Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thi Thơ

ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thi Thơ

ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những trích

dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thị Nga, Người đã tận

tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Cô luôn luôn động

viên, gợi mở cho tôi những hướng đi đúng đắn và bổ ích.

Qua đây, tôi cũng xin cảm ơn các Thầy Cô chuyên ngành Phương pháp

Toán trường ĐHSP Tp.HCM đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ những tri thức quý

báu cho chúng tôi về didactic Toán sinh động, cụ thể và đầy ý nghĩa.

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường

Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt

nhất cho chúng tôi.

Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến:

Ban Giám hiệu, các thầy cô và các e m học sinh trường THPT Trần Đại

Nghĩa - Tp.HCM, THPT Vĩnh Bình - Tiền Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ

tôi tiến hành thực nghiệm.

Các bạn và các anh chị cao học khóa 23 chuyên ngành Lý luận và Phương

pháp dạy học Toán vì những động viên và góp ý chân tình.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tôi vì những lời động viên ,

giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt khóa học.

Trần Thi Thơ

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các từ viết tắt

Danh mục các bảng

MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1

Chương 1. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG MỘT SỐ GIÁO TRÌNH

ĐẠI HỌC VÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................ 6

1.1. Siêu cầu trong không gian Ơclit ........................................................................... 6

1.1.1. Khái niệm siêu cầu ......................................................................................... 6

1.1.2. Phương trình siêu cầu trong không gian Ơclit ............................................... 7

1.1.3.Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến siêu cầu ...................................................... 8

1.2. Phương trình biểu diễn của đường tròn trong mặt phẳng ..................................... 9

1.3. Đường tròn theo tiếp cận “góc định hướng” ....................................................... 11

1.4. Kết luận chương 1............................................................................................... 13

Chương 2. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở

TRƯỜNG PHỔ THÔNG ........................................................................ 15

2.1. Đường tròn trong SGK Toán lớp 5 ......................................................................... 15

2.2. Đường tròn trong SGK Toán lớp 6 ......................................................................... 19

2.3. Đường tròn trong SGK Toán lớp 9 ......................................................................... 22

2.3.1. Phân tích SGK Toán 9 ..................................................................................... 22

2.3.2. Các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến đường tròn trong SGKToán 9 ..... 27

2.4. Đường tròn trong SGK Hình học lớp 10 ................................................................ 37

2.4.1. Phân tích SGK Hình Học 10 ............................................................................ 37

2.4.2. Các tổ chức toán học liên quan đường tròn trong Hình học 10 ....................... 39

2.5. Đường tròn trong lượng giác lớp 10 và vật lý lớp 10 ............................................. 44

2.5.1. Đường tròn trong lượng giác lớp 10 ................................................................ 44

2.5.2. Đường tròn trong Vật lý 10. ............................................................................ 47

2.6. Kết luận chương 2 .................................................................................................. 48

Chương 3. THỰC NGHIỆM ...................................................................................... 51

3.1. Mục tiêu của chương .............................................................................................. 51

3.2.Đối tượng thực nghiệm và hình thức thực nghiệm .................................................. 51

3.3.Nội dung thực nghiệm ............................................................................................. 52

3.3.1. Thực nghiệm 1 ............................................................................................. 52

3.3.2. Thực nghiệm 2 ............................................................................................. 62

3.4.Kết luận chương 3 ................................................................................................... 85

KẾT LUẬN .................................................................................................................. 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤLỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

HH : Hình học

HS : Học sinh

KNV : Kiểu nhiệm vụ

Nxb : Nhà xuất bản

SGK : Sách giáo khoa

SGV : Sách giáo viên

TH : Tiểu học

THCS : Trung học cơ sở

THPT : Trung học phổ thông

tr : trang

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong giáo trình Hình học cao cấp ................... 8

Bảng 2.1. Bảng thống kê các KNV liên quan đến đường tròn trong SGK Toán 9 ...... 35

Bảng 2.2. Bảng thống kê các KNV liên quan đến đường tròn trong lớp10 ................. 44

Bảng 3.1. Thống kê các câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1 ................................. 57

Bảng 3.2. Thống kê các điểm số mà học sinh cho điểm trong câu hỏi 2 ..................... 59

Bảng 3.3. Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 1 ......................... 77

Bảng 3.4. Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 2 ......................... 79

Bảng 3.5. Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 3 ......................... 82

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Đường tròn là một đối tượng quen thuộc, chúng ta có thể nhìn thấy chúng trong các

khối vật chất và đồ dùng hay hình vẽ. Dường như trong cuộc sống, nó được xem như

là hình hoàn mỹ được ưu chuộng trong công việc thiết kế hay xây dựng.

Theo Artigue (1982), gắn liền với khái niệm đường tròn, chúng ta tìm thấy định

Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng

(1)

cách O một khoảng R.

Tuy nhiên, có nhiều cách khác để định nghĩa đường tròn, chẳng hạn như các định nghĩa sau:

(2) Đường tròn là một đường cong khép kín có độ cong không đổi.

(3) Đường tròn là một đường cong đạt vô hạn trục đối xứng.

(4) Đường tròn là một đường cong khép kín chứa diện tích lớn nhất đối với mỗi độ

dài cho trước.

(5) Đường tròn là tập hợp những điểm M sao cho tỷ số AM/BM của các khoảng cách

từ nó đến 2 điểm cố định A, B là không đổi.

(6) Một đường chuyển động được đặt sao cho 2 điểm A, B của nó cố định, một điểm

C nào đó của đường này mô tả 1 đường tròn.

Định nghĩa (4) và (5) được trích từ (Halbwachs, 81). Định nghĩa (6) là do Leibnitz đề

xuất và định nghĩa đường tròn bằng cách chuyển qua không gian:

“Dây” không giãn ACB quay xung quanh trục AB: khi đó, điểm C mô tả một đường

tròn.

[18, tr.45-46]

nghĩa sau trong hầu hết các SGK:

Cũng theo Artigue (1982), tất cả các định nghĩa này đều tương đương về mặt

nghĩa này có thể kéo theo định nghĩa khác. Tuy nhiên, các định nghĩa này gắn liền với những

logic: “chúng xác định cùng một đối tượng toán học và chúng ta có thể chứng minh định

quan niệm khác nhau về đường tròn: chúng tương ứng với những cách thức khác nhau để xem

xét đường tròn, sử dụng các tính chất của nó và chúng nhấn mạnh trên những yếu tố hình

học, mối liên hệ giữa các yếu tố khác nhau.

Ví dụ, ở định nghĩa (1), (5), (6): đường tròn hiện diện như tập hợp các điểm, ở định nghĩa (2),

(3), (4): nó được đề cập trước tiên như một đường cong. Định nghĩa (6) khác biệt với tất cả

các định nghĩa trước bởi đặc trưng động của nó. Đường tròn xuất hiện gắn với chuyển động.

Trong tất cả các định nghĩa khác, nó xuất hiện như một đối tượng tĩnh ” [18, tr.45-46].

2

Ở Việt Nam, đường tròn là khái niệm được SGK chọn lọc trình bày từ cấp tiểu

học đến trung học. Ở tiểu học, HS làm quen với chúng thông qua việc nhận dạng, vẽ

hình hay tính toán về chu vi và diện tích nhưng khái niệm hình tròn và đường tròn

chưa được phân biệt rõ. Đến lớp 6, đường tròn được định nghĩa theo cách trực quan

“Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm tất cả các điểm cách O một khoảng

R, kí hiệu (O;R)”.

thông qua hình vẽ:

Như vậy, định nghĩa đầu tiên về đường tròn trong SGK được trình bày theo tiếp

cận “khoảng cách”. Ngoài cách tiếp cận đường tròn như trên liệu còn có những cách

tiếp cận nào trong SGK Việt Nam?

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau trong thể chế dạy học ở

Việt Nam:

C1: Ở bậc đại học, khái niệm đường tròn được hiểu như thế nào? Có những

cách tiếp cận nào đối với khái niệm đường tròn?

C2: Trong chương trình phổ thông, đường tròn được tiếp cận ra sao? Các cách

tiếp cận của đường tròn có mối quan hệ như thế nào với nhau?

C3: Vai trò công cụ của đường tròn có được SGK quan tâm hay không?

Từ các ghi nhận và câu hỏi cần giải đáp, chúng tôi quyết định chọn đề tài:

“Đường tròn trong dạy học toán ở trường phổ thông”.

2. Khung lý thuyết tham chiếu

2.1.Thuyết nhân học

Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào thuyết nhân học.Với lý thuyết này,

chúng tôi sẽ làm rõ sự xuất hiện và phát triển của khái niệm đường tròn trong thể chế

3

dạy học toán ở Việt Nam. Thông qua việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến

đường tròn, chúng tôi muốn làm rõ mối quan hệ thể chế ở bậc phổ thông đối với đối

tượng tri thức này.Từ kết quả phân tích mối quan hệ thể chế, chúng tôi tìm hiểu ảnh

hưởng của mối quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân của học sinh thông qua thực

nghiệm.

2.2. Hợp đồng didactic

Chúng tôi chọn lý thuyết hợp đồng didactic vì lý thuyết này nghiên cứu những

quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của giáo viên và học sinh đối với một tri

thức. Đồng thời, lý thuyết này cho phép chúng tôi giải thích các ứng xử của giáo viên

và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành. Từ đó, chúng tôi có

thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp

học, những quy tắc ngầm ẩn được sử dụng trong quá trình giảng dạy tri thức về đường

tròn.

3. Câu hỏi nghiên cứu

Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, các câu hỏi ban đầu được chúng tôi cụ thể

thành các câu hỏi nghiên cứu sau:

Q1: Ở bậc đại học, khái niệm đường tròn được trình bày như thế nào? Có mấy dạng

phương trình đường tròn trong mặt phẳng? Đường tròn có những cách tiếp cận nào?

Q2: Ở bậc phổ thông, đường tròn được tiếp cận theo các quan điểm nào? Chúng có

mối quan hệ ra sao? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến đường tròn?

Q3: Quan hệ thể chế ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân khi học sinh giải

quyết các bài toán liên quan đến đường tròn?

Q4: Làm thế nào để xây dựng một tình huống dạy học nhằm giúp HS hiểu rõ hơn về

vai trò công cụ của đường tròn trong việc giải quyết các bài toán?

4. Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Thông qua việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi muốn làm rõ sự

xuất hiện của khái niệm đường tròn ở bậc đại học và các cách cách tiếp cận đường

tròn. Đồng thời, chúng tôi cũng làm rõ các đặc trưng và ràng buộc của thể chế dạy học

phổ thông đối với đường tròn và phương trình đường tròn.Trên cơ sở đó, chúng tôi xây

4

dựng một tình huống dạy học nhằm làm rõ vai trò công cụ của đường tròn trong việc

giải quyết các bài toán.

Để thực hiện mục đích nghiên cứu của đề tài, chúng tôi xác định các phương

pháp nghiên cứu như sau:

Chúng tôi có thể diễn giải sơ đồ trên như sau:

- Nghiên cứu tri thức trong các giáo trình đại học và tài liệu tham khảo: chúng tôi

sẽ phân tích các khái niệm liên quan đến đường tròn, các dạng phương trình

đường tròn trong mặt phẳng. Mục đích nhằm tìm hiểu xem đường tròn xuất

hiện như thế nào? Có những cách tiếp cận nào, nhằm so sánh với thể chế dạy

học phổ thông.

- Thông qua việc nghiên cứu chương trình và SGK, chúng tôi muốn tìm hiểu

cách thức tiếp cận đường tròn, xây dựng phương trình đường tròn và các kiểu

nhiệm vụ liên quan đến nó.

- Thực nghiệm 1 chủ yếu chúng tôi khảo sát xem HS hiểu như thế nào về đường

tròn, còn có cách hiểu nào khác hay không? HS gặp khó khăn gì khi giải quyết

các bài toán về phương trình đường tròn. Trên cơ sở đó, chúng tôi tiến hành

thực nghiệm 2.

- Thực nghiệm 2: chúng tôi triển khai một tình huống dạy học với việc giải quyết

các bài toán liên quan về đường tròn. Từ những bài toán đó, chúng tôi muốn

kiểm tra xem HS có biết sử dụng đường tròn như một công cụ để giải quyết các

5

bài toán, qua đó giúp HS hiểu rõ hơn về vai trò công cụ của đường tròn theo

từng cách tiếp cận.

5. Cấu trúc luận văn

Luận văn có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương.

- Phần mở đầu gồm: Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát; Khung lý thuyết

tham chiếu; Câu hỏi nghiên cứu; Mục đích và phương pháp nghiên cứu và

Cấu trúc của luận văn.

- Chương 1: Khái niệm đường tròn trong trong một số giáo trình đại học và tài

liệu tham khảo.

- Chương 2: Khái niệm đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông.

- Chương 3:Thực nghiệm bao gồm: Thực nghiệm 1 và thực nghiệm 2; phântích

tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm.

- Kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được trong chương 1, 2, 3 và đề cập hướng

nghiên cứu mới mở ra từ luận văn này.

6

Chương 1. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG MỘT SỐ

GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC VÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO

Mục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: Trong các giáo

trình đại học và tài liệu tham khảo, khái niệm đường tròn được trình bày như thế nào?

đường tròn có những cách tiếp cận nào? Có mấy dạng phương trình đường tròn trong

mặt phẳng? Ngoài ra, có thể tiếp cận đường tròn theo những cách nào khác?

Để đạt được mục tiêu ở trên, chúng tôi tiến hành phân tích giáo trình, tài liệu sau:

- Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nxb Giáo dục.

-Jean-Marie Monier (2001), Giáo trình toán, tập7, Nxb Giáo dục.

Chúng tôi chọn các tài liệu trên để phân tích vì các tài liệu này trình bày khá chi tiết

về đường tròn và các khái niệm liên quan đường tròn. Ngoài ra, chúng tôi còn tham

khảo một số tài liệu khác nhằm làm rõ hơn về khái niệm đường tròn như:

-Nguyễn Đăng Phất (2006), Các Phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải

toán hình học, Nxb Giáo dục.

-Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và tuổi trẻ (1997), Nxb Giáo dục.

1. 1. Siêu cầu trong không gian Ơclit

1.1.1. Khái niệm siêu cầu

Trong giáo trình “Hình học cao cấp”, tác giả Nguyễn Mộng Hy định nghĩa siêu

“Trong không gian nE , cho một điểm I cố định, tập hợp tất cả những điểm M thuộc

nE sao cho d (I, M) = r với r là số thực r >0 cho trước gọi là siêu cầu tâm I, bán

kính r.

Ta kí hiệu S(I,r)={ M∈ nE | d(I,M) = r }”

[12, tr.128]

cầu như sau:

Như vậy, với n=2 thì siêu cầu là một đường tròn và n=3 thì siêu cầu là mặt cầu.

Từ đây, chúng tôi thấy rằng đường tròn được hiểu là quỹ tích tất cả những điểm M

trong mặt phẳng cách đều một điểm I cố định bằng một khoảng r cho trước. Trên cơ sở

7

về siêu cầu, hình học Ơclit còn nghiên cứu về phương trình của chúng, việc thiết lập

phương trình hoàn toàn dựa vào “công cụ” vectơ và công thức “khoảng cách”.

1.1.2. Phương trình siêu cầu trong không gian Ơclit

(

,...,

, a a

Giả sử điểm I có tọa độ trực chuẩn là

1

2

)n a , khi đó siêu cầu thực tâm I bán

kính r có phương trình :

n

2

2

−

=

(

)

r

x i

a i

∑

i

= 1

Siêu cầu tổng quát: Trong En với mục tiêu trực chuẩn cho trước, một siêu cầu nếu phương trình có dạng:

n

n

n

n

2

2

2

+

=

−

+

+

=

(

)

2

0

hay

.

a 0

x i

a i

a i

x i

a x i i

a 0

∑

∑

∑

∑

= 1

= 1

i

i

i

= 1

i

= 1

n

2

−

−

−

,

(

a

,

a

,...,

 Nếu

>0 ta có siêu cầu thực tâm I

a 0

1

2

a )n

−∑ a i

i

= 1

n

2

=

r

a

bán kính

i

0

.

−∑ a

i

= 1

n

2

−

−

−

= 0 ta có siêu cầu điểm tâm I

, bán kính

(

a

,

a

,...,

 Nếu

a 0

1

2

a )n

r = . 0

−∑ a i

i

= 1

n

2

−

−

−

< 0 ta có siêu cầu ảo tâm I

(

,

,...,

 Nếu

a 1

a 2

a )n

a 0

−∑ a i

= 1

i

[12, tr. 129]

Tác giả Nguyễn Mộng Hy trình bày phương trình siêu cầu như sau:

Như vậy, phương trình siêu cầu được xây dựng trên khái niệm “siêu cầu” về

n

n

2

2

−

=

=

−

(

)

r

a

a

r

khoảng cách. Bằng việc khai triển và sử dụng các phép biến đổi đại số trong phương

x i

a i

0

2 i

trình , chúng ta có siêu cầu tổng quát bằng cách đặt .

∑

∑

= 1

i

= 1

i

,....,

)

(

Từ đây, chúng tôi nhận thấy rằng siêu cầu còn được tiếp cận theo “phương trình”,

xx , 1

2

nx

n

n

2

+

+

=

x

2

a x

a

0

thỏa mãn phương tức siêu cầu là tập hợp tất cả các điểm M

0

i

i

i

∑

∑

= 1

= 1

i

i

. Ngoài ra, siêu cầu được hiểu theo nghĩa rộng hơn tức gồm trình

siêu cầu thực, siêu cầu điểm và siêu cầu ảo. Như vậy “điểm” được xem như là một

siêu cầu có bán kính r =0.

8

Các tính chất khác liên quan đến đường tròn như tiếp tuyến với đường tròn, trục

đẳng phương vẫn được tác giả đề cập đến, tuy nhiên chúng có tên gọi khác như siêu

tiếp diện, siêu phẳng đẳng phương.

1.1.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến siêu cầu

Trong giáo trình của tác giả Nguyễn Mộng Hy (2007), chúng tôi tìm thấy số lượng bài tập liên quan đến siêu cầu rất ít, các bài toán được đặt ra trong không gian E3 và En. Cụ thể, chúng tôi tìm thấy các KNV sau:

Bảng 1.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong giáo trình Hình học cao cấp

Kiểu nhiệm vụ Số bài tập

T1: Tìm tâm và bán kính của siêu cầu 2

T2: Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm 1

2

2

2

T3: Xét vị trí tương đối của siêu phẳng và siêu cầu 1

+

=

,

,

)

CMd (

,

)

( ) AMd

BMd (

1 T4:Tìm quỹ tích M sao cho

Nhận xét:

Các bài toán liên quan đến đường tròn (không gian E2) không được tác giả đề cập

đến. Đa số các KNV chỉ xuất hiện một lần và số lượng bài tập còn hạn chế. Từ đây,

chúng tôi nhận thấy rằng, khái niệm siêu cầu gần như không được chú trọng, các dạng

bài tập được đưa ra mang tính chất minh họa và giới thiệu. Kĩ thuật giải quyết các

KNV này đều tập trung vào cách tiếp cận “phương trình” của siêu cầu. Tác giả chỉ

định nghĩa và nêu một vài bài tập liên quan đến siêu cầu, và siêu cầu được nghiên cứu

như là một “đối tượng”. Trong khi đó, vai trò “công cụ” của siêu cầu thì không được

giáo trình đề cập đến mà siêu cầu được giảng dạy như là một trường hợp đặc biệt của

siêu mặt bậc hai.

Kết luận:

Từ những phân tích trên, chúng tôi thấy rằng ở cấp độ đại học đường tròn là

trường hợp đặc biệt của siêu cầu, chúng được tiếp cận theo các quan điểm sau:

+Quan điểm hình học (khoảng cách): siêu cầu là quỹ tích tất cả những điểm M trong En cách đều một điểm I cố định bằng một khoảng r cho trước.

9

n

n

2

+

+

=

2

0

x

a x

a

(

,....,

)

+ Qua điểm tọa độ (phương trình): siêu cầu là tập hợp tất cả các điểm M

0

i

i

i

xx , 1

2

nx

.

∑

∑

= 1

= 1

i

i

thỏa phương trình

Ở cấp độ đại học thì “điểm” vẫn được xem là một siêu cầu điểm. Đối với các

KNV liên quan đến siêu cầu, chúng tôi thấy rằng kĩ thuật giải quyết các bài toán đều

dựa trên tiếp cận “phương trình” vì đây là không gian Ơclit nghiên cứu chủ yếu về

phương trình các phẳng và tọa độ điểm.

Trong giáo trình Hình học cao cấp của tác giả Nguyễn Mộng Hy (2007), chúng

tôi thấy xuất hiện hai dạng phương trình siêu cầu, tuy nhiên chúng không được trình

bày cụ thể đối với đường tròn cũng như các biểu diễn khác của phương trình đường

tròn. Do đó, chúng tôi chọn giáo trình Toán (tập 7) của Jean-Marier Monier (2000) để

làm rõ hơn các dạng phương trình của đường tròn.

1.2. Phương trình biểu diễn của đường tròn trong mặt phẳng

1.2.1. Phương trình Descartes của đường tròn

a. Cho

,

đường tròn

C

(

RΩ có phương trình Descartes là

)

,

Ω ba ),(

ε∈ 2

2

2

2

+

=

(

− x a

)

(

− y b

)

R

, trong đó

là tâm và R là bán kính.

),( baΩ

2

2

+

+

+

, phương trình

+ = biểu diễn

b. Cho

x

y

α β γ 2 2

0

x

y

γβα (

,

,

∈)

2

2

2

α β γ

+

2α β γ

+

đường tròn tâm

và bán kính

− nếu

− ≥ và ∅ nếu

0

βα −−Ω )

(

,

trái lại.

[16, tr.76]

Theo tác giả Jean-Marier Monier thì :

Như vậy, hai dạng phương trình Descartes của đường tròn chính là trường hợp

đặc biệt của phương trình siêu cầu và phương trình tổng quát siêu cầu mà chúng ta đã

nghiên cứu ở phần 1.1.2. Từ đây, chúng tôi có thể xem đường tròn là quỹ tích của

những điểm thỏa mãn hai phương trình này. Khác với hình học tổng hợp, hình học tọa

độ nghiên cứu đường tròn theo tiếp cận “phương trình”. Đây là một “công cụ” có thể

giúp giải quyết các bài toán trong hình học phẳng một cách dễ dàng hơn.

1.2.2. Phương trình tham số của đường tròn

Bằng việc trang bị góc lượng giác, giá trị lượng giác, đường tròn được nghiên

cứu với dạng phương trình tham số sau:

Ω

∈

a b ( , )

,

C

(

)

,

Cho

∈ , đường tròn

RΩ có biểu diễn tham số là

R R +

ε 2

,

∈ t R

= + = +

x y

a R b R

cos t t sin

  

10

[16, tr.77].

Với hệ trục tọa độ Oxy và tham số t, việc xác định quỹ tích của đường tròn được

+=

+=

x

Ra

cos

t

làm rõ hơn. Tọa độ M có hoành độ x và tung độ y được biểu diễn cụ thể thông qua hai

y

Rb

sin

t

đẳng thức và . Phương trình đường tròn theo dạng tham số

đóng vai trò quan trọng trong các bài toán định lượng như tính diện tích, thể tích và

đặc biệt là các bài toán nghiên cứu sự chuyển động tròn đều trong vật lý. Cụ thể chúng tôi xét bài toán sau (1):

1.2.3. Phương trình tọa độ cực của đường tròn

M là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng, gọi ρ = OM là bán kính cực,



=θ

là góc cực. Phương trình đường tròn tâm O bán kính a trong hệ tọa

 )MOxO ( ; = p độ cực là

aa

, >

0

1 : Bài toán trích từ giáo trình Giải tích II của tác giả Bùi Xuân Diệu (2009), trang 80, trường ĐH Bách Khoa Hà Nội.

“Trong mặt phẳng, chọn một điểm O làm gốc gọi là cực, trục Ox gọi là trục cực, lấy

=

biểu diễn đường tròn có

Đồng thời, phương trình cực

sin

cos + θµθλρ

2

2

+

−

=

phương trình Descartes

, đường tròn này đi qua O.”

x

y

µλ − y

x

0

11

[16, tr.78]

Dạng phương trình này thường được sử dụng trong việc tính diện tích hay thể tích

thông qua việc tính tích phân hai lớp hay ba lớp. Do đó, các bài toán tích phân có miền

D là hình tròn, thì chúng được khuyến khích chuyển từ hệ trục tọa độ Descartes vuông

góc sang tọa độ cực để giải quyết.

Khái niệm đường tròn không được trình bày chi tiết trong các giáo trình đại học.

Nó chỉ được giới thiệu như là trường hợp đặc biệt của siêu cầu và được tiếp cận theo

hai quan điểm “khoảng cách” và “phương trình”. Ngoài hai cách tiếp cận này của

đường tròn, chúng tôi còn tìm ra thêm một cách tiếp cận khác về đường tròn, đó là tiếp

cận đường tròn theo “góc định hướng”. Cách tiếp cận này được trình bày trong tài liệu

của tác giả Nguyễn Đăng Phất (2006), Các Phép biến hình trong mặt phẳng và ứng

dụng giải toán hình học.

1.3. Đường tròn theo tiếp cận “góc định hướng”

Đối tượng hình học đầu tiên đề cập đến vấn đề hướng của một đoạn thẳng, đó là

khái niệm vectơ. Bằng việc đưa vào khái niệm trục, đường thẳng được định hướng

 thông qua một điểm O gọi là gốc và một vectơ đơn vị e

. Theo tác giả Nguyễn Đăng

=

Phất thì “độ dài đại số của một vectơ trên một trục đó là một số (số đại số) mà nhân

AB

 . eAB

 với vectơ đơn vị e

của trục cho ta một vectơ bằng vectơ đó ( , trong đó AB

được gọi là độ dài đại số của AB )”[16, tr.21].

Đối tượng hình học thứ hai được tác giả đề cập đến là góc định hướng, liên quan

đến đối tượng này là phép quay xung quanh một điểm trong mặt phẳng. Theo tác giả

“phép tịnh tiến gắn liền với khái niệm vectơ tịnh tiến là một đối tượng hình học (đoạn

thẳng) có hướng. Còn phép quay phẳng xung quanh một điểm (gọi là tâm quay) thì

12

gắn liền với khái niệm góc lượng giác gọi là góc quay; đó là khái niệm góc định

hướng của hai vectơ có điểm gốc chung là tâm quay” [17, tr.22].

Bằng việc trang bị góc định hướng cũng như là phép quay phẳng, tác giả đưa ra

khái niệm đường tròn và tính chất đường tròn như sau:

[17, tr.27].

Với định nghĩa đường tròn này, chúng tôi nhận thấy đường tròn theo “góc định

hướng” được tiếp cận gắn liền với góc lượng giác. Với hai điểm A, B cố định và một

gócα bất kỳ, chúng ta có thể xác định được một đường tròn đi qua hai điểm A, B và những điểm trên đường tròn luôn tạo với AB một gócα(mod 1800). Ngoài ra, tác giả

còn đưa điều kiện bốn điểm thuộc cùng trên một đường tròn, nó được xem như là tính

chất tứ giác nội tiếp mà chúng ta biết đến. Như vậy, định lý của Nguyễn Đăng Phất

nêu thực chất có thể xem là một cách định nghĩa khác của đường tròn và định nghĩa

“Đường tròn là quỹ tích những điểm M sao cho góc định hướng giữa hai đường

thẳng MA, MB là không đổi.”

này được tác giả Hoàng Chúng (1997) phát biểu như sau:

Tuy nhiên, điểm mạnh của góc định hướng là có thể giải quyết một số bài toán

hình học phẳng một cách nhanh chóng và ngắn gọn, cụ thể là các bài toán chứng minh

hay quỹ tích. Ta xét bài toán sau: (trích trangweb: hinh99.wordpress.com/tag/migel 2)

“Cho hai hình vuông ABCD và AEFG cùng hướng, A, B, E không thẳng hàng. Chứng

minh rằng BE, CF, DG đồng quy.

2 Trang web được truy cập vào ngày 22/4/2014

Xét phép quay tâm A góc quay (AB, AD)=

. Khi đó B biến thành D, E biến thành G.

π 2

Gọi H là giao điểm của BE và GD.

.

Khi đó

=

=

=

BE

GD

AD

CD

(

;

)

(

AB ;

)

CB (

;

)

(mod

π )

π 2

=

Suy ra A, H, B, C, E, D nằm trên một đường tròn suy ra

.

HC

AC

(

HB ;

)

(

AB ;

)

(mod

π )

=

=

Hơn nữa,

.

(

HG

,

HE

)

(

AG

,

AE

)

(mod

π )

π 2

=

Nên A, E, H, G, F nằm trên một đường tròn=>

.

HE

HF

AB

AC

(

,

)

(

,

()

mod

π )

.

Ta có

Mà H, E, B thẳng hàng nên H, C, F thẳng hàng, hay BE, CF, DG đồng quy.”

13

Từ bài toán trên, chúng tôi thấy rằng với việc kết hợp các phép dời hình, đường

tròn theo “góc định hướng” đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh tính chất thẳng hàng, đồng quy hay xác định quỹ tích trong hình học phẳng. 1.4 . Kết luận chương 1

Qua việc phân tích một số giáo trình ở bậc đại học và các tài liệu tham khảo,

chúng tôi có thể kết luận một số kết quả liên quan đến đường tròn sau:

- Theo các định nghĩa mà Artigue đã nêu thì định nghĩa (2), (3), (4), (6) không

xuất hiện, trong khi đó định nghĩa (4) mang tính chất giống như cách tiếp cận của

đường tròn theo “góc định hướng”. Nhưng định nghĩa (4) tập trung trên tỉ số khoảng

cách của hai đoạn thẳng, trong khi đó đường tròn theo “góc định hướng” thì nghiên

cứu trên đối tượng “góc” của hai đoạn thẳng.

14

- Đường tròn là trường hợp đặc biệt của siêu cầu, nó được định nghĩa theo các

tiếp cận sau:

 Tiếp cận “khoảng cách”: Đường tròn là quỹ tích (tập hợp) tất cả những

điểm M trong mặt phẳng cách đều một điểm I cố định bằng một khoảng R

cho trước. Đây là khái niệm được sử sụng rộng rãi và phổ biến nhất vì nó

có liên quan đến hai đặc trưng quan trọng của đường tròn là tâm và bán

kính.

2

2

+

+

+

 Tiếp cận “phương trình”: Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm

x

y

2

ax

by 2

=+ c

0

M(x, y) thỏa mãn phương trình bậc hai . Bằng

việc sử dụng các công cụ đại số, “phương trình” đường tròn có khả năng

giải quyết các bài toán khó khăn mà theo quan điểm “khoảng cách” thì lời

giải quá dài dòng và khó khăn.

 Tiếp cận “góc định hướng”: Đường tròn là quỹ tích những điểm M sao cho

góc định hướng giữa hai đường thẳng MA, MB là không đổi. Với khái niệm

này, đường tròn đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán

chứng minh hay quỹ tích của hình học tổng hợp.

- Phương trình đường tròn trong mặt phẳng có rất nhiều dạng, tùy vào phạm vi

nghiên cứu mà đường tròn được biểu diễn ở một dạng phù hợp cho quá trình tính toán

hay khảo sát. Liên quan đến các kiểu nhiệm vụ trong đường tròn, chúng tôi thấy rằng

mỗi cách tiếp cận của đường tròn có những kiểu nhiệm vụ riêng, tùy theo phạm vi hình

học nghiên cứu của đường tròn theo quan điểm nào mà sẽ có những kỹ thuật giải nhấn

mạnh trên các quan điểm đó. Mặt khác, vấn đề giải quyết các bài toán liên quan thực tế

đến đường tròn không được các giáo trình quan tâm mà chủ yếu là các bài toán toán

học.

15

Chương 2. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC

TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Mục tiêu của chương này là tìm ra câu trả lời cho câu hỏi Q2: Ở bậc phổ thông,

đường tròn được trình bày theo những cách tiếp cận nào? Có những kiểu nhiệm vụ nào

liên quan đến đường tròn?

Để đạt được mục tiêu ở trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các SGK, SGV và

SBT ở các lớp 5, lớp 6, lớp 9 và lớp 10.

2.1. Đường tròn trong SGK Toán lớp 5

Ở tiểu học, HS đã từng biết đến hình tròn thông qua các hoạt động nhận dạng

hình bằng mô hình, hay các phân môn khác liên quan đến hình tròn. Tuy nhiên, đối với

HS, hình tròn chỉ là một hình có tính chất “tròn” và nó xuất hiện nhiều trong cuộc

sống.

Đến lớp 5, “hình tròn” được xem là một đối tượng nghiên cứu trong toán học.

SGK đã trình bày hai thuật ngữ “hình tròn” và “đường tròn” trong chương III với tên

bài “Hình tròn.Đường tròn” và một số tính chất hình tròn trong các bài “Chu vi hình

tròn” và “Diện tích hình tròn”.

SGK Toán 5 đưa ra hai “thuật ngữ” đường tròn và hình tròn thông qua hình vẽ

minh họa sau:

16

[11, tr.96]

Như vậy, SGK chỉ phân biệt hai khái niệm này bằng hình vẽ trực quan và tiếp sau

đó là trình bày các tính chất về tâm, bán kính và đường kính. Thuật ngữ “đường tròn”

chỉ được SGK giới thiệu thông qua hình vẽ, nó được xem như là “đầu chì của compa

vạch trên tờ giấy” hay được hiểu là “nét ngoài” của hình tròn. Đường tròn mặc dù

không được định nghĩa, nhưng thông qua trình bày SGK chúng tôi thấy sự xuất hiện

“Tất cả các bán kính của một hình tròn đều bằng nhau: OA=OB=OC”[11, tr.96].

ngầm ẩn của khái niệm đường tròn theo “khoảng cách” thông qua nhận xét của SGK:

Đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách” được SGK đặc biệt chú trọng ngay từ

khi cho HS tiếp cận về hình tròn. Do đặc trưng vẽ hình bằng compa, nên khái niệm

đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách” là cách trình bày phù hợp thể hiện rõ hai đặc

trưng là tâm và bán kính. Các kiểu nhiệm vụ chỉ đề cập đến “hình tròn”, các bài toán

thì mang tính chất tiếp cận và công cụ “hình tròn” trong giai đoạn này được biết đến là

biểu độ hình quạt. Hình tròn do đặc tính “đầy đủ” của hình, mà nó được chú trọng

trong việc biểu diễn các tỉ lệ % trong thống kê trên tổng số liệu.

17

Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hình tròn:

T vehinhtron

τ

:Vẽ hình tròn 

: o Kĩ thuật vehinhtron

-Xác định độ dài bán kính hình tròn.

-Dùng compa, đo độ dài bán kính và vẽ hình tròn.

o Nhận xét:

Với kiểu nhiệm vụ này, HS cần phải sử dụng compa và xác định đúng độ dài bán

kính. Tính chất “đường kính gấp hai lần bán kính” là yếu tố công nghệ để HS làm

được câu b. Đây được xem là KNV “rèn luyện kĩ năng sử dụng compa để vẽ hình tròn

của HS” [10, tr.175].

T tinhchuvi

τ

:Tính chu vi hình tròn 

: áp dụng công thức. o Kĩ thuật tinhchuvi

C= d x 3,14 hoặc C =2 x r x 3,14.

o Ví dụ: “Một bánh xe ô tô có đường kính là 0,75m.Tính chu vi của bánh xe đó” [11, tr.98].

o Nhận xét:

Đây là một KNV kiểm tra khả năng tính toán của HS về công thức tính chu vi

hình tròn. Mặc dù, SGV không đưa ra lời giải cụ thể cho bài toán trên, nhưng từ nhận

Chu vi của bánh xe là

C= 0,75 x 3,14= 2,355m.

xét của SGV chúng tôi có thể nghĩ đến lời giải mong đợi như sau:

Ngoài ra, trong bài toán này có một ý nghĩa thực tế, nó giúp cho HS biết được

bánh xe là “hình tròn” và yêu cầu tính chu vi bánh xe đó.

T tinhdienti

:ch

τ

Tính diện tích hình tròn 

tinhdienti

ch

: o Kĩ thuật

-Xác định bán kính r.

-Áp dụng công thức S= r x r x 3,14.

o Ví dụ: (bài 1, tr.100, SGK Toán 5) “Tính diện tích hình tròn có bán kính r:

a) r=6cm b)r=0,35dm” [11, tr.100].

18

tính nhân các số thập phân” của SGV Toán 5 tr.177, chúng tôi có thể đưa ra lời giải

Từ nhận xét: “Vận dụng trực tiếp công thức tính diện tích hình tròn và củng cố kĩ năng làm

a) Diện tích hình tròn là 6 x 6 x 3,14=113,04cm2.

b) Diện tích hình tròn là 0,35 x 0,35 x 3,14=0,38495dm2=384,95cm2.

:

mong đợi như sau:

T bankinh

Tính bán kính hình tròn 

: o Kĩ thuật bankinhτ

Tìm bán kính r theo các công thức sau:

+ Bán kính bằng đường kính chia 2.

+Đường kính bằng chu vi chia 3,14.

“Tìm bán kính hình tròn có chu vi C=18,84dm” [11, tr.99].

=

o Ví dụ:

Lời giải theo SGV “ Tìm r biết

.

××r

14,32

84,18

Bán kính hình tròn r= 18,84 :2 :3,14=3dm”.

o Nhận xét:

Đối với kiểu nhiệm vụ này, SGK đưa ra nhằm củng cố kĩ năng ở HS về việc làm

tính chia các số thập phân và tìm thừa số chưa biết của một tích. Đây có thể được xem

là một bài toán ngược của bài toán tính diện tích và chu vi hình tròn.

Kết luận:

Trong SGK Toán 5, “đường tròn” xuất hiện rất mờ nhạt, nó chưa phải là đối

tượng quan trọng để nghiên cứu, SGK chỉ tập trung trên đối tượng “hình tròn” cũng

như là các công thức trên hình tròn. Các kiểu nhiệm vụ được quan tâm là các bài toán

tính chu vi và diện tích hình tròn vì nó có ý nghĩa và ứng dụng trong thực tế, cuộc

sống. “Đường tròn” trong chương trình Toán 5, nó chỉ là một thuật ngữ, nó chưa phải

là một đối tượng nghiên cứu. Tuy nhiên, thông qua “hình tròn”, HS sẽ biết được về

đường tròn và các yếu tố của hình tròn như tâm, bán kính, đường kính cũng như là biết

sử dụng compa để vẽ hình tròn.

19

2.2. Đường tròn trong SGK Toán lớp 6

Đến lớp 6, đường tròn được tiếp cận với tên bài “Đường tròn” và nó được định

“ Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, kí

hiệu (O;R)” [3, tr.89].

nghĩa một cách cụ thể:

Với định nghĩa này, chúng tôi thấy vai trò của hình vẽ giữ một vị trí hết sức quan

trọng. Đường tròn được định nghĩa theo tính chất của hình hình học và đặc trưng yếu

tố “khoảng cách” được chú trọng. Ở lớp 5, đường tròn và hình tròn là hai khái niệm

khác nhau, SGK Toán 5 chỉ phân biệt chúng trên hình vẽ. Trong khi đó, nhờ được

trang bị về khái niệm đường tròn, SGK Toán 6 đã phân biệt chúng bằng định nghĩa

như sau:

đường tròn đó” [3, tr.90].

“Hình tròn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm bên trong

Bằng trực quan, SGK tiếp tục cho HS làm quen các khái niệm liên quan đến đường

tròn như cung và dây cung:

thành hai phần bằng nhau, mỗi phần là một cung tròn”.

“Đoạn thẳng nối hai mút của cung là dây cung. Dây đi qua tâm là đường kính”.

“Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O. Hai điểm này chia đường tròn

[3, tr.90]

Đường tròn trong giai đoạn này chỉ mang tính chất tiếp cận, các đặc trưng của

đường tròn chưa được nghiên cứu rõ. SGK Toán 6 chú trọng về đường tròn thông qua

các KNV vẽ hình hơn là tính toán. Cụ thể, trong mục tiêu giảng dạy của SGV, tác giả

“ - Sử dụng compa thành thạo.

- Biết vẽ đường tròn và cung tròn.

đề ra các kĩ năng cơ bản của HS như sau :

- Biết giữ nguyên độ mở của compa ” [3, tr.68].

20

Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đường tròn

 T ve : Vẽ đường tròn o Kĩ thuật veτ :

- Xác định vị trí tâm và độ dài bán kính.

- Dùng compa vẽ đường tròn .

“Vẽ lại hình sau (đúng kích thước như hình đã cho)” [11, tr.93].

o Ví dụ: (bài tập 42a, tr. 93, SGK Toán 6, tập 2)

“Trước hết phải đo để biết bán kính các đường tròn cần vẽ.

Đường tròn lớn có bán kính là 1,2cm.

Hai đường tròn nhỏ có bán kính là 0,6cm.” [10, tr.70].

Lời giải trình bày trong SGV:

 T cm : Chứng minh điểm M thuộc trên đường tròn (O, R) o Kĩ thuật cmτ : Chứng minh OM=R.

“Trên hình 48, ta có hai đường tròn (O; 2cm) và (A; 2cm) cắt nhau tại C, D. Điểm A

nằm trên đường tròn tâm O.

a) Vẽ đường tròn tâm C, bán kính 2cm.

o Công nghệ cmθ : định nghĩa đường tròn. o Ví dụ:

b) Vì sao đường tròn (C;2cm) đi qua O và A.” [11, tr.48].

Lời giải trình bày trong SGV

“a)

21

b) Vì CO=CA=2cm” [10, tr.69].

o Nhận xét:

Đây là KNV dùng định nghĩa đường tròn để chứng minh. Để chứng minh các điểm

nằm trên đường tròn ta chứng minh khoảng cách các điểm đó đến tâm bằng bán kính.

Nó ngầm ẩn cho việc chứng minh quỹ tích các điểm là đường tròn sau này.

 T sosanh : So sánh độ dài các đoạn thẳng.

o Kĩ thuật ssτ :

-Dùng compa đánh dấu độ dài các đoạn thẳng lên cùng một đoạn thẳng.

-Dùng compa để so sánh độ dài giữa chúng.

“Xem hình 51. So sánh AB+BC+AC với OM bằng mắt và kiểm tra bằng dụng cụ”

[11, tr.92]

o Công nghệ sosanhθ : trong một đường tròn thì các bán kính bằng nhau. o Ví dụ:

Với KNV này thì SGV không đưa ra lời giải chi tiết mà chỉ trình bày đáp số. Tuy

nhiên, trong SBT Toán lớp 6, chúng tôi tìm thấy kỹ thuật cho KNV này. Do đó, chúng

tôi có thể đưa ra lời giải cho bài toán trên như sau:

- Dùng compa“chuyển” các đoạn thẳng AB, BC, AC lên đoạn thẳng OM sao cho mút A trùng với

O, mút B tương ứng với B, đoạn CA tương ứng đoạn CL.

- Tổng AB+ BC+ AC là đoạn OL.

Vậy AB+ BC+ AC < OM.

22

Kết luận:

Đường tròn trong SGK Toán 6 được định nghĩa một cách tường minh và rõ ràng

hơn, nó được phát biểu thành lời khác với sự mô tả ở lớp 5. Khái niệm đường tròn

được tiếp cận theo “khoảng cách”, tức đường tròn là tập hợp tất cả các điểm cách tâm

là một số không đổi. Ngoài ra, trong giai đoạn này, đường tròn vừa là một đối tượng

nghiên cứu vừa có vai trò như một công cụ. Ở phương diện đối tượng nghiên cứu,

SGK Toán 6 chưa đi sâu vào các tính chất của đường tròn mà chỉ giới thiệu cho HS về

định nghĩa đường tròn và các khái niệm liên quan khác của đường tròn như cung và

dây cung. Trong khi đó, bằng việc sử dụng compa để so sánh các đoạn thẳng, SGK

nghiên cứu đường tròn với vai trò công cụ thông qua bước “dịch chuyển” độ dài của

đoạn thẳng bằng cách “giữ nguyên độ mở của compa”.

2.3. Đường tròn trong SGK Toán lớp 9

2.3.1. Phân tích SGK Toán 9

Có thể nói, trong giai đoạn này “đường tròn” là đối tượng được nghiên cứu rất

sâu sắc và đầy đủ. SGK trình bày các tính chất của đường tròn thông qua hai chương

quan trọng của hình học. Cụ thể:

+ Chương II: Đường tròn gồm 8 bài: §1Sự xác định đường tròn.Tính chất đối xứng

của đường tròn; §2Đường kính và dây của đường tròn; §3Liên hệ giữa dây và

khoảng cách từ tâm tới dây; §4Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn;

§5Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn; §6Tính chất của hai tiếp tuyến cắt

nhau; §7, 8Vị trí tương đối của hai đường tròn.

23

+ Chương III: Góc với đường tròn gồm 10 bài: §1Góc ở tâm.Số đo cung; §2 Liên

hệ giữa cung và dây; §3 Góc nội tiếp; §4Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung; §5

Góc có đỉnh bên trong đường tròn.Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn; §6 Cung

chứa góc; §7 Tứ giác nội tiếp; §8 Đường tròn nội tiếp.Đường tròn ngoại tiếp; §9Độ

dài đường tròn, cung tròn; §10 Diện tích hình tròn, hình quạt tròn.

Mục đích trong chương này là chúng tôi tìm hiểu xem đường tròn xuất hiện như

thế nào và tiến triển ra sao? Vai trò công cụ của đường tròn có được SGK tiếp cận hay

không? Do đó, chúng tôi sẽ phân tích không theo trình tự, mà chỉ đưa ra những cách

tiếp cận của đường tròn cũng như phân tích những bài quan trọng nhằm làm rõ cho các

câu hỏi nghiên cứu trên.

Trong chương II với tên gọi “Đường tròn” SGK tập trung khai thác các tính chất

“Ở lớp 6, ta đã biết:

Đường tròn tâm O bán kính R (với R>0) là hình gồm các điểm cách O một khoảng

bằng R” [5, tr.97].

của đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách”. SGK nhắc lại định nghĩa:

Chúng ta thấy rằng đường tròn hoàn toàn xác định nếu như chúng ta biết được

hai đặc trưng cơ bản của nó là tâm và bán kính hay đường kính. Trong chương trình

Toán 7, sau khi cho tam giác ABC, SGK đã ngầm ẩn chứng minh sự tồn tại của đường

tròn đi qua ba điểm A,B,C thông qua tính chất “giao điểm của ba đường trung trực

trong tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó”. Tính chất này được SGK 9

“Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn” [5, tr.98].

thể hiện tường minh hơn thông qua kết luận:

Hơn nữa, trong SGK Toán 9 còn xét thêm cả trường hợp ba điểm A,B,C thẳng

hàng để thấy rằng không có đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng. Thuật ngữ

“Đường tròn đi qua ba điểm A, B, C của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC” [5, tr.99].

“đường tròn ngoại tiếp” cũng được SGK định nghĩa lại:

Trên cơ sở về đường tròn đã biết, SGK 9 tiếp tục nghiên cứu thêm các tính chất

và khái niệm mới của đường tròn theo cách tiếp cận về “khoảng cách”. Các tính chất

mà chúng tôi giới thiệu trong các bài ở chương II là kết quả phân tích trên hai yếu tố

24

tâm, bán kính và yếu tố “khoảng cách” đóng vai trò quan trọng. Đường tròn được

nghiên cứu trên khách thể chính nó và đối tượng khác. Cụ thể:

• Nếu chúng ta xét hai đối tượng “đường tròn” và “đường thẳng”, chúng ta sẽ có

các khái niệm liên quan sau:

Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm A, B thì AB là dây cung của đường

tròn. Nếu đường thẳng này đi qua tâm thì AB là đường kính. Mặt khác, nếu đường

thẳng tiếp xúc với đường tròn thì ta gọi đường thẳng đó là tiếp tuyến. Như vậy, các

khái niệm này nảy sinh từ việc xét vị trí tương đối của đường tròn so với đường

thẳng. SGK đã phân tích vị trí tương đối của chúng và có kết quả sau:

“Hệthức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính

Nếu d

Nếu d=R thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.

Nếu d>R thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.” [5, tr.109].

đường tròn:

Vị trí tương đối của hai đường

Số

Hệ thức giữa OO’ và R với r

điểm

tròn(O;R) và (O’,r) (R

)r≥

chung

Hai đường tròn cắt nhau

R-r

2

Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

1

OO’=R+r

-Tiếp xúc ngoài

OO’=R-r

-Tiếp xúc trong

Hai đường tròn không giao nhau

0

OO’>R+r

-(O) và (O’) ở ngoài nhau

OO’

-(O) đựng (O’)

• Tương tự, nếu chúng ta xét trên hai đường tròn, chúng ta sẽ có các tính chất sau:

[5, tr.121].

Như vậy, yếu tố “khoảng cách” được quan tâm trong các bài toán xét vị trí trương

đối của đường thẳng và đường tròn, cũng như là vị trí của hai đường tròn. Chính vì

thế, các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đường tròn trong chương này chủ yếu là các bài

toán liên quan đến vị trí tương đối của đường tròn so với đường tròn, đường tròn so

với đường thẳng và một số hệ quả, tính chất khác. Tuy nhiên, vẫn có một số bài tập

25

chứng minh quỹ tích các điểm là đường tròn dựa trên cách tiếp cận đường tròn về

“khoảng cách”, tức dựa vào tính chất bán kính bằng nhau của đường tròn. Cụ thể :

“Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C

cùng thuộc một đường tròn” [5, tr.104].

Ví dụ:

“ Gọi M là trung điểm BC.

=

Ta có EM=

,

BC

DM

BC

1 2

1 2

Suy ra ME=MB=MC=MD

Do đó, B,E,D,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC” [7, tr.129].

Lời giải trình bày trong SGV:

Đối tượng thứ hai, mà SGK cho HS tiếp cận về đường tròn là “góc”. Trong

chương III “Góc với đường tròn”, SGK nghiên cứu đường tròn với tính chất như góc ở

tâm, số đo góc chắn cung, góc nội tiếp... Một trong những tính chất liên quan đến

đường tròn là “cung chứa góc”. Đây là tính chất quan trọng, nó có liên quan đến khái

niệm đường tròn theo “góc”. SGK tiếp cận gián tiếp thông qua bài toán tìm quỹ tích

0

0

α

<α

<

.Tìm quỹ tích (tập hợp) các

sau:

0(

180

)

điểm M thỏa mãn

. (Ta cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB

α=BMA ˆ

cho trước dưới gócα)” [5, tr.83].

“Bài toán.Cho đoạn thẳng AB và góc

0

0

< α

<

α

“Với đoạn thẳng AB và góc

thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn

180

)

0(



là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB” [5, tr.85].

α=BMA

Bằng phương pháp dự đoán và chứng minh quỹ tích, SGK đưa ra kết luận:

Do chưa được trang bị về góc định hướng nên SGK chỉ kết luận quỹ tích của điểm M là hai cung tròn. Nhưng khi α=900 thì:

“Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB sao cho dưới một góc vuông là đường

tròn đường kính AB” [5, tr.85].

Với nhận xét này, chúng tôi nhận thấy đường tròn được tiếp cận theo quan điểm “góc”, tuy nhiên giá trị góc là 900 là một số đo đặc biệt, nó không thể tổng quát cho

26

tiếp cận về “góc” của đường tròn. Nhưng kết quả này lại là một công cụ chứng minh

các điểm nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông là một đường tròn, có thể thay thế cho

“ Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính

MC. Kẽ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh

rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp” [5, tr.105].

phương pháp chứng minh theo “khoảng cách” mà HS đã biết. Cụ thể với bài toán sau:

Lời giải trình bày trong SGV:

[8, tr.126].

SGK tiếp tục đưa ra các tính chất của đường tròn thông qua đối tượng khác là

“tứ giác”. Trong bài “tứ giác nội tiếp”, SGK giới thiệu đường tròn thông qua hai định

“Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800.

lý sau:

Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện có tổng bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp

được đường tròn.” [6, tr.88].

SGK đã chứng tỏ được rằng có những tứ giác nội tiếp được và có những tứ giác

không nội tiếp được bất kỳ đường tròn nào thông qua hình vẽ minh họa. Tuy nhiên,

với việc giới thiệu hai định lý này, SGK còn ngầm ẩn đưa ra thêm một phương pháp

chứng minh quỹ tích của các điểm là một đường tròn. Ngoài việc chứng minh theo

phương pháp “khoảng cách”, chúng ta có thêm một phương pháp khác theo “góc” là

chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn thông qua định lý đảo.

Trong phần bài tập, SGK đã đưa ra một bài toán, mà theo chúng tôi đây là sự gắn

kết hai cách tiếp cận đường tròn. Bằng một bài toán chứng minh, SGK muốn minh

27

chứng sự chuyển đổi qua lại giữa hai cách tiếp cận đường tròn theo “góc” và đường

o

ˆ

ˆ

=

“Tứ giác ABCD có

. Chứng minh rằng các trung trực của AC,

+ CDACBA

180

BD, AB cùng đi qua một điểm” [6, tr.89].

tròn theo “khoảng cách”.

Lời giải trình bày trong SGV:

[8, tr.108].

Từ đây, chúng tôi thấy rằng với một đường tròn bất kỳ, nếu ta chọn dây cung AB,

0

thì tất cả những điểm trên cung lớn AB đều có góc bằng nhau là α và những điểm trên =β 1800 - α. Nếu xét trong phạm vi “góc định cung nhỏ AB đều có góc bằng nhau là

modβα=

180

. hướng” thì

Nhận xét:

Trong chương trình Toán 9, chúng tôi nhận thấy có hai quan điểm đường tròn

được tiếp cận. Tiếp cận đường tròn theo “khoảng cách” đã được HS biết đến ở các lớp

dưới. Trong chương II, SGK chỉ củng cố thêm khái niệm đường tròn này thông qua

các tính chất của đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách”. Trong khi đó ở chương III,

SGK trình bày đường tròn theo quan điểm khác là “góc”. Tuy nhiên, khái niệm đường

tròn theo “góc” được tiếp cận rất hạn chế, ứng dụng của khái niệm này chỉ được SGK

đề cập ngầm ẩn trong một số bài toán chứng minh quỹ tích hay dựng hình.

2.3.2. Các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến đường tròn trong SGK Toán 9

Do các bài tập được trải rộng, thường là dạng bài tập tổng hợp nên chúng tôi chỉ

T

đưa ra các kiểu nhiệm vụ trọng tâm có liên quan đến đường tròn.

đuongtron

: Chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn 

đuongton

1τ

Chúng tôi nhận thấy có hai kĩ thuật liên quan đến KNV này:

: o Kĩ thuật

28

- Xác định tâm của đường tròn.

đuongtron

1θ

- Chứng minh khoảng cách từ tâm đến các điểm là bằng nhau.

+ Công nghệ : dựa vào định nghĩa đường tròn theo “khoảng cách”.

đuongtron

2τ

Với kĩ thuật này, nó giống như là kĩ thuật mà học sinh đã biết ở lớp 6 như KNV Tcm .

:

đuongtron

2θ

o Kĩ thuật - Chứng minh tổng hai góc đối diện của một tứ giác bằng 1800.

: định lý đảo của tứ giác nội tiếp trang 88, SGK Toán 9, tập +Công nghệ

2.

“Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’. Chứng minh các điểm

với

ˆ =A

060

B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn” [6, tr.87].

+Ví dụ:

0

=

0 =

“Ta có:

(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một

ˆ COB

ˆ CAB

.2

×= 2

60

120

)1(

ˆ

(đối đỉnh).

cung),

'

ˆ'

= CHBCHB

0

0

0

0

0

=

=

−

=

−

Mà

nên

(2)

120

ˆ =CHB

120

'

180

180

60

ˆ A

ˆ' CHB

Ta lại có:

0

0ˆ18

60

0

ˆ

+

=

+

60

ˆ = ACIB

(sử dụng góc ngoài tam giác)

− 2

0

0

=

+

=

60

120

)3(

ˆ ˆ + CB 2 0 60

Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên cung chứa góc 1200 dựng trên

đoạn thẳng BC. Nói cách khác, năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn ” [8,

Lời giải trình bày trong SGV:

tr.105].

o Nhận xét:

29

Cùng một KNV, chúng tôi nhận thấy SGK đưa ra hai phương pháp chứng minh,

mỗi kĩ thuật đặc trưng cho một quan điểm tiếp cận của đường tròn. Tùy vào bài toán

1τ đến đuongton

mà chúng ta có thể áp dụng kĩ thuật phù hợp. Đặc trưng của các bài toán liên quan

đuongtron

2τ

là những điểm luôn tạo với một cạnh (hai điểm nối lại) là một góc vuông.

thì thường bài toán yêu cầu chứng minh tứ Trong khi đó, các bài toán theo

đuongtron

2τ

giác nội tiếp, nhưng tứ giác ở đây luôn có hai góc đối diện là các góc vuông. Tuy

thì đây là một phương pháp hiệu quả hơn, nó có thể giải nhiên, với kĩ thuật

quyết các bài toán với số đo góc bất kỳ.

vitriT : Xác định vị trí tương đối của đường tròn so với đường thẳng (điểm),



1

đường tròn.

vitriT : Xác định vị trí tương đốicủa đường tròn so với đường thẳng (điểm).

vitriτ :

•

o Kĩ thuật 1

-Xác định khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng (điểm).

- Tùy theo khoảng cách ta có các vị trí sau:

Vị trí tương đối của đường tròn so Vị trí trương đối của đường tròn so

+ Điểm M nằm trên đường tròn

+Nếu d

(O; R) khi và chỉ khi OM=R.

tròn (O) cắt nhau.

+ Điểm M nằm bên trong đường tròn

+Nếu d=R thì đường thẳng a và đường

(O; R) khi và chỉ khi OM

tròn (O) tiếp xúc nhau.

+ Điểm M nằm bên ngoài đường tròn

+Nếu d>R thì đường thẳng a và đường

tròn (O) không giao nhau.

(O; R) khi và chỉ khi OM>R.

(d là khoảng cách từ tâm đến bán kính)

2

với điểm với đường thẳng

vitriT : Xác định vị trí tương đối của đường tròn so với đường tròn.

3

vitriτ

•

o Kĩ thuật

+ Tính khoảng khoảng cách hai tâm của đường tròn, tổng và hiệu của hai bán

kính.

Vị trí tương đối của hai đường

Số điểm Hệ thức giữa OO’ và R

+ Áp dụng tính chất:

chung

với r

tròn(O;R) và (O’,r) (R

)r≥

2

Hai đường tròn cắt nhau

R-r

Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

1

-Tiếp xúc ngoài.

OO’=R+r

-Tiếp xúc trong.

OO’=R-r

Hai đường tròn không giao nhau

-(O) và (O’) ở ngoài nhau.

0

OO’>R+r

OO’

-(O) đựng (O’).

30

[5, tr.121].

“Cho đường tròn tâm O, bán kính OA và đường tròn đường kính OA. Hãy xét định vị trí

tương đối của hai đường tròn” [5, tr.122].

o Ví dụ:

“Gọi (O’) là đường tròn đường kính OA. Vì OO’=OA-O’A nên hai đường (O) và

(O’) tiếp xúc trong” [7, tr.154].

Lời giải trình bày trong SGV:

o Nhận xét:

Đối với kiểu nhiệm vụ T vitri , thì các dạng bài tập thường được đặt trong hệ trục

tọa độ, hoặc khoảng cách đã biết trước. Các dạng bài tập này chỉ nhằm mục đính củng

cố các tính chất về vị trí tương đối của đường tròn so với điểm, đường thẳng và đường

tròn.

veT

đuongtron

đuongtron

: Vẽ đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp đa giác. 

veT 1

ev

đuongtron

1τ

: Vẽ đường tròn ngoại tiếp đa giác. •

: o Kĩ thuật

Vẽ đường tròn đi qua các đỉnh của đa giác.

+ Nếu đa giác là tam giác thì tâm đường tròn là giao điểm ba đường trung trực.

+ Nếu đa giác là hình vuông, hình chữ nhật thì tâm đường tròn là trung điểm của

ve

đuongtron

1θ

đường chéo.

: định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác trong SGK o Công nghệ

Toán 9, tập 2 ; tính chất ba đường trung trực.

đuongtron

31

veT 2

ve

đuongtron

2τ

: Vẽ đường tròn nội tiếp đa giác. •

: o Kĩ thuật

Vẽ đường tròn tiếp xúc các cạnh của đa giác.

+ Nếu đa giác là tam giác thì tâm đường tròn là giao điểm ba đường phân giác.

ve

đuongtron

2θ

+ Nếu đa giác là hình vuông thì tâm đường tròn là trung điểm của đường chéo.

: định nghĩa đường tròn nội tiếp đa giác (trang 91, SGK o Công nghệ

o Ví dụ:

“a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh là 3cm.

b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.

c) Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r” [6, tr.91].

Toán 9, tập 2), tính chất ba đường phân giác.

“a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa).

b) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung

trực (đồng thời là ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác của tam giác đều

ABC).

3

=

=

=

=

=

(3

)

.

R

OA

' AA

cm

33 2

2 3

AB 2

2 3

2 3

c) Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm

A’,B’,C’ của các cạnh

=

=

=

=

” [8, tr.113].

(

)

.

r

OA '

' AA

cm

1 3

1 3

33 2

3 2

Lời giải trình bày trong SGV:

o Nhận xét:

32

Chúng tôi nhận thấy rằng, các bài tập liên quan đến kiểu nhiệm vụ này chủ yếu tập

trung vào đa giác đều như tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều. Do đó, cách

xác định tâm và bán kính sẽ trở nên dễ dàng đối với học sinh. Trong KNV vẽ đường

tròn, chúng tôi thấy không xuất hiện bài toán vẽ đường tròn bàng tiếp tam giác. Đối

với khái niệm này, HS đã biết ở chương II (Toán 9), nó khác với khái niệm đường tròn

nội tiếp. Tuy nhiên, do không được tiếp cận nhiều về đường tròn bàng tiếp và được

T

SGK củng cố thì liệu chăng nó có ảnh hưởng đến quá trình giải toán của HS?

haigocbn

: Chứng minh hai góc bằng nhau. 

Đây là kiểu nhiệm vụ có nhiều hình thức đặt câu hỏi, do đó chúng tôi xét các bài toán

τ

chứng minh tam giác cân, hai cạnh bằng nhau vào chung KNV này.

: o Kĩ thuật haigocbn

Tìm mối liên hệ giữa hai góc này thông qua các tính chất như:

“Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc các cung bằng nhau thì bằng nhau

c) Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung” [6, tr.75].

+ Góc nội tiếp:

“Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng

chắn một cung thì bằng nhau” [6, tr.79].

+Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:

+ Góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.

“Cho đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) CD =CE b) BHD∆

cân c) CD = CH ” [6, tr.105].

o Ví dụ:

Lời giải trình bày trong SGV:

AD ⊥

BC

090

'ˆ =BAA

“ a)

tại A’ nên

là góc có đỉnh ở trong đường tròn nên:

Vì

0

+

=

(1).

BAA 'ˆ  BAsđ

 CDsđ

180

tại B’ nên

, ta có:

AC

'ˆ =BBA

090

0

=

+

(2)

Cũng vậy,  BAsđ

BE ⊥  ECsđ

180





=

So sánh từ (1) và (2) suy ra

.

= ECCD

hay

DC

CE

Cách chứng minh khác:

( hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc,

⊥

⊥

AD

BC

,

AC

BE

)

ˆ = ˆ EBCCAD   =⇒=⇒ ECDC

CD

CE

b) Ta có:

ˆ

=

=

 CDsđ

ˆ CBE

 DBCCEsđ ,

1 2

1 2



ˆ

ˆ

∆⇒

Mà

(vì trong tam giác này, BA’ vừa là đường

cân

BHD

 ⇒= CECD

= DBCCBE

cao, vừa là đường phân giác).

c) Từ tam giác cân BHD suy ra HA’=A’D(BA’ là đường trung trực của cạnh HD).

Điểm C nằm trên đường trung trực của HD nên CH=CD.

∆

∆=

nên CD = CH” [8, tr.125].

CHK

CDK

(

−− cgc

)

33

T quytich

: Tìm quỹ tích của một điểm thỏa mãn tính chất τ. 

:

o Kĩ thuật quytichτ - Dự đoán quỹ tính.

- Chứng minh quỹ tích theo hai phần: phần thuận và phần đảo.

+Phần thuận: Mọi điểm có tính chất τ đều thuộc H. +Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chấtτ. +Kết luận : Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất τ là hình H.

34

“Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán

kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm” [6, tr.87].

o Ví dụ:

“Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính nhỏ hơn BA.Tiếp tuyến AT vuông góc

với bán kính BT tại tiếp điểm T.

Do AB cố định nên quỹ tích của T là đường tròn đường kính AB.

Trường hợp đường tròn tâm B, bán kính là BA thì quỹ tích là điểm A” [8, tr.103].

Lời giải trình bày trong SGV:

o Nhận xét:

Đối với bài toán tìm quỹ tích, SGK nhấn mạnh cần dự đoán hình H trước khi

chứng minh. SGK trình bày kĩ thuật của KNV này rất chung chung. Do đó, đây là

T

dạng toán HS thường gặp khó khăn.

dungtg

: Dựng tam giác biết cạnh đáy, đường cao tương ứng và góc ở đỉnh. 

: Giả sử tam giác có cạnh đáy là BC, đường cao AH và o Kĩ thuật dungtgτ

góc α.

-Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng BC.Vẽ tia Bx tao với BC gócα.

-Vẽ đường thẳng By vuông góc với Bx. Gọi O là giao điểm của By và d.

-Vẽ đường tròn (O, OB). Trên đường thẳng d xác định điểm M sao cho MI bằng

độ dài đường cao (I là trung điểm BC).

-Vẽ đường thẳng qua M và song song với BC cắt đường tròn (O,OB) tại điểm A.

o

“Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng

chắn một cung thì bằng nhau” [6, tr.79].

Công nghệ dungtgθ : tính chất của góc tạo bởi tiếp tuyên và dây cung.

“Dựng tam giác ABC, biết BC=6cm,

và đường cao AH=4cm” [6, tr.87].

ˆ =A

040

o Ví dụ:

35

“Trình tự dựng gồm ba bước:

-Dựng đoạn thẳng BC 6cm. -Dựng cung chứa góc 400 trên đoạn BC.

- Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng bằng 4cm, cụ thể như

sau:

Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC lấy KK’=4cm (dùng thước có chia khoảng

mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với d tại K’ (dùng êke).

Gọi giao điểm của xy và cung chứa góc là A và A’. Khi đó, tam giác ABC hoặc A’BC

đều thõa mãn yêu cầu bài toán” [8, tr.103- 104].

Lời giải trình bày trong SGV:

Bảng 2.1. Bảng thống kê các KNV liên quan đến đường tròn trong SGK Toán 9

Số bài tập Tổng cộng

Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật VD-HĐ Bài tập

đuongtron

1τ

T duongtron

1 2 3

đuongtron

2τ

1

1

1 4 5

vitriτ

vitriT

2

2

vitriT

1 3 4

vitriτ

1 2 3

đuongtron

ve

đuongtron

1τ

vitriT veT 1

1 4 5

đuongtron

ve

đuongtron

2τ

veT 2

veT

đuongtron

τ

1 3 4

T

haigocbn

haigocbn

1 6 7

T quytich

quytichτ

1 5 6

T

dungtg

dungtgτ

0 5 5

8 34 42 Tổng

36

Nhận xét:

T duongtron

có số bài tập cao Qua bảng thống kê, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ

hơn các KNV khác, nó chiếm tổng cộng 9/42 bài trong tổng số bài tập được thống kê.

Như vậy, việc chứng minh quỹ tích của các điểm thuộc cùng một đường tròn vẫn dựa

T quytich

vào cả hai cách tiếp cận.Với các KNV khác liên quan đến đường tròn như thì có

tới 3/6 bài là quỹ tích của chúng là đường tròn, còn lại quỹ tích là cung tròn, nhưng

T

phương pháp của chúng đều dựa trên cách tiếp cận về “góc” của đường tròn.

T quytich

dungtg

Từ KNV và KNV chúng tôi thấy SGK đã ngầm ẩn tiếp cận vai trò

công cụ của đường tròn theo “góc” là nhằm giải quyết các bài toán dựng hình và quỹ

tích. Tuy nhiên, chúng có số lượng bài tập không đáng kể chỉ chiếm 5/42 bài. Một số

KNV khác xuất hiện rất ít, các KNV này chỉ xoay quanh trên “đối tượng” của đường

tròn.

KẾT LUẬN:

1. Đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách” được SGK đặc biệt chú trọng, nó được

tiếp cận từ cấp tiểu học, trong khi đó đường tròn theo “góc” chỉ được SGK giới thiệu

ngầm ẩn trong chương trình Toán 9 thông qua những tính chất, hệ quả của đường tròn.

Trong chương trình Toán 9, có sự phân chia hai giai đoạn tiếp cận về đường tròn.

- Giai đoạn1: SGK trình bày các tính chất của đường tròn theo tiếp cận “khoảng

cách” trong chương II. Do được tiếp cận từ cấp dưới, nên trong giai đoạn này, đối

tượng đường tròn được nghiên cứu rất thuận lợi. SGK nghiên cứu đường tròn trên

khách thể chính nó và tác động với các đối tượng khác. Dựa vào yếu tố “khoảng

cách”, SGK xây dựng các tính chất của đường tròn, và công cụ “khoảng cách” của

đường tròn vẫn được SGK đề cập đến trong các dạng bài tập chứng minh quỹ tích

các điểm là đường tròn.

- Giai đoạn 2: SGK trình bày các tính chất của đường tròn theo tiếp cận “góc”

trong chương III. SGK đã đưa ra các tính chất về góc trong đó có góc ở tâm, góc

chắn cung…và góc nội tiếp cũng như là công thức tính số đo cung và độ dài cung.

Tuy nhiên, khái niệm đường tròn theo “góc” được tiếp cận rất hạn chế, ứng dụng

của khái niệm này chỉ được SGK đề cập ngầm ẩn trong một số bài toán chứng minh

quỹ tích hay dựng hình.

37

2. Như vậy, có thể nói đến giai đoạn lớp 9, HS đã tiếp cận đường tròn theo hai quan

điểm là “khoảng cách” và “góc”. Mặc dù cách tiếp cận của đường tròn theo “góc” còn

mờ nhạt, nhưng SGK cũng đã đưa ra các hoạt động và bài tập để cho HS thấy được

ứng dụng của công cụ đường tròn. Cụ thể, vai trò của đường tròn theo “khoảng cách”

dùng để vẽ hình, so sánh các độ dài đoạn thẳng như đã trình bày trong chương trình

T

lớp Toán 6. Trong khi đó, vai trò của đường tròn theo “góc” có vị trí quan trọng trong

dungtg

các bài toán dựng hình đặc biệt là dựng tam giác như KNV . Từ đây, chúng tôi

có những câu hỏi: Liệu chăng HS có biết khái niệm đường tròn theo“khoảng cách”và

theo“góc” là hai cách tiếp cận khác nhau? HS có sử dụng được đường tròn như một

công cụ trong việc giải quyết các bài toán?”

2.4. Đường tròn trong SGK Hình học lớp 10

2.4.1. Phân tích SGK Hình Học 10

Đường tròn trong giai đoạn này được nghiên cứu trên phương diện mới là

“phương trình”. Trước khi đưa vào khái niệm phương trình đường tròn, SGK minh họa

bằng một hình vẽ trực quan:

Với hình vẽ này, nó giải thích cho bước chuyển từ hình học tổng hợp sang hình

học giải tích. Đường tròn cho trước có tâm I, bán kính R được đặt trong một hệ trục

tọa độ Oxy và lúc này tọa độ điểm I được xác định là (a, b) và điểm M chạy trên

đường tròn có tọa độ là (x,y).

∈ ⇔ =

M x y ( ,

)

IM R

C (

)

2

2

+

=

⇔ − (

(

x a ) 2

− y b ) 2

R 2

+

=

⇔ − (

x a

)

(

− y b

)

R

SGK định nghĩa phương trình đường tròn như sau:

2

2

2

+

=

Phương trình

được gọi là phương trình đường tròn tâm

− ax

− by

(

R

)

(

)

I (a, b) bán kính R [13, tr. 81 - 82].

38

SGK giới thiệu phương trình đường tròn thông qua định nghĩa đường tròn theo

“khoảng cách”, tức là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng cách đều một

điểm I cố định bằng một khoảng R cho trước. Từ việc “dịch từ tích chất hình học sang

tích chất đại số” thông qua vài phép biến đổi đại số và công cụ phép toán vectơ, SGK

xây dựng đường tròn theo một cách tiếp cận mới là “phương trình”. Đây là bước

2

2

2

+

=

chuyển đổi nghĩa từ “khoảng cách” sang “phương trình”. Tuy nhiên phương trình

(

− ax

)

(

− by

)

R

(4.2.1.) vẫn chưa thể hiện tính tổng quát của phương trình bậc

hai hai ẩn. Chính vì thế, SGK tiếp tục giới thiệu một dạng khác của phương trình

đường tròn thông qua hoạt động khai triển phương trình dạng (4.2.1.) và đưa ra nhận

2

2

2

+

=

trình đường

tròn

có

thể viết dưới dạng

xét:

− ax

− by

(

)

(

)

R

2

2

2

2

2

+

−

=

+

−

−

, trong đó

.

c

a

b

R

x

y

ax

=+ c

2

by 2

0

2

2

+

−

−

Ngược lại, phương trình

x

y

ax

=+ c

2

by 2

0

2

2

+

(C) khi và chỉ khi

là phương trình của đường tròn . Khi đó đường tròn (C) có tâm là I (a,b) và bán kính

a

b

>− c

0

2

2

=

+

−

” [13, tr. 82].

R

a

b

c

“Phương

2

2

+

−

−

Sau khi giới thiệu phương trình đường tròn

x

y

ax

=+ c

2

by 2

.)2.2.4(0

dạng , SGK còn củng cố bằng bài tập nhận dạng

“Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường

tròn:

2

2

+

−

+

8

2

=− 1

0

2

x

y

x

y

2

2

+

+

−

2

4

=− 4

0

x

y

x

y

2

2

+

−

−

+

=

2

6

20

0

x

y

x

y

2

2

+

+

+

+

=

2

10

0

x

y

6

x

y

” [13, tr.82].

phương trình đường tròn sau:

SGK đã khái quát tất cả các trường hợp có thể xảy ra đối với phương trình đường

tròn. Đối với phương trình thứ nhất thì không phải là phương trình đường tròn, do hệ

39

2x không phải là 1 đúng theo phương trình dạng (2.4.2.). Phương trình thứ hai,

số của

2

2

2

2

2

2

+

+

+

thứ ba, thứ tư với các hệ số “c” được tác giả chọn lọc nhằm dẫn đến lần lược các điều

b

a

>− c

0

0

b

a

,

<− c

và

a

b

=− c

.0

kiện

Đây có thể là một bài tập minh họa nhằm nhấn mạnh cho HS cần kiểm tra điều kiện để phương trình dạng (2.4.2.) là

phương trình đường tròn trước khi xác định tâm và bán kính.

Nhận xét:

2

2

+

−

−

SGK HH10 giới thiệu phương •

x

y

ax

=+ c

2

by 2

0

trình là phương trình đường tròn. Tuy nhiên, không

phải lúc nào phương trình (4.2.2.) cũng là phương trình đường tròn, SGK đã nhấn

mạnh điều đó bằng cụm từ “khi và chỉ khi”. Điều kiện này là một ràng buộc mà

học sinh cần phải kiểm tra khi xét phương trình loại này có phải là đường tròn

hay không? Mặc dù SGK có trình bày về điều kiện cần và đủ để phương trình

(4.2.2.) là đường tròn, nhưng điều kiện này không được giải thích một cách

tường minh mà được đưa ra như là một điều kiện bắt buộc.

Đối với phương trình đường tròn dạng •

(4.2.1.) thì bán kính R được hiểu ngầm ẩn là một số dương thông qua hình vẽ

2

2

+

a

b

>− c

0

trực quan. Quan điểm đó, vẫn được thể hiện ở phương trình dạng (4.2.2.) với

điều kiện . Có thể nói, SGK không chấp nhận “điểm” là một đường

tròn suy biến. Đây là một điểm khác so với một số khái niệm về đường tròn ở bậc

đại học.

SGK chỉ giới thiệu hai dạng phương trình •

Descartse của đường tròn, hai dạng còn lại vắng bóng cho đến cấp độ đại học

mới được tiếp cận. Một trong những nguyên nhân là do ứng dụng của nó ở thể

chế THPT chưa cần sử dụng hay nghiên cứu.

2.4.2. Các tổ chức toán học liên quan đường tròn trong Hình học10

2

2

+

+

+

Trong SGK HH 10 và SBT HH 10, chúng tôi tìm thấy các kiểu nhiệm vụ sau:

Mx

My

2

ax

by 2

=+ c

0

.  Ttam,bk: Tìm tâm và bán kính đường tròn dạng

tam,τ

bk

: o Kĩ thuật

2

2

+

−

−

40

x

y

2

ax

2

by

=+ c

0

2

2

+

+ Chuyển phương trình về dạng .

a

b

>− c

0

. Kiểm tra điều kiện

2

2

=

+

−

+ Tìm tâm I (a, b) bằng các lấy hệ số của x và y chia cho số “-2”.

R

a

b

c

. + Tìm bán kính

tam,θ : được thể hiện trong phần nhận xét sau:

bk

2

2

+

−

−

“Ngược lại, phương trình

là phương trình của đường tròn

x

y

2

ax

by 2

=+ c

0

2

2

+

(C) khi và chỉ khi

. Khi đó đường tròn (C) có tâm là I (a, b) và bán kính

a

b

>− c

0

2

2

=

+

−

” [13, tr. 82].

R

a

b

c

o Ví dụ:

“Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

2

2

+

−

−

0

2

=− 2

) xa

y

y

2 x 2

2

+

+

−

−

=

y

b

x

x

y

16

8

11

0

16 2

16) 2

+

−

+

=−

y

x

y

xc )

4

6

03

“ [13, tr.83].

Công nghệ o

2

2

+

−

−

2

2

=− 2

0

x

y

x

y

“a) Xét đường tròn

(C1 )

+

(C1)có tâm I (1;1) và bán kính

2

=R

2 1

2 1

=+ 2

.

2

2

+

+

−

−

=

x

y

x

y

16

16

16

8

11

0

b)

(C2 )

2

2

−

=

0

y

y

−+ x

+⇔ x

1 2

11 16

−

+

+

=

) và bán kính

.

;

(C2 ) có tâm I (

=R

1

1 4

1 2

1 4

1 16

11 16

2

2

+

−

+

=−

x

y

x

y

4

6

03

(C3 )

=++

=R

394

4

(C3) có tâm I (2;-3) và bán kính

” [15, tr.100-101].

Lời giải trình bày trong SGV:

o Nhận xét:

2

2

+

Như vậy, đối với kiểu nhiệm vụ này thì tất cả các bài tập trong SGK và SBT đều

a

b

>− c

0

. Tuy cho phương trình đường tròn ở dạng (2) và đều thỏa điều kiện

nhiên, kiểu nhiệm vụ này vẫn còn tồn tại trong các dạng bài tập khác mặc dù không

41

được yêu cầu tìm tâm và bán kính, nhưng HS cũng cần phải chỉ ra tâm và bán kính để

2

2

+

−

+

trả lời cho câu hỏi khác của bài toán. Chẳng hạn như:

“Cho đường tròn (C ):

và điểm A(1;3).

6

2

=+ 6

0

x

y

x

y

a) Chứng tỏ điểm A nằm ngoài đường tròn.

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C ) xuất phát từ điểm A.” [13, tr. 171].

Để làm được câu a thì học sinh cần xác định tâm I và bán kính R. Sau đó, HS

cần tính khoảng cách IA và so sánh với bán kính.

“Đường tròn (C) có tâm I (3, -1) và có bán kính R= 2, ta có:

2

2

−−+

=

IA=

− )13(

)31(

52

IA> R, vậy A nằm ngoài (C)” [15, tr.160].

Lời giải trình bày trong SGV:

 T lpt : Lập phương trình của đường tròn.

1

lptτ :

Chúng tôi xét KNV này trên hai kĩ thuật:

o Kĩ thuật

2

2

2

+

=

- Tìm tọa độ tâm I(a;b) và bán kính R.

(

− ax

)

(

− by

)

R

. - Lập phương trình đường tròn dạng:

lptθ : định nghĩa phương trình đường tròn.

+ Công nghệ 1

“Lập phương trình đường tròn(C) trong trường hợp (C) có đường kính AB với

A (1; 1) và B (7; 5)” [13, tr. 83].

+ Ví dụ:

“Ta có A (1;1), B (7;5).

Tâm I của (C )là trung điểm của AB nên suy ra I có tọa độ (4;3).Gọi R là bán kính

2

2

của(C ), ta tính được

.

=+= 49

13

R

= IA

Phương trình đường tròn dạng(C )là :

2

2

−

+

−

=

” [15, tr.101].

)4

(

)3

13

(

x

y

2

lptτ

Lời giải trình bày trong SGV:

2

2

+

−

−

:

x

y

ax

2

by 2

=+ c

0

o Kĩ thuật -Gọi (C) có dạng .

42

-Từ dữ liệu đề bài lập hệ ba phương trình theo ba ẩn a,b,c.

- Giải hệ phương trình tìm a, b, c.

- Kết luận phương trình đường tròn.

lptθ : định nghĩa phương trình đường tròn.

2

2

+

−

−

“Phươngtrình

x

y

2

ax

by 2

=+ c

0

là phương trình của đường tròn (C) khi

2

2

+

và chỉ khi

. Khi đó đường tròn (C) có tâm là I (a, b) và bán kính

a

b

>− c

0

2

2

=

+

−

” [13, tr. 82].

R

a

b

c

+ Công nghệ 3

“Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm

A(1; 2) B(5;2) C(1;-3)” [13, tr.84].

+ Ví dụ:

“Ta có: A(1; 2);B(5;2);C(1;-3)

2

2

+

−

−

Phương trình của đường trình có dạng (C ):

(1)

x

y

2

ax

by 2

=+ c

0

Thay tọa độ A, B, C vào (1) ta được hệ phương trình

=

a

−

−

−=+

−

=+

⇔

=

⇔

−

0 =+

0

−

5 −=+ 29 10

4 cb − 4 cb =+ 0

2 a 10 a + 2 a

4 cb − 4 cb −=+ 6 cb

a 10 a + 6 cb

a

    

−+  241  −+ 25 4   −+ 291 

3 − 1 2 −= 1

   b    c 

2

2

+

−

=−+

Vậy (C ) phương trình

” [15, tr.102].

x

y

6

x

01

y

Lời giải trình bày trong SGV:

1

+ Nhận xét:

lptτ

2

Trong hai kĩ thuật, chúng tôi nhận thấy kĩ thuật là kĩ thuật có tính khái quát

lptτ vì chúng ta

cao, nó có thể giải quyết các bài toán kể cả trường hợp dùng kĩ thuật

2

lptτ thì chúng ta cần phải xác định các hệ số a, b, c của phương trình bằng việc giải hệ

chỉ cần xác định hai yếu tố là tâm và bán kính của đường tròn. Trong khi đó, kĩ thuật

phương trình.

lptτ là chúng ta cần phải xác định điều kiện của phương trình

2

2

+

Đặc trưng của KNV 2

a

b

>− c

0

. Tuy nhiên, học sinh có thật sự kiểm tra điều kiện này đường tròn là

hay không khi học sinh gặp bài toán lập phương trình đường tròn. Chính vì thế, chúng

tôi nhận thấy tồn tại một giả thuyết là sự tồn tại của quy tắc hợp đồng sau:

43

“Khi gặp bài toán lập phương trình đường tròn, học sinh không có trách nhiệm

kiểm tra sự tồn tại của đường tròn hay tính hợp thức của phương trình đường tròn.”

gđτ :

 Tgđ: Tìm giao điểm của đường thẳng ∆ và đường tròn (C)

o Kĩ thuật

+ Gọi M là giao điểm của (C) và ∆ .

+ M thuộc ∆ , xác định tọa độ M theo một tham số.

+ Thay tọa độ M vào phương trình (C), tìm tham số.

+ Kết luận giao điểm.

o Nhận xét:

Kiểu nhiệm vụ này chỉ được đề cập đến trong SBT, mà hoàn toàn không được giới

thiệu trong SGK. Chính vì thế, yếu tố lý thuyết và công nghệ không được SGK nhắc

đến. Tuy nhiên, những yếu tố này HS cũng đã biết đến như giải phương trình bậc hai

và tìm giao điểm của parabol và đường thẳng ở lớp 9.

 T cmqt : Chứng minh quỹ tích điểm là một đường tròn.

o Kĩ thuật cmqtτ :

+ Gọi M (x, y) là điểm thỏa yêu cầu bài toán.

+ Từ dữ liệu đề bài, ta thiết lập phương trình và đưa về đúng dạng phương trình

đường tròn.

“Cho 3 điểm A (1; 2); B (-3; 1); C (4; -2). Chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x;y) thỏa mãn MA2 + MB2 = MC2 là một đường tròn” [13, tr.196].

o Ví dụ:

2

2

2

+

=

MA

MC

MB 2

2

2

2

2

2

+

−

+

+

+

−

=

−

+

+

)1

(

)2

(

)3

(

)1

(

)4

(

)2

y

x

y

x

y

−⇔ ( x 2

2

+

−

0

12

10

=− 5

+⇔ x

y

x

y

Vậy tập hợp các điểm M là một đường tròn [16, tr.202].

Lời giải trong SBT:

o Nhận xét:

Khác với các lớp dưới cần sử dụng “khoảng cách” hay “góc” để kết luận quỹ tích

các điểm là đường tròn thì ở đây, kĩ thuật hoàn toàn là biến đổi đại số để làm xuất hiện

44

“phương trình đường tròn”. Như vậy, kiểu nhiệm vụ này hiện diện ở lớp 10 gắn liền

với tiếp cận đường tròn theo phương trình.

Bảng 2.2. Bảng thống kê các KNV liên quan đến đường tròn trong lớp10

Số bài tập trong SGK Số bài tập trong SBT Kiểu Kĩ thuật Tổng nhiệm vụ Ví dụ Bài tập Ví dụ Bài tập

tam,

tam,τ

bk

0 8 4 2 2 T bk

lpt

1τ

2 18 10 1 5

lpt

T lpt 0 3 0 1 2

2τ gđτ

0 2 2 0 0 T gđ

cmqtτ

0 2 1 0 1 T cmqt

Nhận xét:

Từ việc tìm hiểu các tổ chức toán học, chúng tôi thấy rằng kiểu nhiệm vụ lập

phương trình đường tròn là một nhiệm vụ trọng tâm với tỉ lệ bài tập cao hơn các kiểu

nhiệm vụ khác. Mặc dù đường tròn đang được nghiên cứu trong tọa độ (phương trình),

nhưng tiếp cận về “khoảng cách” của đường tròn vẫn tồn tại, đây được xem là một

quan điểm “cốt lõi” của đường tròn. Các yếu tố kỹ thuật, công nghệ, lý thuyết hầu như

không được SGK giới thiệu rõ.

Đường tròn trong chương trình Hình học lớp 10 được tiếp cận theo tiếp cận

“phương trình”. Mục đích của SGK HH 10 chỉ cho HS làm quen với các dạng phương

trình đường tròn. Trong khi đó, vai trò công cụ của phương trình đường tròn thì không

được SGK chú ý đến. Đường tròn theo “phương trình” còn có một vai trò hết sức quan

trọng, nó có thể giải quyết các bài toán khó khăn của hình học tổng hợp, mọi vấn đề

của đường tròn đều được đưa về phương trình và tọa độ thì không được SGK giới

thiệu. Từ đây, chúng tôi đặt ra câu hỏi: Khi gặp một bài toán liên quan đến đường tròn

mà kỹ thuật hình học tổng hợp rất phức tạp, thì liệu học sinh có nghĩ đến việc xây

dựng hệ trục tọa độ và lập phương trình đường tròn để giải quyết?

2.5. Đường tròn trong lượng giác lớp 10 và vật lý lớp 10

2.5.1. Đường tròn trong lượng giác lớp 10

45

Trong phạm vi lượng giác, các đối tượng hình học được nghiên cứu mở rộng hơn. Nó

không đơn thuần là những đối tượng hình học mà nó được “định hướng” như đường

tròn định hướng, cung và góc lượng giác,…Để chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm

các hàm số lượng giác lớp 11, SGK Đại số10 đã cho HS làm quen với những cách tiếp

cận mới về đối tượng “định hướng” trong đó có đường tròn định hướng.

[9, tr. 134]

Bằng việc xác định “hướng”, đường tròn trở thành công cụ cho việc nghiên cứu

các tính chất của lượng giác. Trên đường tròn định hướng, SGK giới thiệu cho HS về

“ Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác

điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là

”.

cung lượng giác và góc lượng giác.

[9, tr.134]

[9, tr.135]

Những đối tượng góc trong hình học, chúng hoàn toàn xác định. Trong khi đó,

trong lượng giác, chúng có vô số cách xác định và giá trị. Có thể nói, góc lượng giác

được xem là góc “định hướng” và nó thỏa mãn hệ thức Sa-lơ. Tuy nhiên, SGK ĐS 10

không đề cập đến khái niệm đường tròn theo “góc”, mà đường tròn ở đây được xem là

một công cụ để nghiên cứu các tính chất về lượng giác như đường tròn lượng giác.

46

[9, tr.136]

Với cách tiếp cận này, thì số đo góc lượng giác và cung lượng giác là một số

thực, có thể âm hay dương. Từ công thức , chúng tôi có thể

thấy rằng giá trị số đo của cung là một giá trị cụ thể α cộng thêm số đo của k lần

đường tròn.

Trên đường tròn lượng giác, người ta quan tâm vị trí của M ứng với góc

quayαvà các giá trị lượng giác liên quan đến cung lượng giác.

[9, tr. 137]

Như vậy, trên đường tròn lượng giác chúng ta có thể xác định được tọa độ của M

(cos

αα sin; )

α

≤

. Điều này cho thấy đường tròn trong lượng giác là tập hợp tất cả các là

0

≤ πα 2

= =

α

x y

cos sin

  

, với , ngầm ẩn cho sự xuất hiện phương trình điểm M thỏa

đường tròn theo tham số. Do đó, đường tròn trong SGK ĐS10 không phải là đối tượng

47

để nghiên cứu nhưng nó là công cụ để tiếp cận lượng giác thông qua việc xây dựng

đường tròn lượng giác.

2.5.2. Đường tròn trong Vật lý 10

Trong Vật lý, đường tròn được sử dụng như một công cụ hổ trợ để giải quyết các

bài toán hoặc nó cũng có thể được xem là một “mô hình” để nghiên cứu. Trong SGK

Vật lý 10, đường tròn xuất hiện trong bài “chuyển động tròn đều”. Khác với Toán học,

vật lý không nghiên cứu trên các tính chất của đường tròn, mà nó sử dụng đường tròn

cho quá trình chuyển động, cái mà Vật lý 10 quan tâm là hai đại lượng gia tốc và vận

tốc. Với chuyển động của một điểm M trên đường tròn, nó được xem như là mô hình

trong đường tròn lượng giác.

[1, tr 29].

Sự chuyển động của chất điểm M trên đường tròn, nếu xét trên toán học là góc

quay bán kính OM, ứng với cung tròn đi được thì số đo góc ở tâm sẽ tương ứng. Khái

niệm tốc độ góc chỉ nói lên sự quay nhanh hay chậm của bán kính OM.

[1, tr.30].

Trên mô hình “chuyển động tròn”, nhờ các tính chất của đường tròn mà chúng ta

có thể chứng minh được các công thức trong Vật lý. Cụ thể:

+ Chu kì T của chuyển động tròn đều là thời gian để vật đi được một vòng tròn. Khái

niệm này sẽ cho chúng ta biết quá trình chuyển động tuần hoàn của một chất điểm, hay

=T

xác định khoảng thời gian các chất điểm gặp nhau và quãng đường đi được.

π2 ω

Công thức:

48

Việc chứng minh công thức chu kỳ T đều dựa trên tính chất của đường tròn. Thật

=ω

Ta có:

, do chất điểm chuyển động một vòng tức góc quay là 3600, chuyển sang radian

∆ a ∆ t

ω

=

=⇒=

T

là π2 . Do đó,

π 2 ω

∆ a ∆ t

π 2 T

vậy:

Hay trong việc chứng minh công thức liên hệ giữa tốc độ dài và tốc độ góc đều liên

quan tính chất của đường tròn.

[1, tr.31].

Như vậy, đường tròn trong Vật lý 10 xuất hiện như một “mô hình” để nghiên

cứu sự chuyển động tròn đều của chất điểm. Quan điểm đường tròn theo “khoảng

cách” được SGK Vật lý cũng như các môn khoa học khác nghiên cứu và chú ý nhiều

hơn.

2.6. Kết luận chương 2

Đường tròn là một đối tượng được nghiên cứu trong toán học phổ thông. Nó xuất

hiện xuyên suốt trong các phân môn của toán như Hình học và cả trong Đại số-Giải

tích với các cách tiếp cận khác nhau:

• Tiếp cận theo “khoảng cách”: Đường tròn là quỹ tích (tập hợp) tất cả những

điểm M trong mặt phẳng cách đều một điểm I cố định bằng một khoảng R cho

trước. Đây là cách tiếp cận được sử dụng phổ biến, nó xuất hiện ở mọi cấp từ

tiểu học đến phổ thông.

• Tiếp cận theo “góc”: Đường tròn là quỹ tích những điểm M sao cho góc định

hướng giữa hai đường thẳng MA, MB là không đổi. Cách tiếp cận này chỉ xuất

hiện trong chương trình Toán lớp 9, do chưa được tiếp cận về góc định hướng

49

nên khái niệm này xuất hiện ngầm ẩn trong các tính chất và hệ quả của bài toán

2

2

+

+

+

quỹ tích “góc chắn cung” và tứ giác nội tiếp.

=+ c

by 2

.0

ax

2

y

(x,y) thỏa mãn phương trình bậc hai • Tiếp cận theo “phương trình”: Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm M Cách tiếp cận x

này được trình bày trong phạm vi của hình học giải tích ở lớp 10. Tuy nhiên,

vai trò công cụ của đường tròn theo tiếp cận “phương trình” thì không được thể chế quan tâm.

Theo các định nghĩa mà Artigue đã nêu thì định nghĩa (2), (3), (4), (5) và (6)

trong thể chế ở bậc phổ thông thì không xuất hiện. Đường tròn trong SGK Việt Nam

chỉ tập trung trên định nghĩa (1), nó được xem là định nghĩa “cốt lõi” của đường tròn.

Ngoài ra, đường tròn còn trở thành “mô hình” cho sự nghiên cứu của các phân môn

khác như vật lý và cả trong nội tại Toán học. Có thể nói, đường tròn đóng vai trò hết

sức quan trọng trong toán học và các phân môn khác.

Qua phân tích thể chế chúng tôi thấy tồn tại giả thuyết H về sự tồn tại của quy tắc

hợp đồng sau:

“Khi gặp bài toán lập phương trình đường tròn, học sinh không có trách nhiệm

kiểm tra sự tồn tại của đường tròn hay tính hợp thức của phương trình đường

tròn.”

Đồng thời, chúng tôi nhận thấy rằng đường tròn xuất hiện trong chương trình phổ

thông với các cách tiếp cận khác nhau. Đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách” thì

được SGK ưu tiên chọn lọc trình bày, trong khi các cách tiếp cận khác chỉ ngầm ẩn

xuất hiện và được giới thiệu rất hạn chế. Đường tròn được nghiên cứu trong các phạm

vi khác nhau như hình học tổng hợp với tiếp cận “khoảng cách” và tiếp cận theo

“góc”. Trong khi đó, với hình học tọa độ thì đường tròn được tiếp cận theo “phương

trình”. Đường tròn theo các cách tiếp cận khác nhau đều có các ứng dụng riêng, tức

mỗi quan điểm tiếp cận, SGK nghiên cứu vai trò công cụ của đường tròn trên từng

cách tiếp cận đó. Tuy nhiên, vai trò công cụ của đường tròn theo tiếp cận “phương

trình” thì không được SGK quan tâm. Còn theo tiếp cận về “góc” thì vai trò công cụ

của đường tròn được tiếp cận rất hạn chế. Từ đây, dẫn chúng tôi đến việc đặt ra các

câu hỏi nghiên cứu sau:

50

“Trong quan hệ cá nhân HS, đường tròn gồm những cách tiếp cận nào? Liệu

chăng, HS có sử dụng được đường tròn như một công cụ trong việc giải

quyết các bài toán?”

Với những câu hỏi nghiên cứu và giả thuyết trên, trong chương 3 chúng tôi sẽ xây

dựng những bài toán để kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết và tìm ra các câu hỏi

nghiên cứu. Qua đó, chúng tôi muốn cho HS hiểu rõ hơn về vai trò công cụ của đường

tròn trong việc giải quyết các bài toán.

51

Chương 3. THỰC NGHIỆM

3.1. Mục tiêu của chương

Sau khi phân tích chương trình và sách giáo khoa , chúng tôi đã đưa ra giả

thuyết H về sự tồn tại của quy tắc hợp đồng sau:

“Khi gặp bài toán lập phương trình đường tròn, học sinh không có trách

nhiệm kiểm tra sự tồn tại của đường tròn hay tính hợp thức của phương trình

đường tròn.”

Mặt khác, đường tròn được trình bày ở phổ thông với nhiều cách tiếp cận khác

nhau, nhưng HS đã biết đến những tiếp cận nào? Chính vì thế, chúng tôi đặt ra câu hỏi

nghiên cứu:

“Trong quan hệ cá nhân HS, đường tròn gồm những cách tiếp cận nào? Liệu

chăng, HS có sử dụng được đường tròn như một công cụ trong việc giải quyết

các bài toán?”

Ở đây, chúng tôi tiến hành nghiên cứu thực nghiệm bằng việc xây dựng các bài

toán nhằm mục đích là kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết H và tìm câu trả lời

cho câu hỏi nghiên cứu trên.

3.2. Đối tượng thực nghiệm và hình thức thực nghiệm

Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 10, sau khi học sinh học xong bài “phương

trình đường tròn”. Tất cả học sinh tham gia thực nghiệm đều được sử dụng máy tính

bỏ túi. Thực nghiệm chia làm hai phần: thực nghiệm 1 và thực nghiệm 2.

+ Trong thực nghiệm 1, với hai bài tập được giải sẵn và câu hỏi để khảo sát. HS làm

việc cá nhân, các em có nhiệm vụ nhận xét và cho điểm hai lời giải giả định và trả lời

câu hỏi.

+ Với thực nghiệm 2, HS được làm việc theo nhóm để trả lời 3 câu hỏi được phát lần

lượt trong 3 phiếu thực nghiệm. Với câu hỏi 1, thời gian là 10 phút, câu hỏi 2 và 3 thời

gian trả lời của nhóm là 15 phút cho mỗi câu hỏi. Sau đó, GV sẽ cho lớp thảo luận bài

52

làm của các nhóm để tìm ra phương án tối ưu. Đồng thời giáo viên sẽ tổng kết và đưa

ra vai trò công cụ của “đường tròn” theo từngcách tiếp cận.

3.3. Nội dung thực nghiệm

3.3.1. Thực nghiệm 1

Chúng tôi xây dựng thực nghiệm 1 nhằm tìm ra câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu:

Trong quan hệ cá nhân HS, đường tròn gồm những cách tiếp cận nào? Đồng thời, với

tri thức phương trình đường tròn mà học sinh đã được học ở lớp 10, chúng tôi kiểm

chứng giả thuyết H về sự tồn tại của quy tắc hợp đồng sau: “Khi gặp bài toán lập

phương trình đường tròn, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra sự tồn tại của

đường tròn hay tính hợp thức của phương trình đường tròn.”

3.3.1.1. Giới thiệu câu hỏi thực nghiệm

Câu hỏi 1:

Em hãy nêu vài cách phát biểu khác nhau về định nghĩa đường tròn? Câu hỏi 2: Cho 2 bài toán:

Bài1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (-1; 0) và điểm M (-1;-2). Em hãy viết

∆

=−−

phương trình đường tròn (C) đi qua M, có tâm I thuộc đường thẳng

(

:)

x

01

y

và thỏa IA =2.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : 3x+ 4y-12 =0 cắt hai trục Ox

tại A, và Oy tại B. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Sau đây là lời giải của 2 học sinh lớp 10. Em hãy cho điểm vào bảng bên dưới và giải

thích vì sao em cho điểm như vậy.

2

2

+

−

−

“HS1- làm Bài 1:

x

y

ax

=+ c

2

by 2

0

∆

=−−⇒=−−

Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng:

(

:)

x

01

ba

01

y

=++

cb 4

5

)2(0

)

2

a

=

+

+⇒∈−− M C ( )2;1(  IA

a

b ),1

(

2

2

+⇔=

+

=

AI

a

b

2

(

)1

)3(4

Tâm I (a,b) thuộc (1)

=

a

1

)4(

=

0

−= a

1

  b 

⇔

53

2

2

+

+

−

=

a

a

)1

(

)1

4

a

−= 1

 b  ( 

)5(

−= 2

  b 

      

2

2

−=

+

−

Từ (1) và (3) ta có hệ:

c

C :)1(,7

x

y

2

x

=− 7

0

2

2

=

+

+

+

=+

Từ (4) và (2) ta có

c

C :)2(,5

x

y

2

x

4

y

05

Từ (5) và (2) ta có

HS2- làm bài 2:

Ta có: A (4;0) ; B (0;3).

=

=

=⇒∆

Gọi I (a, b) là tâm đường tròn, do đường tròn nội tiếp tam giác OAB

,( Id

Ox

)

,( Id

Oy

)

,( Id

ba

)

Nên Hay tâm I (a, a)

Ta

−

=

7

a

12

a

1

2

2

2

⇔=

−⇔=

=

Id ,(

=∆ )

aR

7(

a

a

)12

25

a

−⇔ a

7

a

⇔=+ 06

=

a

6

25

  

có:

Vậy đường tròn là: (C1): (x-1)2+ (y-1)2 =1 và (C2) :(x-6)2+(y-6)2 =36

HS Điểm Lý do

HS1

HS2

3.3.1.2. Phân tích tiên nghiệm

Câu hỏi 1:

Chúng tôi đưa ra câu hỏi 1 nhằm để đánh giá quan điểm cá nhân của HS về khái

niệm đường tròn. Cụ thể, chúng tôi muốn tìm hiểu xem HS hiểu như thế nào về đường

tròn, có những cách phát biểu nào khác ngoài phát biểu theo “khoảng cách” mà các em

đã biết ở lớp 6.

• Biến tình huống và giá trị của chúng

 Biến V1.1: Hình thức làm việc

54

Có ba hình thức làm việc có thể được tổ chức là: làm việc cá nhân, làm việc theo

nhóm và làm việc tập thể. Trong thực nghiệm này, chúng tôi ưu tiên chọn cách làm

việc theo cá nhân vì chúng tôi muốn mỗi cá nhân HS đều thể hiện quan điểm của mình

về đường tròn. Từ đó, chúng tôi có thể biết học sinh đang quan điểm như thế nào về

đường tròn, có những cách tiếp cận nào về đường tròn hiện diện ở học sinh.

 Biến V1.2: Số phương án trả lời được yêu cầu

Trong câu hỏi trên, chúng tôi yêu cầu HS đưa ra nhiều cách phát biểu khác nhau

về đường tròn.Việc chọn biến như vậy nhằm tạo động lực để các em tìm thêm những

câu trả lời phù hợp theo suy nghĩ cá nhân.

• Các câu trả lời có thể

TL1: Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm M cách đều một điểm I cố định bằng

một khoảng R cho trước.

2

2

+

+

+

TL2: Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm M (x,y) thỏa mãn phương trình

x

y

2

ax

2

by

=+ c

.0

bậc hai

TL3: Đường tròn là quỹ tích những điểm M nhìn một đoạn thẳng dưới một góc

vuông.

TL4: Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng.

Câu hỏi 2:

Với câu hỏi này, chúng tôi xây dựng hai bài toán với lời giải được cho sẵn.

Phương trình đường tròn trong hai bài toán này được lập theo hai dạng khác. Ở đây,

HS cần phải kiểm tra sự tồn tại cũng như là tính hợp thức của phương trình đường

tròn. Trong bài 1, chúng tôi chọn kết quả bài toán có sự xuất hiện của phương trình

2

2

+

+

+

=+

“điểm”, tức phương trình đường tròn có bán kính bằng không. Đó là phương trình

C :)2(

x

y

2

x

4

y

05

. Theo thể chế ở bậc đại học thì “ điểm” vẫn được xem

là đường tròn suy biến thông qua khái niệm “siêu cầu điểm”. Trong khi đó, “điểm” lại

không được thừa nhận là đường tròn suy biến ở thể chế phổ thông. Điều này không

2

2

+

được SGK nói rõ, mà nó chỉ được thể hiện ngầm ẩn thông qua điều kiện của phương

0

a

b

>− c

trình đường tròn là .

55

Ở bài2, chúng tôi xây dựng hai phương trình đều là phương trình đường tròn.

Tuy nhiên, có một phương trình không thỏa mãn yêu cầu đề bài, vì nó là phương trình

2

2

−

+

−

=

đường tròn bàng tiếp chứ không phải đường tròn nội tiếp. Đó là phương trình

(

x

)6

(

y

)6

36

có bán kính R= 6 > d (A, Oy) =4. Từ cách cho điểm và lý giải

của học sinh thì chúng tôi có thể biết HS có kiểm tra sự tồn tại của đường tròn hay tính

hợp thức của phương trình đường tròn hay không. Chúng tôi lựa chọn các biến nhằm

làm nảy sinh những mâu thuẫn trong học sinh và nhằm tạo điều kiện cho HS kiểm tra

sự tồn tại của đường tròn cũng như là tính hợp thức của phương trình đường tròn. Nếu

HS cho điểm cao mà không có sự lý giải hay phát hiện ra sai sót nào thì điều này cho

phép chúng tôi kiểm chứng được tính hợp thức của giả thuyết H.

• Một số lựa chọn sư phạm trong các bài toán thực nghiệm:

Đối với bài 1, dạng phương trình đường tròn được lập trong bài toán có thể có 2

2

2

2

+

=

lựa chọn :

(

− ax

)

(

− by

)

R

2

2

+

−

−

+ Phương trình đường tròn dạng

x

y

2

ax

by 2

0

2

2

+ Phương trình đường tròn dạng . =+ c

+

−

x

y

2

ax

by 2

=+ c

0

. − Chúng tôi sử dụng phương trình đường tròn dạng trong

2

2

+

bài tập 1. Do đó, đòi hỏi HS cần phải làm rõ tâm và bán kính, cũng như kiểm tra điều

a

b

>− c

0

. Nếu HS có kiểm tra điều kiện hợp thức của phương trình đường tròn là

kiện trên thì HS sẽ phát hiện ra phương trình (C2) không phải là phương trình đường

tròn mà nó chỉ là một điểm.

Trong bài 2, với yêu cầu bài toán lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác,

thì HS có thể dự đoán đáp số chỉ là một phương trình đường tròn do tính chất đã học ở

lớp 9. Trong khi đó, bài giải giả định lại kết luận hai phương trình đường tròn đều thỏa

mãn là đường tròn nội tiếp tam giác. Điều đó gây “mâu thuẫn” cho HS và HS cần phải

kiểm tra lại sự tồn tại của hai đường tròn này, phương trình đường tròn nào mới đúng

là đường tròn nội tiếp.

• Các câu trả lời có thể

Bài 1:

56

Điểm Lý do có thể

Dưới 5 - Kết luận phương trình đường tròn sai

- Bài toán kết luận sai, do HS1 không kiểm tra điều

kiện của phương trình đường tròn. Do đó,chỉ có

một phương trình thỏa mãn là (C1) còn (C2)

2

2

2

2

không phải là đường tròn

+

−=−

−+

=−

a

b

)1(

c

)2(

05

Điểm từ 5 đến 8 do

- Do kết luận sai tâm I của đường tròn. Với tâm

I(-1;-2) trùng với điểm M(-1;-2) thì đường tròn này

có bán kính R=0, nên trường hợp (C2) loại.

- Bài giải đúng, còn một số lỗi nhỏ như làm tắt,…

Điểm 9-10 - Bài giải hoàn toàn đúng, không có lỗi sai tính toán.

Bài 2:

Điểm Lý do có thể

- Bài giải sai do đường tròn nội tiếp tam giác chỉ có

Dưới 5 một, trong khi đó lời giải của HS có tới hai

phương trình đường tròn thỏa mãn.

- Đường tròn (C2) là phương trình đường tròn bàng

tiếp

+ Do (C2) có bán kính R2 =6 > d (A, Oy) =4 nên

Điểm từ 5 đến 8 không thể là đường tròn nội tiếp .

+ Do thử lại bằng hình vẽ thông qua hệ trục tọa độ

57

- Bài giải hoàn toàn đúng, không có lỗi sai tính

Điểm 9-10 toán.

Chúng tôi căn cứ vào lý do của học sinh để đánh giá quan điểm của các em về

hai bài toán. Tuy nhiên, về mặt điểm số, nó cũng nói lên một phần sự đánh giá của học

sinh với 2 bài làm trên. Cách phân bố điểm từ 9 đến 10, có thể đánh giá học sinh chưa

nhận thấy sai lầm trong mỗi bài toán vì những sai lầm này ảnh hưởng đến 50% kết quả

bài toán.

3.3.1.3.Phân tích hậu nghiệm

Đối tượng mà chúng tôi dự định thực nghiệm là HS lớp 10, sau khi HS đã học

xong bài “Phương trình đường tròn”. Tuy nhiên, do giai đoạn chúng tôi thực nghiệm

trùng vào lúc HS đã nghỉ hè, nên chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên đối tượng là HS

chuẩn bị lên lớp 11. Với kiến thức đã biết về đường tròn của HS lớp 11, chúng tôi có

thể kiểm chứng được các giả thuyết mà chúng tôi đã đặt ra.

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 20 học sinh của lớp 11, trường THPT Trần

Đại Nghĩa, Quận 1. TP. HCM và 59 học sinh của hai lớp 11, trường THPT Vĩnh Bình,

Gò Công Tây, Tiền Giang. Kết quả thực nghiệm được thống kê sau đây:

Câu hỏi 1:

Kết quả điều tra câu hỏi 1, chúng tôi thu được bảng thống kê sau:

Bảng 3.1. Thống kê các câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1

TL1 TL2 TL3 TL4 Khác

Trả lời (gắn với (gắn với (gắn với (gắn với trục

khoảng cách) phương trình) góc) đối xứng)

Số HS 76 21 7 0 4

Tỉ lệ 96,20% 26,58% 8,86% 0% 5,06%

Đa số học sinh đều trả lời theo TL1 với tỉ lệ là 96,20% (76/79HS). Trong khi đó,

các cách trả lời khác chiếm tỉ lệ rất ít như TL2, tức đường tròn theo tiếp cận phương

trình chiếm 26,58% (21 /79 HS) và TL3, đường tròn tiếp cận theo góc là 8,86% (7/79

HS).

Sau đây là một vài câu trả lời điển hình cho TL1 và TL2 của học sinh:

Bài làm của HS 4:

58

Bài làm của HS 32:

Một số ít HS cũng nghĩ đến cách định nghĩa đường tròn theo tính chất mà các em đã

được học ở cấp dưới. Đó là tính chất “những điểm nằm trên đường tròn nhìn đường

kính dưới một góc vuông”. Đây cũng được xem như là dạng trả lời theo TL3 “đường

tròn là quỹ tích những điểm M nhìn một đoạn thẳng dưới một góc vuông”.

Bài làm của HS 23:

Bài làm của HS 12:

Với phương án trả lời này, HS2 quan niệm đường tròn là “một đường cong khép kín”.

Câu trả lời này có thể được xem như là một dạng mô tả, tuy nhiên chưa thể hiện được

tính chất của đường tròn vì phát biểu của HS2 chưa chính xác. Ngoài ra, chúng tôi còn

tìm thấy một số câu trả lời khác như của HS8: “đường tròn là một elip có tâm sai e=1”

hay “đường tròn là một vòng tròn, có chu vi là hình tròn” của HS 17.

59

Bài làm của HS 8:

Bài làm của HS17:

Với bảng thống kê trên, chúng tôi có thể kết luận rằng trong suy nghĩ của đa số HS

thì đường tròn gắn liền với tiếp cận “khoảng cách”, còn các cách tiếp cận khác, chỉ

hiện diện ở một số HS. Đặc biệt là quan điểm đường tròn theo “góc” không được

nhiều HS đưa ra trả lời mà chỉ có 7 HS đề cập đến.

Câu hỏi 2:

Với bài toán này chúng tôi thu được kết quả sau:

Bảng 3.2. Thống kê các điểm số mà học sinh cho điểm trong câu hỏi 2

Điểm số Dưới 5 Từ 5-8 Từ 9-10

HS1 2 46 31

Số HS (2,53%) (58,23%) (39,24%)

HS2 4 28 47

(5,06%) (35,44%) 59,50%

Ở bài 1, chúng tôi thu được:

2

2

+

a

b

>− c

0

+ Có tới 31/79 HS không phát hiện ra điểm sai trong lời giải của HS1. Đó là việc HS1

thiếu điều kiện nên dẫn đến không loại đường tròn (C2). Cụ thể, chúng

tôi có các bài làm của HS sau:

Bài làm của HS19:

60

Bài làm của HS 17:

Trường hợp này, HS17 chấp nhận điểm là đường tròn vì trong điều kiện có dấu “=”

nên HS này chỉ trừ điểm vì thiếu điều kiện.

+ Có tới 48/79 HS phát hiện ra cái sai của bài làm HS1. Đa số học sinh đều nhận thấy

phương trình (C2) bị thừa do HS1 quên xét điều kiện. Sau đây là các lời giải điển hình:

Bài làm của HS 73:

Bài làm của HS 5:

Như vậy trong bài 1, có khoảng 34,29 % HS quên xét điều kiện của phương trình

đường tròn, tức vẫn tồn tại một số học sinh vẫn không quan tâm đến sự tồn tại của

đường tròn cũng như tính hợp thức của phương trình đường tròn.

61

Đối với bài 2, có tới 47/79 HS không phát hiện ra chỗ sai của HS2. Quan niệm sai lầm

này là do HS2 chưa xét tính hợp thức của phương trình đường tròn (C2) vì (C2) là

đường tròn bàng tiếp chứ không phải đường tròn nội tiếp như theo yêu cầu bài toán.

Đa số HS đều cho điểm tối đa hay một số khác thì trừ điểm do bàilàm quá tắc. Cụ thể,

chúng tôi có các bài làm của HS sau:

Bài làm của HS 4:

2

2

2

+

=

(

− ax

)

(

− by

)

R

Hay là bài làm của HS10, HS này trừ điểm do HS2 chưa chuyển phương

2

2

+

−

−

2

0

x

y

ax

2 by

=+ c

trìnhdạng sang phương trình đường tròn tổngquát

. Theo cách cho điểm của HS10, thì chúng tôi thấy quan

điểm của HS này là khi viết phương trình đường tròn là phải viết dạng tổng quát của

đường tròn. Chính vì thế , HS này không cho điểm tối đa.

Bài làm của HS 10.

Ngoài ra, có 32/79 HS phát hiện ra chỗ sai của HS2 là do không loại phương trình

(C2). Điển hình, chúng tôi thu được một số lời giải thích sau:

+ HS31 loại (C2) không phải là đường tròn nội tiếp bằng việc xác định điều kiện tâm

I sao cho d (I;OB) < OA.

Bài làm của HS31:

62

+ Trong khi đó, HS19 loại (C2) vì do tâm I2 không thỏa điều kiện (a<3). Như vậy,

chúng tôi có thể thấy quan điểm của HS này là xác định điều kiện để tâm I là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác trước khi giải quyết bài

toán.

Kết luận:

Với số lượng 31/79 HS không phát hiện ra sai lầm của HS1 và 47/79 HS không tìm

2

2

+

a

b

>− c

0

thấy sai lầm trong bài làm HS2, điều này có thể cho chúng tôi kết luận vẫn tồn tại một

hay số HS quên đi điều kiện xác định của phương trình đường tròn là

đa số học sinh không kiểm tra tính hợp thức của phương trình đường tròn sau mỗi bài

toán. Do đó, kết quả thực nghiệm bài toán này cũng phần nào kiểm chứng được tính

thích đáng của giả thuyết H mà chúng tôi đã nêu ra.

3.3.2.Thực nghiệm 2

Chúng tôi xây dựng bộ câu hỏi nhằm tìm ra câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu sau:

“Liệu chăng, HS có sử dụng được đường tròn như một công cụ trong việc giải

quyết các bài toán?”

Nhóm câu hỏi 1,2,3 là dạng bài toán đòi hỏi sử dụng đường tròn như một công cụ để

giải quyết bài toán. Cụ thể, trong bài 1, chúng tôi xây dựng bài toán nhằm làm rõ vai

trò công cụ của đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách”, tức đường tròn đóng vai trò

trong việc dịch chuyển độ dài của đoạn thẳng, so sánh các đoạn thẳng khi chưa biết số

đo của chúng. Đối với bài 2, chúng tôi xây dựng nhằm sử dụng vai trò công cụ của

đường tròn theo tiếp cận“góc” trong các bài toán dựng hình, cụ thể dựng tam giác khi

biết số đo góc cần dựng. Đối với bài 3, chúng tôi xây dựng một bài toán hình học

phẳng, nhưng nếu chúng ta dùng phương pháp hình học tổng hợp để giải quyết thì lời

giải rất dài dòng và khó khăn, trong khi đó sử dụng đường tròn theo tiếp cận“phương

trình” thì việc giải quyết các bài toán đó sẽ nhanh và hiệu quả hơn.

63

3.3.2.1.Giới thiệu các bài toán thực nghiệm

Câu hỏi 1:

Trên hình vẽ, ta có hai điểm A, B là tương ứng vị trí cọc buộc dây của hai con

ngựa. Chiều dài của dây ngựa A là MN, chiều dài dây ngựa B là PQ. Trên hình vẽ, em

hãy xác định một vị trí C mà khi em để máng nước thì cả hai con ngựa đều có thể uống

được.

Chú ý: Các em không được sử dụng thước chia độ dài.

Câu hỏi 2:

Bạn An phải thực hiện cú “sút” phạt đền 11m vào khung thành của đối phương.

Bạn A đang đứng giữa khung thành và chiều rộng khung thành là 6m.

a) Em có thể biết được góc sút tạo bởi bạn A và hai biên khung thành là bao nhiêu

độ không?

b) Bạn A thực hiện quả phạt đền thứ 2, nhưng trọng tài yêu cầu bạn A đứng cách

khung thành 9m, và góc “sút” bằng với góc sút ở trường hợp a). Nếu em là trọng

tài, em có thể xác định được các vị trí của bạn A không?

Câu hỏi 3:

Cho đường tròn (O, 5cm); có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên

R 3

đoạn CO và OD lần lượt lấy N và M sao cho CN=OM= . Đường thẳng AM cắt

đường tròn tại P. Tam giác ANP có vuông tại N hay không? Em hãy chứng minh điều

đó.

3.3.2.1. Phân tích tiên nghiệm

Câu hỏi 1:

• Các biến didactic và giá trị của chúng

- Biến V1.1: Hình vẽ có ô lưới không. Biến này có hai giá trị:

+ Hình vẽ có ô lưới.

64

+ Hình vẽ không có ô lưới.

- Biến V1.2: Có được sử dụng thước chia độ dài không? Biến này có hai giá trị:

+ Có được sử dụng thước chia độ dài.

+ Không được sử dụng thước đo độ dài.

- Biến V1.3: Tổng MN+ PQ so với AB. Biến này có ba giá trị:

+ Tổng MN+ PQ lớn hơn AB.

+Tổng MN+ PQ bằng AB.

+Tổng MN+ PQ nhỏ hơn AB.

• Các chiến lược có thể

o Chiến lược S giao đt : Chiến lược “ giao đường tròn”

Để chọn điểm C phù hợp bài toán thì AC ≤ MN và BC ≤ PQ. Do đó, chúng ta cần

xác định phạm vi “giao” của hai đường tròn (A, MN) và (B, PQ). Với compa, chúng ta

có thể dịch chuyển độ dài MN và PQ xuống đoạn AB, rồi sau đó chọn một điểm trong

phần giao của (A, MN) và (B, PQ) là điểm C.

Cái có thể quan sát được:

Lời giải :

- Dùng compa hoặc thước dịch chuyển độ dài MN thành AK và PQ thành BH.

-Vẽ hai đường tròn (A, AK) và (B, BH). Phần giao của hai đường tròn này là vị trí đặt

thích hợp.

o Chiến lược Sđiem: Chiến lược chọn “điểm” phù hợp. - Chọn điểm C trên (hoặc ngoài) đoạn AB sao cho AC ≤ MN và BC ≤ PQ.

- Dùng compa để so sánh các đoạn thẳng AC và MN hay BC và PQ.

65

Cái có thể quan sát được:

Chọn điểm C trên đoạn AB. Dùng compa so sánh AC và MN, nếu

AC ≤ MN thì ta tiếp tục so sánh BC ≤ PQ. Chọn khi nào có điểm C vừa thỏa

AC ≤ MN và BC ≤ PQ.

o Chiến lược Stđ: chiến lược “trung điểm”.

Cái có thể quan sát được:

Lời giải 1:

Dựng trung điểm của AB bằng cách vẽ hai đường tròn (A, AB) và (B, BA). Chúng

cắt nhau tại F, tam giác FAB là tam giác đều. Từ F dựng đường thẳng vuông góc với

AB và cắt AB tại C. C là trung điểm AB.

Lời giải 2:

Gấp giấy lại sao cho mút A trùng với mút B thì điểm trên đường gấp là trung điểm

của AB.

• Ảnh hưởng của biến lên chiến lược

- Trong biến V1.1 và V1.2, chúng tôi chọn giá trị biến là hình vẽ không có ô lưới và

HS không được sử dụng thước chia độ dài. Với cách chọn biến này sẽ hạn chế các

chiến lược đo độ dài cũng như là ước tính được độ dài của đoạn thẳng. Do đó, HS

không thể đo độ dài các dây dẫn cũng như là so sánh các đoạn thẳng thông qua giá trị

độ dài của chúng mà HS cần phải lựa chọn một chiến lược khác phù hợp. Chiến lược

66

S giaođt, Sđiêm sẽ tăng khả năng xuất hiện do nhu cầu cần phải “dịch chuyển độ dài” MN,

PQ xuống đoạn AB hay so sánh các đoạn thẳng bằng compa.

- Mặt khác, chúng tôi chọn giá trị biến V1.3 là tổng MN+PQ bằng AB. Với cách

chọn biến này, thì chỉ tồn tại một điểm C phù hợp. Do đó, nếu HS sử dụng chiến lược

Sđiêm, thì quá trình chọn điểm C hết sức khó khăn.Do bài toán không được sử dụng

thước chia độ dài và quá trình chọn điểm C để so sánh các đoạn thẳng cũng không

mang hiệu quả cao. Do đó, với giá trị biến này sẽ làm tăng khả năng xuất hiện của

chiến lược S giaođt mà hạn chế chiến lược Sđiêm.

- Cả hai chiến lược S giaođt và chiến lược Sđiem đều thể hiện được vai trò công cụ của

đường tròn trong việc dịch chuyển độ dài hay so sánh các đoạn thẳng. Tuy nhiên chiến

lược S giaođt là chiến lược tối ưu trong bài toán này. Nếu HS chọn chiến lược S giaođt hay

chiến lược Sđiêm thì điều này cho phép kết luận HS cũng đã nắm và hiểu được vai trò

công cụ của đường tròn theo “khoảng cách”, tức dùng đường tròn trong việc dịch

chuyển độ dài của đoạn thẳng và so sánh các đoạn thẳng.

Câu hỏi 2:

• Biến và giá trị của chúng :

Biến V2 : Số vị trí điểm A cần xác định. Biến này có hai giá trị:

+ Xác định một vị trí A.

+ Xác định nhiều vị trí A.

• Các chiến lược có thể

Câu a: Tính góc sút.

Cái có thể quan sát

Lời giải 1

67

0

=

=⇒=

tan

26,15

Do tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao cũng là đường phân giác.

A 1

ˆ A 1

CH AH

3 11

0

=

=

Ta có: .

5,30

26,15.2

ˆ2 = A

ˆ A

1

Do đó .

=

=⇒=

C

C

tan

074,74

Lời giải 2:

AH CH

11 3

0

0

=

−

=

Ta có: .

ˆ A

180

ˆ2 C

5,30

Do đó .

Câu b:

o Chiến lược Sdựng dt: “dựng đường tròn”.

Để xây dựng một tam giác có cùng cạnh BC và cùng góc “sút” bằng 30,50, HS cần

tạo ra một đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng cách áp dụng các tính chất về góc

của đường tròn để xây dựng góc cần dựng. Cụ thể trong lời giải 1, sử dụngtính chất

góc “chắn cung”, tức hai góc chắn cùng một cung thì bằng nhau hay trong lời giải 2,

sử dụng tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

Cái có thể quan sát:

Lời giải 1:

-Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

- Từ B kẻ đường thẳng Bt vuông góc với BC. Xác định điểm K (K cùng phía với A so

với bờ BC) sao cho BK=3BH=9m. (H là trung điểm BC) .

-Từ K kẻ đường thẳng song song BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC) tại hai

0

ˆ

ˆ

=

=

=

điểm A1;A2 là hai vị trí cần xác định.

5,30

ˆ CABCABCAB 2

1

Thật vậy, (do cùng chắn cung BC).

Mặt khác, nếu gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của A1,A2 xuống BC thì A1P=A2Q=9cm.

(do A1KBP và A2KBQ là hình chữ nhật).

68

Lời giải 2:

-Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng BC (BC=6m). -Vẽ tia Bx tạo với BC góc 30,50.

-Vẽ đường thẳng By vuông góc với Bx. Gọi O là giao điểm của By và d.

-Vẽ đường tròn (O, OB). Trên đường thẳng d xác định điểm M sao cho

MI =9m.

-Vẽ đường thẳng qua M và song song với BC cắt đường tròn (O,OB) tại điểm A1và A2.

Hai điểm này là hai vị trí cần xác định.

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

=

=

=

Thật vậy:

CBx ˆ

5,30

, CABCAB

ˆ CBxCABCAB 2

1

2

1

(do là hai góc nội tiếp, là góc tạo bởi

tiếp tuyến và dây cung, do đó chúng bằng nhau do cùng chắn

cung BC).

Mặt khác, nếu gọi P,H lần lượt là hình chiếu của A1,A2 xuống BC thì

A1P=A2H=MI=9m (do A1MIP và A2MIH là hình chữ nhật).

o Chiến lược Sthư : Chiến lược “thử” - Vẽ đường trung trực d của BC, trên d lấy M sao cho MI = 3BI=9m.

69

- Vẽ đường thẳng d’ qua M và song song với BC. - Tìm vị trí điểm A trên d’ sao cho góc BAC gần bằng 30,50.

o Chiến lược Sgtg: Chiến lược “giải tam giác”.

Bằng cách giả sử tam giác đã được dựng sẵn, chúng ta xét các trường hợp tam giác

có đường cao trong và đường cao ngoài. Với các dữ liệu bài toán về cạnh đáy, đường

cao và góc ở đỉnh, chúng ta có thể giải các tam giác và tìm ra vị trí chân đường cao của

tam giác đó.Sau đó, chúng ta có thể xác định lại vị trí điểm A1 và A2 đã giả sử.

Cái có thể quan sát được

Lời giải 1:

Giả sử có A1 thỏa dữ liệu đề bài.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1:A1H là đường cao trong trong tam giác A1BC.

Ta có: HB= AH.tanx=9.tanx. HC= AH.tan (30,50-x)= 9. tan (30,50-x)

0

−

+

=

+

)

tan

tan(

5,30

⇔= 6

HC

HB

x

x

2 3

+

+

=

⇔

tan

x

tan +

2 3

59,0 x

2

−

=

⇔

− x tan.59,01 −

08,0

0

tan4,0

tan

59,0

x

0

>

)

tan

83,0

loai

⇔

= −=

(5,30 )

(16,0

tan tan

Loai

x x

  

70

Trường hợp 2: A1H là đường cao ngoài của tam giác A1BC.

−

+

−

=

⇔= 6

tan(

0 )5,30

tan

HC

HB

x

x

2 3

−

=

⇔

tan

x

2 3

2

−

=

⇔

+ tan 59,0 x − tan.59,01 x +

tan4,0

08,0

0

59,0

x

x

tan =

16,0

⇔

−=

tan tan

(84,0

)

x x

Loai

  

Ta có: HB= AH.tanx=9.tanx HC=AH.tan (x+30,50)= 9. tan (x+30,50)= 9

Do đó HB= 0,16. 9=1,44m.

Điểm H cách B là 1,44 m. Xác định điểm H bằng quy tắc sau:

Đoạn BC= 6m ứng với BC= 6cm trên hình vẽ. Do đó HB= 1,44m ứng với HB=1,44cm

trên hình vẽ. Dùng thước xác định BH=1,44cm.Từ H dựng đường Hx vuông góc BC,

chọn A1 sao cho A1H=3BI=9m (I là trung điểm BC).

Điểm A2 làm tương tự .

Lời giải 2:

.

AH

=BC .

27

71

1 2

2

2

2

2

=

+

=

+

+

. Ta có SABC =

AB

9

x

;

AC

9

6(

x

)

.

2

0

=

+

+

+

=

⇒

AC

A

x

x

AB .

sin.

81

.

81

(

2 sin.)6

5,30

27

S ABC

2

2

+

+

=

x

x

1 2 +⇔ 81(

81)(

(

4,106

0

1 2 2 − ))6

Mặt khác,

Dùng máy tính, tính x = 1.44m.

Do đó, Điểm H cách B là 1,44 m (xác định giống như lời giải 1). Từ H dựng đường Hx

vuông góc BC, chọn A sao cho AH=9m.

Điểm A2 làm tương tự.

• Ảnh hưởng của biến lên chiến lược

Chúng tôi yêu cầu HS chọn hai vị trí điểm A, chính vì thế chiến lược Sthu sẽ hạn

chế xuất hiện, vì chiến lược này rất mất thời gian.Trong khi đó, nếu HS sử dụng chiến

lược Sgtg thì bài toán trở nên khó khăn và dài dòng. HS cần phải giả sử được tam giác

cần dựng sao đó xác định vị trí chân đường cao. Một điểm khó khăn nữa là HS cần xét

xem đường cao cần dựng là đường cao trong hay ngoài. Với điểm thứ hai, thì HS cần

phải làm lại như điểm thứ nhất và mất rất nhiều thời gian trong việc giải phương trình

và tính toán. Đặc biệt, nếu giải tam giác theo lời giải 2 thì sẽ xuất hiện phương trình

bậc 4, nó gây khó khăn cho HS. Nếu HS chưa biết giải phương trình trên máy tính thì

lời giải này sẽ không được tiếp tục. Tương tự, như lời giải 1, HS cần vận dụng các

công thức lượng giác một cách thành thạo và việc giải phương trình lượng giác đối với

72

HS lớp 10 vẫn còn mới. Do đó, với cách chọn biến này, HS cần phải chọn ra một chiến

lược tối ưu và tăng khả năng xuất hiện chiến lược Sdưngđt, hạn chế chiến lược Sgtg, chiến

lược Sthu.

Đồng thời, trong tình huống bài toán, chúng tôi xây dựng thêm câu a vớimục đích

để HS tính góc “sút” của bài toán và đồng thời xây dựng một tam giác có cùng góc ở

đỉnh và chung cạnh đáy với tam giác cần dựng. Với sự lựa chọn này, tạo môi trường

tăng khả năng xuất hiện của chiến lược Sdưng đt. Với một tam giác đã biết trước có cùng

số đo với tam giác cần dựng, thì việc xây dựng góc bằng nhau có thể dễ dàng thực hiện

thông qua các tính chất của hình học như “góc chắn cung” hay tính chất góc tạo bởi

tiếp tuyến và dây cung mà HS đã biết ở lớp 9.

Câu hỏi 3:

• Các biến didactic và giá trị của chúng

- Biến V3.1: Tam giác ANP vuông hay không?

+ Tam giác ANP vuông.

+Tam giác ANP không vuông.

- Biến V3.2: Yếu tố vuông góc có được đề cập đến hay không?

+ Có xuất hiện những cặp cạnh vuông góc.

+Không có hai đường thẳng vuông góc.

• Các chiến lược có thể: o Chiến lược Stđ: “tọa độ”

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

)

73

5 3

5

)

Ta có O (0;0); A(-5;0), B(5;0), C(0 ;5) ; D(0 ;-5) ; M(0 ;-

10 3

5 =− 3

10 3

+−=

A

qua

x

35 t

⇒

(

AB

:)

, suy ra N(0 ; ON=OC-CN=

− )0;5(  = u

− )1;3(

y

−= t

  VTCP 

  

2

2

=

+ Lập pt đường thẳng (AM): (1)

x

+ y

25

≡

A

loai (

)

2

2

⇒

−

+

(2) + Pt đường tròn (O) :

t

t 3(

)5

⇔= 25

= =

P P

0 3

− )0;5( − )3;4(

  

 t  t 

=

 NA

;5(

)

Từ (1) và (2) suy ra

⇒

=

−

−=

≠

  PNNA .

20

11,1

0

190 9

=

 PN

;4(

)

     

10 3 − 19 3

. Ta có:

Do đó tam giác ANP không vuông tại N.

o Chiến lược Svecto: “ vectơ”.

  . PNNA







+

+

=

Xét tính vô hướng .

 POONNOOA ).(

)

(

2

=

+

ON

2

−=

−

+

ON

  − POOA .   POAO .

  PONO .   PONO .

5

Ta có:   PNNA .

5 =− 3

10 3

Mà ON=OC-CN= .

0

=

=⇒=

tan

43,18

74

A 1

ˆ A 1

OM AO

1 3

Xét tam giác OAM vuông tại O có .

0

0

=

−

=

∆

OAP

cân

180

(

)

0

ˆ.2 A 1 ˆ

14,143 ˆ

=

−

ˆ POA ˆ PON

360

0

− POANOA 0

0

0

=

−

−

=

360

14,143

90

86,126

0

=

=

−≈

ˆ POA

AO OP . .

cos

.5.5

cos

14,143

20

0

=

=

−≈

ON

ˆ PON

        POAO .   PONO .

OP . .

cos

.5.

cos

86,126

10

10 3

Mặt khác:





2

−

−

−=

≠

20

10

=PNNA .

)

11,1

0

Do đó:

10 ( 3

.

Do đó tam giác ANP không vuông tại N.

o Chiến lược Shhth: “hình học tổng hợp”.

Cái có thể quan sát:

5

Lời giải 1:

5 =− 3

10 3

Ta có: ON=OC-CN= .

5

2

2

=

+

=

≈

AN

ON

OA

6 cm

13 3

5

2

2

=

+

=

≈

AM

OM

OA

27,5

cm

10 3

Áp dụng định lý pitago cho ∆ OAN và ∆ OAM ta có

0

=

=⇒=

tan

43,18

75

A 1

ˆ A 1

OM AO

1 3

0

=⇒=

=

cos

AP

.10

cos

43,18

49,9

cm

Xét tam giác OAM có .

A 1

AP AB

=

+

=

MN

ON

cm 5

=

−

=

MO −

=

49,9

27,5

22,4

cm

AP

. Xét ∆ APB vuông tại P có

0

0

=

+

=

MP ˆ M

90

43,108

2

AM ˆ A 1

    

Xét tam giác NMP có

2

2

2

+

−

=

=

MN

MP

.2

MN

. MP .

cos

M

15,56

2

49,7

cm

NP =⇒ NP

Áp dụng định lý cosin ta có:

2

2

+

=

NP

NA

1,92

2

2

2

⇒

≠

+

Ta có :

AP

NP

NA

2

=

06,90

AP

  

.

Do đó tam giác ANP không vuông tại N.

Lời giải 2: (CM phản chứng)

ˆ

ˆ =

Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và (O) và AB.

PEBPAB

0

ˆ

ˆ

=

−

ˆ =

(cùng chắn cung BP) (1). Ta có:

ˆ NAE

90

= PEBNEA

AN

⇒⊥ NP

PNA

090

ˆ

ˆ =

Giả sử và (do tam giác AEC vuông

NAEPAB

0

=

∆⇒

AMO∆

tại E) (2). Từ (1) và (2) suya ra .

.

AEN

ˆ ˆ = ON ˆ

90 ˆ

= NAEPAB

   

Xét hai tam giác AEN và AMO có:

=

=

76

EN MO

AN AO

AN AO

EN CN

0

=

Suy ra mà theo giả thuyết ta có CN=OM nên .(3)

0

ˆ ˆ = ON ˆ

90 ˆ

=

−

= OFNONA

ˆ NAO

90(

)

   

∆

⇒

=

NFO

)4(

ANO∆

AN AO

NF NO

=

⇒

FNO∆

Xét hai tam giác ANO và NFO có:

EN CN

NF NO

ˆ

ˆ

=

suy ra ENC∆ ( do hai tam giác có cùng góc Từ (3) và (4)

= FONNCE

090

. vuông). Suy ra

Vậy tam giác ECD có hai góc vuông (mâu thuẫn).

Do đó tam giác ANP không vuông tại N.

• Ảnh hưởng của biến lên chiến lược

Chúng tôi chọn giá trị biến V3.1 là tam giác ANP không vuông tại N. Với dạng

toán không quen thuộc này, HS cần phải kiểm tra tính vuông góc thông qua các tính

chất đã biết như định lý pitago hay tích vô hướng của hai vectơ. Với biến này, nó làm

tăng khả năng xuất hiện của các chiến lược tính toán để kiểm tra như chiến lược

Stđ,chiến lược Svecto, chiến lược Shhth theo lời giải 1 và hạn chế các chiến lược chứng

minh theo truyền thống như chiến lược Shhth như lời giải 2.Tuy nhiên hai chiến lược



Svecto, Shhth gặp nhiều khó khăn do mất nhiều thời gian. Đối với chiến lược Svecto, chúng

 , PNNA

ta cần phải phân tích hai vectơ theo những vectơ phù hợp. Việc phân tích này,

nếu không được lựa chọn sẽ dẫn đến bài toán dài dòng và khó khăn. Trong khi đó, nếu

chúng ta thực hiện chiến lược Shhth theo lời giải 1 thì bài toán quá dài, chúng ta phải

giải rất nhiều tam giác để tìm ra ba cạnh của tam giác ANP. Mặt khác, chiến lược

Svecto, Shhth chứa rất nhiều phép toán với sai số. Tam giác ANP có góc ANP gần bằng 900, nên nếu dựa vào hình vẽ để dự đoán thì có thể nhầm lẫn tam giác này vuông. Do

đó nếu chọn số gần đúng trong việc tính toán không phù hợp có thể dẫn đến lời giải

sai.

Chúng tôi lựa chọn giá trị biến V3.2 là bài toán có nhiều đường thẳng vuông góc

nhau. Trong bài toán này, HS có thể nhìn thấy một cặp đường thẳng vuông góc mà đặt

77

làm hệ trục tọa độ. Với cách chọn biến này, sẽ làm tăng khả năng xuất hiện chiến lược

Stđ. Đây là chiến lược tối ưu vì bài toán được giải nhanh, đạt hiệu quả cao, do các tọa

độ điểm dễ dàng xác định và hạn chế các phép toán có sai số.

Đồng thời, trong tình huống bài toán, chúng tôi cho bán kính đường tròn là các số cụ

thể. Với cách chọn này, học sinh dễ xác định tọa độ các điểm cũng như là lập phương

trình đường tròn và đường thẳng. Nó làm tăng khả năng xuất hiện của chiến lược Stđ

và Svecto.

3.3.2.2. Phân tích hậu nghiệm

Chúng tôi cũng tiến hành thực nghiệm trên 20 học sinh của lớp 11,trường THPT

Trần Đại Nghĩa , Quận 1. TP. HCM và 59 học sinh của hai lớp 11, trường THPT Vĩnh

Bình, Gò Công Tây, Tiền Giang. Học sinh làm việc theo nhóm, mỗi nhóm có khoãng

4-5 học sinh. Tổng công có tất cả 18 nhóm.

Câu hỏi 1:

Chúng tôi thu được kết quả thực nghiệm câu hỏi 1như sau:

Bảng 3.3. Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 1

Chiến lược Skhác

Sđiểm (chiến lược điểm) Stđ (Chiến lược trung điểm)

S giaođt (chiến lược giao đường tròn)

Số nhóm HS 16 (88,89%) 0 (0%) 1 (5,56%) 1 (5,55%)

Theo bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy chiến lược S giaođt được học sinh ưu

tiên sử dụng, nó chiếm tỉ lệ 16/18 nhóm với tỉ lệ 88,89%. Trong chiến lược này, các

nhóm đã sử dụng compa để vẽ đường tròn (A, MN) và (B,PQ) để xác định phần giao

của chúng, đồng thời phần giao đó cũng là vị trí C cần xác định. Sau đây là bài làm

điển hình của nhóm 1.

Bài làm của nhóm 1:

78

Ngoài ra, chúng tôi cũng tìm thấy nhóm 8 xác định vị trí C của bài toán là trung

điểm của AB. Có thể, nhóm 8 cho rằng điểm C ở giữa thì cả hai con ngựa có thể uống

nước được. Đây là một nhầm lẫn vì chiều dài của hai sợi dây MN và PQ không bằng

nhau.

Bài làm của nhóm 8:

Sau đây là một cách giải khác của một nhóm 4

79

Trong lời giải này, nhóm 4 không chú ý đến yếu tố thực tế của bài toán, mà học sinh

quan tâm đến vị trí hình vẽ. Nhóm này xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác

MNPQ, sau đó tìm hình chiếu của tâm đường tròn xuống AM. Với cách xác định này

điểm C sẽ không đúng, do bài toán chỉ cho biết chiều dài của hai sợi dây tương ứng

với hai đoạn thẳng MN, PQ chứ không phụ thuộc vào vị trí đặt MN, PQ như thế nào.

Như vậy, với kết quả 88,89% nhóm sử dụng chiến lược S giaođt , chúng tôi có thể nhận

thấy rằng đa số học sinh đã biết sử dụng đường tròn như là một công cụ trong việc

dịch chuyển độ dài, cụ thể trong bài toán này để xác định phần giao của hai đường tròn

là vị trí đặt C.

Câu hỏi 2:

Trong câu hỏi này, tất cả các nhóm đều tính được góc sút của bài toán. Nhưng do sai

số trong tính toán, nên các đáp án có sự chênh lệch có thể chấp nhận được.

Đối với câu b, yêu cầu học sinh xác định vị trí điểm A’ thì chúng tôi thu được kết quả

sau:

Bảng 3.4. Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 2

80

Sdựng đt Sthử Sgtg

Chiến (chiến lược dựng (chiến lược (Chiến Skhác Bỏ trống

lược thử) lược giải đường tròn)

tam giác)

5/18 Số nhóm 3/18 2/18 4/18 4/18

HS (27,78%) (16,67%) (11,11%) (22,22%) (22,22%)

Theo số liệu thống kê, chúng tôi thấy :

+ Có 4 nhóm bỏ trống, các nhóm này chỉ tính được góc “sút” của bài toán mà chưa xác

định được phương án để tìm ra vị trí A’.

+ Có 9 nhóm không dựng được chính xác điểm A’. Chiến lược mà các nhóm này sử

dụng là chiến lược thử, chiến lược giải tam giác và một số chiến lược khác. Điển hình,

chúng tôi có bài làm các nhóm sau:

Bài làm của nhóm 15:

Nhóm 15 chọn chiến lược “thử”, nhóm này xác định một đường thẳng cách BC là 9cm. Rồi sau đó, xác định vị trí A’ sao cho góc BA’C gần bằng 300. Đây chỉ là một

chiến lược tạm thời của nhóm vì nó không thể nào xác định được đúng vị trí A’ mà chỉ

gần gần với A’.

Bên cạnh đó, nhóm 6, nhóm17 lại sử dụng chiến lược giải tam giác, nhưng các

nhóm này không thể xác định được vị trí A’. Bài làm của các nhóm đều dừng lại nửa

81

chừng. Cụ thể, trong bài làm của nhóm 6, HS đã giả sử AH là đường cao trong, tuy

nhiên do trong quá trình tính toán liên quan đến lượng giác khiến nhóm này đành phải

bỏ cuộc.

Tuy nhiên, có 5 nhóm thành công với chiến lược Sdựng đt, các nhóm này đều áp dụng

tính chất “trong đường tròn, góc chắn cùng một cung thì bằng nhau” để xác định vị trí

A’. Mặc dù bài toán này có phần giống với bài toán dựng hình mà các HS đã học ở lớp

9, nhưng chúng tôi không tìm thấy nhóm nào giải theo phương pháp đã học. Điều này

cho chúng tôi thấy rằng, các em chưa quan tâm đến ứng dụng của đường tròn theo

nghĩa “góc” được trình bày trong SGK. Điển hình là bài làm của nhóm 11:

82

Nhóm 11 đã vẽ lại hình vẽ và xác định lại vị trí A’. Mặc dù hình vẽ chưa được chính

xác, nhưng thông qua cách lý giải của nhóm, chúng tôi nhận thấy nhóm này đã sử sụng

chiến lược “dựng đường tròn”.

Với kết quả trên, chúng tôi có thể phần nào nhận định rằng đa số học sinh chưa vận

dụng được đường tròn theo tiếp cận “góc” để giải quyết các bài toán. Đây có thể là do

học sinh chưa được tiếp cận nhiều về vai trò công cụ của đường tròn theo quan điểm

“góc”.

Câu hỏi 3:

Với câu hỏi này, chúng tôi thu được kết quả như sau:

Bảng 3.5. Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 3

Chiến lược Bỏ trống

Số nhóm HS Stđ (chiến lược tọa độ) 4/18 (22,22%) Svecto (chiến lược vectơ) 0/18 (0%) Shhth (chiến lược hình học tổng hợp) 11/18 (61,11%) 3/18 (16,67%)

Theo số liệu trên, chúng tôi thấy:

+ Có3 nhóm bỏ trống, đó là nhóm 8, nhóm 15 và nhóm 17. Các nhóm đều vẽ được

hình vẽ, tuy nhiên hai nhóm 8 và nhóm 15 vẫn chưa trình bày được cách thức cũng

như phương án giải quyết của nhóm. Trong khi đó, nhóm 17 thì tính được độ dài các

đoạn thẳng như OM, MD và nhóm cũng bỏ trống. Do đó chúng tôi vẫn chưa thể kết

luận nhóm này đang sử dụng chiến lược gì. Từ cách trình bày của nhóm 17, thì có thể

nhóm này đang định kiểm tra tam giác ANP theo định lý đảo pitago.

83

+ Có tới 11/18 nhóm học sinh chọn chiến lược “hình học tổng hợp” nhưng chỉ có

nhóm 3 và nhóm 7 hoàn thành bài toán đúng. Các nhóm khác thì không thể xác định

được tam giác ANP có vuông hay không mà chỉ xác định một số yếu tố của tam giác.

Qua cách trình bày của các nhóm, đa số các nhóm muốn kiểm chứng tam giác ANP

theo định lý đảo pitago. Điển hình là bài làm của nhóm 3.

+ Trong khi đó, chỉcó 4/18 nhóm HS sử dụng chiến lược “tọa độ”, các nhóm đều

xác định tọa độ các điểm A, N, P sau đó dùng tính chất tích vô hướng của hai vectơ để

kiểm tra tính vuông góc của AN và NP. Trong 4 nhóm trên có nhóm 6, nhóm 13 làm

đúng được bài toán và nhóm 2, nhóm 11 vẫn chưa hoàn thiện. Hai nhóm này lúc đầu

sử dụng chiến lược “hình học tổng hợp” nhưng do gặp khó khăn nên các nhóm chuyển

sang chiến lược “tọa độ” .

Bài làm của nhóm 6:

84

Bài làm của nhóm 2

85

Như vậy, khi học sinh gặp bài toán thuộc dạng “hình học tổng hợp” thì học sinh

thường chỉ áp dụng theo một số cách truyền thống mà chưa vận dụng được đường tròn

theo tiếp cận “phương trình”. Từ kết quả thực nghiệm này, chúng tôi nhận thấy học

sinh chưa vận dụng được đường tròn theo “phương trình” để giải quyết các bài toán.

Cuối buổi thực nghiệm, chúng tôi đã tổ chức cho học sinh thảo luận về các bài làm của

các nhóm để rút ra chiến lược tối ưu trong các bài toán và thể chế hóa các vai trò công

cụ của đường tròn. Cụ thể :

+ Trong bài toán 1, đường tròn đóng vai trò trong việc dịch chuyển độ dài và so

sánh đoạn thẳng gắn liền với đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách”.

+ Trong bài toán 2, đường tròn đóng vai trò trong việc dựng hình có liên quan

đến góc gắn liền với đường tròn theo tiếp cận “góc”.

+ Trong bài toán 3, đường tròn đóng vai trò trong việc giải quyết các bài toán

hình học tổng hợp liên quan đến đường tròn gắn liền với đường tròn theo tiếp

cận “phương trình”.

3.4. Kết luận chương 3

Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm 1 và thực nghiệm 2 trên 79 em học sinh lớp

11. Với kết quả thực nghiệm này, cho phép chúng tôi kiểm chứng được giả

thuyết H và các câu hỏi nghiên cứu đặt ra ở cuối chương 2.

Kết quả thực nghiệm 1 đã cho phép chúng tôi hợp thức hóa được giả thuyết H, đó

là giả thuyết về tồn tại của quy tắc hợp đồng :

“Khi gặp bài toán lập phương trình đường tròn, học sinh không có trách nhiệm

kiểm tra sự tồn tại của đường tròn hay tính hợp thức của phương trình đường tròn”

Đồng thời, chúng tôi nhận thấy rằng, đa số học sinh đều biết đến đường tròn theo

quan điểm “khoảng cách”, còn quan điểm “góc” và “ phương trình” thì chúng tồn tại

rất mờ nhạt trong học sinh.

Với thực nghiệm 2, chúng tôi xây dựng ba bài toán nhằm kiểm tra, đánh giá HS

có biết sử dụng đường tròn như một công cụ trong việc giải quyết các bài toán hay

không?

+ Câu hỏi 1, chúng tôi thấy đa số HS đều biết sử dụng đường tròn như là một

công cụ để dịch chuyển độ dài hay so sánh các đoạn thẳng.

86

+ Trong khi đó, với câu hỏi 2 và câu hỏi 3, chúng tôi thấy đa số HS chưa biết sử

dụng đường tròn như một công cụ để giải quyết các bài toán. Cụ thể, HS chưa biết sử

dụng đường tròn theo “góc” để dựng hình hay đường tròn theo “phương trình” để giải

quyết các bài toán hình học tổng hợp.

Kết hợp cả hai thực nghiệm trên cho phép chúng tôi kết luận rằng cáccách tiếp cận

khác nhau về đường trònchưa được hình thành một cách đầy đủ ở học sinh. Chính vì

thế trong một vài KNV, học sinh chưa huy động đượcchúng để tìm ra chiến lược giải

tối ưu.

87

KẾT LUẬN

Việc phân tích và chỉ ra các cách tiếp cận đường tròn dưới góc độ toán học ở bậc

đại học và thể chế dạy học toán ở trường phổ thông, cũng như kết quả thực nghiệm đã

cho phép chúng tôi trả lời được các câu hỏi đã đặt ra ở đầu luận văn. Cụ thể, các kết

quả mà chúng tôi thu được bao gồm:

1. Trong chương 1, chúng tôi đã phân tích một số giáo trình đại học và tài liệu tham

khảo để làm rõ các cách tiếp cận đường tròn khác nhau. Chúng tôi nhận thấy,

đường tròn có các quan điểm tiếp cận sau:

 Tiếp cận “khoảng cách”: Đường tròn là quỹ tích (tập hợp) tất cả những điểm

M trong mặt phẳng cách đều một điểm I cố định bằng một khoảng R cho trước.

2

2

+

+

+

 Tiếp cận “phương trình”: Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm M (x, y)

x

y

2

ax

2

by

=+ c

.0

thỏa mãn phương trình bậc hai

Tiếp cận “góc đỉnh hướng”: Đường tròn là quỹ tích những điểm M sao cho 

góc định hướng giữa hai đường thẳng MA, MB là không đổi.

2. Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng đường

tròn ở ba cấp học TH, THCS và THPT. Qua phân tích thể chế, chúng tôi nhận thấy

rằng đường tròn theo “khoảng cách” được tiếp cận rất tường minh ở các cấp bậc

học. Trong khi đó, các cách tiếp cận khác của đường tròn như “phương trình” và

“góc” thì được tiếp cận rất hạn chế.

+ Tiếp cận đường tròn theo “khoảng cách” được định nghĩa trong chương trình

Toán lớp 6 và được tiếp cận xuyên suốt cho đến phổ thông.

+ Tiếp cận đường tròn theo “góc” thì được tiếp cận rất hạn chế trong chương trình

Toán lớp 9. Mặc dù, SGK có dành riêng một chương nói về tính chất của góc

trong đường tròn, nhưng quan điểm đường tròn theo “góc” thì được đề cập rất

mờ nhạt và vai trò công cụ của nó cũng không được làm rõ.

+ Tiếp cận đường tròn theo “phương trình” xuất hiện trong chương trình Toán lớp

10. Tuy nhiên, nó chỉ được đề cập như một đối tượng nghiên cứu trong Hình

học tọa độ, vai trò công cụ của nó cũng không được làm rõ.

88

Từ đó, chúng tôi đã nêu lên giả thuyết H về sự tồn tại của quy tắc hợp đồng R và

các câu hỏi nghiên cứu ở cuối chương 2:

• Quy tắc hợp đồng R: Khi gặp bài toán lập phương trình đường tròn, học sinh

không có trách nhiệm kiểm tra sự tồn tại của đường tròn hay tính hợp thức của

phương trình đường tròn.

• Câu hỏi nghiên cứu: “Trong quan hệ cá nhân HS, đường tròn gồm những cách

tiếp cận nào? Liệu chăng, HS có sử dụng được đường tròn như một công cụ

trong việc giải quyết các bài toán?”

Trong chương 3, chúng tôi xây dựng hai thực nghiệm trên học sinh lớp 11. 3.

Kết quả thực nghiệm đã chứng thực được tính hợp thức của giả thuyết nghiên cứu

H và chúng tôi có thể kết luận rằng: “Đa số học sinh đều biết đến đường tròn theo

“khoảng cách”, các quan điểm khác thì còn hạn chế. Học sinh chưa thật sự biết sử

dụng đường tròn như một công cụ trong việc giải quyết các bài toán”.

Chúng tôi mong muốn xây dựng một tình huống dạy học cho phép hình thành

cách tiếp cận đường tròn theo “góc” và theo “phương trình” trong học sinh cũng như là

cho học sinh tìm hiểu vai trò công cụ của đường tròn theo từng cách tiếp cận. Tuy

nhiên do hạn chế về tư liệu và thời gian, chúng tôi chưa thể thực hiện được mong

muốn đó. Đây là những hạn chế của đề tài đồng thời cũng là hướng nghiên cứu tiếp

theo có thể được gợi ra từ luận văn này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Lương Duyên Bình, Vũ Quang, Nguyễn Xuân Chi, Đàm Trung Đồn, Bùi Quang

Hân, Đoàn Duy Hinh (2012), Sách Giáo Khoa Vật lý 10, Nxb Giáo dục.

2. Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Sách Song ngữ Việt - Pháp, Những yếu tố

cơ bản của didactic toán, Nxb Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh.

3. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Phạm Gia Đức (2007), Sách Giáo Khoa Toán 6

Tập 2, Nxb Giáo dục.

4. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Phạm Gia Đức (2013), Sách Giáo Viên Toán 6 Tập 2,

Nxb Giáo dục.

5. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Phạm Gia Đức (2012), Sách Giáo Khoa Toán 9 Tập1,

Nxb Giáo dục.

6. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan (2012), Sách Giáo Khoa Toán 9

Tập2, Nxb Giáo dục.

7. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung, Ngô Hữu Dũng,

Lê Văn Hồng (2012), Sách Giáo Viên Toán 9 Tập1, Nxb Giáo dục.

8. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Công

Thành, Nguyễn Duy Thuận (2012), Sách Giáo Viên Toán 9 Tập2, Nxb

Giáo dục.

9. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài

(2007), Sách Giáo Khoa Đại số 10, Nxb Giáo dục.

10. Đỗ Đình Hoan, Nguyễn Áng, Đặng Tự Ân, Vũ Quốc Chung, Đỗ Tiến Đạt, Đỗ

Trung Hiệu, Đào Thái Lai (2013), Sách Giáo Viên Toán 5, Nxb Giáo dục.

11. Đỗ Đình Hoan, Nguyễn Áng, Đặng Tự Ân, Vũ Quốc Chung (2013), Sách Giáo

Khoa Toán 5, Nxb Giáo dục.

12. Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nxb Giáo dục.

13. Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, Trần Văn Hạo (2007),

Hình học 10, Nxb Giáo dục.

14. Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, Trần Văn Hạo(2013),

Bài tập Hình học 10, Nxb Giáo dục.

15. Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, Trần Văn Hạo(2013),

Sách Giáo Viên Hình học 10, Nxb Giáo dục.

16. Jean - Marie Monier, Đoàn Quỳnh (2001), Giáo trình toán Tập 7, Nxb Giáo dục.

17. Nguyễn Đăng Phất (2006), Các Phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải

toán hình học, Nxb Giáo dục.

Tiếng Pháp

18. Artigue M. (1982), A propos de conceptions du cercle : présentation de situations

de classe privilégiant certaines de ces conceptions, Grand N, n°27, 45-72.

PHỤ LỤC

THỰC NGHIỆM 1

Họ & Tên:……………………………………………..Lớp……………………………

Các em thân mến! Các thầy (cô) đang nghiên cứu về đề tài đường tròn có 2 câu hỏi

sau cần các em trả lời giúp. Các em hãy làm theo cách suy nghĩ của mình, không trao

đổi nhé. Các thầy (cô) không có tính điểm số hay thi đua nên các em cứ trả lời theo ý

kiến của bản thân.

Xin chân thành cảm ơn các em.

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Câu hỏi 1: Em hãy nêuvài cách phát biểu khác nhau về định nghĩa đường tròn?

Câu hỏi 2: Cho 2 bài toán sau:

∆

=−−

Bài1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (-1; 0); M (-1;-2). Em hãy viết phương

(

:)

x

01

y

và trình đường tròn (C) đi qua M, có tâm I thuộc đường thẳng

thỏa IA =2.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : 3x+ 4y-12 =0 cắt hai trục Ox

tại A, và Oy tại B. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Sau đây là lời giải của 2 học sinh lớp 10:

2

2

+

−

−

“ HS1 (làm bài 1):

x

y

ax

=+ c

2

by 2

0

∆

=−−⇒=−−

Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng :

(

:)

x

01

ba

01

y

=++

M

+⇒∈−− C ( )2;1(

a

2

)

cb 4

5

)2(0

Tâm I (a,b) thuộc (1)

=

+

 IA

a

(

b ),1

2

2

+⇔=

+

=

AI

a

b

2

(

)1

)3(4

=

1

a

)4(

=

0

1

−= a

  b 

⇔

2

2

+

+

−

=

)1

(

)1

4

a

a

−= 1

a

 b  ( 

)5(

−= 2

  b 

      

2

2

−=

+

−

Từ (1) và (3) ta có hệ:

c

C :)1(,7

x

y

2

x

=− 7

0

2

2

=

+

+

+

=+

Từ (4) và (2) ta có

c

C :)2(,5

x

y

2

x

4

y

05

Từ (5) và (2) ta có

HS2(làm bài 2):

Ta có: A (4;0) ; B (0;3).

=

=

=⇒∆

Gọi I (a, b) là tâm đường tròn, do đường tròn nội tiếp tam giác OAB

)

)

)

,( Id

Ox

,( Id

Oy

,( Id

ba

. Hay tâm I (a, a) nên

Ta

−

=

a

7

12

a

1

2

2

2

⇔=

−⇔=

=

Id ,(

=∆ )

aR

⇔=+ 06

−⇔ a

)12

25

7(

7

a

a

a

a

=

a

6

25

   Vậy đường tròn là: (C1): (x-1)2+ (y-1)2 =1 và (C2) :(x-6)2+ (y-6)2 =36 ’’

có:

Em hãy cho điểm vào bảng bên dưới và giải thích vì sao em cho điểm như vậy

HS Điểm Lý do

...................................................................................................

...................................................................................................

................................................................................................... HS1

...................................................................................................

...................................................................................................

...................................................................................................

...................................................................................................

................................................................................................... HS2

...................................................................................................

...................................................................................................

THỰC NGHIỆM 2

Phiếu số 1

Nhóm:……………………………

Các em thảo luận nhóm trả lời câu hỏi sau trong vòng 10 phút.

Câu hỏi:

Trên hình vẽ, ta có hai điểm A, B là tương ứng vị trí cọc buộc dây của hai con

ngựa. Chiều dài của dây ngựa A là MN, chiều dài dây ngựa B là PQ. Trên hình vẽ,

em hãy xác định một vị trí C mà khi em để máng nước thì cả hai con ngựa đều có

thể uống được. Em hãy trình bày chi tiết các bước xác định vị trí C của nhóm

mình.

Chú ý: Các em không được sử dụng thước chia độ dài. .

Bài làm: .........................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

Phiếu số 2

Nhóm:……………………………

Các em thảo luận nhóm trả lời câu hỏi sau trong vòng 15phút.

Câu hỏi:

Bạn Aphải thực hiện cú “sút” phạt đền 11m vào khung thành của đối phương. Bạn

A đang đứng giữa khung thành và chiều rộng khung thành là 6m.

a) Em có thể biết được góc sút tạo bởi bạn A và hai biên khung thành là bao nhiêu

độ không?

b) Bạn A thực hiện quả phạt đền thứ 2, nhưng trọng tài yêu cầu bạn A đứng cách

khung thành 9m, và góc “sút” bằng với góc sút ở trường hợp a). Nếu em là

trọng tài, em có thể xác định được cácvị trí của bạn A không? Em hãy vẽ hình

xác định vị trí bạn A và trình bày cách vẽ của nhóm mình vào phiếu.

Lời giải:

a) ...................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

b) .......................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

Phiếu số 3

Nhóm:……………………………

Các em thảo luận nhóm trả lời câu hỏi sau trong vòng 15 phút

Câu hỏi:

Cho đường tròn (O, 5cm) có đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên

R 3

đoạn CO và OD lần lượt lấy N và M sao cho CN=OM= . Đường thẳng AM

cắt đường tròn tại P. Tam giác ANP có vuông tại N hay không? Em hãy chứng

minh cho câu trả lời của mình.

Bài làm

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................