Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Bài toán lãi suất ngân hàng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hoàng Thị Anh Thư

BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG TRONG

DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hoàng Thị Anh Thư

BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG TRONG

DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số

: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài: “Bài toán lãi suất ngân hàng trong dạy học Toán ở

bậc phổ thông” là kết quả công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, dưới sự hướng dẫn

của Thầy Nguyễn Ái Quốc, những trích dẫn trong luận văn, cũng như các kết quả

nghiên cứu từ các công trình nghiên cứu của các tác giả khác đều được trích dẫn đầy

đủ theo đúng quy định.

Tác giả luận văn

Hoàng Thị Anh Thư

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nguyễn Ái Quốc, người

đã dẫn dắt và góp ý cho tôi từng bước nghiên cứu, thực nghiệm để tôi có thể hoàn

thành luận văn này.

Tiếp đến, tôi muốn gửi lời cám ơn đến Thầy Lê Văn Tiến, Cô Lê Thị Hoài Châu,

Thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, Cô Nguyễn Thị Nga, Cô Vũ Như Thư Hương, Thầy

Tăng Minh Dũng. Các Thầy Cô ấy đã bỏ nhiều thời gian và công sức giảng dạy, truyền

thụ cho chúng tôi những tri thức cần thiết và quan trọng của bộ môn Didactic Toán.

Ngoài ra tôi cũng chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau

đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi

cho chúng tôi trong suốt khóa học, cũng như các anh chị trong lớp D27 đã tận tâm giúp

đỡ và góp ý cho tôi trong quá trình thực hiện luận văn.

Cảm ơn Ban giám hiệu cùng các thầy cô tổ Toán trường TiH – THCS - THPT

Ngô Thời Nhiệm Quận 9 Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong

quá trình thực nghiệm.

Cuối cùng, xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã giúp đỡ và

động viên tôi để có thể hoàn thành khóa học một cách tốt nhất.

Hoàng Thị Anh Thư

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục bảng biểu

Danh mục hình vẽ

Danh mục sơ đồ

MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1

Chương 1. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC XOAY QUANH KIỂU NHIỆM VỤ

TÍNH LÃI SUẤT NGÂN HÀNG TRONG TOÁN ĐẠI HỌC KINH

TẾ ........................................................................................................ 9

Lãi đơn .................................................................................................... 9

1.1.1. Một số khái niệm......................................................................... 9

1.1.2. Công thức tính lãi đơn ................................................................. 9

Lãi kép .................................................................................................. 16

Chuỗi tiền tệ ......................................................................................... 22

Vay vốn ................................................................................................ 28

1.4.1. Các phương thức hoàn trả ......................................................... 28

1.4.2. Trả nợ dần định kỳ bằng kỳ khoản cố định............................... 30

1.4.3. Trả nợ dần định kỳ cố định phần trả nợ gốc ............................. 31

1.4.4. Vấn đề lập quỹ trả nợ ................................................................ 31

Chương 2. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC XOAY QUANH KIỂU NHIỆM VỤ

TÍNH LÃI SUẤT NGÂN HÀNG TRONG SÁCH GIÁO KHOA

TOÁN PHỔ THÔNG VIỆT NAM, SÁCH GIÁO KHOA TOÁN

MỸ ..................................................................................................... 34

2.1. Chương trình Toán phổ thông Việt Nam .............................................. 34

2.1.1. Chương trình Toán 5 ................................................................. 34

2.1.2. Chương trình Toán 6 ................................................................. 37

2.1.3. Chương trình Toán 7 ................................................................. 39

2.1.4. Chương trình Toán 8 ................................................................. 40

2.1.5. Chương trình toán 9 .................................................................. 42

2.1.6. Chương trình Toán 11 ban nâng cao ......................................... 44

2.1.7. Chương trình Toán 12 ............................................................... 45

2.1.8. Các đề thi bậc phổ thông ........................................................... 54

2.2. Chương trình Toán Mỹ 9 ...................................................................... 60

Chương 3. THỰC NGHIỆM ............................................................................. 74

3.1. Bài toán thực nghiệm ............................................................................ 74

3.2. Phân tích tiên nghiệm ........................................................................... 77

3.2.1. Biến tình huống, biến didactic và các giá trị của biến .............. 77

3.2.2. Phân tích chi tiết các bài toán ................................................... 78

3.3. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................... 85

KẾT LUẬN ......................................................................................................... 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 101

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GD&ĐT

Giáo dục và Đào tạo

Giáo viên

GV

Học sinh

HS

Kiểu nhiệm vụ

KNV

Lãi suất ngân hàng

LSNH

Mô hình toán học

MHTH

Mathematics for the international student 9

MYP4

Sách bài tập

SBT

Sách giáo khoa

SGK

Trung học phổ thông

THPT

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1.1. Thống kê số lượng bài tập chủ đề lãi đơn trong Toán tài chính ....... 15

Bảng 1.2. Thống kê số lượng bài tập chủ đề lãi kép trong Toán tài chính ....... 21

Bảng 1.3. Công thức tính giá trị tương lai, hiện giá của chuỗi tiền tệ phát sinh

cuối kỳ và đầu kỳ .............................................................................. 23

Bảng 1.4. Công thức tính giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ cố

định ................................................................................................... 23

Bảng 1.5. Công thức tính giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ biến đổi

có quy luật ......................................................................................... 24

Bảng 1.6. Thống kê số lượng bài tập chủ đề chuỗi tiền tệ trong Toán tài

chính .................................................................................................. 27

Bảng 1.7. Bảng hoàn trả .................................................................................... 29

Bảng 1.8. Thống kê số lượng bài tập chủ đề vay vốn trong Toán tài chính ..... 32

Bảng 3.1. Thống kê kết quả bài làm cá nhân phiếu 1 bài toán 1 của HS .......... 85

Bảng 3.2. Thống kê kết quả bài làm cá nhân phiếu 1 bài toán 2 của HS .......... 86

Bảng 3.3. Thống kê kết quả bài làm nhóm thực nghiệm 2 của HS ................... 96

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 3.1. Trích bài làm cá nhân bài toán 1 của HS 1 ..................................... 86

Hình 3.2. Trích bài làm cá nhân bài toán 1 của HS 2 ..................................... 86

Hình 3.3. Trích bài làm cá nhân bài toán 2 của HS 3 ..................................... 87

Hình 3.4.

Trích bài làm cá nhân bài toán 2 của HS 4 .................................... 87

Hình 3.5. Trích bài làm cá nhân bài toán 2 của HS 5 ..................................... 88

Hình 3.6. Trích bài làm nhóm 1 ...................................................................... 92

Hình 3.7.

Trích bài làm nhóm 2 ...................................................................... 93

Hình 3.8. Trích bài làm nhóm 5 ...................................................................... 95

Hình 3.9. Trích bài làm nhóm 8 ...................................................................... 95

Hình 3.10. Trích bài làm nhóm 3 ...................................................................... 95

Hình 3.11. Trích bài làm nhóm 3 ...................................................................... 96

DANH MỤC SƠ ĐỒ

Sơ đồ 1.1. Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kì .................................................................. 22

Sơ đồ 1.2. Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kì .................................................................... 22

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

1.1. Những ghi nhận ban đầu

Với chủ trương “Đổi mới nội dung giáo dục theo hướng tinh giản, hiện đại, thiết

thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ và ngành nghề; tăng thực hành, vận dụng kiến thức

vào thực tiễn” (Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam, 2013), bên cạnh

nắm được những kiến thức được giảng dạy trên lớp, học sinh còn được yêu cầu vận

dụng chúng vào đời sống hằng ngày. Để thực hiện được chủ trương này thì chương

trình dạy học ở phổ thông cần hướng đến giải quyết các bài toán thực tế. Chính vì thế,

trong chương trình lớp 9, từ năm học 2016 – 2017, bài toán tính LSNH đã được đưa

vào kì thi tuyển sinh 10. Cụ thể:

Câu 3b: Ông Sáu gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với

kì hạn 1 năm là 6%. Tuy nhiên sau thời hạn một năm, ông Sáu không đến nhận

tiền lãi mà để thêm một năm nữa mới lãnh. Khi đó số tiền lãi có được sau một

năm được ngân hàng cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho

năm kế với mức lãi suất cũ. Sau 2 năm ông Sáu nhận được số tiền là 112360000

đồng (kể cả gốc lẫn lãi). Hỏi ban đầu ông Sáu đã gửi bao nhiêu tiền?

(Sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh, 2016)

Đối với bậc THPT, LSNH được giảng dạy trong chương trình Toán 12, chương

2 “Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số Logarit”, với bài toán “lãi kép”.

Ví dụ 1. Bài toán “lãi kép”

Một người gửi số tiền 1 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết

rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được

nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Hỏi người đó được lĩnh bao



nhiêu tiền sau n năm ( n

  ), nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra

và lãi suất không đổi?

(Trần Văn Hạo et al., 2008)

2

Với kĩ thuật được trình bày như sau:

Gọi số tiền gửi là P , lãi suất là r , số năm gửi là

n

n



  

Tính số tiền được lĩnh (vốn tích lũy, gồm vốn và lãi) được sau năm thứ nhất:

r

 





 1



P P Pr P 1

Tính số tiền được lĩnh sau năm thứ hai:

r









 1

2

P 2

P Pr P 1 1

n

Tính số tiền được lĩnh sau n năm:

P

r





 1



nP

(Trần Văn Hạo et al., 2008)

Không chỉ vậy, với hình thức thi trắc nghiệm được áp dụng từ năm học 2016 -

2017, LSNH cũng được đưa vào đề thi THPT Quốc gia 2017:

Câu 35: Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/ năm.

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ

được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm

người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? Giả

định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.

(Bộ GD&ĐT, 2017)

Để kịp thời đáp ứng hình thức thi trắc nghiệm khách quan, các trường THPT trên

địa bàn thành phố Hồ Chí Minh đã soạn thảo các đề cương ôn tập dưới dạng tự luận

và trắc nghiệm, do vậy, bài toán LSNH với nhiều dạng hơn được đưa vào. Cùng với

đó, bài toán LSNH cũng được xuất hiện trong đề cương một số trường ở lớp 11.

Không chỉ vậy, trong dự thảo ngày 19 tháng 01 năm 2018, nội dung “Chương

trình giáo dục phổ thông môn Toán” của bộ GD&ĐT, chủ đề Toán tài chính đã được

yêu cầu đưa vào chương trình học của HS từ lớp 5, xuyên suốt nội dung từ lớp 6 đến

lớp 12, LSNH được yêu cầu đưa vào “Hoạt động thực hành và trải nghiệm”, cụ thể là

bài toán tính lời, lãi ngân hàng, lãi suất trong quá trình gửi tiết kiệm hay vay vốn,…

Những thay đổi nêu trên cho thấy LSNH ngày càng được chú trọng hơn và trở thành

nội dung không thể thiếu trong quá trình đánh giá kết quả học tập ở HS.

3

Do đó, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi ban đầu sau:

1. Lãi suất ngân hàng xuất hiện như thế nào trong chương trình Toán phổ thông?

Gồm những dạng toán nào? Phương pháp giải ra sao?

2. Cách trình bày của sách giáo khoa và sách bài tập Toán phổ thông có tạo điều

kiện cho học sinh giải quyết các KNV liên quan lãi suất ngân hàng không?

Những câu hỏi vừa nêu trên đã đưa chúng tôi đến đề tài: “Bài toán lãi suất ngân

hàng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông”.

1.2. Tổng quan các công trình có liên quan

LSNH đã xuất hiện từ bậc tiểu học, đến bậc THPT thì đối tượng này mới được

trình bày một cách tường minh, cụ thể là trong chương trình Toán 12, khái niệm LSNH

được nêu ở phần mở đầu của bài “Hàm số mũ, hàm số logarit” với dạng thức “lãi

kép”. Bên cạnh đó, cấp số nhân cũng là nội dung quan trọng của bài toán LSNH. Vậy

nên, chúng tôi sẽ tham khảo các luận văn liên quan đến cấp số nhân và hàm số mũ,

hàm số logarit để làm cơ sở nghiên cứu cho luận văn của mình.

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Phạm Thị Hồng Dân (2016), “Nghiên cứu vai

trò công cụ của cấp số nhân trong dạy học ở trường phổ thông”

Phân tích thể chế dạy học toán 11 hiện hành ở Việt Nam, tác giả nhận thấy

vai trò công cụ của cấp số nhân được xuất hiện trong Toán học, Vật lí, Sinh

học, vấn đề dân số và lĩnh vực Tài chính. Bên cạnh đó, để thấy rõ hơn sự

ràng buộc của thể chế dạy học Toán 11, tác giả tiến hành phân tích giáo trình

Toán tài chính 1, SBT Di truyền và giáo trình Precalculus. Kết quả cho thấy

vai trò công cụ của cấp số nhân xuất hiện một cách mờ nhạt và chưa được

quan tâm nhiều trong các môn học ở trường phổ thông, một số KNV đã bị

lược bỏ so với các giáo trình được nghiên cứu. Sau đó, tác giả tiến hành thực

nghiệm với 4 bài toán với các KNV thuộc các môn Sinh học, Vật lí, lĩnh vực

tài chính và nhận thấy: HS chưa nhận diện được cấp số nhân, cũng như chưa

biết cách xây dựng, vận dụng cấp số nhân vào giải quyết các bài toán trong

các môn học khác và thực tiễn cuộc sống. Trong nội dung thực nghiệm, với

bài toán về Vật lí và lĩnh vực tài chính, hầu hết các HS đều bỏ trống. Với

4

khó khăn trên của HS, tác giả xây dựng thực nghiệm 2 nhằm giúp HS nhận

ra và vận dụng cấp số nhân vào giải quyết các bài toán thực tiễn.

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Viết Hiếu (2013), “Nghĩa và vai trò

công cụ của khái niệm logarit trong dạy học toán ở bậc trung học phổ

thông”

Trên cơ sở tổng hợp một số cách tiếp cận khái niệm logarit và những lợi thế

riêng của từng cách mang lại, tác giả đã đưa ra một số ứng dụng mà logarit

đóng vai trò công cụ.

+ Đơn giản hóa các phép tính phức tạp của logarit: đơn giản các phép

tính nhân, chia và khai căn thành các phép tính đơn giản hơn nhờ các tính

chất của logarit. Để minh họa cho một trong các vai trò của mình, tác giả

đưa ra hai ví dụ là bài toán tính số năm gửi tiền N từ công thức lãi kép

N

r



và bài toán tính thời gian phân rã t của các chất phóng xạ.

 C A 1 



  f xa

b ,

Với các giả thiết được cho, bài toán sẽ dẫn đến MHTH có dạng

  f x

  g x

a

và chúng sẽ được dễ dàng giải quyết bằng kĩ thuật sử dụng

b

logarit.

+ Công cụ tính các chữ số của một số nguyên dương x bằng công

thức [ log ] 1 x 

+ Tỉ lệ logarit: cho phép chuyển đổi các đại lượng có phạm vi lớn hay

nhỏ về đại lượng có khả năng kiểm soát được, chẳng hạn độ pH của một

dung dịch hay độ chấn động của động đất, cường độ âm thanh,…

Tuy nhiên, khi tiến hành phân tích SGK Toán 12, tác giả nhận thấy

rằng thể chế dạy học môn Toán ở trường phổ thông lại chưa tạo điều kiện

cho HS tiếp cận với những ứng dụng này. Chính vì vậy, việc học logarit

mang nặng tính lí thuyết.

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Phạm Trần Hoàng Hùng (2008), “Khái niệm

logarit trong trường trung học phổ thông”.

Để phân tích mối quan hệ cá nhân HS với đối tượng khái niệm logarit trong

thể chế dạy học Toán ở phổ thông, tác giả đã tiến hành nghiên cứu SGK và

5

SBT Toán 12 hiện hành, từ đó kết luận cách trình bày của SGK và SBT chủ

yếu giúp cho HS tiếp cận với những kĩ thuật biến đổi đại số chứ không cho

HS tiếp cận được nghĩa cũng như vai trò công cụ của logarit trong việc giải

quyết các bài toán thực tế.

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Đoàn Nhật Duật (2014), “Mô hình hóa trong

dạy học khái niệm logarit ở trường phổ thông”

Sau khi phân tích SGK Vật Lí, Hóa học, Sinh học, tác giả nhận thấy khái

niệm logarit xuất hiện trong các tình huống thực tế với hình thức là logarit

cơ số 10 (lg) và logarit Neper (ln) chủ yếu dưới dạng thức mà logarit đóng

  f xa

0,

a





vai trò “Giải phương trình dạng

 ” và “Tính toán

 b a b ,

 1

những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi”. Tuy nhiên hai

vai trò này lại không được SGK Toán chú trọng truyền tải cho HS. Nhận

thấy được tầm quan trọng cũng như khả năng vận dụng cao trong nhiều môn

học, tác giả đã tiến hành xây dựng đồ án dạy học mô hình hóa khái niệm

nhằm giúp HS rèn luyện kĩ năng mô hình hóa kiến thức thực tế vào toán học

và làm rõ hai vai trò công cụ của logarit được trình bày ở trên. Tình huống

được đưa ra là “Sự phân đôi của tế bào, sinh trưởng của vi sinh vật” và “Chu

kì bán rã”.

Là chủ đề toán thực tế quen thuộc đối với HS và trong chương trình toán THPT,

bài toán LSNH được giải quyết chủ yếu bằng công cụ cấp số nhân và hàm số mũ, hàm

số logarit, tuy nhiên, vấn đề mô hình hóa đối với các đối tượng này lại không được

chú trọng. Bên cạnh đó, qua một số nội dung luận văn chúng tôi tham khảo, chưa có

luận văn hay tình huống dạy học nào quan tâm đến khái niệm LSNH, những bài toán

liên quan đến LSNH. Do vậy, chúng tôi đã hướng đến đề tài “Bài toán lãi suất ngân

hàng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông”, với mục đích giúp cho HS hiểu rõ hơn

về khái niệm LSNH cũng như các vấn đề liên quan LSNH. Bên cạnh đó, xây dựng tình

huống dạy học mà qua đó, HS có thể tự mình xây dựng MHTH để giải quyết bài toán

LSNH.

6

2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Để đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi xuất phát được đưa ra trên, chúng tôi sẽ

đặt nghiên cứu của mình trong khuôn khổ lí thuyết didactic toán:

- Thuyết nhân học: quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học. Thông

qua các tổ chức toán học để tìm hiểu cách HS tiếp cận khái niệm LSNH và

các KNV liên quan.

- Dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa toán học với quá trình mô hình

hóa được tiến hành như sau:

 Bước 1: Giữ lại những yếu tố quan trọng của bài toán, lược bỏ những

yếu tố không cần thiết.

 Bước 2: Xây dựng MHTH bằng cách biểu diễn các mối quan hệ giữa

các đại lượng bằng ngôn ngữ toán học.

 Bước 3: Giải quyết bài toán ở trên bằng các công cụ toán học.

 Bước 4: Dựa trên kết quả ở bước 3, phân tích, kiểm định lại để trả lời

câu hỏi của bài toán thực tế được đặt ra ban đầu.

Với những giả thuyết được đặt ra sau khi tiến hành phân tích thể chế, chúng tôi

sử dụng đồ án dạy học của lí thuyết tình huống, trên cơ sở đó, xây dựng bài toán thực

nghiệm, phân tích tiên nghiệm để dự đoán các lời giải có thể có ở HS, sau đó tiến hành

thực nghiệm và phân tích hậu nghiệm, kiểm chứng những giả thuyết của mình.

3. Phạm vi nghiên cứu

Với đề tài “Bài toán lãi suất ngân hàng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông”

nên trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi sẽ tìm hiểu sự xuất hiện, cũng như các

KNV liên quan đến LSNH ở chương trình Toán phổ thông, từ bậc tiểu học đến trung

học phổ thông, các dạng toán LSNH được xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh 10 và

THPT quốc gia. Trước đó, để làm rõ hơn sự lựa chọn của thể chế, chúng tôi sẽ nghiên

cứu Toán tài chính – giáo trình đại học của khoa Tài chính doanh nghiệp trường Đại

học Kinh tế thành phố Hồ Chí Minh. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng phân tích thêm sách

Toán Mỹ để tìm hiểu cách họ cho HS tiếp cận LSNH như thế nào theo quan điểm mô

hình hóa. Và cuối cùng, dựa trên các kết luận sau khi nghiên cứu và phân tích, chúng

tôi sẽ tiến hành xây dựng một tình huống dạy học. Lựa chọn đối tượng thực nghiệm là

7

HS 12 - đã được học bài hàm số mũ, hàm số logarit cũng như đã được tiếp cận dạng

toán tính LSNH, chúng tôi dự kiến tiến hành thực nghiệm vào tháng 4 năm 2018. Sau

khi thực nghiệm sẽ tiến hành phân tích và tổng hợp để hoàn thành luận văn vào tháng

9 năm 2018.

4. Mục tiêu nghiên cứu - câu hỏi nghiên cứu

Với mục tiêu làm rõ sự hiện diện của LSNH trong thể chế Toán Việt Nam, từ

những ảnh hưởng mà thể chế tác động lên đối tượng này, chúng tôi tiến hành xây dựng

một tình huống dạy học, góp phần giúp HS cải thiện được thiếu sót mà thể chế mang

lại.

Trong khuôn khổ phạm vi lí thuyết đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại những

câu hỏi nghiên cứu như sau:

CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học và trung học, đối tượng lãi suất ngân

hàng được hiện diện như thế nào? Có các tổ chức toán học nào gắn liền với đối tượng

lãi suất ngân hàng? Trong sách Toán Mỹ (Mathematics for the international student

9), bài toán lãi suất ngân hàng đã được tiếp cận như thế nào?

CH2: Để học sinh có thể giải được bài toán lãi suất ngân hàng thì cần phải xây

dựng tình huống dạy học như thế nào?

5. Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu, chúng tôi tiến hành phương pháp nghiên cứu

thực tiễn. Cụ thể, chúng tôi tham khảo Toán Tài chính để nghiên cứu khái niệm LSNH,

các dạng toán liên quan LSNH được trình bày ở bậc đại học, sau đó, để xem xét sự lựa

chọn của thể chế Toán phổ thông, chúng tôi nghiên cứu và phân tích chương trình

Toán phổ thông cũng như một số đề thi tuyển sinh Toán trong những năm gần đây. Và

cuối cùng, chúng tôi sẽ phân tích sự hiện diện của LSNH trong sách Toán Mỹ. Với

công cụ là phương pháp đồ án didactic, chúng tôi sẽ xây tình huống dạy học và tiến

thực nghiệm trên HS lớp 12.

6. Nội dung nghiên cứu

6.1. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Phân tích giáo trình Toán Tài chính của Đại học Kinh tế thành phố Hồ Chí Minh

8

- Phân tích mối quan hệ thể chế dạy học Toán phổ thông đối với khái niệm LSNH

và bài toán LSNH theo quan điểm mô hình hóa

- Phân tích bài toán LSNH đã xuất hiện trong đề thi tuyển sinh 10, đề tham khảo

và đề thi chính thức THPT quốc gia từ năm 2016 đến nay

- Phân tích cách tiếp cận LSNH trong sách Toán Mỹ

- Xây dựng thực nghiệm

6.2. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 5 phần:

- Phần mở đầu

- Chương 1. Các tổ chức toán học xoay quanh kiểu nhiệm vụ tính lãi suất ngân

hàng trong Toán Đại học Kinh tế

- Chương 2. Các tổ chức toán học xoay quanh kiểu nhiệm vụ tính lãi suất ngân

hàng trong sách giáo khoa Toán phổ thông Việt Nam, sách giáo khoa Toán Mỹ

- Chương 3. Thực nghiệm

- Kết luận

9

Chương 1. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC XOAY QUANH

KIỂU NHIỆM VỤ TÍNH LÃI SUẤT NGÂN HÀNG TRONG

TOÁN ĐẠI HỌC KINH TẾ

Trong nội dung này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu sự hiện diện của khái niệm LSNH

trong thể chế Toán Đại học. Cụ thể, chúng tôi tìm hiểu các hình thức tính lãi suất nào

được xuất hiện, cũng như các tổ chức toán học xoay quanh khái niệm này. Bên cạnh

đó, chúng tôi cũng đặt khái niệm LSNH trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học,

tập trung ở bước 2 (xây dựng MHTH) và bước 4 (trả lời bài toán thực tế) của quá trình

mô hình hóa.

Lãi đơn

1.1.1. Một số khái niệm

Trước khi xây dựng công thức tính lãi đơn, Toán tài chính đã trình bày một số

định nghĩa như sau:

- Lợi tức được hiểu theo hai góc độ. Ở phía người cho vay hay nhà đầu tư, lợi tức

là số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư ban đầu trong một thời gian nhất định. Còn ở

phía người đi vay, lợi tức là số tiền mà người đi vay phải trả cho người cho vay để sử

dụng vốn trong một thời gian nhất định.

- Lợi tức đơn được định nghĩa là một lợi tức chỉ tính trên số vốn vay hoặc vốn

gốc ban đầu trong suốt thời gian vay.

- Tỷ suất lợi tức (nhận được) phải trả so với vốn (cho) vay trong một đơn vị thời

gian:

Tỷ suất lợi tức = Lãi suất =

(cid:2896)ã(cid:2919) (cid:2926)(cid:2918)ả(cid:2919) (cid:2930)(cid:2928)ả (cid:4666)(cid:2924)(cid:2918)ậ(cid:2924) đượ(cid:2913)(cid:4667) (cid:2930)(cid:2928)(cid:2925)(cid:2924)(cid:2917) (cid:2923)ộ(cid:2930) đơ(cid:2924) (cid:2932)ị (cid:2930)(cid:2918)ờ(cid:2919) (cid:2917)(cid:2919)(cid:2911)(cid:2924)

(cid:2932)ố(cid:2924) (cid:2932)(cid:2911)(cid:2935) (cid:4666)(cid:2913)(cid:2918)(cid:2925) (cid:2932)(cid:2911)(cid:2935)(cid:4667)

Đơn vị thời gian có thể là năm, tháng, quý, ngày,…

1.1.2. Công thức tính lãi đơn

Trong phần đặt vấn đề, Toán tài chính xây dựng công thức tính lãi đơn một cách

rõ ràng bằng công thức quy nạp, thông qua đó, sinh viên không chỉ biết được cách

10

chứng minh công thức mà còn củng cố được khái niệm lợi tức đã được trình bày trước

đó.

Ta đưa vào sử dụng vốn

0V với mong muốn đạt được lãi suất là i%/năm. Vào cuối

mỗi năm ta rút lợi tức và chỉ để lại vốn

Ở cuối năm 1:

Vốn gốc:

0V

Lợi tức của năm đầu tiên:

0V i





Ta có

 i 

V V i V 0 0

 0 1

Ở cuối năm 2:

Vốn gốc

0V

Lợi tức của năm thứ 2:

0V i

Lợi tức của năm đầu tiên

0V i



Ta có

 1 2. i 



V 0

V i V 2  0

0

……………………………………………………

Một cách tổng quát, trong vòng n năm, giá trị đạt được theo lãi suất đơn sẽ là



nDV

 V 0 1

ni  

(Nguyễn Ngọc Định, Nguyễn Thị Liên Hoa, Dương Kha, Phùng Đức Nam, 2004)

Bên cạnh đó, “nếu lãi suất và thời hạn cho vay không cùng một đơn vị thời gian,

chúng ta phải biến đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức

trên” (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004), Toán tài chính đã nhắc nhở một sai lầm thường

gặp phải ở HS và sinh viên trong quá trình tính toán là không thống nhất đơn vị đo.

Bên cạnh lãi suất đơn, Toán tài chính còn hiện diện một số hình thức tính lãi suất

hoàn toàn mới

- Lãi suất tương đương (Lãi suất ngang giá)

11

Ngoài lãi suất i được tính theo năm, lãi suất còn được tính theo kỳ và được gọi

i

'



là lãi suất ngang giá 'i với công thức

i k

(với k là số kỳ trong năm)

- Lãi suất trung bình

Trên thực tế, lãi suất có thể khác nhau trong những khoảng thời gian khác nhau,

i

n i k k n

k

   - Lãi suất thực

do đó, để tính được giá trị cuối cùng thu được, ta tính lãi suất trung bình i:

Do trên thực tế, ngoài lợi tức cần phải trả, người đi vay còn phải trả thêm một số

chi phí vay, do đó, lãi suất thực tế người đi vay trả cao hơn lãi suất mà người cho vay

đưa ra.

“Lãi suất thực là mức chi phí thực tế mà người đi vay phải trả để sử dụng một

f

I



i t

 V 0

t

khoản vốn vay nào đó trong thời hạn nhất định” (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004).

ti : lãi suất thực

f : chi phí vay

0tV : vốn thực tế sử dụng

Trong đó

Sau mỗi định nghĩa mới được đưa vào, Toán tài chính đều gắn với ví dụ minh

họa có hướng dẫn giải cụ thể. Do đặc trưng của khối ngành kinh tế nên các ví dụ được

đưa vào, bên cạnh tính các đại lượng trong công thức, Toán tài chính còn yêu cầu có

sự so sánh các kết quả với các thời hạn vay khác nhau, từ đó sinh viên sẽ rút ra nhận

Ví dụ 5: Ngân hàng cho vay ngắn hạn 1 khoản tiền 200 triệu đồng, với các điều

kiện sau

- Lãi suất 9,6% năm

xét trường hợp nào sẽ có lợi cho người đi vay. Cụ thể

- Phí hồ sơ 200.000 đồng

- Các khoản chi phí khác 0,2% vốn gốc

Xác định lãi suất thực của khoản vay trên trong các trường hợp sau:

- Thời gian vay là 1 năm

- Thời gian vay là 4 tháng

Nếu trong hợp đồng vay quy định người đi vay phải trả trước lãi vay thì lãi suất

thực sẽ thay đổi như thế nào?

12

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

Hệ thống bài tập với mục đích giúp sinh viên củng cố và vận dụng các công thức

vừa học cũng tương đối đa dạng và phong phú. Bên cạnh đó, Toán tài chính còn đưa

vào một số bài tập ở mức độ cao hơn, không chỉ thuần túy giải quyết bài toán toán học.

Bài 14: Ông Hai có một số tiền chia ra gởi ở hai ngân hàng: 3/5 số tiền gởi ở ngân

hàng X trong 9 tháng, 2/5 số tiền gởi ở ngân hàng Y trong 15 tháng. Phương pháp

tính lãi được áp dụng là tính lãi đơn. Tổng lợi tức đạt được ở cả hai ngân hàng

bằng 11,4% tổng số tiền gởi. Hãy xác định lãi suất tiền gởi. (Lãi suất ở ngân hàng

X bằng lãi suất ở ngân hàng Y).

Giải

Gọi X là tổng số tiền gởi, i là lãi suất tháng.

Số tiền gởi ngân hàng X là 3 / 5 X và lợi tức đạt được ở ngân hàng X là

X i 3 / 5 .9

X i 5, 4 .



Số tiền gởi ngân hàng Y là 2 / 5 X và lợi tức đạt được ở ngân hàng Y là

X 2 / 5 .15

i

6

Xi



Xi

6

Xi

11, 4

Xi





Tổng lợi tức đạt được ở cả hai ngân hàng là 5, 4

Xi

0,114

X

1%



i  

Theo đề bài ta có 11, 4

/tháng

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

Có thể thấy rằng, bên cạnh áp dụng công thức tính lãi đơn, bài toán còn yêu cầu

sinh viên phải phân tích đề, qua đó, lựa chọn những dữ kiện phù hợp, kết nối chúng

13

với nhau để thiết lập một phương trình mà kết quả của nó chính là đáp án của bài toán.

Đây cũng chính là các bước của mô hình hóa.

Do ở các bài toán lãi suất được trình bày, bước 1 và 2 của quá trình mô hình hóa

không hoàn toàn tách biệt mà gần như là giống nhau, nên trong quá trình phân chia

dưới đây, chúng tôi sẽ gộp chúng lại với nhau và sẽ chỉ chia làm 3 bước theo thứ tự

sau: xây dựng MHTH – giải quyết bài toán toán học – kết luận.

Bước 1: Xây dựng MHTH

Gọi X là tổng số tiền gởi, i là lãi suất tháng.

X i 3 / 5 .9

X i 5, 4 .



Số tiền gởi ngân hàng X là 3/5X và lợi tức đạt được ở ngân hàng X là

X i 2 / 5 .15

6

Xi



Xi

6

Xi

11,4

Xi





Số tiền gởi ngân hàng Y là 2/5X và lợi tức đạt được ở ngân hàng Y là

Tổng lợi tức đạt được ở cả hai ngân hàng là 5,4

Xi

0,114

X

1%



i  

Bước 2: Giải quyết bài toán toán học

/tháng Theo đề bài ta có 11, 4

Bước 3: Kết luận

Thiếu vắng

 KNV T1: Tính giá trị đạt được/số tiền vay ở cuối đợt đầu tư

Trong nội dung lãi đơn, chúng tôi nhận thấy có các KNV sau:

- Kĩ thuật:

0V , lãi suất %i

ni





+ Xác định số tiền gốc , thời gian gửi n (lưu ý cùng đơn vị thời gian)



nDV

 V 0 1

+ Áp dụng công thức

 KNV con T1.1: Tính lợi tức đạt được sau một thời gian cho trước

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi đơn

- Kĩ thuật:

0V , lãi suất %i

+ Xác định số tiền gốc , thời gian gửi n (lưu ý cùng đơn vị thời gian)

+ Áp dụng công thức

I  D

V n i 0. . 12

(lãi suất theo năm còn thời hạn theo tháng)

14

I  D

V n i 0. . 30

Hoặc (lãi suất theo tháng còn thời hạn theo ngày)

I  D

V n i 0. . 360

Hoặc (lãi suất theo năm còn thời hạn theo ngày)

 KNV T2: Tính vốn cần sử dụng để thu được khoản tiền mong muốn

- Công nghệ - Lý thuyết: Định nghĩa lợi tức và công thức tính lãi đơn

- Kĩ thuật:

nV , lãi suất %i

+ Xác định giá trị mong muốn , thời gian gửi n (lưu ý cùng đơn

V

ni



  

vị thời gian)

 1



V 0

V 0

nD

V nD ni 1 

+ Áp dụng công thức

 KNV T3: Tính thời gian đầu tư để thu được khoản tiền mong muốn

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi đơn

- Kĩ thuật:

nV , thời gian gửi n (lưu ý cùng đơn

+ Xác định số tiền gốc 0V , giá trị mong muốn

1



V nD V 0

V

ni

n



vị thời gian)

 1

   

V 0

nD

i

+ Áp dụng công thức

 KNV T4: Tính lãi suất của quá trình đầu tư/ cho vay

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi đơn

- Kĩ thuật:

0V , thời gian gửi n

+ Xác định lợi tức DI , vốn gốc

I



i  

+ Áp dụng công thức

D

V n i . . 0 12

12 I D V n . 0

I



i  

(lãi suất theo năm còn thời hạn theo tháng)

D

V n i . . 0 30

30 I D V n . 0

(lãi suất theo tháng còn thời hạn theo ngày) Hoặc

I



i  

15

D

V n i . . 0 360

360 I D V n . 0

Hoặc (lãi suất theo năm còn thời hạn theo ngày)

 KNV T5: Tính lãi suất trung bình của quá trình đầu tư/ cho vay

- Công nghệ - lí thuyết: Định nghĩa lãi đơn

- Kĩ thuật:

kn kỳ

+ Xác định lãi suất ki /kỳ trong thời gian

i

n i k k n

k

  

+ Áp dụng công thức

 KNV T6: Tính lãi suất thực của quá trình đầu tư/ cho vay

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi suất trung bình

- Kĩ thuật:

0V , lãi suất %i

f

I

+ Xác định vốn gốc , chi phí vay f , lợi tức phải trả I



i t

 V 0

t

+ Áp dụng công thức

 KNV T7: Tính lãi suất tương đương của quá trình đầu tư/ cho vay

- Công nghệ - Lý thuyết: Định nghĩa lãi suất thực

- Kĩ thuật:

+ Xác định lãi suất ban đầu i , số kỳ trong năm k

i  k

+ Áp dụng công thức ' i

- Công nghệ - Lý thuyết: Định nghĩa lãi suất tương đương

Bảng 1.1. Thống kê số lượng bài tập chủ đề lãi đơn trong Toán tài chính

Sử dụng MHTH

Xây dựng kĩ thuật

Tổng

KNV

có sẵn

thông qua MHTH

Tính giá trị đạt được/số tiền 3 3 0 vay ở cuối đợt đầu tư

Tính vốn cần sử dụng để thu 6 8 2 được khoản tiền mong muốn

16

Tính thời gian đầu tư để thu

3

0

3

được khoản tiền mong muốn

Tính lãi suất tương đương của

1

0

1

quá trình đầu tư/ cho vay

Tính lãi suất trung bình của

3

0

3

quá trình đầu tư/ cho vay

Tính lãi suất thực của quá trình

5

0

5

đầu tư/ cho vay

Tính lãi suất của quá trình đầu

2

1

3

tư/ cho vay

Tính lợi tức của quá trình đầu

16

0

16

tư/ cho vay

Với nhiều hình thức tính lãi suất (lãi suất, lãi suất tương đương, lãi suất trung

bình, lãi suất thực) nên ở chương Lãi đơn, KNV “Tính lợi tức của quá trình đầu tư/

cho vay” và KNV liên quan đến tính các hình thức lãi suất chiếm số lượng lớn (12/42

và 16/42 trên tổng số bài tập). Bên cạnh hệ thống bài tập vận dụng các công thức

(MHTH) sẵn có, Toán tài chính còn hiện diện các bài toán yêu cầu sinh viên xây dựng

kĩ thuật giải thông qua MHTH sẵn có, qua đó giải quyết bài toán được đưa ra (tương

tự bài toán 14 chúng tôi đã trình bày ở trên), dù số lượng không nhiều (3/42 bài) nhưng

cũng cho thấy sự quan tâm của giáo trình đối với dạng toán này.

Lãi kép

“Lãi kép là phương pháp tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để

tính lãi kỳ sau” (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004). Lãi kép còn được gọi là lãi gộp vốn,

lãi ghép vốn hoặc lãi nhập vốn. Ở đây, không chỉ vốn sinh ra lợi tức mà lợi tức cũng

sinh ra ra lợi tức.

Tương tự như công thức lãi đơn, công thức tính lãi kép cũng được suy ra từ

phương pháp quy nạp

n

i





 0 1

nV V 

Trong đó,

:nV giá trị đạt được sau khi đầu tư

0 :V vốn

:i lãi suất trên một năm

:n số kỳ đầu tư

17

Bên cạnh công thức tính lãi kép, Toán tài chính cũng trình bày một số công thức

tính lãi suất khác như ở lãi suất đơn

- Lãi suất tỷ lệ ti :



Lãi suất tỷ lệ ti là công thức quy đổi khi lãi suất không cùng đơn vị với kỳ ghép lãi

i t

i m

, với m là số kỳ trong năm

- Lãi suất tương đương 'i

“Lãi suất tương đương là một mức lãi suất mà bất kỳ kỳ ghép lãi dài hay ngắn

m

i

'

1

1

i



  (m là số kỳ ghép lãi trong năm)

thì lợi tức đạt được vẫn không thay đổi” (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004).

n 3

n k

n 1

n 2

n

i











1 

 1



 1



 1



 ..... 1



i k

i 1

i 2

i 3

i i

i

- Lãi suất trung bình

:k

,...,

n n 2, 1

n thời gian đầu tư ở giai đoạn 1,2,…,k :k

...

n n 1

n n     2 k

lãi suất ở giai đoạn 1,2,…,k Trong đó, 1, 2,...,

n

1





i t

f

V n 

V 0

- Lãi suất thực ti

:nV số tiền phải trả khi đáo hạn

Trong đó:

:

f

chi phí vay vốn khác (lệ phí vay, chi phí phát hành,…)

Ở cả hai hình thức tính lãi đơn và lãi kép, nếu thời gian vay càng ngắn thì lãi suất

thực ti sẽ càng cao do phải trả các chi phí vay vốn f cố định mỗi kỳ.

18

Với “lãi suất trung bình” và “lãi suất thực”, Toán tài chính đều trình bày ví dụ

mở đầu rồi thông qua đó xây dựng công thức tính, điều này đã giúp sinh viên tiếp cận

công thức một cách dễ dàng hơn cách thức đưa ra công thức một cách trực tiếp như ở

những nội dung trước đó.

Bên cạnh được giới thiệu cả hai hình thức tính lãi suất, sinh viên còn có sự so

Xem xét 2 công thức tính giá trị đạt được theo lãi đơn và lãi kép

V

ni







nD

V 0

n

V

i





 1  1



nK

V 0

Chúng ta có thể kết luận như sau

n

- Nếu

1

ni

i







n  , ta có  1



 1



V

V

I

I



    giá trị đạt được của lãi đơn và lãi kép sẽ bằng nhau

nD

nK

D

K

nếu thời gian đầu tư là 1 năm

n

- Nếu

1

ni

i







n  , ta có  1



 1



V

V

I

I



    giá trị đạt được của lãi đơn sẽ thấp hơn so với lãi kép

nD

nK

D

K

nếu thời gian đầu tư là trên 1 năm

1

- Nếu

n  , ta có

V

V

I

I



    giá trị đạt được của lãi đơn sẽ cao hơn so với lãi kép

nD

nK

D

K

nếu thời gian đầu tư là dưới 1 năm

sánh giữa hai hình thức này

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

Với nhận xét trên, sinh viên cũng như nhà đầu tư sẽ lựa chọn được hình thức tính

phù hợp và có lợi trong các trong thời gian đầu tư hay vay vốn khác nhau. Có thể thấy

rằng, thao tác so sánh này là hoàn toàn cần thiết trong các bài toán thực tế trong chủ

đề kinh tế, thông qua đó, mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn được thể hiện rõ hơn.

 KNV T1*: Tính giá trị đạt được/số tiền vay ở cuối đợt đầu tư

Trong nội dung này, chúng tôi nhận thấy có các KNV chính sau

19

- Kĩ thuật:

n

i



(lưu ý cùng đơn vị thời gian) + Xác định số tiền gốc 0V , lãi suất %i



 0 1

nV V 

+ Áp dụng công thức

 KNV con T1.1*: Tính lợi tức đạt được sau một thời gian cho trước

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi kép

- Kĩ thuật:

nV V

0

 KNV T2*: Tính vốn cần sử dụng để thu được khoản tiền mong muốn

+ Lợi tức =

- Kĩ thuật:

nV , lãi suất %i

+ Xác định giá trị mong muốn , thời gian gửi n (lưu ý cùng đơn

n

vị thời gian)

i



  

 1



V 0

V 0

V n

n

V n i 



 1

+ Áp dụng công thức

 KNV T3*: Tính thời gian đầu tư để thu được khoản tiền mong muốn

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi kép

- Kĩ thuật:

(lưu ý cùng đơn vị +Xác định số tiền gốc 0V , giá trị mong muốn nV , lãi suất %i

log

n

n

i

  

thời gian)

 1



n

V V  0

i

V n V 0  log 1 



+Áp dụng công thức

 KNV T4*: Tính lãi suất của quá trình đầu tư/ cho vay

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi kép, định nghĩa logarit

- Kĩ thuật:

n

n

i

i

  

+Xác định số tiền gốc 0V , giá trị mong muốn/ số tiền phải trả nV

1 

 1



V V  0 n

V n V 0

+Áp dụng công thức

 KNV T5:* Tính lãi suất trung bình của quá trình đầu tư/ cho vay

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi kép

- Kĩ thuật:

20

kn kỳ

n 3

n k

n 1

n 2

n

i











+ Xác định lãi suất ki /kỳ trong thời gian

1 

 1



 1



 1



 ..... 1



i k

i 1

i 2

i 3

+ Áp dụng công thức

 KNV T6*: Tính lãi suất thực của quá trình đầu tư/ cho vay

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi suất trung bình

- Kĩ thuật:

0V , lãi suất %i

n

+ Xác định vốn gốc lợi tức phải trả I , chi phí vay ,f

1





i t

f

V n 

V 0

+ Áp dụng công thức

 KNV T7*: Tính lãi suất tương đương của quá trình đầu tư/ cho vay

- Công nghệ - Lý thuyết: Công thức tính lãi kép

- Kĩ thuật:

m

1



i + Áp dụng công thức '

1 i  

+ Xác định lãi suất ban đầu i , số kỳ ghép lãi trong năm m

- Công nghệ - Lý thuyết: Định nghĩa lãi suất tương đương

Ngoài các bài tập vận dụng công thức (MHTH) cho sẵn, còn có một số nội dung

bài tập yêu cầu sinh viên phải dựa trên MHTH có sẵn để thiết lập kĩ thuật giải. Cụ thể

bài toán được đưa ra như sau

Bài 16: Ông Hai có một số tiền 200 triệu đồng chia ra gửi ở 2 ngân hàng X và Y.

Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng x với lãi suất 2% quý trong thời gian 15 tháng,

số tiền thứ hai gửi ở ngân hàng Y lãi suất 2,15% quý trong thời gian 12 tháng.

Nếu lãi gộp vốn mỗi quý một lần và tổng lợi tức đạt được ở cải hai ngân hàng là

18.984.100 đồng, hãy xác định số tiền ông Hai gửi ở mỗi ngân hàng.

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

Giải

 200000000 x

Bước 1: Xây dựng MHTH Gọi x là số tiền gửi ở ngân hàng X, số tiền gửi ở ngân hàng Y 

 x  1 2%

5

Giá trị thu được ở ngân hàng X là

200000000

1 2,15%

x



21



4

218984100

Giá trị thu được ở ngân hàng Y là 





5

4

200000000

x

1 2,15%

218984100

1 2% 









Giá trị đạt được ở cả 2 ngân hàng là 200000000 18984100 đồng.









Ta có phương trình  x

218.984.100



217762693 1,088813 x  1,221407

x 1,104081  x 0,015268  x 80000000



Bước 2: Giải quyết bài toán toán học

Bước 3: Kết luận

Vậy số tiền ông gửi ở ngân hàng X là 80000000 đồng và ngân hàng Y là

120000000 đồng

Lời giải chi tiết trên đã được chúng tôi phân chia theo các bước của mô hình hóa

và dễ nhận thấy, các bước của quá trình này đều hiện diện đầy đủ và rõ ràng. Đối với

những dạng toán như trên, sinh viên không chỉ được yêu cầu nắm vững công thức đã

được cung cấp mà còn phải vận dụng chúng một cách linh hoạt để giải quyết bài toán

được đưa ra.

Bảng 1.2. Thống kê số lượng bài tập chủ đề lãi kép trong Toán tài chính

KNV

Tổng

Sử dụng MHTH có sẵn

Xây dựng kĩ thuật thông qua MHTH

0 21 21

4 10 6

2 9 7

1 16 15

0 7 7

0 11 11

1 3 2

0 9 9 Tính giá trị đạt được/số tiền vay ở cuối đợt đầu tư Tính vốn cần sử dụng để thu được khoản tiền mong muốn Tính thời gian đầu tư để thu được khoản tiền mong muốn Tính lãi suất tương đương của quá trình đầu tư/ cho vay Tính lãi suất trung bình của quá trình đầu tư/ cho vay Tính lãi suất thực của quá trình đầu tư/ cho vay Tính lãi suất của quá trình đầu tư/ cho vay Tính lợi tức của quá trình đầu tư/cho vay

22

Số lượng bài tập ở chương Lãi kép có phần vượt trội hơn với 86 bài tập. Tương

tự như nội dung Lãi đơn, KNV liên quan tính các hình thức lãi suất: lãi suất, lãi suất

tương đương, lãi suất trung bình và lãi suất thực vẫn chiếm số lượng lớn (37/86) . Bên

cạnh đó, số lượng bài toán yêu cầu vận dụng MHTH cho sẵn để thiết lập kĩ thuật giải

cũng tăng lên với 8/86 tổng số bài tập.

Chuỗi tiền tệ

“Chuỗi tiền tệ là một loạt các khoản tiền phát sinh định kỳ theo những khoảng

cách thời gian bằng nhau” và được dùng để “tạo ra một khoản vốn hoặc trả dần một

khoản nợ” (Nguyễn Ngọc Định et al., 2004). Khoảng cách giữa hai khoản tiền phát

sinh liền nhau (có thể tính theo tháng, quý, năm,…) được gọi là một kỳ hạn.

Phân loại theo thời điểm phát sinh mà ta phân loại chuỗi tiền tệ và được minh

họa bằng sơ đồ sau

Sơ đồ 1.1. Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kì

Sơ đồ 1.2. Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kì

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

23

Dễ nhận thấy, đối với chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kì, khi nhà đầu tư gửi một

khoản tiền vào ngân hàng, thì đến cuối kì hạn tiền lãi mới được tính. Còn trong trường

hợp chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kì, ở đầu kì hạn gửi, nhà đầu tư sẽ có ngay số tiền lãi

tương ứng với mức lãi suất của ngân hàng đưa ra. Do vậy, căn cứ vào lợi ích kinh tế

thì nhà đầu tư sẽ chọn hình thức tính đầu kỳ hay cuối kỳ hạn cho phù hợp.

Trong nội dung này, hầu hết các khái niệm và công thức mới đều được Toán tài

 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ, đầu kỳ

k

ka : giá trị của kỳ khoản thứ k 

chính chứng minh và gắn với ví dụ minh họa cụ thể.

1, n

i: lãi suất

n : số kỳ phát sinh

Bảng 1.3. Công thức tính giá trị tương lai, hiện giá của chuỗi tiền tệ phát sinh

cuối kỳ và đầu kỳ

Phát sinh cuối kỳ Phát sinh đầu kỳ

nV là tổng giá trị tương

n

n k

1  

n

i





 1



n k 

' V n

a k

Giá trị tương lai



i





V n

  1 a k

k

1 

lai của các kỳ khoản được xác định vào

i





 1



k 1  V n

thời điểm cuối cùng của chuỗi tiền tệ

n

(cuối kỳ thứ n)

k 1  

n

i





 1



k

a k

' V 0





Hiện giá là tổng hiện giá của các kỳ

i  

V 0

  a 1 k

k

1 

i





 1



k 1  V 0

khoản được xác định ở thời điểm gốc

 Chuỗi tiền tệ cố định (chuỗi đều): số tiền phát sinh trong mỗi kỳ đều bằng nhau

(thời điểm 0)

Bảng 1.4. Công thức tính giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ cố định

Phát sinh cuối kỳ

Phát sinh đầu kỳ

n

n

1

1









 1

 1

a .

a .





 . 1

 i 

V n

' V n

 i i

 i i

n

n





i

1

i

1





Giá trị tương lai

a .

a .

i







 . 1



' V 0

V 0

 1   i

 1   i

Hiện giá

 Chuỗi tiền tệ biến đổi có quy luật: số tiền phát sinh trong mỗi kỳ không bằng nhau

24

Bảng 1.5. Công thức tính giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ biến đổi

có quy luật

Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số

Chuỗi tiền tệ biến đổi theo

cộng

cấp số nhân

n

n

n

1





 1

V

a

.



V

a

.







n

n

q q

i i

 

 

r i

 i i

nr i

 1  1

 

Giá trị

  

  

   

   

n



n



tương lai

i





i





 1



V 0

V n

 1



V 0

V n

n



n

n

1

i

n





.

a

nr





a .

i





 . 1



r   i

 1   i

nr i

  

  

q q

i i

 1    1  

 

   

   

q

Hiện giá

i   thì

 1



na





 1

 1 i 

V 0

trường hợp

Ở phần bài tập vận dụng, do có một số KNV sử dụng kiến thức ngoài chương

trình phổ thông, cụ thể là công thức nội suy – được giảng dạy ở chương trình đại học,

do đó, ở nội dung dưới đây, chúng tôi chỉ trình bày những KNV được giải quyết bằng

 KNV T1**: Tính giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ

những kiến thức HS được giảng dạy ở phổ thông.

- Kĩ thuật

+Xác định giá trị của kỳ khoản a , công sai r lãi suất %i , số kỳ khoản n

+Áp dụng công thức

n

1





 1

V

a

.







n

r i

 i i

nr i

  

  

   

   

Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng phát sinh cuối kỳ :

n

n

a .



V n

q q

i i

 1    1  

 

Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân phát sinh cuối kỳ:

- Công nghệ - Lý thuyết: định nghĩa cấp số nhân và cấp số cộng

 KNV T2**: Tính giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ

25

- Kĩ thuật

+Xác định giá trị của kỳ khoản a , công sai r lãi suất %i , số kỳ khoản n

+Áp dụng công thức

n



i





 1



V n

V 0

n



1

i



.

a

nr





r   i

 1   i

nr i

  

  

   

   

Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng phát sinh cuối kỳ:

n



i





 1



V 0

V n

n

n

n



a .

i





 . 1



q q

i i

 1    1  

 

Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân phát sinh cuối kỳ:

 KNV T3**: Tính số kỳ hạn cần thiết để nhà đầu tư thu được số tiền mong muốn

- Công nghệ - Lý thuyết: công thức cấp số nhân

trong tương lai

'

- Kĩ thuật

nV , giá trị của kỳ

+Xác định giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ

khoản a , lãi suất %i

log

n

1





 1

. a

n

i



  

 . 1



' V n

 i i

' . V i n  1 a   log 1 i 

 i 

+Áp dụng công thức

- Công nghệ - Lý thuyết: định nghĩa cấp số nhân và logarit

Tương tự ở nội dung lãi đơn và lãi kép, nội dung này vẫn trình bày hệ thống các

bài tập giúp sinh viên rèn luyện các công thức vừa cung cấp. Bên cạnh đó, do đặc trưng

của chuyên ngành kinh tế nên các bài toán ở đây đòi hỏi sự chính xác rất cao, chúng

Bài 2: Một công ty muốn có một số vốn tích lũy là 1 triệu USD. Khả năng tài

chính của công ty có thể tích lũy hàng năm 100000USD và nếu gửi số tích lũy

tôi sẽ trình bày một bài toán điển hình ngay dưới đây

hằng năm vào ngân hàng (gởi vào đầu mỗi năm) với lãi suất 4% năm thì sau bao

nhiêu kỳ gởi công ty sẽ đạt được số vốn như mong muốn.

Giải

n

i

1





 1

'

a

i



Ta có công thức

1000000 U SD ,

 1

  với

' V n

nV 

 i

4%i 

a=100000USD , và

n

'

1



 1 4% 

9, 615385









a

 4%



nV  1 4% 100.000 1 4% 

1.000.000 





n

1, 384185



 1 4%  

8, 297208

n





 log1, 384615 log1, 04

Vì khả năng tài chính có giới hạn ở mức 100.000USD năm nên công ty không thể

gởi thêm, do đó ta phải chọn

n

n

 kỳ 9

2

Ở đầu kỳ thứ 9, công ty sẽ giảm bớt một khoản tiền x với

x







2

' V n



96.741USD

x  



  ' 1 4% V  n  ' ' V V  2 n n  1 4% 

 

3.259USD

a x   

a Số tiền cần phải gửi ở đầu kỳ thứ 9: 9

26

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

Dễ nhận thấy đây là bài toán được giải quyết bằng công thức sẵn có nhưng tuy

nhiên, nó lại có điểm khác biệt so với các bài toán khác: với kết quả vừa nhận được từ

bài toán toán học thì quá trình giải vẫn được tiếp tục với việc kiểm nghiệm, đối chiếu

đáp số với thực tế. Ngoài ra, Toán tài chính còn xây dựng tình huống yêu cầu có sự

sánh giữa các hình thức gửi/ trả để xác định hình thức mang lại lợi nhuận cao nhất cho

nhà đầu tư/người vay vốn.

Không chỉ vậy, các tình huống được đưa vào là sự kết hợp của nhiều giai đoạn,

đòi hỏi sinh viên phải có sự phân tích kĩ lưỡng.

Bài 5: Một người gửi tiền đều đặn vào ngân hàng cuối mỗi năm: năm đầu tiên gửi

10 triệu đồng và năm sau tăng hơn so với năm trước 1 triệu đồng, liên tiếp trong

8 năm. Ba năm sau ngày gởi tiền cuối cùng, người này rút ra đều đặn hằng năm

những khoản tiền bằng nhau trong 5 thì tài khoản kết toán. Xác định số tiền người

này rút ra hằng năm, nếu lãi suất gửi tiền là 8%.

27

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

Bài toán trên gồm có ba giai đoạn:

- Gửi liên tiếp trong 8 năm, mỗi năm số tiền nhiều hơn 1 triệu đồng: Chuỗi tiền

tệ biến đổi theo cấp số cộng 8 kỳ khoản

- Để số tiền đó trong ngân hàng 3 năm: bài toán lãi kép 3 kỳ khoản

- Rút tiền đều đặn trong 5 năm: Chuỗi tiền tệ đều 5 kỳ khoản.

Có thể thấy rằng, bài toán trên đòi hỏi vận dụng linh hoạt và có sự phối hợp giữa

các công thức đã được cung cấp chứ không chỉ đơn thuần sử dụng 1 công thức như

các bài toán đã được trình bày ở trước đó.

Không chỉ riêng nội dung lãi đơn và lãi kép, ở các bài tập trong chương Chuỗi

tiền tệ cũng xuất hiện các bài toán yêu cầu phải xây dựng kĩ thuật giải thông qua việc

kết hợp các MHTH có sẵn.

Bảng 1.6. Thống kê số lượng bài tập chủ đề chuỗi tiền tệ trong Toán tài chính

Xây dựng kĩ

Tổng

Sử dụng

thuật thông

KNV

MHTH có

qua MHTH

sẵn

Tính số kỳ hạn cần thiết để đầu tư/trả 6 0 6 nợ

Tính giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ 17 0 17

Tính giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ 25 0 25

Tính lãi suất ngân hàng 13 1 14

Tính lợi tức đạt được 1 0 1

Với số lượng tổng cộng 63 bài toán, trong đó, KNV tính giá trị tương lai (17/63)

và giá trị hiện tại (25/63) chiếm số lượng lớn, cho thấy sự quan tâm của giáo trình đối

với 2 KNV này. Đối với KNV “Tính số kỳ hạn cần thiết để đầu tư/trả nợ”, có tổng

28

cộng 6 bài tập trong nội dung này và chúng đều có yêu cầu phải đối chiếu với thực tế

sau khi nhận được kết quả từ bài toán toán học. Bên cạnh đó, trong từng KNV đều tồn

tại bài tập yêu cầu khả năng phối hợp giữa các công thức với nhau, chúng tôi liệt kê

được 6/63 bài toán có hình thức này.

Ở phần trình bày kĩ thuật giải chi tiết cho từng KNV, chúng tôi không trình bày

KNV “Tính lãi suất ngân hàng” vì tính phức tạp trong kĩ thuật giải, yêu cầu sử dụng

kiến thức chỉ được học ở đại học là “Công thức nội suy”. Tuy nhiên, do trong các bài

tập thuộc KNV này, chúng tôi thấy hiện diện 1 bài toán có yếu tố đòi hỏi mô hình hóa

mà không phải sử dụng công thức nội suy, nên chúng tôi vẫn sẽ liệt kê KNV này vào

bảng thống kê. Tuy nhiên, đây là bài toán buộc phải sử dụng mô hình hóa duy nhất ở

nội dung này.

Vay vốn

Có hai đối tượng chính trong hoạt động vay vốn là người cho vay và người đi

vay. Người cho vay có thể giao vốn cho người đi vay 1 hay nhiều lần, người đi vay có

thể trả cả vốn lẫn lãi theo nhiều hình thức khác nhau. Trong nội dung dưới đây, chúng

tôi sẽ trình bày các hình thức hoàn trả (redemption) và công thức tính tương ứng với

từng hình thức.

1.4.1. Các phương thức hoàn trả

1.4.1.1. Trả vốn vay (nợ gốc) là lãi một lần khi đáo hạn

Phương thức này ít được áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính dài hạn vì không

mang lại lợi nhuận nhiều cho người cho vay, bên cạnh đó, người đi vay cũng gặp phải

nhiều khó khăn về tài chính do phải trả một số tiền lớn vào ngày hết hạn hợp đồng.

n

K

i

Số tiền mà người đi vay phải trả được tính theo công thức

 1



Trong đó: K : số tiền cho vay (vốn gốc)

i : lãi suất cho 1 kỳ (tháng, quý, năm,…)

n : thời hạn vay (tháng, quý, năm,…)

1.4.1.2. Trả lãi định kỳ, nợ gốc trả khi đáo hạn

Lãi định kỳ là Ki

Số tiền mà người đi vay phải trả được tính theo công thức

1K  i

29

1.4.1.3. Trả nợ dần định kỳ (Amortization)

Đây là phương thức được áp dụng rộng rãi trong vay vốn đầu tư kinh doanh.

Các công thức cơ bản

,n

,

,

,...,

a

a a a 1 2

:n

3

số tiền phải trả trong kỳ thứ 1,2,3,

,n

I

,

I

,

I

,...,

I

1

2

3

:n

,n

M M M

,

,

,...,

M vốn gốc phải trả trong kỳ thứ 1,2,3,

2

1

3

:n

,n

,

,..., V :

V V V , 1

0

2

n

1

p

 dư nợ đầu năm thứ 1,2,3, 1, n

:p kỳ trả nợ bất kỳ 

lợi tức phải trả trong kỳ thứ 1,2,3,

Bảng hoàn trả được xác định như sau:

Bảng 1.7. Bảng hoàn trả

Vốn gốc trả

Kỳ p 

Dư nợ đầu kỳ 1pV  

Lãi trả trong pI

kỳ 

Kỳ khoản pa trả nợ 

trong kỳ pM 

I

K





0V

1

V i 0

1M

a 1

I M  1

1

I

a



V M 



V 1

0

1

2

V i 1

2M

2

I M  2

2

1

2

V

V

M

I

a









n

n

2

n

n

n

1

nM

n

I M  n

n

1 



1 

V i

… … … … …

N

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

Tính chất (tham khảo Toán tài chính )

n

n

n

2

1 



K

i

i

i

i











...  

 1



 1



 1



 1

a n

 a   n

a 1

a 2

1 

1. Giá trị tương lai của vốn cho vay bằng tổng giá trị tương lai của các kỳ khoản nợ

n

1 

2 



i

i

i







...  



 1



 1



 1



a n

K a  1

a 2

2. Hiện giá của khoản vốn cho vay bằng tổng hiện giá của các kỳ khoản trả nợ

pV sau khi đã trả p kỳ khoản bằng hiệu số giữa giá trị của iá trị tương lai

3. Số còn nợ

của số vốn vay tính và thời điểm p trừ đi giá trị tương lai của p kỳ khoản đã trả vào

cùng thời điểm p

n

p

p

2

1 



V

K

i

i

a

i











...  



 1





 1

 1



p

a 1

a 2

p

 

30

  pV sau khi đã trả p kỳ bằng hiện giá của n-p kỳ khoản còn phải trả tính

4. Số còn nợ

n p

)

1 

2 

(  

a

i

a

i

i









...  



 1



 1



 1



V p

p

p

a n

2

1 



vào thời điểm p

n

K

p

  M

p

1 

5. Tổng số các khoản vốn gốc hoàn trả trong các kỳ bằng số vốn vay ban đầu

V

1n

n

M 

6. Số vốn gốc hoàn trả trong trong kỳ cuối bằng số dư nợ đầu kỳ cuối

1.4.2. Trả nợ dần định kỳ bằng kỳ khoản cố định

Đặc điểm của phương thức này là người đi vay có thể trả nợ dần dần nên đây là

n



1

i



K a . 

 Kỳ khoản trả nợ

 1   i

 Bảng hoàn trả: có hình thức tương tự bảng hoàn trả ở mục trả nợ dần định kỳ nhưng

phương thức được áp dụng khá phổ biến.

dựa trên các công thức tính sau

V

V

M





p

p

p

1

1





Tính số dư nợ đầu mỗi kỳ

I



p

p

1

V i

Tính số nợ vay trả trong kỳ

M

a

I





p

p

 Định luật trả nợ dần: “khi một khoản vốn vay được trả dần định kỳ bằng các kỳ

Tính số vốn gốc trả trong kỳ

 1 i

p

1 

M

M

i



khoản cố định, các phần vốn gốc hoàn trả trong mỗi kỳ hợp thành một cấp số nhân có công bội 

 1

 i 



1

p

p

 

 1 1

pM M 

hay

(Nguyễn Ngọc Định et al., 2004)

Hệ quả

.

M K  1

i



1n 

 1

i 

- Phần trả nợ gốc trong kỳ đầu tiên



31

 1

 1 i 

nM a 

n p

1)



- Phần vốn gốc hoàn trả trong kỳ khoản cuối cùng

 1

 ( i   

pM a 

p

i

1





- Phần vốn gốc hoàn trả trong 1 kỳ khoản bất kỳ

R

K

.



p

n

i

1





 1  1

 

- Số nợ đã trả sau p kỳ

pV

- Số nợ còn sau khi đã trả p kỳ

1.4.3. Trả nợ dần định kỳ cố định phần trả nợ gốc

a

a

i



1p

p

 

K n

Trong hình thức này, do vốn gốc trong kỳ trả nợ được cố định nên

r

i

 

K n

. Khi đó, các kỳ khoản trả nợ tạo thành một cấp số cộng giảm dần với công sai

1.4.4. Vấn đề lập quỹ trả nợ

Người đi vay lập quỹ trả nợ (sinking fund) bằng cách gửi định kì một khoản tiền

M cố định vào ngân hàng với lãi suất gửi i’, sẽ thu được số tiền mong muốn trong

tương lai nhằm giảm khó khăn về tài chính khi phải trả một số tiền lớn vào ngày đáo

n

'

'

i

1





i

 1



M k

K M 

 

hạn.

n

'

'

i

1

i





 1



Khi đó

Vậy số tiền người đi vay phải chi định kỳ lúc này gồm lãi Ki và số tiền gửi định

i

M Ki K







i

'



1n 

' 

 1

   

 1   

kỳ vào ngân hàng

 Lập bảng hoàn trả

 Tính số vốn vay ban đầu

 Tính số tiền phải trả trong mỗi kì

 Tính thời gian trả hết nợ

 Tính lãi suất ngân hàng

Trong nội dung Vay vốn, có những KNV chính sau đây

32

Các KNV chúng tôi liệt kê trên có kĩ thuật giải là các công thức cùng tên gọi và

tính chất chúng tôi đã trình bày trước đó, nên kĩ thuật giải chi tiết cho từng KNV sẽ

không được chúng tôi nhắc lại.

Tương tự các nội dung về các bài toán vận dụng ở các chương trước, bên cạnh

việc vận dụng công thức vừa học, bài tập trong chương Vay vốn cũng đòi hỏi sự phối

hợp các công thức giữa các chương, cũng như khả năng so sánh, đối chiếu.

Bảng 1.8. Thống kê số lượng bài tập chủ đề vay vốn trong Toán tài chính

Xây dựng kĩ

Sử dụng

thuật thông

Tổng

KNV

MHTH có sẵn

qua MHTH

Lập bảng hoàn trả 13 0 13

Tính số vốn vay ban đầu 5 0 5

Tính số tiền phải trả trong mỗi kì hạn 5 0 5

Tính thời gian trả hết nợ 2 0 2

Tính lãi suất ngân hàng 8 0 8

Các hình thức trả nợ đã được giáo trình Toán tài chính phân loại và trình bày

công thức chi tiết cho từng dạng toán nên ở đây, các bài toán đưa ra không có yếu tố

đòi hỏi phải từng bước xây dựng kĩ thuật giải mà thuần túy vận dụng các công thức

(MHTH) cho sẵn. Số lượng bài tập ở đây cũng tương đối ít hơn so với các nội dung

trước (33 bài tập), trong đó, KNV “Lập bảng hoàn trả” xuất hiện xuyên suốt hệ thống

bài tập của chương này. Dù chiếm số lượng không nhiều (2/33) nhưng ở KNV “Tính

thời gian trả hết nợ” vẫn xuất hiện yếu tố đòi hỏi sinh viên phải đối chiếu với thực tế

sau khi nhận được kết quả từ bài toán toán học (tương tự các bài toán đã trình bày ở

chương Chuỗi tiền tệ.

33

Kết luận

Có thể thấy rằng, Toán tài chính đã xây dựng đầy đủ các hình thức gửi – vay –

trả nợ một cách chi tiết cùng với hệ thống các công thức đi kèm từng dạng, hầu hết các

công thức đều được chứng minh.

Số lượng bài tập để sinh viên rèn ở từng chương tương đối nhiều và đa dạng về

nội dung các tình huống được đưa ra. Bên cạnh các bài tập để sinh viên vận dụng công

thức, Toán tài chính còn đưa ra các tình huống yêu cầu sinh viên phải phối hợp nhiều

công thức cũng như thao tác so sánh hay đối chiếu, kiểm định với thực tế khi nhận

được kết quả từ bài toán toán học, quá trình này chính là bước 3 (kiểm định, đối chiếu

kết quả bài toán toán học với bài toán thực tế) của quá trình mô hình hóa toán học. Dù

số lượng bài toán không nhiều nhưng chúng đều xuất hiện ở mỗi chương, cho thấy sự

quan tâm của giáo trình đối với các dạng thức bài tập này.

Tồn tại các bài toán có nội dung yêu cầu sinh viên phải tự xây dựng kĩ thuật giải dựa

trên MHTH sẵn có (bước 1 của quá trình mô hình hóa) nhưng số lượng rất hạn chế, dù

chúng đều hiện diện ở hầu hết các chương, cho thấy giáo trình Toán tài chính chưa thực

sự chú trọng vấn đề mô hình hóa.

Vấn đề LSNH được trình bày tường minh ở Toán tài chính với các dạng toán

cùng các KNV được trình bày một cách cụ thể. Vậy nên ở nội dung tiếp theo, chúng

tôi tiến hành phân tích chương trình Toán phổ thông về sự hiện diện của khái niệm

LSNH để xét xem sự lựa chọn của thể chế đối với đối tượng này, những nội dung nào

được mang vào chương trình Toán phổ thông, nội dung nào đã bị vắng bóng.

34

Chương 2. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC XOAY QUANH KIỂU

NHIỆM VỤ TÍNH LÃI SUẤT NGÂN HÀNG TRONG SÁCH

GIÁO KHOA TOÁN PHỔ THÔNG VIỆT NAM,

SÁCH GIÁO KHOA TOÁN MỸ

Thông qua nghiên cứu thể chế Toán phổ thông Việt Nam, chúng tôi nghiên cứu

“cuộc sống” của khái niệm LSNH, sự phát triển về mặt “công cụ” của đối tượng này

qua từng giai đoạn của thể chế. Tương tự như ở thể chế Toán đại học, chúng tôi cũng

quan sát khái niệm LSNH trong khía cạnh quan điểm mô hình hóa, nhờ đó, chúng tôi

có thể đánh giá sự quan tâm của thể chế đối với việc mô hình hóa trong dạy học. Chúng

tôi tiến hành phân tích chương trình Toán 5, 6, 7, 8, 9, 11 (nâng cao), 12 (cơ bản và

nâng cao) vì chúng tôi nhận thấy sự hiện diện của khái niệm LSNH trong các chương

trình này.

Theo đó, chúng tôi phân tích SGK Toán Mỹ (Mathematics for the international

student 9). Đây là giáo trình dành cho học sinh với lứa tuổi từ 11 đến 16 trên thế giới

với nội dung, đề tài xoay quanh các vấn đề, lĩnh vực trong đời sống hằng ngày và

LSNH cũng là một nội dung nằm trong số đó. Thông qua trình phân tích này, chúng

tôi sẽ có cái nhìn khách quan hơn, phong phú hơn trong việc phân tích khái niệm

LSNH.

2.1. Chương trình Toán phổ thông Việt Nam

2.1.1. Chương trình Toán 5

Trước khi đến với bài toán liên quan chủ đề LSNH, SGK Toán 5 đã trình bày “tỉ

số phần trăm” và “giải toán về tỉ số phần trăm”. Mỗi phần đều được SGK trình bày ví

dụ minh họa cùng bài giải cụ thể, bên cạnh đó, cách thức giải cũng được SGK đúc kết

Ví dụ : Một trường tiểu học có 800 học sinh, trong đó số học sinh nữ chiếm 52,5%.

Tính số học sinh nữ của trường đó.

Có thể hiểu 100% số học sinh toàn trường là tất cả số học sinh của trường, ở đây

100% số học sinh toàn trường là 800 em. Ta có:

lại cho từng dạng cụ thể.

1% số học sinh toàn trường là:

800:100 8 (học sinh)

Số học sinh nữ hay 52,5% số học sinh toàn trường là:

8 52,5 420





(học sinh)

Hai bước tính trên có thể viết gộp thành:

800 :100 52,5 420 







Hoặc 800 52,5 :100 420

Muốn tìm 52,5% của 800 ta có thể lấy 800 chia cho 100 rồi nhân với 52,5 hoặc

lấy 800 nhân với 52,5 rồi chia cho 100.

35

(Đỗ Đình Hoan et al., 2011)

Có thể thấy rằng, việc tính giá trị của một đại lượng khi biết tỉ số phần trăm cho

trước đã trở nên ngắn gọn và nhanh chóng hơn với kết luận “Muốn tìm 52,5% của 800

ta có thể lấy 800 chia cho 100 rồi nhân với 52,5 hoặc lấy 800 nhân với 52,5 rồi chia

cho 100”. Trên cơ sở đó, HS có thể vận dụng để giải được bài toán liên quan LSNH

được SGK trình bày ngay sau ví dụ trên, dù đây là tình huống lần đầu tiên được đưa

Bài toán: "Lãi suất tiết kiệm là 0,5% một tháng. Một người gửi tiết kiệm

vào SGK Toán 5.

1000000 đồng. Tính số tiền lãi sau một tháng .

Bài giải

1000000 :100 0,5 5000





Số tiền lãi sau một tháng là:

(đồng)

Đáp số: 5000 đồng”

(Đỗ Đình Hoan et al., 2011)

Tương tự ví dụ trang 76 chúng tôi vừa đề cập, với giả thiết “lãi suất tiết kiệm là



0,5% một tháng”, nghĩa là một tháng sẽ nhận được 0,5% của số tiền 1000000 đồng,

1000000 :100 0,5

trên cơ sở đó, HS sẽ tính 0,5% của 1000000 bằng phép tính 1000000 0,5 :100 hay

như ở bài giải trên.

36

Phát triển từ ví dụ minh họa, SGK Toán 5 đã yêu cầu HS tính tổng số tiền gửi và

số tiền lãi ở ví dụ tiếp theo

2. "Lãi suất tiết kiệm là 0,5% một tháng. Một người gửi tiết kiệm 5000000

đồng. Hỏi sau một tháng cả số tiền gửi và số tiền lãi là bao nhiêu?"

(Đỗ Đình Hoan et al., 2011)

Để thực hiện được yêu cầu của bài toán thì HS cần tính được số tiền lãi thu được

sau một tháng, sau đó, cộng với số tiền gửi gốc ban đầu.

Tiếp theo, LSNH một lần nữa được SGK Toán 5 đưa vào. Và với cách tính số

phần trăm của một số cho trước, HS hoàn toàn có thể giải quyết được bài toán này.

3."Với lãi suất tiết kiệm 0,6% một tháng, cần gửi bao nhiêu tiền để sau một

tháng nhận được số tiền là:

a) 30000 đồng;

b) 60000 đồng;

c) 90000 đồng

(Dùng máy tính bỏ túi để tính)”

(Đỗ Đình Hoan et al., 2011)

 KNV T1: Tính tổng số tiền cả vốn lẫn lãi thu được

Trong khuôn khổ nội dung Toán 5, chúng tôi thấy hiện diện các KNV chính sau:

- Kĩ thuật:

+ Tính tiền lãi nhận được

+ Tổng số tiền nhận được = tiền gốc + tiền lãi

- Công nghệ:

+ “Muốn tìm 52,5% của 800 ta có thể lấy 800 chia cho 100 rồi nhân với 52,5

hoặc lấy 800 nhân với 52,5 rồi chia cho 100”

(Đỗ Đình Hoan et al., 2011)

 KNV T2: Tính số tiền cần đầu tư ban đầu

- Lí thuyết: phép nhân phân số, định nghĩa tỷ lệ phần trăm.

- Kĩ thuật – công nghệ:

+ “Muốn tìm một số biết 52,5% của nó là 420, ta có thể lấy 420 chia cho 52,5

rồi nhân với 100 hoặc lấy 420 nhân với 100 rồi chia cho 52,5”

37

(Đỗ Đình Hoan et al., 2011)

- Lí thuyết: phép nhân phân số, định nghĩa tỷ lệ phần trăm.

Ở nội dung Toán 5, bài toán lãi đơn được xuất hiện lần đầu tiên trong thể chế

Toán Việt Nam, dù số lượng bài tập liên quan đến chủ đề LSNH không nhiều nhưng

lại có sự đa dạng về KNV, bên cạnh đó, mặc dù không được tổng quát hóa thành một

dạng toán cụ thể nhưng HS vẫn có thể giải quyết được bằng cách “làm theo” những

kết luận trước đó đã được đúc kết.

2.1.2. Chương trình Toán 6

LSNH trong chương trình Toán 6 được hiện diện trong bài “§14. Tìm giá trị phân

125. Bố bạn Lan gửi tiết kiệm 1 triệu đồng tại một ngân hàng theo thể thức “có kì

hạn 12 tháng” với lãi suất 0,58% một tháng (tiền lãi mỗi tháng bằng 0,58% số tiền

gửi ban đầu và sau 12 tháng mới được lấy lãi). Hỏi hết thời hạn 12 tháng ấy, bố

bạn Lan lấy ra được cả vốn lẫn lãi được bao nhiêu?

số của một số cho trước” và được trình bày như sau

(Phan Đức Chính, Tôn Thân, Phạm Gia Đức, 2011)

Đây là bài toán quen thuộc của chương trình Toán 5, nhưng ở đây có sự mới hơn

về thể thức gửi: gửi và sau 12 tháng mới được rút (các bài toán LSNH trình bày ở SGK

Toán 5 gửi theo hình thức tháng đầu gửi và tháng sau rút tiền). Với sự thay đổi như

vậy thì LSNH đã có sự tiến triển về mặt nội dung, KNV được thay đổi và đa dạng hơn,

dần tiếp cận với thực tế đời sống hằng ngày hơn và bên cạnh đó, kĩ thuật giải cũng

tổng quát hơn so với chương trình Toán 5.

Nếu như ở nội dung “Giải bài toán về tỉ số phần trăm” của lớp 5, bằng cách

“làm theo” những ví dụ đã được trình bày trước đó, HS có thể giải được bài toán tương

tự, cách giải hoàn toàn không được trình bày một cách tổng quát. Nhưng đối với SGK

Toán 6, kĩ thuật “mấu chốt” của bài toán này – “tính giá trị phần trăm của một số cho

trước” đã được trình bày cụ thể, theo đó, HS sẽ áp dụng quy tắc này để giải quyết các

nhiệm vụ được đưa ra.

b .

m n ,

0



 n ,





m n

m n

“Muốn tìm của số b cho trước, ta tính ”.

38

(Phan Đức Chính et al., 2011)

Trở lại bài toán LSNH nêu trên, với quy tắc tính được cho sẵn, HS chỉ cần áp

dụng để tính số tiền lãi thu được trong 12 tháng thay vì tiền lãi 1 tháng như ở chương

trình lớp 5, HS chủ yếu giải quyết bài toán toán học mà không cần phải xây dựng

MHTH mới.

Lời giải chi tiết được trình bày như sau

Bước 1: Xây dựng MHTH

- Xác định tiền gửi: 1000000đ

- Xác định lãi suất 0,58%



Bước 2: Giải quyết bài toán toán học

69600

1069600

- Tiền lãi sau 12 tháng:1000000.0,58%.12 69600 đ





- Số tiền cả vốn lẫn lãi sau 12 tháng: 1000000 đ

Bước 3: Kết luận

Số tiền cả vốn lẫn lãi sau 12 tháng là 1069600đ.

SGK Toán 6 đã trình bày quy tắc tính tỉ số phần trăm như sau

%.

“Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b , ta nhân a với 100 rồi chia cho b và

a .100 b

” viết kí hiệu % vào kết quả

(Phan Đức Chính et al., 2011)

Ngay sau đó, một bài toán thực tế với chủ đề LSNH đã được SGK Toán 6 đưa vào

165. "Một người gửi tiết kiệm 2 triệu đồng, tính ra mỗi tháng được lãi

11200đ. Hỏi người ấy đã gửi tiết kiệm với lãi suất bao nhiêu phần trăm một

tháng?"

(Phan Đức Chính et al., 2011)

Có thể thấy rằng, đây lại là một bài toán mang ngữ cảnh thực tế với những số

liệu được cho sẵn. Dù LSNH chưa được định nghĩa ở trước đó nhưng với câu hỏi mang

dấu hiệu yêu cầu tính “phần trăm”, HS sẽ vận dụng quy tắc tính tỉ số phần trăm để tìm

 KNV T3: Tính lãi suất của ngân hàng

câu trả lời.

- Kĩ thuật

39

.100%

+ Xác định số tiền gửi b, tiền lãi a.

a b

+ Lãi suất mỗi kì là

- Công nghệ - Lí thuyết: Tính tỉ số phần trăm

Lời giải chi tiết cho bài toán này được trình bày như sau

11200

Bước 1: xây dựng MHTH (có sẵn)

a 

- Xác định tiền lãi đ

2000000

b 

- Xác định tiền gửi đ

.100%



.100% 0,56% 

a b

11200 2000000

Bước 2: giải quyết bài toán toán học

Bước 3: kết luận

Lãi suất một tháng là 0,56%

Có thể thấy rằng, chương trình Toán 6 tiếp tục có sự hiện diện của lãi đơn nhưng

về hình thức và nội dung đều có sự cải thiện hơn so với lãi đơn ở chương trình Toán

5. Cụ thể, KNV được thay đổi theo hướng đa dạng hơn, sự liên hệ với thực tế rõ hơn

thông qua “kì hạn gửi 12 tháng” chứ không còn là “gửi 1 tháng” như trước. Và với quy

tắc tính đã được tổng quát hóa, không chỉ riêng bài toán lãi đơn mà các bài toán có chủ

đề khác trong nội dung này cũng được giải quyết nhanh chóng và dễ dàng hơn.

2.1.3. Chương trình Toán 7

100. Mẹ bạn Minh gửi tiết kiệm 2 triệu đồng theo thể thức “có kì hạn 6

tháng”. Hết thời hạn 6 tháng, mẹ bạn Minh được lĩnh cả vốn lẫn lãi là

2062400đ. Tính lãi suất hàng tháng của thể thức gửi tiết kiệm này.

(Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận et al., 2011)

Cũng với chủ đề bài toán thực tế LSNH, vẫn là KNV T3 “Tính lãi suất của ngân

hàng”, tuy nhiên ở đây đã có sự phát triển hơn, không còn thuần túy áp dụng quy tắc

tính tỉ số phần trăm như đã trình bày ở chương trình Toán 6 nữa.

2000000

b 

Bước 1: Xây dựng MHTH

- Xác định tiền gửi đ

40

a

10400





- Xác định tổng số tiền vốn lẫn lãi sau 6 tháng 2062400đ

2062400 2000000  6

.100%

- Tiền lãi một tháng là

a b

Lãi suất ngân hàng là

Bước 2: Giải quyết bài toán toán học

.100% 0,52% 

10400 2000000

Lãi suất ngân hàng là

Bước 3: Kết luận

Vậy lãi suất ngân hàng là 0,52% một tháng.

Để giải quyết được bài toán này, HS đòi hỏi phải biết được cách tính LSNH chứ

không đơn thuần dựa vào dấu hiệu “phần trăm” như bài toán lớp 5. Đây là bài toán

LSNH duy nhất hiện diện trong chương trình Toán 7, thế nhưng bài toán được đưa vào

lại có sự kế thừa và phát triển từ những bài toán trước: sự liên hệ với thực tế và để áp

dụng được công thức (MHTH) sẵn có cần phải trải qua một số thao tác biến đổi đại số.

Cụ thể hơn, KNV ở nội dung Toán 7 có sự thay đổi, phức tạp hơn, vì phải “đi ngược”

lại quá trình tính toán khi chưa có MHTH là công thức tính số dư, trong khi Toán 5 và

6 chỉ cần tính số dư sau 1 kỳ hạn.

2.1.4. Chương trình Toán 8

Được trình bày trong nội dung luyện tập của “§7. Giải bài toán bằng cách lập

phương trình” nên dạng thức của bài toán LSNH khác hẳn so với những dạng thức đã

( a

47. Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là %a

là một số cho trước) và lãi tháng này được gộp vào vốn cho tháng sau.

a) Hãy viết biểu thức biểu thị:

+ Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;

+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất;

+ Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai.

được trình bày trước đó.

1, 2

a 

b) Nếu lãi suất là 1, 2% (tức là

) và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 48,288

nghìn đồng, thì lúc đầu bà An gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm?

41

(Phan Đức Chính et al., 2011)

Không chỉ vậy, cách thức gửi tiền cũng thay đổi. Ở các bài toán trước, tiền lãi

hàng tháng được tính dựa trên số tiền gốc và cố định trong suốt thời gian gửi (nếu lãi

suất không thay đổi), trong trường hợp này, “lãi suất tháng này được tính gộp cho

tháng sau”, lãi tháng sau sẽ cao hơn tháng trước. Và đây chính là hình thức lãi kép.

Hình thức gửi hoàn toàn mới, lại được đặt trong “§7. Giải bài toán bằng cách

lập phương trình” – được xem là một trong những nội dung khó nhất của chương trình

Toán 8, nên ở đây, SGK chọn cách đưa ra gợi ý từng bước để HS có thể giải quyết bài

toán này.

- Kĩ thuật để giải dạng toán này được trình bày như sau:

Bước 1. Lập phương trình:

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm

nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

(Phan Đức Chính et al., 2011)

- Công nghệ - Lí thuyết:

+ Giải bài toán bằng cách lập phương trình

+ Giải phương trình bậc nhất một ẩn

Có thể dễ dàng nhận thấy rằng, kĩ thuật được sử dụng ở đây chính là nội dung

của quá trình mô hình hóa. HS đã được tiếp cận bài toán LSNH ở mức độ cao hơn so

với những bài đã hiện diện trước đó cũng như HS cần xây dựng được MHTH mà trước

đó quá trình này hoàn toàn vắng bóng.

42

Bước 1: Xây dựng MHTH

- Số tiền gửi tiết kiệm x đồng, lãi suất %a / tháng

. %x a

- Lãi tháng này được gộp cho tháng sau

- Số lãi có được sau tháng thứ nhất

x a . %

x

x

 a 1 %   



xa

a % 1 %

- Số tiền cả gốc lẫn lãi có được sau tháng thứ nhất





xa

%

xa

a

xa

a



% 1 % 



% 2 % 

- Số tiền lãi sau tháng thứ hai









- Tổng số tiền lãi có được sau 2 tháng

1,2

a 

Bước 2: Giải quyết bài toán toán học

.1, 2% 2 1, 2% 48288 x







 2000000

x  

, tổng số tiền lãi sau 2 tháng là 48288 Với

Bước 3: Kết luận

Vậy bà An gửi tiết kiệm 2000000 đồng.

LSNH trong nội dung Toán 8 là một nội dung hoàn toàn mới đối với HS, về dạng

thức gửi cũng như cách thức giải. Với hình thức lãi kép, việc giải quyết bài toán đòi

hỏi phải từng bước thiết lập được MHTH bằng cách giải quyết các nhiệm vụ con được

SGK gợi ý trong câu hỏi a, từ đó, người học có thể đi đến MHTH tổng quát và sử dụng

chính mô hình này để tìm câu trả lời của bài toán. Có thể thấy rằng, LSNH trong

chương trình Toán trung học đang có sự tiến triển không ngừng theo từng giai đoạn về

mọi mặt: tình huống bài toán đưa vào từng bước cận thực tế hơn, từ dạng thức bài toán

lãi đơn đến lãi kép, kĩ thuật giải từ không rõ ràng, qua từng giai đoạn đã được xây dựng

một cách cụ thể và ở đó, yếu tố mô hình hóa được đòi hỏi ngày càng cao.

2.1.5. Chương trình toán 9

Một lần nữa, LSNH xuất hiện trong SGK Toán 9 tập 2 và là một bài tập trong bài

42. Bác Thời vay 2000000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn

một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho

kéo dài thời hạn thêm 1 năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính

“Giải bài toán bằng cách lập phương trình” với nội dung

lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2420000 đồng,

Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm?

43

(Phan Đức Chính et al., 2011)

Cũng vẫn là kĩ thuật dựa trên giải bài toán bằng cách lập phương trình, tuy nhiên,

công nghệ – lí thuyết được sử dụng ở đây là giải phương trình bậc hai một ẩn và công

thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

x

Bước 1: Xây dựng MHTH

x  0

- Lãi suất cho vay %,

- Số tiền vay ban đầu 2000000 đồng

- Tổng số tiền trả sau 2 năm là 2420000 đồng.

x

x

- Lãi năm sau đầu gộp vào vốn để tính lãi cho năm sau.



- Tiền lãi sau 1 năm là 2000000 % 20000

20000 x



2

2000000 % 20000 . % 20000

x

x

200

x







- Sau 1 năm, cả vốn lẫn lãi là 2000000

 x x

- Tiền lãi ở năm thứ hai 

2

2

2000000 20000

x

20000

x

200

x

2000000 40000

x

200

x













- Tiền lãi sau 2 năm phải chịu

2

x

200

x

2420000

2000000 40000 





200

x

2100 0

2 x  





10



x

210

x 1  

2

   

210

x  

0

Bước 2: Giải quyết bài toán toán học

x  nên 2

không thỏa điều kiện Bước 3: Vì

Vậy lãi suất là 10%

Không chỉ được yêu cầu vận dụng khả năng mô hình hóa, sau khi giải bài toán

toán học, bên cạnh đưa ra kết luận, HS còn phải đối chiếu, chọn lựa kết quả phù hợp

với thực tiễn để trả lời câu hỏi thực tế ban đầu, quá trình này dần hiện diện đầy đủ 4

bước của quá trình mô hình hóa. Dù không xuất hiện KNV mới nhưng bài toán LSNH

ở nội dung Toán 9 đã có sự hoàn thiện hơn trong các bước mô hình hóa. Bên cạnh đó,

44

tổ chức toán học liên quan đến bài toán lãi suất từ lớp 8 lên lớp 9 đã có sự tiến triển rõ

rệt: từ giải phương trình bậc nhất một ẩn được phát triển thành giải phương trình bậc

hai một ẩn.

Là một trong những chủ đề toán thực tế của “Giải bài toán bằng cách phương

trình”, tuy nhiên chủ đề bài toán LSNH lại có số lượng hạn chế, chỉ có 1/15 bài toán

thực tế được đưa vào SGK Toán 9, nội dung ở SBT thì hoàn toàn vắng bóng bài toán

LSNH. Chính vì vậy, HS không có cơ hội tiếp xúc nhiều với bài toán này.

2.1.6. Chương trình Toán 11 ban nâng cao

Nếu như ở sự xuất hiện trước, bài toán LSNH đóng vai trò là bài toán vận dụng

cho các kiến thức HS đã được học thì ở đây, bài toán LSNH là bài toán gợi vấn đề để

Xét bài toán: Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo

thể thức có kì hạn: “Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền

thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn mà

người gửi đã gửi”.

Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân hàng nói trên

và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0,4%.

a. Hỏi 6 tháng sau kể từ ngày gửi, kể từ ngày gửi, người đó mới đến ngân hàng

để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu?

b. Cũng câu hỏi như trên, với giả thiết thời điểm rút tiền là 1 năm sau, kể từ

ngày gửi.

dẫn dắt xây dựng kiến thức mới – cấp số nhân.

(Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm,

Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, 2014)

Tuy không cùng KNV nhưng ở SGK Toán 8, 9 và 11 ban nâng cao đều có chung

cách thức tính lãi suất “khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền

thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn như kì

hạn mà người gửi đã gửi”. Do vậy, bài toán này không hoàn toàn mới đối với HS.

45

Bên cạnh đó, như đã trình bày ở trên, bài toán này chỉ là bài toán gợi vấn đề cho

bài “cấp số nhân”, nên với công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân đã được

7

7

7 10



10 .0,004 10 .1,004 

xây dựng, HS dễ dàng vận dụng để trả lời câu hỏi ban đầu

 u  1

1,004

q 

Bước 1: Xây dựng MHTH (có sẵn) nu là cấp số nhân với số hạng đầu  

710 . 1,004 n  



 nu 

Công bội

7

10242413



Bước 2: Giải quyết bài toán toán học

 10 . 1,004

6

 u  6

7

10490702





đồng - 



 10 . 1,004

12

u 12

đồng - 

Bước 3: Kết luận (thiếu bóng)

Do dụng ý của tác giả nên bài toán LSNH ở đây chỉ dừng lại ở việc tính số tiền

rút được trong 6 tháng, 1 năm mà không xây dựng công thức tổng quát. Và hơn nữa,

LSNH cũng chỉ được xuất hiện trong SGK Toán 11 nâng cao, còn ở ban cơ bản hay

SBT, hầu như không có một bài tập nào liên quan đến LSNH nên LSNH gần như mờ

nhạt đối với HS học ban cơ bản hay các trường sử dụng SGK ban cơ bản để giảng dạy

cho HS.

2.1.7. Chương trình Toán 12

2.1.7.1. Chương trình Toán 12 ban cơ bản

Được đưa vào Chương 2 của chương trình Toán 12 cơ bản: “Hàm số lũy thừa –

Hàm số mũ – Hàm số logarit”, hiện diện trong “§4. Hàm số mũ. Hàm số logarit”

LSNH một lần nữa được đưa vào với vai trò làm công cụ xây dựng định nghĩa của

hàm số mũ, bên cạnh đó, cách trình bày này cũng góp phần giúp HS hiểu thêm được

Ví dụ 1. Bài toán “lãi kép”

Một người gửi số tiền 1 triệu đồng vài một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết

rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được

ứng dụng của hàm số mũ trong đời sống hằng ngày.

nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Hỏi người đó được lĩnh bao

nhiêu tiền sau n năm? ( n N  ), nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền

ra và lãi suất không thay đổi?

46

(Trần Văn Hạo et al., 2008)

Vẫn là ví dụ tương tự mà chương trình Toán 11 ban nâng cao đưa ra, nhưng bài

toán LSNH ở đây được gắn với tên gọi cụ thể: “lãi kép”. Không chỉ vậy, việc tính số

tiền người gửi nhận được còn được xây dựng công thức tính tổng quát chứ không là

một trường hợp cụ thể như chương trình Toán 11 ban nâng cao đã đưa ra trước đó.

Trong hướng dẫn giải, SGK lần lượt tính số tiền thu được sau năm thứ nhất và năm

0, 07

P

r 1,



Giải. Giả sử

2n  , đặt

 Sau năm thứ nhất

T Pr



1.0,07 0,07 

(triệu đồng).

Tiền lãi là 1

Số tiền được lĩnh (còn gọi là vốn tích lũy) là

(triệu đồng)

P Pr P

r

1, 07













 1



P 1

P T  1

 Sau năm thứ hai



1,07.0,07 0,0749 

(triệu đồng)

T Tiền lãi là 2

Pr 1

2

2

Vốn tích lũy là

r

P

r

1,1449





















 1



 1, 07



P 2

P T  1 2

P P r P 1 1

 1 1

(triệu đồng)

n

n

(triệu đồng)

 Tương tự vốn tích lũy sau n năm là

P

r







 1



 1, 07



nP

thứ hai, từ đó tính được số tiền tích lũy sau n năm.

(Trần Văn Hạo et al., 2008)

n

P

r





Và ở đây, có thể thấy rằng, SGK đã đưa ra được công thức tổng quát tính số tiền

 1



nP

trong đó r cả vốn lẫn lãi nhận được sau n năm nếu tính theo lãi kép

 KNV T1*: “Tính tổng số tiền cả vốn lẫn lãi thu được” đối với hình thức lãi kép

là lãi suất.

- Kĩ thuật

n

P

r





+ Xác định tiền gửi P , lãi suất r và số kì hạn gửi n .

 1



nP

+ Áp dụng công thức

47

- Công nghệ - Lí thuyết: Hàm số mũ

Vận dụng công thức vừa chứng minh được, SGK đã nhanh chóng áp dụng và đưa

Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào

vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?

vào phần ví dụ mở đầu trong bài “§5. Phương trình mũ và phương trình logarit”

Giải. Gọi số tiền gửi ban đầu là P . Sau n năm, số tiền thu được là

n

n

P

P







 1 0, 084



 1, 084



nP

P 2

Để

1,084

n  2

thì phải có 



nP

Do đó

lo g

2

8, 5 9

n 



1, 0 8 4

Vì n là số tự nhiên nên ta chọn

n  9

Vậy muốn thu được gấp đôi số tiền ban đầu, người đó phải gửi 9 năm.

(Trần Văn Hạo et al., 2008)

- Công nghệ - Lí thuyết: Hàm số mũ – hàm số logarit

Do ở nội dung “§4. Hàm số mũ. Hàm số logarit”, trong nội dung bài toán lãi kép

được đưa vào, thời gian gửi n đòi hỏi phải thuộc số tự nhiên ( n N  ) nên ở nội dung

này, thời gian gửi n cũng phải thuộc số tự nhiên. Tuy nhiên, kết quả sau khi làm tròn

này đã dẫn đến sự sai lệch với thực tế. KNV này đã được hiện diện trong Toán tài

chính và đã được đặc biệt lưu ý đối với quá trình kiểm định, đối chiếu (ứng với bước

3 của quá trình mô hình hóa toán học) thế nhưng khi đưa vào chương trình Toán 12

thì lại không được chú trọng.

Tuy nhiên, đây cũng chính là bài toán thực tế duy nhất trong phần này. SGK xoay

quanh giải quyết các bài toán thuần túy đại số, hoàn toàn không có sự vận dụng kiến

thức vào giải quyết các bài toán thực tế. Điều này đã được các chúng tôi đề cập đến

trong phần I.

Chương trình Toán 12 đã xây dựng công thức tổng quát tính lãi suất kép cho HS,

thế nhưng việc tạo điều kiện cho HS vận dụng nó lại vắng bóng. Chính vì vậy, việc

kiểm định kết quả bài toán toán học với bài toán thực tế trong quá trình mô hình hóa

ở đây cũng không được chú trọng.

48

2.1.7.2. Chương trình Toán 12 ban nâng cao

Ở phần giới thiệu chương II – “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit”,

SGK đã giới thiệu “đây là những phép tính được sử dụng nhiều trong khoa học, kĩ

thuật và đời sống. Trên cơ sở đó, ta khảo sát hai hàm số quan trọng là hàm số mũ và

hàm số logarit” (Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân

Liêm, Đặng Hùng Thắng, 2010). Do đó, ở nội dung “§2. Lũy thừa với số mũ thực”,

sau khi giới thiệu khái niệm lũy thừa với số mũ thực, công thức lãi kép đã được SGK

giới thiệu đến HS. Tuy nhiên, công thức ở đây được đưa ra trực tiếp mà không qua

2. Công thức tính lãi kép

Gửi tiền vào ngân hàng, ngoài thể thức lãi đơn (tức là tiền lãi của kì trước không

được tính vào vốn của kì kế tiếp, nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra), còn

có thể thức lãi kép theo định kì. Theo thể thức này, nếu đến kì hạn người gửi

không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi

số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì dễ thấy sau N kì số tiền người ấy thu được cả

vốn lẫn lãi là

N

r

C A 



 1



(Có thể chứng minh bằng quy nạp theo N ).

chứng minh, SGK chỉ hướng dẫn giải bằng quy nạp

(Đoàn Quỳnh et al., 2010)

Nếu như ở SGK Toán 12 cơ bản chỉ dừng lại ở việc giới thiệu công thức tính lãi kép

và chỉ có một ví dụ mở đầu thì ở đây, SGK Toán 12 nâng cao dù không chứng minh công

Ví dụ 3. Theo thể thức lãi kép, một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng.

a) Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm thì sau 2 năm người đó thu

được một số tiền là

(triệu đồng)

11, 569

10. 1 0, 0756 





2

thức nhưng đưa thêm 2 ví dụ và một bài tập để củng cố công thức cho HS.

b) Nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,65% một quý thì sau 2 năm người đó

thu được một số tiền là

(triệu đồng)

11,399

10. 1 0, 0165 





8

H2 Một người đầu tư 100 triệu đồng vào một công ti theo thức lãi kép với lãi suất

13% một năm. Hỏi sau 5 năm mới rút lãi thì người đó thu được bao nhiêu tiền lãi

(Giả sử rằng lãi suất hàng năm không đổi).

49

17. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1

năm với lãi suất 7,56% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền người

đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến

chữ số thập phân thứ hai).

(Đoàn Quỳnh et al., 2010)

(Đoàn Quỳnh et al., 2010)

Trong các ví dụ lẫn bài tập được đưa vào thì ví dụ 3b có điểm khác biệt so với

những bài còn lại, đó là sự không đồng nhất về đơn vị giữa kì hạn gửi và thời gian gửi.

Do vậy, để giải quyết được bài toán này, HS yêu cầu phải đưa chúng về cùng đơn vị.

Cụ thể, với “kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,65% một quý”, nghĩa là 1 năm, người

N

r

C A 



N

8,

r

1,65%,

A

10







đó gửi 4 lần, do vậy sau 2 năm, người đó trải qua 8 lần gửi. Khi đó, ứng với công thức

 1



ta có, . Sau khi đã đưa về cùng đơn vị thời gian

thì việc giải bài toán này trở về những dạng chúng tôi đã trình bày ở mục trên. Do vậy,

nội dung này sẽ không được chúng tôi trình bày lại.

Tương tự SGK Toán 12 cơ bản, với công cụ logarit mới được cung cấp thì KNV

T3*: “Tính số kì hạn gửi để thu được số tiền mong muốn” được xuất hiện với nội dung

tương tự:

Người ta còn dùng phương pháp “logarit hóa” và các tính chất của logarit

để giải quyết một số bài toán liên quan đến lũy thừa.

Ví dụ 7

50

Một người gửi 6 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1

năm với lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm người gửi sẽ có ít

nhất 12 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi)?

(Đoàn Quỳnh et al., 2010)

N

,

r

0,0756,

A

r

C A 





Bước 1: Xây dựng MHTH

6 

 1



N

r

C A 



 1



Công thức lãi kép

N

12

log

2

9, 51





N  



 6 1 0, 0756



1,0756

Bước 2: Giải quyết bài toán toán học

Bước 3: Kết luận

Vậy sau 10 năm người gửi sẽ có ít nhất 12 triệu đồng từ số vố 6 triệu đồng ban đầu.

Dễ nhận thấy rằng, bài toán này có sự tương đồng với bài toán được trình bày ở

trang 79 được đưa vào phần mở đầu trong SGK Toán 12 ban cơ bản đã trình bày ở

trên, tuy nhiên, lại có sự khác biệt ở phần đặt câu hỏi. “Hỏi sau bao lâu, người đó thu

được gấp đôi số tiền ban đầu?” ở ban cơ bản và “Hỏi sau bao nhiêu năm người gửi

sẽ có ít nhất 12 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu?” ở ban nâng cao. Trở lại nội dung

bài giải được trình bày trong SGK Toán 12 cơ bản, ở bước 3 của quá trình mô hình

9

hóa như chúng tôi đã đề cập, trước khi đưa ra kết luận cuối cùng cần có quá trình phân

n  vừa tìm được, khi thử lại

2,067



tích, kiểm nghiệm lại với thực tế. Cụ thể, với giá trị

 1,084

9

. Nghĩa là sau 9 năm, người đó sẽ thu được số tiền nhiều hơn gấp 2

lần so với số tiền gửi ban đầu. Có thể nói rằng, đây là thiếu sót của SGK Toán 12 cơ

bản khi đưa ra câu hỏi chưa hợp lí.

Trở lại bài toán LSNH trong SGK Toán 12 nâng cao, trong phần giới thiệu lãi

kép liên tục và số e, chúng tôi lại bắt gặp KNV mà ở đó, các đại lượng không đồng

nhất đơn vị. Và ở đây, bài toán này đã được SGK Toán 12 nâng cao xây dựng thành

một bài toán tổng quát.

51

Ta đã biết: Nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là A với lãi suất

n

A

r

mỗi năm là r theo thể thức lãi kép thì sau N năm gửi số tiền thu về cả vốn

 1



. lẫn lãi sẽ là

Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi

Nm

A

và số tiền thu được sau N năm (hay Nm kì) năm là r thì lãi suất mỗi kì là r m

r m

 1  

  

là

(Đoàn Quỳnh et al., 2010)

Với công thức tổng quát mới được đưa vào, chúng tôi sẽ trình bày lại KNV T1:

“Tính tổng số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn” đối với hình thức lãi kép (để đảm bảo

 KNV T1*: Tính tổng số tiền cả vốn lẫn lãi sau thời gian gửi n

sự thống nhất, chúng tôi sẽ sử dụng kí hiệu được trình bày trong SGK Toán 11 cơ bản)

- Kĩ thuật

Nm

P

+ Xác định tiền gửi P , lãi suất r , thời gian gửi N và số kì hạn gửi m trong 1 năm.



P n

r m

 1  

  

+ Áp dụng công thức

- Công nghệ - Lí thuyết: Hàm số mũ

Theo đó, với công thức vừa trình bày trên, SGK Toán 12 nâng cao đã trình bày

3 ví dụ để HS vận dụng. Bên cạnh đó, SGK còn giới thiệu về lãi suất liên tục – đối

Thể thức tính lãi khi m   gọi là thể thức lãi kép liên tục.

Như vậy với số vốn ban đầu là A, theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất mỗi năm

. N r S Ae

là r thì sau N năm số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sẽ là

(3)

Công thức (3) được gọi là công thức lãi kép liên tục

tượng mà SGK Toán 12 nâng cao không hề đề cập đến.

(Đoàn Quỳnh et al., 2010)

Ví dụ minh họa cho công thức này được trình bày như sau

Ví dụ 1: Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên

tục, lãi suất 8% năm thì sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là

2.0,08 e 100.

117,351087



(triệu đồng)

52

(Đoàn Quỳnh, et al., 2010)

Với công thức tổng quát được cung cấp, dù với số lượng bài toán LSNH được

tăng lên đáng kể, thông qua các bài toán có sự không đồng nhất trong thời gian gửi và

đơn vị thời gian để tính lãi suất, mối liên hệ với thực tế đã được chú trọng hơn. Nhưng

tuy nhiên, các bài toán này đều không đòi hỏi HS phải xây dựng MHTH mới mà hoàn

toàn vận dụng MHTH đã có, với các đại lượng đã được xác định rõ ràng.

Kết luận về sự tiến triển của tiến trình đưa khái niệm LSNH vào thể chế

Toán bậc phổ thông ở Việt Nam

Có 4 KNV liên quan LSNH (chúng tôi sẽ gộp chung hình thức lãi đơn và kép) được

 KNV A1: Tính tổng số tiền gửi (cho vay) thu được (phải trả)

xuất hiện trong SGK Việt Nam

 KNV A2: Tính số tiền gửi (cho vay) ban đầu

 KNV A3: Tính thời gian gửi (cho vay)

 KNV A4: Tính lãi suất của ngân hàng

KNV con A1.1:Tính tiền lãi thu được

Sau quá trình phân tích các SGK, chúng tôi nhận thấy khái niệm LSNH hoàn

toàn không được định nghĩa, chỉ tồn tại KNV yêu cầu HS tính LSNH.

Xuyên suốt SGK từ lớp 5 đến 12, có 2 hình thức gửi ngân hàng, đó là gửi theo

thể thức lãi đơn (tiền lãi không được cộng vào vốn của kì tiếp theo nếu đến kì hạn

người đó không rút ra), hiện diện ở SGK Toán 5, 6, 7 và thể thức lãi kép (tiền lãi được

cộng vào vốn của kì tiếp theo nếu đến kì hạn người đó không rút ra) hiện diện trong

SGK Toán 8, 9, SGK Toán 11 nâng cao, SGK Toán 12 cơ bản và nâng cao. Tuy nhiên,

“lãi đơn” lại không được định nghĩa một cách tường minh. Khái niệm “lãi kép” được

định nghĩa tương tự như nội dung được trình bày ở Toán tài chính, nhưng được diễn

giải bằng ngôn ngữ gần gũi để HS có thể dễ dàng tiếp cận.

53

Có thể thấy rằng, khi đưa vấn đề LSNH vào chương trình Toán phổ thông, ý

nghĩa về mặt kinh tế của đối tượng này hoàn toàn không được đề cập, HS chỉ được

tiếp cận các tình huống mang ngữ cảnh của vấn đề LSNH chứ không thực sự giải quyết

các tình huống thực tế như ở Toán tài chính.

Với thể thức lãi đơn công nghệ “tính tỉ số phần trăm” đủ mạnh để giải quyết các

bài toán được đưa ra, số lượng bài tập được trình bày không nhiều nhưng vẫn đảm bảo

sự đa dạng về nội dung các KNV. HS chủ yếu thao tác trên các MHTH sẵn có.

Thể thức lãi kép xuất hiện lần đầu tiên ở chương trình Toán 8, 9. Công nghệ giải

quyết là “giải bài toán bằng cách lập phương trình”. Do vậy, các bài tập được đưa

vào để đòi hỏi HS phải tự xây dựng MHTH để giải quyết yêu cầu bài toán. Bên cạnh

đó, bài toán LSNH ở nội dung Toán 9 còn có sử dụng kĩ thuật “giải phương trình bậc

hai một ẩn”, là một sự tiến triển về mặt công cụ giải của đối tượng LSNH so với

chương trình Toán 8 “giải phương trình bậc nhất một ẩn”. Cả hai giai đoạn này đều

có đặc điểm chung là trong mỗi KNV được đưa ra, số lần gửi nhỏ, thường là 1 và 2

lần, ứng với thời gian gửi 1 đến 2 năm (ở Toán tài chính, tác giả sử dụng “kì hạn gửi”

thay cho số lần gửi). Tuy nhiên, nếu số lần gửi lớn có thể gây khó khăn cho HS trong

lúc giải quyết bài toán toán học. Không chỉ vậy, số lượng bài tập LSNH ít nên không

có sự đa dạng trong các KNV.

Xuất hiện từ chương trình Toán lớp 5 và trải dài đến chương trình Toán lớp 9,

nhưng trong những nội dung này, đối tượng LSNH chỉ xuất hiện ngầm ẩn, đóng vai

trò như một công cụ để minh họa cho tính ứng dụng kiến thức được giảng dạy (tỉ số

phần trăm, giải phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn) vào cuộc sống. Nhưng khi

được hiện diện ở chương trình Toán 11 ban nâng cao, chương trình Toán 12 cơ bản và

nâng cao, đối tượng LSNH mới thực sự xuất hiện một cách tường minh, và là một đối

tượng để giảng dạy chính trong chương trình học. Ở đây, LSNH vẫn tiếp tục hiện diện

với thể thức lãi suất kép, nhưng với công cụ giải mới được cung cấp là cấp số nhân và

hàm số mũ, hàm số logarit thì HS có thể giải quyết các KNV với số kì hạn gửi lớn, bên

cạnh đó, các công cụ Toán học này cũng giúp giải quyết được KNV “Tính thời gian

gửi (cho vay)” mà trước đó SGK Toán 8, 9 không thể đưa vào vì chưa có công cụ giải

quyết.

54

Tuy nhiên, ở giai đoạn này, các bài toán đưa vào đều hoàn toàn không đòi hỏi

HS phải tự tìm ra kĩ thuật từ MHTH sẵn có mà chỉ trực tiếp áp dụng MHTH đã cho,

phần lớn các bài tập được đưa vào chủ yếu nhằm giải quyết bài toán toán học, do vậy,

yếu tố mô hình hóa không được chú trọng. Vậy nếu đặt HS trong tình huống mà ở đó,

công thức đã được học không thể giải quyết được thì liệu rằng, HS có thể giải quyết

được bài toán này hay không? Bên cạnh đó, chỉ duy ở chương trình Toán 12 nâng cao,

các bài toán đưa vào có thời gian gửi và lãi suất không ở cùng đơn vị tính, còn các bài

toán được trình bày trong những chương trình còn lại mà chúng tôi đề cập thì đều ở

cùng đơn vị tính. Tuy nhiên, SGK Toán 12 nâng cao lại không là tài liệu giảng dạy

chính trên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh. Vậy thì với một bài toán LSNH được đưa

ra mà các đại lượng thời gian gửi và cách tính lãi suất không ở cùng đơn vị thời gian,

HS có làm theo một cách “rập khuôn” như các em thường làm hay không? Điều này

đã dẫn chúng tôi đến một câu hỏi nghiên cứu: “Khi đứng trước các bài toán liên quan

lãi suất có đơn vị tính thời gian (kỳ hạn) gửi không đồng nhất, chẳng hạn, lãi suất

được tính theo tháng/ quý nhưng thời gian gửi được tính theo quý/ năm, học sinh có

biết cách quy đổi chúng về cùng đơn vị hay không?”

Chúng tôi nhận thấy rằng, ở chương trình Toán phổ thông Việt Nam, HS chỉ

được tiếp cận với hai hình thức tính lãi đơn và lãi kép, các nội dung về chuỗi tiền tệ và

vay vốn ở Toán tài chính không hề tồn tại. Do sự giới hạn của chương trình, các hình

thức tính lãi khác như lãi suất ngang giá, lãi suất tương đương,… không được xuất

hiện. Số lượng bài tập và tình huống xây dựng bài toán đều có sự hạn chế và không đa

dạng như ở Toán tài chính.

Ngoài phân tích sự hiện diện của LSNH trong chương trình Toán ở bậc phổ

thông, chúng tôi còn tiến hành phân tích sự xuất hiện của LSNH trong một số kì thi

quan trọng của HS để xét xem có những KNV nào được đưa vào các đề thi, có dạng

thức mới nào được đưa vào hay không? HS có gặp khó khăn khi đứng trước những

tình huống này không? Dựa trên cơ sở những kết quả thu được, cho phép chúng tôi dự

đoán giả thuyết nghiên cứu cho luận văn của mình.

2.1.8. Các đề thi bậc phổ thông

55

Các dạng toán được đưa vào các bài kiểm tra, kì thi quan trọng của HS là một

trong những cách để thể hiện rõ nội dung trọng tâm của quá trình học. Từ năm học

2016, thành phố Hồ Chí Minh đã thay đổi nội dung thi tuyển sinh vào lớp 10, chính sự

thay đổi này đã đưa LSNH vào nội dung thi. Đối với kì thi tốt nghiệp THPT, việc

chuyển đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm cũng đã mang đến những đổi mới

trong nội dung thi, các bài toán vận dụng thực tế được chú trọng đưa vào, và LSNH

cũng là một trong số đó. Chính vì vậy, ở nội dung này, chúng tôi chọn phân tích các

đề thi có sự xuất hiện của bài toán LSNH để từ đó có sự so sánh sự giống và khác nhau

giữa nội dung HS được học và kiểm tra.

Đề thi tuyển sinh lớp 10 của thành phố HCM năm 2016 và đáp án chi tiết từ

sở GD&ĐT:

Ông Sáu gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với kì hạn 1

năm là 6%. Tuy nhiên sau thời hạn một năm, ông Sáu không đến nhận tiền lãi mà

để thêm một năm nữa mới lãnh. Khi đó số tiền lãi có được sau năm đầu tiên sẽ

được ngân hàng cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho năm

kế tiếp với mức lãi suất cũ. Sau hai năm, ông Sáu nhận được số tiền là 112.360.000

đồng (kể cả gốc lẫn lãi). Hỏi ban đầu ông Sáu đã gửi bao nhiêu tiền?

(Sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh, 2016)

x  ) 0

Giải:

Gọi số tiền ông Sáu gửi ban đầu là x (đồng,

Theo đề bài ta có:

x

0,06

x

1,06

x





Số tiền lãi sau 1 năm ông Sáu nhận được là: 0,06x (đồng)

x

x



Số tiền có được sau 1 năm của ông Sáu là: (đồng)

Số tiền lãi năm thứ hai ông Sáu nhận được là1,06 .0,06 0,0636 (đồng)

1,06

x

0,0636

x

1,1236

x





Do vậy, số tiền tổng cộng sau 2 năm ông Sáu nhận được là

112360000

x 

(đồng)

100000000

x 

Mặt khác: 1,1236 nên (đồng) hay 100 triệu đồng.

Vậy ban đầu ông Sáu đã gửi 100 triệu đồng.

56

Vẫn là bài toán lãi suất kép, cùng chủ để LSNH tương tự như bài tập 42 SGK

toán 9, tập 2 mà chúng tôi đã trình bày trước đó, nhưng chúng khác nhau về KNV, ở

bài toán này là KNV “Tính số tiền gửi (cho vay) ban đầu”. Bên cạnh đó, như đã trình

bày ở trên, dù chủ đề này tương đối khó đối với HS nhưng sự hiện diện của bài toán

LSNH cực kì ít. Do vậy, không ít HS gặp khó khăn khi đứng trước bài toán với KNV

mới này.

Đề thi THPT Quốc gia 2017, mã đề thi 101

Câu 35: Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/ năm.

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ

được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm

người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? Giả

định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.

(Bộ GD&ĐT, 2017)

Bài giải được chúng tôi trình bày như sau

Giải:

n

100



50 1 6% 



log

2

 n  



 1 6%  11,896

n  

Gọi n là thời gian gửi để nhận được số tiền thỏa yêu cầu bài toán. Ta có:

Vậy người đó cần ít nhất 12 năm để nhận được số tiền hơn 100 triệu đồng gồm

cả vốn lẫn lãi.

Trước năm 2017, kì thi THPT quốc gia được tổ chức bằng hình thức thi tự luận

đối với môn Toán, nhưng kể từ năm học 2016 – 2017, đã được đổi sang thi trắc nghiệm.

Do vậy, đối tượng LSNH đã được đưa vào. Dễ nhận thấy, bài toán có nội dung hoàn

toàn tương tự bài toán được trình bày trong SGK Toán 12 cơ bản và nâng cao, chỉ khác

về mặt số liệu. Với việc thay đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm, tình huống

xuất hiện một bài toán thực tế ít được chú trọng trong SGK thì việc HS gặp trở ngại

khi gặp bài tập này là điều không thể tránh khỏi.

Đề minh họa lần 1 năm 2017

57

Câu 21: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm.

Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay,

ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền

hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi,

theo cách đó, số tiền mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ

là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A

hoàn nợ.

m 

m 

A.

(triệu đồng)

B.

(triệu đồng)

  100. 1,01 3

3  100. 1,01 3

3

3

C.

(triệu đồng)

D.

(triệu đồng)

m 

m 

3

1

 1



 

 1, 01 3   1, 01

 120. 1,12   1,12

(Bộ GD&ĐT, 2017)

Giải :

Lãi suất 12%/ năm =1%/ tháng (do vay ngắn hạn)

100.1,01

m

.1,01

m

2 100.1,01

2,01

m









Sau 1 tháng, ông A còn nợ 100.1,01 m (triệu)



.1,01

2,01

m

m

3 100.1,01

3,0301

m

0











(triệu) Sau 2 tháng, ông A còn nợ 

Sau 3 tháng, ông hết nợ, do đó:  2 100.1,01



m  



3 100.1,01 3,0301

1

3 1,01 3 1,01 

Trước kì thi THPT quốc gia được diễn ra, bên cạnh các đề thi chính thức, bộ

GD&ĐT còn cung cấp đề thi tham khảo để giúp có cơ hội làm quen và bám sát vào

nội dung thi chính thức. Một lần nữa, bài toán chủ đề LSNH – lãi suất kép được đưa

vào đề tham khảo THPT quốc gia, dù chỉ là đề thi tham khảo của bộ GD&ĐT nhưng

cũng đã thể hiện sự quan tâm đối với chủ đề này của bộ Giáo dục và Đào tạo. Thế

nhưng, bài toán này hoàn toàn khác hẳn với các bài tập đã trình bày trước đó, chúng

58

tôi nhận thấy, cùng là vấn đề LSNH nhưng đây là bài toán lần đầu tiên được xuất hiện:

bài toán vay trả nợ. Đáng chú ý, dạng toán này lại hiện diện trong giáo trình Toán tài

chính mà chúng tôi đã phân tích ở trên: “trả nợ dần định kì bằng kỳ khoản cố định” –

trả cố định một số tiền mỗi kỳ (mỗi tháng, quý, năm,...) cho đến khi hết nợ, ở đó, KNV

này đã được xây dựng công thức tổng quát với bài tập minh họa cụ thể.

Công thức lãi suất kép đã được cung cấp trong SGK Toán 12 không thể hỗ trợ

cho HS giải quyết bài toán này. HS buộc phải xây dựng một MHTH hoàn toàn mới,

bên cạnh đó, các bước để xây dựng được mô hình này cũng không hề đơn giản. Do

vậy, nhiều HS không thể giải quyết được khi đứng trước tình huống này.

Đề minh họa lần 1 năm 2018

Câu 22: Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất

0,4%/năm. Biết rằng nết không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng,

số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau

đúng 6 tháng, người đó lĩnh được số tiền (cả vốn lẫn lãi) gần nhất với số tiền nào

dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này, người đó không rút tiền ra và lãi suất

không thay đổi?

A. 102424000 đồng

B. 102423000 đồng

C. 102016000 đồng

D. 102017000 đồng

(Bộ GD&ĐT, 2018)

Giải:

n

r



 1



nP P 

P

6 100.10 ,

r

0,4%,

n





6 

Áp dụng công thức

101424128



Với

 6 100.10 . 1.004

6

nP 

đồng

59

Trước kì thi THPT quốc gia năm 2018 diễn ra, bộ GD&ĐT đã cung cấp thêm

một đề thi tham khảo và lần này, chúng tôi vẫn nhận thấy có sự hiện diện của bài toán

thực tế chủ đề LSNH. Với KNV “Tính tổng số tiền gửi thu được” đã được trình bày

n

trong SGK Toán 12 ở cả ban cơ bản và nâng cao, HS vận dụng công thức tính tổng

P

r





 1



nP

quát là có thể thu được kết quả. Do vậy, tình huống này không thể gây

khó khăn cho HS.

Đề thi chính thức THPT quốc gia năm 2018 (mã đề 101)

Câu 16: Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 7,5%/năm. Biết

rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được

nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì

người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền ban đầu, giả định

A. 11 năm

B. 9 năm

C. 10 năm

D. 12 năm

(Bộ GD&ĐT, 2018)

n

Không khó để nhận ra đây là KNV đã hiện diện trong SGK Toán 12 cơ bản trang

P

r





 1



nP

79, sử dụng công thức đã được xây dựng để giải quyết. Do vậy, HS có

thể giải quyết được tình huống này. Bên cạnh đó, đề toán này lại tiếp tục lặp lại lỗi

thiếu sót của SGK Toán 12 ban cơ bản: độ chính xác của yêu cầu bài toán.

Kết luận

Có thể thấy rằng, LSNH được xuất hiện gần như là xuyên suốt chương trình học

của HS, bên cạnh đó, nó còn được hiện diện trong các kì thi quan trọng: tuyển sinh

vào lớp 10 và kì thi THPT quốc gia, cho thấy sự quan tâm của bộ GD&ĐT với chủ đề

này, đặc biệt là bài toán lãi kép, do vậy, đây sẽ là đối tượng chúng tôi quan tâm để tiến

hành thực nghiệm. Nhưng dù thường xuyên xuất hiện nhưng số lượng bài tập liên quan

chủ đề này hoàn toàn cực kì ít, các bài tập được đưa ra chủ yếu giải quyết bài toán toán

học. Thế nhưng trên thực tế, vẫn tồn tại các bài toán đòi hỏi HS phải tự thiết lập kĩ

thuật giải, có thể dựa trên công thức có sẵn, hoặc như trường hợp bài toán trong đề

60

minh họa 2017 chúng tôi đề cập ở trên, HS phải xây dựng MHTH hoàn toàn mới, cách

thức xây dựng lại dựa trên kiến thức thực tế của HS đối với việc vay trả nợ. Do vậy,

đòi hỏi phải có những bài tập giúp HS rèn luyện kĩ năng giải quyết những bài toán

thực tế nói chung và bài toán chủ đề LSNH nói riêng, cùng với khả năng mô hình hóa

là điều kiện không thể thiếu.

Là một chủ đề Toán thực tế có mối liên hệ gần gũi giữa HS với đời sống hằng

ngày, vậy nên đây không chỉ là đối tượng được thể chế Toán Việt Nam quan tâm mà

cũng là đối tượng được các nước khác đưa vào chương trình giảng dạy của mình, điển

hình là Mỹ. Vây nên, ở nội dung tiếp theo, chúng tôi tiến hành phân tích giáo trình

Mathematics for the international student 9 của Mỹ nhằm làm rõ sự khác biệt trong

quá trình xây dựng bài toán lãi kép giữa SGK Việt Nam và Mỹ, con đường tiếp cận,

những ứng dụng thực tế nào có liên quan đến bài toán lãi kép cũng như việc dạy học

bài toán này trong mối liên hệ với mô hình hóa.

2.2. Chương trình Toán Mỹ 9

Đến với nội dung bài toán lãi suất kép ở Mathematics for the international student 9

(MYP4), bài toán lãi kép được đưa vào một chương riêng biệt, đây là điểm khác biệt đầu

tiên giữa SGK Mỹ và Việt Nam, và cũng cho thấy rằng, đây cũng là một chủ đề thực tế

được quan tâm ở chương trình đào tạo của Mỹ. Trước đó, HS được giới thiệu công cụ tỉ

số phần trăm có thể phục vụ cho lĩnh vực thương mại: tính lợi nhuận (profít), giảm giá

(discounts), tăng giá (mark-up), khấu hao (depreciation), thuế (tax), vay (borrow), trả. Bên

cạnh đó, HS còn được tiếp cận với vấn đề cho vay và trả nợ. Tất cả nội dung này đều được

đề cập đến trong Toán tài chính của Việt Nam.

61

(Pamela Vollamar et al., 2008)

Vẫn được mở đầu bằng một tình huống thực tế, nhưng nếu như ở SGK Việt Nam,

bài toán đưa vào là một bài toán tổng quát thì ở SGK Mỹ, bài toán đưa vào được cụ

thể hơn với số liệu chi tiết cho từng năm, được trình bày một cách rõ ràng thông qua

bảng số liệu, bên cạnh đó, HS còn nhận ra được cung cấp cách tính tiền lãi cho từng

năm cũng như nhận thấy được cách thức tính của hình thức lãi kép: tiền lãi mỗi năm

đều được thêm vào vốn, do vậy, tiền lãi mỗi năm đều tăng.

Theo sau đó, chúng tôi nhận thấy một câu hỏi đặt vấn đề khá thú vị mà ở SGK

Việt Nam hoàn toàn không hiện diện

(Pamela Vollamar et al., 2008)

Thảo luận: Lãi đơn hay lãi kép?

Giả sử có 5000€ trong ngân hàng với lãi suất được trả 7% mỗi năm và được tính

thường niên. Trong một kỳ hạn dài, tại sao chúng ta lại thu được lợi nhuận đầu tư tăng

cao hơn với lãi kép hơn là lãi đơn?

Bên cạnh việc tác dụng phân tích, so sánh với kiến thức cũ và mới (lãi đơn – lãi

kép), câu hỏi trên đã giúp HS liên hệ được những lợi ích của toán học với thực tế, giúp

cho việc học toán ở HS trở nên thú vị hơn. Câu hỏi này đã được giáo trình Toán tài

62

chính đặt ra và trả lời một cách cụ thể: trường hợp gửi dài hạn (hơn 1 năm) thì lợi ích

mang lại sẽ nhiều hơn và được trình bày ở mục 1.2. Lãi kép của luận văn.

Vấn đề đặt ra, được trả lời bằng bài tập minh họa

(Pamela Vollamar et al., 2008)

1000£ được gửi trong ngân hàng với lãi suất 6% mỗi năm. Tiền được gửi trong

4 năm.

a. Nếu ngân hàng trả theo lãi đơn

i. Tiền lãi mỗi năm là bao nhiêu

ii. 1000£ sẽ đầu tư được bao nhiêu ở cuối năm thứ tư?

iii. Vẽ một đồ thị cho thấy giá trị đạt đầu tư đạt được ở mỗi năm.

b. Trường hợp ngân hàng trả theo lãi kép

i. Hoàn thành bảng như yêu cầu trên cho đầu tư này

ii. Vẽ một đồ thị cho thấy giá trị đầu tư đạt được ở mỗi năm trên cùng một hệ

trục với đồ thị của đầu tư hình thức lãi đơn

c. So sánh 2 đồ thị thu được ở a và b

Bên cạnh KNV T1. “Tính tổng số tiền đầu tư nhận được” và KNV con tương

ứng: “Tính tiền lãi thu được” tương tự như SGK Việt Nam thì ở nội dung này xuất

hiện KNV con mới T1.2: “Vẽ đồ thì biểu diễn giá trị đạt được ở mỗi năm” và T1.3:

“So sánh hai đồ thị”.

Ngoài tác dụng giúp cho HS có sự so sánh một cách rõ ràng giữa lợi ích mà

lãi suất đơn cũng như lãi suất kép mang lại, SGK Mỹ còn giới thiệu hình thức tiếp

63

cận mới của bài toán lãi suất ngoài biểu thức đại số, đó là hình thức bảng số liệu

hay đồ thị, đây là hình thức mà SGK Việt Nam chưa từng đề cập tới.

Tiếp theo nội dung đó, MYP4 cũng cung cấp công thức tính tổng quát cho bài

toán lãi kép ở The compound interest formula (Công thức lãi kép)

(Pamela Vollamar et al., 2008)

n

trong đó

i





 1



F v

P v

vF là giá trị tương lai

vP là giá trị hiện tại hay số tiền đầu tư ban đầu

i là lãi suất hàng năm, là số thập phân n là số năm đầu tư

là tổng số tiền lãi nhận được sau kì hạn n năm

F v

P v

Tuy nhiên ,về giải thích ý nghĩa các đại lượng trong công thức, MYP4 có cách

giải thích sát với giáo trình Toán tài chính hơn SGK Việt Nam, bên cạnh đó, giá trị n

ở đây không yêu cầu phải là số nguyên dương như yêu cầu của SGK Việt Nam.

Tương tự SGK Việt Nam, MYP4 cũng hiện diện 2 KNV T2: “Tính vốn cần sử

dụng” và T3: “Tính tỉ lệ tăng trưởng” (tính lãi suất mỗi kỳ hạn), dù HS chưa được cung

cấp công cụ logarit.

64

(Pamela Vollamar et al., 2008)

Tính số tiền cần thiết để đầu tư cho một giá trị tương lai

Chúng ta có thể sử dụng công thức lãi kép để tìm giá trị chúng ta cần đầu tư để

thu được một số tiền trong tương lai

Ví dụ 15

Chúng ta phải đầu tư bao nhiêu kể từ bây giờ nếu tôi đòi hỏi 1 sự tăng trưởng

hay giá trị tương lai là 15000$ trong thời gian 4 năm? Lãi suất cao nhất tôi có thể

nhận được là 7,9% một năm, lãi kép và cố định trong khoảng thời gian này.

Trong trường hợp này

15000,

n

4,

i





7, 9% 0.079 

F v 

Với

n

i





 1



F v

P v

15000





 1 0,079

4

P v

{chia cả hai vế cho 

4 1.079 }

vP

15000 4

 1.079

65

11066.38

vP

(Pamela Vollamar et al., 2008)

Tính tỉ lệ tăng trưởng hằng năm của đầu tư

Công thức lãi kép có thể được dùng để tỉ lệ trung bình của một cuộc đầu tư đang

tăng trưởng

Ví dụ 16: Stephen Prior mua một tờ tiềm hiếm có của New Zealand với giá $4600.

Ông giữ nó trong 4 năm và sau đó bán đấu giá được $7300.

4600,

n

4,

7300







P v

F v

n

Với

i





 1



P v

F v

7300

i



 4600 1

4

(chia cả hai vế cho 4600)

i



 1

4

7300 4600

66

4

(lấy căn bậc 4 cả hai vế)

1

i 

73 46

1.12238

1 i

i   0.12238 

i

12.238%



Do đó, tỉ lệ tăng trưởng hằng năm khoảng 12.2%

Có thể thấy rằng, công thức lãi kép không chỉ dùng để giải quyết các vấn đề vay

gửi - trả nợ trong hay ngoài ngân hàng mà còn được dùng để tính sự tăng trưởng hay

giá trị đạt được của cuộc đầu tư nói chung.

Về công cụ giải, lũy thừa với số mũ hữu tỉ là công cụ được sử dụng để giải quyết

bài toán này. Có thể thấy rằng, đối với số năm gửi là số nguyên dương, công cụ này

có thể giải quyết một cách dễ dàng, nhưng với số năm gửi là số thập phân thì liệu rằng

công cụ này có hiệu quả để giải quyết một cách cho hiệu quả được hay không?

Về bài tập trong Compound interest formula (Công thức lãi kép), chủ đề xoay

quanh vẫn bao gồm các bài toán có nội dung gửi tiết kiệm hay sự tăng giá mà chúng

tôi đề cập ở bài toán ví dụ nêu trên.

Công thức lãi kép là công cụ giải quyết các bài tập này, từ giả thuyết đề cho, HS

chỉ cần xác định các đại lượng tương ứng trong công thức là có thể giải quyết bài toán

mà không cần phải xây dựng tự kĩ thuật dựa trên MHTH sẵn có. Đây là điểm tương

đồng giữa các bài tập được trình bày trong MYP4 và SGK Việt Nam (trừ chương trình

Toán 8, 9).

(Pamela Vollamar et al., 2008)

Nghiên cứu 1: Lãi suất kép

Đầu tư $1000 với lãi suất được trả mỗi năm là 6% theo hình thức kép trong x năm.

67

n

i





Sử dụng công

thức

tăng

trưởng kép

,

ta nhận được

 1



F v

P v

.

1000 1.06 x   

vF 

Một đồ họa máy tính có thể được sử dụng để nghiên cứu sự tăng trưởng của đầu

tư. Nếu bạn gặp khó khăn trong quá trình tính toán, bạn có thể sử dụng hướng dẫn đồ

họa máy tính ở phần đầu của quyển sách này

Như đã đề cập ở trên, do tính tới thời điểm hiện tại, do chưa có sự hỗ trợ của

công cụ logarit nên việc giải quyết bài toán còn gặp nhiều bất cập, để giải quyết tình

trạng trên, MYP4 nhờ đến graphics calculator, cụ thể là Texas Instruments TI-83

và máy tính Casio fx-9860g

Quy trình được thực hiện như sau

(Pamela Vollamar et al., 2008)

vào đồ họa máy tính

1000 1.06 ^ X

Y 



1. Nhập hàm số 1

2. Tạo một bảng mà có thể tính được giá trị cuối của đầu tư từ năm 0 đến ít nhất

30 năm)

Dựa vào bảng số liệu có thể giải quyết được một số KNV một cách nhanh chóng

(Pamela Vollamar et al., 2008)

3. Dựa vào bảng số liệu vừa tạo và trả lời các câu hỏi dưới đây a. Tìm giá trị cuối của đầu tư sau

68

i. 1 năm ii. 2 năm iii.10 năm iv.11 năm

iii.Năm 11

b. Sử dụng bảng để tính tiền lãi được trả trong i.Năm 1 ii.Năm 2 Bạn lưu ý điều gì? Cụ thể ở đây, MYP4 giải quyết KNV T1*: “Tính giá trị cuối của đầu tư” và KNV con T1.1*: “Tính tiền lãi thu được sau 1 thời gian đầu tư” (do hình thức đặt tên của các giáo trình khác nhau nhưng nội dung KNV vẫn tương đồng với nhau, nên chúng tôi mã hóa KNV bằng các kí hiệu đã được sử dụng trước đó).

Bên cạnh sử dụng máy tính để lập bảng số liệu để giải toán, MYP4 còn trình bày

một công dụng hữu hiệu khác: dùng đồ thị để giải toán.

(Pamela Vollamar et al., 2008)

4. Chuyển sang cửa sổ khác để cho thấy giá trị X từ 0 đến 30 và Y từ 0 đến 6000,





. Đồ thị 1000 1.06 ^ X

5. Nếu tài khoản đầu tư bị đóng một phần trong một năm thì lãi được trả cho

phần còn lại của năm đó. Sử dụng đồ thị để tính giá trị đạt được của đầu tư sau

a. 20 năm

b. 25 năm

c. 27.5 năm

d. 29,75 năm

69

6. Chúng tôi muốn biết sau bao nhiêu năm sẽ nhận được $3000. Điền vào hàm

3000

Y  2

vào máy tính của bạn số

Có thể thấy rằng, với sự hỗ trợ của máy tính, bên cạnh lập bảng số liệu, với đồ

thị hàm số được vẽ bằng máy tính cũng có thể giải quyết được KNV T1*: “Tính giá

trị cuối của đầu tư”. Bên cạnh đó, giải quyết được 1 KNV mới được xuất hiện trong

MYP4, KNV T3*: “Tính thời gian đầu tư cần thiết để thu được số tiền mong muốn”.

(Pamela Vollamar et al., 2008)

1Y và

2Y trên máy tính của bạn

7. Đồ thị

8. Tìm giao điểm của 2 đồ thị. Mất bao nhiêu năm để đầu tư đạt được $3000?

 KNV T1*: Tính giá trị cuối của đầu tư

Kĩ thuật giải đối với phương pháp này được tóm tắt như sau

- Kĩ thuật :

vP là giá trị hiện tại hay số tiền đầu tư ban đầu, i là lãi suất hàng

+ Xác định

X

năm, là số thập phân, n là số năm đầu tư.

i



 1  



P v

Y 1

+ Nhập hàm số

n

+ Chọn X , dựa vào bảng để kết luận 1Y là giá trị cần tính

- Công nghệ: Công thức tính lãi kép

 KNV T3*: Tính thời gian đầu tư cần thiết để thu được số tiền mong muốn

- Lí thuyết: Định nghĩa hàm số

- Kĩ thuật:

70

vF là giá trị tương lai,

vP là giá trị hiện tại hay số tiền đầu tư ban

+ Xác định

đầu, i là lãi suất hàng năm.

i

,X





 1  



P v

F v

Y 1

Y 1

+ Nhập hàm số

+ Chuyển sang chế độ đồ thị để vẽ đồ thị của hai hàm số trên, chọn giá trị X

vF để hiển thị trên hai trục tọa độ

,Y Y là giá trị của thời gian gửi cần

đủ lớn, giá trị Y chứa giá trị của

2

+ Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 1

tìm.

- Công nghệ - lí thuyết: Tọa độ điểm trên hệ trục tọa độ Oxy

Với bài tập mẫu được đưa ra, MYP4 còn cung cấp thêm bài tập thứ hai để HS có

thể luyện tập kĩ thuật mình vừa được cung cấp. Ngoài việc giải quyết được KNV T1*

và T3* bằng kĩ thuật chúng tôi vừa trình bày, máy tính còn có thể hỗ trợ để giải quyết

F v

P v

KNV con T1.1*: “Tính tiền lãi thu được trong quá trình đầu tư” bằng công thức

đã được cung cấp trong nội dung The compound interest formula

Kết luận

Ở MYP4 cũng hiện diện 4 KNV lớn tương tự như ở SGK Việt Nam, bên cạnh

 KNV T1*: Tính tổng số tiền đầu tư nhận được

đó, MYP4 còn xuất hiện thêm KNV mới

 KNV T2*: Tính vốn cần sử dụng

 KNV T3*: Tính thời gian đầu tư

 KNV T4*: Tính tỉ lệ tăng trưởng

 KNV T5: Vẽ đồ thị biểu diễn giá trị đầu tư thu được

KNV con T1.1*: Tính tiền lãi thu được

KNV con T5.1: So sánh hai đồ thị

Về vấn đề liên hệ với thực tế, công thức lãi kép không chỉ được sử dụng để giải

quyết các bài toán liên quan đến vay – trả nợ như ở SGK Việt Nam, mà nó còn được

mở rộng hơn, có thể liên hệ với các bài toán đầu tư, sự gia tăng giá trị đầu tư. Đây là

điểm khác biệt đầu tiên mà chúng tôi nhận thấy được khi phân tích SGK Toán Mỹ. Ở

MYP4, LSNH là đối tượng được giảng dạy nhằm phát triển kĩ năng phân tích, vận

dụng, sáng tạo ở HS nên khái niệm LSNH được hiện diện cụ thể và rõ ràng, tính ứng

71

dụng cao hơn so với sự hiện diện của đối tượng này ở chương trình Toán phổ thông

Việt Nam

Về số lượng bài tập, do nằm ở một chương riêng biệt nên số lượng bài tập trong

nội dung này tương đối nhiều và đa dạng. Bên cạnh các bài tập rèn luyện công thức lãi

kép, MYP4 còn hiện diện các bài tập yêu cầu HS có sự so sánh với giá trị đạt được khi

đầu tư bằng hình thức lãi đơn, từ đó kết luận hiệu quả kinh tế do mỗi hình thức mang

lại. Những KNV này hoàn toàn không được xuất hiện ở SGK Toán Việt Nam.

Trong SGK Toán Mỹ, đối tượng LSNH được hiện diện đầy đủ dưới các dạng

thức tồn tại của hàm số: bảng số liệu, biểu thức đại số và đồ thị. Trong khi ở SGK

Toán Việt Nam, đối tượng này chỉ được tồn tại ở dạng công thức. Chính điều này đã

làm cho đối tượng LSNH ở SGK Toán Mỹ có sự đa dạng hơn về kĩ thuật giải cũng

như cách xây dựng tình huống. Cụ thể, KNV T3* “Tính thời gian đầu tư” tưởng chừng

như sẽ khó giải quyết khi HS chưa được học logarit, nhưng với sự hỗ trợ của graphics

calculator, KNV này đã được giải quyết.

Tương tự như SGK Toán Việt Nam, khi đặt đối tượng LSNH trong mối liên hệ

với quá trình mô hình hóa toán học, chúng tôi nhận thấy SGK Toán Mỹ chưa chú trọng

vấn đề này. Các bài toán được đưa vào không đòi hỏi phải tự xây dựng kĩ thuật giải từ

MHTH sẵn có mà chỉ áp dụng trực tiếp MHTH đã cho để giải quyết.

Kết luận quan hệ thể chế Toán Việt Nam và SGK Mỹ đối với bài toán lãi suất

Sau khi nghiên cứu giáo trình Toán tài chính, SGK Toán Việt Nam 5, 6, 7, 8, 9,

11, 12 và Sách toán Mỹ Mathematics for the international students 9 (MYP4), chúng

tôi nhận thấy có một số điểm như sau:

 KNV A1: Tính tổng số tiền đầu tư nhận được

 KNV A2: Tính vốn cần sử dụng

 KNV A3: Tính thời gian đầu tư

 KNV A4: Tính tỉ lệ tăng trưởng (lãi suất ngân hàng)

- Cả ba đối tượng chúng tôi nghiên cứu đều hiện diện 4 KNV chính

Là một giáo trình dành cho sinh viên chuyên ngành Kinh tế nên Toán tài chính

cung cấp đầy đủ các hình thức liên quan tới lãi suất ngân hàng, với chủ đề đa dạng.

Ngoài lãi đơn và lãi kép thì chuỗi tiền tệ và vay vốn là hai chương chúng tôi chọn

72

nghiên cứu vì có nội dung tương đồng với bài toán lãi kép. Các hình thức gửi - vay -

trả nợ được chia dạng chi tiết với công thức cụ thể cho từng dạng: gửi tiền cùng một

số tiền định kì mỗi kì hạn, gửi tiền định kì theo quy luật cấp số cộng/ nhân, tương tự

có bài toán trả nợ định kì với cách thức trả hoàn toàn tương tự. Riêng đối với KNV

A4: “Tính thời gian đầu tư/trả nợ” thì đòi hỏi có sự chính xác cao độ, sau khi thu được

kết quả từ bài toán toán học, sinh viên còn được yêu cầu phải đối chiếu với bài toán

ban đầu để đưa ra những điều chỉnh để phù hợp với thực tế. Bên cạnh các bài tập được

xây dựng để sinh viên rèn luyện công thức vừa được cung cấp, ở Toán tài chính còn

tồn tại các bài tập yêu cầu sinh viên phải có sự phối hợp nhiều công thức, ở nhiều mảng

kiến thức khác nhau, không chỉ vậy, Toán tài chính còn cung cấp các bài tập yêu cầu

sinh viên pải tự xây dựng một mô hình trung gian từ những những công thức cho sẵn.

- Ở chương trình Toán phổ thông, chúng tôi tiến hành nghiên cứu sự hiện diện

cũng như quá trình phát triển của các KNV của bài toán liên quan LSNH ở chương

trình Toán 5, 6, 7, 8, 9, 11 và 12. Do SGK Toán chú trọng các bài toán thuần túy toán

học, số lượng bài toán thực tế cực kì ít nên bài toán thực tế chủ đề LSNH cũng không

là ngoại lệ. Dù được xuất hiện gần như là xuyên suốt chương trình Toán của HS nhưng

số lượng bài tập lại không nhiều, lại không đòi hỏi HS phải xây dựng MHTH mà chủ

yếu tập trung vào giải bài toán toán học chứ không chú trọng quá trình mô hình hóa.

Nhưng thực trạng lại cho thấy, bài toán lãi kép lại là đối tượng được quan tâm vì nhiều

lần được xuất hiện ở các kì thi quan trọng của HS: kì thi tuyển sinh vào lớp 10 và kì

thi Đại học – Tốt nghiệp THPT quốc gia. Không chỉ vậy, bài toán được đưa vào đề thi

lại là một dạng thức chưa từng được xuất hiện ở chương trình SGK mà lại hiện diện ở

Toán tài chính dành cho sinh viên đại học, đòi hỏi HS phải tự xây dựng một kĩ thuật

từ MHTH đã có.

- Đối với MYP4, ý nghĩa thực tế của bài toán lãi kép được mở rộng hơn, không

chỉ đối với các bài toán vay, trả nợ hay gửi tiết kiệm ở ngân hàng mà nó còn được dùng

để tính toán những lợi nhuận hay tăng trưởng trong quá trình đầu tư. Số lượng bài tập

ở MYP4 tương đối nhiều và đa dạng, hiện hiện KNV mới T5: Vẽ đồ thị biểu diễn giá

trị đầu tư thu được, KNV con tương ứng T5.1: So sánh hai đồ thị. Bên cạnh đó, MYP4

còn cung cấp cho HS 2 kĩ thuật giải mới dựa trên sự hỗ trợ của graphics calculator:

73

dùng bảng số liệu và đồ thị hàm số. Các dạng thức này hoàn toàn không được hiện

diện ở SGK Toán Việt Nam.

Từ những kết luận từ phân tích nêu trên, chúng tôi nhận thấy vấn đề mô hình hóa

đối với bài toán liên quan LSNH không được chú trọng trong thể chế dạy học Toán

của Việt Nam. Mặc dù được gắn với những dự kiện thực tế nhưng những ý nghĩa thực

tế từ công thức lãi kép chưa đầy đủ, vẫn còn thiếu sót. Bên cạnh đó, các bài toán được

đưa vào chỉ chú trọng đến tính toán dựa trên MHTH sẵn có chứ không quan tâm đến

quá trình chuyển dữ liệu từ dữ kiện thực tế sang MHTH để giải quyết.

Những kết quả phân tích mối quan hệ thể chế Toán ở Việt Nam và SGK Mỹ cho

phép chúng tôi rút ra giả thuyết nghiên cứu:“Khi giải bài toán liên quan lãi suất ngân

hàng, đối với các bài toán không sử dụng trực tiếp mô hình toán học được cung cấp,

học sinh gặp khó khăn trong quá trình tự xây dựng kĩ thuật giải thông qua các mô hình

toán học sẵn có”.

Để kiểm chứng giả thuyết mà chúng tôi vừa đặt ra cũng như tìm câu trả lời cho

câu hỏi nghiên cứu đã đăt ra ở chương 2: “Khi đứng trước các bài toán liên quan lãi

suất có đơn vị tính thời gian (kỳ hạn) gửi không đồng nhất, chẳng hạn, lãi suất được

tính theo tháng/ quý nhưng thời gian gửi được tính theo quý/ năm, học sinh có biết

cách quy đổi chúng về cùng đơn vị hay không?”, chúng tôi sẽ tổ chức và tiến hành một

thực nghiệm trên các học sinh lớp 12. Thực nghiệm này thực nghiệm sẽ được trình bày

ở chương tiếp theo.

74

Chương 3. THỰC NGHIỆM

Mục đích của chương này là kiểm chứng giả thuyết: :“Khi giải bài toán liên quan

lãi suất ngân hàng, đối với các bài toán không sử dụng trực tiếp mô hình toán học

được cung cấp, học sinh gặp khó khăn trong quá trình tự xây dựng kĩ thuật giải thông

qua các mô hình toán học sẵn có” và câu hỏi nghiên cứu: “Khi đứng trước các bài

toán liên quan lãi suất có đơn vị tính thời gian (kỳ hạn) gửi không đồng nhất, chẳng

hạn, lãi suất được tính theo tháng/ quý nhưng thời gian gửi được tính theo quý/ năm,

học sinh có biết cách quy đổi chúng về cùng đơn vị hay không?”, chúng tôi đã hướng

đến triển khai thực nghiệm trong nội dung chương này. Bên cạnh đó, thông qua các

bài toán đưa vào thực nghiệm, HS sẽ được tiếp cận với những khía cạnh khác của

LSNH mà ở SGK Việt Nam chưa được đề cập tới.

Mặc dù bài toán với chủ đề liên quan LSNH được xuất hiện từ lớp 5 và gần như

trải dài đến chương trình Toán 12, nhưng tuy nhiên, ở chương trình Toán 12, bài toán

liên quan LSNH mới thực sự hiện diện một cách rõ ràng với công thức được xây dựng

hoàn chỉnh. Mặt khác, chúng tôi chọn tiến hành thực nghiệm trên đối tượng là HS lớp

12, sau khi đã học xong bài “§5. Phương trình mũ. Phương trình logarit” vì sau khi

kết thúc tri thức này, HS có đủ công cụ để có thể giải quyết những KNV chúng tôi đưa

vào thực nghiệm.

Thời gian tiến hành thực nghiệm được chia làm 2 buổi, mỗi buổi cách nhau

khoảng vài ngày.

3.1. Bài toán thực nghiệm

Trong nội dung thực nghiệm, chúng tôi trình bày 3 bài toán với mục tiêu như sau:

- Bài toán 1 là bài toán mở đầu với công thức tính được chúng tôi cung cấp

sẵn, giả thiết cung cấp được thể hiện dưới dạng bảng số liệu, bên cạnh viếc

giúp HS ôn lại kiến thức đã học, tình huống chúng tôi đưa ra còn nhằm tạo

điều kiện để HS có thể quan sát được bài toán lãi kép dưới dạng bảng số

liệu, cũng như quan sát được sự tăng trưởng của tiền lãi sau kỳ hạn gửi.

- Bài toán 2 là bài toán chính để chúng tôi kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu

của mình, do vậy, tình huống đưa ra sẽ không có sự thống nhất về đơn vị

tính thời gian gửi và đòi hỏi có quá trình mô hình hóa toán học.

75

- Sau khi kiểm chứng được giả thuyết nghiên cứu, chúng tôi thiết kế bài toán 3

nhằm xây dựng một tình huống mà qua đó, kết hợp với các bước gợi ý trong

các câu hỏi, HS có thể xây dựng được MHTH để giải quyết bài toán ban đầu.

Bài toán đưa ra là một tình huống gần gũi với HS, bên cạnh mục đích ban đầu,

chúng tôi còn cho HS thấy được thực tiễn của Toán học, qua đó có thể khơi gợi

niềm hứng thú đối với việc học Toán của HS.

Bài toán 1: Ông Phước dự định gửi tiết kiệm 10 triệu đồng vào ngân hàng trong

thời hạn 5 năm. Dưới đây là bảng thống kê tiền lãi và số tiền ông nhận được qua mỗi

năm.

Sau năm thứ Tiền lãi Tổng số tiền nhận được

0 10000000

1 820000 10820000

2 1.707.240 11707240

3 2667233,68 12667233,68

4 3705946,842 13705946,84

5 4829834,483 14829834,48

Biết ông Phước gửi theo hình thức lãi kép, tức là nếu không rút tiền ra khỏi ngân

hàng thì sau mỗi lần gửi, số tiền lãi sẽ được cộng gộp với vốn ban đầu (làm tròn 6 chữ

số thập phân).

r : lãi suất ngân hàng

:n thời gian gửi

:nP Số tiền nhận được sau thời gian gửi n

Công thức tính lãi suất kép như sau: 𝑃(cid:3041) (cid:3404) 𝑃(cid:4666)1 (cid:3397) 𝑟(cid:4667)(cid:3041). Trong đó: P : số tiền gửi ban đầu

Tính lãi suất ngân hàng.

Bài toán 2: (bài tập trích từ Toán tài chính trang 33) Ông Hai có một số tiền

200 triệu đồng chia ra gửi ở 2 ngân hàng X và Y. Số tiền thứ nhất ông gửi ở ngân hàng

X với lãi suất 2% một quý trong thời gian 15 tháng, số tiền thứ hai gửi ở ngân hàng Y

với lãi suất 2,15% một quý trong thời gian 12 tháng. Nếu lãi gộp vốn mỗi quý một lần

76

và tổng tiền lãi đạt được ở cả hai ngân hàng là 18984100 đồng, hãy xác định số tiền

ông Hai gửi ở mỗi ngân hàng.

Bài toán 3: Anh An đi làm được trả lương 15 triệu đồng, anh dự định cuối mỗi

tháng trích 10% lương của mình gửi tiết kiệm vào ngân hàng để mua VESPA 2018 trị

giá 67900000 đồng, biết rằng anh gửi theo hình thức lãi suất kép với lãi suất r  2,7%

mỗi tháng.

Tiền Thời

lãi Số tiền tiết kiệm được mỗi tháng gian t

(tháng)

1T P



r

P P

r

P T 



 





 1



T P T Tr    2 1

1

 1 1

1

1Tr

P

r



 1  



1  

 

r

P

r

r





T r P T 









P P 







 1





T 3

P T  2

2

 2 1



 1

2

2T r

2

2

P P

r

P

r

P

r

r

 









 1



 1



 1  



 1  



 1 

 

3

… … 4

… … 5

… … 6

a. Tiếp tục hoàn thành bảng trên với thời gian t = 4, 5, 6 tháng (thu gọn biểu thức

nếu có thể)

Trong đó, P là số tiền anh An gửi cố định mỗi tháng vào ngân hàng.

b. Tính số tiền anh An tiết kiệm được từ tháng 1 đến tháng 6

c. Sau 2 năm, số tiền anh An tiết kiệm được là bao nhiêu?

d. Nếu anh muốn mua được xe trong 2 năm thì mỗi tháng anh phải gửi ít nhất bao

nhiêu tiền?

n

2

n

n

1 



X

X

(

X

1)



 





Gợi ý đẳng thức có thể sử dụng trong quá trình làm bài



 ... 1

X X

1  1 

77

3.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori)

3.2.1. Biến tình huống, biến didactic và các giá trị của biến

 Biến tình huống

V1: Cách thức làm việc của HS

Giá trị của biến:

- Làm việc cá nhân

- Làm việc theo nhóm

- Làm việc tập thể lớp

Nội dung gồm có 2 thực nghiệm nên ở thực nghiệm 1, chúng tôi chọn giá trị biến

làm việc cá nhân nhằm mục đích kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu, qua đó, kết quả

nhận được sẽ được phản ánh xác thực hơn. Đối với thực nghiệm 2, chúng tôi lựa chọn

giá trị biến làm việc theo nhóm vì với cách chọn biến này, học sinh sẽ cho ra nhiều

cách giải hơn, bên cạnh đó, thúc đẩy các thành viên tham gia trao đổi ý kiến, chia sẻ ý

tưởng của bản thân, bên cạnh đó, từng thành viên trong nhóm có thể học hỏi kinh

nghiệm lẫn nhau.

V2: Công cụ hỗ trợ tính toán

Giá trị của biến:

- Được sử dụng máy tính bỏ túi

- Không được sử dụng máy tính bỏ túi.

Đối với biến V2, chúng tôi chọn giá trị biến được sử dụng máy tính bỏ túi. Do

đặc trưng của các bài toán kinh tế là số liệu tính toán lớn, cho nên việc sử dụng máy

tính bỏ túi là cần thiết. Tuy nhiên, ở nội dung thực nghiệm của mình, chúng tôi đã xây

dựng tình huống mà ở đó, máy tính bỏ túi không còn là công cụ ưu việt nữa, đòi hỏi

 Các biến didactic

HS phải tìm một công cụ mới, tối ưu hơn.

V3: Số đại lượng cần tìm

Giá trị của biến:

- Đề bài yêu cầu tìm 1 đại lượng

- Đề bài yêu cầu tìm nhiều đại lượng

Bài toán 2 có sự xuất hiện của biến V2, trong tình huống này, chúng tôi chọn “đề

bài yêu cầu tìm 1 đại lượng”.

78

V4: Cách tiếp cận công thức lãi kép

- Biểu thức đại số

- Bảng số liệu

- Đồ thị

Kết quả từ việc nghiên cứu MYP4 đã giúp chúng tôi có cái nhìn mới hơn về cách

thức để HS tiếp cận với công thức lãi kép. Do vậy, chúng tôi chọn “bảng số liệu” đối

với bài tập 1 và “biểu thức đại số” đối với bài tập 2 và 3 nhằm giúp HS tiếp cận với

bài toán lãi kép thông qua dạng thức mới này.

V5: Số kỳ hạn gửi

- Số kỳ hạn gửi nhỏ

- Số kỳ hạn gửi lớn

Đối với bài toán 3, biến V5 được sử dụng nhằm tác động đến chiến lược của HS.

Ở câu 3a, chúng tôi chọn số kỳ hạn gửi nhỏ nhằm giúp HS có thể thao tác trên những

con số cụ thể. Nhưng ở câu 3b, chúng tôi chọn số kỳ hạn gửi lớn, tạo một tình huống

có vấn đề, đòi hỏi HS phải thay đổi chiến lược của mình, hình thành một quy tắc chung

nhất để giải quyết mọi trường hợp của bài toán.

Trên cơ sở hình thành công thức 3b, câu 3c được chúng tôi đưa ra nhằm giúp HS

có cơ hội thao tác trên mô hình mình vừa xây dựng, cũng như kiểm tra tính đúng đắn

của mô hình này.

3.2.2. Phân tích chi tiết các bài toán

Bài toán 1: Ông Phước dự định gửi tiết kiệm 10 triệu đồng vào ngân hàng trong

thời hạn 5 năm. Dưới đây là bảng thống kê tiền lãi và số tiền ông nhận được qua mỗi

năm.

Sau năm thứ Tiền lãi Tổng số tiền nhận được

10000000 0

820000 10820000 1

1707240 11707240 2

2667233,68 12667233,68 3

3705946,842 13705946,84 4

4829834,483 14829834,48 5

79

Biết ông Phước gửi theo hình thức lãi kép, tức là nếu không rút tiền ra khỏi ngân

hàng thì sau mỗi lần gửi, số tiền lãi sẽ được cộng gộp với vốn ban đầu (làm tròn 6 chữ

 Các chiến lược có thể

số thập phân). Tính lãi suất ngân hàng.

dinh nghia _ S 1

- : Chiến lược “định nghĩa”: HS dựa vào định nghĩa LSNH để tính trực tiếp

lãi suất theo yêu cầu bài toán bằng công thức:

(cid:2932)ố(cid:2924) (cid:2932)(cid:2911)(cid:2935) (cid:4666)(cid:2913)(cid:2918)(cid:2925) (cid:2932)(cid:2911)(cid:2935)(cid:4667)

Lãi suất = (cid:2896)ã(cid:2919) (cid:2926)(cid:2918)ả(cid:2919) (cid:2930)(cid:2928)ả (cid:4666)(cid:2924)(cid:2918)ậ(cid:2924) đượ(cid:2913)(cid:4667) (cid:2930)(cid:2928)(cid:2925)(cid:2924)(cid:2917) (cid:2923)ộ(cid:2930) đơ(cid:2924) (cid:2932)ị (cid:2930)(cid:2918)ờ(cid:2919) (cid:2917)(cid:2919)(cid:2911)(cid:2924)

Ở biến V4, chúng tôi chọn “bảng số liệu” để tạo điều kiện cho chiến lược này

xuất hiện. Tuy nhiên, do ở chương trình toán phổ thông Việt Nam, HS chưa có điều

kiện tiếp cận với tình huống sử dụng định nghĩa lãi suất để giải toán nên chiến lược

này không có khả năng xảy ra cao.

cong thuc _ S 1

: Chiến lược “công thức lãi kép”: Thông qua công thức lãi kép đã được -

xây dựng, HS vận dụng nó vào giải toán. Vì HS có nhiều cơ hội thao tác trên công

 Cái có thể quan sát cho bài toán 1

thức lãi kép, nên đây là chiến lược có khả năng xảy ra cao.

dinh nghia _ S 1

.100 8,2% 

- Bài giải tương ứng chiến lược

820000 10000000

Lãi suất ngân hàng là

cong thuc _ S 1

(đây là chiến lược mong đợi ở HS) - Bài giải tương ứng chiến lược

Chọn thời gian sau năm thứ 3, áp dụng công thức 𝑃(cid:3041) (cid:3404) 𝑃(cid:4666)1 (cid:3397) 𝑟(cid:4667)(cid:3041), trong đó,

12.667.233, 68; n

3; P 10000000







P 3

3

12667233,68

r





 10000000. 1



3

1, 266723

r



1,082

r

  1   1    r  

0,082 8, 2% 

ta có

Vậy lãi suất ngân hàng là 8,2%

Bài toán 2: (bài tập trích từ Toán tài chính trang 33) Ông Hai có một số tiền

200 triệu đồng chia ra gửi ở 2 ngân hàng X và Y. Số tiền thứ nhất ông gửi ở ngân hàng

80

X với lãi suất 2% một quý trong thời gian 15 tháng, số tiền thứ hai gửi ở ngân hàng Y

với lãi suất 2,15% một quý trong thời gian 12 tháng. Nếu lãi gộp vốn mỗi quý một lần

và tổng tiền lãi đạt được ở cả hai ngân hàng là 18984100 đồng, hãy xác định số tiền

 Các chiến lược có thể

_

S

ông Hai gửi ở mỗi ngân hàng.

phuong trinh 2

- : Chiến lược “phương trình”: HS chọn ẩn là đại lượng cần tìm, kết hợp

với các bước “giải bài toán bằng cách lập phương trình” đã được học để tìm đáp án.

Với cách chọn “đề bài yêu cầu tìm 1 đại lượng” thì đây sẽ là chiến lược có khả năng

_

_

S

xảy ra cao.

he phuong trinh 2

- : Chiến lược “hệ phương trình”: HS vẫn chọn ẩn là đại lượng cần

 Cái có thể quan sát cho bài toán 2

_

tìm, kết hợp với “giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”. Với cách chọn biến

S

phuong trinh 2

200000000

x



- Bài giải tương ứng chiến lược (đây là chiến lược mong đợi ở HS)

), khi đó số tiền Gọi số tiền ông Hai gửi ở ngân hàng X là x (đồng, 0

x (đồng)

ông gửi ở ngân hàng Y là 200000000

 x  1 2%

5

đồng - Số tiền ông Hai nhận được ở ngân hàng X:

2000000

1 2,15%

x





4

218984100

đồng - Số tiền ông Hai nhận được ở ngân hàng Y: 





- Tổng số tiền ông Hai nhận được sau 5 năm: 200000000 18984100

đồng

200000000

x



 218984100

5  x  1 2%

 



4 1 2,15%

1,104081x

200000000

.1,08813 2189841000

x











 80000000

x  

- Ta có phương trình

_

_

S

Vậy số tiền ông gửi ở ngân hàng X là 80 triệu đồng

he phuong trinh 2

- Bài giải tương ứng chiến lược

,x y , (đồng,

0

x y ,

200000000





Gọi số tiền ông Hai gửi ở ngân hàng X và Y lần lượt là

).

Tổng số tiền ông Hai nhận được sau 5 năm: 200000000+1898400=201898400

81

x

4

5

y

x

0 20189840







y    1 2,15%

200000000 

 1 2% 



  

y

x

 x

200000000  80000000



 

8000000 0 120000000

    x  y 

Ta có hệ phương trình

Vậy số tiền ông gửi ở ngân hàng X là 80 triệu đồng.

Bài toán 3: Anh An đi làm được trả lương 15 triệu đồng, anh dự định cuối mỗi

tháng trích 10% lương của mình gửi tiết kiệm vào ngân hàng để mua VESPA 2018 trị

giá 67.900.000 đồng, biết rằng anh gửi theo hình thức lãi suất kép với lãi suất r  2,7%

mỗi tháng.

Thời Tiền

gian t lãi Số tiền tiết kiệm được mỗi tháng

(tháng)

1T P



r

P P

r

P T 



 





 1



T P T Tr    2 1

1

 1 1

1

1Tr

P

r



 1  



1  

 

r

P

r

r





T r P T 









P P 







 1





T 3

P T  2

2

 2 1



 1

2

2T r

2

2

P P

r

P

r

P

r

r

 









 1



 1



 1  



 1  



 1 

 

3

… … 4

… … 5

… … 6

a. Tiếp tục hoàn thành bảng trên với thời gian t = 4, 5, 6 tháng (thu gọn biểu thức nếu

có thể)

Trong đó, P là số tiền anh An gửi cố định mỗi tháng vào ngân hàng.

b. Tính số tiền anh An tiết kiệm được từ tháng 1 đến tháng 6

82

c. Sau 2 năm, số tiền anh An tiết kiệm được là bao nhiêu?

d. Nếu anh muốn mua được xe trong 2 năm thì mỗi tháng anh phải gửi ít nhất bao

nhiêu tiền?

n

n

n

2

1 



X

X

(

X

1)



 





Gợi ý đẳng thức có thể sử dụng trọng quá trình làm bài



 ... 1

X X

1  1 

Với cách thức gửi đều đặn cùng 1 số tiền vào ngân hàng thì đây là hình thức gửi

chưa từng được trình bày ở SGK Toán phổ thông Việt Nam, mà chỉ được hiện diện

trong giáo trình Toán tài chính chúng tôi đã phân tích trong chương I. Hình thức gửi

này không được tính bằng công thức lãi kép, do vậy, thông qua hệ thống câu hỏi mà

chúng tôi xây dựng, chúng tôi hi vọng HS có thể tự xây dựng công thức tính mới cho

 Các chiến lược có thể

S

trường hợp này.

-

truc quan _ 3

: Chiến lược trực quan: học sinh dựa vào khả năng quan sát của bản

_

ke

thân để rút ra được quy luật của biểu thức

S

-

liet 3

: Chiến lược “liệt kê”: dựa vào các khoảng thời gian t để tính số tiền anh

An tiết kiệm được, tuy nhiên, dưới sự tác động của biến V5, chiến lược này sẽ

phải gặp khó khăn khi đứng trước tình huống số kì hạn lớn. Do vậy, đây không

_

_

S

phải là chiến lược tối ưu.

-

lap cong thuc 3

: Chiến lược “lập công thức”: Dựa trên các quy luật gửi của từng

tháng, HS sẽ xây dựng công thức tổng quát cho bài toán này. Mặc dù đây là

chiến lược tối ưu nhưng quá trình để HS tự xây dựng công thức tổng quát không

 Cái có thể quan sát cho bài toán 3:

_

ke

S

hề đơn giản.

liet 3

- Bài giải tương ứng chiến lược



a,b. Số tiền anh An gửi tiết kiệm mỗi tháng 15000000.10% 1500000

83

Tiền Thời

lãi Số tiền tiết kiệm được mỗi tháng gian t

1500000

(tháng)

T P  1



r

P P

r

P T 



 





 1



T P T Tr    2 1

1

 1 1

1

1Tr

P

r

3040500









 1



1  

 

r

P

r

r





T r P T 









P P 







 1





T 3

P T  2

2

 2 1



 1

2

2

2

2T r

r

P

r

P

r

r



P P 

















 1



 1



 1



 1



 1 

 

462259

3, 5



2

3

P

r

r

r

5 6247403,52







3

 1  



 1  



 1



3Tr

 1 

 

2

3

4

P

r

r

r

r

7916083,42



4

 1  



 1  



 1  



 1  



4T r

 1 

 

2

3

4

5

P

r

r

r

r

r























 1

 1



 1



 1



 1



 

5

5Tr

 1  9629817, 672



_

_

S

6

lap cong thuc 3

- Bài giải tương ứng chiến lược

Thời Tiền

gian t lãi Số tiền tiết kiệm được mỗi tháng

1500000

(tháng)

T P  1



r

P P

r

P T 



 





 1



T P T Tr    2 1

1

 1 1

1

1Tr

P

r

3040500









 1



1  

 

r

P

r

r





T r P T 









P P 







 1





T 3

P T  2

2

 2 1



 1

2

2

r

P

r

P

r

r



P P 

















 1



 1



 1



 1



 1 

 

2

2T r

3

P

.

46

22593, 5





1  1 

 1   1 

 i  i

3

4

2

3

r

r

r

P

.

624740

3, 525

P

















84

 1



 1



 1



3Tr

 

 1 

1  1 

 1   1 

 i  i

2

3

4

P

r

r

r

r

















 1



 1



 1



 1



 1 

 

5

4

4T r

P

.

2

7916083, 4





1  1 

 1   1 

 i  i

2

3

4

5

P

r

r

r

r

r





















 1



 1



 1



 1



 1



 1 

 

6

5

5Tr

P

.

9629817, 67

2





1  1 

  1 i    1 i 

P .

6

1  1 

 1   1 

tr   r

_

ke

S

Tương tự, sau t tháng, số tiền gửi được sẽ là

liet 3

Với gợi ý cách thức gửi tiền được cho ở bảng, nên ở câu 3a, chiến lược

24

t 

là chiến lược có khả năng xảy ra cao ở HS vì tính đơn giản trong thao tác thực hiện.

_

ke

tháng), HS vẫn có khả năng c. Ở câu c, dù với thời gian gửi 2 năm (ứng

S

liet 3

nhưng sẽ gây cho HS nhiều khó khăn vì độ phức tạp tính toán với chiến lược

_

_

S

của nó.

lap cong thuc 3

24

t 

vẫn là chiến lược chiếm ưu thế hơn với MHTH vừa xây Chiến lược

24



1500000.

49741964,1



 1 1 2,7%    1 2,7% 1  



_

ke

S

dựng. Cụ thể, với anh An tiết kiệm được số tiền

liet 3

không có khả năng xuất d. Với tình huống đặt ra ở câu c thì chiến lược

hiện. Xuất phát từ tình huống có vấn đề ở câu b, kết hợp với việc khó khăn trong giải

_

_

quyết câu c, HS buộc phải tìm một chiến lược khác tối ưu hơn.

S

lap cong thuc 3

0

x  , đồng)

- Bài giải tương ứng chiến lược

Gọi số tiền anh An cần gửi là x (

Ta có phương trình

24



x .

67900000



 2047566,916

 1 1 2,7%    1 2,7% 1   x  

85

Vậy mỗi tháng anh An phải gửi 2047566,916 đồng vào ngân hàng để có đủ tiền

trong thời hạn 2 năm.

3.3. Phân tích hậu nghiệm

Với lớp thực nghiệm gồm 40 HS nên chúng tôi chia làm 10 nhóm, mỗi nhóm

gồm 4 HS. Được chia làm 2 buổi:

- Buổi 1: Chúng tôi tiến hành kiểm tra sự những khó khăn của HS khi đứng

trước một bài toán LSNH đòi hỏi phải xây dựng một MHTH. Thời gian làm

việc được dự kiến khoảng 20 phút, thực nghiệm điều tra trên mỗi cá nhân.

- Buổi 2: Chúng tôi xây dựng một bài toán mà qua đó, thông qua các bước

gợi ý, HS có thể tự mình xây dựng được MHTH để giải quyết bài toán được

 Dàn dựng kịch bản

 Thực nghiệm 1 – buổi 1

đưa ra. Thời gian dự kiến khoảng 70 phút.

Thực nghiệm 1 được chúng tôi tiến hành trên phiếu điều tra gồm 2 bài tập, làm

 Phân tích hậu nghiệm

việc cá nhân. Bài tập 1 được giới hạn trong thời gian 10 phút, bài tập 2 là 20 phút.

Bài toán 1

Bài toán 1 được chúng tôi thực nghiệm trên mỗi cá nhân. Dù là bài toán quen

thuộc, nhưng khi nhận được đề từ GV, một số HS cảm thấy bối rối vì đứng trước tình

huống bài toán LSNH được hiện diện dưới dạng bảng

Kết quả bài làm của HS được chúng tôi thống kế như sau

Bảng 3.1. Thống kê kết quả bài làm cá nhân phiếu 1 bài toán 1 của HS

Số lượng học sinh 40 Tỉ lệ phần trăm 100% Chiến lược cong thuc _ S 1

dinh nghia _ S 1

Bài toán 2 0 0%

Tổng 40 100%

86

_

th u c

Với sự quen thuộc của bài toán nên 40/40 HS đều giải quyết được bài toán 1, tuy

S

co n g 1

_

n g h ia

và có thể thấy rằng, chiến nhiên và tất cả HS này đều sử dụng chiến lược

S

d in h 1

lược hoàn toàn mờ nhạt ở HS, dù đây là chiến lược tối ưu của bài toán này.

Hình 3.1. Trích bài làm cá nhân bài toán 1 của HS 1

Bên cạnh đó, một số cá nhân sau khi tính được lãi suất nhưng lại chưa đưa về

dạng phần trăm.

Hình 3.2. Trích bài làm cá nhân bài toán 1 của HS 2

Bài toán 2

Là bài toán LSNH có mà HS chưa từng hiện diện trong SGK Toán. Nhưng để

kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức toán học, chúng tôi vẫn tiến hành điều tra cá

nhân.

Bảng 3.2. Thống kê kết quả bài làm cá nhân phiếu 1 bài toán 2 của HS

_

S

Số lượng học Chiến lược Tỉ lệ phần trăm sinh

phuong trinh 2

_

_

3 7.5%

S

he phuong trinh 2

Bài 11 27,5%

toán 2 Không trả lời hoặc xây 26 65% dựng mô hình trung gian sai

_

p h u o n g

_

trin h

Tổng 40 100%

S

h e 2

Với nhóm chọn chiến lược , dù xây dựng được MHTH đúng, nhưng

vì chưa đưa về cùng đơn vị đối với thời gian gửi và lãi suất đã đưa ra kết quả bài toán

87

toán học sai. Ngoài ra, có trường hợp học sinh hiểu sai ý nghĩa của giá trị 18984100

đồng cũng dẫn đến giải bài toán bị sai. Bên cạnh đó, còn có trường hợp vướng vào cả

hai tình huống mà chúng tôi vừa trình bày. Những điều này đã dẫn đến việc khi trả lời

câu hỏi thực tế ban đầu, kết quả của bài toán toán học không thỏa mãn. Cụ thể:

Hình 3.3. Trích bài làm cá nhân bài toán 2 của HS 3

_

trinh

S

phuong 2

Tương tự đối với nhóm chọn chiến lược

Hình 3.4. Trích bài làm cá nhân bài toán 2 của HS 4

Dưới đây là minh họa cho bài giải đúng của một học sinh

88

Hình 3.5. Trích bài làm cá nhân bài toán 2 của HS 5

Có thể thấy rằng, với tình huống không thống nhất về đơn vị tính đối với lãi suất

gửi và thời gian gửi, là một tình huống xuất hiện trong SGK Toán 12 nâng cao, đối với

những HS không học chương trình này, chúng tôi nhận thấy HS gặp khó khăn, dù đã

biết cách xây dựng MHTH. Với các trường hợp này, sau khi nhận được kết quả từ bài

toán toán học, HS lại thắc mắc “Cô ơi! Sao tụi con tính ra số tiền âm, kì vậy cô?”

Kết luận

Kết luận phân tích hậu nghiệm ở bài toán 1 và 2 cho thấy, HS khó khăn khi đứng

trước các bài toán đòi hỏi có sự phân tích tình huống đề bài đưa ra, xây dựng MHTH.

Phần lớn các HS đều cảm thấy lo ngại khi đứng trước các bài toán thực tế có độ dài

khác thường, cũng như các bài toán “Bài này lạ quá cô ơi! Không giống với những

dạng tụi con đã học”. Bên cạnh đó, việc tính lãi suất bằng định nghĩa còn xa lạ ở HS,

cũng theo như chúng tôi đã phân tích ở chương 2, thể chế Toán Việt Nam không tạo

nhiều điều kiện cho đối tượng này xuất hiện. Không chỉ vậy, HS còn không nhận thức

được viêc thống nhất đơn vị trong quá trình tính toán.

Một tỉ lệ lớn nhóm bỏ trống bài toán số 2 khi không xây dựng được MHTH. Do

vậy, ở nội dung tiếp theo, chúng tôi xây dựng một bài toán hoàn toán mới đối với HS,

 Thực nghiệm 2 – buổi 2

nhưng MHTH cũng như giải quyết được yêu cầu bài toán.

 Dàn dựng kịch bản

89

Pha 0: Giáo viên phát phiếu học tập của bài tập 3 và giấy nháp cho 10 nhóm.

Bên cạnh đó, giáo viên giới thiệu hình thức gửi của bài toán 3, nhấn mạnh với học sinh

hình thức gửi tiền đều đặn mỗi tháng .

Bên cạnh việc điền kết quả vào phiếu học tập, giáo viên khuyến khích học sinh

ghi lại quá trình suy luận của nhóm vào nháp.

Pha 1: Dự kiến chia làm 2 giai đoạn

- Giai đoạn 1: làm việc theo nhóm, dự kiến 10 phút, giáo viên tổ chức cho nhóm

tiến hành thảo luận câu hỏi 3a.

- Giai đoạn 2: làm việc tập thể lớp, dự kiến 10 phút, giáo viên cho đại diện từng

nhóm trình bày câu trả lời và giải thích cách nhận ra được quy luật gửi của nhóm mình,

sau đó yêu cầu các nhóm còn lại nhận xét.

Pha 2: Chúng tôi chia làm 2 giai đoạn

- Giai đoạn 1: làm việc nhóm, dự kiến 10 phút, giáo viên cho các nhóm tiến hành

thảo luận câu hỏi 3b

- Giai đoạn 2: làm việc tập thể, dự kiến 10 phút, giáo viện gọi đại diện 3 nhóm

trình bày kết quả và cách tính của nhóm, các nhóm còn lại nhận xét.

Pha 3: Chúng tôi chia làm 2 giai đoạn

- Giai đoạn 1: làm việc nhóm, dự kiến 10 phút, thảo luận câu hỏi 3c

- Giai đoạn 2: làm việc tập thể, dự kiến 10 phút, giáo viện gọi đại diện 2-3 nhóm

trình có câu trả lời để lên bảng bày kết quả và cách tính của nhóm, các nhóm còn lại

nhận xét và góp ý kiến, chọn ra chiến lược tối ưu nhất.

Pha 4: Thảo luận nhóm trong 10 phút, gíao viên gọi đại diện 2 nhóm trình bày

 Phân tích kịch bản

kết quả.

Pha 0: Giáo viên giới thiệu bài toán một lần nữa cũng như nhấn mạnh từ khóa

“gửi đều đặn cuối mỗi tháng” để HS nhận ra sự khác biệt với bài toán lãi kép đã học ở

trước đó.

Pha 1: GV tổ chức cho HS thảo luận và trả lời câu hỏi 3a

90

Với gợi ý được cung cấp, cùng với cách tính đã được cụ thể hóa, chúng tôi đưa

ra câu hỏi 3a nhằm mục đích giúp HS làm quen với quy luật gửi tiết kiệm này, bên

cạnh đó, cách thức này còn giúp HS có cái nhìn trực quan hơn, thấy được sự khác nhau

giữa hình thức gửi định kì mỗi tháng với hình thức gửi ngân hàng đã học trước đó

2

trong SGK.

t  , cụm 

1r  trong dấu ngoặc vuông

Quy luật được đặt ra ở câu 3a là với

3

t  , trong dấu ngoặc vuông sẽ xuất hiện cụm tổng lũy thừa

sẽ là lũy thừa 1, với

4

t  , trong dấu ngoặc vuông sẽ được cộng thêm

1 r

 1 r



2

. Tương tự, với và 

 1 r

3

so với trường hợp trước đó,…

Đối với bài tập 3a, chúng tôi chỉ dừng lại ở mức độ “làm quen với quy luật” nên

t  ) 6

thời gian gửi chỉ dừng lại ở mức 6 tháng (

Pha 2: GV cho HS thảo luận để giải quyết câu 3b

Với số liệu cụ thể, cùng với cách tính đã được giải quyết ở câu hỏi 3a. HS có thể

tính được số tiền gửi trong 6 tháng đầu tiên.

Kết thúc pha 2, HS có thể làm quen được với quy luật gửi tiền tiết kiệm này, cũng

như tính được số tiền ứng với yêu cầu của đề.

Pha 3: HS tiến hành thảo luận để trả lời câu hỏi 3c

24

t 

Tuy cùng KNV nhưng trước đó, HS có thể thực hiện được vì thời gian gửi nhỏ,

tháng). Do nhưng trong tình huống đưa ra có thời gian gửi tiết kiệm là 2 năm (

đó, HS không thể tính 24 lần bằng quy luật đã hình thành trước đó mà đòi hỏi HS phải

đề xuất một chiến lược khác tối ưu hơn

Đứng trước bài toán phức tạp về cả nội dung và bài toán toán học, chúng tôi cung

cấp thêm gợi ý để hỗ trợ HS, để từ quy luật vừa xây dựng ở câu 3a, có thể đưa ra được

n

2

n

n

1 



X

X

(

X

1)





... 1 





MHTH ưu việt hơn – công thức tính cho một giá trị t bất kì. Cụ thể



1  1 

3

1 r

Từ gợi ý 

t  : xem 

X X 

3

2

r

r



1  

 1



 1  



1  1 

  1 r    1 r 

Xét trường hợp như là X ở gợi ý, thì ta được:

3

. P



91

T 3

1  1 

  1 r    1 r 

4

3

2

i

r

r



1  

Khi đó, số tiền tiết kiệm được ở tháng thứ ba là

t  :  1 4



 1  



 1  



1  1 

  1 r    1 r 

4

. P



Tương tự đối với trường hợp

T 4

1  1 

  1 r    1 r 

n

. P



Số tiền tiết kiệm được ở tháng thứ tư là

n là

T n

1  1 

  1 r    1 r 

Một cách tổng quát, số tiền tiết kiệm được ở tháng thứ t

Với công thức tổng quát vừa xây dựng, HS có thể xử lí trường hợp thời gian gửi

lớn như đề bài toán yêu cầu.

Cuối pha 3, HS được yêu cầu huy động thêm một kiến thức được gợi ý từ đề bài

để có thể thực hiện thao tác biến đổi đại số, qua đó giải quyết tình huống được đặt ra.

Pha 4: HS được yêu cầu thảo luận câu hỏi 3d

HS cần có sự phối hợp giữa MHTH vừa xây dựng với giả thiết được đưa ra, HS

được yêu cầu xác định các đại lượng trong công thức để có thể giải quyết yêu cầu bài

toán.

Kết thúc pha 4, HS có cơ hội thao tác trên mô hình mình vừa xây dựng, bên cạnh

đó, HS còn có thể thấy được mối liên hệ mật thiết giữa toán học với thực tế nói chung,

 Phân tích hậu nghiệm

trường hợp bài toán lãi suất mà chúng tôi xây dựng nói riêng.

Pha 0:

Dưới đây là đoạn đối thoại giữa GV và HS của các nhóm

GV: Các em có nhận xét gì về bài toán này với bài toán gửi ngân hàng chúng ta

đã học ở tiết trước?

HS1: Dạ thưa cô, mỗi tháng đều gửi thêm một số tiền P, còn ở bài trước thì không

có.

GV: Bài toán này vẫn được gọi là bài toán “lãi kép”, các em dự đoán công thức

tính của chúng ta sẽ như thế nào nhỉ? Có giống với công thức mình học ở bài “§4.

Hàm số mũ. Hàm số logarit” không?

92

HS2: Em đoán là không đâu cô ạ! Vì nó khác lúc gửi tiền nên công thức chắc

cũng khác.

GV: Vậy nếu đi gửi tiền ở ngân hàng, mà mỗi tháng các em đều gửi thêm như

vậy, các em dự đoán tiền lãi mà chúng ta nhận được sẽ như thế nào?

HS3: Theo em nghĩ, vì tiền lãi lại bằng tiền gửi nhân với lãi suất ngân hàng, nên

nếu mỗi tháng mình đều gửi thêm như vậy thì tiền lãi mình nhận được sẽ cao hơn

nhiều, nhiều hơn so với kiểu mình gửi ở bài trước nữa, số tiền mình nhận được cũng

sẽ nhiều hơn.

GV: Ý em bài trước là thế nào?

HS3: Là kiểu gửi của bài trước đó cô, mình chỉ gửi tiền xong mình để nguyên như

vậy, thời gian sau mình lấy. Còn trường hợp này thì mỗi tháng mình gửi đều đặn mà.

GV: Cám ơn các em.

Pha 1: HS làm việc với câu 3a.

Hầu hết các nhóm đều nhận ra quy luận tính để hoàn thiện bảng

Hình 3.6. Trích bài làm nhóm 1

Sau đây là đoạn phỏng vấn của GV với các nhóm

2

GV: Làm thế nào để các em có thể có được kết quả như trong bảng?

t  , trong dấu ngoặc vuông gồm có

1 r

HS1: Dạ thưa cô! Em thấy ở trường hợp

3

1 r

1 và 



t  thì trong dấu ngoặc vuông có thêm 

2

1 r

, đến , nên em nghĩ các



mũ gì đó sao cho nhỏ trường hợp sau, trong mỗi dấu ngoặc sẽ có thêm 1 lượng 

hơn giá trị t một đơn vị.

93

GV: Các nhóm khác thì thể nào nhỉ?

HS2: Thưa cô! Nhóm chúng em cũng làm như vậy ạ.

GV: Cám ơn các em.

Cuối pha 1, với hình thức gửi ngân hàng lần đầu được xuất hiện, dưới sự lựa chọn

hình thức bảng số liệu, các em đã có cái nhìn rõ hơn và phân biệt được với hình thức

gửi ngân hàng mà các em đã được học trước đó, bên cạnh đó, HS còn có sự so sánh

hình thức nào mang lại lợi ích nhiều hơn. Các em cũng đã dần hình thành quy luật biến

đổi của từng tháng gửi, bước đầu tiếp cận với công thức tính tổng quát.

Pha 2: HS làm việc với câu hỏi 3b

HS sử dụng quy luật mình vừa thành lập ở câu a để tính số tiền nhận được trong

mỗi tháng. Hầu hết các em đều có thể thực hiện yêu cầu bài toán, xuất hiện hai hình

thức tính ở HS như sau

Hình 3.7. Trích bài làm nhóm 2

Qua quan sát sơ lược nội dung các phiếu học tập, GV gọi nhóm có câu trả lời

như trên trình bày cách tính của nhóm, đoạn đối thoại như sau:

GV: Em tính tiền gửi ở mỗi tháng như thế nào?

HS1: Thưa cô! Nhóm em tính được tháng thứ 2 bằng công thức trong bảng, sau

P T T r   2 2

đó, để tính tháng thứ 3, em thay số liệu vào như phần đầu của công thức là

. Tương tự đối với các tháng còn lại.

GV: Ồ! Cô cảm ơn các em! Vậy có nhóm nào có cách tính khác không?

HS2: Dạ nhóm em tính biểu thức ở dấu bằng cuối cùng, nên tính rất là dài ạ!

Bên cạnh đó, GV kết hợp mở rộng vấn đề bằng cách đề xuất câu hỏi phụ, dưới

đây là đoạn đối thoại của GV với HS của các nhóm

94

GV: Với công thức cũ của bài trước 𝑃(cid:3041) (cid:3404) 𝑃(cid:4666)1 (cid:3397) 𝑟(cid:4667)(cid:3041), kết hợp với số liệu của bài toán này, các em hãy tính số tiền nhận được sau tháng thứ 2 và tháng thứ 3, rồi so

sánh số tiền mình ở tháng tương ứng mình nhận được trong bài này

HS3: Thưa cô, tháng 2 em tính được 1582093,5, tháng 3 em tính được

1624810,25, còn ở bài của mình, tháng 2 là 3040500, tháng 3 là 4622593,5. Số tiền

kiểu gửi của mình nhiều hơn bài trước nhiều.

Với việc cụ thể hóa bằng số liệu, tình huống đặt ra ở câu 3b đã giúp HS kiểm

chứng dự đoán trước đó, cũng như có cái nhìn trực quan hơn trong quá trình so sánh

giá trị đạt được ở hai hình thức gửi ngân hàng.

Pha 3: HS làm việc với câu hỏi 3c

24

t 

Tình huống được đưa ra có sự nhảy vọt về thời gian gửi, cần tính , nếu làm

tương tự các trường hợp trước, HS phải lần lượt tính đến 24 lần.

Dưới đây là đoạn phỏng vấn của GV với HS các nhóm:

GV: Số liệu trong trường hợp câu 3c là 2 năm, các em có nhận xét gì về đơn vị

đã cho?

HS1: Thưa cô ở câu a, b là tháng, còn ở câu c là năm, chúng khác nhau ạ

GV: Vậy em sẽ làm thế nào?

HS1: Thưa cô em sẽ đổi 2 năm thành 24 tháng ạ. Nhưng nếu vậy thì mình sẽ tính

tới lần thứ 24 luôn sao cô? Như vậy thì tính nhiều với dài lắm cô ơi! Lúc nãy em tính

tới tháng thứ 6 là đã thấy nhiều rồi.

GV: Vậy thì chúng ta phải giải quyết thế nào đây?

1 r

HS2: Thưa cô, em thấy mình có thể sử dụng gợi ý ở dưới để biến đổi công thức ạ?



4

4

như X trong GV: Em sử dụng thế nào? HS2: Thưa cô, như trường hợp tính ở tháng thứ 4, em xem 

n  nên em được

1  1 

 1   1 

 r  r

4

. P

. Do phía trước công thức gợi ý, còn trường hợp này,

  1 1 r     1 1 r  

mình còn có nhân P nên kết quả cuối cùng của mình là . Tương tự ở các

24

trường hợp còn lại.

t 

GV: Vậy ở trường hợp này thì sao?

24

. P

95

1  1 

  1 r   1 r 



HS3: Thưa cô mình sẽ được ạ.

Để hỗ trợ và đảm bảo tính xác đáng cho lập luận của HS, chúng tôi đã đặt thêm

câu hỏi phụ cho cả lớp như sau:

GV: Các em hãy đề xuất một công thức tổng quát để có thể giải quyết trường hợp thời

gian gửi t là một giá trị bất kì? Và hãy trình bày quy luật của mình lên bảng.

Hình 3.8. Trích bài làm nhóm 5

Hình 3.9. Trích bài làm nhóm 8

Dưới đây là hình minh họa kết quả bài làm của một nhóm

Hình 3.10. Trích bài làm nhóm 3

_

ke

Tình huống đặt ra ở câu 3c đòi hỏi các em phải có sự thay đổi trong chiến lược giải

S

liet 3

toán, đòi hỏi phải đưa ra được chiến lược tối ưu hơn bên cạnh chiến lược .

_

_

96

S

lap cong thuc 3

Với gợi ý được cung cấp, HS sẽ dẫn đến được chiến lược và có thể

xây dựng được công thức tổng quát cho trường hợp t tùy ý. Đây là biến đổi thuần túy

đại số và đòi hỏi HS có khả năng quan sát và biến đổi khá để có thể thao tác được.

Pha 4: HS làm việc với câu 3d

Bằng cách xây dựng mô hình trung gian, sau đó kết hợp với MHTH đã có thì HS

hoàn toàn có thể thực hiện yêu cầu bài toán

.

Hình 3.11. Trích bài làm nhóm 3

Dưới đây là đoạn đối thoại giữa GV và HS:

HS4: Cô ơi! Vậy mình có thể sử dụng công thức này để tính số tiền gửi ở ngân

hàng được không cô?

GV: Có thể em.

HS4: Vậy sau này, em muốn gửi bao nhiêu hoặc muốn được bao nhiêu tiền thì

có thể sử dụng công thức này để tính.

GV: Đúng vậy.

Bài toán đưa ra ở pha 4 như là một môi trường để HS có thể kiểm chứng lại

MHTH của mình, mặt khác cũng là môi trường để HS kiểm định lại sự lựa chọn chiến

lược của bản thân, xem đó có phải là chiến lược tối ưu hay không.

Bảng 3.3. Thống kê kết quả bài làm nhóm thực nghiệm 2 của HS

_

ke

_

_

S

S

S

truc quan _ 3

liet 3

lap cong thuc 3

Câu

3a,b 10/10 nhóm

3/10 nhóm 6/10 nhóm 3c

10/10 nhóm 3d

S

Một số nhận xét được rút ra từ kết quả thực nghiệm của bài tập 3:

truc quan _ 3

- Ở câu 3a và 3b, bằng cách sử dụng chiến lược , hầu hết HS đều có thể

giải quyết được, tuy nhiên, vẫn chưa có nhóm nào hình thành được MHTH tổng quát

vì mục đích xây dựng công thức tổng quát chưa được hiện diện.

97

- Ở câu 3c, với sự hỗ trợ từ đề toán, có 6/10 nhóm có thể xây dựng được mô hình

tổng quát ở dạng thu gọn, cho thấy HS có thể vận dụng và kết hợp các kiến thức toán

_

ke

S

học để có thể đề xuất được chiến lược tốt hơn. 3/10 nhóm còn lại không có khả năng

liet 3

biến đổi đại số nên vẫn tiếp tục thực hiện chiến lược , tiến hành liệt kê đến tháng

thứ 24. 1/10 nhóm không thực hiện được và bỏ trống.

_

_

- Sau khi được giảng giải trên bảng, 4/10 nhóm không sử dụng chiến lược

S

lap cong thuc 3

đã thay đổi chiến lược, nên đến câu 3d, 10/10 nhóm đều có thể giải quyết

được yêu cầu bài toán.

Một số kêt quả chúng tôi thu được từ quá trình thực nghiệm ở chương 3 như

sau

Qua bài toán 1 và 2, dù chỉ thực nghiệm với mẫu số liệu không quá lớn (40 HS)

nhưng cũng phần nào kiểm định được giả thiết nghiên cứu chúng tôi đặt ra ở chương

3:“Khi giải bài toán liên quan lãi suất ngân hàng, đối với các bài toán không sử dụng

trực tiếp mô hình toán học được cung cấp, học sinh gặp khó khăn trong quá trình tự

xây dựng kĩ thuật giải thông qua các mô hình toán học sẵn có”. Cùng với đó, chúng

tôi trả lời được câu hỏi nghiên cứu đã được đặt ra: “Khi đứng trước các bài toán liên

quan lãi suất có đơn vị tính thời gian (kỳ hạn) gửi không đồng nhất, chẳng hạn, lãi

suất được tính theo tháng/ quý nhưng thời gian gửi được tính theo quý/ năm, học sinh

chưa biết cách đưa chúng về cùng đơn vị”. Kết quả thực nghiệm bài toán 2 là minh

chứng rõ để chúng tôi có thể đưa rõ được kết quả này.

- Chúng tôi đưa ra bài toán 3 nhằm giúp học sinh có thể giải quyết khó khăn gặp

phải trước đó, bên cạnh giúp học sinh từng bước tiếp cận 4 bước của quá trình mô hình

hóa, còn giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa toán học với thức tế: thấy rõ việc

có thể áp dụng toán học vào giải quyết các vấn đề hết sức gần gũi và mật thiết trong

cuộc sống hằng ngày.

- Hầu hết học sinh đều tích cực tham gia hoạt động nhóm và vận dụng kiến thức

để gỉaỉ quyết yêu cầu được đưa ra. Một số ít nhóm khi không làm bài được, thông qua

quá trình hoạt động nhóm và tập thể lớp đã tiếp thu ý kiến để có thể hoàn thiện bài làm

của mình hơn.

98

99

KẾT LUẬN

Chương 1 chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế Toán đại học kinh tế đối với

bài toán lãi suất. Kết quả cho thấy, các bài toán liên quan lãi suất ngân hàng đã được

phân loại rõ ràng, cùng với công thức cụ thể cho từng dạng toán, số lượng bài tập minh

họa tương đối nhiều và đa dạng, phân hóa đều ở từng nội dung. Dù số lượng bài toán

đòi hỏi yếu tố mô hình hóa không nhiều nhưng cũng cho thấy sự quan tâm của thể chế

đối với những bài tập này. Do đặc trưng của khối ngành kinh tế nên sự chính xác trong

quá trình tính toán là cần thiết, chính vì vậy, quá trình đối chiếu so sánh khi nhận kết

quả từ bài toán toán học với tình huống được đưa ra (bước 3 của quá trình mô hình

hóa) luôn được Toán tài chính chú trọng.

Đến với chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự hiện diện của bài toán lãi suất từ lớp

5 đến lớp 12. Bài toán “lãi kép” dần được hiện diện tường minh qua từng giai đoạn.

Qua đó, chúng tôi nhận thấy được sự tiến triển một cách tinh tế thông qua công cụ để

xử lí bài toán, cũng như tình huống thực tế mà bài toán đưa vào. Kết quả phân tích

chương trình Toán 12 đã đưa chúng tôi đến câu hỏi nghiên cứu “Khi đứng trước các

bài toán liên quan lãi suất có đơn vị tính thời gian (kỳ hạn) gửi không đồng nhất,

chẳng hạn, lãi suất được tính theo tháng/ quý nhưng thời gian gửi được tính theo quý/

năm, học sinh có biết cách quy đổi chúng về cùng đơn vị hay không?”. Mặc khác, dù

LSNH được xuất hiện xuyên suốt các cấp học nhưng số lượng bài toán liên quan lãi

suất lại cực kì hạn chế, bên cạnh đó, yếu tố mô hình hóa lại không được chú trọng. Tuy

nhiên, thông qua nghiên cứu các đề thi, chúng tôi lại thấy hiện diện bài toán lãi suất

đòi hỏi quá trình mô hình hóa.

Tiếp theo đó, chúng tôi nghiên cứu bài toán lãi suất trong mối quan hệ thể chế

sách giáo khoa Toán Mỹ. Chúng tôi nhận thấy công thức lãi kép được sử dụng với

nhiều mục đích hơn bên cạnh việc dùng để tính số tiền gửi ngân hàng, công cụ giải

cũng như con đường tiếp cận bài toán lãi suất có nhiều điểm mới hơn so với ở Việt

Nam. Chúng tôi đã sử dụng những điểm mới này để hỗ trợ cho quá trình thực nghiệm.

Kết quả phân tích ở cả ba chương đã dẫn chúng tôi đến giả thuyết nghiên cứu: “Khi

giải bài toán liên quan lãi suất ngân hàng, đối với các bài toán không sử dụng trực

tiếp mô hình toán học được cung cấp, học sinh gặp khó khăn trong quá trình tự xây

100

dựng kĩ thuật giải thông qua các mô hình toán học sẵn có”.

Ở chương 3, qua kết quả thực nghiệm 1, chúng tôi có thể kiểm chứng và xác thực

tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu mà chúng tôi đưa ra cũng như trả lời được

câu hỏi nghiên cứu mà chúng tôi đã đặt ra ở chương 2, đó là “Khi đứng trước các bài

toán liên quan lãi suất có đơn vị tính thời gian (kỳ hạn) gửi không đồng nhất, chẳng

hạn, lãi suất được tính theo tháng/ quý nhưng thời gian gửi được tính theo quý/ năm,

học sinh chưa biết cách quy đổi chúng về cùng đơn vị”. Khi tiến thành thực nghiệm 2,

bên cạnh giúp học sinh tham gia vào các bước của quá trình mô hình hóa: từng bước

chuyển bài toán thực tế về bài toán toán học để thiết lập được MHTH tối ưu nhất,

chúng tôi còn giúp học sinh nhận ra được mối liên hệ giữa toán học với thực tế. Mặt

khác, thông qua quá trình làm bài, học sinh còn có thể so sánh được hình thức gửi nào

sẽ mang lại cho bản thân lợi ích nhiều nhất, cũng như có thể tự tính toán được kế hoạch

đầu tư tài chính cho bản thân. Đây cũng là một yếu tố mà bất kì học sinh nào cũng cần

phải có.

101

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Những yếu tố cơ bản

của Didactic Toán, Hồ Chí Minh: Nxb Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh.

Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam. (2013). Nghị quyết 29 – NQ/TW.

Hà Nội. Nhận từ https://thuvienphapluat.vn/van-ban/Thuong-mai/Nghi-quyet-

29-NQ-TW-nam-2013-doi-moi-can-ban-toan-dien-giao-duc-dao-tao-hoi-nhap-

quoc-te-212441.aspx.

Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2017). Đề chính thức thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, mã đề

thi 101.

Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2017). Đề minh họa lần 1 kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia

Bộ Giáo dục và đào tạo. (2018). Dự thảo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán

Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2018). Đề chính thức thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, mã đề

thi 101.

Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2018). Đề minh họa lần 1 kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.

Đỗ Đình Hoan, Nguyễn Áng, Đặng Tự Ân, Vũ Quốc Chung, Đỗ Tiến Đạt, Đỗ Trung

Hiếu, Đào Thái Lai, Trần Văn Lý, Phạm Thanh Tâm, Kiều Đức Thành, Lê Tiến

Thành, Vũ Dương Thụy. ( 2011). Toán 5. Hà Nội: Nxb Giáo dục Việt Nam.

Đoàn Nhật Duật. (2014). Mô hình hóa trong dạy học khái niệm logarit ở trường phổ

thông. Luận văn Thạc sĩ khoa học giáo dục. Chuyên ngành Lí luận và phương

pháp dạy học bộ môn Toán. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, Thành

phố Hồ Chí Minh.

Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng

Hùng Thắng. (2014). Đại số và giải tích 11 ban nâng cao. Hà Nội: Nxb Giáo dục

Việt Nam.

Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng

Thắng. (2011). Giải tích 12 ban nâng cao. Hà Nội: Nxb Giáo dục Việt Nam.

Nguyễn Ngọc Định, Nguyễn Thị Liên Hoa, Dương Kha, Phùng Đức Nam. (2004).

Toán Tài chính. Thành phố Hồ Chí Minh: Nxb Thống kê.

Nguyễn Viết Hiếu. (2013). Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy

học toán ở bậc trung học phổ thông. Luận văn Thạc sĩ khoa học Giáo dục.

102

Chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán. Trường Đại học

Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh.

Phạm Thị Hồng Dân. (2016). Nghiên cứu vai trò công cụ của cấp số nhân trong dạy

học ở trường phổ thông. Luận văn Thạc sĩ khoa học giáo dục. Chuyên ngành Lí

luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ

Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh.

Phạm Trần Hoàng Hùng. (2008). Khái niệm logarit trong trường trung học phổ thông.

Luận văn Thạc sĩ khoa học giáo dục. Chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy

học bộ môn Toán. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ

Chí Minh.

Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Lê Văn Hồng, Trương Công Thành,

Nguyễn Hữu Thảo. (2011). Toán 8, tập 2. Hà Nội: Nxb Giáo dục Việt Nam.

Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Công Thành,

Nguyễn Duy Thuận. (2011). Toán 9, tập 2. Hà Nội: Nxb Giáo dục Việt Nam.

Phan Đức Chính, Tôn Thân, Phạm Gia Đức. (2011). Toán 6. Hà Nội: Nxb Giáo dục

Việt Nam.

Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hũu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận. (2011). Toán

7. Hà Nội: Nxb Giáo dục Việt Nam.

Sở Giáo dục và Đạo tạo Thành phố Hồ Chí Minh. (2016). Đề thi tuyển sinh 10.

Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất.

(2008). Giải tích 12 ban cơ bản. Hà Nội: Nxb Giáo dục Việt Nam.

Pamela Vollamar, Micheal Haese, Robert Haese, Sandra Haese, Mark Humphries.

(2008). Mathematics for the international student, (first edition). Australia:

Hease & Harris Publications.

PL1

PHỤ LỤC

PHIẾU THỰC NGHIỆM 1

Họ và tên học sinh:______________________________________________

Bài toán 1 (10 phút) Ông Phước dự định gửi tiết kiệm 10 triệu đồng vào ngân

hàng trong thời hạn 5 năm. Dưới đây là bảng thống kê tiền lãi và số tiền ông nhận được

qua mỗi năm.

Sau năm thứ Tiền lãi Tổng số tiền nhận được

0 10000000

1 820000 10820000

2 1707240 11707240

3 2667233,68 12667233,68

4 3705946,842 13705946,84

5 4829834,483 14829834,48

Biết ông Phước gửi theo hình thức lãi kép, tức là nếu không rút tiền ra khỏi ngân

hàng thì sau mỗi lần gửi, số tiền lãi sẽ được cộng gộp với vốn ban đầu (làm tròn 6 chữ

số thập phân).

r : lãi suất ngân hàng n: thời gian gửi

:nP Số tiền nhận được sau thời gian gửi n

Công thức tính lãi suất kép như sau: 𝑃(cid:3041) (cid:3404) 𝑃(cid:4666)1 (cid:3397) 𝑟(cid:4667)(cid:3041). Trong đó: P : số tiền gửi ban đầu

Tính lãi suất ngân hàng.

Giải

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

PL2

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

Bài toán 2 (10 phút): Ông Hai có một số tiền 200 triệu đồng chia ra gửi ở 2 ngân

hàng X và Y. Số tiền thứ nhất ông gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2% một quý trong

thời gian 15 tháng, số tiền thứ hai gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 2,15% một quý trong

thời gian 12 tháng. Nếu lãi gộp vốn mỗi quý một lần và tổng tiền lãi đạt được ở cả hai

ngân hàng là 18984100 đồng, hãy xác định số tiền ông Hai gửi ở mỗi ngân hàng.

Giải

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

PL3

PHIẾU THỰC NGHIỆM 2

Tên nhóm:________________

Bài toán 3: Anh An đi làm được trả lương 15 triệu đồng, anh dự định cuối mỗi

tháng trích 10% lương của mình gửi tiết kiệm vào ngân hàng để mua VESPA 2018 trị

giá 67.900.000 đồng, biết rằng anh gửi theo hình thức lãi suất kép với lãi suất r  2,7%

mỗi tháng.

Tiền Thời

Số tiền tiết kiệm được mỗi tháng lãi gian t

(tháng)

1T P



r

P P

r

P T 



 





 1



T P T Tr    2 1

1

 1 1

1

1Tr

P

r



 1  



1  

 

r

P

r

r





T r P T 









P P 







 1





T 3

P T  2

2

 2 1



 1

2

2T r

2

2

P P

r

P

r

P

r

r

 









 1



 1



 1  



 1  



 1 

 

3

…

4 …

…

5 …

…

6 …

a. Tiếp tục hoàn thành bảng trên với thời gian t = 4, 5, 6 tháng (thu gọn biểu thức nếu

có thể)

Trong đó, P là số tiền anh An gửi cố định mỗi tháng vào ngân hàng.

PL4

b. Tính số tiền anh An tiết kiệm được từ tháng 1 đến tháng 6

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

c. Sau 2 năm, số tiền anh An tiết kiệm được là bao nhiêu?

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

................................................................................................................................... .

....................................................................................................................................

d. Nếu anh muốn mua được xe trong 2 năm thì mỗi tháng anh phải gửi ít nhất bao

nhiêu tiền?

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

n

n

n

2

1 



X

X

(

X

1)



 





Gợi ý đẳng thức có thể sử dụng trọng quá trình làm bài



 ... 1

X X

1  1 