-
lated with the Skyrme interaction, Phys. Rev. C68, 034324.
[98] Y. Sugahara and H. Toki (1994), Nucl. Phys. A579, 557.
Tài liệu tham khảo
128
[99] K. Sumiyoshi, H. Toki , and R. Brochmann (1992), Phys. Lett. B276,
393.
[100] T. D. Lee and G.C. Wick (1974), Phys. Rev. D9, 2291.
[101] B. Ter Haar and R. Malfliet (1994), Phys. Rev. C50, 31.
[102] G. Torrieri and I. Mishustin (2010), Phys. Rev. C82, 055202.
[103] G. Torrieri and I. Mishustin, The nuclear liquid-gas phase transition
at large Nc in the Van der Waals approximation, arXiv: 1006.2471.
[104] Y. Tsue, J. da Providencia, C. Providencia, and M. Yamamura
(2010), Prog. Theor. Phys. 123, 1013.
[105] S.Typel. and B.A.Brown (2001), Neutron radii and the neutron equa-
tion of state in relativistic models, Phys. Rev. C64, 027302.
[106] J. Theis et al (1983), Phys. Rev. D28, 2286.
[107] Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh, Nguyen Van Long, and Le Viet
Hoa (2007), Phys. Rev. C76, 045202.
[108] Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh, and Nguyen Van Long (2008),
Phys. Rev. C77, 054321.
[109] V. E. Viola et al (2006), Phys. Rept. 434, 1 and references herein.
[110] V. E. Viola (2004), Nucl. Phys. A734, 487.
[111] B. D. Waldhauser, J. Theis, J. A. Maruhn, H. Stocker, and W.
Greiner (1987), Phys. Rev. C36, 1019.
[112] J. D. Walecka (1974), Ann. Phys. 83, 491.
Tài liệu tham khảo
129
[113] J. Wambach, e-print arXiv: 1101.4760; M. Huang, e-print
arXiv:1001.3216.
[114] J. Wambach , arxiv:1101.4760.
[115] W. Weise (2010), Prog. Theor. Phys. Suppl. 186, 390.
[116] W. Weise, Chiral symmetry in strongly interacting matter, Lectures
presented at "New Frontiers in QCD", YITP, Kyota, 2010, Japan.
ArXiv: 1009.6201.
[117] R. B. Wiringa, V. Fiks, and A. Fabrocini (1988), Phys. Rev. C38,
1010.
[118] S. Wolfram, The Mathematica Book, 5th edition, (Wolfram Media,
Champaign, Illinois, USA, 2003).
[119] W. Zuo„ A. Lejeune, U. Lombardo, and J. F. Mathiot (2002), Eur.
Phys. J. A14, 469.
Trong phần Phụ lục, luận án trình bày một số tính toán thực hiện
trong Chương 2. Các tính toán ở các chương còn lại là tương tự.
1.1. Tính thế nhiệt động Ω
Thế nhiệt động trên thể tích V tại nhiệt độ T và thế hóa µ được
viết
Ω(T, µ) = − ln Z T V
Lấy định thức trong toàn bộ không gian Dirac, không gian vị và không
−)(k0 + E−
−)(k0 + E+ +)
+)(k0 − E+ T 4
K
gian spin và không gian xung lượng, ta có (k0 − E− (cid:88) ln , lnZ = − U (ρB, u, v) + Nf V T
(A1.1)
Thế nhiệt động trên thể tích V tại nhiệt độ T và thế hóa µ được viết
k,n
(cid:20) (cid:88) − +ln +ln +ln ln Ω(T, µ) = U (ρB, u, v) (−iωn− E− Nf −) T V β (−iωn+E− +) T (−iωn− E+ −) T (A1.2) (cid:21) (−iωn+E+ +) T
+∞ (cid:88)
Tiến hành lấy tổng Matsubara. Xét tổng
n=−∞
ln · 1 β −iωn + z T
Tài liệu tham khảo
131
Tổng trên phân kỳ, bao gồm hai phần: phần hữu hạn phụ thuộc vào z
và phần vô hạn không phụ thuộc vào z. Ta tính và lấy phần hữu hạn là
phần có ý nghĩa vật lý theo cách sau.
+∞ (cid:88)
Đặt
n=−∞
ln · v(z) = 1 β −iωn + z T
∞ (cid:88)
Lấy đạo hàm (một cách hình thức) v(z) theo z, ta có
n=−∞
= · ∂v(z) ∂z 1 β 1 −iωn + z
∞ (cid:88)
Ta đã biết, với các hạt fermion
n=−∞
= − f (z), 1 β 1 2 1 −iωn + z
với f (z) là hàm phân bố Fermi-Dirac,
f (z) = · 1 eβz + 1
∞ (cid:88)
Do vậy
n=−∞
= = − f (z). ∂v(z) ∂z 1 β 1 2 1 −iωn + z
Lấy tích phân hai vế theo z, ta được
(cid:90) v(z) = − dz eβz + 1 z 2
= − + T ln[1 + ez/T ] + các số hạng không phụ thuộc z. z 2
Các số hạng không phụ thuộc z không có ý nghĩa vật lý, ta bỏ qua trong
+∞ (cid:88)
quá trình lấy giới hạn nhiệt động lực học và thu được
n=−∞
v(z) = ln = − + T ln[1 + ez/T ] 1 β −iωn + z T z 2
Tài liệu tham khảo
132
+∞ (cid:88)
−E− − T
Từ kết quả trên, ta suy ra
n=−∞ +∞ (cid:88)
ln = + T ln[1 + e ], 1 β (−iωn − E− −) T E− − 2
E− + T ],
n=−∞ +∞ (cid:88)
−E+ − T
ln = + T ln[1 + e 1 β (−iωn + E− +) T −E− + 2
n=−∞ +∞ (cid:88)
ln = + T ln[1 + e ], 1 β (−iωn − E+ −) T E+ − 2
E+ + T ].
n=−∞
ln = + T ln[1 + e (A1.3) 1 β (−iωn + E+ +) T −E+ + 2
Ta cũng có phép biến đổi
k
(cid:88) (A1.4) → V (cid:90) d3k (2π)3
−E− − T
Kết hợp (A1.2),(A1.3) và (A1.4), ta có
− − E−
+ + E+
− − E+
+ + 2T ln[1 + e
−E+ − T
− (cid:8)E− ] (A1.5) Ω(T, µ) = U (ρB, u, v) (cid:90) d3k (2π)3 Nf 2
E− + T ] + 2T ln[1 + e
E+ T ](cid:9). +
+ 2T ln[1 + e ] + 2T ln[1 + e
Sau một vài biến đổi, ta thu được
−n−
+ + E+
−n+ +
k + T ln n−
k + T ln n+
(cid:8)E− (cid:9), (A1.6) Ω = U (ρB, u, v) + Nf (cid:90) d3k (2π)3
∓ /T + 1(cid:3)−1
với
∓ = (cid:2)eE± n±
(A1.7)
chính là các hàm phân bố Fermi- Dirac.
1.2. Tính mật độ năng lượng toàn phần E
Mật độ năng lượng toàn phần được xác định bởi phép biến đổi
Tài liệu tham khảo
133
Legendre của P
(A1.8) E = Ω + T ς + µBρB + µI ρI ,
với ς, ρB, ρI lần lượt là mật độ entropy, mật độ baryon và mật độ isospin,
xác định bởi các biểu thức
; ; · (A1.9) ς = − ρB = − ρI = − ∂Ω ∂T ∂Ω ∂µB ∂Ω ∂µI
Ta lần lượt tiến hành tính ς, ρB và ρI .
1.2.1. Tính mật độ entropy ς
Ta đã có
B
B
(cid:3); (cid:2)Gs(u2 + v2) − Gvρ2 + 3Gsv(u2 + v2)ρ2 U (ρB, u, v) = 1 2
sv2, Ek =
k =
Σv = [Gv − Gsv(u2 + v2)]ρB, (cid:113) (cid:113) E± (cid:126)k2 + M ∗2; (Ek ± µI /2)2 + ˜G2
B
. M ∗ = m0 − ˜Gsu, ˜Gs = Gs + Gsvρ2
Do vậy
= 0; = 0; = 0. ∂U ∂T ∂E± k ∂T ∂Σv ∂T
Biểu thức của mật độ entropy được tính
−n−
+ + E+
−n+ +
k + T ln n−
k + T ln n+
−n−
+ + T ln n+
−n+ +
(cid:26) ς = − E− (cid:27) , = −Nf ∂Ω ∂T (cid:26) T ln n− (cid:27) . = −Nf (cid:90) d3k (2π)3 (cid:90) d3k (2π)3 ∂ ∂T ∂ ∂T
Vì
−n−
+} = ln n−
−n−
+ + T
−) + T
+);
{T ln n− (ln n− (ln n− ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T
−) =
−);
T (ln n− (1 − n−
+) =
+).
T (ln n− (1 − n− ∂ ∂T ∂ ∂T E− − T E− + T
134
Tài liệu tham khảo
Do vậy
−n−
+} = ln n−
−n−
+ +
−) +
+).
{T ln n− (1 − n− (1 − n− ∂ ∂T E− − T E− + T
Tương tự
−n+
+} = ln n+
−n+
+ +
−) +
+).
{T ln n+ (1 − n+ (1 − n+ ∂ ∂T E+ − T E+ + T
−n−
+ +
−) +
(cid:8) ln n− (1 − n− ς = −Nf (1 − n− +) Biểu thức mật độ entropy được viết (cid:90) d3k (2π)3 E− − T
−n+
+ +
−) +
+ ln n+ (1 − n+ (1 − n+ E− + T +)(cid:9) E+ − T E+ + T
Thực hiện một vài biến đổi đối với biểu thức của ς
−) + ln n−
−] + [
+) + ln n− +]
(cid:8)[ (1 − n− (1 − n− ς = −Nf (cid:90) d3k (2π)3
−) + ln n+
+) + ln n+
−] + [
+](cid:9).
(1 − n+ (1 − n+ + [ E− − T E+ − T E− + T E+ + T
Ta có
−) + ln n−
− = n−
− ln n−
− + (1 − n−
−) ln(1 − n− −)
(1 − n−
+) + ln n−
+ = n−
+ ln n−
+ + (1 − n−
+) ln(1 − n− +)
(1 − n−
−) + ln n+
− = n+
− ln n+
− + (1 − n+
−) ln(1 − n+ −)
(1 − n+
+) + ln n+
+ = n+
+ ln n+
+ + (1 − n+
+) ln(1 − n+ +)
(1 − n+ E− − T E− + T E+ − T E+ + T
Do vậy, biểu thức của mật độ entropy được viết
− + (1 − n−
−) ln(1 − n− −)
ς = −Nf (cid:20) − ln n− n− (cid:90) d3k (2π)3
+ ln n−
+ + (1 − n−
+) ln(1 − n− +)
+n−
− ln n+
− + (1 − n+
+n+
+ ln n+
+ + (1 − n+
−) ln(1 − n+ −) (cid:21) +) ln(1 − n+ +)
+n+ . (A1.10)
Tài liệu tham khảo
135
Ta cũng có thể thực hiện một vài biến đổi để thu được biểu thức khác
cho ς
−n−
+ +
−) +
(cid:8) ln n− (1 − n− ς = −Nf (1 − n− +) (cid:90) d3k (2π)3
−n+
+ +
−) +
+)(cid:9)
+ ln n+ (1 − n+ (1 − n+
− + E−
− + E+
− − E−
+n− + (cid:9)
= − (cid:8)E− E− − T E+ − T + + E+ E− + T E+ + T −n− + − E− Nf T (cid:90) d3k (2π)3
−n+
− − E+
+n+
+ + T ln n−
−n−
+ + T ln n+
−n+ +
−E+
Hay
− − n−
+)+E+
−− n+
+) + (µB − Σv)
ς = − (cid:8)E−
k (1 − n− −− n+
+)+(n+
+)]+E−
++E+
−n+ +
k (1 − n+ −n−
k +T ln n−
k +T ln n+
Nf T [(n− (cid:9).(A1.11) (cid:90) d3k (2π)3 −− n−
k , µB, µI là các biến số, T là tham số
1.2.2. Tính mật độ baryon ρB Để tính mật độ baryon ρB ta coi E±
và tiến hành tính vi phân.
− /T ∂E−
−n−
+) = ∂E−
−)eE−
− − (n−
+)eE−
+ /T ∂E− +
k + T ln n−
k − (n−
∂(E−
Vì
− /T =
− eE− n−
− /T + 1 − 1 eE− − /T + 1
eE− = (1 − n− −)
Cho nên
−n−
+) = [n−
− + n−
+ − 1]∂E−
− + n−
+]∂µB + [n−
− − n−
+]∂Σv
∂(E−
−n+
+) = [n+
− + n+
+ − 1]∂E+
− + n+
+]∂µB + [n+
− − n+
+]∂Σv
k + T ln n− k + T ln n+
k + [−n− k + [−n+
∂(E+
Ta có
= 0; = 0; = 0 ∂U ∂µB ∂E± k ∂µB ∂Σv ∂µB
136
Tài liệu tham khảo
Vậy
− − n−
+) + (n+
− − n+
+)].
(A1.12) = Nf ρB = − (cid:90) d3k (2π)3 [(n− ∂Ω ∂µB
1.2.3. Tính mật độ isospin ρI
Ta có
= 0; = ± ); = 0 (Ek ± µI 2 ∂U ∂µI ∂E± k ∂µI ∂Σv ∂µI 1 2E± k
Vậy
(A1.13) ρI = −
−+n−
−+n+
+−1)(
+−1)(
= )−(n+ ∂Ω ∂µI (cid:90) d3k (2π)3 [(n− Nf 2 Ek −µI /2 E− k Ek +µI /2 )] E+ k
Kết hợp (A1.8),(A1.11), (A1.12) và (A1.13) ta có
−+n−
+ − 1)+E+
−+n+
k (n−
k (n+
(cid:26) E− E = U (ρB, u, v)+Nf (cid:27) + − 1)
− − n−
+)+(n+
−− n+
+)](cid:9)+µBρB +µI ρI
−(µB − Σv)(cid:8)Nf (cid:90) d3k (2π)3 (cid:90) d3k (2π)3 [(n−
Chú ý tới biểu thức của U (ρB, u, v) và ρB, biểu thức của mật độ năng
lượng toàn phần được viết
B
B
B
2
2
)u2 − )v2 (A1.14) E = Gvρ2 1 2 1 2
−+n−
+− 1)+
−+n+
+−1)(cid:3),
(n− (n+ + Nf 1 + 2 (cid:90) d3k (2π)3 Ek (Gs + Gsvρ2 (cid:2)Ek − µI E− k (Gs + Gsvρ2 Ek + µI E+ k
