Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình vi phân và phương trình tích phân Volterra trong không gian Banach

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:81

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định lý Bielecki được chứng minh để áp dụng vào chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân. Trình bày các dạng phương trình vi phân bao gồm phương trình thuần nhất, không thuần nhất, autonomous, non-autonomous và đưa ra các công thức nghiệm tương ứng, cuối cùng là ứng dụng công thức nghiệm vào nghiên cứu tính ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình vi phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình vi phân và phương trình tích phân Volterra trong không gian Banach

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- NGUYỄN XUÂN NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội – Năm 2013
Mục lục MỞ ĐẦU 2 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Đại cương về không gian Banach và lý thuyết toán tử . . . . . . . 5 1.2 Đạo hàm và tích phân của hàm nhận giá trị trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh tác động trên không gian Banach . . . . 18 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHÔNG GIAN BANACH 21 2.1 Phương trình tích phân Volterra và Định lý Bielecki . . . . . . . . 21 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BA- NACH 35 3.1 Phương trình vi phân với vế phải liên tục . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1 Phương trình vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2 Phương trình vi phân autonomous và non-autonomous . . 36 3.2 Phương trình vi phân với vế phải không liên tục . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Phương trình vi phân autonomous . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.2 Phương trình vi phân non-autonomous . . . . . . . . . . . 50 3.3 Ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . 55 3.3.1 Ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình thuần nhất 55 3.3.2 Ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1
MỞ ĐẦU Phương trình vi phân trong toán học được xuất hiện từ đời sống thực tiễn cũng như trên cơ sở phát triển của các khoa học khác nhau, bao gồm cả khoa học tự nhiên và khoa học xã hội. Một phương trình vi phân là một kết quả của việc mô tả (bằng toán học) các hiện tượng chuyển động của vật thể, quá trình sinh trưởng và phát triển của các loài sinh vật... Một ví dụ điển hình cho phương trình vi phân đó là định luật II Newton về chuyển động của một vật thể, dx m. (t) = F (t), (1) dt trong đó hằng số m là khối lượng của vật thể, x(t) là vận tốc của vật thể tại thời điểm t, dx dt (t) = a(t) là gia tốc tại thời điểm t của vật thể và F (t) là lực hỗn hợp tác động vào vật thể tại thời điểm t. Thông thường, lực hỗn hợp F (t) còn phụ thuộc vào cả vận tốc x(t) nữa. Vậy phương trình (1), với f (t, x) = m1 F (t, x), được viết lại thành dx (t) = f (t, x(t)). (2) dt Đây chính là một phương trình vi phân tổng quát cấp một ẩn là hàm x(t). Việc nghiên cứu phương trình (2) sẽ giúp chúng ta biết được các tính chất của vận tốc x(t) tại thời điểm t bất kỳ của vật thể. Giả sử chúng ta yêu cầu thêm một điều kiện cho trước về vận tốc tại thời điểm ban đầu x(t0 ) = x0 , (3) khi đó với các giả thiết kỹ thuật nào đó đặt lên cho phương trình (2) thì nó cùng với điều kiện (3) được chuyển về phương trình Z t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds. (4) t0 Phương trình (4) chính là một phương trình tích phân Volterra. Như vậy phương trình tích phân Volterra được xuất hiện khi nghiên cứu phương trình vi phân tương ứng. 2
MỞ ĐẦU Các kết quả thu được của lý thuyết phương trình vi phân trong không gian thực cũng đã rất nhiều, nhưng không phải là tổng quát. Vậy nên để có kết quả tổng quát, người ta cần nghiên cứu phương trình vi phân trong các không gian tổng quát hơn. Một trong số đó là không gian Banach. Lý thuyết phương trình vi phân trong không gian Banach được bắt nguồn từ công trình nghiên cứu của Hille và Yosida (1948) về sự tồn tại nghiệm của phương trình dx dt = Ax với A là một toán tử không liên tục trong không gian Banach, các kết quả thu được dựa trên ngôn ngữ của nửa nhóm toán tử. Năm 1953 Kato đã nghiên cứu thành công sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình dx dt = A(t)x với A(t) là các toán tử không liên tục. Sau đó, trong những bài báo của mình, Hille, Yosida, Phillips và Kato đã đặt nền móng cho lý thuyết phương trình vi phân với toán tử không liên tục. Nó đã trở thành một lĩnh vực toán học độc lập, thú vị và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Luận văn "Phương trình vi phân và phương trình tích phân Volterra trong không gian Banach" được chia thành ba chương: Chương 1. Những kiến thức chuẩn bị. Chương này nhằm cung cấp cơ sở lý thuyết cho hai chương sau, bao gồm khái niệm về không gian Banach và các kết quả liên quan. Sau đó là định nghĩa đạo hàm và tích phân của hàm nhận giá trị trong không gian Banach. Tiếp theo là khái niệm mới và quan trọng, nửa nhóm toán tử, nó được sử dụng suốt về sau. Các kết quả của chương này chủ yếu được trích từ [1], [9] và [10]. Chương 2. Phương trình tích phân Volterra trong không gian Ba- nach. Mục đích của chương này là trình bày về phương trình tích phân Volterra loại II, chỉ đưa ra một phương pháp giải là phương pháp xấp xỉ liên tiếp và một số ví dụ minh họa. Định lý Bielecki được chứng minh rất "nhẹ nhàng" và nó để áp dụng vào chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ở chương sau. Các kết quả chủ yếu được trích từ [4], [10] và [12]. Chương 3. Phương trình vi phân trong không gian Banach. Chương này trình bày các dạng phương trình vi phân bao gồm thuần nhất, không thuần nhất, autonomous, non-autonomous và đưa ra công thức nghiệm tương ứng. Cuối cùng là ứng dụng các công thức nghiệm đó vào nghiên cứu tính ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình vi phân. Các kết quả chủ yếu được trích từ [6], [8] và [10]. 3
Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, đã có công lao dạy dỗ tôi trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình. Hà nội, tháng 09 năm 2013 Tác giả luận văn Nguyễn Xuân Nghĩa 4
Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại cương về không gian Banach và lý thuyết toán tử Trước tiên chúng ta đưa ra những sự kiện cơ bản nhất về không gian metric. Khái niệm không gian metric Định nghĩa 1.1. Không gian metric là một tập X 6= ∅ cùng với một hàm số d : X × X −→ R thỏa mãn ba tiên đề sau: • d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y (tính xác định dương); • d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (tính đối xứng); • d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác). Hàm số d được gọi là khoảng cách hay metric trên X. Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa x và y . Không gian metric khi đó được ký hiệu là (X, d). Nếu khoảng cách d đã rõ, thì ta ký hiệu ngắn gọi là X. Mỗi phần tử x ∈ X được gọi là một điểm của không gian metric X. Tôpô trong không gian metric Định nghĩa 1.2. Cho dãy điểm {xn } của không gian metric (X, d). Ta nói rằng (i) Dãy {xn } hội tụ đến điểm x ∈ X nếu d(xn , x) −→ 0 khi n −→ +∞. Khi đó ta ký hiệu xn −→ x khi n −→ +∞ hoặc lim xn = x, và gọi x là n→+∞ giới hạn của dãy {xn }. (ii) Dãy {xn } là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu ∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ε) : ∀m, n > n0 =⇒ d (xm , xn ) < ε. 5
Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Hoặc tương đương ∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ε) : ∀n > n0 =⇒ d (xn+p , xn ) < ε, ∀p = 1, 2, . . . Định nghĩa 1.3. Không gian metric đầy đủ là một không gian metric X mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ đến một phần tử của X. Định nghĩa 1.4. Cho (X, d) là một không gian metric, điểm x0 ∈ X và số r > 0. (i) Hình cầu mở tâm x0 bán kính r là tập B(x0 , r) := {x ∈ X : d(x, x0 ) < r}; (ii) Hình cầu đóng tâm x0 bán kính r là tập B[x0 , r] := {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ r}; (iii) Lân cận của điểm x0 là một tập U (x0 ) chứa hình cầu mở nào đó tâm x0 ; (iv) Tập G ⊂ X là tập mở nếu với mọi a ∈ G, tồn tại một lân cận U (a) ⊂ G; (v) Tập F ⊂ X là tập đóng nếu phần bù của nó X\F là tập mở. Tính chất 1.1. Đối với một không gian metric, chúng ta có (i) Hợp tùy ý các tập mở là một tập mở; (ii) Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở; (iii) Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng; (iv) Giao tùy ý các tập đóng là một tập đóng. Định nghĩa 1.5. Cho A là một tập hợp trong không gian metric X. Khi đó (i) Điểm x ∈ X được gọi là điểm trong của tập A nếu tồn tại một lân cận U (x) của x sao cho U (x) ⊂ A; (ii) Tập hợp các điểm trong của A được gọi là phần trong của A, ký hiệu int A; (iii) Điểm x ∈ X được gọi là điểm dính của tập A nếu mọi lân cận U (x) của x đều có giao U (x) ∩ A 6= ∅; (iv) Tập hợp các điểm dính của A được gọi là bao đóng của tập A, ký hiệu A; (v) Tập A được gọi là trù mật trong X nếu A = X. 6
Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tính chất 1.2. Cho A là một tập trong không gian metric X, chúng ta có (i) A = A ⇐⇒ A đóng; (ii) A = A ⇐⇒ ∀{xn } ⊂ A : xn −→ x =⇒ x ∈ A ; (iii) A = X ⇐⇒ ∀x ∈ X ∃{xn } ⊂ A : xn −→ x ; (iv) A = X ⇐⇒ ∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃x0 ∈ A : d(x, x0 ) < ε . Định lý Baire về phạm trù Để phát biểu được Định lý, trước tiên chúng ta cần vài khái niệm sau. Định nghĩa 1.6. Cho (X, d) là một không gian metric và tập A ⊂ X. (i) Tập A được gọi là tập không đâu trù mật nếu mỗi tập mở U ⊂ X đều tồn tại một hình cầu mở B ⊂ U có giao B ∩ A = ∅. (ii) Tập A được gọi là tập thuộc phạm trù thứ nhất nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng hợp của một số đếm được những tập không đâu trù mật. (iii) Tập A không phải là tập thuộc phạm trù thứ nhất được gọi là tập thuộc phạm trù thứ hai. Mệnh đề 1.1. Mỗi tập đóng không phải là tập không đâu trù mật đều chứa một hình cầu mở. Định lý 1.1 (Định lý Baire về phạm trù). Mọi không gian metric đủ đều là tập thuộc phạm trù thứ hai trong chính nó. Khái niệm không gian Banach và Nguyên lý ánh xạ co Định nghĩa 1.7. Không gian (tuyến tính) định chuẩn là một không gian tuyến tính X trên trường số F cùng với một hàm số || · || : X −→ R thỏa mãn ba tiên đề sau: • ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X và ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0 (tính xác định dương); • ||λx|| = |λ|.||x||, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ F (tính thuần nhất dương); • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác). Hàm số || · || được gọi là chuẩn trên X. Số ||x|| được gọi là chuẩn của x và không gian định chuẩn khi đó được ký hiệu là (X, || · ||). Nếu chuẩn || · || đã rõ, thì 7
Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ta ký hiệu ngắn gọn là X. Mỗi phần tử x ∈ X được gọi là một điểm hay vector của không gian định chuẩn X. Khi F = R ta nói (X, || · ||) là không gian tuyến tính định chuẩn thực. Khi F = C ta nói (X, || · ||) là không gian tuyến tính định chuẩn phức. Nhận xét 1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn (X, || · ||) là một không gian metric với khoảng cách được xác định bởi d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈ X. Do đó tất cả các tính chất của không gian metric đều đúng cho không gian tuyến tính định chuẩn. Định nghĩa 1.8. Cho dãy điểm {xn } của không gian định chuẩn X. Ta nói rằng (i) Dãy {xn } hội tụ đến điểm x ∈ X nếu ||xn − x|| −→ 0 khi n −→ +∞. Khi đó ta ký hiệu xn −→ x khi n −→ +∞ hoặc lim xn = x, và gọi x là n→+∞ giới hạn của dãy {xn }. (ii) Dãy {xn } là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu ∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ε) : ∀m, n > n0 =⇒ ||xm − xn || < ε. Hoặc tương đương ∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ε) : ∀n > n0 =⇒ ||xn+p − xn || < ε, ∀p = 1, 2, . . . Định nghĩa 1.9. Không gian Banach hay không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ là một không gian tuyến tính X mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ đến một phần tử của X. Trong suốt luận văn này khi không nhấn mạnh gì thêm thì ta luôn ngầm hiểu X là không gian Banach trên trường số thực hoặc phức. Định nghĩa 1.10. Một ánh xạ T đưa không gian Banach X vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một hằng số L ∈ [0, 1) sao cho ||T (x) − T (y)|| ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ X. Chúng ta có Định lý quan trọng sau đây được Banach đưa ra năm 1922. Định lý 1.2 (Nguyên lý ánh xạ co). Cho X là một không gian Banach. Nếu ánh xạ T : X −→ X là một ánh xạ co thì phương trình T (x) = x luôn có nghiệm duy nhất x ∈ X. 8
Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhận xét 1.2. (i) Điểm x thỏa mãn T (x) = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T. (ii) Nguyên lý ánh xạ co được phát biểu mạnh hơn là: mọi ánh xạ co trong không gian metric đủ đều có điểm bất động duy nhất. Lý thuyết toán tử tuyến tính trong không gian Banach Định nghĩa 1.11. Cho X, Y là hai không gian tuyến tính trên trường F = R; C. (i) Mỗi ánh xạ A : DA ⊂ X −→ Y được gọi là một toán tử. Khi Y = F ta nói A là một phiếm hàm. (ii) Mỗi ánh xạ A : DA ⊂ X −→ Y được gọi là một ánh xạ tuyến tính hoặc toán tử tuyến tính nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn: • DA là không gian con của X; • A(x + y) = Ax + Ay, ∀x, y ∈ DA ; • A(λx) = λAx, ∀x ∈ DA , ∀λ ∈ F. Khi Y = F ta nói A là một phiếm hàm tuyến tính. (iii) Không gian con DA của X được gọi là miền xác định của A. Không gian con RA := A(DA ) của Y được gọi là miền giá trị của A. Nhận xét 1.3. (i) Cho DA là một không gian con của X. Khi đó, toán tử A : DA ⊂ X −→ Y là toán tử tuyến tính khi và chỉ khi A(λx + µy) = λAx + µAy, ∀x, y ∈ DA , ∀λ, µ ∈ F. (ii) Từ nay về sau, khi không cần nhấn mạnh, ta thường xét DA = X. Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Định nghĩa 1.12. Một toán tử tuyến tính A : X −→ Y được gọi là liên tục hay bị chặn nếu từ điều kiện xn −→ x kéo theo Axn −→ Ax khi n −→ +∞. Tính chất 1.3. Một toán tử tuyến tính A : X −→ Y là liên tục nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng số K > 0 sao cho ||Ax|| ≤ K||x||, ∀x ∈ X. 9
Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa 1.13. Chuẩn của toán tử tuyến tính liên tục A : X −→ Y là một số thực không âm, được ký hiệu và xác định bởi ||A|| := sup ||Ax||. ||x||≤1 Tính chất 1.4. Đối với toán tử tuyến tính liên tục A : X −→ Y ta có ||Ax|| ||A|| = sup ||Ax|| = sup = inf{K > 0 : ||Ax|| ≤ K||x||, ∀x}. ||x||=1 x6=0 ||x|| Định nghĩa 1.14. Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. (i) Ta định nghĩa không gian các toán tử tuyến tính liên tục như sau L (X; Y) := {A : X −→ Y
A là toán tử tuyến tính liên tục };
L (X) := L (X; X) = {A : X −→ X
A là toán tử tuyến tính liên tục }.
(ii) Không gian liên hợp của X là không gian X∗ := L (X; R) = {A : X −→ R
A là phiếm hàm tuyến tính liên tục }.
(iii) Toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục A : X −→ Y là toán tử A∗ : Y∗ −→ X∗ xác định bởi A∗ ϕ(x) = ϕ(Ax), ∀ϕ ∈ Y∗ . Tính chất 1.5. Đối với hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y, ta có (i) Không gian L (X; Y) đầy đủ nếu Y đầy đủ; (ii) Không gian X∗ luôn đầy đủ; (iii) Toán tử A∗ là toán tử tuyến tính liên tục và ||A∗ || = ||A||. Các Định lý cơ bản Định lý 1.3 (Định lý Hahn-Banach). Cho G là một không gian con của không gian tuyến tính định chuẩn X. Khi đó, mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong G đều có thể thác triển bảo chuẩn lên toàn bộ X, nghĩa là ∀f ∈ G∗ ∃F ∈ X∗ : F |G = f, ||F ||X = ||f ||G . Nhận xét 1.4. Nếu không gian con G trù mật trong X thì thác triển trên là duy nhất. 10
Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Hệ quả 1.1. Cho G là một không gian con đóng của không gian tuyến tính định chuẩn X. Khi đó, với mọi điểm x0 6∈ G đều tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X∗ sao cho ||f || = 1, f |G = 0 và f (x0 ) = d(x0 , G) > 0. Hệ quả 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó, với mọi điểm x0 6= 0 của X đều có một phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X∗ sao cho ||f || = 1 và f (x0 ) = ||x0 ||. Ta có Định lý sau cũng thường gọi là Nguyên lý bị chặn đều. Nó nói về mối liên hệ giữa tính bị chặn điểm và tính bị chặn đều của một họ toán tử. Định lý 1.4 (Định lý Banach-Steinhaus). Cho X là không gian Banach và Y là không gian tuyến tính định chuẩn. Giả sử họ {At : t ∈ T } là một họ những toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y. Khi đó, nếu với mọi x ∈ X, tồn tại một hằng số Mx > 0 sao cho ||At x|| ≤ Mx , ∀t ∈ T, thì cũng tồn tại một hằng số M > 0 sao cho ||At || ≤ M, ∀t ∈ T. Nói một cách khác, nếu ∀x ∈ X, sup ||At x|| < +∞, thì sup ||At || < +∞. t∈T t∈T Hệ quả 1.3. Cho X là không gian Banach và Y là không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó, giới hạn từng điểm của dãy toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y cũng là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Định nghĩa 1.15. Toán tử tuyến tính A : DA ⊂ X −→ Y được gọi là toán tử đóng nếu từ các điều kiện xn −→ x, xn ∈ DA x ∈ DA kéo theo Axn −→ y Ax = y. Định lý 1.5 (Định lý đồ thị đóng). Mọi toán tử đóng đưa không gian Banach X vào không gian Banach Y đều là toán tử tuyến tính liên tục. 11
Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.2 Đạo hàm và tích phân của hàm nhận giá trị trong không gian Banach Định nghĩa đạo hàm và các tính chất cơ bản Giả sử (X, || · ||) là một không gian Banach, [a, b] , −∞ < a < b < +∞, là một khoảng đóng và x : [a, b] → X là một hàm cho trước. Định nghĩa 1.16. Chúng ta gọi đạo hàm (Fréchet) của hàm x(·) tại điểm t là giới hạn (nếu tồn tại) dx x(t + h) − x(t) (t) := lim . (1.1) dt h→0 h Khi đó ta cũng nói hàm x(·) khả vi (Fréchet) tại điểm t. Đôi khi ta cũng ký hiệu dx đạo hàm bởi x0 (t) = (t). dt Tại t = a (t = b), chúng ta hiểu giới hạn (1.1) là giới hạn bên phải (bên trái). Khi hàm x(·) khả vi tại mọi t ∈ [a, b], thì ta nói hàm x(·) khả vi trên đoạn [a, b]. Bây giờ là các ví dụ minh họa. Nó còn được sử dụng về sau. Ví dụ 1.1 (Đạo hàm của hàm vector). Cho hàm vector x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn . Khi đó, hàm vector x(t) khả vi khi và chỉ khi các hàm số thành phần x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) khả vi, và x0 (t) = (x01 (t), x02 (t), . . . , x0n (t)). Thật vậy, nếu các hàm số thành phần x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) khả vi, ta xét v u n 2 x(t + h) − x(t) 0 0 uX xk (t + h) − xk (t) − (x1 (t), . . . , xn (t)) 0 − xk (t) −→ 0, h −→ 0. = t h h k=1 Vậy hàm vector x(t) khả vi và x0 (t) = (x01 (t), x02 (t), . . . , x0n (t)). Ngược lại, nếu hàm vector x(t) khả vi và x0 (t) = (y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)). Ta chú ý với mọi k = 1, 2, . . . , n thì v