Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ước lượng gradient cho phương trình khuếch tán phi tuyến trên đa tạp Riemann

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn bao gồm có hai chương. Chương một nhắc lại các khái niệm cơ bản của hình học vi phân. Các khái niệm này bao gồm khái niệm đa tạp Riemann, định nghĩa của toán tử Laplace trên đa tạp Riemann cùng các khái niệm về liên thông, độ cong Riemann, độ cong Ricci và độ cong Bakry-Émery m chiều. Chương hai chứng minh ước lượng kiểu Hamilton cho phương trình nhiệt Schr¨odinger được đề cập ở trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ước lượng gradient cho phương trình khuếch tán phi tuyến trên đa tạp Riemann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ HẠNH ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội - 2014
Lời cám ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Thạc Dũng, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn thạc sỹ. Qua đây tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn Toán giải tích, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tác giả cũng xin gửi lời cám ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin gửi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, những người đã luôn bên tôi, động viên và khuyến khích tôi trong quá trình thực hiện luận văn của mình. Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, năm 2014 2
Mục lục Mở đầu 4 1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 7 1.1 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Liên thông Levi - Civita trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . 14 1.1.3 Tensor độ cong, độ cong Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 21 2.1 Ước lượng Gradient cho phương trình Schr¨odinger với hàm thế vị h(x, t) 21 2.2 Một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 40 3
Mở đầu Trong hình học vi phân, việc nghiên cứu các hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng bởi vì không gian các hàm điều hòa có liên hệ chặt chẽ tới hình học, topo của đa tạp. Các hàm điều hòa là nghiệm của một phương trình elliptic ∆u = 0. Nhờ việc nghiên cứu không gian các hàm điều hòa, người ta thấy được vai trò của giải tích trên đa tạp trong các bài toán quan trọng liên quan đến topo, hình học. Chính vì vậy, không gian các hàm điều hòa được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà Toán học lớn. Chẳng hạn, năm 1975, Cheng và Yau đã thu được ước lượng gradient cho hàm điều hòa (Xem tài liệu [8]). Nhờ các ước lượng gradient này người ta chứng minh được tính chất Liouville, bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hòa. Bên cạnh việc nghiên cứu phương trình elliptic, người ta cũng phát triển và nghiên cứu phương trình parabolic trên đa tạp. Phương pháp parabolic cũng tỏ ra đặc biệt hữu dụng trong việc chứng minh các tính chất cơ bản của hàm điều hòa. Trong tài liệu [4], đối với phương trình nhiệt parabolic ut = ∆u, (Ở đây chỉ số t bên dưới chỉ ký hiệu của phép lấy vi phân riêng theo t, ∆ là toán tử Laplace trên đa tạp M ), Li và Yau đã thu được ước lượng gradient như sau Định lý 0.1. (Li - Yau) Cho M là một đa tạp đầy n chiều với độ cong Ricci bị chặn dưới bởi −K , K > 0. Giả sử u là một nghiệm dương bất kỳ của phương trình ut = ∆u trong B(x0 , 2R) × [t0 − 2T, t0 ], khi đó với ∀α > 1, ta có |∇u|2 ut C nα2 nα2 −α 6 2 + + √ K, (1) u2 u R 2T 2(α − 1) trên B(x0 , 2R) × [t0 − 2T, t0 ]. Ở đây ∇ là toán tử gradient trên M và hằng số dương C chỉ phụ thuộc vào số chiều n. Mặt khác, kể từ sau các nghiên cứu của Perelman về các gradient Ricci soliton để chứng minh giả thuyết Poincare, người ta đặc biệt quan tâm đến các không gian đo metric trơn. Không gian đo metric trơn là một đa tạp Riemann (M, g) với một hàm trọng trơn φ sao cho metric eφ dv là metric đầy. Ở đây dv là dạng thể tích sinh bởi 4
metric g ban đầu. Các gradient Ricci soliton chính là các trường hợp đặc biệt của các không gian độ đo metric trơn. Toán tử Laplace được mở rộng một cách tự nhiên lên không gian này thành toán tử ∆u + h∇φ, ∇ui và độ cong Ricci được thay thế bởi độ cong Bakry-Émery m chiều như sau f := Ric − ∇2 φ − 1 Ric ∇φ ⊗ ∇φ, m ≥ n, m−n trong đó m = n nếu và chỉ nếu φ = 0. Năm 2005, Li Xiangdong [9] đã nghiên cứu phương trình nhiệt tổng quát trên các không gian đo metric trơn và đã mở rộng các kết quả của Li-Yau lên không gian này. Li đã xét phương trình nhiệt ut = ∆u + h∇φ, ∇ui. Giả thiết rằng độ cong Bakry-Émery m chiều bị chặn dưới bởi f > −K, Ric X. D. Li đã thu được ước lượng gradient như sau |∇u|2 ut C mα2 mα2 −α 6 2 + + √ K. (2) u2 u R 2T 2(α − 1) Bằng cách sử dụng (2), người ta nhận được bất đẳng thức Harnack dưới đây ( nα 2 ) 2 t2 αρ (x1 , x2 ) nαK u(x1 , t1 ) 6 u(x2 , t2 ) exp +√ (t2 − t1 ) , t1 4(t2 − t1 ) 2(α − 1) với ∀x1 , x2 ∈ M , ρ(x1 , x2 ) chỉ khoảng cách trắc địa giữa x1 và x2 , và 0 < t1 < t2 < +∞. Lưu ý rằng từ dạng này của bất đẳng thức Harnack, người ta chỉ có thể so sánh nghiệm ở các thời điểm khác nhau. Tuy nhiên, trong tài liệu [7], Hamilton đã thu được ước lượng gradient dạng elliptic trên đa tạp compac. Với ước lượng đó, ta có thể so sánh nghiệm của hai điểm khác nhau cùng lúc. Ước lượng gradient của Hamilton được phát biểu như sau. Định lý 0.2. (Hamilton) Cho M là một đa tạp compact không có biên với điều kiện độ cong Ricci bị chặn bởi - K, K > 0. Giả sử u là nghiệm dương bất kỳ của phương trình ut = ∆u với u 6 C và ∀(x, t) ∈ M × (0, +∞) thì |∇u|2 1 C 2 6 + 2K ln . (3) u t u Sau đó, Souplet và Zhang đã tổng quát hóa ước lượng gradient trên đa tạp không compact (Xem tài liệu [5]) như sau 5
Định lý 0.3. (Souplet - Zhang) Cho M là một đa tạp đầy n chiều với độ cong Ricci bị chặn dưới bởi - K, K > 0. Giả sử u là nghiệm dương bất kỳ của phương trình ut = ∆u trong Q2R,2T ≡ B(x0 , 2R) × [t0 − 2T, t0 ] và u 6 C trong Q2R,2T . Khi đó √ |∇u| 1 1 C 6 C1 + 1 + K 1 + ln , (4) u R T2 u trong Q2R,2T . Hằng số C1 chỉ phụ thuộc vào số chiều n, khi n → ∞ thì C1 → ∞. Lưu ý rằng ước lượng (4) ở trên là ước lượng gradient địa phương. Cho R → ∞, ta thu được ước lượng gradient toàn cục sau đây √ |∇u| 1 C 6 C1 1 + K 1 + ln . (5) u T2 u Trong ước lượng (5), hằng số C1 phụ thuộc vào số chiều n, ngoài ra C1 sẽ dần tới vô cùng khi n dần tới vô cùng, do đó ước lượng gradient này không áp dụng được cho đa tạp vô hạn chiều. Tuy nhiên, ước lượng gradient (3) của Halminton thì không phụ thuộc vào số chiều n. Trong luận văn của mình, chúng tôi sẽ nghiên cứu các ước lượng gradient cho một phương trình tổng quát hơn. Đó là phương trình Schr¨odinger với hàm thế vị h(x, t) ut = ∆u + h∇φ, ∇ui + hu. Chúng tôi sẽ chứng minh các ước lượng gradient cho nghiệm của phương trình trên cho hai trường hợp h là hàm không dương và h là hàm không âm. Với ước lượng gradient thu được chúng tôi cũng có thể chứng minh được các bất đẳng thức Harnark và chứng minh được tính chất Liouville cho hàm φ-điều hòa. Các kết quả này có thể xem là sự mở rộng các kết quả cổ điển của Li-Yau. Luận văn bao gồm có hai chương. Trong chương một, chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản của hình học vi phân. Các khái niệm này bao gồm khái niệm đa tạp Riemann, định nghĩa của toán tử Laplace trên đa tạp Riemann cùng các khái niệm về liên thông, độ cong Riemann, độ cong Ricci và độ cong Bakry-Émery m chiều. Trong chương hai chúng tôi chứng minh ước lượng kiểu Hamilton cho phương trình nhiệt Schr¨odinger được đề cập ở trên. Bên cạnh việc viết lại và đưa ra các tính toán chi tiết các ý chứng minh trong trường hợp hàm thế vị h là không dương như trong bài báo [6], chúng tôi cũng đưa ra một định lý mới trong trường hợp h là hàm không âm. Điều này góp phần làm đầy đủ hơn về bức tranh đánh giá gradient của nghiệm của phương trình Schr¨odinger. Nội dung của luận văn trong trường hợp h không dương được viết dựa trên bài báo của Ruan Qihua năm 2007 (xem [6]). 6
Chương 1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 1.1 Đa tạp Riemann 1.1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann A. ĐA TẠP TRƠN Định nghĩa 1.1. Giả sử M là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đếm được. M được gọi là một đa tạp tôpô n - chiều nếu với mỗi p ∈ M, tồn tại một bộ ba {ϕ, U, V }, trong đó U là một lân cận mở của p trong M, V là một tập con mở của Rn , và ϕ : U → V là một đồng phôi. Mỗi bộ ba như vậy được gọi là một bản đồ tại p. Hai bản đồ {ϕ1 , U1 , V1 } và {ϕ2 , U2 , V2 } được gọi là tương thích nếu phép chuyển ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1 1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ U2 ) , là một đồng phôi. Lưu ý ϕ1 (U1 ∩ U2 ) và ϕ2 (U1 ∩ U2 ) là mở trong Rn . Định nghĩa 1.2. Một atlas A trên đa tạp M là một tập các bản đồ {ϕα , Uα , Vα } S tương thích với nhau, thỏa mãn α Uα = M . Hai atlas trên M được gọi là tương đương nhau nếu hợp của chúng cũng là một atlas trên M . Định nghĩa 1.3. Một đa tạp trơn n - chiều là một đa tạp tôpô M n - chiều được trang bị một lớp tương đương của atlas sao cho các hàm chuyển là các hàm trơn. Lớp tương đương này được gọi là cấu trúc trơn của atlas. Ví dụ 1.1. Rn (hoặc không gian véctơ hữu hạn chiều) là một đa tạp trơn. Ví dụ 1.2. Xét siêu cầu n chiều trong Rn+1 S n = (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 | x21 + . . . + x2n+1 = 1 . 7
Gọi N = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn+1 và S = (0, 0, . . . , 0, −1) ∈ Rn+1 lần lượt là điểm cực bắc và điểm cực nam của S n . Xét U1 = S n − N và U2 = S n − S là các tập mở của S n . Xét phép chiếu nổi ϕi : Ui → Rn định nghĩa bởi 1 1 ϕ1 (x) = (x1 , . . . , xn ) , ϕ2 (x) = (x1 , . . . , xn ) . 1 − xn+1 1 + xn+1 Khi đó {ϕ1 , U1 , Rn } và {ϕ2 , U2 , Rn } tạo thành một atlas trên S n . Siêu cầu S n là một đa tạp trơn. B. ÁNH XẠ TRƠN Định nghĩa 1.4. Giả sử ta có một ánh xạ f : M → N giữa hai đa tạp trơn. Ta nói rằng ánh xạ là trơn nếu với bất kỳ bản đồ {ϕα , Uα , Vα } của M và ϕβ , Uβ , Vβ của N , ánh xạ ψβ ◦ f ◦ ϕ−1 −1 α : ϕα Uα ∩ f Xβ → ψβ f (Uα ) ∩ Xβ , là trơn. Ánh xạ f : M → N được gọi là vi phôi nếu nó là một song ánh và f, f −1 đều là các ánh xạ trơn. Chú ý (1) Khi N = R, ta gọi f là một hàm trơn có giá trị thực. Tập các hàm trơn có giá trị thực trên M được ký hiệu bởi C ∞ (M ). (2) Mỗi ánh xạ trơn f : M → N đều tạo ra một ánh xạ "kéo - lùi" f ∗ : C ∞ (N ) → C ∞ (M ) , g 7→ g ◦ f. C. VÉCTƠ TIẾP XÚC Cho M là một đa tạp trơn n chiều; C ∞ (M ) là tập các hàm khả vi vô hạn trên M. Định nghĩa 1.5. Một véctơ tiếp xúc tại điểm p ∈ M là một ánh xạ tuyến tính Xp : C ∞ (U ) → R thỏa mãn quy tắc Leibnitz Xp (f g) = f (p) Xp (g) + Xp (f ) g (p) . Ở đây U là một lân cận của p như đã nói trong định nghĩa 1.1. Tập hợp tất cả các véctơ tiếp xúc của M tại p lập thành một không gian véctơ và được gọi là không gian tiếp xúc của M tại p, ký hiệu là Tp M . Không 8
gian đối ngẫu được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại p và được ký hiệu là Tp∗ M. Cả Tp M và Tp∗ M đều là những không gian véctơ n-chiều. Giả sử {ϕ, U, V } là một bản đồ của p với ϕ (p) = 0. Khi đó, các ánh xạ ∂f ◦ ϕ−1 ∂i : C ∞ (U ) → R, f 7→ (0) , i = 1, 2, . . . , n ∂xi là các véctơ tiếp xúc tại p. Các véctơ này là độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của Tp M . Định nghĩa 1.6. Cho ánh xạ trơn f : M → N , với mỗi p ∈ M , vi phân của f là ánh xạ tuyến tính dfp : Tp M → Tf (p) N được định nghĩa bởi dfp (Xp ) (g) = Xp (g ◦ f ) . Với mọi Xp ∈ Tp M và mọi g ∈ C ∞ (N ). Trong trường hợp đặc biệt f : M → R là một hàm trơn, ta có thể đồng nhất Tf (p) R với R. Ta được Xp (f ) = dfp (Xp ) . Ở đây dfp ∈ Tp∗ M còn được gọi là véctơ đối tiếp xúc tại p. Cho {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương quanh p. Ta sẽ kí hiệu ϕ = x1 , . . . , xn với xk là hàm tọa độ thứ k trên U , và ký hiệu bản đồ bởi U ; x1 , . . . , xn . Vậy cơ sở đối ngẫu của {∂1 , . . . , ∂n } trong Tp∗ M là dx1p , . . . , dxnp , và dfp = (∂1 f )dx1p + . . . + (∂n f )dxnp . D. PHÂN THỚ TIẾP XÚC Định nghĩa 1.7. Cho E và M là hai đa tạp trơn, π : E → M là toàn ánh trơn. Ta nói (π, E, M ) là một phân thớ véctơ hạng k nếu với mỗi p ∈ M , 1. Ep = π −1 (p) là một không gian véctơ k chiều. 2. Tồn tại lân cận mở U của p và một vi phôi ΦU : π −1 (U ) → U × Rk sao cho ΦU (π −1 (p)) = {p} × Rk . 3. Nếu U, V là hai tập mở với p ∈ U ∩ V , ΦU , ΦV là các vi phôi trên thì ánh xạ gU V (p) = ΦU ◦ Φ−1 k k V : {p} × R → {p} × R . là tuyến tính, phụ thuộc trơn vào p ∈ U ∩ V. 9
Ta gọi E là không gian tổng, M là cơ sở, và ΦU là ánh xạ tầm thường địa phương. Một phân thớ véctơ hạng 1 thường được gọi là đường thẳng phân thớ. Ví dụ 1.3. Đặt T M = ∪p Tp M là hợp rời của các không gian tiếp xúc tại M. Khi đó, với ánh xạ chiếu π : T M → M, (p, Xp ) 7→ p. T M là một phân thớ véctơ hạng n trên M . Ta gọi T M là phân thớ tiếp xúc trên M . Một ánh xạ tầm thường địa phương của T M được cho bởi T ϕ = (π, dϕ) : π −1 (U ) → U × Rn , với {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương của M . E. CẤU TRÚC RIEMANN Cho M là một đa tạp m chiều khi đó ta có định nghĩa cấu trúc metric Riemann và định nghĩa đa tạp Riemann như sau. Định nghĩa 1.8. Một cấu trúc metric Riemann trên M là việc đặt tương ứng với mỗi p ∈ M một tích vô hướng gp (·, ·) = h·, ·ip trên Tp M sao cho với hai trường véctơ X, Y trên tập con mở U ∈ M , hàm số p → hXp , Yp i là hàm khả vi. Đa tạp M cùng với cấu trúc metric Riemann g xác định trên M được gọi là một đa tạp Riemann và ký hiệu là (M, g). Ta chú ý rằng bản thân g không phải là một metric trên M . Tuy nhiên, g sẽ cảm sinh một cấu trúc metric tự nhiên trên M . Ta có thể mô tả một cấu trúc metric g sử dụng tọa độ địa phương như sau. Cho U, x1 , . . . , xm là một hệ tọa độ địa phương, và {∂1 , . . . , ∂m } là trường véctơ tọa độ tương ứng. Ta ký hiệu gij (p) = h∂i , ∂j ip . Với bất kỳ véctơ trơn X = X i ∂i và Y = Y j ∂j trên U ta có hXp , Yp ip = X i (p)Y j (p)h∂i , ∂j ip = gij (p)X i (p)Y j (p). Ta có thể viết g = gij dxi ⊗ dxj , hoặc gọn hơn là g = gij dxi dxj . Dễ thấy, gij có các tính chất sau • gij (p) là trơn với mọi p ∈ M , với mọi i, j . • gij = gji , ma trận (gij (p)) là đối xứng với mọi p. 10
• Ma trận (gij (p)) xác định dương với mọi p. Định nghĩa 1.9. Cho (M, gM ) và (N, gN ) là hai đa tạp Rieman. Vi phôi f : M → N được gọi là một vi phôi đẳng cự nếu gM = f ∗ gN . Sau đây ta sẽ trình bày một số cách để xây dựng đa tạp Riemann. Có nhiều cách để xây dựng một đa tạp Riemann mới từ đa tạp cũ, như một số ví dụ sau 1. Cho (M, gm ) và (N, gN ) là các đa tạp Riemann, khi đó gM ⊕ gN định nghĩa bởi: (gM ⊕ gN )(p,q) ((Xp , Xq ), (Yp , Yq ) = (gM )p (Xp , Yp ) + (gN )q (Xp , Yq ), là một metric Riemann trên M × N . Ta gọi gM ⊕ gN là tích metric Riemann. 2. Cho (N, gN ) là một đa tạp Riemann, và f : M → N là một phép dìm trơn, vd dfp : Tp M → Tf (p) N là toàn ánh với mọi p ∈ M , ánh xạ "kéo - lùi" f ∗ gN định nghĩa bởi (f ∗ gN )p (Xp , Yp ) = (gN )f (p) (dfp (Xp ), dfp (Yp )), là một metric Riemann trên M . Ta gọi f ∗ gN là metric cảm sinh, và f là một phép dìm đẳng cự. 3. Cho (N, gN ) là một đa tạp Riemann, và M ⊂ N là đa tạp con dìm. Khi đó ánh xạ nhúng dìm ι : M → N là một phép dìm, xác định một metric Riemann cảm sinh trên M . Ta gọi (M, ι∗ gN ) là một đa tạp con Riemann của (N, gN ). Chú ý rằng trong trường hợp này, (i∗ gN )p chỉ là thu hẹp của gN trên Tp M ⊂ Tp N. 4. Cho (M, g) là một đa tạp Riemann bất kỳ, và ϕ : M → R là một hàm dương, trơn, tùy ý trên M . Khi đó ϕg định nghĩa bởi (ϕg)p (Xp , Yp ) = ϕ(p)gp (Xp , Yp ), là một metric Riemann trên M , nó còn được gọi là metric bảo giác với g . Dưới đây là một số ví dụ về đa tạp Riemann. Ví dụ 1.4. Một tích vô hướng chuẩn trong Rm xác định một metric Riemann chính tắc go trên Rm với (g0 )ij = δij . Tổng quát hơn, với bất kỳ ma trận A dương 11
cấp m × n, gp (Xp , Yp ) := XpT AYp xác định một metric Riemann trên Rm với gij = Aij . Ví dụ 1.5. Cho M = S 2 là mặt bậc hai trong R3 . Để tính toán metric cảm sinh Riemann từ metric chuẩn tắc trong R3 , ta cần chọn một hệ tọa độ địa phương. Ta sử dụng tọa độ trụ θ và z để tham số hóa S 2 p p x= 1 − z 2 cosθ, y= 1 − z 2 sinθ, z = z, với 0 ≤ θ < 2π, −1 < z < 1. Ta có −z p −z p dx = √ cosθdz − 1 − z 2 sinθdθ, dy = √ sinθdz + 1 − z 2 cosθdθ. 1 − z2 1 − z2 Vậy, gS 2 = [dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz]|S 2 z2 = dz ⊗ dz + (1 − z 2 )dθ ⊗ dθ + dz ⊗ dz 1 − z2 1 = 2 dz ⊗ dz + (1 − z 2 )dθ ⊗ dθ. 1−z F. TOÁN TỬ LAPLACIAN Cho (M, g) là một đa tạp Rieman. Vì g không suy biến nên ta có một phép đẳng cự giữa các trường véctơ trên M và một dạng vi phân trên M [ : Γ∞ (T M ) → Γ∞ (T ∗ M, [(X)(Y ) := g(X, Y ). Trong tọa độ địa phương, nếu ta ký hiệu X = X i ∂i và cho Y = ∂j với mỗi j , ta có [(X)(∂j ) = g(X, ∂j ) = gij X i , vậy [(X i ∂i ) = gij X i dxj . Ta ký hiệu ánh xạ ngược của [ bởi ] : Γ∞ (T ∗ M ) → Γ∞ (T M ). Vậy ](wi dxi ) = g ij wi ∂j , với (g ij ) là ma trận nghịch đảo của (gij ) , [ và ] xác định theo từng điểm, và cho T ∗ M một cặp tích vô hướng 0 hw, w ip := gp (]w, ]w0 ). Giả sử f là một hàm trơn trên M . Khi đó df là một 1-dạng vi phân trên M . 12
Định nghĩa 1.10. Véctơ gradient của f là ∇f = ](df ). Định nghĩa trên là tương đương với ∀X ∈ Γ(T M ) thì g(∇f, X) = Xf. Trong tọa độ địa phương, ta có ∇f = g ij ∂i f ∂j . Trong trường hợp đặc biệt, với g = g0 trong Rm , ta có gradient thông thường của f. Toán tử divergence Giả sử X là một trường véctơ trơn trên M . Xét hệ tọa độ địa phương (U, x1 , · · · , xm ) trên M , phần tử √ dVol = Gdx1 ∧ · · · ∧ dxm , là một dạng vi phân dương trên U . Trong đó G = det(gij ), gij = g(∂i , ∂j ) và dx1 ∧ · · · ∧ dxn là độ đo Lebesgue trên Rn . Ta định nghĩa toán tử divergence như sau Định nghĩa 1.11. Toán tử divergence của X là hàm div(X) trên M định nghĩa bởi (divX)dV ol = d {ι(X)dV ol} . Ở đây ι(X) là ánh xạ tích trong của một trường vector xác định bởi (ιX w)(Y1 , . . . Yn−1 ) = w(X, Y1 , . . . , Yn−1 )p với Y1 , . . . Yn−1 ∈ Tp M với mọi p ∈ M . n X i ∂i , dễ dàng tính toán được, P Giả sử X = i=1 ιX dV ol(Y1 , ..., Yn−1 )
X 1 dx1 (Y1 ) · · · dx1 (Yn−1 )