Luận văn Thạc sĩ Kĩ thuật: Phân tích chất lượng điều khiển bền vững cho các hệ tuyến tính phụ thuộc affine theo tham số biến đổi

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn nghiên cứu lý thuyết điều khiển bền vững trong không gian, kỹ thuật gain schduling cho các hệ thống có tham số biến đổi tuyến tính, phụ thuộc affine và có thể đo được trong thời gian thực. Phân tích ổn định bền vững của hệ kín sử dụng phép phân tích giá trị suy biến. Từ đó áp dụng kết quả nghiên cứu cho một đối tượng cụ thể là máy phát điện không đồng bộ nguồn kép. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Kĩ thuật: Phân tích chất lượng điều khiển bền vững cho các hệ tuyến tính phụ thuộc affine theo tham số biến đổi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP NGUYỄN NAM MINH PHÂN TÍCH CHẤT LƯỢNG ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG CHO CÁC HỆ TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC AFFINE THEO THAM SỐ BIẾN ĐỔI LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT NGÀNH TỰ ĐỘNG HÓA THÁI NGUYÊN 2020
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng bản luận án này là thành quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Tiến Hưng - Khoa Quốc tế, trường Đại học Kỹ thuật Công Nghiệp, Đại học Thái Nguyên. Kết quả nghiên cứu của luận án là trung thực và chưa được công bố trên bất cứ một công trình nào khác. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 9 năm 2020 Tác giả Nguyễn Nam Minh ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1 Bộ điều khiển gain scheduling H∞ 5 1.1 Hệ thống và hệ thống động học tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Khái niệm về tính ổn định của một hệ tuyến tính . . . . . . 6 1.2.2 Ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Chuẩn H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.5 Bất đẳng thức Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.6 Bổ đề chặn biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.7 Bổ đề bù Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.8 Phép biến đổi tương đẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.9 Quan hệ giữa tính ổn định của hệ và hàm truyền đạt . . . 9 1.2.10 Quan hệ giữa các đặc tính của tín hiệu trong miền thời gian và miền tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.11 Quan hệ giữa các đặc tính của hệ thống trong miền thời gian và miền tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Hệ tuyến tính với các tham số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Hàm tuyến tính và hàm affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Hệ thống điều khiển phản hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Hệ thống điều khiển phụ thuộc tham số biến đổi . . . . . . . 13 1.3.4 Hệ thống phụ thuộc affine theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.5 Biến đổi phân thức tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Thiết kế bộ điều khiển gain scheduling H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Đối với hệ phụ thuộc tham số biến đổi. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.2 Đối với hệ phụ thuộc affine theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Phân tích ổn định bền vững của hệ thống phụ thuộc affine theo tham số biến đổi 24 2.1 Mô tả hệ kín với thành phần bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Phân tích ổn định bền vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Cấu trúc đơn giản hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Rút gọn về kiểm tra trên trục ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 iv
MỤC LỤC 2.2.3 Nguyên lý kiểm tra tính ổn định bền vững. . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Kiểm tra tính ổn định bền vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Định lý small gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.2 Giá trị suy biến cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Khảo sát ổn định bền vững của hệ thống điều khiển máy phát nguồn kép 33 3.1 Mô hình toán học của DFIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Thiết kế bộ điều khiển Gain-scheduling cho mạch vòng dòng điện rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Cấu trúc của hệ thống điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Tổng hợp bộ điều khiển gain scheduling . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Biểu diễn LFT của DFIM với các thành phần bất định . . . . . . . . 39 3.3.1 Biểu diễn LFT với thành phần bất định là điện cảm rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.2 Biểu diễn LFT với thành phần bất định là điện cảm hỗ cảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.3 Biểu diễn LFT với thành phần bất định là điện cảm stator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4 Kết quả mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 A Các tham số của DFIM 60 Nguyễn Nam Minh v 09/2020
Danh sách hình vẽ 1.1 Hệ thống điều khiển kín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Biểu diễn LFT trên (a) và dưới (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Mô hình chuẩn cho phân tích ổn định bền vững . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Hệ kín với thành phần bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Các thành phần hệ của hệ bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Cấu trúc hệ thống điều khiển phản hồi kinh điển . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Hệ tương tác kín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1 Biểu diên LFT của hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Cấu trúc của hệ kín trong thiết kế H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Quá trình quá độ của dòng điện và điện áp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Các đáp ứng tần số ứng với 10 tốc độ góc ωm thay đổi trong khoảng ±30% giá trị tốc độ góc đồng bộ ωs . Đầu ra ird , irq theo giá trị đặt iref rd (a); đầu ra irq , ird theo giá trị đặt irq (b); sai ref lệch điều khiển erd , erq theo giá trị đặt iref rd (c) và sai lệch điều khiển erq , erd theo giá trị đặt irq (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ref 52 3.5 Các đáp ứng tần số ứng với 10 tốc độ góc ωm thay đổi trong khoảng ±30% giá trị tốc độ góc đồng bộ ωs . Đầu ra ird , irq theo giá trị đặt iref rd (a); đầu ra irq , ird theo giá trị đặt irq (b); sai ref lệch điều khiển erd , erq theo giá trị đặt iref rd (c) và sai lệch điều khiển erq , erd theo giá trị đặt irq (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ref 53 3.6 Các đáp ứng trong miền thời gian ứng với 10 tốc độ góc ωm thay đổi trong khoảng ±30% giá trị tốc độ góc đồng bộ ωs . Đầu ra ird , irq theo giá trị đặt iref rd (a); đầu ra irq , ird theo giá trị đặt irq (b); sai lệch điều khiển erd , erq theo giá trị đặt iref ref rd (c) và sai lệch điều khiển erq , erd theo giá trị đặt irq (d) . . . . . . . . . . . . . . ref 54 3.7 Phân tích giá trị suy biến cấu trúc ứng với sự thay đổi của điện cảm hỗ cảm Lm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.8 Phân tích giá trị suy biến cấu trúc ứng với sự thay đổi của điện cảm hỗ cảm Ls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.9 Phân tích giá trị suy biến cấu trúc ứng với sự thay đổi của điện cảm hỗ cảm Lr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 vi
Danh mục các từ viết tắt Ký hiệu Ý nghĩa BRL Bổ đề chặn biên (Bounded Real Lemma) LFT Biến đổi tách tuyến tính (Linear Fractional Transforma- tion) LMI Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear Matrix Inequal- ity) LPV Hệ có tham số biến đổi tuyến tính (Linear Parameter Vary- ing) LTI Hệ tuyến tính bất biến (Linear Time-Invariant) vii
Danh mục các ký hiệu Ký hiệu Ý nghĩa conv Tập lồi (convex ) I4 Ma trận đơn vị 4 × 4 Z4 Ma trận zero 4 × 4 R tập hợp các số thực C tập hợp các số phức Rm tập hợp các vector thực có m phần tử Rm×n tập hợp các ma trận thực có m hàng, n cột viii
Mở đầu Tính cấp thiết của đề tài Trong thực tế, một số hệ thống động học có các ma trận trong hệ phương trình trạng thái phụ thuộc theo các tham số biến đổi theo thời gian. Nếu các ma trận này phụ thuộc affine theo các tham số đó thì có thể sử dụng các phương pháp hiệu quả để cấu trúc lại hệ thống theo hướng tạo thành các tổ hợp tập lồi. Khi các giá trị của các tham số biến đổi có thể đo được trong thời gian thực thì các giá trị tức thời của chúng có thể được sử dụng khi thiết kế các bộ điều khiển gain-scheduling từ việc nội suy từ một số bộ điều khiển tuyến tính dừng được thiết kế tại các đỉnh của tập lồi. Các bộ điều khiển được thiết kế theo phương pháp này có thể đảm bảo chất lượng điều khiển của hệ thống kín trong toàn bộ không gian biến thiên cho trước của các tham số biến đổi. Tuy nhiên, việc đánh giá tính ổn định của hệ thống đối với các tham số còn lại của hệ thống (các tham số không đo được) thì vẫn còn chưa được chú ý nhiều. Vì vậy, đề tài này sẽ tập trung theo hướng "Phân tích chất lượng điều khiển bền vững cho các hệ tuyến tính phụ thuộc affine theo tham số biến đổi". Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các hệ tuyến tính phụ thuộc affine theo tham số biến đổi. Phạm vi nghiên cứu • Nghiên cứu lý thuyết điều khiển bền vững trong không gian, kỹ thuật gain schduling cho các hệ thống có tham số biến đổi tuyến tính, phụ thuộc affine và có thể đo được trong thời gian thực. • Phân tích ổn định bền vững của hệ kín sử dụng phép phân tích giá trị suy biến. • Áp dụng kết quả nghiên cứu cho một đối tượng cụ thể là máy phát điện không đồng bộ nguồn kép. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 1
DANH SÁCH HÌNH VẼ • Tiếp tục nghiên cứu và hoàn thiện thuật toán điều khiển cho các hệ thống có tham số biến đổi tuyến tính. • Nghiên cứu áp dụng phương pháp đánh giá chất lượng ổn định bền vững của hệ kín khi các tham số không đo được thay đổi giá trị. • Kiểm nghiệm thuật toán điều khiển thông qua tính toán trên phần mềm Matlab và mô phỏng trong môi trường Simulink. Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lý thuyết cơ bản, mô hình hóa hệ thống, áp dụng các lý thuyết đã phát triển để thiết kế các bộ điều khiển và đánh giá chất lượng ổn định của toàn hệ thống. • Sử dụng các công cụ toán học và phần mềm Matlab để thử nghiệm các thuật toán, mô phỏng hệ thống. Đánh giá, so sánh các kết quả lý thuyết, kết quả mô phỏng. Bố cục của luận văn Luận văn gồm 5 chương. Chương 1 là phần tổng quan về đề tài nghiên cứu. Chương 2 đề cập việc tổng hợp bộ điều khiển gain-scheduling cho các hệ tuyến tính phụ thuộc affine theo tham số biến đổi. Chương 3 sẽ dành cho việc phân tích chất lượng ổn định bền vững của một hệ thống điều khiển tuyến tính. Chương 4 trình bày về điều khiển bền vững cho một hệ thống máy phát điện nguồn kép. Chương 5 là một số kết luận và kiến nghị. Nguyễn Nam Minh 2 09/2020
Tổng quan về đề tài nghiên cứu Khái quát về các hệ thống có tham số biến đổi tuyến tính Trong các mô hình toán học của các đối tượng điều khiển có các tham số đặc trưng cho các tính chất vật lý của đối tượng đó. Khi thiết kế các bộ điều khiển thông thường thì các tham số này được coi là những hằng số và sự thay đổi của chúng theo thời gian được bỏ qua. Trong một số trường hợp, khi bộ điều khiển được tính toán trực tuyến (online) trong một hệ thống điều khiển số, thì một số tham số có thể được coi là hằng trong phạm vi một chu kỳ trích mẫu. Với những giả thiết đó thì mô hình của đối tượng điều khiển hoàn toàn có thể được coi như một hệ thống tuyến tính bất biến. Sau đó, tính bền vững của hệ thống kín có thể được kiểm chứng qua các kết quả mô phỏng với một số các giá trị khác nhau của các tham số đối tượng. Tuy nhiên, các kết quả mô phỏng này không phải là điều kiện đủ để chắc chắn về tính bền vững của cả hệ thống trong toàn dải biến thiên của các tham số [11]. Đối với các mô hình toán của đối tượng điều khiển phụ thuộc thuộc hữu tỷ theo các tham số biến thiên theo thời gian (các tham số bất định) thì ta có thể xây dựng được các biểu diễn phân thức tuyến tính để phân hoạch các thành phần tuyến tính bất biến và các thành phần bất định của đối tượng. Từ đó có thể dễ dàng thiết kế các bộ điều khiển bền vững trong không gian H∞ hoặc phân tích ổn định bền vững của hệ thống điều khiển kín. Trong đó, phép phân tích giá trị suy biến cấu trúc (structured singular value - SSV) có thể được sử dụng để phân tích ổn định chống lại các bất định tuyến tính không biến thiên theo thời gian. Đối với các bất định tham số tuyến tính biến thiên theo thời gian thì phép phân tích ổn định có thể được thực hiện dựa trên việc sử dụng các hàm Lyapunov phụ thuộc tham số nếu hệ thống phụ thuộc affine theo tham số. Một cách phân tích ổn định bền vững khác, được coi như là một mở rộng của phương pháp nhân tử kinh điển, là sử dụng phương pháp phân tích các ràng buộc toàn phương tích hợp (Integral Quadratic Constraints - IQC). Phương pháp này cho phép phân tích ổn định bền vững cho các bất định tham số biến đổi theo thời gian với tốc độ biến đổi bị chặn và cả các bất định động học. Chi tiết về việc phân tích ổn định bền vững với IQC và một số kết quả cụ thể được trình bày trong [31]. 3
DANH SÁCH HÌNH VẼ Tình hình nghiên cứu về trên thế giới và trong nước Các nghiên cứu về các hệ thống có tham số biến đổi tuyến tính (linear parameter-varying - LPV) bắt nguồn từ phương pháp thiết kế bộ điều khiển có tham số phụ thuộc vào điểm làm việc của đối tượng (gain scheduling) [33, 29, 19, 20, 4]. Các thiết kế gain scheduling kinh điển liên quan đến việc nội suy từ một số bộ điều khiển tuyến tính dừng. Tuy nhiên, các thiết kế theo hướng này không thể đảm bảo tính ổn định và chất lượng điều khiển toàn cục nếu tham số của hệ thống biến đổi nhanh [27]. Sử dụng định lý small-gain, kỹ thuật thiết kế bộ điều khiển gain-scheduling mang tính hệ thống đối với các hệ mà cả đối tượng và bộ điều khiển đều phụ thuộc tham số dưới dạng phân thức tuyến tính (linear fractional form) được mô tả hoàn toàn bởi các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequalities - LMIs) [17, 2]. Vì vậy, việc tổng hợp bộ điều khiển là dựa trên các tập lồi (convex set) với các giải thuật tối ưu hóa hiệu quả. Cấu trúc điều khiển kiểu này được áp dụng khi hệ thống phụ thuộc affine theo tham số và giá trị của nó có thể đo được trong thời gian thực. Kết quả mô phỏng được công bố trong [12] cho thấy chất lượng của hệ thống điều khiển có thể được đảm bảo ngay cả khi tham số của hệ thống biến đổi rất nhanh. Lưu ý là phương pháp này còn được mở rộng cho các đối tượng phụ thuộc hữu tỷ theo tham số trong các nghiên cứu [21, 22]. Những vấn đề còn tồn tại và hướng giải quyết Những vấn đề tồn tại Tuy nhiên, việc đánh giá tính ổn định của hệ thống đối với các tham số còn lại của hệ thống (các tham số không đo được) thì vẫn còn chưa được chú ý nhiều. Đề xuất hướng giải quyết Đề tài này sẽ tập trung giải quyết vấn đề trên theo hướng phân tích chất lượng điều khiển bền vững cho các hệ tuyến tính phụ thuộc affine theo tham số biến đổi. Nguyễn Nam Minh 4 09/2020
Chương 1 Bộ điều khiển gain scheduling H∞ 1.1 Hệ thống và hệ thống động học tuyến tính Hệ thống (system) là sự kết hợp của các phần tử với chức năng đơn lẻ tương tác với nhau để thực hiện một mục tiêu cụ thể nào đó. Nếu trong một hệ thống mà đầu ra của nó tại một thời điểm chi phụ thuộc vào đầu vào của hệ tại thời điểm đó thì được gọi là hệ thống tĩnh (static system). Nếu đầu ra của hệ thống phụ thuộc cả đầu vào trong quá khứ thì được gọi là hệ động học (dynamic system). Trong một hệ động học, đầu ra của nó sẽ thay đổi theo thời gian nếu hệ thống không ở trong trạng thái cân bằng (equilibrium). Một mô hình được xây dựng dựa trên việc mô tả toán học các thuộc tính động học của hệ thống và được gọi là mô hình toán (mathematical model ) của đối tượng. Các hệ thống vật lý thường được mô tả bởi các mô hình toán với các phương trình vi phân (differential equations). Xét hệ tuyến tính dừng x˙ = Ax + Bu (1.1) y = Cx + Du Hàm truyền G(s) của biểu diễn không gian trạng thái (A, B, C, D) được ký hiệu như sau: A B G= . C D Hệ (1.1) (hay A,B ) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại một ma trận phản hồi F làm cho A+ BF có tất cả các giá trị riêng nằm bên trái mặt phẳng phức. Điều này tương đương với ma trận (A − λI B) có hạng đầy đủ về hàng với mọi λ ∈ C0 ∪ C+ . 5
1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính Hệ (1.1) (hay A,C ) được gọi là phát hiện được nếu tồn tại một ma trận L làm cho A + CL có tất cả các giátrị riêngnằm bên trái mặt phẳng phức. A − λI Điều này tương đương với ma trận có hạng đầy đủ về cột với mọi C λ∈ C0 ∪ C+ . Để chuyển từ không gian trạng thái sang miền tần số thì cần phải tính hàm truyền của hệ được định nghĩa như sau G(s) = C(sI − A)−1 B + D và là một ma trận có các phần tử bao gồm các hàm thực, hữu tỷ và hợp thức. Ngược lại, nếu có một ma trận P (s) với các phần tử là các hàm thực, hữu tỷ và hợp thức cho trước thì luôn tồn tại các mà trận Ap , Bp , Cp , Dp mà P (s) = Cp (sI − Ap )−1 Bp + Dp Dạng biểu diễn này của ma trận hàm truyền được gọi là dạng biểu diễn thực. Dạng biểu diễn thực như trên không phải là duy nhất, ma trận Ap có thể có nhiều cách biểu diễn thực khác nhau. Dạng biểu diễn trong đó Ap có dạng cực tiểu được gọi là dạng biểu diễn thực cực tiểu (minimal realization). Điều này chỉ xảy ra khi (Ap , Bp ) là điều khiển được và Ap , Cp là phát hiện được. 1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính 1.2.1 Khái niệm về tính ổn định của một hệ tuyến tính Bất kỳ một ma trận nào có các phần tử là các hàm thực hữu tỷ là ổn định nếu mà trận đó là • Hợp thức (không có các điểm cực ở vô cùng). • Chỉ có các điểm cực nằm bên trái mặt phẳng phức. Với một tập các ma trận ổn định, thực, tỷ lệ và hợp thức có kích thước m × n được ký hiệu là RH∞ m×n . Trong trường hợp kích thước của ma trận đã được biết thì có thể không cần chỉ rõ, nghĩa là chỉ cần viết đơn giản RH∞ . Một số tính chất: • Tích của một số vô hướng với một ma trận ổn định là một ma trận ổn định. • Tổng của các ma trận ổn định là ổn định. • Tích của các ma trận ổn định là ổn định. Nguyễn Nam Minh 6 09/2020
1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính Mặt khác, hệ (1.1) cũng như ma trận A được gọi là ổn định nếu ma trận A có các giá trị riêng nằm bên trái trục ảo. Khi đó, tính ổn định của (1.1) có thể được viết λ(A) = C− Trong đó, λ(A) là tập các giá trị riêng của A, hay còn gọi là phổ của A. 1.2.2 Ma trận xác định dương Một ma trận vuông M ∈ Rn×n được gọi là xác định dương nếu xT Mx > 0 với ∀x ∈ Rn Ma trận xác định dương được ký hiệu là M ≻ 0, ma trận xác định bán dương là M 0, ma trận xác định âm là M ≺ 0, ma trận xác định bán âm là M 0. 1.2.3 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính Ký hiệu L2 là một không gian các tín hiệu có thể lấy tích phân bình quân phương xác định trong khoảng [0, ∞). Một ma trận A được gọi là đối xứng nếu nó thỏa mãn A = AT . Một tập tất cả ma trận đối xứng m × m được ký hiệu bởi Sm . Một bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear Matrix Inequality - LMI) có dạng: n X F (x) = F0 + xi Fi ≺ 0 (1.2) i=1 trong đó x = (x1 , ..., xn ) biểu thị một vector các biến quyết định và Fi ∈ Sn , i = 0, 1, ..., n. Bất đẳng thức (1.2) là F (x) một ma trận xác định âm, nghĩa là v T F (x)v ≺ 0 ∀v ∈ Rn , v 6= 0. (1.3) Quan sát rằng F là một hàm affine, kéo theo tập x ∈ Rn thỏa mãn (1.2) là lồi (convex ). Cả bài toán xác định tính khả thi của (1.2) hay tối ưu hóa một hàm tuyến tính với các ràng buộc trên được gọi là bài toán LMI có thể được giải theo các đa thức bằng các phần mềm máy tính [3]. Lưu ý là các chương trình giải LMI đặc trưng cho phép thực hiện một hữu hạn các LMI F1 (x) ≺ 0, . . . , Fn (x) ≺ 0 được mô tả bởi các ánh xạ đối xứng giá trị affine F1 (x), . . . , Fn (x). Nguyễn Nam Minh 7 09/2020
1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính 1.2.4 Chuẩn H∞ Xét một hệ vào-ra tuyến tính được mô tả bởi x˙ = Ax + Bw (1.4) z = Cx + Dw và ma trận hàm truyền của nó được cho bởi G(s) = C(sI − A)−1 B + D. Nếu A là ổn định và nếu ta chọn điều kiện đầu x(0) là zero thì hệ 1.4 định nghĩa một ánh xạ tuyến tính w → z trên L2 với năng lượng hữu hạn được định nghĩa như sau Gw sup 2 . w∈L2 , w6=0 w 2 Chú ý rằng năng lượng của hệ 1.4 cũng chính là chuẩn H∞ của ma trận hàm truyền tương ứng G cho bởi G = sup σ(G(jω)) ∞ ω∈R trong đó σ(G) biểu thị cho giá trị suy biến lớn nhất của ma trận phức G. 1.2.5 Bất đẳng thức Lyapunov Khi xét ổn định một hệ thống động học người ta có thể sử dụng phát biểu của bổ đề sau. Bổ đề 1.1 (Bất đẳng thức Lyapunov): Hệ x(t) ˙ = Ax(t) là ổn định nếu tồn tại một ma trận P ≻ 0 such that AT P + P A ≻ 0 (1.5) Chứng minh. Giả sử tồn tại một ma trận P thỏa mãn AT P + P A ≻ 0. Định nghĩa hàm Lyapunov V (x) = xT P x. Khi đó V (x) > 0 với mọi x 6= 0 và V (0) = 0. Xét V˙ (x(t)) = x(t) ˙ T P x(t) + x(t)T P x(t) ˙ = x(t)T AT P x(t) + x(t)T P Ax(t) = x(t)T (AT P + P A)x(t) Rõ ràng là V˙ (x(t)) < 0 với mọi x 6= 0. Vì vậy, hệ thống là ổn định toàn cục [18]. Nguyễn Nam Minh 8 09/2020
1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính 1.2.6 Bổ đề chặn biên Bồ đề chặn biên (bounded real lemma - BRL) 1.2 cho biết điều kiện cho một hệ tuyến tính bất biến có chuẩn H∞ của hàm truyền bị chặn [32, 25]. Bổ đề 1.2 (Bổ đề BRL): Hệ Σ = (A, B, C, D) là ổn định và có hàm truyền là G = C(sI −A)−1 B+D. Khi đó các phát biểu sau là tương đương P A + AT P + C T C P B + C T D 1. P ≻ 0, T T T 2 0 B P +D C D D−γ I 2. Với mọi ω ∈pR, det(jωI − A) 6= 0, G(jω)∗G(jω) ≤ γ 2 I ⇒ σ(G(jω)) = kG(jω)k2 = λmax (G(jω)∗G(jω) ≤ γ 3. Chuẩn H∞ của G(jω) hay kGk∞ ≤ γ kyk 4. Chuẩn L2 của hệ ≤ γ Khi x(0) = 0 ta có sup kukLL2 ≤ γ 2 u∈L2 Chứng minh. Xin xem trong [8]. 1.2.7 Bổ đề bù Schur Bổ đề bù Schur được phát biểu như sau Bổ đề 1.3 (Bù Schur): M11 M12 Một ma trận đối xứng M = là xác định âm khi và chỉ khi M21 M22 −1 1. M11 ≺ 0 và M22 − M21 M11 M12 ≺ 0 −1 2. M22 ≺ 0 và M11 − M12 M22 M21 ≺ 0 1.2.8 Phép biến đổi tương đẳng Cho ma trận Hermit (Hermitian matrix) A và ma trận vuông không suy biến X . Khi đó A → X ∗ AX được gọi là phép biến đổi tương đẳng (congruence transformation) của A. 1.2.9 Quan hệ giữa tính ổn định của hệ và hàm truyền đạt Hệ (1.1) hoặc ma trận A là ổn định thì hàm truyền G(s) là ổn định. Ngược lại, nếu G(s) là ổn định, (A, B ) là ổn định được và (A, C ) là phát hiện được thì hệ (1.1) hay A là ổn định. Nguyễn Nam Minh 9 09/2020
1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính 1.2.10 Quan hệ giữa các đặc tính của tín hiệu trong miền thời gian và miền tần số Quan hệ giữa năng lượng của tín hiệu trong miền thời gian và mật độ năng lượng của nó theo tần số được thể hiện trong định lý 1.1. Định lý 1.1 (Định lý Parseval): Giả sử vector tín hiệu f (t) ∈ Rn có biến đổi Fourier là F (jω) thì Z ∞ Z ∞ 1 kf (t)k2 dt = kF (jω)k2dω (1.6) 0 2π −∞ Ví dụ sau sẽ minh họa cho định lý Parseval. Ví dụ 1.1 ([14]): Xét tín hiệu hội tụ hàm mũ sau f (t) = e−t , ∀t ≥ 0 1 Tín hiệu này có ảnh Fourier là F (jω) = jω+1 . Khi đó vế trái của (1.1) sẽ là Z ∞ Z ∞ 1 (e−t )2 dt = e−2t dt = 0 0 2 Trong khi đó vế phải của (1.1) là Z ∞ Z ∞
1 2 1 1 1
∞ 1 kF (jω)k dω = 2 dω = arctan ω